Zastosowania Równania Bernoullego - zadania
Notatki w Internecie| Podstawy mechaniki płynów – materiały do ćwiczeń
1
Zadanie 1 Przez zwężkę o średnicy D = 0,2 m, d = 0,05 m przepływa woda o temperaturze t = 50 C. Obliczyć
jakie ciśnienie musi panować w przekroju 1-1, aby w przekroju 2-2 nie wystąpiło zjawisko kawitacji,
gdy strumień objętości wynosi Q = 0,08 m3/s.
1
1
2
2 Rozwiązanie: Aby w przekroju 2-2 nie wystąpiło zjawisko kawitacji, ciśnienie musi być większe od ciśnienia
nasycenia (p2 > pV). Równanie Bernoullego dla przekrojów 1-1 i 2-2:
푝휌 ∙ 푔 +
푣2 ∙ 푔 + 푧 =
푝휌 ∙ 푔 +
푣2 ∙ 푔 + 푧
Ponieważ z1 = z2, a zrównania ciągłości wynika:
푣 = 푣 ∙퐷푑
Po podstawieniu otrzymamy:
푝 = 푝 −휌 ∙ 푣2 ∙
퐷푑 − 1
Jeśli się uwzględni, że:
푝 ≥ 푝
푣 =4 ∙ 푄휋 ∙ 퐷
to:
푝 −8 ∙ 푔 ∙ 푄휋 ∙ 퐷 ∙
퐷푑 − 1 ≥ 푝
푝 ≥ 푝 +8 ∙ 푔 ∙ 푄휋 ∙ 퐷 ∙
퐷푑 − 1
Po podstawieniu wartości:
푝 ≥ 8,3 ∙ 10 푃푎
Zastosowania Równania Bernoullego - zadania
Notatki w Internecie| Podstawy mechaniki płynów – materiały do ćwiczeń
2
Zadanie 2 Obliczyć średnicę d zwężki Venturiego niezbędną do zassania wody o gęstości ρ = 1000 kg/m3, z
naczynia na wysokość h = 0,8 m. Strumień objętości wody w rurociągu Q = 0,12 m3/s, średnica
rurociągu D = 0,2 m, nadciśnienie w rurociągu pn = 5 104 N/m2.
Rozwiązanie: Aby nastąpiło zassanie wody z naczynia, podciśnienie w zwężce musi wynosić:
푝 ≥ 휌 ∙ 푔 ∙ ℎ
Równanie Bernoullego dla przekrojów 1-1 i 2-2 przybiera postać:
푝휌 ∙ 푔 +
푣2 ∙ 푔 =
푝휌 ∙ 푔 +
푣2 ∙ 푔
Podstawiając:
푣 =4 ∙ 푄휋 ∙ 퐷
푣 =4 ∙ 푄휋 ∙ 푑
푝 = 푝 + 푝
푝 = 푝 − 푝
Otrzymujemy:
푑 =8 ∙ 푄
휋 ∙ 푝 + 푝휌 ∙ 푔 + 8 ∙ 푄
2 ∙ 푔 ∙ 퐷
Po uwzględnieniu 푝 ≥ 휌 ∙ 푔 ∙ ℎ
푑 ≤8 ∙ 푄
휋 ∙ 푔 푝휌 ∙ 푔 + ℎ + 8 ∙ 푄
2 ∙ 푔 ∙ 퐷
Dla danych wartości liczbowych:
푑 ≤ 154푚푚
Zastosowania Równania Bernoullego - zadania
Notatki w Internecie| Podstawy mechaniki płynów – materiały do ćwiczeń
3
Zadanie 3
Rurociągiem o średnicy D = 0,2 m przepływa powietrze o gęstości ρ = 1,2 kg/m3. W osi rurociągu
umieszczono rurkę Prandtla podłączoną do manometru hydrostatycznego wypełnionego alkoholem o
gęstości ρ =780 kg/m3. Wskazanie manometru h = 0,08 m. Obliczyć strumień objętości powietrza, jeśli
φ = vsr/ Vmax = 0,8.
∆h
D
Rozwiązanie:
푄 =휋 ∙ 푑4 푣
푣 = 휑 ∙ 푣
푣 =2 ∙ 푝휌 =
2 ∙ ∆ℎ ∙ (휌 − 휌 ) ∙ 푔휌
푄 =휋 ∙ 푑4 ∙ 휑 ∙
2 ∙ ∆ℎ ∙ (휌 − 휌 ) ∙ 푔휌
푄 =휋 ∙ 0,24 ∙ 0,8 ∙
2 ∙ 0,08 ∙ (780 − 1,2) ∙ 9,811,2 = 0,256
푚푠
Zastosowania Równania Bernoullego - zadania
Notatki w Internecie| Podstawy mechaniki płynów – materiały do ćwiczeń
4
Zadanie 4 Kanałem prostokątnym szerokości b i głębokości h przepływa woda. Rurka Pitota zanurzona do
połowy głębokości wskazuje spiętrzenie ∆h = 0,2 m. Obliczyć średnią prędkość przepływu w przekroju
kanału przyjmując, że profil prędkości opisany jest równaniem v=c·z0,5.
h
h/2
∆h
Rozwiązanie: Prędkość w połowie przekroju
푣 = 2 ∙ 푔 ∙ ∆ℎ
Stałą c w równaniu:
푣 = 푐 ∙ √푧
푣 = 푣
푧 =ℎ2
stąd
푐 =푣ℎ2
Średnią prędkość przepływu obliczamy z zależności:
푣 =푄퐴 =
∫ 푣 ∙ 푏 ∙ 푑푧푏 ∙ ℎ =
∫ 푣ℎ/2
∙ √푧 ∙ 푏 ∙ 푑푧
푏 ∙ ℎ =
푣 ∙ 푏ℎ/2
∙ ∫ ∙ √푧 ∙ 푑푧
푏 ∙ ℎ =2√23 푣
푣 =2√23 2 ∙ 푔 ∙ ∆ℎ =
2√23 2 ∙ 9,81 ∙ 0,2 = 1,87푚/푠
Zastosowania Równania Bernoullego - zadania
Notatki w Internecie| Podstawy mechaniki płynów – materiały do ćwiczeń
5
Zadanie 5 Przewodem o średnicy d = 0,05 m przepływa ciecz idealna o strumieniu Q = 0,01 m3/s. Na końcu
przewodu jest umieszczony dyfuzor o średnicy wylotowej D = 0,1 m, którym ciecz wypływa do
atmosfery. Obliczyć wysokość podciśnienia panującego w przekroju wlotowym dyfuzora.
Rozwiązanie: Równanie Bernoullego dla przekroju wlotowego i wylotowego dyfuzora ma postać:
푝휌 ∙ 푔 +
푣2 ∙ 푔 =
푝휌 ∙ 푔 +
푣2 ∙ 푔
푝 − 푝휌 ∙ 푔 =
푣2 ∙ 푔 −
푣2 ∙ 푔
Po oznaczeniu wysokości podciśnienia 푝 − 푝휌 ∙ 푔 = ℎ
Uwzględniając, że:
푣 =4 ∙ 푄휋 ∙ 푑
푣 =4 ∙ 푄휋 ∙ 퐷
Otrzymujemy:
ℎ =8 ∙ 푄
휋 ∙ 푑 ∙ 푔 ∙ 1 −푑퐷 =
8 ∙ 푄0,01휋 ∙ 0,05 ∙ 9,81 ∙ 1 −
0,050,1 = 1,24푚
Zadanie 6
Zastosowania Równania Bernoullego - zadania
Notatki w Internecie| Podstawy mechaniki płynów – materiały do ćwiczeń
6
Rurociągiem, przedstawionym na rysunku stosunku średnic D/d = 2, przepływa powietrze. Obliczyć
stosunek wskazań manometrów ∆z1 / ∆z2 wypełnionych tą samą cieczą.
Rozwiązanie: Ponieważ płyn jest doskonały, więc na całym odcinku rurociągu o średnicy d występuje ciśnienie p1 i
prędkość v1, na odcinku o średnicy D natomiast odpowiednio p2 i v2. Z prawa naczyń połączonych dla
obu manometrów otrzymamy.
푝 + ∆푧 ∙ 휌 ∙ 푔 = 휌 ∙푣2 + 푝
푝 + ∆푧 ∙ 휌 ∙ 푔 = 휌 ∙푣2 + 푝
Z równania Bernoullego otrzymujemy:
푝휌 ∙ 푔 +
푣2 ∙ 푔 =
푝휌 ∙ 푔 +
푣2 ∙ 푔
푝 − 푝 = 휌 ∙푣 −푣2
Po podstawieniu tego wyrażenia do równań wynikających z prawa naczyń połączonych, otrzymamy:
∆푧 =휌휌 ∙
푣2 ∙ 푔
∆푧 =휌휌 ∙
푣2 ∙ 푔
Zatem,
∆푧∆푧 =
푣푣
Z równania ciągłości:
푣푣 =
퐷푑
Po podstawieniu:
∆푧∆푧 =
퐷푑 = 16
Zadanie 7
Zastosowania Równania Bernoullego - zadania
Notatki w Internecie| Podstawy mechaniki płynów – materiały do ćwiczeń
7
Obliczyć prędkość v1 przepływu powietrza o gęstości ρ = 1,2 kg/m3 przez dyszę o średnicach d = 0,1
m, D = 0,2 m. Manometr różnicowy, wypełniony cieczą o gęstości ρm =780 kg/m3 wskazuje wychylenie
∆h = 0,3 m.
Rozwiązanie: Równanie Bernoullego dla przekrojów 1-1 i 2-2 ma postać:
푝휌 ∙ 푔 +
푣2 ∙ 푔 =
푝휌 ∙ 푔 +
푣2 ∙ 푔
Prawo naczyń połączonych dla punktów A i B, po pominięciu ciężaru słupa powietrza w stosunku do
słupa rtęci, wyrażone jest równaniem:
푝 = 푝 + 휌 ∙푣2 +∙ 휌 ∙ 푔 ∙ ℎ
Z obu równań wynika, że:
푣 =2 ∙ 푔 ∙ ℎ ∙ 휌
휌 =2 ∙ 9,81 ∙ 0,3 ∙ 780
1,2 = 67,8푚/푠
Zadanie 8
Zastosowania Równania Bernoullego - zadania
Notatki w Internecie| Podstawy mechaniki płynów – materiały do ćwiczeń
8
Woda przepływa ze zbiornika A do zbiornika B za pomocą lewara. Obliczyć średnicę lewara d
niezbędną do uzyskania strumienia objętości Q=4·10-3 m3/s, dla różnicy poziomów ∆h = 3m. Obliczyć
także podciśnienie w kolanie lewara, gdy znajduje się ono na wysokości h = 2 m nad zwierciadłem
zbiornika A.
d
A B
pbv
Rozwiązanie: Napiszmy równanie Bernoullego przyjmując przekrój 1-1 na poziomie zwierciadła cieczy w zbiorniku A
oraz przekrój 2-2 na wylocie z lewara
푝휌 ∙ 푔 + 푧 + ∆ℎ =
푝 + 휌 ∙ 푔 ∙ 푧휌 ∙ 푔 +
푣2 ∙ 푔
푣 = 2 ∙ 푔 ∙ ∆ℎ
푄 =휋 ∙ 푑4 ∙ 2 ∙ 푔 ∙ ∆ℎ
푑 =4 ∙ 푄
휋 ∙ 2 ∙ 푔 ∙ ∆ℎ=
4 ∙ 4 ∙ 10휋 ∙ √2 ∙ 9,81 ∙ 3
= 0,026푚
Równanie Bernoullego dla przekrojów 1-1 i 3-3 przez punkt szczytowy lewara będzie miało postać:
푝휌 ∙ 푔 =
푝 − 푝휌 ∙ 푔 + ℎ +
푣2 ∙ 푔
stąd
푝 = 휌 ∙푣2 + 휌 ∙ 푔 ∙ ℎ = 휌 ∙ 푔 ∙ (∆ℎ + ℎ) = 1000 ∙ 9,81 ∙ (3 + 2) = 49050푃푎
Zadanie 9
Zastosowania Równania Bernoullego - zadania
Notatki w Internecie| Podstawy mechaniki płynów – materiały do ćwiczeń
9
Pompa pobiera wodę ze studni o głębokości H = 5m w ilości Q=4 10-3 m3/s rurociągiem o średnicy d =
0,05 m. Na jakiej dopuszczalnej wysokości h nad ziemią można ustawić pompę, aby mogło nastąpić
zassanie wody. Opory przepływu w odcinku ssawnym pompy pominąć. Przyjąć pb=105 N/m2 oraz
ciśnienie nasycenia wody pV = 2 103 N/m2.
Rozwiązania: Równanie Bernoullego dla przekroju 1-1 leżącego na zwierciadle wody w studni oraz przekroju
wlotowego pompy 2-2 będzie miało postać:
푝휌 ∙ 푔 =
푃휌 ∙ 푔 +
푣2 ∙ 푔 + 퐻 + ℎ
W celu zachowania ciągłości przepływu
푝 ≥ 푝
Zatem
ℎ ≤푝 − 푝휌 ∙ 푔 −
푣2 ∙ 푔 − 퐻
ℎ ≤푝 − 푝휌 ∙ 푔 −
8 ∙ 푄2 ∙ 푔 ∙ 푑 − 퐻
Po podstawieniu wartości:
ℎ ≤ 4,8푚
Zadanie 10
Zastosowania Równania Bernoullego - zadania
Notatki w Internecie| Podstawy mechaniki płynów – materiały do ćwiczeń
10
Z zamkniętego zbiornika, w którym panuje nadciśnienie pn = 0, 5 105 N/m2 wypływa ciecz doskonała
przez przewód o średnicy D = 0, 08 m, konfuzor o długości l=0, 2 m i przewód o średnicy d=0, 04 m.
Obliczyć rozkład ciśnienia w konfuzorze, gdy H = 2 m, a do atmosfery wpływa ciecz o ciśnieniu Pb =
105 N/m2.
Rozwiązanie: Prędkość wypływu płynu ze zbiornika:
푣 = 푣 = 2 ∙ 푔 ∙푝휌 ∙ 푔 + 퐻
Natomiast ciśnienie
푝 = 푝
Równanie Bernoullego dla przekroju x-x i przekroju 2-2 będzie miało postać
푝휌 ∙ 푔 +
푣2 ∙ 푔 =
푝휌 ∙ 푔 +
푣2 ∙ 푔
Stąd
푝 = 푝 +휌2 ∙
(푣 − 푣 )
Z równania ciągłości otrzymamy:
푣 = 푣 ∙푑푑
Gdzie
푑 = 퐷 −푥퐼 ∙ (퐷 − 푑)
Po podstawieniach i redukcji równanie opisujące rozkład ciśnienia w konfuzorze przybiera postać:
푝 = 푝 + (푝 + 휌 ∙ 푝 ∙ 퐻) ∙ 1 −푑
퐷 − 푥퐼 ∙ (퐷 − 푑)
Ciśnienie w przekroju wlotowym 1-1:
푝 = 푝 + (푝 + 휌 ∙ 푝 ∙ 퐻) ∙ 1 −푑퐷
Dla danych wartości:
푝 = 1,655 ∙ 10 푃푎
Zadanie 11
Zastosowania Równania Bernoullego - zadania
Notatki w Internecie| Podstawy mechaniki płynów – materiały do ćwiczeń
11
Obliczyć prędkość v z jaką ciecz doskonała będzie wypływać z fontanny Herona oraz wysokość H, na
jaką podniesie się struga, jeśli h1 = 25 m, h2 = 5 m, h 3 = 1 m.
h 1
h 2h 3
H
Rozwiązanie: Z prawa naczyń połączonych wynika, że na powierzchnię cieczy z zbiorniku III działają nadciśnienie
h1. Ponieważ zbiornik II jest połączony ze zbiornikiem III przewodem C, więc na powierzchnię cieczy w
zbiorniku II działa to samo nadciśnienie co w zbiorniku III. Na podstawie prawa naczyń połączonych
otrzymuje się równanie:
ℎ = ℎ + ℎ +퐻
Skąd:
퐻 = ℎ − (ℎ + ℎ ) = 25 − (5 + 1) = 19푚
Prędkość w przekroju wylotowym można obliczyć ze wzoru Torricellego:
푣 = 2 ∙ 푔 ∙ ℎ = 19,3푚/푠
Zadanie 12
Zastosowania Równania Bernoullego - zadania
Notatki w Internecie| Podstawy mechaniki płynów – materiały do ćwiczeń
12
W rurociąg o średnicy D = 0,18 m wbudowano zwężkę Venturiego o średnicy przewężenia d = 0,06 m.
Do zwężki podłączono manometr rtęciowy. Obliczyć strumień objętościowy wody, jeśli wysokość
mierniczego spadku ciśnienia ∆hm=0,25 m, ρ = 1000 kg/m3, ρr = 13600 kg/m3.
Rozwiązanie: Równanie Bernoullego dla przekrojów 1-1 i 2-2 będzie miało następującą postać:
푝휌 ∙ 푔 +
푣2 ∙ 푔 =
푝휌 ∙ 푔 +
푣2 ∙ 푔
po przekształceniach:
푝 − 푝 =휌2 ∙
(푣 − 푣 )
Z równania ciągłości:
푣 = 푣 ∙퐷푑
Zatem
푝 − 푝 =휌 ∙ 푣2 ∙
퐷푑 − 1
푣 =2 ∙ (푝 − 푝 )
휌 ∙1
퐷푑 − 1
Różnicę ciśnień p1-p2 można obliczyć na podstawie prawa naczyń połączonych:
푝 + 휌 ∙ 푔 ∙ 푧 = 푝 + 휌 ∙ 푔 ∙ (푧 − ∆ℎ )+ ∆ℎ ∙ 휌 ∙ 푔
stąd
푝 − 푝 = ∆ℎ ∙ (휌 − 휌) ∙ 푔
Po podstawieniu:
푄 =휋 ∙ 퐷4 ∙
2 ∙ ∆ℎ ∙ (휌 − 휌) ∙ 푔휌 ∙
1퐷푑 − 1
Po podstawieniu wartości liczbowych:
푄 = 0,124푚푠
Zadanie 13.
Zastosowania Równania Bernoullego - zadania
Notatki w Internecie| Podstawy mechaniki płynów – materiały do ćwiczeń
13
Zbiornik hydroforowy jest wypełniony cieczą idealną o gęstości ρ = 1000 kg/m3 do wysokości H = 2 m.
Na zwierciadło wody działa nadciśnienie pn=5.105 N/m2. W pewnym momencie w zbiorniku został
wykonany mały otwór na wysokości H1=1,5 m. Obliczyć w jakiej odległości s od zbiornika nastąpi
zetknięcie strumienia z poziomem dna.
Rozwiązanie:
Drogę przebytą przez strumień można obliczyć w dwu kierunkach: poziomym i pionowym. Ponieważ w
kierunku poziomym ruch jest jednostajny, więc w czasie t zostanie przebyta droga :
푠 = 푣 ∙ 푡
Natomiast w kierunku pionowym dla ruchu jednostajnie przyspieszonego:
퐻 =푔 ∙ 푡2
Ponieważ czas ruchu strumienia w obu kierunkach jest jednakowy i parametr t można z obu równań
wyeliminować, więc:
푠 = 푣 ∙2 ∙ 퐻푔
Jeśli się uwzględni, że:
푣 = 2 ∙ 푔 ∙푝휌 ∙ 푔 + 퐻 − 퐻
To:
푠 = 2 ∙푝휌 ∙ 푔 + 퐻 −퐻 ∙ 퐻
푠 = 2 ∙5 ∙ 10
1000 ∙ 9,81 + 2 − 1,5 ∙ 1,5 = 17,4푚
Top Related