Wykład 7: Bryła sztywnacz.2.
Dr inż. Zbigniew Szklarski
Katedra Elektroniki, paw. C-1, pok.321
http://layer.uci.agh.edu.pl/Z.Szklarski/
16.11.2020 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
2
Przykłady obliczeń tensora momentu bezwładności
Dyskretny rozkład masy
Rozważyć układ czterech mas m(a,a), 2m(a,-a), m(-a,-a) oraz 2m(-a,a),
rozmieszczonych w wierzchołkach kwadratu. Wzajemne odległości
między masami nie ulegają zmianie. (a) Znaleźć tensor momentu
bezwładności tego układu mas.
Odp.:a)
( ) ..22 =−=i
iiixx xrmI−=i
iiixy yxmI
−=i
iiixz zxmI
==i
iiyy xmI 2
( ) ( ) +=−=i
iiii
iiizz yxmzrmI 2222 ..
yxI=
==== zyyzzx III 0
a
-a
x
y
?
=2
22
22
1200
062
026
ma
mama
mama
I
16.11.2020 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
3
(b) Znaleźć wektor momentu pędu tego układu mas podczas obrotu z prędkością kątową =i i sprawdzić czy jest on równoległy do wektora prędkości kątowej.
b)𝐿 = ሚ𝐼 ∙ 𝜔 =
6𝑚𝑎2 2𝑚𝑎2 02𝑚𝑎2 6𝑚𝑎2 00 0 12𝑚𝑎2
°𝜔00
= 6𝑚𝑎2𝜔 Ƹ𝒊 + 2𝑚𝑎2𝜔 Ƹ𝒋
16.11.2020 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
4
Liniowy rozkład masy
Cienki jednorodny pręt o długości l i gęstości liniowej
obraca się wokół osi OZ
constdy
dm==
== dmrII zzxx
2oraz
=yyI
+===
− −883
1
3
332
2
2
2
32 ll
l
mydyyI
l
l
l
l
zz
czyli128
2
3
23 mll
l
mI zz ==
X
Y
Z
dm
r
0
Jeżeli przesuniemy oś obrotu na koniec pręta, to I’= ?
16.11.2020 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
5
R
Cienki jednorodny dysk o promieniu R i gęstości
powierzchniowej
Powierzchniowy rozkład masy
dr
XY
Z
ds
dm=
yyxx II =
= dmrI zz2
pozostałe momenty bezwładności obliczymy korzystając z własności ciała o symetrii osiowej - własności tensora momentu bezwładności:
dm= ·ds = · 2 ·r·dr
===R
zz
mRR
R
mdrrI
0
24
2
3
2422
więc
16.11.2020 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
6
( ) ( ) ( ) −+−+−=++i i i
iiiiiiiiizzyyxx zrmyrmxrmIII 222222
2222
iiii zyrx −−=
Wiadomo, że
( ) ( ) ( )=−+−++=++ i i i
iiiiiiiiizzyyxx zrmyrmzymIII 222222
a więc
==++VV
zzyyxx dVrdmrIII 22 22
gdzie
( ) =−+−++=i
ii
i
iiiiiii rmzryrzym 2222222 2
++= iiii zyxr
Dla ciągłego rozkładu masy:
R
16.11.2020 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
7
yyxx II =
===+S
zzxx dSrdmrII 22 222
22
22 mR
mRI xx =+
4
2mRII yyxx ==
Dla rozważanego dysku
otrzymujemy więc
a więc
stąd
XY
Z
2
2mRI zz =
==R
mRR
R
mdrr
0
24
2
3
42222
16.11.2020 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
8
Lub obliczając inaczej: ( ) −== dmxrII yyxx22
skoro
a x2+ y2+ z2 =r2 oraz x = y a więc r2= 2x2 x2 = ½ r2
==
−==
S
yyxx
R
R
mrdr
rdS
rrII
42
22
4
2
222
4
2mRII yyxx ==
16.11.2020 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
9
Powłoka kulista (sfera)
Z
R
Y
X
Gęstość powierzchniowa powłoki o promieniu R
wynosids
dm=
Skoro jest symetria kulista to:
zzyyxx III ==
x2+ y2+ z2 =r2 oraz x = y= z r2= 3x2
3
22 rx = czyli ==
−=== 22
22
3
2
3
2
3mRdmrdm
rrIII zzyyxx
Lub inaczej:
3𝐼𝑥𝑥 = 2න𝑅2𝑑𝑚
𝐼𝑥𝑥 =2
3න𝑅2𝑑𝑚 =
2
3𝑚𝑅2
16.11.2020 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
10
Objętościowy rozkład masy
• Kula o promieniu R i gęstości objętościowej
r
dm
dr
R
MMRI sfery2
3
2=
dmrdI 2
3
2= = dII
dVrdmrI 22
3
2
3
2 ==
drrdV 24=
25
3
5
0
4
5
2
3
415
8
15
8
3
8MRR
R
MRdrrI
R
====
16.11.2020 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
11
Inny sposób obliczeń:
𝑑𝑚 = 𝜌 ∙ 𝑑𝑉 = 𝜌𝜋𝑅2𝑑𝑦 = 𝜌𝜋 𝑟02 − 𝑦2 𝑑𝑦
𝑑𝐼 =1
2𝑑𝑚𝑅2 =
𝜌𝜋
2𝑟04 − 2𝑟0
2𝑦2 + 𝑦4 𝑑𝑦
𝐼 = න𝑑𝐼 =𝜌𝜋
2න−𝑟0
𝑟0
𝑟04 − 2𝑟0
2𝑦2 + 𝑦4 𝑑𝑦 =
=8
15𝜌𝜋𝑟0
5
Kulę o promieniu 𝑟0 składamy z plastrów o bieżącym promieniu R i grubości dy:
𝑀 = 𝜌𝑉 =4
3𝜋𝜌𝑟0
3 𝐼 =2
5𝑀𝑟0
2
16.11.2020 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
12
• Symetria cylindryczna
walec o promieniu podstawy R, wysokości H i masie M
+
+
=
2
22
22
2
100
012
1
4
10
0012
1
4
1
MR
MHMR
MHMR
IwX
Y
Z
X
Y
Z
=
000
012
10
0012
1
2
2
ML
ML
I p
cienki pręt o długości L i masie M
Przykład:
Dwie masy punktowem1 = 200 g im2 = 300 g są umieszczone na końcach
sztywnego, nieważkiego pręta o długości r = 50 cm. Pręt umieszczony jest
pod kątem =200 względem osi OX, a środek masy tego układu ciał znajduje
się w środku układu współrzędnych XY. Pręt wiruje z częstotliwością f =
2 Hz, a osią obrotu jest oś OY. Obliczyć składowe wektora momentu
pędu oraz podać jego kierunek.
x1y2
y1x2
m1
m2
Y
X
Plan:
• środek masy
• składowe tensora
• składowe momentu pędu
• tg
16.11.2020 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
13
Środek masy:
Składowe tensora:
=
i
iism rmm
r1
m1
m2
r1
r2
r
mrrr 2,012 =−=
mmm
rmr 3,0
5,0
5,03,0
21
21 =
=
+=
mrx 28,0cos11 −=−=
mrx 19,0cos22 ==
mry 1,0sin11 −=−=
mry 07,0sin22 ==
( ) ( )22222
21
211 xrmxrmI xx −+−=
( ) ( ) 20036,00012,00024,0036,004,03,0078,009,02,0 mkgI xx =+=−+−=
( ) ( ) 222
222
21
211 0265,00105,0016,0 mkgyrmyrmI yy =+=−+−=
0222111 =−− zxmzxm=zzI
222111 yxmyxmII yxxy −−==
20096,0004,00056,0 mkg −=−−=
x1
16.11.2020 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
14
( ) −=i
iiixx xrmI 22 −=i
iiixy yxmI
I =3,6 −9,6 0−9,6 26,5 00 0 0
∙ 10−3
Składowe momentu pędu:
tg
76,26,9
5,26−=−===
yy
xy
x
y
I
I
L
Ltg o08,70−=
m1
m2
L
16.11.2020 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
15
𝐿 = ሚ𝐼 ∙ 𝜔 =3,6 −9,6 0−9,6 26,5 00 0 0
°04𝜋0
∙ 10−3 = −38,4𝜋 ∙ 10−3, 106𝜋 ∙ 10−3, 0
16.11.2020 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
16
Toczenie bez poślizgu
Toczenie bez poślizgu jest specyficznym rodzajem ruchu
bryły sztywnej, będącym złożeniem ruchu postępowego
środka masy i ruchu obrotowego wokół środka masy.
Przyczyną toczenia jest występowanie tarcia statycznego.
2R
śm
16.11.2020 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
17
ωR
ωR
śm
vśm
vśm
vśm
2vśm
v = 0
vśm
ruch obrotowy
wokół osi
przechodzącej
przez środek
masy
ruch postępowy toczenie bez
poślizgu jako
złożenie ruchówRvśm =
Raśm =
ωR
16.11.2020 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
18
Energia toczącego się ciała.
całkowita
energia kinetyczna
energia kinetyczna
ruchu postępowego
energia kinetyczna
ruchu obrotowego
2śmkp mv
2
1E =
20
2
1IEko =
Rvśm =
22kp mR
2
1E =
20
22
2
1
2
1 ImREk +=
Ek = Ekp + Eko
16.11.2020 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
19
2walca mR
2
1I =
2kuli mR
5
2I =
2obr mRI =
Całkowita energia kinetyczna
2śm
2222kw mv
4
3mR4
1mR2
1E =+=walca
2śm
2222kk mv
10
7mR5
1mR2
1E =+=kuli
obręczy 2śm
2222kobr mvmR
2
1mR2
1E =+=
Ekobręczy > Ekwalca > Ekkuli
16.11.2020 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
20
Przykład
Na jednorodny walec o masie m i promieniu R nawiniętajest nitka, której wolny koniec zaczepiono do sufitu. Swobodnie puszczony walec spada obracając się i powoduje rozwijanie się nitki – jak na rysunku obok. Ruch obrotowy walca wywołany jest działaniem momentu siły M = mgR.
Przyspieszenie liniowe znajdujemy
z równania ruchu gdzie I jest
momentem bezwładności walca.
Tak więc skąd a = 2g !
R
mg
2
2
dt
dRa
=
2
2
dt
dIM
=
R
amRmgR = 2
2
1a = 2/3 g
16.11.2020 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
21
Zasada zachowania momentu pędu
dt
LdM zew
=W układzie inercjalnymwypadkowy moment sił
jest równy
zmianie momentu pędubryły sztywnej
0=dt
Ld
Jeżeli to czyli 0=zewM
constL =
=
16.11.2020 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
22
Przykład
Na rysunku przedstawiono studenta siedzącego na stołku obrotowym. Student pozostaje w spoczynku, trzymając w ręku koło rowerowe, które ma moment bezwładności Ik=1.2 kg∙m2 względem swojej osi. Koło obraca się z prędkością kątową ωk = 3,9 obrotów/s. W pewnej chwili student obraca koło w wyniku czego student, stołek i środek masy koła zaczynają się obracać razem wokół osi obrotu stołka. Moment bezwładności tego ciała złożonego wynosi Ic=6,8 kg ∙m2. Obliczyć prędkość kątową ωciała po obróceniu koła. W jakim kierunku obraca się student wraz z kołem?
HRW, 1
16.11.2020 Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji - Elektronika
23
Rozwiązanie
Z zasady zachowania momentu pędu:
kc LL 2=
kkcciał II 2=
kck LLL −=
c
kkciałI
I 2=
poprzed LL
=
Top Related