Wykład 2
Wahadło – rezonans parametryczny
C
l
B’
B
l+Δ
θ0’θ0
A
1
Wykład 2
Wahadło - rezonans parametryczny
22
2
0
)()(
)cos1)((
lE
lmgEEE
dtdm
kinB
BA
')()()( 22
Bdtd
Bdtd mllm
)cos1()( '
0
22
2' mgllEdtdm
kinB
l
gB
)cos1(22 0l
gB
)cos1(2'
2'0
)cos1()cos1()( '
0
3
0
3 ll
'
00
3 cos1)cos1()1( l 0
'
0
'' BBBB II C
l
B’
B
l+Δ
θ0’θ0
A
2
Wykład 2
......)()()()(0
2
2
0
2
021
00 xdx
Udxdx
dU xxxxxUxU
dxdUxF )(
)()()()( 0002
2
xxkxxxxFdx
Ud 3
Wykład 2Cząsteczka Ar2
Oddziaływanie van der Waalsa
6
0
12
00 2
r
R
r
RUU
Young and Freedman, University Physics, Pearson International Edition 4
Wykład 2Cząsteczka Ar2
6
0
12
00 2
r
R
r
RUU
1/
/1
1
/1
112
0
0
7
0
13
00
0
Rx
Rrx
RxRxR
UFr
kxxR
UFr
2
0
072
kgm
mR
JU
26
10
0
21
0
1063.6
1082.3
1068.1
Hzk
f
mNk
111082
1
/829.0
Young and Freedman, University Physics, Pearson International Edition
5
Wykład 1Cząsteczka H2
+
Hzf 13
0 109.6
P.W. Atkins, Chemia fizyczna, PWN6
Wykład 2 Oscylator anharmoniczny
32
3
1
2
1)( skxkxxU
022
0
2
0
2
xsxx
skxkxF
sA<<1
)2cos(2
1
2
1cos2
1))2cos()(cos( xtqtAx
))2cos(4)(cos(
))2sin(2)(sin(
2 tqtAx
tqtAx
...))2(cos)2cos()cos(2)((cos 22222 tqttqtAx 7
Np.
Wykład 2
Oscylator anharmoniczny
0...)(cos
))2cos((cos(
)2cos(4)(cos(
222
0
1
2
0
2
0
2
tAs
xtqtA
tqtA
0
22
0 0)()cos( At
)2cos(2
1
2
1cos2
02
14)2cos( 2
0
22
0
AsqqAt sAq
6
1
wyraz stały2
12
1sAx 8
Wykład 2
Oscylator anharmoniczny
2
002
1)2cos(
6
1)cos( sAtsAtAx
TsAx 2
2
1
9
Wykład 2
Drgania tłumione
Siła oporu:
vRFop
6
dla powietrza lepkość:ms
kg5108.1
Ogólnie siła oporu: bvdt
dxbFop
D. Halliday, R. Resnick, J. Walker Podstawy fizyki
10
Wykład 1
Halliday, Resnick, Walker, Fundamentals of Physics
Siła oporu
Dla małych prędkości:
Dla dużych prędkości:
Fop = -kv
Fop = -Dv2 v
v
D =1
2CrS
C- współczynnik oporuρ- gęstośćS – przekrój poprzeczny
11
Wykład 1
Halliday, Resnick, Walker, Fundamentals of Physics
Prędkość graniczna (duże prędkości):
mg= Dvt
2
vt =mg
D
Ile wynosi prędkość graniczna skoczkaspadochronowego (m=70 kg, D=0.25 kg/m)?
vt = 52.4m
s=188
km
h
Średnie prędkości graniczne w powietrzu:
Skoczek (przed otwarciem 200 km/hspadochronu)
Piłka baseballowa 150 km/hPiłka tenisowa 110 km/hPiłka pingpongowa 30 km/hKropla deszczu 25 km/hSkoczek (po otwarciu 18 km/h
spadochronu)
12
Wykład 2
Drgania tłumione
2
0
2
2,1
2
0
2
2
0
2
0
02
02
2
0
2
2
2
2
2
2
t
dtdx
dt
xd
mk
mb
dtdx
dt
xd
dtdx
dt
xd
Aex
x
bkxm
bkxm
Równanie
charakterystyczne
D. Halliday, R. Resnick, J. Walker Podstawy fizyki
13
21
0
Wykład 2
o
22
2,1
o
i
0
2
0
2
2,1
w zależności od relacji pomiędzy współczynnikiem tłumienia a częstością ruchu swobodnego
pierwiastki równania charakterystycznego przyjmują następujące wartości:
dwa pierwiastki
o wartościach
zespolonych
pierwiastek
podwójny
dwa pierwiastki
rzeczywiste
14
Wykład 2
1. Słabe tłumienie o
gdzie
- obserwujemy drgania o amplitudzie
malejącej w czasie
- częstotliwość drgań jest mniejsza niż
częstotliwość drgań nie tłumionych
titi eAeAx )(
2
)(
1
)cos(0 teAx t )cos()( ttA
22
2,1
o
i
D. Halliday, R. Resnick, J. Walker Podstawy fizyki15
Wykład 2
1. Słabe tłumienie o teAx t cos0
m
b
2
Young and Freedman, University Physics, Pearson International Edition 16
Wykład 2
czas relaksacji
etA
tA
)(
)(
logarytmiczny dekrement tłumienia
1
dobroć układu drgającego
równoważne
),(2
TttEEQ
TTmb
TtA
tA
2)(
)(ln
eTTnQ
17
Wykład 2 Tłumienie słabe o
teAx t cos0
teAteA tt
dtdx sincos 00
tg
)cos(cos0
teA t
21
12costg
)cos()cos( 00
22
0 teAteA tt
tttg sin)cos(022
22
0
2
tAdtdx sin00
)sin(cos0 ttgteA t
cos
10 )sinsincos(cos tteA t
18
Wykład 2
Drgania tłumione
-0.80
-0.60
-0.40
-0.20
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
1.20
-5.00 0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00
Czas
Am
plitu
da
wychylenie
prędkość
-1.00
-0.50
0.00
0.50
1.00
1.50
-5.00 0.00 5.00 10.00 15.00 20.00 25.00
położenie
prędkość
β = 0.02, ω = 0.3, φ = -0.007
β = 0.1, ω = 0.3, φ = -0.32
teAx t cos0
19
Wykład 2Średnia energia układu (słabe tłumienie)
tt
p ekAtekAkxE 222222
4
1)(cos
2
1
2
1
t
k
t
k
ekAE
temAxmE
22
222
0
22
4
1
)(cos2
1
2
1
tekAE 22
2
1
teAkdt
EdP 22 Moc tracona przez układ:
20
Wykład 2
)(cos2 22
0
22 temAvbvvFP t
op
tekAP 22
Dobroć
22
2)2/1(22
22
22
TTekA
ekA
TP
EQ
t
t
Kilka typowych wartości Q
Ziemia dla fal sejsmicznych 250-1400
Struna fortepianu lub skrzypiec 103
Rezonator mikrofal z wnęką miedzianą 104
Atom wzbudzony 107
Jądro wzbudzone 1012
21
Wykład 2
EEQ
2
22
Wykład 2
2. Tłumienie krytyczne
21
0
rozwiązanie ma postać: teBtAx )(
Jeżeli równanie charakterystyczne ma jednakowe
pierwiastki rozwiązanie jest kombinacją
wielomianu i funkcji eksponencjalnej
23
Wykład 2 Tłumienie krytyczne0
teBtAx )(
Axtx 0)0(
0)0( ABtdtdx
0xAB
tetxx )1(0
tetxx 0)1( 00
0 5 10 15 20 25 300,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
Wychyle
nie
(cm
)
Czas (s)
cmx
s
1
2,0
0
1
Warunki początkowe, np.
24
Wykład 2 Tłumienie krytyczne0
teBtAx )(
Atx 0)0(
0)0( VABtdtdx
tteVx 0
s
cmV
s
1
2,0
0
1
0 5 10 15 20 25 300,0
0,5
1,0
1,5
2,0
Wychyle
nie
(cm
)Czas (s)
Warunki początkowe, np.
25
Wykład 2
3. Silne tłumienie0 2
0
2
2,1
pierwiastki równania charakterystycznego są rzeczywiste i ujemne
rozwiązanie równania ruchu ma postać:tt
eAeAx 21
21
czyli sumy eksponencjalnych zaników
to czy nastąpi jednorazowe przejście przez punkt
równowagi zależy od warunków początkowych
ruch aperiodyczny
26
Wykład 2 Tłumienie silne0
tteAeAx 21
21
2
0
2
2,1
021)0( xAAtx
02211 AAdtdx
102 AxA
0)( 21011 AxA
21
20
1
xA
21
10
2
xA
)( 12
21
0
21
ttxeex
Warunki początkowe, np.
27
Wykład 2
)( 12
20
2
0
212
ttxeex
2
0
2
2,1
Tłumienie bardzo silne
0
01 22
ttxexex 110
02)2(
tt
exexx
2
20
22
20
0
...))1((
0
Bardzo powolny zanik wychylenia
28
Wykład 2
porównanie czynników tłumiących dla tych trzech przypadków
mk
mb 02
0
0
2
0
2
Tłumienie słabe
Tłumienie krytyczne
Tłumienie silne
29
Wykład 2
Układ LRC
012
2
QRL
I
RIL
Cdt
dQ
dt
Qd
dt
dQ
C
Q
dtdI
012
2
QLCdt
dQ
LR
dt
Qd
2
2
4
122
0
2
2
01
2
L
RLC
LC
LR
dla 2
2
4
1
L
RLC
i rozwiązanie ma postać
)cos(0 teQQ t
30
Wykład 2
012
2
QLCdt
dQ
LR
dt
Qd
Young and Freedman, University Physics, Pearson International Edition31
Top Related