Download - Michał Heller-Kosmologia kwantowa

8/6/2019 Michał Heller-Kosmologia kwantowa

http://slidepdf.com/reader/full/michal-heller-kosmologia-kwantowa 1/102

KOSMOLOGIA KWANTOWA

NA iCliłKACH

NAUKIW 2000 roku w serii ukazały się:Michio Kaku: Wizje, czyli jak nauka zmieni świat w XXI wiekuRudolf Kippenhahn: Tajemne przekazy. Szyfry, Enigma i karty chipoweGiną Kołata: Klon. Doiły była pierwszaDonald Goidsmith: W poszukiwaniu Ŝycia na MarsieMeyer Friedman, Gerald W. Friedland: Dziesięć największych odkryć w medycynieDeborah B l urn: Mózg i płeć. O biologicznych róŜnicach międzykobietami a męŜczyznamiJared Diamond: Strzelby, zarazki, maszyny. Losy ludzkich społeczeństwZ powrotem na Ziemię. Spór o pochodzenie cywilizacji ludzkich.Pod redakcja Andrzeja K. WróblewskiegoWitold Sadowski: Femme fatale. Trzy opowieści o królowej naukAlan H. Guth: Wszechświat inflacyjny. W poszukiwaniu nowej teoriipochodzenia kosmosuW 2001 w serii ukazały się:Ed Regis: Nanotechnologia, czyli świat cząsteczka po cząsteczceBrian Greene: Piękno Wszechświata. Superstruny, ukryte wymiaryi poszukiwanie teorii ostatecznejFred Hoyle: Mój dom kędy wieją wiatry. Stronice z Ŝycia kosmologaRichard Dawkins: Rozplatanie tęczy. Nauka, złudzenia i apetyt na cudaCarI Sagan: Miliardy, miliardy. RozwaŜania o Ŝyciu i śmierci u schyłkutysiącleciaAndrzej Jerzmanowski: Geny i Ŝycie. Niepokoje współczesnego biologaW przygotowaniu:John J. Medina: Zegar Ŝycia. Dlaczego się starzejemy? Czy moŜnacofnąć czas?E. C. Krupp: Obserwatorzy nieba, szamani i królowie. Astronomiai archeologia mocyMICHAŁ HELLERKOSMOLOGIAKWANTOWA"Prószy nski i S-kaWarszawa 2001

Copyright (c) by Michał Heller 2001Projekt okładkiKatarzyna A. Jarnuszkiewicz

Ilustracja na okładceScience Photo Library/EAST NEWSIlustracje w ksiąŜceDorota Ostaszewskana podstawie szkiców AutoraISBN 83-7255-054-9WydawcaPrószyński i S-ka SAul. GaraŜowa 702-651 WarszawaDruk i oprawaOPOLGRAFSpółka Akcyjna

ul. Niedziałkowskiego 8/1245-085 Opole



SPIS RZECZYWStęp 91 Czy współczesna fizyka jest chora na schizofrenię? 15Stulecie fizyki 15Rozdwojenie jaźni i strategia przybliŜeń 17W erze Plancka 20

2 Względność i kwanty 22Teorie i eksperymenty 22Czasoprzestrzeń 23Geometria przestrzeni Hllberta 25Geometria czasoprzestrzeni 28Obserwable 303 Jak teoretycy traktują Wszechświat? 33Epoka Plancka 33Ostateczny akcelerator 35Co to jest model kosmologiczny? 36Modele Friedmana 37Co wolą obserwatorzy, a co teoretycy? 404 Kwantowanie kanoniczne 44Program kanonicznego kwantowania 44Przestrzeń stanów i kwantowanie 45Geometrodynamika Wheelera 48Kwantowy świat Wheelera-DeWitta 52Trudności i perspektywy 54

6 • KOSMOLOGIA KWANTOWA5 Ku jednościJedność w wielościUnifikacja oddziaływań Siły i symetrieSupersymetria l superuniflkacjaSupergrawitacjaSuperstruny6 Wszechświat HawkingaParowanie czarnych dziurCzasoprzestrzenne tubyKwantowe stworzenie WszechświataBez warunków brzegowych i początkowych7 Wszechświat i instantonyProgram badawczy HawkingaInstanton i inflacjaInflacja w otwartym wszechświecieFluktuacje i struktura Wszechświata8 Teoria MOcean struktur

Struny l superstrunyŚwiat wielkich wymiarówOdkrywanie M-asywu9 Ekpyrotyczny wszechświatM-teorla l kosmologiaZałoŜenia modeluScenariusz początkuChwila na refleksję 10 Struktura początku i końcaRywaleO entropii geometrycznieEntropia l WszechświatEntropia czarnych dziur

9191



9293969898100

104106

SPIS RZECZY • 756565760646466707071737679798182838484858789Termodynamika w pracowni Pana BogaStruktura osobliwościKwantowa teoria grawitacjiPod prąd11 Nieprzemienny wszechświatGdzie szukać?Nieprzemlenność l jej następstwaNieprzemienne modeleBezczasowa fizykaPrzyczynowość Nieprzemienny wszechświat12 Od superstrun do geometrii nieprzemlenneJZero-brany

Piana czasoprzestrzeni i jeszcze dalejPróba scenariuszaParadoks horyzontu l inne trudnościZakończenie: w erze Plancka fizykaspotyka się z filozofią BibliografiaIndeks108109111113115115

117119



121124125129129131

134136142148150

WSTĘPWyraz "wstęp" jest znaczeniowo rozmyty. MoŜe znaczyć wstęp-wejście, na przykład "Wstęp wzbroniony", lubwstęp-wprowadzenie, chociaŜby wstęp do ksiąŜki. Ale obydwate znaczenia mają ze sobą coś wspólnego: odwołują się do ja-kiegoś wejścia, do drzwi, które dokądś prowadzą; zapraszają do przejścia przez nie lub - przeciwnie - zakazują wstępu. Ja,oczywiście, zapraszam Czytelnika, by wszedł. Wejście prowadzina taras widokowy, z którego moŜna podziwiać niezwykłą pa-noramę. Ale nie jest to panorama w stanie gotowym - jak pa-smo górskie rozciągające się na linii horyzontu: wystarczy tyl-ko lekko odwrócić głowę, by móc kontemplować inny jego frag-ment. Raczej jest to coś w rodzaju panoramicznego filmu, i toz nie do końca ustalonym scenariuszem. Akcja dopiero się tworzy. W jakim pójdzie kierunku? - w duŜej mierze zaleŜy tood dotychczasowej drogi.U wejścia na taras nie ma więc tabliczki z napisem "Wstępwzbroniony". KaŜdy jest mile widzianym gościem. Ale muszę ostrzec: kto boi się intelektualnego wysiłku, pewnej myślowejdyscypliny, niech raczej nie wchodzi. Poszukiwanie zbyt ła-twych doznań na tym terenie moŜe grozić logicznym chaosemi pomysłami, które prowadzą na manowce. Cała panorama,choć jeszcze w stanie dynamicznego rozwoju, opiera się na dą-Ŝeniu do matematycznej precyzji. Właśnie to sprawia, Ŝe pano-rama Jest wyjątkowo piękna. Z chwilą gdy precyzja zostajeosiągnięta, umysł w jasnym - ale nie oślepiającym - świetle

10 • KOSMOLOGIA KWANTOWAdostrzega harmonię l konieczność. Konieczność polega na tym,Ŝe jeśli postawi się jeden krok, to bardzo często natychmiastwiadomo, w jakim kierunku naleŜy postawić krok następny.Kolejne kroki układają się w logiczny ciąg, który jest w stanie

zaprowadzić tam, gdzie zwykły wzrok nie sięga, i ukazać takieperspektywy, których istnienia dotychczasowy "zdrowy rozsą-dek" nawet nie podejrzewał.Cała panorama jest równieŜ dlatego tak wstrząsająco pięk-na, Ŝe u jej podstaw kryje się poszukiwanie zrozumienia - zro-zumienia najbardziej fundamentalnego: Dlaczego Wszechświatjest, jaki jest? Jak myśmy się w nim znaleźli? Jaka Jest naszaw nim rola? Na pytania te nie znamy dziś pełnej odpowiedzi- to prawda; ale potrafimy je, zwłaszcza pierwsze z nich, prze-tłumaczyć na wiele bardziej szczegółowych pytań i na niektórez tych pytań odpowiedzieć juŜ całkiem sensownie. Pytania nie-zupełnie jeszcze jasne takŜe mają swoje znaczenie. MoŜe juŜ wkrótce i one zaczną poddawać się naszej poznawczej pasji.

Chęć rozumienia jest w nas tak potęŜna, Ŝe raz postawionychpytań nie da się juŜ wycofać.



Chcąc zrozumieć podstawy Wszechświata, musimy zrozu-mieć podstawy fizyki. Problemem numer jeden współczesnejfizyki jest połączenie dwóch jej wielkich teorii: ogólnej teoriiwzględności i mechaniki kwantowej. Ogólna teoria względno-ści, czyli Einsteinowska teoria grawitacji, daje dobry obrazWszechświata w jego wielkiej skali - w skali galaktyk, ich

gromad i supergromad. Mechanika kwantowa pozwala zro-zumieć Wszechświat na poziomie atomowym i subatomo-wym, czyli na poziomie elektronów, protonów, kwarkówi gluonów. Ale obydwie te teorie dotychczas funkcjonują nie-zaleŜnie od siebie l posługują się matematycznymi metoda-mi, które diametralnie róŜnią się od siebie. A przecieŜ Wszechświat wymagający zrozumienia jest jeden i, co więcej,obie teorie niedwuznacznie sugerują, Ŝe na poziomie najgłęb-szym muszą się zjednoczyć: grawitacja powinna ujawnić swoje kwantowe oblicze, a metody kwantowe rozciągnąć się takŜe na grawitację. Tym, czego szukamy, jest więc kwanto-wa teoria grawitacji.

WSTĘP • 11Metody współczesnej mechaniki kwantowej są w znacznejmierze całościowe. W układzie kwantowym Jego części są zesobą "splecione" w taki sposób, Ŝe jedne wiedzą o drugich, na-wet gdy są od siebie bardzo oddalone. WyraŜenie "splecione"(entangled), pojawiające się w poprzednim zdaniu, nie jest fi-gurą retoryczną, lecz terminem technicznym. Splecenie ukła-du kwantowego oznacza, iŜ Jest on całością do tego stopnia, Ŝemanipulacja jakąkolwiek jego częścią natychmiast odbija się na całości. I to bez względu na przestrzenne oddalenie: dwa fo-tony mogą tworzyć układ spleciony nawet wtedy, gdy znajdują się na przeciwległych krańcach supergromady galaktyk. JeŜelita cecha mechaniki kwantowej (a Jest to jej cecha Istotna)przetrwa zjednoczenie z ogólną teorią względności, to teoriakwantowej grawitacji musi być równieŜ kwantową kosmologią.Kwantowy Wszechświat będzie "jeszcze bardziej jednością" niŜ Wszechświat obecnej kosmologii, opartej na Einsteinowsklejteorii grawitacji. Tytuł ksiąŜki, którą obecnie przekazuję Czy-telnikowi - Kosmologia kwantowa - nie został wybrany przy-padkowo. Fundamentalna teoria fizyczna nie moŜe nie być teo-rią Wszechświata.Metoda fizyki odznacza się swoistą agresywnością. Nigdy niezadowala się juŜ osiągniętym wynikami, lecz ciągle atakujeproblemy, jakie nasuwa namysł nad logiką dotychczasowychwyników. Włoski filozof nauki, Evandro Agazzi, napisał kiedyś:"zadaniem naukowca jest poszerzanie granic nauki, ale nigdy

ich przekraczanie".1 Poszerzanie granic nauki dokonuje się właśnie dzięki tej agresywności. JuŜ rozwiązane problemy, sta-wiając coraz to nowe pytania, wywierają swojego rodzaju ci-śnienie na dotychczasowe granice fizyki i - w miarę uzyskiwa-nia odpowiedzi na przynajmniej niektóre z pytań - stopniowowymuszają przesuwanie się tych granic. Teren pogranicza jestzawsze niespokojny. Tu metoda funkcjonuje na skraju swoichmoŜliwości. Tu przebiega front badań naukowych, o włos gra-niczący z polem niezbadanych moŜliwości. Zagadnienia, Jakie' "Granice wiedzy naukowej a hipoteza transcendencji", w: Refleksje na rozdro-Ŝu. Pod red. S. Wszelka. OBI-Kraków, Biblos, Tarnów 2000, s. 183.

12 • KOSMOLOGIA KWANTOWAsię tu porusza, są największym wyzwaniem l zwykle one niosą



najbardziej prowokujący "ładunek filozoficzny". Nic zresztą dziwnego - linia graniczna między tym, co JuŜ wiemy, a Wiel-kim Nieznanym zawsze była l będzie wezwaniem do głębszejrefleksji.A zatem sytuacja w dzisiejszej fizyce teoretycznej pod tymwzględem nie jest wcale wyjątkowa. JeŜeli czymś róŜnimy się

od naszych poprzedników, to jedynie... zaawansowaniemw czasie. To właśnie upływ czasu sprawił, Ŝe mamy do rozwią-zania trudniejsze problemy niŜ oni (ale teŜ i wiemy od nich wię-cej) l Ŝe koszty uprawiania nauki wzrastają z kwadratem trud-ności. Wydaje się, Ŝe dziś sięgamy juŜ granic finansowychmoŜliwości. Doświadczenia, których wyniki mogłyby być istot-nymi drogowskazami, wiodącymi ku kwantowej teorii grawita-cji, są tak kosztowne, Ŝe obecnie ludzkość (nie tylko poszcze-gólne państwa) nie moŜe sobie na nie pozwolić. Pozostaje mieć nadzieję, Ŝe nie zawiedzie drugi - obok eksperymentowania- element metody naukowej, a mianowicie rozumowanie za po-mocą matematycznych struktur. I - Jak zobaczymy - tę wła-śnie strategię obficie wykorzystuje się we wszystkich poszuki-waniach kwantowej grawitacji. Oczywiście, kaŜda wskazówkaempiryczna, choćby tylko pośrednia, jest na wagę złota. Nicwięc dziwnego, Ŝe fizycy szukają takich wskazówek gdzie się tylko da. Nić przewodnią stanowi dla nich idea, Ŝe prawidłowo-ści najgłębszego poziomu mogą mieć mierzalne następstwaw obszarze niskich energii, czyli w obszarze, który juŜ dziś mo-Ŝemy poddawać doświadczalnej kontroli.Ale takie niepełne korzystanie z metody eksperymentalnejjest związane z ryzykiem. Agazzi napisał, Ŝe naukowiec powi-nien poszerzać granice nauki, ale nie wolno mu ich przekra-czać. Bo przekroczenie granicy nauki oznacza skok w ciem-no, chwytanie się czegokolwiek i czarowanie oryginalnymipomysłami, które z nauką nie mają JuŜ wiele wspólnego. Nie-stety, i takie zabiegi zdarzają się w polowaniu na teorię kwantowej grawitacji. Dla niektórych stawka okazuje się zbyt wielką pokusą, by nie próbować sięgnąć po laur, nawetza cenę desperackich kroków. Historia fizyki niejednokrotnie

WSTĘP • 13przerabiała juŜ l tę lekcję. Plewy jednak zawsze, prędzej czypóźniej, były oddzielane od ziarna.Kosmologia kwantowa jest więc dziedziną otwartą. W prze-ciwieństwie do wielu innych działów fizyki nie ma w niej razna zawsze ustalonych kanonów. Owszem, Istnieją pewne mo-dy i preferencje, ale ciągle jeszcze są one ustalane raczej przezto, co robią prestiŜowe ośrodki, niŜ przez jakieś bardziej

obiektywne kryteria. Nic więc dziwnego, Ŝe w tej sytuacjiksiąŜka, do której zapraszam Czytelnika, nie moŜe rościć so-bie pretensji do kompletności. Spośród wielu koncepcji i robo-czych modeli wybrałem te, które - z jakichś powodów - wyda-ły mi się atrakcyjne lub otwierające najciekawsze perspekty-wy. Sądzę, Ŝe mimo tak subiektywnych kryteriów panorama,do jakiej zapraszam Czytelnika, ukaŜe mu w miarę reprezen-tatywny obraz stanu badań w tym fascynującym obszarzel. współczesnej fizyki.KsiąŜka ta ma jeszcze jeden aspekt - sprawozdanie z wła-snej Przygody. DuŜą część mojej pracy w ostatnich latach po-chłonęło zmaganie się z problemami kwantowej grawitacji.Często w gronie fizyków słyszy się zdanie, Ŝe kaŜdy, kto zajmu-

je się kosmologią, prędzej czy później "skończy w kwantowejgrawitacji". W moim przypadku zdanie to okazało się prawdzi-



we. I wcale tego nie Ŝałuję. Zmierzenie się z problemem, o któ-rym się wie, Ŝe Jest waŜny, Ŝe - zapewne -jest najwaŜniejszymz wszystkich problemów współczesnej fizyki, to wielkie Ŝyciowedoświadczenie. I pozostanie takim, choćby jedynym, co się w tej dziedzinie osiągnie, było zrozumienie tych kawałków dro-gi, którą juŜ inni przeszli, i uświadomienie sobie, na czym po-

legają trudności. Nierozwiązane problemy teŜ coś mówią:l o Wszechświecie, i o nas samych. Wszechświat wcale nie mu-si być przystosowany do naszych moŜliwości poznawczych,a my nieustannie powinniśmy uczyć się właściwych proporcji:człowiek nie jest miarą Wszechświata, lecz jego cząstką - za-niedbywalnie małą, ale subtelnie wplątaną w najbardziej istot-ne powiązania kosmicznej struktury. Nie tylko Wszechświatjest wyzwaniem dla człowieka. Człowiek jest wyzwaniem dlasamego siebie.

14 • KOSMOLOGIA KWANTOWAWprawdzie o tych głęboko filozoficznych zagadnieniach nie-wiele napisałem w tej ksiąŜce, ale są one w jakiś sposób obec-ne na wszystkich jej stronicach. Właśnie dlatego zajmowaniesię kosmologią kwantową jest Wielką Przygodą. Do udziałuw tej Przygodzie zapraszam Czytelnika.Pasierbice, 26 stycznia 2001

ROZDZIAŁ 1CZY WSPÓŁCZESNA FIZYKAJEST CHORANA SCHIZOFRENIĘ?Stulecie fizykiNasze stulecie było (juŜ moŜna o nim pisać w czasie przeszłym)stuleciem fizyki. Pierwsze wybuchy bomb atomowych, pierw-sze loty satelitarne, lądowanie na KsięŜycu, rewolucja elektro-niczna - to hasła wywoławcze naszych czasów, a wszystkie onenie są niczym innym, jak tylko zastosowaniami teorii fizycz-nych. Są to oczywiście zastosowania najbardziej spektakular-ne, ale nie brak takŜe i wielu Innych, takich, które niewidocz-nie wciskają się w nasze Ŝycie - nie zdajemy sobie nawetsprawy z tego, od jak wielu fotokomórek, przełączników i elek-tronicznych urządzeń zaleŜy nasze codzienne funkcjonowanie.Stają się one nieodłączną częścią naszej kultury - czy potrafili-byśmy sobie wyobrazić dzisiejszy świat bez radia, telewizjil taśm wideo? A to jeszcze nie wszystkie i wcale nie najwaŜniej-sze rzeczy. Jakie daje fizyka. Sądzę, Ŝe najdonioślejszym daremfizyki jest dar rozumienia świata. Coś znacznie więcej niŜ roz-

poznanie jego części składowych - od kwarków do supergro-mad galaktyk - czy rozszerzenie katalogu znanych praw przy-rody. WyobraŜenie o tym, czym jest rozumienie, jakie przynosifizyka, daje znane powiedzenie Einsteina, który nie zawahałsię twierdzić, Ŝe uprawia fizykę po to, by zrozumieć zamysł Bo-Ŝy (the Mind oJGod), jaki Bóg miał, stwarzając Wszechświat.

16 • KOSMOLOGIA KWANTOWAJeŜeli fizyki nie nazywamy dziś królową nauk, to tylko dlatego,Ŝe światem juŜ nie rządzą koronowane głowy.Fizykę XX wieku zdominowały jej dwie wielkie teorie: me-chanika kwantowa i ogólna teoria względności. Ich powstanie

moŜna śmiało zaliczyć do największych naukowych osiągnięć wszystkich czasów. Pojęcie kwantu, pierwszy sygnał rodzenia



się nowej teorii (nazwanej później mechaniką kwantową), poja-wiło się dokładnie w 1900 roku. Wprowadził je do fizyki MaxPianek w celu rozwikłania pewnych trudności, z jakimi bory-kała się fizyka klasyczna, chcąc wyjaśnić zjawisko promienio-wania ciała doskonale czarnego. Fakt ten zapoczątkował ciągbadań - zarówno teoretycznych, jak i doświadczalnych

- w który zaangaŜowanych było wielu wybitnych uczonychl który, w latach dwudziestych, doprowadził do sformułowaniamechaniki kwantowej juŜ w dojrzałej postaci. Natomiast ogól-na teoria względności była dziełem jednego człowieka - AlbertaEinsteina. Wkrótce po stworzeniu w 1905 roku szczególnejteorii względności, czyli fizycznej teorii czasu i przestrzeniw układach odniesienia poruszających się względem siebiejednostajnie i prostoliniowo (zwanych układami inercjalnymi),Einstein zrozumiał, Ŝe teorię tę trzeba rozszerzyć na dowolneukłady odniesienia i Ŝe musi to być nowa teoria grawitacji. Kil-ka lat zmagań i twórczych wysiłków zostało uwieńczonychsukcesem: w roku 1915 równania pola grawitacyjnego ogólnejteorii względności ujrzały światło dzienne. Nowa teoria zostałaofiarowana nauce od razu w prawie ostatecznej postaci. MimoŜe zapoczątkowała ona bardzo bogaty wątek badań, i to zarów-no w fizyce, jak i w matematyce, praca fizyków teoretyków po-legała głównie na wydobywaniu tego, co juŜ się mieściło w rów-naniach Einsteina, a dzięki wysiłkom matematyków teoriawzględności przybierała jedynie coraz elegantszą postać. Cho-ciaŜ trzeba takŜe przyznać, Ŝe teoria ta, w dalszej perspekty-wie, otworzyła przed matematykami nowe światy, które do dziś penetrują oni swoimi metodami.Obydwie te teorie całkowicie zmieniły pojęciowy szkieletwspółczesnej fizyki. AŜ do ich powstania podstawowym do-gmatem fizyków było przekonanie, Ŝe odkryta przez Izaaka

CZY WSPÓŁCZESNA FIZYKA JEST CHORA... • 17Newtona mechanika, zwana mechaniką klasyczną, jest ostat-nim słowem nauki. Oczywiście, moŜna i naleŜy ją rozwijać, alew zasadzie jest ona teoria kompletną: wszystkie zjawiska, jakiekiedykolwiek zostaną odkryte, dadzą się ostatecznie zreduko-wać do mechaniki i wyjaśnić za jej pomocą. W tym sensieświat jest niczym więcej, jak tylko wielką maszyną, posłuszną prawom mechaniki. Stworzenie w XIX wieku termodynamiki,czyli nauki o cieple, i wykazanie, iŜ jest ona w gruncie rzeczyzjawiskowym (fenomenologicznym) opisem, poza którym kryją się czysto mechaniczne oddziaływania wielkiej liczby cząstek,czyli Ŝe jest ona mechaniką statystyczną, mocno podbudowałowiarę fizyków w fundamentalne znaczenie mechaniki klasycz-

nej. Ale juŜ sformułowana przez Jamesa derka Maxwella oko-ło połowy XIX stulecia teoria elektromagnetyzmu (zwana dziś elektrodynamiką klasyczną) była źródłem powaŜnych trudno-ści dla mechanistycznego światopoglądu. Mimo licznych, nie-kiedy wręcz desperackich prób nie udało się zredukować prawelektromagnetyki do praw mechanicznych. Zaistniała sytuacjakryzysowa, z której wyjście znalazł dopiero Albert Einstein,tworząc swoją szczególną teorię względności.Rozdwojenie jaźni i strategia przybliŜeń Dziś wiemy ponad wszelką wątpliwość, Ŝe mechanika klasycz-na nie jest podstawową teorią świata. We współczesnej fizycerolę tę spełniają mechanika kwantowa i ogólna teoria względ-ności. Mechanika kwantowa jest odpowiedzialna za mikro-

świat cząstek elementarnych i fundamentalne oddziaływaniaz wyjątkiem grawitacji, tzn. oddziaływanie elektromagnetyczne



oraz oddziaływania elektroslabe i jądrowe silne; ogólna teoriawzględności rządzi grawitacją i Wszechświatem w jego naj-większej skali. Obie te teorie spełniają swoje funkcje znakomi-cie. Do niedawna uwaŜano, Ŝe mechanika kwantowa (wrazz kwantową teorią pola) jest najlepiej sprawdzoną doświad-czalnie teorią fizyczną; ostatnio jednak dokładność tę przewyŜ-

szyły obserwacje podwójnego pulsara o numerze katalogowym

18 • KOSMOLOGIA KWANTOWAPSR 1913+16, który emituje fale grawitacyjne zgodnie z prze-widywaniami ogólnej teorii względności, tym samym potwier-dzając ją z niewiarygodną dokładnością, wynoszącą l : 1012.Ale tu właśnie zaczynają się kłopoty. Całe nasze poczucieracjonalności buntuje się przeciwko temu, Ŝeby istniały dwieteorie podstawowe. Świat jest jeden i powinien istnieć tylko je-den, spójny zestaw rządzących nim praw, czyli jedna teoriafundamentalna, która by te wszystkie prawa łączyła w jedną sieć logicznych wynikan. Dotychczas takiej teorii nie odkryli-śmy. Co więcej, obrazy świata, kreślone przez ogólną teorię względności i mechanikę kwantową, są drastycznie róŜne,a matematyczne struktury tych teorii nie przystają do siebie.Świat relatywistyczny jest dokładny i geometryczny; światkwantów niezdeterminowany i probabilistyczny.CzyŜby świat współczesnej fizyki był schizofreniczny, cier-piał na rozdwojenie jaźni? Jak Ŝyć w takim "rozdwojonym"świecie? Nasze ciało składa się z miliardów cząstek elementar-nych i choć jest ono duŜo mniejsze od przeciętnej gwiazdy, wy-znacza nam miejsce we Wszechświecie: jesteśmy obiektamimakroskopowymi. Strukturę komórek l łańcuchów białko-wych, z jakich się składamy, ostatecznie określają prawa fizykikwantowej, ale w kształtowaniu naszej biologicznej postaciniemałą rolę odgrywa siła ciąŜenia, nie mówiąc juŜ o tym, ŜeZiemia swoje fizyczne istnienie l najwaŜniejsze cechy zawdzię-cza polu grawitacyjnemu Słońca. Znajdujemy się więc niejakona pograniczu tych dwu schizofrenicznie oddzielonych od sie-bie światów współczesnej fizyki, a mimo to nasz makroskopo-wy obszar funkcjonuje bez Ŝadnych widocznych zaburzeń. Jestto moŜliwe dzięki bardzo przemyślnej strategii, jaką stosują obie nie chcące porozumieć się ze sobą teorie. We wzorach me-chaniki kwantowej występuje stała, zwana przez fizyków stałą Plancka i oznaczana przez h. Jest ona odpowiedzialna za wielecech tej teorii, które decydują o jej specyficznym charakterze.Gdyby wartość stałej Plancka wynosiła zero, nie byłoby Ŝadne-go problemu, mechanika kwantowa w ogóle by nie Istniała.Wszystkie jej wzory redukowałyby się do wzorów teorii Newto-

na. Ale stała Plancka nie jest równa zeru i mechanika kwanto-

CZY WSPÓŁCZESNA FIZYKA JEST CHORA... • 19wa istnieje! Z bardzo precyzyjnych pomiarów wynika, Ŝeh = 6,62618... x 10-34 J-s (dŜuł razy sekunda). Na szczęście(dla nas!) jest to wartość mała, tak mała, Ŝe w makroskopowejskali, w której Istnieją nasze ciała, składające się z miliardówcząstek, moŜemy ją praktycznie zaniedbać. I właśnie dlategoŜyjemy w Newtonowskim świecie! Ściśle rzecz biorąc, jest toświat kwantowy, ale tak mało odmienny od Newtonowskiego,Ŝe nasze "grube zmysły" róŜnicy tej nie zauwaŜają.Analogiczną strategię stosuje ogólna teoria względności. Jak

juŜ wiemy, jest to teoria grawitacji, a więc tej siły, która kształ-tuje Wszechświat w jego największej skali i jest najbardziej in-



tymnie związana z jego historią i geometrią. Według teorii Ein-steina pole grawitacyjne jest niczym innym, jak tylkogeometrią czasu i przestrzeni. Potrafi ono zmieniać strukturę przestrzeni i wyginać czas. A przecieŜ niczego podobnego w Ŝy-ciu codziennym nie obserwujemy. Przestrzeń jest sztywną sce-ną, podlegającą geometrii Euklidesa, a czas nieubłaganie pły-

nie jednokierunkowo, bez względu na cokolwiek zewnętrznego.Dzieje się tak, poniewaŜ pola grawitacyjne, które kształtują na-sze makroskopowe środowisko, są słabe, a dla słabych pólgrawitacyjnych wzory ogólnej teorii względności przechodzą w stare wzory Newtonowskie.ycie w schizofrenicznym świecie współczesnej fizyki jestmoŜliwe tylko dzięki tej strategii przybliŜeń. Potrafimy sobiedość łatwo wyobrazić, co by się stało, gdyby obie podstawoweteorie współczesnej fizyki nie miały własności "gładkiego prze-chodzenia w fizykę makroskopową". Po prostu w ogóle by nasnie było. Nasze organizmy i inne ciała makroskopowe są złoŜo-nymi, a mimo to względnie stabilnymi układami fizycznymi(ostatecznie umierają i słońca, i ludzie) Jedynie dlatego, Ŝe za-równo Einsteinowska teoria grawitacji, jak l fizyka kwantowa,w obszarze, w którym się "przecinają", dają jako swoje przybli-Ŝenie fizykę odkrytą w XVII wieku przez Newtona.Ta sama strategia przybliŜeń ma dla nas duŜe znaczenie po-znawcze. MoŜemy mianowicie Ŝywić nadzieję, Ŝe dzięki niejnasz świat - ten, w którym Ŝyjemy - nie cierpi jednak na roz-dwojenie jaźni. Nie da się bowiem wykluczyć, Ŝe l mechanika

20 • KOSMOLOGIA KWANTOWAkwantowa, i ogólna teoria względności są równieŜ tylko przy-bliŜeniami jakiejś jednej teorii, która naprawdę rządzi świa-tem. Teorię tę nazywamy kwantową teorią grawitacji i poszuki-wania jej stanowią jeden z głównych wątków współczesnejfizyki teoretycznej.W erze PlanckaRodzi się jednak pytanie: czy kwantowa teoria grawitacji jestw ogóle potrzebna? Skoro strategia przybliŜeń działa tak zna-komicie, moŜe po prostu świat jest warstwowy, w kaŜdej war-stwie działa inna teoria, a odpowiednie przechodzenie jednychteorii w drugie sprawia, Ŝe cały mechanizm pozostaje dobrzezsynchronizowany i funkcjonuje sprawnie? Rzecz jednakw tym, iŜ w dziejach Wszechświata był taki okres, w którymmechanika kwantowa i ogólna teoria względności (w takiej po-staci, w jakiej je obecnie znamy) nie mogły być ze sobą zsyn-chronizowane za pomocą strategii przybliŜeń.Wielkim osiągnięciem nauki XX wieku jest kosmologia rela-

tywistyczna. Powstała ona w pierwszych dekadach naszegostulecia jako zastosowanie ogólnej teorii względności do bada-nia struktury i ewolucji Wszechświata w Jego największej ska-li. W drugiej połowie stulecia kosmologia zyskała bogatą bazę obserwacyjną (dzięki nowym technikom astronomii i radio-astronomii), co pozwoliło opracować tzw. standardowy modelkosmologiczny. Po raz pierwszy w historii fizyka dorobiła się "ram kosmologicznych", które nie są juŜ sztucznie do niej do-budowywane (jak to miało miejsce chociaŜby w przypadku ko-smologii Ptolemeusza czy Newtona), lecz wynikają z konse-kwentnego stosowania praw fizyki do dobrze obserwacyjniespenetrowanego układu, jakim jest świat gromad i supergro-mad galaktyk.

Obraz świata wynikający ze standardowego modelu kosmolo-gicznego jest juŜ dziś dość powszechnie znany. Najbardziej cha-



rakterystyczną jego globalną cechą Jest rozszerzanie się Wszechświata: wszystkie galaktyki uciekają od siebie nawzajem

CZY WSPÓŁCZESNA FIZYKA JEST CHORA... • 21z ciągle rosnącymi prędkościami. A zatem gdy cofamy się w cza-

sie, Wszechświat staje się coraz gęstszy. W istocie gęstość mate-rii (skądinąd takŜe bardzo waŜny parametr kosmologiczny, por.rozdział 3) moŜna przyjąć za swoisty zegar, odmierzający histo-rię Wszechświata. Przez większą część tej historii ewolucja Ko-smosu była sterowana przez oddziaływania grawitacyjne, a coza tym idzie, rekonstruując tę część jego historii, kosmologowiemuszą korzystać z ogólnej teorii względności. Ale gdy na "ko-smicznym zegarze" widniała gęstość równa l O93 g/cm3 (miało tomiejsce bardzo blisko "początku", zwanego Wielkim Wybu-chem), sytuacja była drastycznie odmienna. Przy tak wielkichgęstościach materii pole grawitacyjne było tak silne (czyli krzy-wizna czasoprzestrzeni tak wielka), Ŝe - zgodnie z całą naszą znajomością fizyki - musiało ono ujawnić swoje kwantowe obli-cze (inne oddziaływania fizyczne, na przykład elektromagnetycz-ne lub jądrowe, są znacznie silniejsze od grawitacji l dlategoo wiele łatwiej przejawiają swoją kwantową naturę). Wynikastąd, Ŝe w erze Plancka - bo tak fizycy nazywają epokę, w którejgęstość materii wynosiła 1093 g/cm3 - ogólna teoria względno-ści, czyli niekwantowa teoria grawitacji, nie mogła obowiązywać.Rządy nad światem sprawowały wówczas zasady kwantowe, alenie mogły to być znane nam dziś prawa mechaniki kwantowej,gdyŜ te z kolei zaniedbują grawitację, a w erze Plancka grawita-cji w Ŝadnym razie zaniedbać nie moŜna. PoniewaŜ w erzePlancka świat jednak istniał, musiały nim rządzić jakieś prawa- prawa o charakterze kwantowym, ale odnoszące się równieŜ do grawitacji. A zatem teoria kwantowej grawitacji jest niezbęd-na. Kosmologia bardzo młodego Wszechświata musi być kosmo-logią kwantową.

ROZDZIAŁ 2WZGLĘDNOŚĆ I KWANTYTeorie i eksperymentyChciałem rozpocząć ten rozdział od stwierdzenia, Ŝe ogólnateoria względności i mechanika kwantowa róŜnią się pod dwo-ma względami: po pierwsze, rodzajem fizycznych zjawisk, doktórych się odnoszą; po drugie, matematycznymi strukturami,za pomocą których są wyraŜane. Ale po namyśle rezygnuję z tego stwierdzenia. Jest ono co najmniej mylące. Teorie te róŜ-nią się tylko pod jednym względem: swojej fizycznej natury. To

prawda, Ŝe fizyczną naturę kaŜdej teorii poznajemy dzięki za-biegowi jej matematycznego modelowania, ale nie ma dwóchróŜnych rzeczy: jakiejś fizyki samej w sobie i jej matematyczne-go opisu. Dostępny nam Jest jedynie matematyczny model i zajego pośrednictwem to, co on modeluje, czyli pewien obszarfizyki. A eksperymenty? Czy dzięki nim nie mamy bezpośred-niego dostępu do zjawisk fizycznych? KaŜdy dobry fizyk do-świadczalny wie, Ŝe Ŝadnego eksperymentu nie moŜna prze-prowadzić niezaleŜnie od zmatematyzowanej teorii. Jest tosłuszne w odniesieniu do wszystkich działów fizyki klasycznej,ale szczególnie jaskrawo rzuca się w oczy na terenie tak abs-trakcyjnych teorii, jakimi są ogólna teoria względności i me-chanika kwantowa. Obie te teorie dzięki swoim matematycz-

nym strukturom odsłaniają tak głębokie warstwy świata, Ŝe



KOSMOLOGIA KWANTOWA • 23nie mamy do nich bezpośredniego dostępu. To teoria musinam powiedzieć, co mierzyć l jak zbudować aparat pomiarowy.MoŜna by nawet powiedzieć, Ŝe aparat pomiarowy jest czymś w rodzaju zmaterializowanej struktury matematycznej, częścią

teorii przetłumaczoną na język pomiarów i jego całego tech-nicznego obudowania. RównieŜ wyniki pomiarów mają niewie-le wspólnego z gołymi faktami danymi nam przez naturę. Są toszeregi liczb lub wykresy funkcji (otrzymywane dziś najczęściejna wyjściach rozmaitych skomputeryzowanych urządzeń), któ-re bez pomocy zmatematyzowanej teorii - o ile w ogóle byłybymoŜliwe do otrzymania (tryb warunkowy nierzeczywisty!) - niemiałyby Ŝadnego znaczenia.To zrośnięcie się (nieliniowe wymieszanie) zmatematyzowa-nej teorii ze zmatematyzowanym doświadczeniem jest głębo-kim wyrazem empiryczności współczesnej fizyki. Jedynie nawstępnych etapach rozwoju nauki moŜe się wydawać, Ŝe do-świadczenie to coś niezaleŜnego od teorii - coś, co jest w sta-nie, samo w sobie, teorię ostatecznie potwierdzić lub obalić.Nauki o wysokim stopniu empiryczności odznaczają się tym,Ŝe teoria i eksperyment przenikają się w nich wzajemnie.Tak więc, nawiązując do początku niniejszego rozdziału, na-leŜy stwierdzić, Ŝe ogólna teoria względności i mechanikakwantowa róŜnią się od siebie - i to drastycznie - pod wzglę-dem swojej fizycznej natury. Gdy chcemy te róŜnice uchwycić,nie mamy Innego wyjścia, jak tylko porównać ze sobą ich ma-tematyczne struktury. To właśnie jest celem tego rozdziału.Czasoprzestrzeń KaŜda teoria fizyczna "rozgrywa się" w pewnej charakterystycz-nej dla niej przestrzeni i wcale nie musi to być przestrzeń w potocznym rozumieniu tego słowa, przestrzeń, w której - jakpowiadamy - Ŝyjemy. W tym sensie będziemy mówić o prze-strzeni danej teorii. Geometryczna struktura tej przestrzeniwyznacza najbardziej podstawowe cechy teorii. Ogólna teoriawzględności i mechanika kwantowa są róŜnymi teoriami fl-

24 • KOSMOLOGIA KWANTOWAzycznymi przede wszystkim dlatego, Ŝe rozgrywają się w całko-wicie odmiennych przestrzeniach.Przestrzenią ogólnej teorii względności jest czasoprzestrzeń.Jest to fundamentalne stwierdzenie. Bernard Riemann na dłu-go przed Einsteinem podejrzewa}, Ŝe zakrzywienie przestrzenimoŜe wiązać się z oddziaływaniami fizycznymi, ale podejrzenieto pozostało jałowe, dopóki Einstein w swoich poszukiwaniach

nowej teorii grawitacji nie zrozumiał, iŜ to nie zakrzywienieprzestrzeni, lecz zakrzywienie czasoprzestrzeni odpowiada po-lu grawitacyjnemu.Przestrzeń jest zbiorem punktów, a kaŜdy punkt identyfiku-je się przez podanie trójki liczb, zwanych jego współrzędnymiw danym układzie współrzędnych. W innym układzie współ-rzędnych ten sam punkt Identyfikuje się za pomocą innej trój-ki liczb (czyli współrzędnych tego punktu w nowym układziewspółrzędnych). Musi wszakŜe istnieć reguła (układ równań),pozwalająca wyliczyć współrzędne danego punktu w nowymukładzie, gdy znane są współrzędne tego punktu w układziestarym. Punkt w czasoprzestrzeni, zwany równieŜ zdarzeniem,definiuje się tak samo, z tą tylko róŜnicą, Ŝe identyfikuje się go

nie poprzez trzy, lecz cztery współrzędne. Trzy z nich Interpre-tuje się jako zwykłe współrzędne przestrzenne, a czwartą jako



współrzędną czasową. Zdarzenie zatem określa punkt, w któ-rym coś się zdarzyło (trzy współrzędne przestrzenne), i chwilę,w której to coś miało miejsce (współrzędna czasowa). Czaso-przestrzeń jest zbiorem wszystkich tego rodzaju zdarzeń.Dla tak rozumianej czasoprzestrzeni buduje się geometrię zupełnie analogicznie jak dla zwykłej przestrzeni, wzbogaconą

jedynie o dodatkowy, czasowy wymiar. RóŜnica ta nie jest jed-nak banalna: we wszystkich wzorach współrzędna czasowaróŜni się znakiem od współrzędnych przestrzennych. MoŜemysię na przykład umówić, Ŝe przy współrzędnej czasowej zawszebędzie znak minus, a przy współrzędnych przestrzennych- znak plus (ale umowa przeciwna takŜe jest dopuszczalna;waŜne tylko, by współrzędne czasowa i przestrzenna róŜniłysię znakiem l by umowa była konsekwentnie stosowana). Tamała róŜnica w znaku powoduje drastyczne róŜnice pomiędzy

WZGLĘDNOŚĆ l KWANTY • 25geometrią czasoprzestrzeni i geometrią zwykłej przestrzeni.Najbardziej rzucająca się w oczy róŜnica polega na tym, Ŝew czasoprzestrzeni istnieje pewna wyróŜniona, nieprzekraczal-na prędkość, którą w ogólnej teorii względności interpretuje się jako prędkość światła, podczas gdy w zwykłej przestrzeni ta-kiej prędkości granicznej nie ma (lub, co na jedno wychodzi,prędkość taka jest nieskończona). Geometrię zwykłej prze-strzeni matematycy nazywają geometrią Riemanna, a geome-trię czasoprzestrzeni - geometrią Lorentza (lub pseudoneman-nowską].MoŜna krótko powiedzieć, Ŝe ogólna teoria względności jestfizycznie zinterpretowaną czterowymiarową (l wymiar czasowyl 3 wymiary przestrzenne) geometrią Lorentza.Geometria przestrzeni HilbertaPrzestrzeń, w której rozgrywa się mechanika kwantowa, mazupełnie inną matematyczną strukturę. Podstawową "jednost-ką" mechaniki kwantowej nie są ani punkt, ani zdarzenie, leczobiekt kwantowy. MoŜe nim być cząstka fundamentalna, naprzykład kwark, proton, elektron..., lub układ bardziej złoŜo-ny, chociaŜby atom wodoru. Z góry nie wiadomo, czy obiektykwantowe istnieją w przestrzeni, czy teŜ - dajmy na to - prze-strzeń jest wynikiem oddziaływań pomiędzy obiektami kwan-towymi. W kaŜdym razie nie wiemy, jaką strukturę przypisać przestrzeni (lub czasoprzestrzeni) w tak małej skali, w jakiejistnieją obiekty kwantowe: czy jest ona ciągła, czy dyskretna?,płaska czy pokrzywiona?, gładka czy pełna załamań? Wiemynatomiast, Ŝe obiekty kwantowe mogą istnieć w róŜnych sta-nach. Gdy na przykład na atom wodoru padnie odpowiedni

kwant energii, atom przechodzi ze stanu podstawowego do sta-nu wzbudzonego. Dlatego teŜ fizycy teoretycy, chcąc zachować wierność temu, co moŜna stwierdzić eksperymentalnie, skon-struowali przestrzeń, której punktami są wszystkie moŜliwestany obiektu kwantowego. Nazywa się ją przestrzenią stanów(lub przestrzenią fazową) mechaniki kwantowej. Gdy fizycy

26 • KOSMOLOGIA KWANTOWAzbadali własności tej przestrzeni, okazało się, Ŝe odpowiadaona przestrzeni, zwanej w matematyce przestrzenią Hilberta.Mówiąc krótko, przestrzeń stanów mechaniki kwantowej jestprzestrzenią Hilberta.

W tym popularnym szkicu nie mogę, oczywiście, podać ści-słej definicji przestrzeni Hilberta, postaram się jednak opisać



tę przestrzeń w miarę poglądowo. A więc przede wszystkimprzestrzeń Hilberta jest przestrzenią wektorową, lub inaczej li-niową. Znaczy to, Ŝe elementami ("punktami") przestrzeni Hil-berta są wektory, ale niekoniecznie naleŜy wyobraŜać je sobiejako strzałki, a juŜ w Ŝadnym wypadku Jako strzałki "zaczepio-ne" w róŜnych punktach znanej nam ze szkoły średniej prze-

strzeni Euklidesa. Do istoty wektorów naleŜy to, Ŝe moŜna jedo siebie dodawać i mnoŜyć przez liczby (zespolone) i Ŝe działa-nia te mają analogiczne własności do dodawania liczb i mnoŜe-nia liczb przez siebie. Ale nie kaŜda przestrzeń wektorowa jestprzestrzenią Hilberta. Aby nią była, musi spełniać trzy nastę-pujące warunki. Po pierwsze, kaŜdemu wektorowi moŜna przy-pisać wielkość, zwaną jego normą - gdybyśmy mimo wszystkochcieli wyobrazić sobie wektor Jako "odcinek ze strzałką", nor-ma odpowiadałaby długości tego odcinka. Po drugie, prze-strzeń wektorowa musi mieć własność, którą matematycy na-zywają jej zupet nością; jest to wymaganie raczej techniczne,zapewnia ono, Ŝe wykonując pewne działania w przestrzeniwektorowej, nie wyjdzie się poza tę przestrzeń. Po trzecie, musisię dać określić, kiedy dwa wektory są do siebie prostopadłe.JeŜeli jakaś przestrzeń wektorowa spełnia te warunki, to jestona przestrzenią Hilberta.W mechanice kwantowej stan układu kwantowego repre-zentuje wektor w przestrzeni Hilberta. A zatem stany (jakowektory w przestrzeni Hilberta) moŜna mnoŜyć przez liczby (ze-spolone) l dodawać do siebie.ł Zakłada się przy tym, Ŝe jeŜeli1 Ściśle rzecz biorąc, mnoŜyć moŜna nie stany, lecz reprezentujące je wektory.Często jednak, celem uniknięcia skomplikowanych wypowiedzi, po prostu utoŜ-samiamy wektory przestrzeni Hilberta ze stanami układu kwantowego. W dal-szym ciągu będziemy chętnie korzystać z tej językowej konwencji, mając na-dzieję, Ŝe nie doprowadzi to do pojęciowego zamieszania.

WZGLĘDNO&C l KWANTY • 27pewien wektor reprezentuje jakiś stan obiektu kwantowego, toten sam wektor pomnoŜony przez dowolną liczbę reprezentujeten sam stan obiektu kwantowego. To, Ŝe przestrzeń Hilbertajest przestrzenią wektorową, ma podstawowe znaczenie dlamechaniki kwantowej l właśnie ten prosty fakt matematycznydecyduje o wielu "dziwnych" własnościach mechaniki kwanto-wej, które nie znajdują swoich odpowiedników ani w mechani-ce klasycznej, ani w ogólnej teorii względności.Z tego, Ŝe przestrzeń Hilberta jest przestrzenią wektorową (liniową), wynika, Ŝe kaŜdy wektor tej przestrzeni moŜnaprzedstawić jako sumę innych wektorów tej przestrzeni; przyczym aŜeby suma wektorów dała wektor wyjściowy, dodawane

do siebie wektory naleŜy pomnoŜyć przez pewne liczby zespolo-ne. Taką sumę nazywa się kombinacją liniową wektorów. Takwięc kaŜdy wektor w przestrzeni Hilberta moŜna przedstawić jako kombinację liniową innych wektorów tej przestrzeni.W języku mechaniki kwantowej znaczy to, Ŝe kaŜdy stanobiektu kwantowego da się przedstawić jako kombinacja linio-wa innych stanów (tzn. jako suma Innych stanów z zespolony-mi współczynnikami). Innymi słowy, stany obiektów kwanto-wych nakładają się na siebie, dając stan wypadkowy. W fizyceklasycznej układ moŜe być albo w jednym stanie, albo w in-nym stanie (coś trzeciego jest wykluczone); w mechanicekwantowej układ moŜe znajdować się w superpozycji dwu lubwięcej stanów (trochę w jednym, trochę w drugim stanie). Gdy

w takiej sytuacji wykonamy pomiar, według mechaniki kwan-towej istnieje pewne ściśle określone podobieństwo, Ŝe wykaŜe



on, iŜ układ znajduje się w jednym stanie, i pewne ściśle okre-ślone prawdopodobieństwo, Ŝe układ znajduje się w drugimstanie (prawdopodobieństwa te są związane z liczbami zespolo-nymi, występującymi jako współczynniki w rozkładzie danegowektora na sumę tych dwu wektorów). W ten sposób prawdo-podobieństwo staje się jednym z centralnych pojęć mechaniki

kwantowej. Świat mechaniki kwantowej jest światem probabi-listycznym.Własności przestrzeni Hilberta mają swoje następstwa dlatego, co moŜna obserwować w laboratorium. Na przykład wiąz-

28 • KOSMOLOGIA KWANTOWAka elektronów przepuszczona przez dwa bliskie siebie otworkil padająca potem na ekran daje charakterystyczny obraz inter-ferencyjny właśnie dlatego, Ŝe następuje nakładanie się sta-nów. Obraz taki nie mógłby się pojawić, gdyby ruchem elektro-nów rządziły prawa mechaniki klasycznej.Warto zwrócić uwagę na bardzo interesującą sytuację,zresztą typową dla współczesnej fizyki teoretycznej: głębokiewłasności fizyczne są często prostym następstwem elementar-nych prawidłowości matematycznych. W rozwaŜanym tu przy-padku elementarną własnością matematyczną jest liniowość przestrzeni Hilberta (czyli m.in. to, Ŝe kaŜdy wektor tej prze-strzeni moŜe być przedstawiony jako kombinacja liniowa In-nych wektorów). Głęboką i zaskakującą własnością mechanikikwantowej jest nakładanie się na siebie (superpozycja) stanówkwantowych. Drugie jest prostym następstwem pierwszego,polegającym na utoŜsamieniu stanów kwantowych z wektora-mi w przestrzeni Hilberta.Nic podobnego nie pojawia się w czasoprzestrzeni ogólnejteorii względności. Wręcz przeciwnie, specyfika tej fizycznejteorii jest następstwem innego matematycznego faktu, tegomianowicie, Ŝe Jest to teoria silnie nieliniowa.Geometria czasoprzestrzeniWiemy juŜ, Ŝe ogólna teoria względności jest teorią czasoprze-strzeni i jest równieŜ teorią grawitacji. W Jaki sposób geometriaczasoprzestrzeni łączy się z grawitacją? Wśród narzędzi geo-metrycznych istnieją teŜ i takie, które pozwalają opisywać krzywiznę przestrzeni (na przykład krzywiznę powierzchni ku-li). Zupełnie analogicznie moŜna opisać zakrzywienie czaso-przestrzeni. Zakrzywienie to w ogólnej teorii względności utoŜ-samia się z polem grawitacyjnym. Na pytanie: dlaczego planetyporuszają się wokół Słońca po takich a nie innych torach?ogólna teoria względności odpowiada, Ŝe Słońce zakrzywia wo-kół siebie czasoprzestrzeń, a planety obiegają je po "najprost-

szych krzywych" w tej zakrzywionej czasoprzestrzeni (krzywe

WZGLĘDNOŚĆ l KWANTY • 29takie nazywają się liniami geodezyjnymi albo krótko geodety-kami; dla przykładu: na powierzchni globusa geodetykami są południki).Istotną częścią matematycznej struktury ogólnej teoriiwzględności są równania pola grawitacyjnego, zwane równieŜ równaniami Einsteina. Pozwalają one wyliczyć, jak określonakonfiguracja materii zakrzywia czasoprzestrzeń. Równania tesą silnie nieliniowe. Co to znaczy?Równanie nazywamy liniowym, jeŜeli suma rozwiązań tego

równania jest nowym jego rozwiązaniem. Równanie (lub układrównań) jest nieliniowe, jeŜeli tej własności nie posiada. W ta-



kim równaniu rozwiązanie wypadkowe jest czymś więcej odsumy rozwiązań składowych. Gdy to "coś więcej" (nieliniowynaddatek) znacznie się róŜni od sumy rozwiązań składowych,mówi się, Ŝe równanie jest silnie nieliniowe. W tym właśniesensie równania Einsteina są silnie nieliniowe. I ma to, oczywi-ście, swój odpowiednik w fizyce. Wyobraźmy sobie układ

dwóch gwiazd, krąŜących wokół wspólnego środka masy. KaŜ-da z tych gwiazd wytwarza pole grawitacyjne (zakrzywia czaso-przestrzeń wokół siebie). Jakie jest ich wypadkowe pole grawi-tacyjne (sumaryczne zakrzywienie czasoprzestrzeni), czylipochodzące od obydwu gwiazd? Okazuje się, Ŝe pole wypadko-we nie stanowi zwykłej sumy poszczególnych pól. KaŜde bo-wiem z dwu pól składowych Jest źródłem nowego pola grawita-cyjnego, nowe pole - źródłem kolejnego pola grawitacyjnegoItd. W ten sposób powstaje pewna hierarchia nieliniowychnaddatków; nie prowadzi ona jednak do Ŝadnej nieskończono-ści, lecz w konkretnych sytuacjach daje konkretne wyniki licz-bowe. Co więcej, dzięki nieliniowości pole wypadkowe jest nie-rozdzielną całością; nie da się w nim jednoznacznie wydzielić pola pochodzącego od kaŜdego ze składników oddzielnie.Nieliniowość ogólnej teorii względności pozostaje w głębokimkontraście z liniowością mechaniki kwantowej. Wszelkie próbypołączenia tych dwu teorii w jedną prowadzą do dylematu: czyzrezygnować z liniowości, czy z nieliniowości? Równania niemogą być równocześnie liniowe i nieliniowe. Albo ogólna teoriawzględności, albo mechanika kwantowa musi zrezygnować

30 • KOSMOLOGIA KWANTOWAz cechy, która dotychczas zapewniała tej teorii nieprzerwanyciąg sukcesów. Czy nie ma wyjścia z tego dylematu?ObserwableO sukcesach teorii decyduje zgodność jej przewidywań z wyni-kami eksperymentów. Te aspekty mechaniki kwantowej, któredotyczą jej przewidywań, są tak eleganckie z matematycznegopunktu widzenia l tak zgodne z rzeczywistymi wynikami do-świadczeń, Ŝe większość teoretyków sądzi, iŜ powinny one zo-stać wcielone - być moŜe z pewnymi niezbędnymi przystoso-waniami - do przyszłej kwantowej teorii grawitacji.Wielkości, które moŜna mierzyć, takie jak połoŜenie lub pędelektronu, w mechanice kwantowej nazywają się obserwabla-ml. W aparacie matematycznym mechaniki kwantowej kaŜdejobserwabli odpowiada operator działający na przestrzeni Hll-berta. Operator taki, oznaczmy go przez A, jest wielkością ma-tematyczną, która jeden wektor naleŜący do przestrzeni Hll-berta przeprowadza (przekształca) w inny wektor przestrzeni

Hilberta, na przykład wektor (p w wektor i^. MoŜemy to zapisać w postaci symbolicznejA: qp -»•4>,co czytamy: operator A, działając na wektor (p, daje wektor TJ).ZałóŜmy teraz, Ŝe mamy obiekt kwantowy, który znajdujesię w stanie (p, l chcemy zmierzyć pewną Jego własność, czyliobserwablę, której odpowiada operator A. Działamy więc ja-kimś aparatem pomiarowym na obiekt kwantowy. Akt pomia-ru zaburza ten obiekt. Chcąc na przykład wyznaczyć połoŜenieelektronu, naświetlamy go wiązką fotonów (światła), co oczywi-ście wpływa na połoŜenie elektronu. Zaburzenie takie oznaczaprzejście obiektu kwantowego ze stanu cp, w którym znajdowałsię dotychczas, w inny stan, na przykład ip. A zatem, z punktu

widzenia teorii. Jest to zadziałanie operatorem A na wektorq> i, w wyniku tego, otrzymanie wektora ip, czyli



WZGLĘDNOŚĆ l, KWANTY • 31A; (p - ip.Operację tę opisuje pewne równanie (nazywa się je roirna-niem na wartości wiosnę], którego rozwiązanie daje wyniki po-

miaru. Ogromne sukcesy mechaniki kwantowej polegają natym, Ŝe rozwiązania tego równania dla róŜnych obserwabli do-skonale zgadzają się z rzeczywiście uzyskiwanymi wynikamipomiarów. Mechanika kwantowa właśnie dlatego nazywa się "kwantowa", Ŝe równanie na wartości własne niektórych ob-serwabli, szczególnie waŜnych dla tej teorii fizycznej, daje roz-wiązania skwantowane, czyli przewiduje, iŜ wyniki pomiarówtych wielkości mogą przybierać tylko wartości dyskretne (nie-ciągłe). I tak jest w rzeczywistości; na przykład atom wodorumoŜe znajdować się tylko w skwantowanych stanach energe-tycznych.A jak wygląda problem obserwabli w ogólnej teorii względno-ści? Jest to teoria świata w duŜej skali. Wielkości obserwacyj-ne na ogół wylicza się dla obszaru kontrolowanego przez astro-nomię i radioastronomię, a informacje rejestrowane przezteleskopy i radioteleskopy są przynoszone z Wszechświata zapośrednictwem fal elektromagnetycznych. ChociaŜ oko ludzkiejest wraŜliwe tylko na pewien zakres długości fal elektroma-gnetycznych (od około 3500 do około 7000 angstremów), fizycyczęsto wszystkie fale elektromagnetyczne nazywają światłem.Stosując się do tej konwencji, moŜemy powiedzieć, Ŝe informa-cje z Wszechświata otrzymujemy za pośrednictwem światła.Jak juŜ wiemy, w ogólnej teorii względności pole grawitacyjneprzejawia się jako zakrzywienie czasoprzestrzeni. Światło nato-miast - zgodnie z postulatami tej teorii - porusza się po "naj-prostszych krzywych" w zakrzywionej czasoprzestrzeni, czylipo liniach geodezyjnych. Chcąc rozszyfrować dane przynoszo-ne nam przez światło z obiektów, do których odnoszą się pra-wa ogólnej teorii względności (na przykład od masywnychgwiazd w końcowych stadiach ich ewolucji), musimy rozwiązy-wać niekiedy trudne zagadnienia dotyczące geometrii Unii geo-dezyjnych, czyli geometrii rozchodzenia się światła (lub "geo-metrii świetlnej", jak niekiedy mówią fizycy relatywiści).

32 • KOSMOLOGIA KWANTOWAZagadnienia te nie mają nic wspólnego z operatorami na prze-strzeni Hilberta l są zupełnie innej natury niŜ rozwiązywanierównań na wartości własne.Gdy jednak przejdziemy do obszarów, w których powinny

wystąpić kwantowe efekty grawitacji (a więc do rozmiarówmniejszych niŜ 10~33 cm; por. rozdział następny), geometriaświetlna prawdopodobnie całkowicie się załamie i trzeba ją za-stąpić jakimś formalizmem, który poradziłby sobie z kwantową naturą pola grawitacyjnego. Czy będzie to teoria operatorów naprzestrzeni Hilberta? Teoria taka radzi sobie z kwantami, alejest liniowa, więc czy poradzi sobie z polem grawitacyjnym? Je-Ŝeli natomiast zrezygnujemy z liniowości, to nie moŜe to być teoria operatorów na przestrzeni Hilberta. Wydaje się zatem, Ŝepowinniśmy szukać całkiem nowej matematyki. Ale gdzie jejszukać? Pytanie to jest tym trudniejsze, Ŝe nie moŜemy - w re-alistycznie odległej przyszłości - spodziewać się Ŝadnych wska-zówek ze strony doświadczeń. Energie potrzebne do tego, by

spenetrować obszar kwantowej grawitacji, są tak ogromne, ŜemoŜe nimi swobodnie operować tylko literatura science fiction.



ROZDZIAŁ 3JAK TEORETYCYTRAKTUJĄ WSZECHŚWIAT?Epoka Plancka

Dla kwantowej teorii grawitacji decydująca jest skala. W duŜejskali (na przykład porównywalnej z rozmiarami naszego ciała)pola grawitacyjne są słabe l nie przejawiają swojej kwantowejnatury; w tym obszarze klasyczna teoria grawitacji Newtonasprawuje się wystarczająco dobrze (a nawet bardzo dobrze!).W rozdziale l mówiliśmy o tym, Ŝe w bardzo wczesnych eta-pach ewolucji Wszechświata, kiedy Jego gęstość osiągałal O93 g/cm3 (tzw. gęstość Plancka}, cały Kosmos znajdował się w "małej skali" i kwantowe efekty grawitacji musiały odgrywać decydującą rolę. Epokę tę nazwaliśmy epoką Plancka. Z rów-nań kosmologicznych łatwo wyliczyć, kiedy gęstość Wszech-świata równała się gęstości Plancka. Okazuje się, Ŝe miało tomiejsce 10~44 s (tzw. czas Plancka}, licząc od stanu, w którymgęstość Wszechświata byłaby (teoretycznie) nieskończona.Stan ten kosmologowie teoretycy nazywają osobliu;osciQ po-czątkową; obserwatorzy i popularyzatorzy wolą termin WielkiWybuch. W dalszym ciągu o stanie tym będziemy mieli okazję mówić jeszcze bardzo wiele. Na razie przyjmijmy, Ŝe czas ko-smiczny liczymy od osobliwości początkowej; a zatem przypi-szemy jej "chwilę zero". Znając czas, łatwo wyliczyć odległość,jaką światło przebędzie w tym czasie. Okazuje się, Ŝe dla

34 • KOSMOLOGIA KWANTOWAl O-44 s odległość ta wynosi l O-33 cm (tzw. odległość Plancka).Właśnie tymi trzema wielkościami charakteryzuje się epoka(albo próg) Plancka: gęstość l O-93 g/cm3, czas l O-44 s, długość l O"33 cm (chodzi oczywiście tylko o rzędy wielkości).Czy epokę Plancka naleŜy umieszczać w zamierzchłej prze-szłości, u zarania dziejów Wszechświata, jakieś 10-15 miliar-dów lat temu (jak szacują kosmologowie obserwatorzy)? Oczy-wiście tak, ale... nie tylko. Rzecz w tym, Ŝe do ery PlanckamoŜna dojść nie tylko cofając się w czasie, lecz równieŜ drąŜącw głąb. MoŜemy mianowicie penetrować coraz to mniejsze od-ległości. JednakŜe by dotrzeć głębiej, trzeba zuŜyć więcej ener-gii. W CERN-ie pod Genewą w słynnych doświadczeniach zezderzającymi się wiązkami protonów uzyskano energię sięgają-cą 100 GeV (gigaelektronowoltów), co pozwoliło w maleńkiejobjętości (wielkości główki od szpilki) odtworzyć warunki, jakiepanowały we Wszechświecie l O"35 s po początkowej osobliwo-

ści. Do ery Plancka pozostało Jeszcze "tylko" 9 rzędów wielko-ści! Niestety, by eksperymentalnie pokonać te rzędy wielkości,musielibyśmy dysponować energią, do jakiej prawdopodobnienigdy nie uzyskamy dostępu (chociaŜ w nauce nigdy nie naleŜymówić "nigdy"). Ale od czego teoretycy i ich pomysły?!Sytuacja wygląda podobnie jak w geologii: pozostałości podawno minionych epokach odkładają się w głębokich war-stwach struktury Wszechświata. I wszystko wskazuje na to, Ŝepenetrując "warstwę Plancka" (przynajmniej teoretycznie), do-wiemy się czegoś waŜnego o fundamentach fizyki. Świadczyo tym takŜe następujący ciekawy "zbieg okoliczności". W fizycesą znane trzy fundamentalne stałe fizyczne: prędkość światła,oznaczana przez c - jest to stała waŜna w elektrodynamice

i szczególnej teorii względności; stała grawitacji (Newtonow-ska) , oznaczona przez G - charakterystyczna dla teorii grawita-



cji (a więc l dla ogólnej teorii względności); oraz stała Plancka,oznaczona przez h - ściśle związana z mechaniką kwantową.OtóŜ okazuje się, Ŝe gdy z tych stałych skonstruujemy wielko-ści o wymiarach gęstości, czasu l przestrzeni, otrzymamy wiel-kości równe (co do rzędu) gęstości Plancka, czasowi Planckai długości Plancka. Czy jest to rzeczywiście tylko zbieg okolicz-

JAK TEORETYCY TRAKTUJĄ WSZECHŚWIAT? . 35ności, czy moŜe raczej fundamentalne stałe fizyczne w jakimś sensie pamiętają erę Plancka? Fizycy na ogół nie wierzą w ta-kie zbiegi okoliczności l zawsze na tym dobrze wychodzą.Ostateczny akceleratorCo zrobić, gdy brakuje pieniędzy na kosztowną inwestycję?Odpowiedź jest prosta: wymyślić coś tańszego. Tak teŜ zrobiliteoretycy. Skoro nie stać nas na wydatek energetyczny, któryby nam pozwolił posunąć się głębiej o 9 rzędów wielkości i do-trzeć do warstwy Plancka, to... cofnijmy się w czasie i sięgnij-my do oryginalnej, pierwotnej ery Plancka. Oczywiście, moŜe-my to zrobić tylko teoretycznie, ale moŜemy. Trzeba najpierw,wykorzystując odpowiednie teorie i obserwacje astronomiczne,zrekonstruować historię Wszechświata wstecz l do najwcze-śniejszych etapów tej historii zastosować nasze teoretycznespekulacje dotyczące fizyki w epoce Plancka. Innymi słowy,naleŜy umiejętnie połączyć równania kosmologiczne z róŜnymimodelami kwantowej grawitacji, a następnie zobaczyć, co z te-go wynika. Oczywiście, posługując się równieŜ matematyczną dedukcją, to znaczy wyliczając, jakie wnioski obserwacyjnewynikają z naszego połączenia równań grawitacyjnych z rów-naniami kwantowej teorii grawitacji. Przy odrobinie szczęścia -a uczeni zawsze liczą na szczęście - być moŜe obserwacjeastronomiczne potwierdzą niektóre z tych wniosków. Lub jeobalą - obalanie swoich teoretycznych przewidywań fizycy tak-Ŝe uwaŜają za sukces. "Nie tędy droga" takŜe jest wartościową informacją. VPodsumowując: jeśli prawdziwy akcelerator jest za kosztowany, potraktujmy Wszechświat jako rodzaj teoretycznego akce-leratora. PoniewaŜ nie ma tu Ŝadnej granicy osiągalnych ener-gii, fizycy nazywają niekiedy Wszechświat "ostatecznymakceleratorem".W dalszym ciągu tego rozdziału przygotujemy się do tej stra-tegu. W następnych rozdziałach będziemy z niej obficie korzy-stać.

36 • KOSMOLOGIA KWANTOWA

Co to jest model kosmologiczny?W jaki sposób kosmologowie teoretycy konstruują modeleWszechświata? Istnieją mocne - zarówno teoretyczne, jak i ob-serwacyjne - podstawy, by wierzyć, Ŝe struktura Wszechświataw największej skali jest kształtowana przez oddziaływania gra-witacyjne. A zatem teorią, którą naleŜy się posłuŜyć przy kon-struowaniu modeli kosmologicznych, winna być teoria grawi-tacji - ogólna teoria względności. Pamiętamy z poprzednichrozdziałów, Ŝe u podstaw tej teorii leŜy twierdzenie, iŜ pole gra-witacyjne przejawia się jako zakrzywienie czasoprzestrzeni.NaleŜy tę ideę sprecyzować nieco dokładniej, czyli opisać Ją w języku matematycznym. Czyni to równanie pola grawitacyj-nego, zwane równieŜ równaniem Einsteina. MoŜna Je schema-

tycznie przedstawić w następujący sposób:geometria, czasoprzestrzeni = stalą. • rozkład, materii.



Po lewej stronie tego równania znajduje się wyraŜenie opisują-ce geometrię czasoprzestrzeni; po prawej - wyraŜenie opisującerozkład w czasoprzestrzeni wszystkiego, co moŜe być źródłempola grawitacyjnego (a więc mas, energii, pędów...). Skrótowomówi się o "rozkładzie materii", choć wyraŜenie "materia" w fi-zyce nie jest zbyt jasno określone. Stała występująca po prawej

stronie równania Einsteina jest swoistą "stałą sprzęŜenia":sprzęga ona rozkład materii z geometrią czasoprzestrzeni. Sta-ła ta jest związana ze stałą grawitacji Newtona i została tak do-brana, by dla słabych pól grawitacyjnych równanie Einsteinaprzechodziło w odpowiednie równanie teorii Newtonowskiegopowszechnego ciąŜenia.Konstruowanie modelu kosmologicznego polega na podsta-wieniu za rozkład materii po prawej stronie równania Einste-ina wyraŜenia, które w Jakiś sposób opisuje rozkład materiiw największej skali (a więc, powiedzmy, rozkład gromad l su-pergromad galaktyk), i rozwiązaniu tego równania. Otrzymamyw ten sposób odpowiedź na pytanie, jaka Jest geometria czaso-przestrzeni w największej skali. PoniewaŜ chodzi tu o geome-

JAK TEORETYCY TRAKTUJĄ WSZECHŚWIAT? • 37trię czasoprzestrzeni, odpowiedź na to pytanie zawiera w sobieInformacje o ewolucji Wszechświata w czasie l jego przestrzen-nej strukturze.Modele FriedmanaTeoretycy często bywają niecierpliwi. Nie czekając na dane, któ-rych powinni dostarczyć doświadczalnicy lub obserwatorzy,kierowani intuicją, czynią załoŜenia, mające tymczasem zastą-pić wyniki eksperymentów, na ich podstawie konstruują swojematematyczne modele l... bardzo często trafiają w sedno. Bar-dzo często ex post obserwacje potwierdzają słuszność wyjścio-wych załoŜeń. Jak opisać rozkład materii w największej skali?Trzeba by o to zapytać astronomów. Galaktyki łączą się w gro-mady; gromady galaktyk wykazują tendencję do tworzenia su-pergromad. Wymagające czasu l duŜych nakładów finansowychprogramy obserwacyjne winny ustalić, jak gromady i supergro-mady są rozłoŜone w przestrzeni. Dziś takie programy funkcjo-nują, ale w 1917 roku, kiedy Albert Einstein konstruował swójpierwszy model kosmologiczny, astronomowie nie byli jeszczew pełni przekonani, Ŝe galaktyki (nie mówiąc o ich gromadachi supergromadach) w ogóle istnieją. Einstein więc i jego następ-cy zrobili to, co było najprostsze: załoŜyli, Ŝe rozkład materiiw przestrzeni jest, średnio rzecz biorąc, równomierny (Einsteinmówił o równomiernym rozkładzie gwiazd, gdyŜ wówczas jesz-cze nie wiedział o istnieniu galaktyk). Widocznie przyroda rów-

nieŜ chętnie wybiera najprostsze rozwiązania, bo dzisiejszewyniki badań obserwacyjnych potwierdzają, Ŝe w skali super-gromad galaktyk materia jest rzeczywiście, statystycznie rzeczbiorąc, równomiernie rozłoŜona w przestrzeni.Nie będziemy tu opisywać, w jaki sposób załoŜenie (dziś juŜ raczej wniosek z obserwacji) o równomiernym rozkładzie ma-terii "wstawia się" do równania Einsteina. Wymagałoby to zbytspecjalistycznej wiedzy matematycznej. Dość wspomnieć, Ŝepo tym zabiegu równanie Einsteina drastycznie się upraszcza;do tego stopnia, iŜ stosunkowo łatwo je rozwiązać. W ten spo-




Rys. 3.1. Kosmologiczne modele Friedmana.sób uproszczone równanie Einsteina nazywa się równaniemFriedmana. Najogólniej mówiąc, równanie to określa ewolucję Wszechświata w czasie. Ma ono trzy rozwiązania (przy załoŜe-niu, Ŝe tzw. stała kosmologiczna równa się zeru). Rozwiązaniate, zwane kosmologicznymi modelami Friedmana, schema-

tycznie przedstawia rysunek 3.1. Przyjrzyjmy się mu niecodokładniej.Chcąc dobrze odczytać wykres, taki jak na rysunku 3.1,musimy najpierw zwrócić uwagę na to, co oznaczają osiewspółrzędnych. Na naszej rycinie oś pozioma oznacza czas ko-smiczny, tzn. czas, którym mierzymy historię Wszechświata.I tu bardzo waŜna uwaga. W ogólnej teorii względności czaskosmiczny nie musi istnieć. Zegary chodzą róŜnie w róŜnychukładach odniesienia i wcale nie musi istnieć taki układ od-niesienia, w którym zegar odmierzałby całą (od "początku" do"końca") historię świata. Tak się Jednak szczęśliwie składa, Ŝerównomierny rozkład materii we Wszechświecie powoduje, iŜ taki "globalny" układ odniesienia istnieje i pojęcia historiiWszechświata oraz kosmicznego czasu mają sens. Właśnie tenczas (oznaczony symbolem t) reprezentuje pozioma oś na ry-sunku 3.1.

JAK TEORETYCY TRAKTUJĄ WSZECHŚWIAT? . 39

Na osi pionowej odkładamy wielkość zwaną czynnikiem ska-li, oznaczoną przez R. Dla naszych potrzeb wystarczy, jeŜeliwielkość tę będziemy utoŜsamiali z typową odległością pomię-dzy galaktykami (lub gromadami galaktyk). JeŜeli czynnik ska-li jest mały, galaktyki są stłoczone, a Wszechświat - gęsty. Je-śli czynnik skali jest duŜy, galaktyki znajdują się daleko odsiebie l Wszechświat jest rozrzedzony.Przyjrzyjmy się teraz samym rozwiązaniom. Jest ich trzyl kaŜde przedstawia wszechświat z inną geometrią przestrzeni;odpowiednie nazwy są zaznaczone na rysunku. I tak jednoz rozwiązań przedstawia wszechświat z przestrzenią zamknię-tą. Prototypem takiej przestrzeni jest powierzchnia kuli (z tą róŜnicą, Ŝe powierzchnia kuli ma 2 wymiary, a przestrzeń wszechświata - 3): podróŜując w takiej przestrzeni ciągle przedsiebie, po skończonym czasie wrócimy do punktu wyjścia.Drugie rozwiązanie ukazuje wszechświat z przestrzenią pla-ską, w której obowiązuje zwykła geometria Euklidesa. Prze-strzeń wszechświata, reprezentowanego przez trzecie rozwiąza-nie, nazywa się otwarto., gdyŜ - podobnie jak w przestrzeni

płaskiej - podróŜując wciąŜ przed siebie, nigdy nie wrócimy dopunktu wyjścia; w przeciwieństwie do przestrzeni zamkniętej,która jest "wypukła" (ma krzywiznę dodatnią), przestrzeń otwarta jest "wklęsła" (ma krzywiznę ujemną).Spróbujmy teraz odczytać z wykresów rozwiązań ich ewolu-cję w czasie. Początek ewolucji wszystkich trzech modeli ko-smologicznych jest taki sam: w chwili t = O czynnik skali R = O,czyli cała materia wszechświata znajduje się teoretyczniew jednym "punkcie". To właśnie jest osobliwość początkowa.W następnych chwilach R rośnie, wszechświat zaczyna się roz-szerzać. Z początku tempo ekspansji we wszystkich trzech mo-delach jest mniej więcej takie samo, ale z czasem wyraźnie wi-dać, Ŝe model otwarty rozszerza się najszybciej, a model

zamknięty - najwolniej. W modelu zamkniętym ekspansjazwalnia, osiąga maksimum l zamienia się w kurczenie. Po



skończonym czasie czynnik skali ponownie przyjmuje wartość zero - wszechświat znajduje się w stanie osobliwości końcowej.W modelach płaskim l otwartym ekspansja zwalnia, ale nie


zmienia się w kurczenie: wszechświat rozszerza się w nieskoń-czoność, jego gęstość dąŜy do zera (poniewaŜ masa zawarta wewszechświecie pozostaje ta sama, ale objętość rośnie nieogra-niczenie).Któryś z tych trzech modeli Frledmana dostarcza poprawne-go opisu naszego Wszechświata w największej skali (oczywi-ście, tylko w pewnym przybliŜeniu1). Który z nich? PoniewaŜ na pewno Ŝyjemy w fazie rozszerzania się (a nie kurczenia), py-tanie to nie Jest tak bardzo istotne. Informacje astronomiczneo Wszechświecie przynosi nam światło, które rozchodzi się zeskończoną prędkością, a więc informacje te czerpiemy z naszejprzeszłości, a przeszłość we wszystkich trzech modelach Fried-mana Jest bardzo podobna. To daleka przyszłość róŜni te mo-dele od siebie. W modelu zamkniętym koniec Wszechświatanastąpi przez zgniecenie w końcowej osobliwości, a w mode-lach płaskim i otwartym - przez roztopienie w pustce. Rodzi się więc pytanie: czy potrafimy za pomocą obserwacji wyróŜnić "scenariusz końca"?Co wolą obserwatorzy, a co teoretycy?W zasadzie istnieje moŜliwość udzielenia odpowiedzi na pyta-nie postawione na końcu poprzedniego paragrafu (jeŜeli w dal-szym ciągu utrzymamy załoŜenie, Ŝe stała kosmologiczna jestrówna zeru). Decydującym parametrem jest gęstość materii weWszechświecie. Model płaski jest bardzo wymagający: obecnagęstość materii we Wszechświecie musi być równa dokładnieściśle określonej wartości; nazywamy ją gęstością krytyczną i oznaczamy przez p^ryf JeŜeli obecna gęstość materii pp jestwiększa od p^ryt- to Wszechświat musi być zamknięty. Oczywi-ście, dowodzi się tego matematycznie, ale moŜna sobie poglą-dowo wyobraŜać, Ŝe gdy py > p^ryf materii we Wszechświecie* Najnowsze wyniki obserwacji sugerują, Ŝe rozszerzanie naszego Wszechświatanie zwalnia, lecz nabiera przyspieszenia. JeŜeli zostanie to potwierdzone,trzebabędzie uznać, Ŝe jego ewolucję opisuje jakieś rozwiązanie równania Einsteinaze stałą kosmologiczną róŜną od zera.

JAK TEORETYCY TRAKTUJĄ WSZECHŚWIAT? • 41jest na tyle duŜo l wytwarza ona tak silne pole grawitacyjne, iŜ zdoła ono wyhamować ucieczkę galaktyk i zamienić ją w po-

wszechne kurczenie.Gęstość krytyczna p^ry^ wynika z teorii, a więc powinna być określona dokładnie. Niestety, teoria powiada, Ŝe p^^ zaleŜy odinnej stałej, tzw. stałej Hubble'a, której wartość winniśmy wy-znaczyć z obserwacji. PoniewaŜ wartość tej stałej znamy tylkoz pewną dokładnością, moŜemy jedynie ustalić rząd wielkościgęstości krytycznej; z obliczeń wynika, Ŝe p^ ^~10~29 g/cm3.A jaka jest obecna gęstość Wszechświata? Trudno ją oszaco-wać, poniewaŜ nie wszystko, co wypełnia Wszechświat, musisię świecić (co więcej, rozwaŜania teoretyczne mówią, Ŝe w Ko-smosie istnieje duŜo ciemnej materii). Dotychczasowe badaniaprowadziły do wniosku, Ŝe rzeczywista gęstość pp zawiera się pomiędzy l O"33 g/cm3 a 10~28 g/cm3, czyli nie dają odpowiedzi

na pytanie, czy nasz Wszechświat jest zamknięty, płaski czyotwarty. Ale metody obserwacyjne ciągle się rozwijają l szansę



na znalezienie odpowiedzi na to pytanie rosną. Wykorzystującteleskopy orbitalne l instrumenty nowej generacji, obserwuje-my coraz bardziej odległe obiekty, a więc oglądamy coraz odle-glejszą przeszłość Wszechświata. Innymi słowy, chociaŜ w po-bliŜu "początku" wszystkie trzy wykresy z rysunku l bardzomało róŜnią się od siebie, coraz bardziej realne staje się wyróŜ-

nienie jednego z nich jako tego, który poprawnie opisuje naszą przeszłość. Badania prowadzone w tym kierunku, mimo Ŝejeszcze nie prowadzą do ostatecznych wniosków, przechylają szansę na korzyść modelu otwartego.Obserwatorzy starają się nie mleć własnych preferencji, leczpo prostu pilnie słuchać, co Wszechświat - za pośrednictwemwyników obserwacji - ma im do powiedzenia. Taka jest przy-najmniej ich oficjalna strategia, gdyŜ w istocie nie sposób niemieć własnych sympatii i upodobań. W przypadku obserwato-rów ukrywają się one zwykle w milczących załoŜeniach, któretrzeba poczynić, zanim przystąpi się do jakichkolwiek pomia-rów, w konstrukcji aparatów, w interpretacji wyników, w nie-świadomym pomijaniu pewnych czynników, a przyjmowaniuinnych (tzw. efekty selekcji).

42 • KOSMOLOGIA KWANTOWAObserwatorzy są świadomi moŜliwości występowania tychwszystkich subiektywnych elementów (a takŜe Innych, nie da-jących się przewidzieć czynników) l starają się Je zminimalizo-wać, na przykład przez wielokrotne powtarzanie tych samychpomiarów róŜnymi metodami i przy róŜnych załoŜeniach. Spe-cjaliści dopiero wtedy uznają wyniki obserwacji, dotyczące ja-kichś waŜnych problemów, za wiarygodne, jeŜeli zostaną onepotwierdzone przez kilka, pracujących niezaleŜnie od siebie,ośrodków. I dlatego pytanie, czy Wszechświat, w którym Ŝyje-my, jest zamknięty, płaski, czy otwarty, pozostaje ciągle nie-rozstrzygnięte.Zupełnie inaczej zachowują się teoretycy. Oczywiście, gdywyniki obserwacji zostają ostatecznie ustalone, akceptują jebez dyskusji, gdyŜ to właśnie zgodność lub niezgodność z do-świadczeniem decyduje o słuszności lub niesłuszności teore-tycznych koncepcji. Ale zanim werdykt doświadczenia zostanieogłoszony, teoretycy na ogół nie kryją swoich preferencjii uprzedzeń. Laureat Nagrody Nobla w dziedzinie fizyki, StevenWeinberg, powiedział kiedyś, Ŝe "problem nie polega na tym,by nie mleć uprzedzeń, lecz na tym, by mieć uprzedzenia wła-ściwe". A o to, co jest właściwym uprzedzeniem, a co nie, teore-tycy potrafią wieść niekończące się dyskusje. Najlepsi częstomają rację (albo odwrotnie: cl, co często mają rację, naleŜą do

najlepszych).Niekiedy teoretycy postępują jeszcze inaczej: preferują jakiś model, nie dlatego, Ŝe jest zgodny z obserwacjami, lecz z tegopowodu, iŜ bardziej niŜ inne modele nadaje się do manipulacji,na przykład do wzbogacania go, by znaleźć jakąś lepszą lubogólniejszą teorię. W ten właśnie sposób kosmologowie teorety-cy często traktują model zamknięty. Nie idzie nawet o to, Ŝew Jego ramach łatwiej prowadzi się obliczenia (w istocie naj-mniej kłopotów rachunkowych sprawia model płaski, bo zeru-ją się w nim wszystkie wyrazy, w których występuje krzywi-zna), lecz o to, Ŝe Jest on prostszy koncepcyjnie. W modelachpłaskim l otwartym trudność sprawia fakt, Ŝe przestrzeń w nich "rozciąga się w nieskończoność". W wielu zagadnie-

niach wymaga to przyjęcia dodatkowych załoŜeń, które mówią,



JAK TEORETYCY TRAKTUJĄ WSZECHŚWIAT? • 43Jak rozwaŜana wielkość zachowuje się w przestrzennejnieskończoności. ZałoŜenia te nazywają się warunkami brzego-wymi. W kosmologii mają one często postać dodatkowych rów-nań, które niekiedy trudno "zgrać" z oryginalnymi równania-

mi, opisującymi ewolucję modelu. W modelu zamkniętym niema kłopotów z warunkami w nieskończoności, poniewaŜ w modelu tym przestrzeń nie rozciąga się do nieskończoności,nieskończoność przestrzenna w ogóle się nie pojawia. NiekiedyteŜ mówi się, Ŝe w modelu zamkniętym nie ma kłopotów z wa-runkami brzegowymi, bo nie ma w nim "brzegów": podróŜującciągle przed siebie, wrócimy do punktu wyjścia, ale nigdzie podrodze nie natrafimy na Ŝaden brzeg.Na trudność tę natknął się juŜ Einstein w swojej pierwszejpracy kosmologicznej z 1917 roku. By uniknąć problemów ,z warunkami brzegowymi, do swoich rozwaŜań wybrał model,zamknięty (ale ze stałą kosmologiczną róŜną od zera). Co wię-cej, jego następcy tak zasugerowali się metodą Einsteina, Ŝe aŜ do drugiej wojny światowej niemal wszystkie badania w ko-smologii relatywistycznej koncentrowały się na modelachzamkniętych. W dalszych rozdziałach zobaczymy, Ŝe nie Ina-czej postępują (i niemal dokładnie z tych samych względów)dzisiejsi teoretycy, chcąc skonstruować kosmologię kwantową.Wszystko wskazuje na to, Ŝe wszechświat zamknięty łatwiejskwantować niŜ wszechświat otwarty. Tylko... czy przyroda za-wsze wybiera łatwiejsze rozwiązania?

ROZDZIAŁ 4KWANTOWANIEKANONICZNEProgram kanonicznego kwantowaniaW poprzednich rozdziałach przygotowywaliśmy grunt do pod-jęcia właściwego zagadnienia - kwantowania grawitacji. Poka-zaliśmy, na czym problem polega; zwróciliśmy uwagę na jegonieuniknioność; scharakteryzowaliśmy obie teorie (ogólną teo-rię względności i mechanikę kwantową), które powinny stać się szczególnymi przypadkami Jednej, zunifikowanej teoriikwantowego pola grawitacyjnego; przygotowaliśmy wreszciezasób modeli wszechświata, które stanowią kosmologiczną arenę, na Jakiej zagadnienie kwantowania grawitacji trzebasformułować, ale które równieŜ są swoistym terenem doświad-czalnym do wypróbowywania rozmaitych technik. Pora, by za-brać się za właściwe zadanie - za kwantowanie pola grawita-cyjnego. Pierwsza strategia, jaka się narzuca, polega na

zastosowaniu do grawitacji tej metody kwantowania, którasprawdziła się w zwykłej mechanice kwantowej, przystosowu-jąc ją oczywiście - jeŜeli okaŜe się to niezbędne - do specyfikipola grawitacyjnego. Metodą taką jest kwantowanie kanonicz-ne. Nazwa ta odzwierciedla fakt, iŜ właśnie tę metodę fizycyuznali za swojego rodzaju kanon, czyli wzór postępowania.Myśl, by metodę kwantowania kanonicznego zastosować dopola grawitacyjnego, została rzeczywiście wysunięta jako jedna

KOSMOLOGIA KWANTOWA • 45z pierwszych w tej dziedzinie badań; doprowadziła ona do dłu-giego ciągu prac, układających się w program kanonicznego

kwantowania pola grawitacyjnego. Rozdział niniejszy jest po-święcony omówieniu tego programu.



Przestrzeń stanów i kwantowanieTrzeba, oczywiście, zacząć od tego, w jaki sposób program ka-nonicznego kwantowania funkcjonuje w zwykłej mechanicekwantowej. Ta piękna teoria fizyczna równieŜ powstawała dzię-ki strategii "niezbędnych przystosowań" metod wykorzystywa-nych standardowo w mechanice klasycznej. W mechanice kla-

sycznej zachowanie układu fizycznego (dla uproszczenia niechnim będzie jeden punkt materialny) moŜna całkowicie opisać za pomocą jego trajektorii w przestrzeni fazowej. Brzmi to do-syć groźnie, ale za chwilę zobaczymy, Ŝe za techniczną termi-nologią kryją się proste rzeczy.Stan punktu materialnego w mechanice klasycznej określa-ją dwie wielkości: połoŜenie tego punktu w przestrzeni i jegopęd (pęd = masa • prędkość). JeŜeli znamy połoŜenie i pędpunktu, powiadamy, Ŝe znamy jego stan. Wyobraźmy sobie te-raz pewną abstrakcyjną przestrzeń, której punktami są wszystkie moŜliwe stany materialnego punktu. Przestrzeń tę nazywamy przestrzenią stanów lub przestrzenią fazową.W rozdziale 2 spotkaliśmy się juŜ z pojęciem przestrzeni sta-nów (przestrzeni fazowej). Jak pamiętamy, dla mechanikikwantowej była nią przestrzeń Hilberta.Przestrzeni stanów nie naleŜy mylić ze zwykłą przestrzenią (w której punkt materialny się znajduje). Zwykła przestrzeń tozbiór wszystkich moŜliwych połoŜeń punktu, natomiast prze-strzeń fazowa - w mechanice klasycznej -jest zbiorem wszyst-kich moŜliwych stanów punktu, czyli wszystkich moŜliwychpołoŜeń i pędów punktu materialnego.Ewolucja układu fizycznego (w naszym przypadku: punktumaterialnego) to nic innego, jak tylko przechodzenie tego ukła-du przez kolejne (następujące po sobie) stany, czyli krzywa (al-

46 • KOSMOLOGIA KWANTOWAbo Inaczej: trajektoria) w przestrzeni fazowej. Właśnie to mamyna myśli, gdy mówimy, Ŝe znajomość zachowania się układufizycznego sprowadza się do znajomości jego trajektorii w prze-strzeni fazowej.Tak jest w mechanice klasycznej. W mechanice kwantowejsprawa przedstawia się zupełnie inaczej. Przede wszystkim,zgodnie z relacjami nieoznaczoności Heisenberga, nie moŜemyznać równocześnie z dowolną dokładnością połoŜenia i pęducząstki kwantowej. Długi ciąg prac teoretycznych i doświad-czalnych doprowadził do wniosku, Ŝe stan układu kwantowegonaleŜy określić w inny sposób. Jak przekonaliśmy się w roz-dziale 2, stan układu kwantowego jest opisywany przez wektorw przestrzeni Hilberta. Wektor ten zawiera w sobie całą infor-

mację fizyczną, jaką moŜna uzyskać o danym układzie kwan-towym (na przykład o elektronie). Ale informację tę naleŜyz wektora stanu wydobyć; nie tkwi ona "na wierzchu", jak mato miejsce w przypadku stanów układów makroskopowych.I tak właśnie powinno być: stan układu makroskopowego jestbezpośrednio dostępny naszym zmysłom. Po prostu widzimy,Ŝe cząstka (punkt materialny) znajduje się tu oraz Ŝe ma taką prędkość (chociaŜ gdy chcemy ten stan określić dokładnie,musimy wykonać odpowiednie pomiary) l wystarczy te wielko-ści opisać za pomocą odpowiednich funkcji matematycznych;tymczasem stan układu kwantowego Jest głęboko ukryty dlanaszych zmysłów. Chcąc dowiedzieć się czegoś o nim, musimyprzeprowadzić skomplikowane pomiary (które zawsze dokonu-

ją się w świecie makroskopowym, bo przecieŜ kaŜdy aparat po-miarowy jest "ciałem" makroskopowym) i odpowiednio je zin-



terpretować (wykorzystując teorię).Na czym polega (z teoretycznego punktu widzenia) pomiar"nad układem kwantowym" (takiego zwrotu często uŜywają fizy-cy)? Jak wiemy z rozdziału 2, znaczy to zadziałać operatorem,przedstawiającym pewną obserwablę (wielkość obserwowalną),na wektor stanu, w Jakim układ się znajduje. Działanie to odpo-

wiada wejściu w kontakt aparatu pomiarowego z mierzonymobiektem. W wyniku tego stan obiektu mierzonego ulega zabu-rzeniu, czyli obiekt przechodzi do innego stanu, a na liczniku

KWANTOWANIE KANONICZNE • 47aparatu pomiarowego pojawia się liczba będąca wynikiem po-miaru. Teoretycznie: operator, działając na wektor stanu, prze-prowadza go w inny wektor stanu. Zabieg ten daje liczbę (zwaną imrtościq wiosną operatora), która jest wynikiem pomiaru.Czy zatem w odniesieniu do obiektu kwantowego w ogóle niemoŜna mówić o połoŜeniu i pędzie? Jest to pytanie sformuło-wane w sposób mglisty (co to znaczy "moŜna mówić"?). Trzebaje więc postawić poprawnie, tzn. tak, by całkowicie mieściło się w dotychczas ustalonych pojęciowych ramach mechanikikwantowej. Czy zatem moŜna mierzyć połoŜenie i pęd obiektówkwantowych? Lub jeszcze precyzyjniej: czy moŜna zdefiniować takie operatory (obserwablę), które odpowiadałyby (w sensieustalonym powyŜej) pomiarom połoŜenia i pędu obiektówkwantowych (na przykład elektronów)? Odpowiedź na to pyta-nie jest pozytywna. Uzyskano ją zbiorowym wysiłkiem wieluuczonych. W myśl zasady, Ŝe starając się przeniknąć światkwantów, naleŜy w minimalnym stopniu (tylko o tyle, o ile tokonieczne) modyfikować prawa klasycznej fizyki, starano się do ruchu cząstek subatomowych stosować prawa fizyki kla-sycznej. Jak wiadomo, występują w nich pędy i połoŜeniapunktów materialnych. Okazało się, Ŝe jeŜeli w tych prawachdokonamy pozornie niewielkiej (ale koniecznej!) zmiany, będą one poprawnie stosować się do świata kwantowego. Zmiana tapolega na zastąpieniu w równaniach klasycznych wyraŜeń re-prezentujących połoŜenie l pęd przez odpowiednie operatorydziałające na przestrzeń Hilberta.Jak wiadomo, połoŜenie w fizyce klasycznej przedstawia się za pomocą współrzędnych. Na przykład połoŜenie punktuw przestrzeni jednowymiarowej (na prostej) określa się przezpodanie jednej współrzędnej tego punktu (tzn. odległości odwybranego punktu odniesienia). Działanie operatora połoŜeniana wektor przestrzeni Hilberta definiuje się bardzo prosto,a mianowicie przez pomnoŜenie danego wektora (przedstawia-jącego stan badanego obiektu) przez odpowiednią współrzęd-

; na. Działanie operatora pędu na wektor przestrzeni Hilbertajest nieco bardziej skomplikowane i wiąŜe się z operacją róŜ-niczkowania wektora.

IPillilIPi?lgRas^^S-^S-^a^^ § h sł?i^ 1^•"'"•oSSiSg-^alsr^'13 s t!s^lllj.gSis-rlg

^s^|^ |,^5 l |^^3



^ j lgil&^Ss-^"•S^^ôo^gn _S-aS<^l?S||I S'lgl«:gli^!i 3l s M ii. |i| iS N. E? "- L S- 3 g- S- o- o

- pn-r+î- Sru §•"'!?^ §• §• S N ? ^ l ^ S iP S ^ §. S S ^ "l L |?r i- fc s i i i n s i o-lO0>BK19§-111 lîlil^^îs-î^ sîp ^ 1-1 ii "° |^:s §^1^ •loS.SS^Sis.s.^g.^âsg^^S: îltf^B^^S.a^^^1^0^'^'1^1"' Spi>r-i3 >^ l1- l S EJ § 1^ | ^.^ ?1-^ l -t S. 3 1|| ^ |-3 ||§î^-S| ^li||.§|^-,| -:tl-|-|-|i. |^^^ôi^-iis.^^^l-1-^l^g^^ ofi^rimiiî i ii ^^ "• | 3 ^ ^ SS.S | ^" |^ ^l? s- ° ^!lii^^S^ ^ ^ Ê^:g &^-|iJ^"a^-s" 3 ag |^|^ S l § E^ s "^33?^ S- L§^S^&p^"?y^^5&Ł^s-^-s- ffi&g.S-gsi.^S.ôo.prSpap-g-n a'- 31-ot?2.,."•E§E::^2Nc;l 3'°.^^ | ^^ 3 ?&^^% 1^ ^lîO- fl0>ci ^S-rtE^WtBO^NMN-rtg"•^35'3 "2•SS'§3^'rtsÊ3^S•ftSSr^?^ ̂ S^^^yN.g-gN&iO^S.pN


Rys. 4.2. Krzywa w superprzestrzenl. Punkty A i B na krzywej przedstawiają

stany Wszechświata w róŜnych chwilach Jego ewolucji.we redukuje się do 3 wymiarów (bo jest to przecieŜ nic innego,jak tylko przestrzeń w danej chwili) i dlatego nazywa się je rów-nieŜ 3-geometrią. KaŜda taka 3-geometria, a więc punkt w prze-strzeni wszystkich moŜliwych stanów Wszechświata, jest prze-strzenią, w której obowiązuje geometria Rlemanna (dla modeluFrledmana moŜe to być przestrzeń płaska, z krzywizną dodatnią lub ujemną). Wynika stąd, Ŝe przestrzeń, jaką konstruujemy,jest z matematycznego punktu widzenia bardzo skomplikowa-na. Nic dziwnego, Ŝe nazwano ją superprzestrzenią. Istotnie, jestona tak skomplikowana, Ŝe w praktyce trudno nią manipulo-wać. AŜeby sytuację uprościć, Wheeler zaproponował, by ogra-niczyć się tylko do światów zamkniętych. Wówczas, Jak wiemy,

odpada problem z warunkami brzegowymi w nieskończonościi przynajmniej teoretycznie moŜna się z trudnościami uporać.



Teoretycy posłuchali Wheelera i w swoich badaniach, niezaleŜ-nie od prac obserwatorów, przez długi czas zajmowali się prawiewyłącznie światami zamkniętymi. Pójdziemy ich śladem.Wheeler z naciskiem podkreślał, Ŝe teraz ogólna teoriawzględności stała się teorią dynamiczną. NaleŜy zapomnieć

KWANTOWANIE KANONICZNE • 51o 4-wymiarowej, statycznej czasoprzestrzeni; dynamiczną wiel-kością w teorii względności staje się płynąca w czasie 3-geome-tria. W związku z tym mówi się niekiedy o (3+1)-ujęciu teoriiwzględności (3 - to wymiar przestrzeni, a l - wymiar czasu).Ale l tu powstają pewne problemy natury matematycznej. Jakwiadomo, w teorii względności na ogół nie ma jednego czasu(czas płynie róŜnie w róŜnych układach odniesienia). Co wię-cej, geometryczny opis przestrzeni takŜe zaleŜy od wyboruukładu współrzędnych. Skąd więc wziąć czas, w którym ma"płynąć" 3-geometria? I jak uniezaleŜnić się od wyboru układuwspółrzędnych? Na szczęście problem ten daje się rozwiązać przez odpowiednie utoŜsamienie niektórych stanów Wszech-świata. Powoduje to dodatkowe trudności obliczeniowe, ale,';z teoretycznego punktu widzenia sprawa jest przejrzysta. ' !Narzuca się myśl, by 3-geometrię uznać za odpowiednik po-|'iłoŜenia w przestrzeni stanów, czyli w superprzestrzeni. A coodpowiadałoby pędowi? JeŜeli 3-geometria płynie w czasie(czyli zakreśla krzywą w superprzestrzenl), to okazuje się, Ŝejest sens mówić o tempie tego płynięcia, i to właśnie naleŜyuznać za odpowiednik pędu w (3+l)-ujęclu teorii względności.W tym miejscu konieczny jest bodaj krótki komentarz. Czyjest sens mówić o tempie płynięcia czegokolwiek w czasie? Z su-biektywnego doświadczenia wiemy, Ŝe niekiedy czas płynie wol-niej, niekiedy zaś szybciej. Czy Jednak tę prędkość płynięcia moŜ-na sensownie, z fizycznego punktu widzenia, mierzyć? Wheelerzwracał teŜ uwagę, Ŝe w jego ujęciu czas przestaje być zewnętrz-nym parametrem, który nie ma Ŝadnego wpływu na przebieg zja-wisk, lecz naleŜy go rozumieć jako "sposób włoŜenia 3-geometrildo całej superprzestrzeni". Ów "sposób włoŜenia" mierzy się pew-ną geometryczną wielkością, która zaleŜy od 3-geometril.l MoŜnawięc sensownie mówić o mierze zmienności tej wielkości. JeŜelitę wielkość utoŜsamić z czasem, to czas nie jest juŜ danym a prio-ri parametrem, lecz pozostaje ściśle związany z 3-geometria, czyliz określonym stanem Wszechświata. I moŜna wówczas określać tempo zmienności tego stanu.1 Jej krzywizną zewnętrzną.

52 • KOSMOLOGIA KWANTOWAWheeler nazwał to ujęcie geometrodynamiką i popularyzo-wał w wielu pracach, z których najczęściej są cytowane: ksiąŜ-ka Geometrodynamics (Nowy Jork 1962) i artykuł Geometrody-namics and the Issue qf the Final State. Ale na sugestiachi wstępnych sformułowaniach nie moŜna poprzestać. Matema-tyczne szczegóły geometrodynamiki Wheelera opracowali:R. Amowitt, S. Deser l C. W. Misner. Ich wyniki są tak waŜne,Ŝe dzisiaj częściej niŜ o geometrodynamice mówi się o ujęciulub metodzie ADM (od pierwszych liter nazwisk autorów). Na-leŜy takŜe wspomnieć o bardzo eleganckiej pracy A. E. Fishera,w której poddał on gruntownej matematycznej analizie wła-sności superprzestrzeni. Okazało się, Ŝe jest ona niezwykle bo-

gatym i geometrycznie bardzo interesującym obiektem badań.JeŜeli nie zawęŜać się do jakiejś szczególnej klasy modeli ko-



smologicznych, lecz rozwaŜać superprzestrzeń w całej Jej ogól-ności, to ciągle jeszcze o niej niewiele wiemy.Dzięki pomysłowi Wheelera i osiągnięciom jego współpracow-ników (metoda ADM) dysponujemy juŜ takim ujęciem ogólnejteorii względności, które pozostaje w ścisłej analogii z mechani-ką klasyczną: przestrzeni fazowej odpowiada superprzestrzeń,

połoŜeniu - stan Wszechświata w danej chwili, czyli 3-geome-tria, a pędowi tempo zmiany tej 3-geometrii. Zwróćmy uwagę:jest to tylko inne ujęcie ciągle tej samej ogólnej teorii względno-ści, nigdzie Jeszcze nie pojawia się kwantowanie. Rzecz jednakw tym, Ŝe dysponując ujęciem ADM tej teorii, które upodabniają do mechaniki klasycznej, moŜemy spróbować postąpić tak,jak postępuje się, przechodząc od mechaniki klasycznej do me-chaniki kwantowej, czyli zastosować metodę kwantowania ka-nonicznego. To następny krok, który trzeba wykonać.Kwantowy świat Wheelera-DeWittaKrok ten był w duŜej mierze dziełem Bryce'a S. DeWitta. Jegofundamentalny artykuł Quantum Theory qf Granity stał się punktem wyjścia dla całego ciągu prac, które kontynuowanesą do dziś. We wstępie do tego artykułu DeWitt powołuje się na

KWANTOWANIE KANONICZNE • 53pracę Wheelera i wyznaje, Ŝe "niniejszy artykuł jest bezpośred-nim wynikiem dyskusji prowadzonych z Wheelerem". W trak-cie tych dyskusji nieustannie powracało pytanie: co jest prze-strzenią stanów dla kwantowej grawitacji?Konieczny jest tu precyzyjny komentarz. Wydaje się bo-wiem, Ŝe przenieść metodę kwantowania ze zwykłej mechanikikwantowej na teorię grawitacji jest (przynajmniej pojęciowo)dosyć łatwo. Dysponując ujęciem ogólnej teorii względnościw postaci ADM, wystarczy tylko zamienić wielkości opisującepołoŜenie (punkt w superprzestrzeni) i pęd (tempo zmian tegopunktu wzdłuŜ krzywej w superprzestrzeni) na odpowiednieoperatory i w zasadzie sprawa będzie skończona. Tak, ale ope-ratory muszą działać w odpowiedniej przestrzeni funkcyjnej(winna to być przestrzeń Hilberta). Co ma być tą przestrzenią?Właśnie wobec tego problemu stanął DeWitt. Zaproponowałon, by na superprzestrzeni (równieŜ i on ograniczał się do su-perprzestrzeni określonej tylko dla światów zamkniętych) zde-finiować funkcje falowe i zbiór wszystkich takich funkcji uznać za odpowiednik przestrzeni Hilberta w zwykłej mechanicekwantowej. Wartość funkcji falowej w danym punkcie super-przestrzeni, czyli w danym stanie Wszechświata, jest związanaz prawdopodobieństwem urzeczywistnienia się właśnie tegostanu. Tego rodzaju funkcje falowe nazwano wkrótce funkcja-

mi falowymi Wszechświata. Rozgorzała potem dyskusja, jak tefunkcje naleŜy interpretować - będziemy mieli jeszcze okazję wielokrotnie powracać do tego zagadnienia.Dysponując juŜ odpowiednikiem przestrzeni Hilberta, moŜ-na dokonać kanonicznego skwantowania ogólnej teorii względ-ności, zamieniając wielkości opisujące połoŜenie i pęd (w uję-ciu ADM) na odpowiednie operatory. JednakŜe techniczniesprawa wcale nie jest prosta. Pokonanie technicznych proble-mów zajęło lwią część artykułu DeWitta i wielu innych prac.Nie na tym jednak koniec. eby teoria była pełna, naleŜy jesz-cze określić dynamikę (a więc ewolucję w czasie) kwantowo--grawitacyjnego układu, w naszym przypadku - kwantowegowszechświata. Formalizm funkcji falowych na superprzestrze-

ni niejako sam podpowiedział kształt tego równania. Wkrótce



54 • KOSMOLOGIA KWANTOWAstało się ono znane jako róumanie Wheelera-DeWitta (jedynieDeWItt nazywa je równaniem Wheelera). I tu zaczęty się pro-blemy z Interpretacją.Ku zaskoczeniu wszystkich okazało się, Ŝe funkcje falowe

Wszechświata w tym równaniu nie zaleŜą od czasu. Równanie.które miało opisywać ewolucję kwantowego wszechświata, jestnieczułe na czas! CzyŜby świat kwantowy był statyczny albomoŜe istniał "cały naraz", bez następstwa czasowego? Później-sze dyskusje nieco wyklarowały sytuację, ale problem czasujest nadal delikatnym zagadnieniem we wszystkich próbachtworzenia kwantowej teorii grawitacji. Będziemy do niego czę-sto powracać w następnych rozdziałach.I tym razem równanie okazało się mądrzejsze od tych, któ-rzy je napisali. Teoretycy koniecznie chcieli uzyskać ewolucję Wszechświata, ale równanie postawiło weto. I miało rację.W kwantowo-grawitacyjnym reŜimie czas nie moŜe być ze-wnętrznym parametrem, który tylko numeruje następujące posobie stany. Czas staje się elementem kwantowej gry! Funkcjafalowa Wszechświata zawiera w sobie informacje o prawdopo-dobieństwach korelacji pomiędzy zjawiskami, które mogą od-grywać rolę zegarów (na przykład emisji kwantów energii),a innymi zdarzeniami. Czas jest więc zakodowany w prawdo-podobieństwach zachodzenia tych korelacji. NaleŜy to podkre-ślić z naciskiem: w kwantowym reŜimie czas ma charakterprobabilistyczny. Stany Wszechświata nie następują po sobiew sposób konieczny; Istnieje jedynie określone prawdopodo-bieństwo układania się poszczególnych stanów w następującepo sobie ciągi. I dopiero przy przejściu przez próg Planckaprawdopodobieństwa dąŜą do jedności l wyłania się determini-styczna ewolucja z czasem jako zewnętrznym parametrem.Trudności i perspektywyCzy więc mamy JuŜ kanoniczną teorię kwantowej grawitacji?Panuje powszechna zgoda co do tego, Ŝe za wcześnie jeszcze nataki optymizm. MoŜna co najwyŜej mówić o schemacie lub me-

KWANTOWANIE KANONICZNE • 55todzle kanonicznego kwantowania grawitacji. Przede wszyst-kim schemat ten nie moŜe się poszczycić Ŝadnymi konkretny-mi przewidywaniami empirycznymi, które dałoby się porównać z wynikami jakichś obserwacji lub eksperymentów. PozostałotakŜe wiele niejasnych lub nierozwiązanych problemów. Dokońca nie wiadomo, czy kanoniczne kwantowanie grawitacjiusuwa ostatecznie początkową (l końcową) osobliwość z histo-

rii Wszechświata. ZaleŜy to od wielu konkretnych załoŜeń l wprowadzanych modyfikacji. I pozostaje jeszcze problemogólności: czy kaŜdą czasoprzestrzeń, występującą w ogólnejteorii względności, moŜna przedstawić w (3+D-ujęciu? Lokal-nie (tzn. w lokalnym układzie współrzędnych) zawsze da się rozłoŜyć czasoprzestrzeń na przestrzeń i czas, ale czy zawszemoŜna to zrobić globalnie? Trudno na to pytanie odpowiedzieć twierdząco, gdy rozwaŜa się czasoprzestrzeń, w której pojawia-ją się pętle czasowe (a sytuacje takie są dopuszczalne w ogól-nej teorii względności). Pytań l trudności jest duŜo i to onesprawiają, Ŝe teoretycy ciągle poszukują innych metod kwan-towania pola grawitacyjnego.Ale po stronie zwolenników kanonicznego kwantowania gra-

witacji trzeba teŜ odnotować wiele sukcesów. Przede wszyst-kim Ich prace rozrosły się w wielki program badawczy, które-



mu fizyka, a takŜe matematyka, zawdzięczają wypracowaniewielu skutecznych metod, stosowanych potem takŜe w Innychdziedzinach. Nawet jeŜeli metoda kanoniczna nie stworzyłaostatecznej teorii kwantowej grawitacji, to znacznie przyczyniłasię (l nadal to robi) do głębszego zrozumienia ogólnej teoriiwzględności l jej dynamiki. W kaŜdym nowoczesnym podręcz-

niku teorii względności znajduje się dziś rozdział poświęconyjej kanonicznemu ujęciu.Co więcej, metoda kanonicznego kwantowania jest niejakopunktem odniesienia dla wielu innych metod. Autorzy nowychrozwiązań chętnie do niej nawiązują i porównują z nią swojepropozycje. Pod tym względem nazwa "metoda kanoniczna"wydaje się w pełni uzasadniona.

ROZDZIAŁ 5KU JEDNOŚCIJedność w wielościPrzyglądając się temu, co robią fizycy rozsiani po całym świe-cie w rozmaitych instytutach badawczych, moŜna by nabrać przekonania, Ŝe współczesna fizyka jest mozaiką róŜnorodnychzagadnień bardzo luźno powiązanych ze sobą, być moŜe tylkoJakimś zamiłowaniem do ścisłości i mierzenia. Jedni badają przejścia dwukwantowe w atomie cezu, inni zajmują się wy-znaczaniem któregoś z kolei miejsca po przecinku stałej die-lektrycznej pewnej substancji, jeszcze inni poszukują atrakto-ra w układzie nieliniowym, opisującym dynamikę przepływucieczy. Są oczywiście l tacy, którzy poświęcają czas i siły naznalezienie kwantowej teorii grawitacji. Fizyka współczesna"rozpada się" na wiele specjalności, l to często tak odległych odsiebie, Ŝe nawet koledzy z sąsiedniego laboratorium są w sta-nie jedynie mgliście rozumieć, co i jak bada się u kolegów zaścianą. Gdybyśmy jednak poprzestali na tym wraŜeniu "nie-spójnej rozmaitości", popełnilibyśmy błąd "zewnętrznego ob-serwatora", który jedynie ślizga się po powierzchni. Od począt-ku istnienia nowoŜytna fizyka, w swojej głębszej warstwie,wykazuje zadziwiające dąŜenie do jedności. Ośmieliłbym się twierdzić, Ŝe czegoś podobnego (w aŜ takim stopniu) nie spoty-ka się nigdzie poza fizyką. Nie licząc moŜe matematyki, której

KOSMOLOGIA KWANTOWA • 57zresztą fizyka zawdzięcza wiele sukcesów na swojej drodze kuJedności.NowoŜytna fizyka rozpoczęła się z chwilą, gdy Kepler, Galile-usz l Newton zrozumieli, Ŝe te same prawa kaŜą planetom krą-

Ŝyć po ich orbitach l jabłku spadać na Ziemię. Unifikacja fizykiZiemi i fizyki nieba była pierwszym milowym krokiem nowoŜyt-nej fizyki ku jedności. I tak juŜ pozostało: kolejne kroki w tymsamym kierunku są niejako od początku wpisane w programfizyki. KaŜda wielka fizyczna teoria coś łączy, na przykład teo-ria Maxwella - elektryczność i magnetyzm, ogólna teoriawzględności - szczególną teorię względności z grawitacją. Gdy-byśmy teraz wyrazili przekonanie, Ŝe poszukiwana przez naskwantowa teoria grawitacji połączy kiedyś grawitację z mecha-niką kwantową, mielibyśmy oczywiście rację, ale... powiedzieli-byśmy za mało. Stworzenie kwantowej teorii grawitacji nie bę-dzie jeszcze jednym krokiem na drodze ku jedności, będzie- jak sądzimy - czymś znacznie więcej. Rzecz w tym, Ŝe po-

szczególne kroki takŜe trzeba jakoś zunifikować. Postaramy się to wyjaśnić w niniejszym rozdziale.



Unifikacja oddziaływań Świat, w którym Ŝyjemy, jest wypadkową rozmaitych sił. Nie-kiedy Ŝywimy w stosunku do nich niemal mistyczny lęk i utoŜ-samiamy je z jakimś wewnętrznym działaniem przyrody. Zapy-tani o bardziej racjonalne wyjaśnienia, najłatwiej potrafimyzidentyfikować siłę grawitacji. To ona kaŜe spadać jabłkom na

ziemię i utrzymuje nas na powierzchni naszej planety. Wiemydziś równieŜ ponad wszelką wątpliwość, Ŝe to właśnie grawita-cja kaŜe planetom krąŜyć dookoła Słońca, nadaje kształty ga-laktykom i ich gromadom, a nawet rządzi dynamiką całegoWszechświata. Z Ŝycia codziennego znamy takŜe siły elektro-magnetyczne. Dziś trudno by nam było funkcjonować bezelektryczności i związanych z nią ułatwiających Ŝycie urzą-dzeń, a dzięki Maxwellowl wiemy, Ŝe z kaŜdym zmiennym po-lem elektrycznym wiąŜe się zmienne pole magnetyczne. Od

58 • KOSMOLOGIA KWANTOWAczasów wybuchów bomb atomowych w Hirosimle l NagasakikaŜdy słyszał coś o sitach jądrowych. Bardziej "wtajemniczeni"spośród nas wiedzą takŜe, Ŝe są dwa rodzaje sił jądrowych: ją-drowe silne (zwane równieŜ hadronowymi) l jądrowe słabe (na-zywane takŜe leptonowymi). Pierwsze utrzymują razem cząstkitworzące jądra atomów (tzw. hadrony, głównie protony l neu-trony); drugim podlegają lepiony (na przykład elektrony).Współczesna fizyka uczy, Ŝe wszystkie siły przyrody moŜnasprowadzić do czterech: grawitacyjnych, elektromagnetycz-nych, jądrowych silnych i jądrowych słabych. Ale dlaczegoakurat do czterech, a nie na przykład do trzech lub siedmiu?Odwieczne dąŜenie fizyki do jedności nakazywałoby oczekiwać jednej siły podstawowej. Nic więc dziwnego, Ŝe fizycy od dość dawna w teoriach opisujących cztery podstawowe siły poszu-kują wspólnych mianowników, które pozwoliłyby stworzyć jed-ną teorię "naprawdę podstawowej siły". Wielkim propagatoremtej idei był Albert Einstein, który całe swoje późniejsze Ŝycie(po stworzeniu ogólnej teorii względności) poświęcił poszuki-waniom "jednolitej teorii". Dziś wiemy, Ŝe pomimo swojego ge-niuszu nie mógł odnieść kolejnego sukcesu. Za czasów Einsteinaznane były tylko siły elektromagnetyczne i grawitacyjne, a bezwłączenia do schematu unifikacji sił jądrowych (silnych i sła-bych) nie moŜna zjednoczyć całej fizyki. Co więcej, okazało się potem, Ŝe najłatwiej zespolić ze sobą oddziaływania elektroma-gnetyczne i jądrowe słabe, a bez dokonania tego połączenia niemoŜe być mowy o unifikacji pozostałych oddziaływań.Kluczowym punktem jest kwestia energii. Z prac StevenaWelnberga i Abdusa Salama, opublikowanych w końcu lat

sześćdziesiątych XX wieku, wyłoniła się współczesna teoriaunifikująca oddziaływania elektromagnetyczne l jądrowe słabe.Zgodnie z tą teorią dla energii poniŜej 100 GeV (gigaelektrono-woltów) oddziaływania elektromagnetyczne l słabe jądrowe wy-stępują jako oddziaływania róŜne, niesprowadzalne do siebie.Łączą się one w jedno oddziaływanie, zwane dziś elektrosła-bym, gdy energie osiągają 100 GeV. Na początku lat osiemdzie-siątych w wielkim europejskim akceleratorze, znajdującym się w CERN-ie pod Genewą, udało się osiągnąć energię tego rzędu

KU JEDNOŚĆ) • 59wielkości i teoria unifikacyjna Weinberga-Salama została po-

twierdzona eksperymentalnie. By docenić wielkość tego osią-gnięcia, warto uświadomić sobie, Ŝe energie sięgające 100 GeV



panowały we Wszechświecie l O"12 sekundy po Wielkim Wybu-chu. A więc w CERN-ie udało się odtworzyć (w bardzo malej ob-jętości) warunki, jakie panowały drobny ułamek sekundy poWielkim Wybuchu, l stwierdzić, Ŝe oddziaływania elektroma-gnetyczne l słabe jądrowe były wówczas zunifikowane. Nic więcdziwnego, Ŝe twórcy tego sukcesu - zarówno Weinberg i Salam,

jak i Carlo Rubbia, który przewodził grupie pracującejw CERN-ie - zostali uhonorowani Nagrodą Nobla.Weinberg i Salam wskazali drogę, którą natychmiast poszliinni fizycy teoretycy, ale bardzo szybko się okazało, Ŝe niebędzie łatwej powtórki poprzedniego sukcesu. Teoretycznyschemat wprowadzony przez Weinberga i Salama (fizycy nazy-wają go metodą cechowania) przewiduje, Ŝe oddziaływania sil-ne jądrowe mogą połączyć się z elektrosłabymi dopiero przyenergiach rzędu l O15 GeV. Energie takie panowały we Wszech-świecie 10~35 sekundy po Wielkim Wybuchu l nie ma naj-mniejszych szans na uzyskanie ich w Ŝadnym ziemskim akce-leratorze (w przewidywalnej przyszłości). Jedyna nadzieja naeksperymentalne potwierdzenie leŜy w kosmologii. JeŜeli roz-pad oddziaływań na silne jądrowe i elektrosłabe, który dokonałsię w bardzo młodym Wszechświecie, pozostawił jakieś śladytrwające do dziś, to obserwacje astronomiczne wsparte teoria-mi kosmologicznymi mogłyby doprowadzić do odkrycia tychśladów. Nie brak wysiłków zmierzających w tym kierunku, alena razie Wielka Unifikacja - bo tak fizycy nazywają teorię łą-czącą oddziaływania jądrowe silne z elektrosłabymi - pozostajewielką hipotezą.Istnieje kilka modeli usiłujących zrekonstruować scenariuszWielkiej Unifikacji. Nawet gdyby któryś z nich udało się po-twierdzić za pomocą obserwacji astronomicznych, to jeszczenie wszystko. Pozostają przecieŜ siły grawitacyjne; i je równieŜ naleŜy włączyć w schemat unifikacyjny. MoŜna przytoczyć kil-ka racji, uzasadniających stwierdzenie, Ŝe ta ostateczna unifi-kacja - zwana takŜe superunifikacją fizyki - moŜe nastąpić do-

0fti0^CBLmi^<&

p"rt-«c+^r+5Q.30S91(1

^W



f!^S1g

35'

0J^vas3wrł-(T)3w^N3(T)(Br+-i-lSTr+i<-i.p5'S'cc<s'33rł-.2.»

p00^i-i.•dl^

^•O0iN<-,p-5-(-l.(ła)r+0

PIT



0S'S.(T>r+(T>

i-t

a0col?!N-(TlPN-3s<-i.JŁ^5'^5'3S'tT0S"0S"S •l(-4-0

c01•O0ILs%pc

E^(T)0-lti.(1(C(-+01(•t^fl

»t'



PWS

p3

tnla>-'§.'<;0)ł-+S'1-1Q.NPK0Q.Q.NEps.n(-+ni%co.1-10apr(B

c-t0Nt"N-(T>CCP?"CL

B.&PPtT0p"•oL.gQ.l3

??l



00s0cn-

• 3is-9•s"NrES0§.S-3(DR^(DlS^<l0S.8'

p3'S:tES'r-t-0)i?"Jl0)'S'lN'0n3'

CS!»

?ilCBS3lNelm

3l



Kl03COl

3-i-«O'1aN?

w?«lA«•»•g-

O' '0(M ^g-<sl i^ 3s. c2. S.c a>C <?§§.1^3' (B'7S' "iw ar+ g.(C (tE 0-tT) (T)1^i Ii^-,(D 0

^s ls. '1-- cc' l.

^.co-0S'3S"3

wP



v3.0i-iP1-1

y>l:S-l-hPg-3p?rcn^3L•5'^!•

5'0tS-0^•l0^^aS-!l,^l0

50-S0ccc-t-

Ps-0i?3cnN,P•^0.l!Lp

Q.i



^NB3 'ccr4-

(l

i 3PQ.ll^^.(łCL3cT3cr0llwQSS-03.•<T>0CLCLNP"3.

iHIUllll||^l|l|?i1i- | ^ j 5- ^. 3 ^ iS P- v TO ^. ^ o g s' 3 •§• Opi-hrł.Cf ' COi^^s^i^^s'^^< (T) tU t"i 0 - 03 r+ M taLi»»Ł* 1 CMri OiSO'?^^S;l ^^ §:1:S §|.

pc^.o^3B.P -a"§s^B:f^p^3a;'S!:ip(1)?l- v- vo52S.p'§ai$>o>o^.^lijl l^iit^K'155'! L "^S^pg-s-^- "s0-^srEsJ i a qr itlK^'(t3g^' ^sS-s-agals.a 'S-§gsss^p^ ^-p",g3g3^^P S ?-.|liS"||. ^-|i

^jp ^^lllis-^ t^li



11&.H sllso ^ ^. ^ g- P 3. 3. o 3.PSS-?'?! 'P?0-?

• 30

P̂prp,i»^^pr1(-1.(T)CC8N(T)3S"'^p?r^<-t-0-^.13"

^2P, 30P"V0lp'»-M&3•o

^CLi-t-(Tl3ccLp•o!r

0

us



d??0a.(T)0;

l'00N0ccs.ffl^.Slnir-hm0NS.a013?

, 003-0CLN3^<^.•n0Q.03.i?En>

r-t-(T>SCOL,p(-1(Tl%5"01p-p

cc8



f-h0nm^.

p̂^.Pf"P•OP30lpl^s(T)03-lrc0S'^3n2l'

•Oi•o^s?33si^.t»-•0

S05;0(TKLnico<l"i§-'(i!'S-



SUPER

POCZĄ TEK 10-^ S-lO^GeYGUTW-SOddziaływań iegrawitacyjnejądrowe silnejądrowe stabeelektromagnetyczne10-^slO^GeY10-^s100 GeVDZIŚ czasRys. 5. l Schemat unifikacji oddziaływań fizycznych: SUPER - superumfikacja; GUT- Wielka Unifikacja (Grand UmfyingTheories); W-S - unifikacja Weinberga-Salama. U dołu rysunku podano wiekWszechświata, w jakim dokonało się przejściefazowe, odpowiadające danej unifikacji, oraz energię charakterystyczną dla niej.

62 • KOSMOLOGIA KWANTOWAjęzyk codzienny. Teraz powiem rzecz nieoczekiwaną: to, cowspółczesna fizyka rozumie przez wyraŜenia "siła" lub "oddzia-ływanie", jest najbardziej zbliŜone do tego, co potocznie określawyraz "symetria". AŜeby jednak dostrzec związek między od-działywaniem (siłą) a symetrią, musimy pozwolić sobie na kil-ka uwag wprowadzających.Przede wszystkim, co to jest symetria? Albo bardziej kon-kretnie: kiedy Jakąś figurę nazywamy symetryczną? RozwaŜmyna przykład kwadrat. Ma on pewne symetrie widoczne gołymokiem. Spróbujmy być bardziej dociekliwi: obracajmy powolikwadrat wokół osi przechodzącej przez jego środek. Łatwo za-uwaŜyć, Ŝe JeŜeli kąt obrotu wynosi wielokrotność 90 stopni(90°, 2 x 90°, 3 x 90° itd.), to kwadrat pokrywa się sam z sobą.Nic podobnego nie zachodzi, jeŜeli kwadrat obrócimy o jakikol-wiek inny kąt. To właśnie stanowi Istotę symetrii kwadratu.Mamy tu obrót o pewien kąt (czyli operację lub przekształce-

nie); podczas tego obrotu zachowuje się kształt (kwadrat pokry-wa się sam ze sobą). Te dwa elementy stanowią o istocie kaŜdejsymetrii: pewna operacja (przekształcenie), podczas której coś się zmienia, a coś się zachowuje. To, co się zachowuje, nazywasię niezmiennikiem symetrii. Spójrzmy pod tym kątem na odbi-cie w lustrze Jakiegoś przedmiotu. Operacją jest tu odbijanie się w lustrze, niezmiennikiem zaś pewne elementy obrazu; ale niewszystkie, bo po odbiciu lewa strona przedmiotu przechodziw prawą stronę obrazu, a prawa strona przedmiotu - w lewą stronę obrazu. Pewne cechy przedmiotu jednak się zachowują i właśnie dlatego rozpoznajemy swoje odbicie w lustrze. Są tocechy charakterystyczne symetrii zwierciadlanej.Dwa omówione powyŜej przykłady symetrii (symetria kwa-

dratu i symetria zwierciadlana) są przykładami symetrii prze-strzennych: operacja, definiująca symetrię, sprowadza się do



przekształceń w przestrzeni (obrót, odbicie zwierciadlane).Ale pojęcie symetrii moŜna uogólnić z figur przestrzennych naprocesy; mówimy wówczas o symetriach dynamicznych. Po-wiadamy, Ŝe jakiś proces odznacza się symetrią, jeŜeli moŜnadokonać takie jego przekształcenie, podczas którego pewneelementy procesu nie ulegają zmianie. Im więcej elementów

KU JEDNOŚCI • 63zostaje zachowanych, tym bardziej proces jest symetryczny.Przekształcenie, o jakim tu mowa, jest nieco bardziej abstrak-cyjne niŜ w przypadku symetrii przestrzennych: przekształce-niu (w sensie matematycznym) poddaje się tu równania, któredany proces opisują (musimy wszakŜe pamiętać, Ŝe takŜe prze-kształcenia przestrzenne - na przykład obrót kwadratu - moŜ-na "zadać" poprzez równania).Teraz juŜ jesteśmy przygotowani, by wrócić do problemufundamentalnych oddziaływań fizycznych. KaŜde oddziały-wanie moŜna utoŜsamić z procesem, polegającym na tym, Ŝena przykład dwie cząstki elementarne działają na siebie siłą charakterystyczną dla danego oddziaływania. Okazuje się, ŜekaŜde z oddziaływań fizycznych ma typową dla siebie syme-trię. Symetrie te oznacza się za pomocą specjalnych symboli.Na przykład symetrię oddziaływania elektromagnetycznegosymbolem U(l), a oddziaływania elektrosłabego - przezU(l) x S(U2). Symbole te są tak dobrane, Ŝe mówią coś o rów-naniach, które daną symetrię opisują. Co więcej, symetrie są tak charakterystyczne dla poszczególnych oddziaływań, Ŝe fi-zycy bardzo często utoŜsamiają oddziaływania z odpowiedni-mi symetriami.Gdy w ten sposób ponownie spojrzymy na fundamentalneoddziaływania fizyczne, jeszcze bardziej wyraziście ujawnia się odmienność oddziaływań grawitacyjnych od wszystkich pozo-stałych. Jak pamiętamy, grawitacja - zgodnie z ogólną teorią względności - to nic Innego jak zakrzywienie czasoprzestrzeni.Nic więc dziwnego, Ŝe symetria charakterystyczna dla grawita-cji jest typu czasoprzestrzennego. Tylko tym róŜni się ona odsymetrii przestrzennych, Ŝe odpowiednie przekształcenia niezachodzą w przestrzeni, lecz w czasoprzestrzeni. Natomiast sy-metrie charakterystyczne dla wszystkich Innych oddziaływań fizycznych są symetriami dynamicznymi. RóŜnica ta z mate-matycznego punktu widzenia jest tak duŜa, Ŝe bardzo trudnoznaleźć tak bogatą symetrię, która łączyłaby w sobie czaso-przestrzenną symetrię grawitacji z dynamicznymi symetriamiinnych oddziaływań. A znalezienie takiej symetrii jest niezbęd-ne, jeŜeli ma się dokonać zunifikowanie całej fizyki.

64 • KOSMOLOGIA KWANTOWASupersymetria i superunifikacjaTrudności w połączeniu symetrii czasoprzestrzennych z dyna-micznymi były tak duŜe, Ŝe wymusiły na fizykach kolejneuogólnienie pojęcia symetrii. Nie jest to nic zaskakującegow historii fizyki. Droga ku jedności niejednokrotnie juŜ wiodłaprzez kolejne uogólnianie pojęć. Tym razem Jednak wyjątko-wość sytuacji polega na tym, Ŝe uogólnienie sięga bardzo dale-ko. Dotychczas niejako podstawowym budulcem wszystkichstruktur matematycznych wykorzystywanych w fizyce teore-tycznej byty liczby rzeczywiste lub liczby zespolone. Podstawo-

wym budulcem nowej symetrii, nazwanej potem supersyme-trią, są zupełnie nowe liczby, zwane liczbami Grassmanna lub



superliczbami. KaŜdą superllczbę moŜna przedstawić w posta-ci szeregu liczb zespolonych i rzeczywistych, ale istotną rzeczą jest to, Ŝe niektóre superllczby przy zmianie kolejności ichmnoŜenia przez siebie zmieniają znak (w naukowym Ŝargoniemówi się wówczas, Ŝe takie dwie superliczby antykomutują).Własność ta jest niezwykle waŜna z punktu widzenia interpre-

tacji fizycznej. W znacznej mierze właśnie tej niewielkiej zmia-nie w porównaniu z własnościami zwykłych liczb supersyme-tria zawdzięcza swoją ogromną moc unifikującą. Przyjrzyjmysię nieco bliŜej mechanizmowi tej unifikacji.Supergrawitacjaświat "na powierzchni", czyli świat doznawany przez nas w co-dziennym doświadczeniu i badany przez fizykę klasyczną, niejest zunifikowany. Odznacza się on bogactwem i róŜnorodno-ścią form, ogromną rozmaitością oddziaływań. Ale gdy, dziękifundamentalnym teoriom współczesnej fizyki, wnikamyw głąb, pod powierzchnię zjawisk, ukazuje się nam rzeczywi-stość coraz bardziej prosta i zunifikowana. Na poziomie Wiel-kiej Unifikacji istnieją juŜ tylko dwa rodzaje cząstek: fermionyi bozony. Fermiony to te cząstki, które tworzą materię otacza-jącego nas świata i nas samych, a bozony to cząstki, które

KU JEDNOŚCI • 65przenoszą oddziaływania. Na przykład protony l neutrony,główne składniki jąder atomowych, są fermionami, a foton- bozonem, cząstką przenoszącą oddziaływania elektromagne-tyczne. Innym przykładem bozonów są gluony, cząstki przeno-szące silne oddziaływania jądrowe. Oddziaływanie takie moŜnasobie wyobrazić jako wymianę gluonów przez dwie cząstki,które wywierają na siebie wpływ.Z punktu widzenia teorii silnych oddziaływań jądrowych(tzw. chromodynamiki kwantowej) proton i neutron nie naleŜą do dwu róŜnych rodzin cząstek elementarnych, lecz są przed-stawicielami tylko jednej rodziny - hadronów (hadrony są fer-mionami). Ale hadron moŜe znajdować się w dwóch stanach.W jednym stanie Jest protonem, w drugim zaś stanie - neutro-nem. JednakŜe dla teorii silnych oddziaływań jądrowych fer-miony i bozony są dwiema, niesprowadzalnymi do siebie, ro-dzinami cząstek elementarnych o zupełnie odmiennychwłasnościach symetrii. Chcąc skonstruować teorię w pełni zu-nifikowanych oddziaływań, naleŜałoby znaleźć taką symetrię,która fermiony i bariony traktowałaby jako jedną rodzinę.Okazuje się jednak, Ŝe aby to uzyskać, trzeba było uogólnić sa-mo pojęcie symetrii. W ten właśnie sposób powstała koncepcjasupersymetrii. Przewiduje ona istnienie tylko jednego rodzaju

cząstek, zwanych supercząstkami. Supercząstki mogą istnieć w dwu stanach: w jednym stanie są one fermionami, w drugim- barionami (jest to moŜliwe dzięki temu, Ŝe pewne superliczbyantykomutują).I tu stajemy się świadkami swoistego cudu matematyczne-go: załóŜmy, Ŝe poddajemy fermion przekształceniu supersy-metrii, w wyniku czego otrzymujemy bozon - tak powinno być,poniewaŜ fermion i bozon to tylko dwa stany tej samej super-cząstki. Poddajmy teraz bozon odwrotnemu przekształceniusupersymetrii. Powinniśmy z powrotem otrzymać fermion.I otrzymujemy, ale... przesunięty w czasoprzestrzeni (w porów-naniu do pierwotnego fermionu) dokładnie o tyle, o ile wymagatego przekształcenie charakterystyczne dla teorii względności

(tzw. przekształcenie Lorentza). A zatem dynamiczna symetriafermion -» bozon -* fermion łączy się z symetrią czasoprze-



66 • KOSMOLOGIA KWANTOWAstrzenną. Wydaje się, Ŝe jesteśmy juŜ bliscy zunifikowania gra-witacji z pozostałymi oddziaływaniami.Istotnie, wykorzystując supersymetrię, udało się zbudować

nową teorię unifikującą wszystkie oddziaływania. Nazywa się ją teorią supergrawitacji. Teoria ta odznacza się niezwykłą ele-gancją matematyczną i z początku wiązano z nią ogromne na-dzieje, lecz miarę coraz dokładniejszego jej opracowywania za-częły się piętrzyć nowe trudności.Jak wiadomo, z fizycznego punktu widzenia najwaŜniejszą rzeczą dla kaŜdej teorii są Jej empiryczne przewidywania. Teo-ria supergrawitacji w swojej najprostszej wersji przewiduje ist-nienie dwu cząstek przenoszących oddziaływania grawitacyj-ne: dobrze znany grawiton l nowa cząstka, którą nazwanograwitino. Ta ostatnia cząstka odgrywałaby znaczącą rolę tylkow supergęstych stanach Wszechświata, w erze Plancka. W ko-lejnych, coraz bardziej skomplikowanych wersjach teorii su-pergrawitacji nowych, dotychczas nieznanych cząstek pojawiasię coraz więcej. WiąŜe się z tym pewna szansa. Gdyby udałosię stworzyć tak skomplikowaną wersję teorii supergrawitacji,Ŝe przewidywałaby ona Istnienie kilkuset rodzajów cząstek,l gdyby kaŜdy z tych rodzajów cząstek udało się zidentyfikować ze znanymi rodzajami cząstek (jest ich kilkaset, wliczając tzw.rezonanse), sukces byłby pełny. Niestety, wykazano jednak, ŜemoŜe istnieć jedynie osiem wersji teorii supergrawitacji i Ŝewersja ósma, najbardziej "pełna", przewiduje tylko 163 rodzajecząstek - stanowczo za mało w porównaniu z tym, co znawspółczesna fizyka wysokich energii.Pierwotny entuzjazm osłabł. Trzeba było szukać nowych po-mysłów.SuperstrunyJak zapewnić poszukiwanej teorii więcej "stopni swobody",czyli jak teorię zmusić do tego, by "zrobiła miejsce" dla więk-szej liczby róŜnych rodzajów cząstek? W gruncie rzeczy pomysłJuŜ istniał, naleŜało go tylko przystosować do nowych wyma-

KU JEDNOŚCI • 67gań. We wszystkich dotychczasowych teoriach cząstki trakto-wano jako punkty obdarzone pewnymi własnościami fizyczny-mi, takimi jak masa czy ładunek elektryczny. Ale dlaczegopunkty? Czemu nie na przykład cieniutkie nitki, struny - jakJe zaczęto nazywać. Tym bardziej Ŝe struna ma naturalne wła-sności, których nie trzeba jej sztucznie przypisywać; na przy-

kład struna moŜe mleć napięcie lub moŜe oscylować. Pomysłpochodził od Yoishiro Nambu z Uniwersytetu w Chicago. Do-kładniejsze obliczenia pokazały, iŜ teoria rzeczywiście funkcjo-nuje, ale pod warunkiem, Ŝe przestrzeni przypisze się 26 wy-miarów! Wówczas na przykład napięcie struny odpowiadamasie cząstki.Gdy teoria supergrawitacji znalazła się w kryzysie, pomysłstrun odŜył. John Schwarz z Caltechu (Callfomia Institute ofTechnology) poprawił teorię i zredukował liczbę wymaganychwymiarów do 10. W roku 1976 Ferdinando Gliozzl z Turynul David Olive z Imperiał College w Londynie połączyli strunyz supersymetrią l nową koncepcję nazwali teorią superstrun.Ale dopiero z chwilą, gdy John Schwarz i Michael Green wyka-

zali, Ŝe teoria superstrun, zawierając w sobie supergrawitację,jest od niej istotnie bogatsza, rozpoczął się wielki boom na su-



perstruny. Coraz więcej fizyków zaczęło wierzyć w to, Ŝe teoriasuperstrun jest od dawna poszukiwaną Teorią Wszystkiegoi Ŝe pozostaje tylko kwestią czasu (oraz rozwinięcia odpowied-nich metod obliczeniowych), by to udowodnić.Wielkim entuzjastą teorii superstrun stał się Edward Wit-ten, człowiek o nieprzeciętnych zdolnościach matematycznych.

Jemu teoria superstrun zawdzięcza wiele konkretnych osią-gnięć. Między Innymi zaproponował on wyjaśnienie, dlaczegoz pierwotnych dziesięciu wymiarów do dziś pozostały tylko4 (3 przestrzenne i l czasowy). Mechanizm Wittena nazywa się redukcją wymiarową. Zgodnie z tym mechanizmem za zredu-kowanie wymiarów odpowiedzialne jest rozszerzanie się Wszechświata. Na początku, w erze Plancka, gdy dynamikę kosmosu kontrolowała teoria superstrun, przestrzeń miała 10wymiarów (niektóre wersje teorii superstrun wymagają innejliczby wymiarów). Dynamika ówczesnego Wszechświata rozdy-

68 • KOSMOLOGIA KWANTOWAmała 4 wymiary, z których narodziła się dzisiejsza czasoprze-strzeń, ale ściskała pozostałe (tzn. w pozostałych wymiarachWszechświat się kurczył). Istotą redukcji wymiarowej jest to,Ŝe w pozostałych sześciu wymiarach przestrzeń jest zwarta,tzn. "zamyka się w sobie", jak powierzchnia zwykłej kuli. Tasama dynamika, która sprawia, Ŝe Wszechświat rozszerza się w czterech wymiarach, powoduje coraz ciaśniejsze zwijanie się Wszechświata w sześciu zwartych wymiarach. Wkrótce poprzekroczeniu progu Plancka wymiary te są tak ciasno zwinię-te, Ŝe czują je tylko supercząstki, natomiast z makroskopowe-go punktu widzenia pozostają one niewidzialne.Zasadnicza idea teorii superstrun polega na tym, aŜeby całebogactwo świata fizyki otrzymać z zachowania się i dynamikistrun. Struny mogą mieć róŜne napięcia, wykonywać rozmaiteoscylacje i obroty. Są struny otwarte i zamknięte (pętle). Oddzia-ływania pomiędzy cząstkami odpowiadałyby łączeniu się lubprzerywaniu strun. Typowe rozmiary struny wynoszą l O'33 cm,czyli są równe długości Plancka, a więc juŜ nawet w skali typo-wej dla jądra atomowego (10"13 cm) struny moŜna traktować ja-ko punkty o nierozróŜnialnej strukturze wewnętrznej.Podobnie jak teoria supergrawitacji, takŜe teoria superstrunprzewiduje istnienie nieznanych dotychczas cząstek (jedną z nich jest cząstka, zwana aksjonem). Odkrycie którejś z nichbyłoby niewątpliwie waŜnym argumentem na rzecz tej teorii.Niestety, dotychczas nie moŜe się ona poszczycić takim osią-gnięciem.Interesującym (i nieco bulwersującym) przewidywaniem teo-

rii superstrun jest istnienie materii-cieni [shadow matter).Zgodnie z tą teorią kaŜda znana nam cząstka ma swój super-symetryczny odpowiednik. Nasz świat ze światem cleni oddzia-ływał jedynie poprzez grawitację, i to tylko wtedy, gdy grawita-cja była odpowiednio silna, czyli w erze Plancka. Obecniemateria-cień moŜe się znajdować nawet "w zasięgu ręki" (cho-ciaŜby w jądrze Ziemi - pozwalają na to niektóre modele), alejest dla nas zupełnie niewykrywalna.Do niedawna teoria superstrun była ostatnim krzykiem na-ukowej mody. Dziś jeszcze ciągle poświęca się Jej wiele uwagi,

KU JEDNOŚCI • 69

ale entuzjazm znacznie osłabł. Wydaje się, Ŝe ogromny wysiłekbardzo wielu uczonych, setki opublikowanych prac i kosztow-



ne programy badawcze wydusiły z tej teorii prawie wszystko,co się z niej dało wydusić. Niewątpliwe sukcesy są, ale do spo-dziewanej Teorii Wszystkiego ciągle bardzo daleko. Nie stałosię tak, jak przewidywali najbardziej zagorzali zwolennicy teo-rii superstrun: nie zawojowała ona całkowicie terenu poszuki-wań ostatecznej teorii. Stała się waŜną i nadal eksploatowaną

dziedziną badań, lecz nie wyeliminowała konkurencyjnychstrategii. Poszukiwania trwają nadal.

ROZDZIAŁ 6WSZECHŚWIAT HAWKINGAParowanie czarnych dziurStephen W. Hawking jest bardzo waŜną postacią w kwantowejkosmologii. Jego naukowa kariera dobrze go do tego przygoto-wała. Od początku błyskotliwy umysł Stephena łączył głęboką znajomość metod matematycznych z pasją fizyka. Potrafił szyb-ko opanować wyrafinowane działy nowoczesnej matematyki,ale przede wszystkim chciał wiedzieć, jaki ten świat jest na-prawdę. I interesowały go zawsze problemy najwaŜniejsze. Jegopierwsze prace badawcze dotyczyły zagadnienia osobliwości.Metodę przejął od Rogera Penrose'a, ale szybko ją wyostrzył.Penrose badał osobliwości w procesie kolapsu grawitacyjnego;Hawking za pomocą jego metody zaatakował problem... począt-ku Wszechświata. Jakiś czas Hawking i Penrose pracowali ra-zem, osiągając piękne wyniki, ale potem ich drogi się rozeszły.Penrose poszukiwał całkiem nowych dróg. Jego zdaniem przy-szła teoria kwantowej grawitacji będzie się opierać na zupełnienowej matematyce. Hawking wierzył, Ŝe metody juŜ znane i do-brze sprawdzone na terenie fizyki kwantów l fizyki grawitacjidadzą się tak uelastycznić i wzajemnie do siebie dostosować, iŜ właśnie na tej drodze da się najprędzej i najskuteczniej uzy-skać interesujące wyniki. Niewykluczone, Ŝe będą to początko-wo tylko robocze modele, ale jeŜeli zaczną one dobrze praco-

KOSMOLOGIA KWANTOWA • 71wać, to z pewnością wskaŜą kierunek dalszych, bardziej rady-kalnych Innowacji.Pierwszym sukcesem osiągniętym na tej drodze był słynnymodel parowania czarnych dziur. Klasyczna czarna dziura(czyli bez uwzględniania efektów kwantowych) powstaje wów-czas, gdy proces zapadania się obiektu (na przykład masywnejgwiazdy) doprowadza do odizolowania się tego obiektu od

"reszty świata" l powstania "horyzontu", tzn. do takiej sytuacji,w której nawet promień światła wysłany na zewnątrz zostajez powrotem zawrócony przez pole grawitacyjne kolapsującegoobiektu. Dalszy los tego, co dzieje się pod horyzontem, pozo-staje nieznany dla zewnętrznego obserwatora. Hawking udo-wodnił, Ŝe jeŜeli uwzględnić efekty kwantowe, to istnieje skoń-czone prawdopodobieństwo, iŜ jakaś cząstka moŜe znaleźć się na zewnątrz horyzontu. Czarna dziura traci więc masę. Obra-zowo mówi się, Ŝe czarna dziura paruje.Model Hawkinga opierał się na metodach przybliŜonych(był, jak się mówi, semikwantowy) i oczywiście nigdy dotych-czas nie został sprawdzony obserwacyjnie, jednakŜe specjaliściuznali go za waŜne osiągnięcie. Zyskał on sobie niewątpliwie

trwałą pozycję w poszukiwaniach właściwej kwantowej teoriigrawitacji.



Hawking nie poprzestał na parowaniu czarnych dziur. Jegoambicją było zrozumieć, jak powstał Wszechświat. W ten spo-sób narodziła się słynna praca Hawkinga i Jima Hartle'egoo kwantowym stwarzaniu wszechświata z niczego.Czasoprzestrzenne tubyPraca ta ukazała się w 1983 roku l odwagą swojego pomysłu od

razu wzbudziła zainteresowanie. W obiegu juŜ było kilka modelitzw. kwantowego stwarzania świata z nicości, ale zamiar Har-tle'ego i Hawkinga był bardziej ambitny: chodziło o trafienie jed-nym strzałem w dwa cele - wyjaśnienie pochodzenia Wszech-świata i stworzenie ogólne] metody, łączące] w sobie istotneelementy fizyki kwantowej l ogólnej teorii względności.

72 • KOSMOLOGIA KWANTOWAstan B

stan ARys. 6. l. Metoda Feynmana całkowania po drogach. MoŜliwe przejścia od sta-nu A do stanu B.W mechanice kwantowej istnieje bardzo skuteczna metodarachunkowa, zwana metodą Feynmana całkowania po dro-gach. Chcąc obliczyć prawdopodobieństwo przejścia układukwantowego ze stanu A do stanu B, naleŜy rozpatrzyć wszyst-kie moŜliwe drogi prowadzące od A do B, wzdłuŜ tych wszyst-kich dróg obliczyć pewną całkę, zwaną całką działania,i wszystkie wyniki odpowiednio zsumować (rys. 6.1). Wyniksumowania będzie poszukiwanym prawdopodobieństwem.Ujęcie feynmanowskie mechaniki kwantowej Jest równowaŜnepodejściu tradycyjnemu (w języku operatorów na przestrzeniHilberta), ale skuteczniej niŜ ono daje się przenieść do czaso-przestrzeni szczególnej teorii względności. Stąd teŜ jest onoszeroko stosowane w kwantowej teorii pola, która -jak wiado-mo - łączy mechanikę kwantową ze szczególną teorią względ-ności. Hartle i Hawking postanowili powtórzyć ten sukces dlaogólnej teorii względności.Co jest stanem Wszechświata w ogólnej teorii względności?Wiemy, Ŝe jest nim 3-geometria w danej chwili czasu (por. roz-dział 4). Przejść więc od jednego stanu do drugiego znaczy skon-struować taką "tubę czasoprzestrzenną", która łączyłaby 3-geo-metrię w pewnej chwili z inną 3-geometrią w innej chwili czasu.eby to miało sens, musimy przyjąć - i tak teŜ zrobili Hartlei Hawking - Ŝe Wszechświat jest przestrzennie zamknięty. Po-móŜmy naszej wyobraźni, redukując liczbę wymiarów do dwu(rys. 6.2). Odpowiednikiem stanu zamkniętego Wszechświata

będzie okrąg. Odpowiednikiem drogi łączącej dwa takie stany- (zniekształcony) walec. Dlatego teŜ na oznaczenie drogi w czaso-przestrzeni uŜyłem określenia "tuba czasoprzestrzenna".

WSZECHŚWIAT HAWKINGA • 73Stanwszechświata Y

Stanwszechświata XRys. 6.2. Metoda Hartle'ego-Hawklnga. Na rysunku zaznaczono dwie tuby

czasoprzestrzenne, łączące stan wszechświata X ze stanem wszechświata Y.Zgodnie z metodą Feynmana musimy teraz rozpatrzyć



wszystkie moŜliwe tuby łączące dwa stany Wszechświata, ob-liczyć wzdłuŜ nich odpowiednie całki i dokonać sumowania.Hartle l Hawking zaproponowali odpowiednie wzory; ich mo-del zaczął "pracować", co znaczy, Ŝe w zasadzie moŜna byłowyliczać prawdopodobieństwa przejść Wszechświata pomię-dzy róŜnymi stanami. Piszę "w zasadzie", poniewaŜ rachunki

są trudne i Hartle wraz z Hawkingiem w swojej pracy przepro-wadzili wszystkie obliczenia tylko dla bardzo uproszczonychmodeli.Kwantowe stworzenie WszechświataCo to znaczy "stworzyć świat z nicości"? Na to pytanie moŜnaodpowiedzieć w następujący sposób: stworzenie jest to przej-ście ze stanu, którego nie ma, do Jakiegokolwiek innego stanuWszechświata. JeŜeli prawdopodobieństwo takiego przejściajest róŜne od zera, to Wszechświat moŜe powstać z niczego namocy praw fizyki kwantowej odpowiednio połączonych z zasa-dami ogólnej teorii względności.Wiemy juŜ, jak za pomocą metody Hartle'ego i Hawkinga ob-liczyć prawdopodobieństwo przejścia Wszechświata ze stanu,

74 • KOSMOLOGIA KWANTOWApowiedzmy, X do stanu Y. Ale w jaki sposób pozbyć się stanuX? Od stanu X do stanu Y prowadzą czasoprzestrzenne tuby,zaczynające się w X, a kończące w Y. Gdyby udało się usunąć stan X l wszystkie tuby od tego końca, w którym powinnobyć X, gładko zasklepić (tak, by wszystkie od tej strony koń-czyły się pólsferą), to stosując rachunkowy przepis Hartle'ego--Hawkinga, moŜna by obliczyć prawdopodobieństwo przejściaWszechświata od niczego do stanu Y, czyli prawdopodobień-stwo wyłonienia się stanu Y z nicości. Mielibyśmy zatemkwantowy model stwarzania świata z nicości.Ale czy moŜna tak bezkarnie usunąć stan X i pozaskleplać gładko wszystkie tuby od końca, w którym X powinno się znaj-dować? Okazuje się, Ŝe Istotną przeszkodą jest czas. Mamy bo-wiem do czynienia z tubami czasoprzestrzennymi, a czas - mi-mo Ŝe geometrycznie jest traktowany jako czwarty wymiar- posiada jednak inne własności od pozostałych wymiarówprzestrzennych. Matematycznie przejawia się to tym, Ŝe współ-rzędna czasowa ma inny znak niŜ współrzędne przestrzenne,na przykład gdy współrzędne przestrzenne są dodatnie, współ-rzędna czasowa - ujemna. To sprawia, Ŝe tub czasoprzestrzen-nych nie da się zasklepić gładko: na Ich końcach nie powstajewygładzona półsfera, lecz raczej ostro zakończony stoŜek (rys.

6.3a) lub, mówiąc bardziej naukowym językiem, usunięcie sta-nu X powoduje pojawienie się osobliwości.I tu znowu doszła do głosu pomysłowość Hartle'ego i Haw-kinga. W kwantowej teorii pola fizycy stosują niekiedy ra-chunkowy trik, polegający na tym, Ŝe współrzędną czasową mnoŜy się przez jednostkę urojoną (czyli przez pierwiastekz minus jeden). Zabieg ten sprawia, Ŝe w wielu wzorach(w których współrzędne są podniesione do kwadratu) znikaróŜnica znaku pomiędzy współrzędnymi przestrzennymii współrzędną czasową. Zabieg ten nazywa się transformacją Wieka. Dzięki niemu moŜna przeprowadzić trudne obliczenia.Aby odczytać końcowy wynik, znowu powraca się do pierwot-nej konwencji w zapisie współrzędnych. Hartle l Hawking po-

traktowali ten prosty trik rachunkowy całkiem serio. ZałoŜyli,Ŝe w bardzo młodym Wszechświecie transformacja Wieka ma



WSZECHŚWIAT HAWKINGA • 75

transformacja Wieka

Rys. 6.3. Transformacja Wieka usuwa osobliwość. Stan wszechświata Ywyla-nia się z nicości.znaczenie fizyczne: znika jakakolwiek róŜnica pomiędzy prze-strzenią i czasem, czasoprzestrzeń staje się zwykłą czterowy-miarową przestrzenią. Wówczas tuby moŜna juŜ zasklepić gładko (rys. 6.3b). Kwantowy model stwarzania funkcjonujepoprawnie.JednakŜe - Hartle i Hawking podkreślają to z naciskiem - ta-kie potraktowanie transformacji Wieka jest dodatkową inwesty-cją, załoŜeniem nie wynikającym z Ŝadnych fizycznych zasad,uczynionym wyłącznie po to, by model mógł funkcjonować.A zatem w modelu Hartle'ego-Hawkinga "na początku"nie było czasu, lecz jedynie czterowymiarowa przestrzeń.Wszechświat nie podlegał więc Ŝadnej ewolucji, po prostuBYŁ. Ale nie był to Wszechświat wieczny, czyli istniejący odminus czasowej nieskończoności. Gdy nie ma czasu, pojęcieminus czasowej nieskończoności nie ma Ŝadnego sensu. Mie-libyśmy tu raczej do czynienia z bezczasowym stwarzaniem:dla kaŜdego stanu Wszechświata Istnieje skończone prawdo-podobieństwo wyłonienia się go z nicości na mocy kwantowo--grawitacyjnych praw. Czas w modelu Hartle'ego-Hawkingapojawia się jako swoiste złamanie symetrii pomiędzy cztere-ma współrzędnymi przestrzennymi. Gdy jedna z nich otrzy-muje odmienny znak od pozostałych i staje się czasem,Wszechświat przekracza próg Plancka, rozpoczynając swoją standardową ewolucję.Nic dziwnego, Ŝe znany bestseller Hawkinga nosi tytuł Krót-ka historia czasu. Początek świata jest bezczasowy, ale czasma swoją historię.

76 • KOSMOLOGIA KWANTOWABez warunków brzegowych i początkowychAŜeby dobrze określić model kosmologiczny, nie wystarczą tylko prawa fizyki, na podstawie których się go konstruuje.Trzeba ponadto "zadać" warunki początkowe i brzegowe. Pra-wa fizyki muszą od czegoś rozpocząć swoje funkcjonowanie.To właśnie określają warunki początkowe. Musi być równieŜ

wyznaczony zakres działania praw fizyki. I to Jest zadaniemwarunków brzegowych (naleŜy określić, jak prawa fizyki za-chowują się na "brzegu" rozwaŜanego układu). Zwykle w fizy-ce warunki początkowe l brzegowe narzuca sama strukturaproblemu. JeŜeli na przykład badam ruch wyrzuconego ka-mienia, to warunkami początkowymi są prędkość początkowai początkowy kierunek, jakie zostały nadane kamieniowiw chwili jego wyrzucenia. Kiedy badam pole grawitacyjneSłońca, to jako warunek brzegowy mogę przyjąć fakt, Ŝew bardzo duŜych odległościach od Słońca pochodzące od nie-go pole grawitacyjne jest zaniedbywalnie słabe. Ale gdy ba-dam Wszechświat, skąd wziąć warunki początkowe i brzego-we? Jakiekolwiek bym przyjął, natychmiast rodzą się pytania:

skąd się wzięły? jak je uzasadnić? Warunki początkowei brzegowe wprowadzają więc do Wszechświata element do-



wolności, pewnej przygodności modelu, stanowią lukę w wy-jaśnieniu wszystkiego do końca.A gdyby tak pozbyć się warunków początkowych i brzego-wych? Problem zostałby rozwiązany radykalnie. Z warunkamibrzegowymi sprawa jest prostsza. Zrezygnował z nich JuŜ Ein-stein w swoim pierwszym modelu kosmologicznym z 1917 ro-

ku. Właśnie dlatego przyjął, Ŝe świat jest przestrzennie zamk-nięty, aŜeby uniknąć kłopotów z warunkami brzegowymi. Jakpamiętamy, model Hartle'ego i Hawkinga jest równieŜ prze-strzennie zamknięty, a więc ten problem likwiduje się automa-tycznie.A co z warunkami początkowymi? ZauwaŜmy, Ŝe model Har-tle'ego-Hawklnga de facto nie ma Ŝadnego początku. Dziękitransformacji Wieka w młodym Wszechświecie znika czas,a wraz z nim problemy początku i warunków początkowych.

WSZECHŚWIAT HAWKINGA • 77PoniewaŜ początek jest takŜe swojego rodzaju brzegiem(czasowym brzegiem modelu), o warunkach początkowychi brzegowych moŜemy mówić łącznie jako o warunkach brze-gowych. UŜywając tej konwencji, Hartle i Hawking podkre-ślają, Ŝe w ich modelu nie ma Ŝadnego brzegu. "Jedynym wa-runkiem brzegowym - jak mówią - jest to, Ŝe świat nie mabrzegów". Daje to - ich zdaniem - pełne wyjaśnienie Wszech-świata.Czy rzeczywiście? Wyjaśnienie zaproponowane przez Har-tle'ego i Hawkinga odwołuje się do praw fizyki. Bez przyjęcia,juŜ w punkcie wyjścia, Ŝe obowiązują prawa fizyki (w szczegól-ności prawa kwantów i grawitacji), nie byliby oni w stanieuczynić Ŝadnego kroku badawczego, nie mogłoby być mowyo Ŝadnym modelu kwantowej kreacji. Konieczność wyjaśnienianaleŜy więc rozciągnąć takŜe na prawa fizyki. Ale w takim razienatychmiast rodzą się pytania: skąd się one biorą? dlaczegowłaśnie takie a nie inne? Dociekliwość l duch krytycyzmu na-kazują nigdy nie zaprzestawać stawiania pytań, jeŜeli jeszczeo coś moŜna zapytać. Problem natury l pochodzenia prawprzyrody jest jednym z najdonioślejszych problemów współcze-snej filozofii fizyki.ChociaŜ więc model Hartle'ego-Hawklnga nie odpowiada nawszystkie pytania (jak sugerują jego niektóre popularne opra-cowania), jest on wymownym dowodem na to, jak daleko moŜesięgnąć matematyczna metoda badania świata. Jeszcze sto-sunkowo niedawno nikt w fizyce (nie w filozoficznych rozwaŜa-niach wokół fizyki, lecz w samej fizyce) nie odwaŜyłby się po-stawić pytania o genezę Wszechświata, a tym bardziej podjąć

próby skonstruowania modelu Jego narodzin. Specjaliści (alenie zawsze autorzy ksiąŜek popularnych) doskonale zdają so-bie sprawę z tego, Ŝe model Hartle'ego-Hawkinga jest zaledwiepierwszą próbą, "modelem zabawkowym" (jak powiadają); Ŝejego prowizoryczny sukces opiera się na zbyt wielu, w gruncierzeczy dowolnych, załoŜeniach. Ale jest to krok w kierunkustawiania coraz ambitniejszych pytań oraz poszukiwania nanie odpowiedzi, l to za pomocą metod, jakimi zwykła posługi-wać się fizyka teoretyczna.

78 • KOSMOLOGIA KWANTOWAJest to więc krok ukazujący pewną agresywność matema-

tyczno-empirycznej metody badania świata. I to krok zdecydo-wany. A zdecydowane kroki mają to do siebie, Ŝe pociągają za



sobą następne. Praca Hartle'ego i Hawkinga stała się inspira-cją do dalszych prac badawczych.

ROZDZIAŁ 7WSZECHŚWIAT

I INSTANTONYProgram badawczy HawkingaPojawienie się zaproponowanego przez Hartle'ego i Hawkingamodelu kwantowego stwarzania Wszechświata z nicości spowo-dowało wiele kontrowersji. Dla jednych był to ogromny sukces,świadczący o potędze matematycznej metody badania świata;dla innych - sztuczny model, zbudowany w oparciu o załoŜeniaprzyjęte od hoc, które nie wynikają z Ŝadnej podstawowej teorii.AŜeby model uprawomocnić w oczach naukowej opinii, naleŜa-ło jak najszybciej skonstruować jego ulepszone wersje l poka-zać, Ŝe jeśli nawet nie są one w stanie przewidzieć jakichś no-wych, dających się zaobserwować efektów, to przynajmniejmogą wytłumaczyć pewne niewyjaśnione dotychczas zagadnie-nia kosmologiczne. Od początku jednak było wiadomo, Ŝe wyli-czenie dokładnego modelu kosmologicznego wedle recepty Har-tle'ego-Hawkinga jest tak trudne, iŜ praktycznie niewykonalne.Nie jest to wszakŜe sytuacja w fizyce wyjątkowa. W takich przy-padkach stosuje się metody przybliŜone. Taką teŜ strategię przyjął Hawking l jego współpracownicy.Pamiętamy, Ŝe w metodzie Hartle'ego-Hawkinga, chcąc wy-znaczyć prawdopodobieństwo zaistnienia danego stanuWszechświata, musimy obliczyć pewną całkę (zwaną całką działania) wzdłuŜ wszystkich moŜliwych "dróg", kończących się


Rys. 7.1. Najprostszy instanton.na tym stanie. Tych dróg jest teoretycznie nieskończenie wiele.Problem znacznie się upraszcza, Jeśli wziąć pod uwagę tylkotych kilka dróg, wzdłuŜ których całka działania ma wartość największą. Oczywiście, nie zawsze musi istnieć kilka "najwaŜ-niejszych" dróg. MoŜe być tak, Ŝe całka działania ma zbliŜonewartości wzdłuŜ bardzo wielu dróg; wówczas problemu nie dasię uprościć. JednakŜe te przypadki, w których da się to zrobić,są szczególnie waŜne, gdyŜ przedstawiają one wszechświatyznacznie bardziej prawdopodobne od innych, a z oczywistychwzględów mamy prawo przypuszczać, Ŝe nasz Wszechświat jestbardziej prawdopodobny od tych, które nie zaistniały.

Takie uproszczone rozwiązanie, w którym przyczynek do ca-łości pochodzi tylko od kilku dróg, nazywa się rozwiązanieminstantonowym lub krótko: instantonem. Musimy ustawiczniepamiętać, Ŝe w metodzie Hartle'ego-Hawklnga drogi są w rze-czywistości tubami czasoprzestrzennymi, które kończą się jed-ną trójwymiarową geometrią, przedstawiającą dany stanWszechświata. Z najprostszym instantonem mamy do czynie-nia wówczas, gdy największy przyczynek pochodzi tylko odjednej drogi-tuby, kończącej się trójwymiarową, zamkniętą po-wierzchnią. JeŜeli liczymy prawdopodobieństwo wyłonienia się z nicości stanu Wszechświata, reprezentowanego przez tę po-wierzchnię, to jedyna tuba, która do niej prowadzi, z drugiegoswojego końca jest gładko zaokrąglona. Taki najprostszy in-

stanton przypomina więc przeciętą na pół kulę (jeśli pominąć Jeden wymiar) zamkniętą powierzchnią, powstałą z przecięcia



WSZECHŚWIAT l INSTANTONY • 81kuli (rys. 7.1). Kształty innych instantonów mogą być bardzoróŜnorodne.Instanton i inflacja

Pierwszy instanton wyliczyli Hawking i łan Moss. Przedstawiałon wyłanianie się z nicości wszechświata w stanie permanent-nej inflacji z zamkniętymi przestrzeniami chwilowymi (repre-zentującymi stany wszechświata). To, Ŝe przestrzenie te byłyzamknięte, nie stanowiło niczego szczególnego, poniewaŜ, jakpamiętamy, metoda Hartle'ego-Hawkinga od początku byłaopracowana dla zamkniętych wszechświatów. Interesującą ce-chą instantonu Hawkinga-Mossa było natomiast to, Ŝe prowa-dził on do wszechświata inflacyjnego.Inflacyjnymi nazywa się te modele kosmologiczne, w którychekspansja, czyli rozszerzanie się Wszechświata, zachodzi bar-dzo szybko (wykładniczo). Modele inflacyjne były znane oddawna. W ogóle pierwszym odkrytym modelem rozszerzającegosię Wszechświata był model inflacyjny - tzw. model de Sittera -ale po raz pierwszy proces inflacji do wyjaśnienia pewnych zja-wisk w rzeczywistym Wszechświecie zastosował Alan Guthw 1981 roku. Celem rozwiązania kilku paradoksów, z jakimiborykał się standardowy model Wszechświata, Guth niejakonałoŜył przyspieszone, inflacyjne rozszerzanie się na zwykłą ekspansję standardowego modelu w bardzo wczesnym etapiejego ewolucji. To początkowe rozdęcie młodego Wszechświataodbyło się tak gwałtowne, Ŝe wszystko to, co obecnie obserwu-jemy przez nawet najsilniejsze teleskopy, kiedyś stanowiło ma-leńką kroplę pierwotnej plazmy. Fakt ten wyjaśnia, między in-nymi, dlaczego pewne wielkości, charakteryzujące Wszechświat(na przykład temperatura promieniowania tła), są takie samedla niego całego. Kiedyś bowiem wszystko, co stanowi obecnieobserwowany Wszechświat, znajdowało się bardzo blisko sie-bie, nic więc dziwnego, Ŝe miało podobne własności. Rozumo-wanie to tak przypadło do gustu większości kosmologów (cho-ciaŜ istnieje teŜ opozycja), Ŝe mówi się do dziś o "paradygmacie

82 • KOSMOLOGIA KWANTOWAInflacyjnym". Zbyt wiele problemów pozostałoby bez wyjaśnie-nia, gdyby nie zakładać, Ŝe bardzo młody Wszechświat prze-szedł przez fazę inflacji. Hawking i Moss mogli być zadowoleni,gdy uzyskali instanton, produkujący wszechświat w stanie In-flacji. Ale na horyzoncie pojawił się nowy problem.Inflacja w otwartym wszechświecie

Zwolennicy inflacyjnego paradygmatu od dawna twierdzili, Ŝeich model faworyzuje wszechświat z otwartymi, płaskimi prze-strzeniami chwilowymi. Co więcej, napływające od jakiegoś czasu dane obserwacyjne coraz wyraźniej wskazują, Ŝe prze-strzeń naszego Wszechświata jest istotnie otwarta i jeŜeli niedokładnie płaska, to w kaŜdym razie prawie płaska. Czy stosu-jąc metodę Hartle'ego-Hawkinga i przybliŜenie instantonowe,da się taki Wszechświat wyprodukować z niczego?Mechanizm inflacji prowadzący do otwartych wszechświa-tów został opracowany w latach osiemdziesiątych XX wiekuprzez Sidneya Colemana l F. de Luccię. Potem udało się zna-leźć rozwiązanie instantonowe zgodne z tym mechanizmem.Przejście od stanu zwykłego rozszerzania do stanu ekspansji

inflacyjnej jest związane ze zjawiskami dynamicznymi, zacho-dzącymi w materii wypełniającej młody Wszechświat. Proces



ten przypomina proces zamarzania wody. MoŜe się zdarzyć, Ŝezamarza nie od razu cała woda, lecz najpierw tworzą się małekryształki lodu, które stopniowo obejmują coraz to większe ob-szary. W procesie Colemana-de Luccii, analogicznie, inflacjatworzy się w małych, ale szybko rosnących bąblach. Było nie-małym zaskoczeniem, gdy obliczenia pokazały, Ŝe wnętrze ta-

kiego bąbla Jest nieskończonym, otwartym wszechświatem. In-stantonowe rozwiązanie tego typu opisuje więc kwantowenarodziny wszechświatów otwartych.Ale i tu nie brak problemów. Instanton Colemana-de Lucciiwymaga dość specyficznych warunków początkowych: wszech-świat musi znajdować się w stanie tzw. fałszywej próŜni. Infla-cja nie moŜe zostać zapoczątkowana, jeŜeli materia nie tkwi

WSZECHŚWIAT l INSTANTONY • 83w specyficznym, wzbudzonym stanie. Takie warunki trzeba poprostu przyjąć. Model nie wyjaśnia, skąd się one biorą.Pomysłowość kosmologów jest jednak wielka. Hawkingl Nell Turok skonstruowali instanton o własnościach podob-nych do instantonu Colemana-de Luccii, ale nie wymagającyjakichś szczególnych warunków początkowych. ProblemywszakŜe się nie skończyły. Pomysłowość nie zawsze jest w sta-nie wygrać z prawdziwymi trudnościami. Instanton Hawkinga--Turoka usuwa wprawdzie szczególne warunki początkowe, aleprodukuje... osobliwości, czyli takie obszary, w których krzy-wizna dąŜy do nieskończoności. Model taki zwykle uwaŜa się za wadliwy lub, w najlepszym razie, tylko za sugerujący kieru-nek dalszych badań.Fluktuacje i struktura WszechświataOkazuje się jednak, Ŝe słabości inflacyjnego scenariusza mogą być uŜyte na jego korzyść. RóŜne Instantonowe rozwiązaniazwiązane z inflacją przewidują - na mocy podstawowych zasadmechaniki kwantowej - fluktuacje kwantowej próŜni. W faziegwałtownego, inflacyjnego rozszerzania się Wszechświata fluk-tuacje rosną (wraz z jego rozmiarami). Pod koniec fazy inflacyj-nej mogą one osiągnąć rozmiary makroskopowe l stać się za-ląŜkami galaktyk lub ich gromad, gdy Wszechświat stygnie.Ale zanim się to stanie, fluktuacje odciskają się na strukturzekosmicznego promieniowania tła: promieniowanie rozpraszasię na zagęszczeniach materii, co moŜe doprowadzić do dają-cych się dziś zaobserwować niewielkich róŜnic w rozkładzie je-go temperatury. W ten sposób moŜna by wyróŜnić to rozwiąza-nie Instantonowe, któremu zawdzięczamy powstanie naszegoWszechświata. Niewykluczone, Ŝe planowane na najbliŜsze latasatelitarne misje badania kosmicznego promieniowania tła do-

prowadzą do jakichś bardzie) rozstrzygających konkluzji.

ROZDZIAŁ 8TEORIA MOcean strukturCzęsto wyobraŜam sobie matematykę jako bezkresny, nie-skończony ocean, wypełniony nie wodą, lecz rozmaitymi pięk-nymi strukturami. Nie są to struktury martwe, statyczne jakmonumentalne architektoniczne kształty. One Ŝyją, są dyna-miczne, jedne wynikają z drugich. Ciągiem łańcuchów krzyŜu-jących się dedukcji prowadzą od prostych załoŜeń do zaskaku-jących konsekwencji. Niektóre z nich dają początek nowym

wynikaniom, prowadzącym w głąb oceanu - do niezbadanychjeszcze obszarów. Właściwie to, co dotychczas zbadaliśmy, to



zaledwie niewielkie wysepki wystające ponad powierzchnię.Wiemy, Ŝe niektóre z wysepek są częściami wielkiego podmor-skiego masywu; być moŜe znamy nawet zarysy pewnych jegoczęści, ale reszta tonie w bezkresnym, podwodnym horyzoncie.Kiedyś Ŝywiliśmy złudną nadzieję, Ŝe aby poznać - przynaj-mniej w zasadzie - cały ocean, wystarczy sformułować kilka

wyjściowych pewników i przyjąć odpowiednio mocne reguływnioskowania, które będą nas w stanie zaprowadzić do najdal-szych jego otchłani. Dziś, dzięki pracom Kurta Godła, wiemy,Ŝe tak nie jest. Oceanu nie da się wyczerpać za pomocą Ŝad-nych zautomatyzowanych sposobów rozumowania.Niektóre z matematycznych struktur w fizyce wykorzystujesię do modelowania pewnych aspektów świata. Na przykład

KOSMOLOGIA KWANTOWA • 85geometrię Rlemanna stosuje się do opisu pola grawitacyjnego,a przestrzenie Hilberta do opisu poziomu kwantowego. Fizykwybiera z matematycznego oceanu niektóre struktury, by za Ichpomocą badać rzeczywisty świat. Jaki jest stosunek tego światado oceanu matematycznych struktur? Czy nie moŜe się okazać,Ŝe dwie odmienne teorie fizyczne wykorzystują dwie pozornieróŜne matematyczne struktury, które w istocie są tylko wystają-cymi ponad powierzchnię oceanu dwoma szczytami tego same-go podwodnego masywu? Gdyby tak było, te dwie pozornie róŜ-ne teorie fizyczne stanowiłyby w gruncie rzeczy "fragmenty"jednej, jeszcze nieznanej teorii fizycznej. A moŜe całą fizykę da-łoby się w ten sposób sprowadzić do jednej matematycznejstruktury? Czy jednak ograniczenia, wynikające z twierdzeniaGodła, nie mają konsekwencji dla programu unifikacji fizyki?Czy to, Ŝe matematyki nie da się przetłumaczyć na mechanicz-ną grę symboli, nie świadczy o jej "twórczym charakterze" i czyów "twórczy charakter" nie przenosi się Jakoś na fizykę?Są to pytania ambitne. Nie znamy dziś na nie odpowiedzi,choć wielu z nas snuje na ich temat rozmaite przypuszczenia,a niektórzy biorą je nawet za prawle-pewniki. W obecnym roz-dziale pójdziemy tropem tych pytań, starając się Jednak zacho-wać krytycyzm i trzeźwość myślenia. Zobaczymy, Ŝe w najnow-szych poszukiwaniach kwantowej teorii grawitacji niektórezbadane juŜ uprzednio matematyczne wyspy istotnie okazałysię szczytami wielkiej podoceanicznej struktury. Struktura tazaczyna nam JuŜ ukazywać szczegóły swojej logicznej kon-strukcji. Nie wiemy dotychczas jednego - czy ten piękny pod-morski łańcuch górski jest tylko jeszcze jednym elementemabstrakcyjnego świata matematyki, czy teŜ strukturą świata,w którym Ŝyjemy. Wielka Przygoda badania nieznanego trwa.

Struny i superstrunyW rozdziale 5 mówiliśmy o teorii strun i superstrun. Przypo-mnijmy najwaŜniejsze elementy tych koncepcji i nieco je roz-wińmy. Podstawowa idea teorii strun polega na tym, by ogrom-

86 • KOSMOLOGIA KWANTOWAne bogactwo rozmaitych typów cząstek elementarnych, zna-nych w fizyce wysokich energii, zastąpić tylko jednym rodza-jem obiektów - jednowymiarowymi strunami. Struny mogą być zamknięte (tworząc pętle) lub otwarte, ze swobodnymi końca-mi. Struny mogą drgać w róŜny sposób. Rozmaite typy drgań przejawiają się jako odmienne rodzaje cząstek, na przykład ja-

ko fotony lub gluony. Fotony przenoszą oddziaływania elektro-magnetyczne, a gluony - silne oddziaływanie jądrowe, zwane



równieŜ hadronowymi. Cząstki przenoszące oddziaływania na-zywają się bozonaml. Teoria superstrun, w swojej pierwotnejwersji, potrafiła wyjaśnić jako typy drgania strun tylko bozony.Istnieje wszakŜe druga rodzina cząstek, zwanych fermionami.Są to cząstki, z których zbudowana jest "zwykła materia" (dorodziny tej naleŜą na przykład protony i elektrony) l pomiędzy

którymi bozony przenoszą róŜne oddziaływania. Wobec nichteoria strun była bezsilna.Ale za jakiś czas znalazło się rozwiązanie. Jak pamiętamy,supersymetria została wynaleziona w tym celu, by móc bozonyprzekształcać w fermiony (i odwrotnie). W oparciu o ten po-mysł juŜ wcześniej skonstruowano teorię supergrawitacji,z którą kiedyś wiązano wielkie nadzieje na zunifikowaniewszystkich oddziaływań fizycznych. Wystarczyło teraz teorię strun związać z supersymetria, by ta pierwsza objęła równieŜ fermiony. Tak rozszerzoną teorię nazywa się teorią superstrun.Napisałem w poprzednim zdaniu, Ŝe "wystarczyło teraz teo-rię strun związać z supersymetria", co sugerowałoby, iŜ było tozadanie proste. Nic podobnego! AŜeby do tego doprowadzić,naleŜało wykonać ogromną robotę teoretyczną l rachunkową.Struktury matematyczne, jakich wymagają obecne teorie od-działywań fundamentalnych, są piękne l być moŜe logicznieproste, ale to wcale nie znaczy, Ŝe swoją prostotą są przystoso-wane do moŜliwości ludzkiego umysłu. Nigdzie nie zostało po-wiedziane, Ŝe świat musi być skrojony na miarę naszych po-znawczych ambicji. Ale tym razem trudności, przynajmniejczęściowo, udało się pokonać i teoria superstrun została skon-struowana. Co więcej, okazało się, Ŝe jest pięć róŜnych teoriisuperstrun: w dwu z nich podstawowym obiektem są pętle,

TEORIA M • 67w trzeciej - struny otwarte. Ponadto Istnieją jeszcze dwie teoriepowstałe z kombinacji dawniejszej teorii strun bozonowychz supersymetria. Te dwie teorie nazywa się heterotycznymi teo-riami strun. Z jedną z tych dwóch teorii, odkrytą w końcu latosiemdziesiątych XX wieku, wiązano wielkie nadzieje. Okazałosię bowiem, Ŝe teoria ta zawiera w sobie wszystkie symetrieModelu Standardowego cząstek elementarnych (ale obejmujeJeszcze symetrie dodatkowe). Model Standardowy bardzo do-brze zdaje sprawę z bogactwa wszystkich znanych cząstek ele-mentarnych, ale jest nieco sztuczny: opiera się na zbyt wieluniezaleŜnych załoŜeniach. Z teoretycznego (i estetycznego zara-zem!) punktu widzenia byłoby rzeczą niezmiernie poŜądaną,gdyby dało się go wyprowadzić z jakiejś ogólniejszej koncepcji.Obecnie nasza wiedza o teoriach superstrun znacznie się po-

szerzyła i zaczynamy podejrzewać, Ŝe właściwa fizyka nie wiąŜesię z jakąś jedną spośród nich, lecz z jeszcze ogólniejszymi pra-widłowościami. Szerszą perspektywę w fizyce uzyskuje się czę-|sto, przechodząc do przestrzeni o większej liczbie wymiarów.(Właśnie w tym kierunku biegły dociekania teoretyków.Świat wielkich wymiarówTeorie superstrun moŜna formułować w przestrzeni o dowolnejliczbie wymiarów, ale jeŜeli chcemy, by teoria była wolna odrozbieŜności, które są plagą wielu teorii oddziaływań elemen-tarnych, to istnieje tylko jeden wybór - teoria powinna zostać osadzona w przestrzeni o dziesięciu wymiarach. Fizycy bardzolubią, gdy w ten sposób sama matematyka ogranicza wybór dojednej tylko moŜliwości. Ale przestrzeń, w której Ŝyjemy, ma

trzy wymiary i wraz z czasem tworzy czterowymiarową czaso-przestrzeń. Co z pozostałymi sześcioma wymiarami? Odpo-



wiedź na to pytanie jest znana przynajmniej od lat dwudzie-stych XX wieku, kiedy to Theodor KałuŜa i Oskar Kleinwymyślili sposób, w jaki moŜna połączyć ze sobą teorię grawita-cji (ogólną teorię względności Einsteina) i teorię elektromagne-tyzmu. ZałoŜyli oni, Ŝe czasoprzestrzeń ma nie 4, lecz 5 wymia-

88 • KOSMOLOGIA KWANTOWArów, ale piąty wymiar jest ciasno zwinięty do postaci rulonika.MoŜemy sobie wyobrazić, Ŝe w kaŜdym punkcie czasoprzestrze-ni tkwi doklejony okrąg o bardzo małym promieniu; jeŜeli więcw czasoprzestrzeni porusza się elektron, to w kaŜdym punkciema on dodatkową moŜliwość poruszania się po małym okręgu.Przedstawienie tego w języku matematycznym prowadzi downiosku, Ŝe elektron stosuje się do równań Maxwella, które-jak wiadomo - rządzą zjawiskami elektromagnetyzmu.1 JeŜelipromień tego dodatkowego okręgu jest bardzo mały, to makro-skopowy obserwator nie dostrzeŜe go Jako piątego wymiaruczasoprzestrzeni, lecz jako oddziaływanie elektromagnetyczne.W przypadku dziesięciowymiarowej teorii superstrun to sa-mo naleŜy uczynić z dodatkowymi sześcioma wymiarami, toznaczy trzeba Je zwinąć w 6 ciasnych ruloników, tak by w kaŜ-dym punkcie czasoprzestrzeni znalazło się dolepionych6 okręgów o bardzo małych promieniach (czyli jeden sześcio-wymiarowy torus). Proces ten nazywa się kompaktyfikacją wielowymiarowej przestrzeni. Ruch cząstek w dodatkowychwymiarach mógłby być odpowiedzialny nie tylko za oddziały-wanie elektromagnetyczne, lecz równieŜ za inne fundamental-ne siły (łącznie z grawitacją!).Opisany proces kompaktyfikacji Jest najprostszym z moŜli-wych, ale wkrótce okazał się niewystarczający dla celów fizycz-nych. Aby otrzymać obserwowane w naszym świecie typy cząstekelementarnych, ich masy l charakteryzujące je liczby kwantowe,trzeba było w kaŜdym punkcie czasoprzestrzeni zastąpić sześcio-wymiarowy torus bardziej skomplikowanym sześciowymiarowymtworem geometrycznym, zwanym rozmaitością typu Calabiego--Yau. Natrafiamy tu jednak na nową trudność: istnieje bardzowiele takich rozmaitości i nie wiemy, którą z nich wyróŜnia fizy-ka. Zatem mamy znowu nadmiar wolnego wyboru... Ale badaniatrwają. Poszukuje się związków między róŜnymi rozmaitościamitypu Calablego-Yau. Niewykluczone, Ŝe wszystkie one są róŜnymiobliczami czegoś jednego (jak wskazują niektóre prace).1 Jest tak dlatego, Ŝe oddziaływania elektromagnetyczne podlegają symetrii cha-rakterystycznej dla ruchu po okręgu. Symetrię tę oznacza się symbolem U(l).

TEORIA M • 89Odkrywanie M-asywuJak juŜ wspomniałem, badanie teorii superstrun wymaga za-awansowanych metod matematycznych. Co więcej, bardzoczęsto trzeba wręcz tworzyć nowe techniki rachunkowe. Nicwięc dziwnego, Ŝe początkowo teorie te studiowano dość po-wierzchownie. Nie chcę przez to powiedzieć, Ŝe badania bytyniestaranne, lecz Ŝe wypracowane metody matematycznechwytały zaledwie powierzchniową warstwę bogatej struktury(metody te fizycy nazywają perturbacyjnymi lub zaburzeniowy-ml). Znane wówczas metody ukazywały jedynie niewielkie wy-spy na powierzchni oceanu. Z czasem jednak uczyniono po-stęp w wypracowywaniu lepszych metod (nieperturbacyjnych).

Zaczęły one stopniowo ukazywać niektóre detale podmorskie-go łańcucha, łączącego poszczególne wysepki.



Pierwszym sygnałem, Ŝe w gruncie rzeczy chodzi o jedną wielką strukturę, było odkrycie dualności, zachodzących po-między róŜnymi teoriami superstrun. Dwie teorie nazywamydualnymi względem siebie, jeŜeli - mimo swojej odmiennej po-staci - prowadzą do takiej samej fizyki. Zrodziło się więc bar-dzo powaŜne podejrzenie, Ŝe mamy do czynienia zjedna, ogól-

niejszą teorią, a 5 znanych teorii superstrun to tylko Jejszczególne przypadki, czyli 5 wystających ponad powierzchnię oceanu szczytów podmorskiego masywu. Masyw ten zaczętonazywać M-teorią.Wkrótce okazało się, Ŝe masyw ów ma jeszcze jeden szczyt.Co więcej, szczyt ten tworzy wyspę, którą znano juŜ od dość dawna, ale nie kojarzono jej wcale z pozostałymi pięcioma teo-riami. Tą nowo odkrytą, starą wyspą jest j edenastowymiarowateoria supergrawitacji (por. rozdział 5). SpostrzeŜenie to stałosię waŜnym krokiem w kierunku spenetrowania M-teorii.Pięć teorii superstrun wymaga 10 wymiarów, a teoria super-grawitacji - 11 wymiarów. Jeśli wszystkie te teorie są szczegól-nymi przypadkami M-teorii, to ta ostatnia musi być przynaj-mniej jedenastowymiarowa. Ale jak z jedenastowymiarowejM-teorii otrzymać dotychczasowe dziesięciowymiarowe teoriesuperstrun? Potrafimy juŜ na to dać odpowiedź: trzeba po pro-

90 • KOSMOLOGIA KWANTOWAstu skompaktyfikować jeden wymiar. JeŜeli na przykład w je-denastowymiarowej teorii supergrawitacji jeden wymiar zwi-niemy ciasno wokół okręgu o bardzo małym promieniu, tootrzymamy cieniutką rurkę zlepioną końcami, czyli bardzochudy torus. Jeśli grubość rurki jest zaniedbywalna, to w efek-cie mamy zamkniętą strunę. W ten sposób udało się udowod-nić, Ŝejedenastowymiarowa teoria supergrawitacji skompatyfl-kowana wokół Jednego wymiaru jest niczym innym, jak tylkojedną z pięciu znanych teorii superstrun z zamkniętymi stru-nami jako swymi podstawowymi obiektami. To, co w teorii tejwydaje się zamkniętą struną, w istocie (to znaczy w jedenasto-wymiarowej teorii supergrawitacji) jest dwuwymiarową po-wierzchnią, czyli membraną. Stąd wywodzi się nazwa nowejteorii. M-teoria - od wyrazu "membrana", a nie od słowa "ma-syw", jak z pewnej przekory sugerowałem uprzednio.2W ten sposób coraz głębiej penetrując nasz "wielowymiaro-wy ocean", zaczynamy stopniowo odkrywać bogatą strukturę M-teorii. Wiemy JuŜ, Ŝe ta teoria wymaga 11 wymiarów i Ŝekompaktyfikując Jeden z nich na róŜne sposoby (oraz wykorzy-stując dualności), moŜemy otrzymać z niej wszystkie znaneteorie superstrun. Jest to niewątpliwie piękna matematyka,

ale czy doprowadzi nas ona do poszukiwanej, ostatecznej teoriifizycznej? Pozostało jeszcze wiele do zrobienia i wcale nie jestpewne, Ŝe po drodze nie czekają na nas nowe niespodzianki.2 Niektórzy nazwę "M-teoria" wywodzą od angielskiego słowa mysterious - ta-jemniczy.

ROZDZIAŁ 9EKPYROTYCZNYWSZECHŚWIATM-teoria i kosmologiaCo jakiś czas słyszy się w mediach sensacyjną wiadomość:"Rewolucja w kosmologii! Model Wielkiego Wybuchu juŜ nieak-

tualny!". Ostatnio równieŜ pojawiają się takie rewelacje,wzmocnione dodatkowymi wykrzyknikami: "Wielkie osiągnię-



cie uczonych! Wielkiego Wybuchu nie było! Teoria superstrunwyjaśniła początek Wszechświata!". Naprawdę sprawa przed-stawia się znacznie mniej sensacyjnie i bodaj wręcz przeciw-nie. Model Wielkiego Wybuchu - a więc stwierdzenie, Ŝew dziejach naszego Wszechświata był supergęsty i supergorącystan, z którego wyewoluowały wszystkie znane nam kosmiczne

struktury - jest tak dobrze potwierdzony obserwacyjnie, iŜ wszelkie nowe koncepcje (w tym takŜe oparte na teorii super-strun) nie starają się go zastąpić, lecz wyjaśnić. W jaki spo-sób? Oczywiście, w taki sposób, jaki jest ogólnie przyjęty w fi-zyce. Trzeba zatem zbudować ogólniejszy model lub teorię,z której wynikałby model Wielkiego Wybuchu. Naturalną kan-dydatką na tę ogólniejszą teorię jest teoria superstun lub-jeszcze lepiej - M-teoria. Co więcej, podjęcie tego zadania leŜyw dobrze pojętym interesie tych teorii. Model Wielkiego Wybu-chu zajmuje w nauce tak mocną pozycję pod względem obser-wacyjnym, Ŝe pokazanie. IŜ wynika on z którejś z tych teorii,

92 • KOSMOLOGIA KWANTOWAbyłoby dla niego silnym wsparciem. A jak wiadomo, obie teo-rie, matematycznie bardzo rozbudowane, cierpią na notorycz-ny brak obserwacyjnych potwierdzeń. Nic więc dziwnego, Ŝespecjaliści od M-teorii i superstrun skierowali swoje zaintere-sowania w stronę ich kosmologicznych konsekwencji.Pierwsze pomysły są dość stare i pochodzą od V. A. Ruyba-kova i M. R. Shaposhnikova z roku 1983, kiedy to idea uogól-nienia pojęcia struny do tworu więcej wymiarowego znajdowa-ła się jeszcze w fazie embrionalnej. Przełomowe znaczeniemiała dopiero praca P. Hofiavy l E. Wittena z 1966 roku, wyko-rzystująca juŜ rozwiniętą wersję M-teorii. Nawiązując do wyni-ków uzyskanych w tej pracy, dwa lata później A. Lukas,B. A. Ovrut i D. Wałdram stworzyli podstawy tzw. heterotycz-nej M-teorii, która stanowi dziś punkt wyjścia dla róŜnych mo-deli kosmologicznych. Liczba takich modeli gwałtownie rośnie.Wiele z nich nawiązuje do interesujących prac L. Randallai R. Sundruma, ale największy rozgłos zdobył sobie modelopracowany przez zespół: Justin Khoury, Burt A. Ovrut, PaułSteinhardt l Nell Turok, nazwany przez swoich autorówwszechświatem ekpyrotycznym. Określenie to nawiązuje domodelu świata uznawanego przez staroŜytnych stoików. Wedletego modelu historia świata jest cykliczna: ognista zagłada,kończąca kaŜdy cykl, daje początek następnemu cyklowi. Za-poŜyczona od stoików nazwa jest o tyle myląca, Ŝe w modelu

współczesnym nie ma mowy o cyklach i ich końcu, lecz jedynieo tym, iŜ nasz Wszechświat powstał w katastrofie, polegającejna zderzeniu "innych światów", czyli bran. Przyjrzyjmy się nie-co dokładniej scenariuszowi, jaki wedle tego modelu rozegrałsię "na początku".ZałoŜenia modeluWiemy juŜ, Ŝe w M-teorii podstawowymi obiektami są nieko-niecznie jednowymiarowe struny; mogą nimi być dwuwymiaro-we membrany lub twory o jeszcze większej liczbie wymiarów.Przyjęła się dla nich nazwa 3-brany, lub ogólniej n-brany, a je-

EKPYROTYCZNY WSZECHŚWIAT • 93

Ŝeli w danej chwili nie interesuje nas specjalnie liczba wymia-rów, mówimy po prostu o branach. Sceną, na której rozgrywa



się akcja modelu ekpyrotycznego, jest (4+1)-wymiarowa czaso-przestrzeń (4 wymiary przestrzenne i l czasowy) heterotycznejM-teorii. Czasoprzestrzeń ta jest ograniczona dwiema (3+1)-wymiarowymi "hiperpowlerzchniami". Obie hiperpowierzchnieinterpretuje się jako 3-brany w pięciowymiarowej czasoprze-strzeni. ZauwaŜmy, Ŝe obie 3-brany mają dokładnie tyle wy-

miarów, ile nasz Wszechświat: 3 przestrzenne i l czasowy (donazwy brany wchodzi tylko liczba wymiarów przestrzennych).I rzeczywiście, jedna z tych 3-bran reprezentuje nasz Wszech-świat lub, lepiej, to, co kiedyś stanie się naszym Wszechświa-tem; nazywa się ją widzialną braną (bo nasz Wszechświat mo-Ŝemy obserwować). Druga 3-brana przedstawia "innywszechświat" i nazywa się ją ukrytą braną. Pomiędzy obiemabranami rozciąga się obszar pięciowymiarowej czasoprzestrze-ni; przyjęła się dla niego nazwa objętość obejmująca (bulfc volu-me). Znacznym uproszczeniem wbudowanym do modelu jestto, Ŝe obie brany - widzialna i ukryta - są płaskie (jak czaso-przestrzeń w szczególnej teorii względności), ale objętość obej-mująca moŜe być zakrzywiona (wzdłuŜ jednego z wymiarów).W modelu istnieje jeszcze trzecia brana, zwana braną objęto-ściową. MoŜe ona albo pojawić się spontanicznie w pobliŜu bra-ny ukrytej, albo z tej brany wręcz "wypączkować". Obydwie temoŜliwości dokonują się na mocy pewnej wersji efektu kwanto-wej kreacji (por. rozdział 7). AŜeby model mógł zadziałać, branaobjętościowa musi być równieŜ płaska, dokładnie równoległa dopozostałych dwu bran, znacznie od nich lŜejsza i początkowopowinna znajdować się w spoczynku. Są to bardzo powaŜneograniczenia nałoŜone na model.Scenariusz początkuAutorzy modelu ekpyrotycznego w swoim oryginalnym artyku-le piszą, Ŝe "Wszechświat mógł istnieć nieskończenie długow okresie poprzedzającym kolizję, ale czas kosmiczny, tak jak

94 • KOSMOLOGIA KWANTOWAbywa on zwyczajnie definiowany, rozpoczął się w zderzeniu".Zdanie to jest bardzo niejasne. ZauwaŜmy, Ŝe scenę dla mode-lu stanowi pięciowymiarowa czasoprzestrzeń, a więc czas jestjednym z jej wymiarów i właśnie w tym czasie "Wszechświatmógł istnieć nieskończenie długo". Nie był to jednak czas "na-szego Wszechświata" (który się jeszcze nie pojawił), lecz raczejjakiś "meta-czas" dla róŜnych moŜliwych wszechświatów(3-bran). Nasz czas rozpoczął się w kataklizmie zderzenia. Otojak do tego doszło.Brana objętościowa albo powstała w pobliŜu brany ukrytej,albo się od niej oderwała. Z chwilą gdy zaistniała, zaczęła do-

znawać przyciągania ze strony brany widzialnej. W ten sposóbbrana objętościowa rozpoczęła swoją podróŜ wzdłuŜ jednegoz wymiarów pięciowymiarowej czasoprzestrzeni w kierunkubrany widzialnej. W trakcie podróŜy zachowała swoją płaskość l równoległość do pozostałych dwu bran, ale działanie kwanto-wych efektów powodowało powstawanie na niej małychzmarszczek-fluktuacji. Istotną rzeczą jest to, Ŝe model przewi-duje ich charakter l wielkość. W miarę poruszania się branyw pięciowymiarowej czasoprzestrzeni większe fluktuacje - po-wyŜej pewnej skali wielkości - zamraŜają się (tzn. ich wielkość przestaje się zmieniać), a poniŜej tej skali wykonują oscylacje.Wreszcie następuje kataklizm. Brana objętościowa zderzasię z braną widzialną. Część energii kinetycznej, powstałej

w wyniku kolizji, zmienia się w ciepło. Rodzą się wielkie ilościenergii promienistej. Wszystko skąpane w gorącej kąpieli. Zde-



rzenie to Jest w gruncie rzeczy Wielkim Wybuchem, dającympoczątek naszemu Wszechświatowi. Dalej wszystko rozgrywasię zgodnie ze standardowym modelem kosmologicznym. Jed-nakŜe model zderzenia bran wnosi dwa Istotne elementy domodelu standardowego. Po pierwsze, w historii naszegoWszechświata nigdy nie było kłopotliwej początkowej osobliwo-

ści. Zderzenie bran moŜna uwaŜać za gigantyczną katastrofę w skali kosmicznej (katastrofę, której zawdzięczamy nasze ist-nienie!), ale mimo wszystko nie jest to osobliwość w sensie ma-tematycznym. I po drugie, w modelu ekpyrotycznym nie trzebaprzyjmować warunków początkowych dla Wielkiego Wybuchu

EKPYROTYCZNY WSZECHŚWIAT • 95a priori, niejako "z powietrza" (jak to się czyni w kosmologiistandardowej), są one bowiem ustalone przez fizykę zderzenia.Obszar zderzenia dwóch bran był nieporównywalnie większyod tego "zaniedbywalnie małego fragmentu", z którego powstałnasz Wszechświat. Nic zatem dziwnego, Ŝe wszystko wewnątrznaszego Wszechświata, choćby obecnie oddzielone największy-mi odległościami, jest ze sobą przyczynowo powiązane. A za-tem celem wyjaśnienia niektórych globalnych charakterystykWszechświata, na przykład tego, Ŝe temperatura mikrofalowe-go promieniowania tła jest wszędzie niemal identycznie takasama, nie trzeba odwoływać się do modelu inflacyjnego (por.rozdział 7). W związku z tym Pauł Steinhardt, kiedyś wielki ba-dacz l zwolennik kosmicznej inflacji, przeszedł teraz do obozujej przeciwników.Model Inflacyjny przewidywał, Ŝe przestrzeń Wszechświatajest płaska. Cały bowiem nasz obserwowalny świat rozdął się do obecnych rozmiarów właśnie dzięki inflacji; stanowi więcmały fragment jakiejś większej przestrzeni, dziś dla nas nieob-serwowalnej w całości. A mały fragment dowolnie zakrzywionejprzestrzeni jest zawsze w przybliŜeniu płaski. PrzybliŜenie jesttym lepsze, im mniejszy fragment obserwujemy. W modeluzderzenia dwu bran świat Jest płaski "w naturalny sposób",poniewaŜ -Jak pamiętamy - model funkcjonuje tylko wówczas,gdy wszystkie trzy brany, występujące w scenariuszu zderze-nia, są płaskie.Model ekpyrotyczny moŜe się poszczycić jeszcze jedną pro-gnozą. Na branie objętościowej, w trakcie jej wędrówki w kie-runku brany widzialnej, powstają kwantowe fluktuacje. Jakwiemy. Ich wielkość jest dobrze określona. W akcie zderzeniafluktuacje "odciskają się" na branie widzialnej, skutkiem czegow nowo narodzonym Wszechświecie fluktuacje - i to o ściśleokreślonej wielkości - są obecne od samego początku. To one

staną się potem zarodkami galaktyk i ich gromad. Stwarza tomoŜliwości, przynajmniej teoretycznego, testowania modelu.JuŜ obecnie mierzy się ze znaczną precyzją wielkość początko-wych fluktuacji zapisanych w mikrofalowym promieniowaniutła, a planowane na najbliŜszą przyszłość misje satelitarne do-

96 • KOSMOLOGIA KWANTOWAkładność tę istotnie zwiększą. MoŜemy Ŝywić uzasadnioną na-dzieję, Ŝe uda się wówczas rozstrzygnąć, czy rację ma modelInflacyjny, czy model zderzających się bran.Chwila na refleksję Śledzenie najnowszych wyników badań jest czymś niezmiernie

emocjonującym. WraŜenie, Ŝe oto trzyma się rękę na pulsie i Ŝejest się świadkiem pierwszej linii badań, bywa frapujące. Nie-



kiedy jednak jest w stanie przyćmić fakt, iŜ te najnowsze osią-gnięcia mogą być tylko wstępną hipotezą. Dopiero po chwilispokojniejszej refleksji nabiera się odpowiedniego dystansul przychodzi czas na bardziej wywaŜoną ocenę.Model Wielkiego Wybuchu jako dwu zderzających się ze so-bą bran jest pod wieloma względami atrakcyjny. Przede

wszystkim pozwala on uniknąć początkowej osobliwości l trak-tuje sam Wielki Wybuch jako skutek poprzedzających go pro-cesów fizycznych. Co więcej, czyni to w ramach szerszej teorii,l to mającej ambicję, by być teorią fundamentalną całej fizyki.Ale w tym tkwi takŜe słabość modelu. Jak bowiem wiemy,M-teoria ciągle jeszcze znajduje się we wstępnej fazie swojegorozwoju i podczas dokładniejszego jej opracowywania wiele się jeszcze moŜe zmienić.Innym powaŜnym mankamentem modelu ekpyrotycznegojest to, Ŝe wydaje się on bardzo "szczególnym przypadkiem".Wprawdzie -jak podkreślają jego autorzy - dostarcza on warun-ków początkowych dla modelu Wielkiego Wybuchu (który wa-runki te musiał zakładać a priori), ale sam wymaga zaistnieniabardzo nietypowej sytuacji. W odpowiedniej odległości od siebiew pięciowymiarowej czasoprzestrzeni muszą znaleźć się dwie,dokładnie równoległe względem siebie, płaskie 3-brany. W pobli-Ŝu jednej z nich powinna powstać trzecia brana, duŜo lŜejsza odpozostałych dwu, która - poruszając się w odpowiedni sposóbl w odpowiednim kierunku - zderzy się wreszcie z drugą braną.To wszystko wymaga przyjęcia bardzo szczególnych warunkówpoczątkowych dla całego procesu. Niewątpliwie, wkrótce pojawią

EKPYROTYCZNY WSZECHŚWIAT • 97się dalsze prace, które ulepszą model ekpyrotyczny i, być moŜe,złagodzą lub nawet usuną niektóre z jego zbyt mocnych załoŜeń.Wydaje się jednak, Ŝe problemu warunków początkowych nie dasię w tym scenariuszu całkowicie uniknąć; moŜna go jedynieprzesunąć do jakichś jeszcze wcześniejszych procesów.Model ekpyrotyczny natrafia na jeszcze inną, powaŜną trud-ność, tym razem natury pojęciowej. "Dzieje się" on w czaso-przestrzeni, tyle Ŝe o liczbie wymiarów o jeden większej niŜ zwykła ogólna teoria względności. Pod tym względem modelekpyrotyczny jest krokiem wstecz w stosunku do tych poszu-kiwań kwantowej teorii grawitacji, wedle których na poziomiefundamentalnym nie ma ani czasu, ani przestrzeni w ich zwy-kłym rozumieniu. A jeŜeli nie ma czasu i przestrzeni, to moŜeobiektami najbardziej fundamentalnymi nie są ani l-brany(struny), ani 2-brany (membrany), ani 3-brany, ani nawetn-brany, lecz... zero-brany? Istnieje taka koncepcja. Wrócimy

do niej w ostatnim rozdziale.

ROZDZIAŁ 1 OSTRUKTURAPOCZĄ TKU I KOŃCARywaleRogera Penrose'a Ŝadnemu fizykowl-relatywiście nie trzebaprzedstawiać. Lata sześćdziesiąte XX wieku zapoczątkowałyprawdziwy wybuch nowych metod matematycznych w teoriiwzględności oraz przyległych dyscyplinach, takich jak kosmo-logia i astrofizyka relatywistyczna. U podstaw wielu spośródtych metod leŜały pomysły Penrose'a. Wprawdzie teoria twisto-

rów dotychczas nie dostarczyła uniwersalnej metody kwanto-wania, jak tego oczekiwał jej twórca, Roger Penrose, ale stała



się nowym. Interesującym terenem badań, który juŜ od dość dawna przyciągnął uwagę takŜe "czystych matematyków".Trwałym osiągnięciem Penrose'a są słynne twierdzenia o wy-stępowaniu osobliwości w duŜej klasie czasoprzestrzeni, wyko-rzystywanych do badania struktury Wszechświata lub póź-nych stadiów ewolucji masywnych gwiazd. ChociaŜ sławą,

płynącą z udowodnienia róŜnych twierdzeń tego typu, Penrosemusiał podzielić się z Innymi (Hawkingiem, Gerochem, Elli-sem...), to on Jednak wpadł na trop właściwej metody, on udo-wodnił pierwsze twierdzenie l potem, razem z Hawkingiem,skonstruował Ŝmudny dowód Innego twierdzenia, które do dziś (po pewnych udoskonaleniach) jest uwaŜane za jedno z naj-bardziej skutecznych narzędzi wykrywających stan osobliwy

KOSMOLOGIA KWANTOWA • 99w historii Wszechświata i kolapsujących gwiazd. Nazywa się jetwierdzeniem Hawkinga-Penrose'a. Powstało ono w twórczymokresie współpracy tych dwu uczonych. Potem ich drogi zaczę-ły się rozchodzić.Stephena Hawkinga l niektórych jego współpracownikówspotkaliśmy na kartach poprzednich rozdziałów. Hawking, zde-cydowanie bardziej fizyk niŜ matematyk, zwrócił się - jak wi-dzieliśmy - w kierunku budowania półklasycznych modeli tychzjawisk, dla których w pełni kwantowe metody były jeszcze nie-dostępne. Osiągnął on w ten sposób doraźne sukcesy, odwaŜ-nie zmuszając matematyczne metody kwantowe do współpracyz metodami teorii względności. Roger Penrose wybrał inną dro-gę. Jego umysłowość rasowego matematyka-geometry nie mo-gła zadowolić się półklasycznymi metodami i doraźnymi wyni-kami. Trawiła go ambicja podstaw. Szukał zupełnie nowychmetod matematycznych, które za jednym zamachem rozwiąza-łyby najwaŜniejsze problemy współczesnej fizyki, przedewszystkim problem kwantowania grawitacji (czy bardziej w ję-zyku geometrycznym - kwantowania czasoprzestrzeni). AlePenrose nie szukał w zupełnych ciemnościach. Prowadziły gogłębokie przemyślenia dotyczące nierozwiązanych l - Ŝe tak po-wiem - granicznych problemów fizyki l kosmologii (granicz-nych, czyli takich, w których to, co wiemy, zdaje się o włos gra-niczyć z poszlaką mogącą doprowadzić do rozwiązania). Tegorodzaju przemyślenia nie mogły nie poruszyć strun typowo filo-zoficznych. Natura matematyki (jak Istnieją obiekty matema-tyczne?), stosunek matematyki do fizycznego świata, istotaświadomości i zagadnienia związane z tzw. sztuczną inteligen-cją - to tematy, które coraz częściej pojawiały się w artykułachPenrose'a.

Jak wspomniałem na wstępie, mimo rozlicznych l naprawdę waŜnych osiągnięć "po drodze", dotychczasowe prace Penro-se^ nie dały oczekiwanego wyniku: zagadnienie kwantowaniaczasoprzestrzeni nadal czeka na jakiś radykalnie nowy pomysł(a moŜe na ideę, która od dawna jest juŜ w zasięgu ręki, aleszukając po omacku, nie moŜna jej uchwycić). JednakŜe Pen-rose doszedł do wniosku (moŜe sprowokowany popularną

100 • KOSMOLOGIA KWANTOWAksiąŜką Hawkinga), Ŝe pora juŜ zebrać swoje przemyślenia- zarówno filozoficzne, jak i te, które miały doprowadzić doWielkiej Teorii - w postaci zwartej całości. W ten sposób po-

wstały dwie jego ksiąŜki The Emperor's New Mind oraz Sha-dows ofthe Mind. W dalszym ciągu tego rozdziału pragnę omó-



wić jedynie kosmologiczną część przemyśleń Penrose'a. W Jegoprzekonaniu podstawy kosmologii łączą się z podstawami fizy-ki, a geneza Wszechświata to w Istocie ten sam problem (lubnajwyŜej pewna Jego odmiana), co kwestia pochodzenia czasul poszukiwanej przez wszystkich kwantowej teorii grawitacji.O entropii geometrycznie

Zagadnienie śmierci cieplnej Wszechświata ma JuŜ długą historię. Popularność tej hipotezy jest w pełni godna liczbynieporozumień i błędów, jakie w związku z nią popełniono.RóŜnice temperatur we Wszechświecie ulegają wyrównaniu.Z chwilą gdy gwiazdy wystygną, a ogromne przestrzenie ko-smiczne zostaną nieznacznie podgrzane gwiezdnym promie-niowaniem, Wszechświat zamrze termicznie, zawarta w nimenergia będzie niezdolna do wykonania jakiejkolwiek pracy.Miarą tego rodzaju bezuŜyteczności energii jest wielkość zwanaprzez fizyków entropią. Im większa entropia jakiegoś układu,tym energia w nim zawarta bardziej bezuŜyteczna. Całą hipo-tezę moŜna więc wyrazić w stwierdzeniu: entropia we Wszech-świecie rośnie, a gdy osiągnie wartość maksymalną - nastąpijego śmierć cieplna.Hipoteza ta (która w swej istocie Jest ekstrapolacją drugiejzasady termodynamiki na cały Wszechświat) wiąŜe się z jeszczeJednym interesującym problemem z pogranicza fizyki i filozofii.Nikt w to nie wątpi, Ŝe czas płynie z przeszłości w przyszłość.Ale wszystkie znane prawa fizyki są nieczułe na zmianę kierun-ku czasu, a więc nie mogą go wyznaczać. Z jednym wyjątkiem.Jest nim prawo wzrostu entropii (w układach izolowanych). Je-Ŝeli entropia Istotnie wszędzie we Wszechświecie rośnie, tomoŜna przyjąć, Ŝe to ona wyznacza kierunek upływania czasu

STRUKTURA POCZĄ TKU l KOŃCA • 101(strzałkę czasu): spośród dwu stanów Wszechświata ten jestpóźniejszy, który odznacza się większą entropią.Prawie kaŜde zdanie z ostatnich dwu akapitów mogłoby sta-: nowić przedmiot długich dyskusji. Nie chcę ich teraz podejmo-wać. Proszę tylko Czytelnika, by akapity te potraktował jakopewnego rodzaju nakreślenie scenerii, w jakiej rozegra się ak-cja przemyśleń Rogera Penrose'a.W przemyśleniach Penrose'a waŜną rolę pełni pojęcie entro-pii (jest ono wykorzystane przez niego w wysoce niestandardo-wy sposób), ale -jak juŜ wspomniałem - Penrose myśli geome-trycznie. Trzeba więc zacząć od określenia entropii w językugeometrii (to jeszcze ciągle nie będzie oryginalnym pomysłemtego uczonego, ale wyciągnie on z niego oryginalne wnioski).Właściwym środowiskiem dla geometrycznego określenia

entropii jest przestrzeń fazowa. Mówiliśmy o niej w rozdziale 4,ale - dla przypomnienia - powtórzmy to, co najwaŜniejsze. DlakaŜdego układu fizycznego moŜna zdefiniować jego przestrzeń fazową. Jest to przestrzeń, której punktami są stany, w jakichukład moŜe się znajdować. Stan układu w fizyce klasycznejjest określony przez połoŜenia i pędy wszystkich cząstek wcho-dzących w skład tego układu. W trójwymiarowej przestrzeniwektory połoŜenia i pędu mają po trzy składowe. JeŜeli więcrozwaŜany układ składa się z n cząstek, to kaŜdy jego stan,czyli kaŜdy punkt przestrzeni fazowej, jest określony przez(3+3) n = 6 n liczb (współrzędnych w przestrzeni fazowej). Prze-strzeń fazowa takiego układu ma zatem 6 n wymiarów.Ewolucja układu fizycznego polega na ciągłym przechodze-

niu od jednego stanu do drugiego, czyli odpowiada jej krzywaw przestrzeni fazowej. Na tym właśnie polega siła tej metody:



badanie dynamiki układu (jego ewolucji) sprowadza się do ba-dania geometrii krzywych w przestrzeni fazowej.A teraz waŜne spostrzeŜenie: stan makroskopowy układumoŜe zostać zrealizowany przez wiele stanów mikros kopalnych.Na przykład stan makroskopowy, polegający na równomier-nym rozłoŜeniu gazu w cylindrze, moŜe być zrealizowany przez

bardzo wiele rozkładów konkretnych cząstek, czyli stanów mi-kroskopowych. Dla danego stanu makroskopowego nie jest


Rys. 10.1. Struktura przestrzeni fazowej.istotne, czy pewna konkretna cząstka gazu znajduje się w pra-wym dolnym rogu cylindra, czy teŜ w lewym górnym; Istotnejest tylko, czy cząstki gazu były rozmieszczone równomiernie.Jest dalej rzeczą oczywistą, Ŝe większe szansę urzeczywistnie-nia mają te stany makroskopowe, które mogą być zrealizowaneprzez większą liczbę stanów mikroskopowych, gdyŜ prawdopo-dobieństwo zajścia pierwszych jest większe od prawdopodo-bieństwa zajścia drugich.Podzielmy teraz przestrzeń fazową na obszary w ten sposób,by do danego obszaru naleŜały wszystkie stany mikroskopowerealizujące ten sam stan makroskopowy. Okazuje się, Ŝe prze-strzeń fazowa rozpadnie się na bardzo nierówne obszary. Naj-większy obszar, obejmujący prawie całą przestrzeń fazową, bę-dzie grupować te stany mikroskopowe, które realizują stanrównowagi (równomiernego rozmieszczenia cząstek w cylin-drze). Wszystkie inne obszary okaŜą się znacznie mniejsze,a pewne spośród nich - te, których prawdopodobieństwo zaj-ścia jest znikomo małe (na przykład wszystkie cząstki gazuw jednym rogu cylindra) - będą wręcz mikroskopijnych rozmia-

STRUKTURA POCZĄ TKU l KOŃCA • 103punkt startuje z komórkio matej objętości

Rys. 10.2. Przypadkowe błądzenie w przestrzeni fazowej zawsze w końcu tra-fia do stanu równowagi.rów (rys. 10. l). Jeśli, na przykład, cylinder ma l metr sześcien-ny objętości l zawiera powietrze atmosferyczne pod zwykłym ci-śnieniem oraz w zwykłej temperaturze, to obszar w przestrzenifazowej odpowiadający równomiernemu rozmieszczeniu powie-

trza w całym cylindrze będzie około l O10 razy większy od ob-szaru w przestrzeni fazowej, który odpowiada skoncentrowaniucałego powietrza w rogu cylindra o wymiarach centymetra sze-ściennego. Tego rodzaju podział przestrzeni fazowej na obszarynazywa się ziarnista struktura przestrzeni fazowej.Przejdźmy teraz do omówienia entropii. Charakteryzuje onamakroskopowy stan układu i wiąŜe się z objętością tego obsza-ru przestrzeni fazowej, który odpowiada danemu stanowimakroskopowemu, w ten sposób, Ŝe większym obszarom przy-pisywana jest większa entropia1. Największą entropią charak-teryzuje się stan, któremu odpowiada obszar o maksymalnejobjętości w przestrzeni fazowej, czyli stan równowagi.Wyobraźmy sobie teraz, Ŝe układ znajduje się w dowolnym

stanie (makroskopowym), róŜnym od stanu równowagi, i za-ł Dokładniej: entropię definiuje się jako wielkość proporcjonalną do logarytmu



naturalnego z tej objętości.

104 • KOSMOLOGIA KWANTOWAczyna błądzić losowo po całej przestrzeni fazowej. Oczywiście,prawdopodobieństwo trafienia do większych obszarów jest

większe niŜ prawdopodobieństwo trafienia do obszarówmniejszych. A zatem entropia układu, średnio rzecz biorąc,będzie rosnąć (rys. 10.2). PoniewaŜ stanowi równowagi odpo-wiada obszar znacznie większy od wszystkich Innych obsza-rów w przestrzeni fazowej, układ wkrótce osiągnie stan rów-nowagi, a prawdopodobieństwo samorzutnego opuszczeniatego stanu przez układ będzie znikomo małe; a gdy mimowszystko się zdarzy, układ znowu bardzo szybko powróci dostanu równowagi.Język geometrii przestrzeni fazowej, w połączeniu ze staty-stycznymi własnościami entropii, okazał się bardzo skuteczny:wyjaśnił on "mechanizm" funkcjonowania drugiej zasady ter-modynamiki. Ale juŜ najwyŜsza pora przejść do pytań o cha-rakterze kosmologicznym.Entropia i WszechświatSpróbujmy przeprowadzić nasz myślowy eksperyment z błą-dzeniem po przestrzeni fazowej przy załoŜeniu, Ŝe czas płyniew odwrotnym kierunku - z teraźniejszości w przeszłość.Znajdujemy się w jakimś mało prawdopodobnym stanie (ma-ły obszar w przestrzeni fazowej) i zaczynamy przesuwać się losowo po przestrzeni fazowej (wstecz w czasie). Oczywiście,wkrótce natrafimy na największy obszar, w którym pozosta-niemy na zawsze (nie licząc małych fluktuacji wokół stanurównowagi - krótkotrwałych opuszczeń największego obsza-ru). PoniewaŜ z załoŜenia poruszaliśmy się wstecz w czasie,nasz model przepowiada, Ŝe kaŜdy układ fizyczny rozpoczynaswoją ewolucję od stanu o maksymalnej entropii w przeszło-ści. Jest to ewidentnie fałszywa przepowiednia, gdyŜ - jakuczy termodynamika - kaŜdy układ fizyczny ewoluuje od sta-nów o niskiej entropii do stanu równowagi o maksymalnejentropii. A zatem nasz geometryczny model wyjaśnia tylko"połowę" drugiej zasady termodynamiki, tę mianowicie, która

STRUKTURA POCZĄ TKU l KOŃCA • 105odnosi się do przyszłości. Model zastosowany do przeszłości"pracuje fałszywie".Ściśle rzecz biorąc, nasz geometryczny model przewiduje,Ŝe gdy uktad fizyczny nie jest poddany Jakimś dodatkowymwięzom, jego entropia powinna wzrastać w obydwu kierun-

kach czasowych, począwszy od stanu obecnego. Wniosekstąd następujący: poniewaŜ w obserwowanym Wszechświecieentropia maleje w kierunku przeszłości, a rośnie tylko kuprzyszłości, Wszechświat Jako całość musi być poddany dzia-I laniu jakichś więzów. Zmusiły one ewolucję Wszechświata dowystartowania ze stanów z bardzo małą entropią. Co to zawięzy?Nasuwa się dość naturalne przypuszczenie: poszukiwa-nym więzem Jest Wielki Wybuch. Ale jak Wielki Wybuchmógł zawiesić działanie praw termodynamiki? Rzecz w tym,Ŝe wcale nie zawiesił. Materia wypełniająca Wszechświatw Wielkim Wybuchu znajdowała się w stanie równowagi, botaki stan był najbardziej prawdopodobny. A zatem Wszech-

świat juŜ wtedy był w stanie charakteryzującym się maksy-malną entropią. PoniewaŜ jednak Wszechświat miał wów-



czas bardzo małe rozmiary, maksymalna dopuszczalnawówczas entropia była o wiele mniejsza niŜ maksymalna en-tropia dopuszczalna w dzisiejszej epoce. Dzięki temu entro-pia, choć mała w przeszłości, systematycznie rosła wrazz upływem czasu. JeŜeli to wyjaśnienie jest słuszne, to dru-ga zasada termodynamiki niesie informacje o znaczeniu

kosmologicznym.JednakŜe i tym razem rodzą się powaŜne zastrzeŜenia. Jakwiadomo, jedna z wersji kosmologicznego scenariusza przewi-duje, Ŝe rozszerzanie się Wszechświata zamieni się kiedyś w je-go kurczenie, które będzie trwać aŜ do momentu, gdy zapadniesię on do końcowej osobliwości. W tej wersji scenariusza en-tropia końcowych stanów Wszechświata (choć maksymalna)musiałaby być równieŜ mała, co oczywiście wymagałoby rady-kalnego przeformułowania znanej nam dziś drugiej zasady ter-modynamiki. Nie jest to wykluczone, ale wysoce nieprawdopo-dobne wobec tego, co mówi fizyka czarnych dziur.

106 • KOSMOLOGIA KWANTOWAEntropia czarnych dziurMasywne gwiazdy (o masach przekraczających 2,5 masy Słoń-ca) kończą zazwyczaj swoją ewolucję jako czarne dziury. Gdyrównowaga pomiędzy ciśnieniem promieniowania l samograwl-tacją stygnącej gwiazdy zostanie zachwiana, gwiazda zaczynasię gwałtownie kurczyć, jej gęstość rośnie, a wraz z nią rośnierównieŜ natęŜenie pola grawitacyjnego gwiazdy. Gdy natęŜenieto staje się tak duŜe, Ŝe nic, nawet promień światła, nie moŜeuciec poza pewien obszar otaczający gwiazdę, mówimy, Ŝegwiazda osiągnęła stadium czarnej dziury. Jak pamiętamy(rozdział 6), granicę krytycznego obszaru, z którego nie ma juŜ ucieczki, nazywa się horyzontem czarnej dziury.Jacob Bekenstein i Stephen Hawking, niezaleŜnie od siebie,odkryli rzecz bardzo interesującą: entropia czarnej dziury jestproporcjonalna do powierzchni jej horyzontu. W przypadkusferycznej czarnej dziury prowadzi to do wniosku, Ŝe entropiaczarnej dziury na jednostkę jej masy jest proporcjonalna domasy czarnej dziury. Suma entropii dwu czarnych dziur jestmniejsza od entropii jednej czarnej dziury, powstałej na sku-tek wzajemnego połknięcia się dwu czarnych dziur. Początko-wo wzór Bekenstelna-Hawkinga traktowano tylko jako pewne-go rodzaju analogię ze zwykłą termodynamiką, ale późniejszeprace Hawkinga wykazały, Ŝe moŜna pełnoprawnie mówić o termodynamice czarnych dziur, która okazuje się grawitacyj-nym odpowiednikiem zwykłej termodynamiki.Celem lepszego zrozumienia fizycznej natury entropii czar-

nych dziur sięgnijmy do poglądowego artykułu Bekenstelnapoświęconego tej problematyce. Jak dobrze wiadomo, w fizycestatystycznej entropia słuŜy jako miara utraty informacji. Naprzykład entropia kostki cukru mierzy naszą niewiedzę doty-czącą mikroskopowych stanów cząsteczek tworzących tę kost-kę, podczas gdy jej stan makroskopowy (skład chemiczny,temperatura, objętość itp.) jest nam dobrze znany. Entropiaczarnej dziury takŜe mierzy naszą (tzn. obserwatora zewnętrz-nego w stosunku do czarnej dziury) niewiedzę, ale tym razemniewiedza jest znacznie bardziej drastyczna; dotyczy ona

STRUKTURA POCZĄ TKU l KOŃCA • 107



wszystkiego, co wpadnie do czarnej dziury. Obserwator ze-wnętrzny moŜe znać tylko masę, ładunek elektryczny l mo-ment obrotowy czarnej dziury; wszelkie inne informacje o tym,co dzieje się pod horyzontem czarnej dziury, są dla niego nie-dostępne. Nic więc dziwnego, Ŝe entropia czarnych dziur JestduŜo większa od zwykłej entropii termicznej tych obiektów.

Jednym z waŜniejszych źródeł informacji o procesach fi-zycznych, jakie odbywały się w młodym Wszechświecie, jestmikrofalowe kosmiczne promieniowanie tła. Jest to promie-niowanie odpowiadające promieniowaniu ciała doskonaleczarnego o temperaturze 2,7 K, równomiernie wypełniającecałą przestrzeń. Dokładne badania wykazały, Ŝe na Jedną cząstkę, taką jak proton lub neutron (czyli na jeden barlon),przypada l O8 fotonów promieniowania tła. W przekładzie najęzyk termodynamiki znaczy to, Ŝe entropia wiosna materiiwypełniającej Wszechświat, czyli entropia przypadająca na je-den barion, wynosi 108 (w jednostkach naturalnych, w któ-rych stała Boltzmanna jest równa jedności). JeŜeli (umownie!)przyjąć, Ŝe we Wszechświecie znajduje się 1080 barionów (juŜ Arthur Eddington tak właśnie szacował liczbę protonów weWszechświecie), to jego całkowita entropia wynosiłaby 1088.Kosmologowie od dawna byli pod wraŜeniem wielkości tej licz-by. Jak wytłumaczyć, skąd we Wszechświecie wzięła się takwielka entropia?Ale Penrose wylewa wiadro zimnej wody na głowy kosmolo-gów. Czy ta wartość jest naprawdę wielka? Policzmy, wedługwzoru Bekensteina-Hawkinga, (grawitacyjną) entropię przypa-dającą na jeden barion w czarnej dziurze o masie Słońca. En-tropia ta, Jak się okazuje, wynosi l O20. Gdyby więc Wszech-świat składał się z samych takich czarnych dziur, jegocałkowita entropia wynosiłaby 10100.Bądźmy jednak nieco bardziej realistyczni i zaludnijmyWszechświat galaktykami, z których kaŜda składa się z 1011gwiazd l skrywa w swoim jądrze czarną dziurę o masie równejl O6 mas Słońca. Dla takiego Wszechświata formuła Bekenste-ina-Hawkinga daje na entropię przypadającą na jeden barionwielkość 1021, czyli określa całkowitą entropię świata na 10101.

108 • KOSMOLOGIA KWANTOWAZałóŜmy, Ŝe z czasem czarne dziury, znajdujące się w ją-drach galaktyk, połkną wszystkie gwiazdy w danej galaktyce,tworząc jedną wielką czarną dziurę. Entropia na barion takiejkonfiguracji wynosi l O31, a całkowita entropia świata - l O111.ZałóŜmy wreszcie, Ŝe cały ten proces odbywa się w zamknię-tym modelu kosmologicznym, w którym rozszerzanie przecho-

dzi w kurczenie i przy końcu ewolucji wszystko staje się jedną gigantyczną czarną dziurą, prowadzącą do końcowej osobliwo-ści. Entropia na barion wynosi teraz 1043, czyli całkowita en-tropia "końca świata" - l O123.Jak wyjaśnić tę ogromną liczbę? Oto jest pytanie.Termodynamika w pracowni Pana BogaPrzejdźmy znowu na język geometrii. Łatwo wyliczyć, Ŝeogromnej entropii 10123 odpowiada obszar w przestrzeni fazo-wej o objętości 1010 . O tym. Jak ogromna jest to liczba,niech świadczy fakt, Ŝe gdyby kaŜde zero występujące w niej poJedynce zanotować na jednym protonie lub neutronie, to weWszechświecie zabrakłoby miejsca, by tę liczbę zapisać. Przy-pomnijmy, Ŝe objętość ta jest miarą entropii stanów Wszech-

świata w pobliŜu jego końcowej osobliwości; nazwijmy ją poprostu końcową entropią Wszechświata.2



Warto porównać końcową entropię Wszechświata z jego en-tropią początkową. Za początkową entropię Wszechświataprzyjmijmy entropię zawartą w obecnym kosmicznym promie-niowaniu tła, czyli 1088; odpowiadająca Jej objętość w prze-strzeni fazowej wynosi 1010 . Jeśli nawet entropia na począt-ku była mniejsza, to i tak wobec ogromu entropii końcowej,

równającej się 10123, i odpowiadającej Jej objętości w prze-strzeni fazowej l O10 , nie ma to Ŝadnego znaczenia. Jak ła-two wyliczyć, stosunek tych dwu objętości wynosi l : 10102 Rozumowanie Penrose'a ma charakter roboczy. Roboczo teŜ przyjmuje on, Ŝeświat jest zamknięty i zawiera końcową osobliwość. Cate rozumowanie moŜnaby teŜ przeprowadzić dla świata otwartego, który nie ma końcowej osobliwości,ale wymagałoby to dodatkowych metod geometrycznych.

STRUKTURA POCZĄ TKU l KOŃCA • 109Zastanówmy się przez chwilę nad tą niesamowitą liczbą.WyraŜa ona prawdopodobieństwo wyboru świata, w którymobowiązuje druga zasada termodynamiki (tak jak w naszymWszechświecie) spośród wszystkich moŜliwych wszechświa-tów. Penrose posługuje się następującym obrazem. Wyobraź-my sobie, Ŝe Bóg kontempluje przestrzeń fazową. KaŜdy jejpunkt reprezentuje moŜliwy stan jakiegoś wszechświata,a kaŜda krzywa -jego ewolucję. Bóg postanawia rzucić szpilkę na przestrzeń fazową i stworzyć ten świat, którego stan począt-kowy wskaŜe koniec szpilki. Jakie Jest prawdopodobieństwo,Ŝe zostanie wybrany świat podobny do naszego, z drugą zasa-dą termodynamiki i kierunkiem czasu określonym przezwzrost entropii? Prawdopodobieństwo to jest niesamowiciemałe l wynosi l : 1010Innymi słowy, byłoby irracjonalnie nierozsądne przyjąć, ŜeBóg, stwarzając świat, kierował się przypadkiem. Ten absur-dalnie nieprawdopodobny model świata, jaki Pan Bóg skiero-wał do realizacji, musiał czymś bardzo szczególnym skupić nasobie jego uwagę. Co to mogło być?Struktura osobliwościl f Zarówno początkowa, jak i końcowa osobliwość w standardo-|; wym modelu kosmologicznym (rozwaŜanym przez Penrose'a)naleŜą do osobliwości krzywiznowych. Gdy zbliŜamy się do ta-kich osobliwości, krzywizna czasoprzestrzeni rośnie nieograni-czenie. W teorii względności krzywizna czasoprzestrzeni jestopisywana przez tensor krzywizny, zwany takŜe tensoremRiemanna.Tensor krzywizny jest bogatym tworem geometrycznym.MoŜna w nim wyróŜnić dwie części. Działanie jednej z tychczęści na czasoprzestrzeń powoduje jej odkształcenie, ale

zachowuje objętość; tę część tensora krzywizny nazywa się tensorem Weyla (rys. 10.3). Działanie drugiej części tensorakrzywizny na czasoprzestrzeń powoduje Jej ściskanie lub roz-pręŜanie, a więc zmienia objętość; tę jego część nazywa się


Rys. 10.3. Działanie tensora Weyla.tensorem Ricciego (rys. 10.4). Symbolicznie moŜna to zapisać



w postaci:RIEMANN = WEYL + RICCIOkazuje się, Ŝe przy zbliŜaniu się do typowej osobliwościczęść Weyla tensora krzywizny dąŜy do nieskończoności:WEYL -* oo. Ale istnieją bardzo wyjątkowe osobliwości krzywi-zny, przy zbliŜaniu się do których tylko RICCI -» a°. Osobliwość

początkowa w modelu standardowym naleŜy właśnie do tegorodzaju niezwykle wyjątkowych osobliwości. Są one, w pew-nym sensie, bardzo gładkie, tzn. zbliŜając się do nich, czaso-przestrzeń tylko się kurczy, ale nie ulega odkształceniom. Pen-rose przyjmuje, Ŝe takie osobliwości odznaczają się bardzomałą entropią grawitacyjną. Natomiast osobliwości, w którychWEYL - oo, przeciwnie, są "postrzępione". Czasoprzestrzeń w ich pobliŜu nie tylko ulega skurczeniu, ale równieŜ rozma-

Rys. 10.4. Działanie tensora Ricciego.

STRUKTURA POCZĄ TKU l KOŃCA • 111itym odkształceniom. Według Penrose'a odznaczają się oneduŜą entropią grawitacyjną.A zatem całą analizę przeprowadzoną w poprzednim akapi-cie moŜna ująć w stwierdzeniu: osobliwość początkowa nasze-go Wszechświata była szczególna, odznaczała się ona bardzomałą entropią grawitacyjną, czyli naleŜała do osobliwości,dla których WEYL = O; natomiast osobliwość końcowa będzietypowa, o duŜej entropii z WEYL -* oo.Warunek WEYL = O, nałoŜony na osobliwość początkową,jest - zdaniem Penrose'a - tym poszukiwanym więzem, którysprawił, Ŝe w naszym świecie - gdy patrzymy wstecz w czasie -entropia maleje; czyli więzem, dzięki któremu obowiązuje dru-ga zasada termodynamiki, a strzałka czasu pokazuje z prze-szłości w przyszłość, a nie odwrotnie.To właśnie ten szczególny warunek (WEYL = O) przyciągnąłuwagę Stwórcy, gdy miał on zadecydować, który z moŜliwychmodeli "skierować do realizacji".Przerzucanie odpowiedzialności za wybór modelu, spełniają-cego odpowiedni warunek, na decyzję Stwórcy byłoby jednakwymigiwaniem się od obowiązku uczonego. Z tego teŜ powodunaleŜy postawić pytanie: czy istnieje Jakieś prawo przyrody, któ-re by wyjaśniało, dlaczego w osobliwości początkowej WEYL = O?Kwantowa teoria grawitacjiChcąc doprowadzić do zespolenia metod ogólnej teorii względ-

ności i mechaniki kwantowej, moŜemy wybrać dwie drogi: albostarać się przystosować formalizm teorii względności do mecha-niki kwantowej - i to jest strategia konwencjonalna, ogromnawiększość dzisiejszych prób wybiera tę drogę (w szczególnościpółklasyczne metody Hawkinga naleŜą do tej kategorii); albo od-wrotnie - poszukiwać takich ulepszeń metod kwantowych, któ-rym uległaby grawitacja (oczywiście, moŜliwe są strategie pole-gające na łączeniu obydwu dróg). Penrose zdecydowanieopowiada się za strategią niekonwencjonalną. Jego zdaniem niewystarczy poszukiwać takiej interpretacji mechaniki kwanto-


wej, która uporałaby się z wszystkimi jej własnymi paradoksa-mi. Trzeba szukać nowej, uogólnionej teorii kwantów, która



w ogóle nie sprawiałaby trudności interpretacyjnych.Charakterystyczną cechą równań ogólnej teorii względnościjest ich silna nieliniowość, czyli ta cecha, dzięki której suma dwurozwiązań układu równań nie jest ich nowym rozwiązaniem.Nieliniowość decyduje o wielkim bogactwie moŜliwości kryjącychsię w równaniach Einsteina. Mechanika kwantowa natomiast

jest teorią liniową. Dzięki temu dopuszcza ona bardzo sprawnemetody matematyczne, ale - zdaniem Penrose'a - właśnie taokoliczność moŜe wykluczać sytuacje, których domagałoby się kwantowanie pola grawitacyjnego. Co więcej, Penrose przypusz-cza, Ŝe w obecnej mechanice kwantowej istnieją pewne poszlaki,wskazujące na nieliniowe zachowanie się obiektów kwantowych-jakby wierzchołki góry lodowej, które zwiastują ukrywającą się pod powierzchnią nieliniową rzeczywistość. Przykład tego Penro-se widzi w zjawisku, zwanym redukcją jwnkcji falowej.Układy kwantowe ewoluują w czasie w ten sposób, Ŝe praw-dopodobieństwa ich zajścia są ściśle zdeterminowane (opisujeje równanie Schródingera). W chwili, w której pomiar zostajewykonany, w ewolucji pojawia się jednak ostra nieciągłość, de-terminizm zostaje złamany, a spośród wielu moŜliwości przewi-dywanych przez teorię zostaje zrealizowana tylko jedna. Która?MoŜna to określić jedynie doświadczalnie. Istnieje zatem pew-nego rodzaju niezgodność pomiędzy deterministycznym cha-rakterem ewolucji układu kwantowego a procesem pomiaru.Wygląda to tak, jakby proces pomiarowy sam decydował o wy-niku pomiaru. Penrose sądzi, Ŝe w przyszłej mechanice kwan-towej zarówno ewolucja, jak i akt pomiaru okaŜą się przejawa-mi Jednego procesu o całkiem nowym charakterze. Metodyteorii względności sugerują, Ŝe będzie to proces nieliniowy.Penrose wierzy, Ŝe przyszła, nieliniowa teoria kwantów do-starczy metod, za pomocą których "w naturalny sposób"skwantuje się pole grawitacyjne i - po ich zastosowaniu doWszechświata jako całości - zbuduje się kosmologię kwanto-wą. Wówczas WEYL = O, dla początkowej osobliwości, pojawisię jako naturalna konsekwencja kwantowej teorii pola grawl-

STRUKTURA POCZĄ TKU l KOŃCA • 113tacyjnego. Następstwem tego będzie mała entropia na począt-ku l duŜa entropia "na końcu świata", związana z typową oso-bliwością krzywizny, w której WEYL -* ao. Innymi słowy, strzał-ka czasu będzie od samego początku wbudowana w nieliniową teorię kwantową (obejmującą równieŜ kwantowanie pola gra-witacyjnego). ChociaŜ druga zasada termodynamiki zdaje się wywodzić ze statystycznego charakteru zjawisk cieplnych,w istocie jej źródło znajduje się w niezwykle precyzyjnej struk-

turze początkowej osobliwości, wymuszonej na Wszechświecieprzez fundamentalną teorię kwantową.Pod prądPrzemyślenia Penrose'a z konieczności przedstawiłem w znacz-nym uproszczeniu. Naprawdę są one o wiele bogatsze, nie po-przestają na ogólnych stwierdzeniach, lecz schodzą do konkretówi przewidywań. Dzięki temu są one jeszcze bardziej dyskusyjne,niŜ mogłoby się to wydawać na podstawie szkicowego, bądź cobądź, przedstawienia. Penrose nie ukrywa, Ŝe jego poglądy w wie-lu punktach róŜnią się od ogólnie uznawanych, Ŝe nie są - jakmówi - "powszechną mądrością". Warto tę Jego przestrogę mieć na uwadze. W przeciwieństwie do modelu Hawkinga (i prac wieluinnych autorów, które, choć półklasyczne, to jednak "pracują"

- moŜna na ich podstawie przeprowadzać rachunki i poszukiwać obserwowalnych efektów) Penrose nie zaproponował Ŝadnego na-



wet tymczasowego modelu3, lecz bardzo zręcznie wskazał rozma-ite trudności standardowej teorii i potraktował je jako poszlaki,wskazujące kierunek, w którym naleŜy dąŜyć. W tej sztuce okazałsię mistrzem. MoŜna przypuszczać, Ŝe wiele jego przepowiedni się spełni. Choć przepowiednie w fizyce mają to do siebie, Ŝe ich speł-nienie zaskakuje nawet najśmielszych proroków.

Wprawdzie Penrose dotychczas nie stworzył poszukiwanejprzez siebie (i przez wielu Innych) Wielkiej Teorii, ale wspótcze-3 Jest to prawdziwe jedynie w stosunku do zagadnień poruszanych w niniejsiymartykule. Wiele innych obszarów fizyki relatywistycznej zawdzięcza Penro-se'owi znaczną liczbę konkretnych i bardzo skutecznych modeli.

114 • KOSMOLOGIA KWANTOWAsną fizyka relatywistyczna zawdzięcza mu tyle nowych metodmatematycznych, tyle konstrukcji, bez których nie moŜna bysię juŜ dziś obejść, i tyle odkrywczych prac w rozmaitych dzie-dzinach, Ŝe nie ulega Ŝadnej wątpliwości, iŜ historia nauki zali-czy Rogera Penrose'a do bardzo wybranego grona najlepszychrelatywistów naszych czasów.Oczywiście, Penrose nie musi mleć racji we wszystkim, alewarto dobrze się zastanowić, zanim się z nim nie zgodzimy.

ROZDZIAŁ 1 1NIEPRZEMIENNYWSZECHŚWIATGdzie szukać?Człowiek podjął wyzwanie rzucone mu przez Wszechświat. Po-stanowił zrozumieć jego strukturę l sposób funkcjonowania.Do końca. Tak, by nic JuŜ nie pozostało do zrozumienia. Czy dasię to osiągnąć? Czy nie są to ambicje na miarę wieŜy Babel,która miała sięgnąć nieba? Dotychczasowe sukcesy są oszała-miające. Rozumiemy juŜ strukturę kosmosu w wielkiej skali,rozumiemy strukturę atomu l strukturę cząstek subatomo-wych. Czy zdołamy przeniknąć do poziomu fundamentalnego,na którym grawitacja łączy się z kwantami? W poprzednichrozdziałach przedstawiłem wiele dróg, które - w przekonaniuich twórców - mają do tego doprowadzić. Wprawdzie "po dro-dze" osiągnięto wiele: spenetrowano tereny przyległe, rozbudo-wano l wysubtelniono metody matematyczne, wyostrzono zna-ne techniki obliczeniowe, stworzono kilka zupełnie nowychteorii, ale zasadniczy cel - poznanie ostatecznego - pozostajeodległy. Co jakiś czas wydaje się, Ŝe jest on w zasięgu ręki, zanajbliŜszym zakrętem drogi, lecz gdy się tam zbliŜymy, znowusię oddala i znowu kusi nas nowymi pomysłami. Wszystko to

sprawia, Ŝe względy estetyczne i osobiste preferencje odgrywa-ją w tej dziedzinie znacznie większą rolę niŜ w innych działachfizyki.

116 • KOSMOLOGIA KWANTOWAPrzy końcu tej ksiąŜki winien jestem Czytelnikowi spojrzeniez bardziej osobistej perspektywy na dotychczasowy wachlarzpoglądów, ujawnienie własnego punktu widzenia i - być moŜe- zaproponowanie jakiegoś nowego wariantu drogi.Przede wszystkim ocena dotychczasowych osiągnięć. Myślę,Ŝe mimo wszystko są znaczne. Odnoszę wraŜenie, Ŝe jesteśmyna dobrym tropie, Ŝe nasze obecne modele mniej więcej tak się

mają do poszukiwanej teorii, jak model atomu zaproponowanyprzez Bohra w drugiej dekadzie XX wieku miał się do pełnej



teorii kwantów Schródingera, Heisenberga l Diraca. To juŜ bardzo duŜo. To zaczyna działać, chociaŜ zapewne potrzebajeszcze kilku radykalnych uogólnień, aŜeby nasze fragmenta-ryczne modele ułoŜyły się w oryginalną całość.Próbowano juŜ wielu nowych matematycznych inwestycji.Niektóre daleko odchodziły od intuicji ukształtowanych do-

tychczasowymi sukcesami fizyki, ale wszystkie one były,w Jakimś sensie, "dalszym ciągiem" tego, co juŜ się zdarzyło.I nadal postęp jest tylko fragmentaryczny. Rodzi się więc po-dejrzenie, Ŝe potrzebujemy Jakiejś naprawdę radykalnie no-wej matematyki. Czy nie jest zarozumiałą naiwnością sądzić,Ŝe świat w swoich najgłębszych warstwach został skrojonyna miarę naszych umysłowych przyzwyczajeń? Ale ta rady-kalnie nowa matematyka nie moŜe przekreślać całej dotych-czasowej fizyki. I mechanika kwantowa, i ogólna teoriawzględności są bardzo dobrze potwierdzonymi eksperymen-talnie teoriami; teoria, której poszukujemy, a która ma być zbudowana dzięki radykalnie nowej matematyce, nie moŜewięc przekreślać tych osiągnięć; musi wchłaniać je jako swo-je graniczne przypadki. Wynika stąd, Ŝe radykalnie nowamatematyka powinna być radykalnym uogólnieniem mate-matyki dotychczas stosowanej w fizyce. Czy coś takiego poja-wiło się na horyzoncie?Oczywiście, istnieje bardzo wiele nowych matematycznychkoncepcji l ciągle rodzą się dalsze, ale moją uwagę od jakiegoś czasu przyciąga jedna z nich - geometria nieprzemienna (nie-komutatywna).

NIEPRZEMIENNY WSZECHŚWIAT • 117Nieprzemienność i jej następstwaCo to znaczy "nieprzemienna"? Nieprzemienność jest bardzoprostą własnością działań matematycznych. Na przykład mno-Ŝenie jest działaniem przemiennym, poniewaŜ 2 • 3 to tyle sa-mo co 3 • 2 i dotyczy to wszystkich innych liczb rzeczywistych.Ale istnieją w matematyce obiekty (chociaŜby macierze), któretej własności nie posiadają. Mówimy wówczas, Ŝe mnoŜą się one nieprzemiennie lub Ŝe mnoŜenie ich przez siebie jest nie-przemienne. Jest to więc bardzo prosta własność, ale ma onadla wielu działów matematyki (a takŜe fizyki, w której te działymatematyki są wykorzystywane) bardzo daleko idące konse-kwencje. Dotyczy to równieŜ geometrii.Wszyscy wiemy - i uwaŜamy to za coś bardzo naturalnego- Ŝe przestrzeń "składa się" z punktów. Stosunkowo niedawnomatematycy zrozumieli, Ŝe ten "oczywisty" fakt jest następ-stwem tego, iŜ funkcje gładkie na danej przestrzeni mnoŜą się

w sposób przemienny. Związek funkcji z punktami, gdy się nad nim zastanowić, okazuje się dosyć oczywisty: wszystkiefunkcje, które równają się zeru w danym punkcie, jednoznacz-nie ten punkt określają. Zamiast punktami moŜemy więc ope-rować gładkimi funkcjami, które w tym punkcie się zerują.Intuicje są tu jasne. Wyraźmy je teraz w nieco bardziej ma-tematycznym języku. Gładkie funkcje zdefiniowane na prze-strzeni moŜna mnoŜyć przez siebie (przemiennie) l mnoŜyć jeprzez liczby rzeczywiste lub zespolone. Działania te mają pew-ne dobrze znane własności. Chcąc to wszystko określić jednymsłowem, mówimy, Ŝe zbiór funkcji gładkich na danej przestrze-ni jest algebrą. Istnieją takŜe inne algebry, czyli zbiory obiek-tów obdarzonych analogicznymi własnościami. Podzbiór tych

funkcji gładkich, które zerują się w danym punkcie przestrze-ni, w języku algebraicznym nazywa się maksymalnym ideałem



danej algebry. Maksymalne ideały są więc algebraicznymi od-powiednikami geometrycznych punktów.Widzimy zatem, Ŝe istnieje pewna odpowiedniość międzygeometrią i algebrą. Te same prawidłowości moŜna wyraŜać bądź geometrycznie (w języku punktów), bądź algebralcznie

118 • KOSMOLOGIA KWANTOWA(w języku funkcji). Jest to niejako dalszy ciąg tej samej prawi-dłowości, którą odkrył Kartezjusz, tworząc geometrię anali-tyczną: kaŜdą krzywą geometryczną moŜna wyrazić w postacirównania algebraicznego. Do tej właśnie prawidłowości odwo-łują się podstawowe idee geometrii nieprzemiennej. Wybierz-my jakąkolwiek algebrę l zinterpretujmy ją geometrycznie- jako opisującą pewną przestrzeń. JeŜeli będzie to algebrafunkcji gładkich, otrzymamy zwykłą przestrzeń, znaną z geo-metrii. Ale moŜemy w zasadzie wybrać jakąkolwiek algebrę.Naprawdę ciekawe rzeczy zaczynają się dziać wówczas, gdybędzie to algebra nieprzemienna. Algebra taka - z definicji- ma wszystkie własności algebry przemiennej, z wyjątkiemjednej: mnoŜenie w tej algebrze nie jest przemienne, czyli wy-nik mnoŜenia dwu elementów takiej algebry zaleŜy od porząd-ku, w jakim wykonujemy to działanie. Innymi słowy, jeŜelia i b są elementami algebry nieprzemiennej, to a • b nie rów-na się b • a.Jakie są konsekwencje tego zabiegu? Drastyczne. Algebrynieprzemienne na ogół nie mają ideałów maksymalnych,a więc czegoś, co odpowiadałoby punktom. Nieco rzecz uprasz-czając, moŜna powiedzieć, Ŝe jeŜeli mamy do czynienia ze słabą nieprzemlennością - róŜnica między a • b l b • a jest mała- punkty się rozmywają. Jeśli mamy do czynienia z silną nie-przemiennością -jeŜeli róŜnica między a • b l b • a jest duŜa- punkty w ogóle znikają. W takiej sytuacji jakiekolwiek poję-cia związane z umiejscowieniem tracą sens. Tego rodzaju nie-przemienna geometria jest geometrią całkowicie globalną.Dla fizyki następstwa przejścia od przemienności do nie-przemienności są dramatyczne. Gdybyśmy uŜyli geometrii nie-przemiennej do modelowania fizycznej czasoprzestrzeni, bę-dzie to "czasoprzestrzeń" (cudzysłów jest tu niezbędny!) bezzwykłego pojęcia czasu i bez zwykłego pojęcia przestrzeni.Czas bowiem składa się z chwil, a przestrzeń - z punktów. Po-niewaŜ są to pojęcia lokalne, w geometriach silnie nieprze-mlennych tracą one sens. Ale model bez czasu i przestrzenimoŜe mleć znaczenie fizyczne, poniewaŜ jest on matematyczniecałkiem poprawny. A jeŜeli coś jest matematycznie poprawne,

NIEPRZEMIENNY WSZECHŚWIAT • 119to zapewne prędzej czy później zostanie wykorzystane przez Ja-kiegoś pomysłowego fizyka.W Istocie fizycy juŜ znacznie wcześniej wykorzystywali ideę nieprzemlenności. I to z wielkim sukcesem. MoŜna śmiało po-wiedzieć, Ŝe niemal wszystkie zaskakujące cechy mechanikikwantowej wywodzą się z nieprzemlenności ukrytej w jej mate-matycznym formalizmie. Na przykład słynne relacje Helsen-berga, które mówią, Ŝe nie moŜna zmierzyć natychmiast po so-bie z dowolną dokładnością połoŜenia oraz pędu cząstkielementarnej, są prostym następstwem tego, Ŝe matematycznewyraŜenia odpowiadające połoŜeniu l pędowi mnoŜą się w spo-

sób nieprzemienny. Miarą tej nieprzemienności jest stałaPlancka. PoniewaŜ jest ona mała w porównaniu z odpowiedni-



mi wielkościami makroskopowymi, połoŜenie i pęd nie tracą sensu, lecz tylko rozmywają się. Czy nie jest to wskazówką, Ŝena jeszcze głębszym poziomie moŜemy mieć do czynieniaz jeszcze silniejszą nieprzemiennością?Nieprzemienne modeleMatematykiem, który najbardziej przyczynił się do przekształ-

cenia abstrakcyjnej algebry w geometrię nadającą się do zasto-sowania w fizyce, jest Alain Connes. Napisał on obszerną ksiąŜkę Noncommutatwe Geometry [Geometria nieprzemienna,Nowy Jork 1994), trudną do czytania nawet dla matematyków,będącą jednak do dziś kopalnią informacji l pomysłów. PraceConnesa zapoczątkowały nowy program badawczy, w który za-angaŜowanych jest wielu ludzi, a który polega na stosowaniugeometrii nieprzemiennej do rozmaitych działów fizyki, zwłasz-cza do teorii oddziaływań fundamentalnych. Osiągnięto juŜ natej drodze wiele interesujących wyników, ale ciągle niezrealizo-wanym jeszcze celem jest stworzenie nieprzemiennej kwanto-wej teorii grawitacji. Pewnym etapem na tej drodze byłoby naj-pierw sformułowanie nieprzemiennej wersji ogólnej teoriiwzględności, a dopiero potem podjęcie próby jej skwantowa-nia. I tu równieŜ zaproponowano kilka podejść, stworzono JuŜ

120 • KOSMOLOGIA KWANTOWAliczne modele i udowodniono interesujące prawidłowości.Uczonymi, którzy podjęli ten kierunek badań, są m.In.: samAlain Connes, John Madore, A. H. Chamseddine, G. Felderi J. Fróhlich. DuŜym osiągnięciem było skonstruowanie przezConnesa i J. Lotta Modelu Standardowego cząstek elementar-nych opartego na geometrii nieprzemlennej. Wyjaśnijmy po-krótce, o co chodzi.Od jakiegoś czasu w fizyce cząstek elementarnych funkcjo-nuje i odnosi wielkie sukcesy Model Standardowy. Sukcesy po-legają na tym, Ŝe przewidywania, wynikające z modelu, z ogrom-ną dokładnością zgadzają się ze znanymi i wciąŜ nowoodkrywanymi faktami doświadczalnymi fizyki cząstek elemen-tarnych i oddziaływań pomiędzy nimi. Model ten jest podstawą pracy wszystkich uczonych zajmujących się fizyką wysokichenergii. Niestety, model ten jest nieelegancki. Stanowi zlepekkilku modeli, a nie jednolitą strukturę matematyczną. Właści-wie w ostatnim zdaniu naleŜałoby uŜyć czasu przeszłego, ponie-waŜ w 1990 roku Connes i Lott pokazali, Ŝe taka Jednolitastruktura matematyczna istnieje. JeŜeli bowiem przyjąć, Ŝe cza-soprzestrzeń, rozwaŜana w odpowiednio małej skali, podlegageometrii nieprzemiennej pewnego konkretnego typu, to ModelStandardowy cząstek elementarnych otrzymuje się jako logicz-

ną konsekwencję tej nieprzemiennej struktury. AŜeby fizykówostatecznie przekonać, Ŝe model Connesa-Lottajest istotnie lep-szy od modelu dotychczasowego, trzeba by wykazać, Ŝe przewi-duje on fakty empiryczne, które nie wynikają z dotychczasowe-go modelu. Tego jednak dotychczas nie udało się osiągnąć.We wstępie do tego rozdziału obiecałem Czytelnikowi przed-stawić problem kwantowania grawitacji bardziej z własnej per-spektywy. Winienem teraz wywiązać się z tej obietnicy. OtóŜ w cyklu prac, wraz z moimi współpracownikami, WiesławomSasinem, Zdzisławem Odrzygóździem (obydwaj z Instytutu Ma-tematyki Politechniki Warszawskiej) i Dominikiem Lambertem(z Uniwersytetu w Namur, Belgia), zaproponowaliśmy pewiennieprzemienny model, ukazujący nową drogę ku kwantowej

teorii grawitacji. Nie Jest to jeszcze pełna teoria kwantowej gra-witacji, poniewaŜ nasz pomysł opiera się na zbyt wielu uprasz-



NIEPRZEMIENNY WSZECHŚWIAT • 121czających załoŜeniach i, przede wszystkim, choć jest to pomysłunifikacji ogólnej teorii względności oraz mechaniki kwanto-wej, nie ma on charakteru kwantowej teorii pola, jakim powin-

na się odznaczać pełna kwantowa teoria pola grawitacyjnego.Niemniej model moŜe się poszczycić znacznymi sukcesamiw wyjaśnianiu niewytłumaczonych dotychczas zagadnień me-chaniki kwantowej (takich jak doświadczenie Einsteina, Podol-sky'ego l Rosena oraz kolaps funkcji falowej), przejrzystością pojęciową i znaczną matematyczną elegancją. PoniewaŜ mode-lowi temu poświęciłem oddzielną ksiąŜkę1, czuję się obecniezwolniony z omawiania jego szczegółów. W dalszym ciągu tegorozdziału przedstawię tylko pokrótce niektóre Jego własnościl perspektywy, jakie otwiera.Bezczasowa fizykaPodstawową matematyczną strukturą naszego modelu jestpewna nieprzemienna algebra. Nazwijmy ją algebrą A. Geome-tria zbudowana w oparciu o tę algebrę łączy pewne cechy ogól-nej teorii względności z pewnymi cechami mechaniki kwanto-wej. PoniewaŜ jest to geometria nieprzemienna, nie dopuszczaona pojęć czysto lokalnych (algebra A nie ma Ideałów maksy-malnych). A zatem nie istnieją w niej punkty l czas, składającysię z chwil. Algebra A ma dwa naturalne przejścia: jednoprowadzi od naszego modelu do zwykłej ogólnej teorii względ-ności, a drugie od naszego modelu do zwykłej mechanikikwantowej. Zakładamy, Ŝe w erze Plancka obowiązywał naszcałkowicie globalny, bezczasowy model, natomiast próg Plan-cka polegał na "złamaniu symetrii modelu" l wyłonieniu z nie-go, w dalszym ciągu juŜ niezaleŜnych od siebie, ogólnej teoriiwzględności i mechaniki kwantowej.Najbardziej prowokacyjną cechą naszego modelu jest jegobezczasowy charakter. Jak widzieliśmy w poprzednich rozdzia-lach, juŜ od dawna pojawiały się sygnały, Ŝe na poziomie fun-1 Początek jest wszędzie, Prószyński i S-ka, w przygotowaniu.

122 . KOSMOLOGIA KWANTOWAdamentalnym moŜe nie być czasu i przestrzeni w ich zwykłymsensie. JednakŜe w naszym modelu aczasowość i aprzestrzen-ność są radykalne l konsekwentne. Cechy te nie zostały wpro-wadzone za pomocą jakichś dodatkowych załoŜeń, lecz wyni-kają z natury nieprzemiennej geometrii, która stanowi Istotną matematyczną strukturę modelu.Czy jest Jednak do pomyślenia fizyka bez czasu? PrzecieŜ

Istotny aspekt fizyki stanowi dzianie się, dynamika. To praw-da, ale okazuje się, Ŝe bezczasowa mechanika jest moŜliwa.Przyjrzyjmy się temu bliŜej.Zwykłą dynamikę w fizyce opisujemy za pomocą ruchu lo-kalnego, czyli zmiany miejsca, pod działaniem sił. Do modelo-wania takiej lokalnej dynamiki uŜywamy pojęcia wektora. PrzyuŜyciu wektora przedstawiamy zarówno wielkość siły, jaki wielkość przesunięcia powodowanego przez tę siłę. W geome-trii nieprzemiennej nie mamy do dyspozycji tego narzędzia.Wektor jest tworem lokalnym, a więc w naszym modelu nie ist-nieje. Ale dynamikę moŜemy opisywać takŜe globalnie, wyko-rzystując pole wektorowe. W zwyczajnej (przemiennej) geome-trii mówimy o polu wektorowym, jeŜeli w kaŜdym punkcie

pewnego obszaru przestrzeni (lub w całej przestrzeni) jest "za-czepiony" Jakiś wektor. Co więcej, pole wektorowe moŜe speł-



niać pewne równanie róŜniczkowe, modelujące dynamikę roz-waŜanego układu (na przykład newtonowskie równanieruchu). Rzecz jasna, w geometrii nieprzemiennej nie moŜemysobie wyobraŜać wektorów "zaczepionych" w róŜnych punk-tach przestrzeni, bo Ŝadnych punktów nie ma i takie wyobra-Ŝenie wykorzystywałoby pojęcie lokalności. Okazuje się jednak,

Ŝe geometria nieprzemienna dopuszcza pewien odpowiednik(a właściwie: uogólnienie) pojęcia pola wektorowego, które na-wet w zwykłej geometrii ma pewien aspekt globalny; jest mia-nowicie określone na duŜym obszarze przestrzeni lub nawet nacałej przestrzeni. I właśnie ten aspekt moŜna uogólnić. Uogól-nieniem tym jest pewna operacja wykonywana na algebrzeA (nazywa się ona derywacją). Operacja ta, jako odpowiednikpola wektorowego, moŜe słuŜyć do modelowania dynamiki.Jest to oczywiście dynamika uogólniona w stosunku do zwy-

NIEPRZEMIENNY WSZECHŚWIAT • 123klej dynamiki (takiej. Jaką spotykamy na przykład w mechani-ce klasycznej), dynamika bez pojęcia czasu l lokalnej zmiany,niemniej dynamika autentyczna, która jako swój szczególnyprzypadek (gdy odpowiednio zawęzi się algebrę A) daje klasycz-ną, znaną nam ze zwykłej fizyki, dynamikę. Co więcej, w tensposób uogólnioną dynamikę moŜna opisać za pomocą ele-ganckiej struktury matematycznej, zwanej algebrą uonNeu-manna.Jest to charakterystyczna cecha algebry A. Dzięki mej wielepojęć, znanych ze świata przemiennej matematyki l jej zasto-sowań do fizyki, zostaje uogólnionych - niekiedy uogólnionychtak silnie, Ŝe na pierwszy rzut oka trudno rozpoznać w nich ichprzemienne pierwowzory. Dopiero bliŜsze przyjrzenie się sytua-cji ukazuje, Ŝe istnieje przejście od algebry A do pewnej jej pod-algebry przemiennej, nazwijmy ją Z(A). Po tej operacji uogól-nione pojęcie przechodzi w swój przemienny pierwowzór.2 Dopojęć, które w geometrii nieprzemiennej ulegają tego typu sil-nym uogólnieniom, naleŜy prawdopodobieństwo. I tu kolejna,mila niespodzianka. Okazuje się, Ŝe po takim uogólnieniu po-jęciu prawdopodobieństwa odpowiada dokładnie ta samastruktura matematyczna, która odpowiada uogólnionej dyna-mice w naszym modelu, czyli algebra von Neumanna. Mamywięc następujący wynik; nieprzemienna dynamika jest ze swejnatury probabilistyczna. Albo jeszcze wyraźniej: uogólnionadynamika i uogólnione prawdopodobieństwo to, z matema-tycznego punktu widzenia, po prostu to samo.Dlaczego ten wynik jest "miłą niespodzianką"? PoniewaŜ w mechanice kwantowej równanie opisujące dynamikę (ruch)

cząstki, na przykład elektronu3, jest równaniem probabili-stycznym: nie determinuje ono kolejnych połoŜeń elektronu,lecz jedynie prawdopodobieństwa jego znalezienia się w danejchwili w danym miejscu. I nikt nie wiedział, dlaczego tak jest.Po prostu Schródlnger odgadł równanie opisujące dynamikę,a liczne doświadczenia potwierdziły trafność tego pomysłu.2 W języku technicznym podalgebra Z(A) nazywa się centrum algebry A.3 Tzw. równanie Schródingera.

124 • KOSMOLOGIA KWANTOWAObecnie równanie Schródingera moŜna wyprowadzić z naszegomodelu i ten związek dynamiki z prawdopodobieństwem dzie-

dziczy ono z ery nieprzemiennej.Przyczynowość



Zaproponowany przez nas model, w swoim obecnym stadium,jest jedynie modelem roboczym, w który naleŜy jeszcze zainwe-stować wiele wysiłku i pomysłowości, by mógł on w pełni kon-kurować z innymi, bardziej dopracowanymi, propozycjamikwantowania grawitacji. JednakŜe juŜ na tym wstępnym eta-pie swojego rozwoju ma on pewną wartość, i to wartość - po-

wiedziałbym - takŜe filozoficzną. Ukazuje mianowicie, jak bar-dzo rzeczywistość fizyczna moŜe róŜnić się od naszychpotocznych intuicji. Co więcej, nawet gdyby model ostatecznieokazał się fałszywy, to poniewaŜ Jest to model matematyczny,l tak dowodziłby niesprzeczności pojęć, które są weń wbudo-wane. Jak widzieliśmy, na tej zasadzie moŜna twierdzić, Ŝe po-jęcie bezczasowej dynamiki jest niesprzeczne. NaleŜy to uznać za swoistą rehabilitację często wyśmiewanych poglądów nie-których filozofów, utrzymujących, iŜ moŜliwe jest istnienie "po-za czasem". Co więcej, istnienie poza czasem, wbrew krytykomtej koncepcji, wcale nie musiałoby być równoznaczne z całko-witym bezruchem i statycznością. Święty Augustyn, Boecjusz,a potem liczni ich następcy uwaŜali, Ŝe wieczność nie jest Ist-nieniem w "nieskończonym czasie", lecz istnieniem poza cza-sem; dziś coraz bardziej zaczynamy podejrzewać, Ŝe po to, abyodnaleźć obszar istnienia bezczasowego, wcale nie musimywychodzić poza świat; wystarczy spenetrować odpowiedniogłęboką jego warstwę.Innym, obok dynamiki, pojęciem "wraŜliwym" na związekz czasem jest przyczynowość. Jest to kluczowe pojęcie filozo-ficzne, ale ma ono swój waŜny odpowiednik w geometrycznejstrukturze czasoprzestrzeni. Niektórzy filozofowie (na przykładDavid Hume) usiłowali redukować pojęcie przyczynowości donastępstwa czasowego. Według nich jeŜeli mówimy, Ŝe A jest

NIEPRZEMIENNY WSZECHŚWIAT • 125przyczyną B, to w istocie twierdzimy, iŜ zdarzenie B następujepo zdarzeniu A. W fizyce nie tyle chodzi o następstwo czasowe,co o moŜliwość połączenia A i B sygnałem fizycznym, któregoprędkość nie jest większa od prędkości światła. JeŜeli takamoŜliwość zachodzi, to mówimy, Ŝe zdarzenie B leŜy w stoŜkuświetlnym zdarzenia A. Struktura przyczynowa, czyli struktu-ra takich stoŜków świetlnych w czasoprzestrzeni. Jest ściśleokreśloną strukturą matematyczną. Po przejściu do geometriinieprzemiennej i ta struktura ulega uogólnieniu. Zostaje z niejusunięte wszystko, co wiąŜe się z lokalnością, ale pozostajecoś, co moglibyśmy nazwać istotą związku przyczynowego.Przyczynowość nie działa pomiędzy zdarzeniami, poniewaŜ zdarzenia są lokalne (a więc w omawianym modelu nie istnie-

ją), ale zachodzić ona moŜe pomiędzy stanami rozwaŜanegoukładu, stany układu bowiem są czymś globalnym. To całyukład moŜe być w takim czy innym stanie. Wydaje się więc, Ŝedo istoty przyczynowości nie naleŜy następstwo czasowe, leczpewien dynamiczny związek pomiędzy stanami układu. Myślę,Ŝe jest to waŜna lekcja dla filozofów.Nieprzemienny wszechświatJeŜeli przejście od geometrii przemiennej do nieprzemiennejprowadzi do tak drastycznych zmian pojęciowych, to czy niepowinno ono zmienić naszych poglądów na strukturę Wszech-świata? Innymi słowy, czy ma jakieś następstwa dla kosmolo-gii? Odpowiedź na to pytanie jest pozytywna i znacznie mniejhipotetyczna niŜ cały nasz model nieprzemlennego zjednocze-

nia ogólnej teorii względności i mechaniki kwantowej. Odpo-wiedź ta bowiem wynika z pewnych ściśle udowodnionych



twierdzeń matematycznych. A sprawa jest niebagatelna, po-niewaŜ dotyczy początku i końca Wszechświata.W matematycznej strukturze modelu kosmologicznego począ-tek i koniec Wszechświata pojawiają się Jako osobliwość począt-kowa i osobliwość końcowa. Są to osobliwości w rozwiązaniachrównań róŜniczkowych, słuŜących do modelowania Wszechświa-

126 • KOSMOLOGIA KWANTOWAta. Dlaczego "osobliwości"? Bo gdy zbliŜamy się do takiej osobli-wości, pewne wielkości fizyczne występujące w równaniu, naprzykład gęstość materii, dąŜą do nieskończoności, a równanie,w którym występuje "coś nieskończonego", po prostu traci sens.Podejmowano wiele prób uporania się z problemem osobli-wości. Niejako po drodze osiągnięto wiele ciekawych wynikówl częściowych rezultatów, ale zasadniczy problem pozostał.Roger Penrose, Stephen Hawking l jeszcze kilku teoretykówudowodnili szereg twierdzeń, z których wynika, Ŝe Jak długopozostaniemy przy klasycznych metodach modelowania cza-soprzestrzeni, najbardziej złośliwe osobliwości - jak te, któreprzedstawiają początek i koniec Wszechświata w standardo-wym modelu kosmologicznym - nie mogą zostać usunięte.Czasoprzestrzenie z tak silnymi osobliwościami stanowią bar-dzo złośliwe obiekty badania.I tu znowu pojawia się moŜliwość zastosowań geometrii nie-przemiennej. Warto bowiem zwrócić uwagę na fakt, Ŝe mate-matycy stworzyli geometrię nieprzemienną właśnie po to, bybadać takie przestrzenie, które nie poddają się badaniu za po-mocą dotychczasowych metod. Fakt ten stał się dla nas inspi-racją, by zmierzyć się ze złośliwymi osobliwościami, uŜywającmetod geometrii nieprzemiennej. Wkrótce okazało się, Ŝe był todobry pomysł. Udało nam się udowodnić kilka twierdzeń, któ-re ukazały problem złośliwych osobliwości w nowym świetle.Oto najwaŜniejsze wyniki.Czasoprzestrzeń ze złośliwymi osobliwościami, na przykładstandardowy model kosmologiczny z początkiem i końcem,moŜna opisać jako przestrzeń nieprzemienną. PoniewaŜ jest toprzestrzeń całkowicie nielokalna, nie składa się ona z punk-tów, ale sensownie moŜna mówić o stanach takiego wszech-świata. Okazuje się jednak, Ŝe nie ma Ŝadnej róŜnicy międzystanami osobliwymi i nieosobllwymi. Wszystkie stany wszech-świata są równouprawnione i wszystkie jednakowo dobrzemoŜna badać metodami geometrii nieprzemiennej. JeŜeli więcprzyjmiemy, Ŝe na poziomie fundamentalnym, poniŜej proguPlancka, rządzi geometria nieprzemienną, to na tym poziomiepo prostu nie ma osobliwości.

NIEPRZEMIENNY WSZECHŚWIAT • 127Okazuje się jednak, Ŝe gdy dokonujemy przejścia od geome-trii nieprzemiennej do geometrii przemiennej, czyli przekracza-my próg Plancka, złośliwe osobliwości się produkują. Jak tenfakt zinterpretować w odniesieniu do standardowego modelukosmologicznego? Na poziomie fundamentalnym brak jest ja-kichkolwiek osobliwości, panuje bezczasowa fizyka i nie masensu mówić ani o początku, ani o końcu Wszechświata. Do-piero wtedy, gdy makroskopowy obserwator, zanurzonyw upływający strumień czasu, bada Wszechświat, dochodzi downiosku, Ŝe - z jego czasowej perspektywy - miał on początek

i będzie miał koniec.Na ten wynik moŜna spojrzeć takŜe z nieco innego punktu



widzenia. Znajdujemy się w świecie makroskopowym i chcemydotrzeć do ery Plancka, w której panują nielokalność i bezcza-sowość. MoŜemy iść w dwu kierunkach. Jeden kierunek to co-fanie się w czasie; czyniąc to, osiągamy stany Wszechświata,w których gęstość materii jest coraz większa. Gdy gęstość wy-nosi l O93 g/cm3, osiągamy próg Plancka. Drugi kierunek to

kierunek "w głąb". Sięgamy do coraz mniejszych odległościprzestrzennych. Docieramy do progu Plancka, gdy odległościsą rzędu 10~33 cm. A zatem era Plancka była kiedyś dawno,"na początku", ale jest teŜ obecnie, tyle Ŝe "bardzo głęboko".Lecz era Plancka jest bezczasowa i nielokalna, a więc te dwakierunki eksploracji po prostu się utoŜsamiają. W tym sensiemoŜna powiedzieć, Ŝe "początek jest wszędzie".4Dotychczas w kwestii złośliwych osobliwości (Interpretowa-nych jako początek lub koniec Wszechświata) panował pogląd"albo-albo": albo kwantowa teoria grawitacji, gdy wreszcie zo-stanie odkryta, usunie osobliwości ze scenariusza kosmicznejhistorii, albo nie (za pierwszą moŜliwością opowiadała się zde-cydowana większość teoretyków). Nieprzemienny scenariuszukazał trzecią moŜliwość: pytanie o osobliwości na poziomiefundamentalnym nie ma sensu, lecz pytanie o osobliwościz punktu widzenia makroskopowego obserwatora, a więc z na-4 Ten właśnie zwrot obrałem jako tytuł ksiąŜki (por. przypis l) poświęconej nie-przemiennemu modelowi, omówionemu krótko w tym rozdziale.

128 • KOSMOLOGIA KWANTOWAszej perspektywy, ma sens: osobliwości pojawiają się jako pro-dukt przejścia z poziomu fundamentalnego do "naszej fizyki".Jeszcze raz ukazują się tu pojęciowe moŜliwości tkwiące w nie-przemlennej matematyce. Nasz nieprzemlenny model, unifiku-jący ogólną teorię względności z mechaniką kwantową, jestobecnie tylko modelem roboczym, ale ma on niewątpliwe walo-ry dydaktyczne: przekonywająco uczy, Ŝe po przyszłej teoriikwantowej grawitacji powinniśmy się spodziewać głębokiej re-wizji wielu podstawowych pojęć współczesnej fizyki.

ROZDZIAŁ 1 2OD SUPERSTRUNDO GEOMETRIINAPRZEMIENNEJZero-branyPo przeczytaniu poprzedniego rozdziału nie moŜna nie postawić pytania: jakie szansę ma nieprzemienny model unifikacjiw konkurencji z takim potentatem, jak teoria superstrun, w do-

datku jeszcze potęŜnie wsparta odkryciem M-teorii? Nad teorią superstrun i M-teorią pracują setki fizyków i matematykóww najlepszych ośrodkach świata. Wprawdzie do ostatecznegosukcesu jeszcze ciągle daleko, ale opracowano juŜ liczne modelezwiązane z tymi teoriami, wyjaśniono wiele niejasnych dotych-czas zagadnień, ustalono szereg algorytmów obliczeniowych,które juŜ sprawdziły się w działaniu, wykonano ogromną liczbę prac, uwieńczonych doktoratami l rozmaitymi naukowymi wy-róŜnieniami. Geometria nieprzemienna ma po swojej stronieatut nowości, wyrafinowane pojęcia matematyczne, zadziwiają-ce swoją ogólnością i stopniem abstrakcji, oraz grupę zdolnychmatematyków, biegłych w dziedzinie, która jeszcze ciągle wy-kracza poza standardowe wyszkolenie fizyków teoretyków. To

ostatnie nie stanowi jednak większej przeszkody. Fizycy teorety-cy bowiem odznaczają się pewną agresywnością w stosunku do



nowych metod matematycznych. Jeśli metoda jest obiecująca,warto poświęcić nawet wiele czasu i wysiłku, by się jej nauczyć.Teoretycy od superstrun i M-teorii JuŜ wielokrotnie tego dowle-


dli, a obecnie coraz częściej swoją uwagę kierują w stronę geo-metrii nieprzemiennej. I mają po temu powaŜne powody.Podstawowymi cegiełkami teorii superstrun l M-teorii są drgające i wibrujące jednowymiarowe struny l n-wymiarowe n--brany. Z nich konstruuje się teorie pól kwantowych i cząstekelementarnych. Zachowanie strun i n-bran podlega pięknejmatematyce, ale z intuicyjnego punktu widzenia tworzy onocoś na kształt wrzącego kłębowiska. Matematyk, uŜywającswojego technicznego Ŝargonu, powie, Ŝe przestrzeń strun i n--bran odznacza się bogatą topologią. Ale Jakkolwiek "bogate"byłoby zachowanie strun i n-bran, zawsze "dzieje się" onow czasoprzestrzeni.1 Z chwilą jednak, gdy chcemy za pomocą superstrun opisać pole grawitacyjne, pojawiają się komplika-cje. Bo przecieŜ, zgodnie z ogólną teorią względności, pole gra-witacyjne to sama czasoprzestrzeń, a ściślej - jej zakrzywienie(czyli geometria). Jak to opisać w języku strun? NaleŜy po pro-stu zidentyfikować czasoprzestrzeń z wielką liczbą strun wi-brujących w pewien uporządkowany sposób (fizycy nazywają to koherentnym stanem strun). PoniewaŜ jednak teoria super-strun jest równocześnie teorią kwantową, na ten poglądowyobraz naleŜy jeszcze nałoŜyć pewne rozmycie, charakterystycz-ne dla wszystkich procesów kwantowych. Wynika ono z tego,Ŝe opis kwantowy jest zawsze probabilistyczny. MoŜna więc so-bie wyobraŜać, Ŝe czasoprzestrzeń jest utkana z koherentnie,ale "probablllstycznie" wibrujących strun.Dlaczego strun? Struna jest tworem jednowymiarowym.Dlaczego właśnie wymiar l ma być uprzywilejowany? A nie naprzykład 3, 7 lub 1285? W tradycyjnej fizyce uwaŜano, Ŝecząstki elementarne są zerowymiarowe l fizycy byli z tegoraczej zadowoleni. Cząstki zerowymiarowe są po prostu"fizycznymi punktami", a punkt z niczego się nie składa, jestnaprawdę elementarny. Podobnie rozumują teoretycy od su-perstrun i n-bran. Gdyby udało się stworzyć zerobranę, czylibrane o wymiarze O, byłby to obiekt naprawdę elementarny,- Ściśle rzecz biorąc, nie musimy za kaŜdym razem, obok n-bran, wymieniać tak-Ŝe strun; struny są po prostu jednobranami, czyli branami jednowymiarowymi.

OD SUPERSTRUN DO GEOMETRII NIEPRZEMIENNEJ • 131nasz instynkt poszukiwania "czegoś jeszcze bardziej podstawo-

wego" zostałby zaspokojony. Zero-brany do swego istnienia niewymagałyby ani czasu, ani przestrzeni. Z najnowszych pracEdwarda Wittena, Toma Banksa, Leonarda Susskinda i in-nych zaczyna się powoli wyłaniać prawdopodobny obraz Zero--brany: oglądana z daleka zero-brana wygląda jak cząstkapunktowa, wzięta pod matematyczny mikroskop pozwala zaj-rzeć do rzeczywistości fizycznej, w której nie ma ani czasu, aniprzestrzeni. W tym miejscu Czytelnik sam wpadnie na pomysł,Ŝe moŜe to być rzeczywistość nieprzemienna, opisana w po-przednim rozdziale. Na ostatnich stronach swojej pięknej i ar-cyciekawej ksiąŜki o superstrunach Brian Greene pisze:[...] rozwaŜania nad zero-branami otwierają niewielkie oknona niekonwencjonalną rzeczywistość. Badania zero-bran

pozwalają zastąpić zwykłą geometrię geometrią niekomuta-tywną [tzn. nieprzemienna], obszarem matematyki stworzo-



nym w duŜej mierze przez francuskiego matematyka AlalnaConnesa. W strukturze tej tradycyjne pojęcia przestrzenil odległości między punktami znikają, pozostawiając nasw zupełnie innym krajobrazie pojęciowym.2Spróbujmy ustalić jakieś bardziej konkretne pomosty pomię-dzy teorią superstrun a tym "innym krajobrazem pojęciowym".

Piana czasoprzestrzeni i jeszcze dalejCzasoprzestrzeń fizyki klasycznej (a do niej naleŜy teoriawzględności) jest gładka, to znaczy moŜna na niej zdefiniować funkcje, które zachowują się w sposób poprawny, czyli w takisposób, jaki lubią matematycy i fizycy. Innymi słowy, funkcjete moŜna róŜniczkować i całkować, tak jak tego wymaga ele-mentarny kurs analizy matematycznej i jak jest to potrzebne2 Piękno Wszechświata. Superstruny, ukryte wymiary i poszukiwania teorii osta-tecznej. PrzełoŜyli E. L. Łokas, B. Bieniok, Prószyński i S-ka, Warszawa 2001.

132 • KOSMOLOGIA KWANTOWAdo uprawiania fizyki klasycznej. Technicznie mówi się, Ŝe cza-soprzestrzeń Jest gtadką rozmaitością.RóŜne wersje kwantowania grawitacji, którym przyglądali-śmy się w poprzednich rozdziałach, naruszają tę gładką struk-turę. Im dalej w głąb, tym bardziej struktura czasoprzestrzenistaje się pienista l postrzępiona. Wrzućmy garść proszku doprania do miednicy z ciepłą wodą i dobrze rozmieszajmy.Utworzy się gęsta piana. JeŜeli patrzymy na nią z pewnej odle-głości lub przez lekko zmatowiałe okulary, powierzchnia planywydaje nam się gładka. Ale jeŜeli przyjrzymy sieje) dokładniej,na przykład przez szkło powiększające, wyraźnie dostrzeŜemynieciągłą, pienistą strukturę. Podobnie sprawa przedstawia się ze strukturą czasoprzestrzeni: dla niedokładnego oka fizykimakroskopowej jest gładka, ale odpowiednio czułym metodomfizyki kwantowej ujawnia swoją nieciągłą, wrzącą naturę. Ma-tematyk znowu uŜyłby tu ulubionych przez siebie topologicz-nych środków opisu i powiedziałby, Ŝe na głębokim poziomieczasoprzestrzeń ma strukturę piany topologicznej. Funkcjezdefiniowane na takiej czasoprzestrzeni odzwierciedlają jej bo-gatą naturę. W ogóle jest tak, Ŝe zamiast posługiwać się daną przestrzenią (lub czasoprzestrzenią), moŜemy wykorzystywać odpowiadającą jej rodzinę funkcji. Z rozdziału 11 pamiętamy,Ŝe rodzina ta musi mieć pewne charakterystyczne własności,związane z mnoŜeniem i dodawaniem funkcji, i Ŝe gdy takiewłasności posiada, nazywamy ją algebrą. Opis w języku funk-cji daje dokładnie to samo, co opis w języku przestrzeni, aleniekiedy - zwłaszcza gdy przestrzenie są bardzo "spienione"-jest znacznie wygodniejszy.

Geometria superstrun, a takŜe n-bran, rozgrywa się w cza-soprzestrzeni (choć wzbogaconej o kilka dodatkowych wymia-rów; por. rozdział 8), ale jej topologia jest znacznie bogatsza niŜ w teoriach klasycznych. Mamy powody, by sądzić, Ŝe im dalejw głąb, tym bardziej topologia staje się pienista. Istnieją jed-nak twierdzenia matematyczne, które mówią, Ŝe jak długo ak-cja strun rozgrywa się w czasoprzestrzeni, tak długo ich geo-metrię (i ich topologię) daje się opisywać w języku pewnejrodziny (algebry) funkcji.

OD SUPERSTRUN DO GEOMETRII NIEPRZEMIENNEJ • 133Co dzieje się z funkcjami, gdy coraz bardziej naruszamy

gładką strukturę czasoprzestrzeni: juŜ nie tylko tworzymyz niej pianę, lecz strzępimy ją i kawałkujemy? Nadal moŜemy



posługiwać się opisem funkcyjnym, ale musimy stosować bar-dziej wyrafinowane metody niŜ te, które zazwyczaj stosuje się w tradycyjnej geometrii róŜniczkowej.3 Gdy w swojej "niszczy-cielskiej" działalności postępujemy dalej i dalej, dochodzimywreszcie do krańcowego przypadku, gdy algebra funkcji na ta-kiej "patologicznej" przestrzeni składa się tylko z funkcji sta-

łych. A funkcje stałe to takie funkcje, które w kaŜdym punkciedanej przestrzeni (czy czasoprzestrzeni) mają tę samą stalą wartość (tzn. wszędzie są równe 1,0 albo 34 287). Innymi sło-wy, funkcje stałe nie odróŜniają punktów. Dla tej algebry funk-cji cała przestrzeń (czy czasoprzestrzeń) zlewa się do jednegopunktu. Mamy więc prawdziwą zero-brane.I tu właściwie pojawia się Alain Connes ze swoim pomysłemgeometrii nieprzemiennej. Geometria ta została wynalezionawłaśnie w tym celu, by za jej pomocą dało się badać przestrze-nie, które dotychczas uwaŜano za do tego stopnia patologicz-ne, Ŝe nie poddające się jakiemukolwiek matematycznemu opi-sowi. Znana monografia Connesa (por. rozdział 11) pełna jestprzykładów takich przestrzeni. Obecnie uŜywając metod nie-przemiennych, moŜemy je nie tylko badać, ale równieŜ uzyski-wać interesujące wyniki. Connes jest rasowym matematykiemi oryginalną motywacją jego prac były nie tyle zastosowaniaw fizyce, ile raczej wyostrzanie czysto matematycznych metod.Dopiero potem jeszcze raz potwierdziła się od dawna znanaw nauce zasada, głosząca, Ŝe elegancka matematyka prędzejczy później znajdzie swe miejsce w fizyce.Pamiętamy z poprzednich rozdziałów, jakie trudności łączyłysię z próbami matematycznego opisu osobliwości. Przypomnij-my sobie na przykład zamknięty model Friedmana z jego dwie-ma osobliwościami: początkową i końcową (por. rozdział 3)l spróbujmy potraktować czasoprzestrzeń tego modelu wraz3 NaleŜy wówczas posługiwać się teorią przestrzeni róŜniczkowych lub struktu-ralnych.

134 • KOSMOLOGIA KWANTOWAz jego osobliwościami jako jedną przestrzeń geometryczną. Wie-my JuŜ, jak to zrobić: trzeba znaleźć odpowiednią algebrę funk-cji, w której byłaby zawarta cała informacja o tej przestrzeni.Przy odrobinie pomysłowości algebrę taką moŜna skonstru-ować i wówczas okazuje się, Ŝe składa się ona... tylko z funkcjistałych. Innymi słowy, cały Wszechświat, z jego historią, po-czątkiem i końcem, redukuje się do punktu.Problem ten rozwiązuje przejście od zwykłej geometrii dogeometrii nieprzemiennej. Co z tego wynika? Jakie otrzymujesię rezultaty? - zostało to opisane w poprzednim rozdziale.

Próba scenariuszaJaki zatem obraz wyłania się z tych rozwaŜań? Najpierw jestreŜim nieprzemlenny. Najpierw - to znaczy przed progiemPlancka. Nie istnieją czas i przestrzeń, a więc nie ma równieŜ sensu pytać, co się działo przedtem lub czy był jakiś początek.Obowiązuje fizyka przypuszczalnie podobna do tej, która zo-stała opisana w rozdziale 11; przypuszczalnie - poniewaŜ mo-del tam przedstawiony jest jedynie modelem roboczym, napewno zbyt uproszczonym. W reŜimie nieprzemiennym panujeniemal doskonała jedność. Uogólniona dynamika, uogólnionatopologia i uogólnione prawdopodobieństwo są modelowaneprzez tę samą strukturę matematyczną - przez tę samą alge-brę nieprzemienną, w której zawarte są wszystkie informacje

o nieprzemiennej epoce. Rzeczą godną uwagi jest fakt, Ŝe za-równo dynamika, jak l topologia są wówczas całkowicie proba-



bilistyczne, ale uogólnione prawdopodobieństwo nie ma w so-bie nic, co mogłoby się wiązać z niepewnością oczekiwania. Niema bowiem czasu wraz z jego przemijaniem i zwykłym rozu-mieniem przyszłości. Uogólnione prawdopodobieństwo moŜnasobie wyobrazić jako ogromne pole potencjalności, ale poten-cjalności, których urzeczywistnienie jest JuŜ jakoś obecne.

Chcąc Intuicyjnie uchwycić to, co działo się w nieprzemien-nym reŜimie, naleŜy równieŜ poćwiczyć wyobraźnię w pozbywa-niu się obrazów przestrzennych. Mówiliśmy o planie topologicz-

OD SUPERSTRUN DO GEOMETRII NIEPRZEMIENNEJ • 135nej. Czy w nieprzemiennym reŜimie teŜ występuje piana, tylkoJeszcze większa, jeszcze bardziej kłęblasta, postrzępiona l poka-wałkowana niŜ w epoce superstrun? Taki obraz zakłada pojęciezwykłej czasoprzestrzeni, składającej się z punktów, a czegoś takiego nie ma w nieprzemiennym wszechświecie. W epoce tejwprawdzie pojęcie punktu jest bezsensowne, ale ma sens poję-cie stanu (bo stan jest pojęciem globalnym). Co więcej, stanynieprzemiennego reŜimu moŜna precyzyjnie opisać w językuteorii algebr nieprzemiennych. Okazuje się, Ŝe stany te są dra-stycznie inne niŜ na przykład stany układów rozwaŜanychw mechanice klasycznej. Z naszego punktu widzenia mamy peł-ne prawo powiedzieć, Ŝe są to stany osobliwe, ale dla geometriinieprzemiennej są one całkowicie normalne; dla niej samo roz-róŜnienie na stany osobliwe i nieosobliwe jest pozbawione sen-su. Przestrzeń nieprzemienną nie jest więc postrzępiona czy nie-równa; jest totalnie odmienna od zwykłych przestrzeni i tylkow tym sensie moŜemy ją nazwać uogólnioną pianą topologiczną.Warto równieŜ jeszcze raz uświadomić sobie, Ŝe erę PlanckanaleŜy umieszczać nie tylko w zamierzchłej przeszłości Wszech-świata, lecz równieŜ obecnie, na najbardziej fundamentalnympoziomie funkcjonowania praw fizyki (por. rozdział 11). W tymsensie era Plancka, będąc bezczasową, Istnieje zawsze. Ale myfunkcjonujemy "zanurzeni w czasie i przestrzeni" i z naszej per-spektywy, cofając się w czasie wstecz lub idąc do coraz głęb-szych warstw Wszechświata, zbliŜamy się do progu Plancka,który - według naszej oceny - był końcem planckowskiej epoki.Z matematycznego punktu widzenia przejście od ery nie-przemiennej do przemiennej polega, jak juŜ wiemy, na zacie-śnieniu algebry, odpowiedzialnej za geometrię nieprzemienną,do pewnej podalgebry, zwanej jej centrum, która jest juŜ prze-mienna. Istnieją powaŜne poszlaki, takŜe natury matematycz-nej, Ŝe przejście to nie jest natychmiastowym skokiem, lecz do-konuje się mniej lub bardziej stopniowo.4 W trakcie tego4 Formalnie rzecz biorąc, zabieg zacieśnienia algebry do jej centrum ma oczywi-

ście charakter skoku, ale w naszym modelu ery nieprzemiennej istnieją matema-tyczne podstawy do tego, by sądzić, Ŝe zacieśnienie to jest tylko "gruboskórnym"opisem bardziej złoŜonego procesu, mającego charakter "przejścia do granicy".

136 • KOSMOLOGIA KWANTOWAprzejścia wyłaniają się czas i przestrzeń. Nie są one natych-miast gładkie. NaleŜy sądzić, Ŝe uogólniona piana topologicznaprzechodzi najpierw przez okres zwykłej piany topologicznej;i to od plany coraz bardziej "pienistej" do coraz bardziej spo-kojnej. RównieŜ po zacieśnieniu algebry do jej centrum wyła-nia się pojęcie wymiaru i wcale nie musi to być wymiar 1+3(l czasowy i 3 przestrzenne). Wszystko wskazuje na to, Ŝe wła-

śnie w tym "okresie przejściowym" obowiązuje teoria super-strun, czy, ogólniej, M-teorla. Pozwijane struny i powyginane



n-brany byłyby więc etapem pośrednim pomiędzy reŜimemnieprzemiennym a zwykłą, znaną nam z fizyki klasycznej,gładką geometrią czasoprzestrzeni. Trzeba wszakŜe podkreślić,IŜ są to ciągle jeszcze bardziej poparte pewnymi rozumowania-mi przypuszczenia niŜ dobrze ustalone fakty matematyczne.Paradoks horyzontu i inne trudności

W standardowej kosmologii dość powszechnie przyjmuje się,Ŝe Wszechświat w swojej bardzo wczesnej historii przeszedłprzez fazę gwałtownej ekspansji, zwanej fazą inflacyjną (por.rozdział 7). Wprawdzie do dziś nie ma dowodów obserwacyj-nych na to, Ŝe faza taka istotnie miała miejsce w dziejachWszechświata, ale wyjaśnia ona zbyt wiele trudności standar-dowej kosmologii, by moŜna było z niej zbyt łatwo zrezygno-wać. Jedną z takich trudności jest paradoks horyzontu. Wyni-ka on z nałoŜonego przez teorię ograniczenia, stwierdzającego,Ŝe Ŝaden sygnał fizyczny nie moŜe rozchodzić się z prędkością większą niŜ światło. JeŜeli weźmie się to pod uwagę, stosunko-wo łatwo wykazać, Ŝe w odpowiednio duŜym Wszechświeciemuszą istnieć obszary, które nigdy nie mogły się ze sobą ko-munikować. Są one bowiem tak od siebie czasoprzestrzennieodległe, Ŝe nawet sygnał świetlny nie zdąŜyłby przebyć dzielą-cej Je drogi w czasie krótszym lub równym aktualnemu wieko-wi Wszechświata. A zatem obszary takie z fizycznego punktuwidzenia są całkowicie rozłączne, nigdy nie mogły wymieniać ze sobą fizycznych sygnałów. MoŜna wyliczyć, Ŝe obszarami ta-

OD SUPERSTRUN DO GEOMETRII NIEPRZEMIENNEJ • 137kim! są na przykład dwie połacie nieba połoŜone na przeciwle-głych krańcach sfery niebieskiej. A przecieŜ juŜ stosunkowoproste obserwacje astronomiczne przekonują, Ŝe obszary takiesą w sensie statystycznym takie same. Zasada kosmologicznastwierdza, Ŝe Wszechświat, średnio rzecz biorąc, wszędzie wy-gląda tak samo i zasadę tę dobrze potwierdzają obserwacjerozkładu galaktyk i ich gromad (jeŜeli obserwować Wszech-świat w odpowiednio duŜej skali). Skąd więc rozłączne obszarywiedziały, jak się uśrednić, by wyglądać tak samo, jeŜeli niemogły wymienić pomiędzy sobą Ŝadnego fizycznego sygnału?Paradoks wyostrza się jeszcze bardziej, jeŜeli uświadomić so-bie, Ŝe pod innym względem rozłączne obszary są takie samenie tylko w sensie statystycznym, lecz niemal identyczne, i toz niesłychanie wielką precyzją.Kosmologia Wielkiego Wybuchu przewiduje, Ŝe bardzo mło-dy Wszechświat (gdy jego wiek sięgał 100 tysięcy lat, licząc odpoczątkowej osobliwości) był wypełniony gorącym promienio-waniem elektromagnetycznym. George Gamow l jego współ-

pracownicy przewidzieli istnienie tego promieniowania juŜ w 1948 roku, ale dopiero w roku 1964 Amo Penzias i RobertWilson odkryli je podczas obserwacji radioastronomlcznych.Odkrycie to stało się przełomem w kosmologii. Dzięki niemumoŜna było "zobaczyć", jak wyglądał bardzo młody Wszech-świat. Nic dziwnego, Ŝe amerykańska Agencja Badania Prze-strzeni Kosmicznej (NASA) nie oparła się pokusie (oraz namo-wom kosmologów) i wysłała satelitę specjalnie po to, bymoŜliwie najdokładniej określić cechy promieniowania, na-zwanego w międzyczasie promieniowaniem reliktowym (poWielkim Wybuchu) lub kosmicznym promieniowaniem tła. Taostatnia nazwa pochodzi stąd, Ŝe promieniowanie to niezwy-kle jednostajnie wypełnia Wszechświat. Amerykański satelita

o dźwięcznej nazwie COBE (Cosmic Background Explorer, czyliKosmiczny badacz [promieniowania] tła) wykonał odpowied-



nie pomiary i pokazał, Ŝe obecna temperatura promieniowa-nia tła wynosi 2,735 ± 0,06 K (czyli 2,735 stopnia w skalibezwzględnej (Kelvina) z błędem ± 0,06 K). Kiedyś promienio-wanie to było niezmiernie gorące, ale ostygło do tak niskiej

138 • KOSMOLOGIA KWANTOWAtemperatury wskutek rozszerzania się Wszechświata. Co wię-cej, temperatura promieniowania tła jest taka sama wewszystkich punktach nieba z dokładnością 0,00001. I tu Jestwłaśnie problem: w jaki sposób rozłączne obszary Wszech-świata mogły uzgodnić temperaturę tła z taką dokładnością?Wobec tej zdumiewającej dokładności przypadek jest nie doprzyjęcia. Pozostaje więc albo Jednakową temperaturę dla ca-łego Wszechświata "włoŜyć ręcznie" do warunków początko-wych równań kosmologicznych, albo wymyślić jakiś fizycznymechanizm, który by rozciął ten węzeł. Mechanizm taki wy-myślił Alan Guth. Jest nim faza inflacyjna w bardzo wczesnejhistorii Wszechświata. Istotnie, jeŜeli kiedyś Wszechświat do-znał bardzo gwałtownej ekspansji, to cały dziś obserwowanykosmos przed fazą Inflacyjną był malutką kroplą tego, cowówczas tworzyło Wszechświat. I dopiero Inflacja do tegostopnia rozdęła tę kroplę, Ŝe po jej zakończeniu niektóre ob-szary Wszechświata stały się ze sobą rozłączne. W modeluGutha rozdęcie Wszechświata jest rzeczywiście gigantyczne:w ciągu 10~35 sekundy Wszechświat powiększył swoje rozmia-ry 1030 razy5, a w niektórych późniejszych wersjach Inflacyj-nego modelu rozdęcie jest jeszcze większe! Taka inflacja likwi-duje całkowicie problem horyzontu.Innym wielkim sukcesem satelity COBE było wykrycie ma-leńkich "zmarszczek" na równomiernym tle kosmicznego pro-mieniowania pierwotnego. Zmarszczki te są rzeczywiście zni-kome: jedna stutysięczna powyŜej lub poniŜej średniejtemperatury promieniowania. I tak właśnie powinno być. Gdy-by pole promieniowania okazało się idealnie gładkie, nie mo-głyby powstać galaktyki l gromady galaktyk, a w konsekwencjii my nie pojawilibyśmy się we Wszechświecie. Co więcej, drob-ne zmarszczki na polu promieniowania są śladem procesów,Jakie odbywały się w bardzo młodym kosmosie. Dokładniejszezmierzenie i wyznaczenie rozmieszczenia zmarszczek w nieda-lekiej przyszłości (juŜ są planowane dwie następne misje sate-5 Czytelnika, który zafascynował się tą tematyką, odsyłam do ksiąŜki: AlanGuth: Wszechświat inflacyjny. W poszukiwaniu nowej teorii pochodzenia kosmosu,Prószyński i S-ka, Warszawa 2000.

OD SUPERSTRUN DO GEOMETRII NIEPRZEMIENNEJ • 139lltarne) przyniesie nam wiele Informacji o podstawowym zna-czeniu kosmologicznym i, być moŜe, pozwoli zweryfikować mo-del inflacyjny.PoniewaŜ Jednak model inflacyjny do dziś nie został bezpo-średnio potwierdzony empirycznie6, a głównym jego atutemjest usuwanie paradoksów, w jakie wikła się standardowa ko-smologia, warto rozejrzeć się za innym ich wytłumaczeniem.Dobrze by równieŜ było, gdyby te wyjaśnienia wynikały z ja-kiejś ogólniejszej teorii, a nie pojawiały się tylko po to, by upo-rać się z jakąś konkretną trudnością. I tu mamy dobrą wiado-mość. Okazuje się, Ŝe kosmologia nieprzemlenna w sposóbbardzo naturalny likwiduje paradoks horyzontu bez rozdyma-

nia Wszechświata. Przyjrzyjmy się temu nieco dokładniej."Na początku" mamy reŜim nieprzemlenny. Wszystko Jest



globalne; jakiekolwiek pojęcia związane z umiejscowieniem- czy to w czasie, czy w przestrzeni - są pozbawione sensu. Fi-zyczne cechy mogą się odnosić tylko do Wszechświata jako ca-łości, a nie do jego części, gdyŜ pojęcie części, jako lokalne,w reŜimie nieprzemlennym nie funkcjonuje. I oto następujeproces przechodzenia przez próg Plancka do fazy przemiennej.

W trakcie tego procesu pojęcia lokalne stają się sensowne. Napewnym etapie moŜemy juŜ mówić o częściach Wszechświata.Nabiera równieŜ znaczenia standardowa fizyka wraz ze swoimfundamentalnym ograniczeniem na prędkość przenoszenia fi-zycznych sygnałów. Niektóre części Wszechświata stają się względem siebie rozłączne. Ale wszystkie one, nawet jeśli są rozłączone, dziedziczą wszelkie fizyczne cechy po erze nieprze-miennej, w której wszystkie one były globalne, czyli odnosiłysię do całości. A zatem były tylko jedne. Nic zatem dziwnego,Ŝe po przejściu przez próg Plancka nawet bardzo odległe odsiebie części kosmosu są prawie identyczne. Są Identyczne, boodziedziczyły te same cechy po erze nieprzemiennej; ale są prawie Identyczne, poniewaŜ początkowo małe fluktuacjekwantowe zostały potem wzmocnione na skutek rozszerzania6 MoŜemy najwyŜej stwierdzić, Ŝe pomiary promieniowania tlą nie sprzeciwiają się przewidywaniom modelu inflacyjnego.

140 • KOSMOLOGIA KWANTOWAsię Wszechświata. I nie musiało to być rozszerzanie typu infla-cyjnego. Kosmologia nieprzemienna nie wyklucza modelu in-flacyjnego, ale do zlikwidowania paradoksu horyzontu go niewymaga.Zwolennik wszechświata inflacyjnego mógłby tu zaopono-wać: "Dobrze. Zgoda co do problemu horyzontu. Ale są równieŜ inne problemy, z którymi nie radzi sobie kosmologia standar-dowa, a które wyjaśnia przyjęcie fazy inflacyjnej. Na przykładproblem monopoli czy problem płaskości".Owszem, takie problemy istnieją. Problem monopoli polegana tym, Ŝe niektóre teorie wielkiej unifikacji (same dosyć spe-kulatywne) przewidują, iŜ w obecnym Wszechświecie powinnaistnieć duŜa liczba cząstek, zwanych monopolami magnetycz-nymi. Tymczasem cząstek takich nie obserwujemy. Gdzie się więc podziały? Problem płaskości dotyczy geometrii przestrze-ni. Przestrzeń moŜe mleć dodatnią, ujemną lub zerową krzywi-znę (por. rozdział 3). Przestrzeni zakrzywionych jest wiele, po-niewaŜ przestrzeń moŜe być zakrzywiona bardziej lub mniej,ale przestrzeń płaska (czyli z zerową krzywizną) - tylko jedna.AŜeby Wszechświat miał zakrzywioną przestrzeń, jego warunkipoczątkowe mogą być niemal dowolne; aŜeby jednak posiadał

przestrzeń płaską, Jego warunki początkowe muszą być nie-zwykle precyzyjnie dobrane. Tymczasem obserwacje pokazują,Ŝe przestrzeń Wszechświata, w którym Ŝyjemy, jeśli nawet niejest płaska, to jej krzywizna tylko bardzo nieznacznie róŜni się od zera. Co zatem sprawiło, Ŝe warunki początkowe zostały takdokładnie dobrane?Model Inflacyjny wszystkie te trudności tłumaczy za jednymzamachem. Za wszystko jest odpowiedzialne rozdęcie Wszech-świata. Kiedyś monopoli magnetycznych było bardzo duŜo, aleInflacja tak ich populację rozrzedziła, Ŝe dzisiaj w naszym ko-smicznym otoczeniu praktycznie nie występują. To samo roz-szerzanie wyjaśnia problem płaskości. Wszechświat przed in-flacją mógł mieć dowolną krzywiznę, potem inflacja rozdęła

kosmos do ogromnych rozmiarów - do tego stopnia, Ŝe obecnieobserwowany przez nas Wszechświat jest tylko maleńkim frag-



mentem całości. A mały fragment dowolnej przestrzeni jest za-

OD SUPERSTRUN DO GEOMETRII NIEPRZEMIENNEJ • 141wsze prawie płaski. Podobnie jak kula ziemska, która wydajesię nam płaska, choć ma zakrzywioną powierzchnię.

Widzimy więc, Ŝe model inflacyjny istotnie ma bardzo duŜą moc wyjaśniającą, ale... sam równieŜ domaga się wyjaśnienia.I to w podwójnym sensie. Po pierwsze, wolelibyśmy, gdyby wy-nikał on z jakiejś ogólniejszej teorii fizycznej lub z jakichś bar-dziej podstawowych zasad fizycznych, a nie był przyjmowanytylko po to, aby wyjaśniać pewne problemy. Po drugie, modelekosmologiczne z inflacją takŜe wymagają specjalnych warun-ków początkowych. Gdybyśmy zupełnie przypadkowo (na przy-kład na drodze losowania) wybierali warunki początkowe dlarównań kosmologicznych, prawdopodobieństwo tego, Ŝe trafili-byśmy na takie warunki, które prowadzą do inflacji, byłobyznikomo małe. Co więc warunki takie ustaliło?Model nieprzemienny stanowi propozycję fundamentalnejteorii. Wprawdzie Jest to na obecnym etapie badań propozycjahipotetyczna, ale obiecująca. Ukazuje ona - w dość ogólnych za-rysach, to prawda -jak mogła wyglądać fizyka w epoce, w którejnie było ani czasu, ani przestrzeni, l w elegancki sposób tłuma-czy, jak z nieprzemiennej fazy wynurzyła się fizyka wraz z jejrównaniami obecnie rządzącymi Wszechświatem. To wówczas,w przejściu przez próg Plancka, ustaliły się warunki początkowedla tych równań. Nie trzeba więc ich przyjmować ani dowolnie,ani drogą losowania. Ustala je fizyka ery nieprzemiennej i me-chanizm przechodzenia przez próg Plancka. Wprawdzie są todziś jeszcze czynniki zbyt mało zbadane, byśmy potrafili zrekon-struować warunki początkowe dla naszego Wszechświata, alemoŜemy mleć nadzieję, Ŝe się to (wkrótce?) powiedzie. I wówczaszobaczymy, czy model nieprzemienny lepiej wyjaśnia kosmosl jego zagadki niŜ modele konkurencyjne. W grę zwaną nauką zawsze Jest wkomponowany element ryzyka.

ZAKOŃCZENIE:W ERZE PLANCKA FIZYKASPOTYKA SIĘ Z FILOZOFIAPołączenie metod fizyki grawitacji z metodami fizykikwantów jest niewątpliwie najwaŜniejszym problememl największym wyzwaniem współczesnej fizyki. W poprzed-nich rozdziałach dokonaliśmy przeglądu rozmaitych próbprzeprowadzenia tej fundamentalnej unifikacji. Pomysłówjest wiele, metod matematycznych, niekiedy bardzo wyrafino-

wanych, ogromne bogactwo. Wszystkie one otwierają nowemoŜliwości pojęciowe l prześcigają się w oryginalności. Rodzisię jednak niepokojące pytanie: czy to jest Jeszcze fizyka? so-lidna, zakorzeniona w doświadczeniu nauka? PrzecieŜ Ŝadnaz tych prób nie moŜe poszczycić się konkretnymi przewidywa-niami empirycznymi, które w niezbyt odległej przyszłościmiałyby szansę na porównanie z rzeczywiście przeprowadzo-nymi doświadczeniami. Owszem, wszystkie te próby w jakimś sensie powołują się na eksperymenty: albo tłumaczą juŜ zna-ne, ale jeszcze nie całkiem zrozumiane wyniki doświadczeń;albo przewidują pewne następstwa w późniejszych fazachrozwoju Wszechświata, z nadzieją, Ŝe moŜe kiedyś astrono-mowie będą je mogli wykryć; albo przepowiadają nowe efekty,

których wykrycie jednak wymaga tak wielkich energii, Ŝe po-zostają one w sferze nierealistycznych marzeń. Czy to moŜna



nazywać fizyką?

KOSMOLOGIA KWANTOWA . 143W połowie XX wieku kosmologia znajdowała się w podobnejsytuacji. Poza przesunięciem ku czerwieni w widmach galak-

tyk, którego interpretacja pozostawała wysoce niepewna, nieIstniały praktycznie Ŝadne inne efekty obserwacyjne i nie byłona nie wielkich nadziel. Niektórzy teoretycy mówili wówczas,Ŝe uprawiają kosmologię nie dlatego, Ŝe chcą poznać Wszech-świat, lecz dlatego, iŜ Jest to piękna nauka. Dziś wielu teorety-ków Ŝywi podobny stosunek do teorii mających na celu zjedno-czenie całej fizyki. Ale w latach sześćdziesiątych XX wiekuw kosmologii obserwacyjnej nastąpił przełom. Zupełnie nie-spodziewanie odkryto kwazary, pulsary i przede wszystkim mi-krofalowe promieniowanie tła. Badania kosmologiczne nabrałyogromnego przyspieszenia. W ciągu kilkunastu lat wygasływątpliwości co do tego, czy kosmologię moŜna uwaŜać zaprawdziwą naukę empiryczną. PoniewaŜ w nauce nigdy nie na-leŜy mówić "nigdy", nie powinniśmy z góry wykluczać, Ŝe coś podobnego stanie się z teoriami unifikacyjnymi.Trzeba Jednak zgodzić się z tym, Ŝe w badaniach nad unifi-kacją fizyki rzeczywiście znajdujemy się na obrzeŜach metody,jaką obecnie powszechnie stosuje się w fizyce. I nie jest wyklu-czone, Ŝe - przynajmniej przez pewien czas - będziemy zmu-szeni metodę tę traktować bardziej elastycznie. Jestem przeko-nany, Ŝe gdyby dziś udało się komuś znaleźć matematyczną strukturę, która by bezbłędnie unifikowała całą fizykę i przej-rzyście rozwiązywała wszystkie wielkie problemy współcze-snych teorii, zostałaby ona jednogłośnie zaakceptowana przezfizyków, chociaŜ nie przewidywałaby Ŝadnych nowych efektówobserwacyjnych. Rozumienie i "wgląd w strukturę" liczą się w fizyce coraz bardziej.I tu właśnie przechodzimy do rozwaŜań filozoficznych.W Cambridge odbyło się niedawno naukowe sympozjum podbardzo wymownym tytułem "W skali Plancka fizyka spotyka się z filozofią". Istotnie, mieliśmy okazję zaobserwować to na kar-tach tej ksiąŜki. Skłonność do stawiania pytań filozoficznychjest głęboko wbudowana w ludzką naturę. Zawsze chcemy wie-dzieć "co dalej?", "skąd się to wzięło?", "po co to wszystko?",a kaŜda, nawet hipotetyczna odpowiedź generuje dalsze pyta-

144 • KOSMOLOGIA KWANTOWAnią. Z hipotetycznych odpowiedzi takŜe moŜna wyciągać pewnewnioski. Nasza dotychczasowa eksploracja ery Plancka, choć

nie dała jeszcze ostatecznych wyników, nauczyła nas przynaj-mniej jednego: Wszechświat wcale nie musi być skrojony nanaszą miarę. Nasze intuicje, wytworzone przez długotrwałekontakty ze światem makroskopowym, mogą się okazać mylnew konfrontacji z najgłębszym poziomem Wszechświata. Jeszczejedna lekcja oduczania się antropocentryzmu! Historia naukidała nam juŜ ich kilka. Doskonałym przykładem tego rodzajuzałamywania się naszych intuicji jest moŜliwość istnienia po-ziomu, na którym nie ma czasu i zmienności (w ich zwyczaj-nym rozumieniu), ale moŜliwa jest autentyczna dynamika.Tu rodzi się kolejne pytanie: czy mamy gwarancję, ŜeWszechświat jest poznawalny, Ŝe do końca moŜe zostać przeznas poznany? Nie, takiej gwarancji nie mamy. Dotychczasowe

sukcesy nauki u wielu naukowców i filozofów wytworzyły nie-bywały optymizm poznawczy, ale przecieŜ to, cośmy juŜ pozna-



li, nie uczy nas niczego pewnego o tym, do czegośmy jeszczenie doszli. Nie widać Ŝadnej konieczności, by ewolucja biolo-giczna miała jakikolwiek Interes w wyposaŜaniu nas w potęŜnymózg, który mógłby skutecznie zmierzyć się ze skomplikowaną strukturą całego Wszechświata. I tak Jest dziwne l zaskakują-ce, Ŝe zdołaliśmy poznać aŜ tyle. MoŜliwość atomowej samoza-

głady i zniszczenie całej planety, jaką gatunek ludzki uzyskałkilkadziesiąt lat temu, wcale nie jest atutem w ewolucyjnejwalce o przetrwanie.W pierwszej połowie XX wieku kosmologowie powszechniesądzili, Ŝe Wszechświat jest przestrzennie zamknięty. Do tegoprzekonania dobudowywano wówczas filozofię głoszącą, Ŝe win-no tak być, poniewaŜ w przeciwnym razie Wszechświat nie stał-by się w całości poznawalny dla ludzkiego rozumu. Doktrynę tę mocno popierał Georges Lemaitre, motywując ją łaskawością Stwórcy względem ludzi, którym nie chciał stawiać poznawcze-go zadania ponad ich moŜliwości. Ostatnio podobnymi racjami,chociaŜ inspirowanymi przez wręcz przeciwne motywy, LeeSmolin próbował uzasadnić swoje koncepcje dotyczące kwanto-wej grawitacji. Nawiązywał on do dawnej pozytywistycznej dok-

ZAKOŃCZENIE • 145tryny, według której to, co wykracza poza moŜliwości poznawczeczłowieka, jest pozbawione Jakiegokolwiek sensu. Chcąc rato-wać sens kosmologii Jako nauki o Wszechświecie, naleŜy przy-jąć, IŜ jego struktura jest dostępna naszemu poznaniu.Doktrynie Lemaitre'a moŜna przeciwstawić chrześcijańską koncepcję Transcendencji, zgodnie z którą Bóg - a więc zapew-ne i Jego dzieła - wykracza poza wszystko, co człowiek jestzdolny pomyśleć. Smolinowi z kolei moŜna by przypomnieć, Ŝepozytywistyczna koncepcja redukowania całej wartościowejwiedzy do tego, co da się bezpośrednio zaobserwować, skom-promitowała się sama i nawet "twardzi pozytywiści" musieli ją porzucić. ChociaŜ, jak wspomniałem wyŜej, to, co juŜ poznali-śmy, nie uczy nas niczego pewnego o tym, czegośmy jeszczenie poznali, lekcja płynąca z dotychczasowej historii nauki jestdość przekonywająca: ewolucja wyposaŜyła nas "nadmiarowo"w umysłowe zdolności niezbędne do przetrwania. Ale czy tennaddatek wystarczy do tego, aby poznać wszystko?Nawet jeśli kiedyś, mimo wszystko, stworzymy wreszcie tę wymarzoną teorię unifikującą całą fizykę, jeśli poznamy funda-mentalne prawo rządzące wszystkim, ciągle jeszcze pozostaniewiele do poznania i do zrozumienia. Wszechświat bowiem niejest maszyną, która jedynie realizuje program raz na zawszeustalony na jego fundamentalnym poziomie. Prawo i przypadek

odgrywają waŜne l uzupełniające się role w strukturze Wszech-świata. Małe zmiany wielkości pewnych parametrów, rządzonegrą prawdopodobieństw i statystyką, mogą - na mocy ścisłychpraw fizyki - powodować drastyczne zmiany ewolucji świata.Właśnie tej jego cesze zawdzięczamy, Ŝe świat nie jest nudną pustynią, lecz grą ciągle bogacących się struktur.Poziom fundamentalny to jeszcze nie wszystko. Ustala ontylko dość ogólne reguły gry. Wszechświat strukturalizuje się dzięki strategii przejść fazowych. Sama moŜliwość tych przejść jest oczywiście zakodowana w prawach poziomu fundamental-nego, ale to, co dzieje się w momencie przejścia fazowego, jestw znacznej mierze dziełem przypadku, lokalnych fluktuacji,Właśnie przejściom fazowym, jakie dokonały się w pierwszych

ułamkach sekundy po przekroczeniu progu Plancka, zawdzlę-



146 • KOSMOLOGIA KWANTOWAczarny to, Ŝe pierwotna "fundamentalna prasymetria" uległaspontanicznemu złamaniu na cztery podstawowe oddziaływa-nia fizyczne: grawitację, oddziaływania jądrowe silne l słabeoraz oddziaływanie elektromagnetyczne. Niewykluczone, Ŝe

gdyby w młodym Wszechświecie "coś było trochę inaczej", mie-libyśmy dziś zupełnie inną fizykę. Znajomość, nawet bardzodokładna, poziomu fundamentalnego nie określa jednoznacz-nie wszystkiego, co z niego wyewoluowało. Fizyka Wszechświa-ta to nie tylko fizyka poziomu Plancka, a Wszechświat nie jestjedynie grą podstawowych oddziaływań fizycznych. To takŜeciągle narastająca hierarchia złoŜonych struktur: od agrega-tów atomów tworzących związki chemiczne aŜ do supergromadgalaktyk. Procesem wzrostu złoŜoności kieruje wszędzie ta sa-ma strategia. Małe, przypadkowe zmiany pewnych wielkościprowadzą, na mocy ścisłych praw fizyki, do drastycznychzmian dynamicznego procesu. Mechanizm ten, nie całkiemsłusznie, przyjęło się nazywać dynamicznym (albo determini-stycznym) chaosem. Owszem, ma on cechę nieprzewidywalne -ści, ale równocześnie prowadzi do pięknego porządku, jaki ob-serwujemy w świecie. I właśnie dlatego, Ŝe porządek świata niejest do końca przewidywalny, a zadaniem fizyki jest jego bada-nie, nie przestanie ona być ciekawą nauką.Nie moŜna takŜe wykluczyć tego. IŜ gdy wreszcie odnajdzie-my "wyśnioną ostateczną teorię"1, okaŜe się, Ŝe wcale nie jestona "ostateczna", Ŝe nie zamyka "poszukiwań w głąb", leczprzeciwnie - otwiera nowe horyzonty. Tak dotychczas działosię w historii fizyki: kaŜde osiągnięcie otwierało drogę do na-stępnych. Wszechświat moŜe być niewyczerpywalną strukturą - jak ciąg liczb rzeczywistych: za kaŜdą liczbą jest ich jeszczenieskończenie wiele.idPisząc ostatnie strony ksiąŜki o kwantowaniu grawitacjil kwantowej kosmologii, trudno oprzeć się jeszcze jednej re-fleksji. Zupełnie niezaleŜnie od tego, czy świat jest do końca1 Aluzja do tytułu znanej ksiąŜki Steyena Weinberga Sen o teorii ostatecznej,Al-kazar. Warszawa 1994.

ZAKOŃCZENIE • 147poznawalny, czy nie, wszystko dziś wydaje się wskazywać nato, Ŝe w naszych badaniach zbliŜamy się jednak do jakiejś gra-nicznej sytuacji. Najbanalniejszą, ale równocześnie najbardziejkonkretną, jest granica finansowa. Nawet najbogatsze pań-

stwa (takie jak Stany Zjednoczone) czy zespoły państw (takiejak Unia Europejska) nie mogą dziś sobie pozwolić na budowa-nie znacznie większych (w porównaniu do juŜ istniejących) ak-celeratorów cząstek elementarnych, a bez nich teorie odpo-wiednio głębokich poziomów świata pozostaną tylko mniej lubbardziej wiarygodnymi domysłami. Ale takŜe w dziedzinie ba-dań czysto teoretycznych wyraźnie widać zbliŜanie się do ja-kiejś bariery. JeŜeli budujemy obecnie modele kwantowego po-wstawania świata z nicości, to o cóŜ jeszcze moŜna pytać dalej?O nicość? Pozostaje, oczywiście, pytanie o pochodzenie prawprzyrody, ale jest to juŜ pytanie typowo filozoficzne.Czy jednak nie jesteśmy zbyt zarozumiali? Czy uczeni kaŜdejepoki nie sądzili, Ŝe ich badania znajdują się na granicy moŜli-

wości? Tak niewątpliwie było, dostrzegam jednak pewną róŜnicę między tym, co było w historii, a obecną sytuacją. Dawniej cho-



dziło o granice problemów i o granice technicznych moŜliwości;dziś coraz bardziej chodzi o granice metody. Jeszcze krok dalejl juŜ wchodzimy w obszar filozofii lub wręcz metafizyki. Myślicie-le, pozostający pod wpływem pozytywistycznego stylu myślenia,na ogół sądzą, Ŝe opuszczając teren kontrolowany przez metodę fizyki, zapuszczamy się w dziedzinę bezsensu. Sądzę, Ŝe taki po-

gląd zakłada bardzo specyficzne rozumienie sensu i jego zaprze-czenia - bezsensu. CzyŜby sens miał się ograniczać do stwier-dzenia, Ŝe "tak jest, bo jest", i powstrzymywania się odjakichkolwiek dalszych pytań? Granice metody empirycznej niesą granicami racjonalności. Metoda empiryczna sama domagasię racjonalnych wyjaśnień; więcej - pytanie o sens tej metodywykracza poza jej własne moŜliwości. Innymi słowy, pytająco sens metody empirycznej, wykraczamy poza nią. A więc jeŜelima ona jakikolwiek sens, to musi go otrzymywać spoza siebie.Fizyka to pasjonująca nauka, bo jest naszym Wielkim Pyta-niem skierowanym do Rzeczywistości.Kraków, 20 grudnia 2000

BIBLIOGRAFIATen zestaw bibliograficzny zawiera wybór prac oryginalnychoraz pozycje sugerowane Jako lektura uzupełniającaROZDZIAŁ lP. Davles: Plan Stwórcy. Znak, Kraków 1996.M. Heller: Wszechświat u schyłku stulecia. Znak, Kraków 1994.ROZDZIAŁ 2J. C. Polkinghome: The Quantum World. Penguin Books, Londyn 1990.M. Heller: Mechanika kwantowa dla filozofów. OBI - Kraków, Biblos- Tarnów 1996.ROZDZIAŁ 3A. H. Guth: Wszechświat inflacyjny. Prószyński i S-ka, Warszawa 2000.M. Heller: Kosmiczna przygoda Człowieka Mądrego. Znak, Kraków 1994.ROZDZIAŁ 4B. DeWItt: Quantum Theory q/" Granity, I: The Canontoot Theory. "PhysicalRevlew" tom 160, 1967, ss. 1113-1148.D. Atkatz: 0uantum Theory for Pedestrians, »American Joumal of Phy-sics" tom 62, 1994, ss. 619-627.ROZDZIAŁ 5J. Barrow: Teorie wszystkiego. Znak, Kraków 1995.ROZDZIAŁ 6J. Hartle, S. W. Hawking: The Waue Function ofthe Uniuerse. .PhysicalRevlew", tom D28, 1983, ss. 2960-2975.S. W. Hawking: Krótka historia czasu. Alfa, Warszawa 1990.S. W. Hawking, R. Penrose: Natura czasu i przestrzeni. Zysk l S-ka, Po-znań 1996.

ROZDZIAŁ 7S. W. Hawking: Czarne dziury (wszechświaty niemowlęce. Alkazar, War-szawa 1993.

KOSMOLOGIA KWANTOWA • 149ROZDZIAŁ 8B. Greene: Piękno Wszechświata. Prószyński l S-ka, Warszawa 2001.ROZDZIAŁ 9W momencie pisania tego rozdziału oryginalna praca na temat modeluekpyrotycznego została złoŜona w redakcji czasopisma "The PhysicalRevlew", ale nie ukazała się Jeszcze drukiem. Korzystałem z Jej "pre-printowej wersji", opublikowanej w Intemecle:

J. Khoury, B. A. Ovrut, P. J. Steinhardt, N. Turok: The Ekpyrotic Uniuer-se: Colliding Branes and the Origin of tbe Hot Big Bang, hep-th/



0103239 v2.ROZDZIAŁ 10R. Penrose: Nowy umyst cesarza. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warsza-wa 1995.R. Penrose: Cienie umystu. Zysk i S-ka, Poznań 2001.R. Penrose: Makroświat, mikroswiat i ludzki umyst. Prószyński l S-ka,

Warszawa 1997.J. D. Bekenstein: Block-Hote Thermodynamfcs, "Physics Today", tom 33(nr l), 1980, ss. 42-31.ROZDZIAŁ 11A. Connes: Noncommutatiue Geometry. Academic Press, Nowy Jork 1994.M. Heller, W. Sasin, D. Lambert: Groupoid Approoch to Noncommutatiue(c)uantizatfon oJGrauity, "Journal of mathematical Physics", tom 41,1999,ss. 5840-5853.M. Heller, W. Sasin: Noncommutatiue Uni/teatfon ofGeneral Retatiuity andQuantum Mechanics, "Intematlonal Journal of Theoretlcal Physics",tom 38,1999,ss. 1619-1642.M. Heller, W. Sasin, Z. OdrzygóźdŜ: State Vector Keduction as a Shadowofa Noncommutatlue Dynamics, "Joumal of Mathematical Physics",tom. 41, 2000,ss. 5168-5179.M. Heller, W. Sasin: Noncommutatiue Structure of Singularities in Gene-rai Relatiutty, "Journal of Mathematical Physics", tom. 37, 1996,5665-5671.M. Heller, W. Sasin: Origin of Clossicol Singularities, "Generał Relativltyand Gravltatlon", tom 31, 1999, ss. 555-570.ROZDZIAŁ 12B. Greene: Piękno Wszechświata. Prószyński l S-ka, Warszawa 2001(rozdział 15).

INDEKSAggazzl, Evandro 11-12algebra 117-119, 132-134, 136- nieprzemlenna 118, 121,134-135- von Neumanna 123Amowitt, R. 52Augustyn, św. 124Banks, Tom 131Bekenstem, Jacob 106Boecjusz 124Bohr, Niels 116brana 92-97, 129-133, 136- objętościowa 93- ukryta 93- widzialna 93

Chamseddine, A. H. 120chaos dynamiczny 146COBE 137-138Coleman, Sidney 82Connes, Alain 119-120, 131,133czarne dziury 70-71, 93-94,106-108czas 16, 19, 51,54-55,74-75, 97,100,104,118,122,124, 126,131,134,136, 139, 144- kosmologiczny 38- Plancka 33

czasoprzestrzenna tuba 71-75,80



czasoprzestrzeń 23-25, 28-30, 49,55,87,109,118,120, 124, 126,130-133, 135czynnik skali 39derywacja 122Deser, S. 52

DeWitt, Bryce S. 52-54Dirac, Pauł 116długość Plancka patrz odległość Planckadoświadczenie Einsteina,Podolsky'ego l Rosena 121Eddington, Arthur S. 107Einstein, Albert 15-17, 19, 24, 37,43, 58,76elektrodynamika klasyczna 17Ellis, George 98entropia 100-111- czarnej dziury 106-108-własna 107-Wszechświata 107-109era (epoka) Plancka 20-21, 33-35,66-68, 121, 127, 135, 144Euklides 19, 39Fedler, G. 120Fisher, A. E. 52Fróhlich, J. 120funkcja falowa Wszechświata53-54

KOSMOLOGIA KWANTOWA • 151Galileusz (Galileo Galilei) 57Gamow, George 137geodetykl patrz linie geodezyjnegeometria- Lorentza (pseudoriemannowska)25- nieprzemlenna(niekomutatywna) 116-129,131,133,135- Rlemanna 25geometriodynamika Wheelera48-57gęstość - krytyczna 40-41

- materii 40-43- Plancka 33Gliozzi, Ferdinando 67Godeł, Kurt 84Green, Michael 67Greene, Brian 131Guth,Alan81, 138Hartle,Jim71-79Hawking, Stephen W. 70-79,81-83,98-100,106,126Helsenberg, Wemer 116heterotyczne teorie strun 87Hoflava, P. 92

horyzont 136-141- czarnej dziury 71, 106



Hume, David 124inflacja 81-83, 95, 136-141instanton 80-83KałuŜa, Theodor 87Kartezjusz (Renę Descartes) 118Kepler, Johannes 57

Khoury, Justine 92Klein, Oskar 87kolaps funkcji falowej 121kombinacja liniowa wektorów 27kompaktyfikacja przestrzeni 88,90kosmiczne promieniowanie tłapatrz promieniowanie tłakwantowanie kanoniczne 44-45kwantowe stwarzanie (kreacja)71-79,82,93,147Lambert, Dominik 120Lemaitre, Georges 144-145liczba Grassmanna patrzsuperllczbalinie geodezyjne (geodetykl) 29, 31liniowość 28Lott, J. 120Luccia, F. de 82Lukas, A. 92Madore, John 120maksymalny ideał 117, 121materia-cień (shadow motter) 68Maxwell. James Clerk 17, 57mechanika- klasyczna 17, 45-46, 48- kwantowa 16-20, 22-23, 25-28,30-32,44-48,72,111,116,119, 121,125,128membrana 90metoda-ADM52- Feynmana (całkowaniepo drogach) 72-73mikrofalowe promieniowanie dapatrz promieniowanie tłaMisner, C. W. 52model- de Sittera- ekpyrotyczny 91-97

- Hartle'ego-Hawkinga 71-79- inflacyjny 95 patrz równieŜ inflacjaModel Standardowy (cząstekelementarnych) 87, 120modele- Friedmana 37-40, 133- kosmologiczne 36-43monopole magnetyczne 140Moss, łan 81-82M-teorla 84-90, 129-130, 136Nambu, Yoishiro 67Newton, Izaak 16-20, 57

nieliniowość 112obserwable 30-32



oddziaływania fizyczne 57-69odległość Plancka 34, 68

152 • KOSMOLOGIA KWANTOWAOdrzygóźdź, Zdzisław 120

ogólna teoria względności 16,18-20,22-25, 44, 48, 50,53,57, 87,97, 111, 116, 119, 121,125,128, 130Olive, Davld 67operator 30, 46-48, 53osobliwość 74, 83, 94, 98, 113,125-128, 133-134-końcowa 39, 55, 105, 108-112,125,133- krzywiznowa 109- początkowa 33, 39, 55, 94,109-113, 125,133Ovrut, Burt A. 92Penrose, Roger 70, 98-101,107-109, 111-114,126Penzias, Amo 137pęd 45-48, 53, 101, 119Pianek, Max 16, 18połoŜenie 45-48, 53, 101, 119pomiar 46-47, 112prawdopodobieństwo 123prędkość światła 34promieniowanie tła 81, 83, 95,107-108,137-138,143próg Plancka 145przestrzeń 16, 19, 39, 51, 55, 75,82,97,117-118, 122,131-134,136,139-140-fazowa 45, 101, 104, 109- Hllberta 25-28, 45-48, 53, 85- otwarta 39- płaska 39- stanów 25, 45, 53- wektorowa (liniowa) 26- zamknięta 39przyczynowość 124-125Ptolemeusz, Klaudiusz 20Randall, L. 92redukcja

- funkcji falowej 112- wymiarowa 67-68relacje nieoznaczonościHelsenberga 46, 119Rlemann, Bernard 24rozmaitość - gładka 132- Calablego-Yau 88równanie- Friedmana 38- na wartości własne 31- nieliniowe 29, 112- pola grawitacyjnego (równanie

Einsteina) 29, 36, 112-Schrodingera 112, 123-124



- Wheelera-DeWitta 53-54równania Maxwella 88Rubbia, Carlo 59Ruybakoy, V. A. 92Salam, Abdus 58-59Sasin, Wiesław 120

Schrodinger, Erwin 116, 123Schwarz, John 67Shaposhnlkov, M. R. 92Smolln, Lee 144-145stalą - Boltzmanna 107- grawitacji (Newtonowska) 34- Hubble'a 41- kosmologiczna 38, 40, 43- Plancka 18-19, 34, 119stan 25, 45, 72-74, 135-makroskopowy 101, 106-mikroskopowy 101, 106- równowagi 102-105-Wszechświata 49-50, 54, 79-81,108,127standardowy model kosmologiczny20, 94-95Steinhardt, Pauł 92, 95struny 85-87, 90, 130strzałka czasu 100-101, 111,113Sundrum, R. 92supergrawitacja 64-66, 86, 88superliczba (liczba Grassmanna)64superprzestrzeń 50-51, 53superstruny 66-69, 85-90, 132,135supersymetria 64, 86superuniflkacja 59-60, 64-69Susskind, Leonard 131symetrie 60-63

INDEKS • 153śmierć cieplna Wszechświata 100tensor-Rlcdego 109-111- Rlemanna (krzywizny) 109

- Weyla 109-111teoria- grawitacji 16 patrz równieŜ ogólna teoria względności- kwantowa 10-superstrun91, 129-130, 136patrz równieŜ superstrunytermodynamika 17transformacja Wieka 74-75Turok, Nell 83, 92twierdzenie Hawklnga-Penrose'a99unifikacja oddziaływań 57-69

Wałdram, D. 92wartość własna operatora 47



warunki- brzegowe 42, 76-78- początkowe 76-78, 82-83, 96,138, 140-141Weinberg, Steven 42, 58-59,146

Wheeler, John Archibald 49-53Wielki Wybuch 33, 59, 91, 94, 96,105, 137Wilson, Robert 137Witten, Edward 67, 92, 131współrzędne 24zasada nieoznaczonościHelsenberga patrz relacjenieoznaczoności Heisenbergazdarzenie 24zero-brana 97, 129-132 patrzrównieŜ branaziarnista struktura przestrzenifazowej 103

BR1AN GREENEPIĘKNO WSZECHŚWIATASUPERSTRUNY, UKRYTE WYMIARYPOSZUKIWANIE TEORII OSTATECZNEJW tej znakomicie napisanej ksiąŜce Brian Greene, profesor Uniwersytetu Colum-bia w Nowym Jorku, jeden z wiodących teoretyków strun, przedstawia niezwykłą wizję: wszelkie zdarzenia we Wszechświecie mają źródło w drgających maleńkichpętlach energii. Pokazuje teŜ, Ŝe w próbach posłuŜenia się teorią strun doznale-zienia odpowiedzi na najistotniejsze pytania wszech czasów fizycy wykorzystu-ją takie rewolucyjne koncepcje, jak nowe wymiary ukryte w strukturze przestrze-ni, czarne dziury przekształcające się w cząstki elementarne, rozdarciakontinuumczasoprzestrzennego czy nieskończona sieć wszechświatów. Piękno Wszechświa-ta kompetentnie i z wdziękiem wprowadza nas w te odkrycia i nie wyjaśnionejeszcze tajemnice, przedstawiając uniesienia i frustracje tych, którzynieustępli-wie badają ostateczną naturę przestrzeni, czasu i materii.

ALAN H. GUTHWSZECHŚWIAT INFLACYJNYW POSZUKIWANIU NOWEJ TEORIIPOCHODZENIA KOSMOSUAlan Guth, profesor fizyki w słynnym Massachusetts Institute of Technology, jesttwórcą jednej z najwaŜniejszych teorii kosmologii współczesnej: teorii Wszech-świata inflacyjnego. Opisuje ona pierwsze momenty istnienia kosmosu po Wiel-kim Wybuchu i tłumaczy, dlaczego dziś Wszechświat wygląda tak a nie inaczej.W tej ksiąŜce Guth pokazuje, Ŝe jest nie tylko wybitnym teoretykiem, lecz takŜedoskonałym popularyzatorem nauki. Z talentem, w przystępny sposób szkicujeteorię Wielkiego Wybuchu i opisuje najnowsze odkrycia kosmologii obserwacyj-nej, nie stroniąc od takich tematów, jak tunele czasoprzestrzenne, stwarzanieczarnych dziur w laboratorium czy samopowielające się wszechświaty. Wszech-

świat inflacyjny to literatura popularnonaukowa najwyŜszej próby.



MARTIN REESPRZED POCZĄ TKIEMNASZ WSZECHŚWIAT

l INNE WSZECHŚWIATYMartin Rees, wybitny astrofizyk angielski, profesor Uniwersytetu w Cambridgei Astronom Królewski, wprowadza nas w tej ksiąŜce w niezwykły świat strun ko-smicznych, parujących czarnych dziur, wielowymiarowych przestrzeni, pianyczasoprzestrzennej, kosmosów połączonych tunelami i wszechświatów konkuru-jących ze sobą na drodze doboru naturalnego. W ten sposób na naszych oczachkształtuje się nowy, zaskakujący wizerunek kosmologii współczesnej - nauki, któ-ra powstała, by opisać i zrozumieć Wszechświat, w którym Ŝyjemy.

1GOR NOWIKOWRZEKA CZASUCZARNE DZIURY, BIAŁE DZIURYl PODRÓE W CZASIE"CzymŜe więc jest czas? jeśli nikt mnie nie pyta, wiem. jeśli pytającemu usiłuję wytłumaczyć, nie wiem" - pisał ponad 1500 lat temu św. Augustyn. Czy dzisiajwie-my więcej o naturze czasu? Czy współczesna fizyka pozwala - przynajmniej teo-retycznie - planować podróŜe w czasie? W jaki sposób mogą być w tym pomoc-ne czarne i białe dziury, łączące odległe części Wszechświata, a moŜe nawet...róŜne wszechświaty? W swej ostatniej ksiąŜce zagadki czasu zgłębia wybitnyastrofizyk, Igor Nowikow, autor bestsellera Czarne dziury i Wszechświat, którysześć lat temu ukazał się równieŜ w serii "Na ścieŜkach nauki".

NA ŚCIEKACHNAUKIDotychczas w serii ukazały się:w 1995 roku1. Igor Nowikow: Czarne dziury i Wszechświat2. Marcin Ryszkiewicz: Ziemia i Ŝycie. RozwaŜania o ewolucjii ekologii3. Roger Highfieid, Pauł Carter: Prywatne Ŝycie Alberta Einsteina4. Frank Drakę, Dava Sobel: Czy jest tam kto? Nauka w poszukiwaniucywilizacji pozaziemskich5. James D. Watson: Podwójna helisa. Historia odkrycia struktury DNA

6. Michio Kaku: Hiperprzestrzeń. Naukowa podróŜ przezwszechświaty równoległe, pętle czasowe i dziesiąty wymiar7. Jane Goodal l: Przez dziurkę od klucza. 30 lat obserwacjiszympansów nad potokiem Combe8. Jerzy Sikorski: Prywatne Ŝycie Mikołaja Kopernika9. Peter Warci: Kres ewolucji. Dinozaury, wielkie wymieraniai bioróŜnorodność 10. George Gamow: Pan Tompkins w Krainie Czaróww 1996 roku11. Leon Lederman, Dick Teresi: Boska Cząstka. Jeśli Wszechświatjest odpowiedzią, jak brzmi pytanie?12. Stanisław M. Ułam: Przygody matematyka13. Richard Dawkins: Samolubny gen

14. John D. Barrow: JT razy drzwi. Szkice o liczeniu, myśleniui istnieniu



15. Harry Y. McSween, Jr.: Od gwiezdnego pyłu do planet.Geologiczna podróŜ przez Układ Słoneczny16. jay Ingram: Płonący dom. Odkrywając tajemnice mózgu17. Lawrence M. Krauss: Fizyka podróŜy międzygwiezdnych18. CarI Sagan: Błękitna kropka. Człowiek i jego przyszłość w kosmosie

w 1997 roku19. Krzysztof Ciesielski, Zdzisław Pogoda: Diamenty matematyki20. Rudolf Kippenhahn: Na tropie tajemnic Słońca21. Ken Croswell: Alchemia nieba. Opowieść o Drodze Mlecznej,gwiazdach i astronomach22. Francis Crick: Zdumiewająca Hipoteza, czyli naukaw poszukiwaniu duszy23. Robert Zubrin, Richard Wagner: Czas Marsa. Dlaczego i w jakisposób musimy skolonizować Czerwoną Planetę 24. Peter Coveney, Richard Highfieid: Granice złoŜoności.Poszukiwania porządku w chaotycznym świecie25. Roger Penrose: Makroświat, mikroświat i ludzki umysł26. Susan Quinn: ycie Marii Curiew 1998 roku27. James Shreeve: Zagadka neandertalczyka. W poszukiwaniurodowodu współczesnego człowieka26. Donald Goidsmith: Największa pomyłka Einsteina?Stała kosmologiczna i inne niewiadome w fizyce Wszechświata29. Frank E. Manuel: Portret Izaaka Newtona30. j. D. Macdougall: Krótka historia Ziemi. Córy, ssaki, ogień i lód31. Amir D. Aczel: Wielkie twierdzenie Fermata. Rozwiązanie zagadkistarego matematycznego problemu32. Igor Nowikow: Rzeka czasu. Czarne dziury, białe dziury i podróŜew czasie33. Michael White, John Gribbin: Darwin. ywot uczonego34. James Reston: Galileusz35. Andrzej Buller: Sztuczny mózg. To juŜ nie fantazje36. Richard Dawkins: Wspinaczka na szczyt nieprawdopodobieństwa37. Peretz Lavie: Czarowny świat snu38. Mariusz Biedrzycki: Genetyka kultury

w 1999 roku39. Gerard Miłburn: InŜynieria kwantowa40. Rób DeSalle, David Lindley: Jak zbudować dinozaura,czyli nauka w Jurassic Park41. Martin Rees: Przed początkiem. Nasz Wszechświat i innewszechświaty