N = {1, 2, , ...}〈n〉 = {j ∈ N : j ≤ n}
1 MacierzeNiech F oznacza ciało, wówczas definiujemy
F1 = {{a} : a ∈ F}
∀n∈N\{1} Fn = {u = (u1, ..., un) : ∀j∈〈n〉 uj ∈ F} .
1.1 Definicja macierzy (dwuwymiarowej)Niech ∀j∈〈n〉 cj ∈ Fm. Macierzą (dwuwymiarową) typu (m,n) (inaczej
rozmiaru m× n) nad ciałem F nazywamy n-tkę uporządkowaną
A = (c1, ..., cn) ∈ (Fm)n . (1)
Zbiór wszystkich macierzy typu (m,n) nad ciałem F, to jest (Fm)n, oznaczamyzwykle przez Fm,n.
Dowolną macierz A = (c1, ..., cn) ∈ Fm,n, gdzie dla każdego k ∈ 〈n〉 ck =(a1k, ..., amk) ∈ Fm możemy zapisać w postaci
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...
.... . .
...am1 am2 · · · amn
, (2)
k-ta współrzędna ck nazywana jest k-tą kolumną macierzyA, zaś n-tka uporząd-kowana rj = (aj1, ..., ajn) ∈ Fn j-tym wierszem macierzy A.
1.2 Transpozycja macierzyDla każdej macierzy A ∈ Fm,n oraz dla każdego j ∈ 〈m〉 niech rj oznacza j-
ty wiersz macierzy A. Transpozycja macierzy typu (m,n) to przekształcenie
τ : Fm,n 3 A 7→ AT = (r1, ..., rn) ∈ Fn,m (3)
AT nazywa się wówczas macierzą transponowaną macierzy A.
1.3 Macierz kwadratowaMacierzą kwadratową stopnia n nc. F nazywamy dwolną macierz typu (n, n)
A = (c1, ..., cn) =
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...
.... . .
...an1 an2 · · · ann
∈ Fn,n , (4)
1
gdzie dla każdego k ∈ 〈n〉 ck = (a1k, ..., ank) ∈ Fm. Macierzą jednostkowąstopnia n nc. F nazywamy macierz
In = (e1, ..., en) =
1F 0F · · · 0F0F 1F · · · 0F...
.... . .
...0F 0F · · · 1F
(5)
1.4 Wyznacznik macierzy kwadratowej stopnia n
Wyznacznikiem macierzy kwadratowej stopnia n nazywamy jedyne przeksz-tałcenie
detn : Fn,n 3 A = (c1, ..., cn) 7→ detn(A) ∈ F (6)
o następujących własnościach:
• detn jest przekształceniem n-liniowym,
• detn(In) = 1F,
• ∀A=(c1,...,cn)∈Fn,n (∃j 6=k∈〈n〉 cj = ck ⇒ detn(A) = 0F).
Często, jeśli tylko nie wprowadza to nieporozumień, litera n przy symbolu detjest pomijana.
2
Top Related