Impresje algebraiczne na temat kwantowej teorii informacji
Katarzyna Rejzner
Kraków, 06.06.2011
II. Institute for Theoretical Physics, Hamburg University
1 / 27Impresje algebraiczne
N
Szkic
1 Wprowadzenie
2 Podstawy
3 Splatanie
2 / 27Impresje algebraiczne
N
1 Wprowadzenie
2 Podstawy
3 Splatanie
3 / 27Impresje algebraiczne
N
Wprowadzenie
Czym jest AQFT?
ogólny formalizm opisujacy kwantowateorie pola i fizyke statystyczna,
matematyczne ramy pozwalajacesformułowac precyzyjnie twierdzenia wkwantowej teorii pola,
narzedzie do głebszego zrozumieniafizycznych zjawisk,
sprytny sposób na uproszczenianiektórych rachunków,
droga do poszukiwania nowych zjawiskpoprzez lepsze zrozumieniefundamentalnej struktury,
pomost pomiedzy matematyka a fizyka.
4 / 27Impresje algebraiczne
N
Wprowadzenie
Czym jest AQFT?
ogólny formalizm opisujacy kwantowateorie pola i fizyke statystyczna,
matematyczne ramy pozwalajacesformułowac precyzyjnie twierdzenia wkwantowej teorii pola,
narzedzie do głebszego zrozumieniafizycznych zjawisk,
sprytny sposób na uproszczenianiektórych rachunków,
droga do poszukiwania nowych zjawiskpoprzez lepsze zrozumieniefundamentalnej struktury,
pomost pomiedzy matematyka a fizyka.
4 / 27Impresje algebraiczne
N
Wprowadzenie
Czym jest AQFT?
ogólny formalizm opisujacy kwantowateorie pola i fizyke statystyczna,
matematyczne ramy pozwalajacesformułowac precyzyjnie twierdzenia wkwantowej teorii pola,
narzedzie do głebszego zrozumieniafizycznych zjawisk,
sprytny sposób na uproszczenianiektórych rachunków,
droga do poszukiwania nowych zjawiskpoprzez lepsze zrozumieniefundamentalnej struktury,
pomost pomiedzy matematyka a fizyka.
4 / 27Impresje algebraiczne
N
Wprowadzenie
Czym jest AQFT?
ogólny formalizm opisujacy kwantowateorie pola i fizyke statystyczna,
matematyczne ramy pozwalajacesformułowac precyzyjnie twierdzenia wkwantowej teorii pola,
narzedzie do głebszego zrozumieniafizycznych zjawisk,
sprytny sposób na uproszczenianiektórych rachunków,
droga do poszukiwania nowych zjawiskpoprzez lepsze zrozumieniefundamentalnej struktury,
pomost pomiedzy matematyka a fizyka.
4 / 27Impresje algebraiczne
N
Wprowadzenie
Czym jest AQFT?
ogólny formalizm opisujacy kwantowateorie pola i fizyke statystyczna,
matematyczne ramy pozwalajacesformułowac precyzyjnie twierdzenia wkwantowej teorii pola,
narzedzie do głebszego zrozumieniafizycznych zjawisk,
sprytny sposób na uproszczenianiektórych rachunków,
droga do poszukiwania nowych zjawiskpoprzez lepsze zrozumieniefundamentalnej struktury,
pomost pomiedzy matematyka a fizyka.
4 / 27Impresje algebraiczne
N
Wprowadzenie
Czym jest AQFT?
ogólny formalizm opisujacy kwantowateorie pola i fizyke statystyczna,
matematyczne ramy pozwalajacesformułowac precyzyjnie twierdzenia wkwantowej teorii pola,
narzedzie do głebszego zrozumieniafizycznych zjawisk,
sprytny sposób na uproszczenianiektórych rachunków,
droga do poszukiwania nowych zjawiskpoprzez lepsze zrozumieniefundamentalnej struktury,
pomost pomiedzy matematyka a fizyka.
4 / 27Impresje algebraiczne
N
Wprowadzenie
Czym jest AQFT?
AQFT
KWANTOWA
FIZYKA
STATYSTY-CZNA
stany KMS
KON-STRUOWANIE
MODELIkonforemnateoria pola
w 2D
Deformacje
QFT NA
PRZESTRZENI-ACH NIEKO-
MUTATY-WNYCH
PERTUR-BACYJNA
AQFT
Renor-malizacja
QFT na za-krzywionej
czaso-przestrzeni
ALGE-BRAICZNA
KWANTOWA
TEORIA
INFORMACJI
KWANTOWA
TEORIA
INFORMACJI
QFT, FIZYKACZASTEK
KOSMOLOGIA
NIEKOMUTATYWNAGEOMETRIA
KONSTRUK-TYWNA QFT
Wprowadzenie
Odpowiemy na pytania:
Czym jest splatanie w kwantowej teorii pola?
Czy daje sie ono pogodzic z przyczynowoscia?Czy pusta przestrzen moze byc splatana?
6 / 27Impresje algebraiczne
N
Wprowadzenie
Odpowiemy na pytania:
Czym jest splatanie w kwantowej teorii pola?Czy daje sie ono pogodzic z przyczynowoscia?
Czy pusta przestrzen moze byc splatana?
6 / 27Impresje algebraiczne
N
Wprowadzenie
Odpowiemy na pytania:
Czym jest splatanie w kwantowej teorii pola?Czy daje sie ono pogodzic z przyczynowoscia?
Czy pusta przestrzen moze byc splatana?
6 / 27Impresje algebraiczne
N
Wprowadzenie
Odpowiemy na pytania:
Czym jest splatanie w kwantowej teorii pola?Czy daje sie ono pogodzic z przyczynowoscia?
Czy pusta przestrzen moze byc splatana?
6 / 27Impresje algebraiczne
N
Wprowadzenie
Ten referat oparty jest na:
S. J. Summers, R. Werner, The vacuum violatesBell’s inequalities, Phys. Lett. 110A (1985)257-259.
S. J. Summers, R. Werner, Bell’s inequalities andquantum field theory. I, II., J. Math. Phys 28(1987), 2440-2456.
S. J. Summers, Bell’s inequalities and algebraicstructure, in Operator Algebras and QuantumField Theory, edited by S. Doplicher, R. Longo,J. E. Roberts, and L. Zsido (International,Cambridge, MA, 1997).
K. Fredenhagen, Quantum information theory,notatki z wykładu dostepne na stronieinternetowej (w jezyku niemieckim).
. . . inspirowanyobrazamiimpresjonistów
7 / 27Impresje algebraiczne
N
Wprowadzenie
Ten referat oparty jest na:
S. J. Summers, R. Werner, The vacuum violatesBell’s inequalities, Phys. Lett. 110A (1985)257-259.
S. J. Summers, R. Werner, Bell’s inequalities andquantum field theory. I, II., J. Math. Phys 28(1987), 2440-2456.
S. J. Summers, Bell’s inequalities and algebraicstructure, in Operator Algebras and QuantumField Theory, edited by S. Doplicher, R. Longo,J. E. Roberts, and L. Zsido (International,Cambridge, MA, 1997).
K. Fredenhagen, Quantum information theory,notatki z wykładu dostepne na stronieinternetowej (w jezyku niemieckim).
. . . inspirowanyobrazamiimpresjonistów
7 / 27Impresje algebraiczne
N
Wprowadzenie
Ten referat oparty jest na:
S. J. Summers, R. Werner, The vacuum violatesBell’s inequalities, Phys. Lett. 110A (1985)257-259.
S. J. Summers, R. Werner, Bell’s inequalities andquantum field theory. I, II., J. Math. Phys 28(1987), 2440-2456.
S. J. Summers, Bell’s inequalities and algebraicstructure, in Operator Algebras and QuantumField Theory, edited by S. Doplicher, R. Longo,J. E. Roberts, and L. Zsido (International,Cambridge, MA, 1997).
K. Fredenhagen, Quantum information theory,notatki z wykładu dostepne na stronieinternetowej (w jezyku niemieckim).
. . . inspirowanyobrazamiimpresjonistów
7 / 27Impresje algebraiczne
N
Wprowadzenie
Ten referat oparty jest na:
S. J. Summers, R. Werner, The vacuum violatesBell’s inequalities, Phys. Lett. 110A (1985)257-259.
S. J. Summers, R. Werner, Bell’s inequalities andquantum field theory. I, II., J. Math. Phys 28(1987), 2440-2456.
S. J. Summers, Bell’s inequalities and algebraicstructure, in Operator Algebras and QuantumField Theory, edited by S. Doplicher, R. Longo,J. E. Roberts, and L. Zsido (International,Cambridge, MA, 1997).
K. Fredenhagen, Quantum information theory,notatki z wykładu dostepne na stronieinternetowej (w jezyku niemieckim).
. . . inspirowanyobrazamiimpresjonistów
7 / 27Impresje algebraiczne
N
Wprowadzenie
Ten referat oparty jest na:
S. J. Summers, R. Werner, The vacuum violatesBell’s inequalities, Phys. Lett. 110A (1985)257-259.
S. J. Summers, R. Werner, Bell’s inequalities andquantum field theory. I, II., J. Math. Phys 28(1987), 2440-2456.
S. J. Summers, Bell’s inequalities and algebraicstructure, in Operator Algebras and QuantumField Theory, edited by S. Doplicher, R. Longo,J. E. Roberts, and L. Zsido (International,Cambridge, MA, 1997).
K. Fredenhagen, Quantum information theory,notatki z wykładu dostepne na stronieinternetowej (w jezyku niemieckim).
. . . inspirowanyobrazamiimpresjonistów
7 / 27Impresje algebraiczne
N
1 Wprowadzenie
2 Podstawy
3 Splatanie
8 / 27Impresje algebraiczne
N
Podstawy
Sformułowanie algebraicznePrzyporzadkowujemy algebry podzbiorom O ⊂ M czasoprzestrzeniMinkowskiego, w taki sposób, ze:
A(O) odpowiada algebrze obserwabli, jakie mozna zmierzyc w O,
A(O) jest C∗-algebra z jedynka (np.: algebra macierzy Mn(C),ograniczone operatory na przestrzeni Hilberta),
spełniony jest warunek izotonii, czyli: O1 ⊂ O2 ⇒ A(O1) ⊂ A(O2).
Typowy przykład obszaru O to tzw. "stozek podwójny".
OO′ O
′′M
9 / 27Impresje algebraiczne
N
Podstawy
Sformułowanie algebraicznePrzyporzadkowujemy algebry podzbiorom O ⊂ M czasoprzestrzeniMinkowskiego, w taki sposób, ze:
A(O) odpowiada algebrze obserwabli, jakie mozna zmierzyc w O,
A(O) jest C∗-algebra z jedynka (np.: algebra macierzy Mn(C),ograniczone operatory na przestrzeni Hilberta),
spełniony jest warunek izotonii, czyli: O1 ⊂ O2 ⇒ A(O1) ⊂ A(O2).
Typowy przykład obszaru O to tzw. "stozek podwójny".
O1
A(O1)
OO′ O
′′M
9 / 27Impresje algebraiczne
N
Podstawy
Sformułowanie algebraicznePrzyporzadkowujemy algebry podzbiorom O ⊂ M czasoprzestrzeniMinkowskiego, w taki sposób, ze:
A(O) odpowiada algebrze obserwabli, jakie mozna zmierzyc w O,
A(O) jest C∗-algebra z jedynka (np.: algebra macierzy Mn(C),ograniczone operatory na przestrzeni Hilberta),
spełniony jest warunek izotonii, czyli: O1 ⊂ O2 ⇒ A(O1) ⊂ A(O2).
Typowy przykład obszaru O to tzw. "stozek podwójny".
A(O2)
O2 O1
A(O1)⊃
⊃OO′ O
′′M
9 / 27Impresje algebraiczne
N
Podstawy
Sformułowanie algebraicznePrzyporzadkowujemy algebry podzbiorom O ⊂ M czasoprzestrzeniMinkowskiego, w taki sposób, ze:
A(O) odpowiada algebrze obserwabli, jakie mozna zmierzyc w O,
A(O) jest C∗-algebra z jedynka (np.: algebra macierzy Mn(C),ograniczone operatory na przestrzeni Hilberta),
spełniony jest warunek izotonii, czyli: O1 ⊂ O2 ⇒ A(O1) ⊂ A(O2).
Typowy przykład obszaru O to tzw. "stozek podwójny".
A(O2)
O2 O1
A(O1)⊃
⊃OO′ O
′′M
9 / 27Impresje algebraiczne
N
Podstawy
Aksjomaty Haaga-KastleraPrzyporzadkowujemy algebry podzbiorom O ⊂ M czasoprzestrzeniMinkowskiego, w taki sposób, ze:
Przyczynowosc (lokalnosc): algebry przyporzadkowane przestrzennierozdzielonym regionom komutuja:O1 przestrzennie oddzielony od O2, to [A,B] = 0, ∀A ∈ A(O1),B ∈ A(O2)
Kowariantnosc: istnieje rodzina izomorfizmów αOL : A(O)→ A(LO)(gdzie L jest transformacja Poincaré) takich, ze dla O1 ⊂ O2zawezenie αO2
L do A(O1) jest równe αO1L oraz αLO
L′ αOL = αOL′L,
"Time slice axiom": algebra stowarzyszona z otoczeniempowierzchni Cauchy’ego w danym regionie jest izomorficzna z pełnaalgebra dla tego regionu.
Warunek spektralny (stabilnosc): dodatniosc energii (szczegóły wdalszej czesci referatu. . . )
10 / 27Impresje algebraiczne
N
Podstawy
Aksjomaty Haaga-KastleraPrzyporzadkowujemy algebry podzbiorom O ⊂ M czasoprzestrzeniMinkowskiego, w taki sposób, ze:
Przyczynowosc (lokalnosc): algebry przyporzadkowane przestrzennierozdzielonym regionom komutuja:O1 przestrzennie oddzielony od O2, to [A,B] = 0, ∀A ∈ A(O1),B ∈ A(O2)
Kowariantnosc: istnieje rodzina izomorfizmów αOL : A(O)→ A(LO)(gdzie L jest transformacja Poincaré) takich, ze dla O1 ⊂ O2zawezenie αO2
L do A(O1) jest równe αO1L oraz αLO
L′ αOL = αOL′L,
"Time slice axiom": algebra stowarzyszona z otoczeniempowierzchni Cauchy’ego w danym regionie jest izomorficzna z pełnaalgebra dla tego regionu.
Warunek spektralny (stabilnosc): dodatniosc energii (szczegóły wdalszej czesci referatu. . . )
10 / 27Impresje algebraiczne
N
Podstawy
Aksjomaty Haaga-KastleraPrzyporzadkowujemy algebry podzbiorom O ⊂ M czasoprzestrzeniMinkowskiego, w taki sposób, ze:
Przyczynowosc (lokalnosc): algebry przyporzadkowane przestrzennierozdzielonym regionom komutuja:O1 przestrzennie oddzielony od O2, to [A,B] = 0, ∀A ∈ A(O1),B ∈ A(O2)
Kowariantnosc: istnieje rodzina izomorfizmów αOL : A(O)→ A(LO)(gdzie L jest transformacja Poincaré) takich, ze dla O1 ⊂ O2zawezenie αO2
L do A(O1) jest równe αO1L oraz αLO
L′ αOL = αOL′L,
"Time slice axiom": algebra stowarzyszona z otoczeniempowierzchni Cauchy’ego w danym regionie jest izomorficzna z pełnaalgebra dla tego regionu.
Warunek spektralny (stabilnosc): dodatniosc energii (szczegóły wdalszej czesci referatu. . . )
10 / 27Impresje algebraiczne
N
Podstawy
Aksjomaty Haaga-KastleraPrzyporzadkowujemy algebry podzbiorom O ⊂ M czasoprzestrzeniMinkowskiego, w taki sposób, ze:
Przyczynowosc (lokalnosc): algebry przyporzadkowane przestrzennierozdzielonym regionom komutuja:O1 przestrzennie oddzielony od O2, to [A,B] = 0, ∀A ∈ A(O1),B ∈ A(O2)
Kowariantnosc: istnieje rodzina izomorfizmów αOL : A(O)→ A(LO)(gdzie L jest transformacja Poincaré) takich, ze dla O1 ⊂ O2zawezenie αO2
L do A(O1) jest równe αO1L oraz αLO
L′ αOL = αOL′L,
"Time slice axiom": algebra stowarzyszona z otoczeniempowierzchni Cauchy’ego w danym regionie jest izomorficzna z pełnaalgebra dla tego regionu.
Warunek spektralny (stabilnosc): dodatniosc energii (szczegóły wdalszej czesci referatu. . . )
10 / 27Impresje algebraiczne
N
Podstawy
Algebry C∗
DefinicjaInwolucja nazywamy odwzorowanie A 3 A 7→ A∗ ∈ A, t.z.:
A∗∗ = A, (AB)∗ = B∗A∗
(αA + βB)∗ = αA∗ + βB∗
DefinicjaZespolona, unormowana algebre A z inwolucja nazywamyC∗-algebra, jezeli:
Norma spełnia warunki:
||AB|| ≤ ||A|| · ||B||||A∗|| = ||A||, ||A∗A|| = ||A||2
A jest zupełna wzgledem normy ||.||.
11 / 27Impresje algebraiczne
N
Podstawy
Algebry C∗
DefinicjaInwolucja nazywamy odwzorowanie A 3 A 7→ A∗ ∈ A, t.z.:
A∗∗ = A, (AB)∗ = B∗A∗
(αA + βB)∗ = αA∗ + βB∗
DefinicjaZespolona, unormowana algebre A z inwolucja nazywamyC∗-algebra, jezeli:
Norma spełnia warunki:
||AB|| ≤ ||A|| · ||B||||A∗|| = ||A||, ||A∗A|| = ||A||2
A jest zupełna wzgledem normy ||.||.
11 / 27Impresje algebraiczne
N
Podstawy
Algebry C∗
DefinicjaInwolucja nazywamy odwzorowanie A 3 A 7→ A∗ ∈ A, t.z.:
A∗∗ = A, (AB)∗ = B∗A∗
(αA + βB)∗ = αA∗ + βB∗
DefinicjaZespolona, unormowana algebre A z inwolucja nazywamyC∗-algebra, jezeli:
Norma spełnia warunki:
||AB|| ≤ ||A|| · ||B||||A∗|| = ||A||, ||A∗A|| = ||A||2
A jest zupełna wzgledem normy ||.||.
11 / 27Impresje algebraiczne
N
Podstawy
Algebry C∗
DefinicjaInwolucja nazywamy odwzorowanie A 3 A 7→ A∗ ∈ A, t.z.:
A∗∗ = A, (AB)∗ = B∗A∗
(αA + βB)∗ = αA∗ + βB∗
DefinicjaZespolona, unormowana algebre A z inwolucja nazywamyC∗-algebra, jezeli:
Norma spełnia warunki:
||AB|| ≤ ||A|| · ||B||||A∗|| = ||A||, ||A∗A|| = ||A||2
A jest zupełna wzgledem normy ||.||.
11 / 27Impresje algebraiczne
N
Podstawy
Algebry C∗
DefinicjaInwolucja nazywamy odwzorowanie A 3 A 7→ A∗ ∈ A, t.z.:
A∗∗ = A, (AB)∗ = B∗A∗
(αA + βB)∗ = αA∗ + βB∗
DefinicjaZespolona, unormowana algebre A z inwolucja nazywamyC∗-algebra, jezeli:
Norma spełnia warunki:
||AB|| ≤ ||A|| · ||B||||A∗|| = ||A||, ||A∗A|| = ||A||2
A jest zupełna wzgledem normy ||.||.
11 / 27Impresje algebraiczne
N
Podstawy
Algebry C∗
DefinicjaInwolucja nazywamy odwzorowanie A 3 A 7→ A∗ ∈ A, t.z.:
A∗∗ = A, (AB)∗ = B∗A∗
(αA + βB)∗ = αA∗ + βB∗
DefinicjaZespolona, unormowana algebre A z inwolucja nazywamyC∗-algebra, jezeli:
Norma spełnia warunki:
||AB|| ≤ ||A|| · ||B||
||A∗|| = ||A||, ||A∗A|| = ||A||2
A jest zupełna wzgledem normy ||.||.
11 / 27Impresje algebraiczne
N
Podstawy
Algebry C∗
DefinicjaInwolucja nazywamy odwzorowanie A 3 A 7→ A∗ ∈ A, t.z.:
A∗∗ = A, (AB)∗ = B∗A∗
(αA + βB)∗ = αA∗ + βB∗
DefinicjaZespolona, unormowana algebre A z inwolucja nazywamyC∗-algebra, jezeli:
Norma spełnia warunki:
||AB|| ≤ ||A|| · ||B||||A∗|| = ||A||, ||A∗A|| = ||A||2
A jest zupełna wzgledem normy ||.||.
11 / 27Impresje algebraiczne
N
Podstawy
Algebry C∗
DefinicjaInwolucja nazywamy odwzorowanie A 3 A 7→ A∗ ∈ A, t.z.:
A∗∗ = A, (AB)∗ = B∗A∗
(αA + βB)∗ = αA∗ + βB∗
DefinicjaZespolona, unormowana algebre A z inwolucja nazywamyC∗-algebra, jezeli:
Norma spełnia warunki:
||AB|| ≤ ||A|| · ||B||||A∗|| = ||A||, ||A∗A|| = ||A||2
A jest zupełna wzgledem normy ||.||.11 / 27
Impresje algebraiczne
N
Podstawy
Czasoprzestrzen Minkowskiego
Czasoprzestrzen Minkowskiego: R4 zmetryka o sygnaturze: (+−−−)
Stozek przyszłosci V+:(x0)2 − (x1)2 − (x2)2 − (x3)2 ≥ 0,x0 > 0
Stozek podwójny (diament):przyczynowe dopełnienie sferyprzestrzennej.
Wprowadzenie do geometriiczasoprzestrzeni: A. Herdegen, Flatspacetime in a capsule.
12 / 27Impresje algebraiczne
N
Podstawy
Czasoprzestrzen Minkowskiego
Czasoprzestrzen Minkowskiego: R4 zmetryka o sygnaturze: (+−−−)
Stozek przyszłosci V+:(x0)2 − (x1)2 − (x2)2 − (x3)2 ≥ 0,x0 > 0
Stozek podwójny (diament):przyczynowe dopełnienie sferyprzestrzennej.
Wprowadzenie do geometriiczasoprzestrzeni: A. Herdegen, Flatspacetime in a capsule.
12 / 27Impresje algebraiczne
N
Podstawy
Czasoprzestrzen Minkowskiego
Czasoprzestrzen Minkowskiego: R4 zmetryka o sygnaturze: (+−−−)
Stozek przyszłosci V+:(x0)2 − (x1)2 − (x2)2 − (x3)2 ≥ 0,x0 > 0
Stozek podwójny (diament):przyczynowe dopełnienie sferyprzestrzennej.
Wprowadzenie do geometriiczasoprzestrzeni: A. Herdegen, Flatspacetime in a capsule.
12 / 27Impresje algebraiczne
N
Podstawy
Czasoprzestrzen Minkowskiego
Czasoprzestrzen Minkowskiego: R4 zmetryka o sygnaturze: (+−−−)
Stozek przyszłosci V+:(x0)2 − (x1)2 − (x2)2 − (x3)2 ≥ 0,x0 > 0
Stozek podwójny (diament):przyczynowe dopełnienie sferyprzestrzennej.
Wprowadzenie do geometriiczasoprzestrzeni: A. Herdegen, Flatspacetime in a capsule.
12 / 27Impresje algebraiczne
N
Podstawy
Stany
Stan odpowiada przygotowaniu układu do pomiaru. Zakładamy, zepomiar jest powtarzalny.
Majac dany układ w pewnym stanie, mozemy przyporzadkowac kazdejobserwabli A liczbe, bedaca wartoscia oczekiwana pomiaru A w danymstanie.
Rozkład prawdopodobienstwa dla danej obserwabli mozemyzrekonstruowac, znajac jego momenty, czyli wartosci oczekiwane A2,A3, . . .∈ A.
Bardziej abstrakcyjna definicja: stanem na algebrze A (C∗ z jedynka)nazywamy liniowy funkcjonał ω, taki ze: ω(1) = 1, ω(A∗A) ≥ 0,A ∈ A.
13 / 27Impresje algebraiczne
N
Podstawy
Stany
Stan odpowiada przygotowaniu układu do pomiaru. Zakładamy, zepomiar jest powtarzalny.
Majac dany układ w pewnym stanie, mozemy przyporzadkowac kazdejobserwabli A liczbe, bedaca wartoscia oczekiwana pomiaru A w danymstanie.
Rozkład prawdopodobienstwa dla danej obserwabli mozemyzrekonstruowac, znajac jego momenty, czyli wartosci oczekiwane A2,A3, . . .∈ A.
Bardziej abstrakcyjna definicja: stanem na algebrze A (C∗ z jedynka)nazywamy liniowy funkcjonał ω, taki ze: ω(1) = 1, ω(A∗A) ≥ 0,A ∈ A.
13 / 27Impresje algebraiczne
N
Podstawy
Stany
Stan odpowiada przygotowaniu układu do pomiaru. Zakładamy, zepomiar jest powtarzalny.
Majac dany układ w pewnym stanie, mozemy przyporzadkowac kazdejobserwabli A liczbe, bedaca wartoscia oczekiwana pomiaru A w danymstanie.
Rozkład prawdopodobienstwa dla danej obserwabli mozemyzrekonstruowac, znajac jego momenty, czyli wartosci oczekiwane A2,A3, . . .∈ A.
Bardziej abstrakcyjna definicja: stanem na algebrze A (C∗ z jedynka)nazywamy liniowy funkcjonał ω, taki ze: ω(1) = 1, ω(A∗A) ≥ 0,A ∈ A.
13 / 27Impresje algebraiczne
N
Podstawy
Stany
Stan odpowiada przygotowaniu układu do pomiaru. Zakładamy, zepomiar jest powtarzalny.
Majac dany układ w pewnym stanie, mozemy przyporzadkowac kazdejobserwabli A liczbe, bedaca wartoscia oczekiwana pomiaru A w danymstanie.
Rozkład prawdopodobienstwa dla danej obserwabli mozemyzrekonstruowac, znajac jego momenty, czyli wartosci oczekiwane A2,A3, . . .∈ A.
Bardziej abstrakcyjna definicja: stanem na algebrze A (C∗ z jedynka)nazywamy liniowy funkcjonał ω, taki ze: ω(1) = 1, ω(A∗A) ≥ 0,A ∈ A.
13 / 27Impresje algebraiczne
N
Podstawy
Reprezentacje algebr
Definicja
Reprezentacja π, C∗-algebry A na przestrzeni Hilberta H nazy-wamy homomorfizm π pomiedzy A i algebra ograniczonych op-eratorów naH, taki ze π(A∗) jest operatorem sprzezonym do π(A).Jezeli A posiada jedynke, wymagamy dodatkowo π(1) = 1H.
Znormalizowane wektory Φ przestrzeni HilbertaH definiuja stanyna A poprzez: ωΦ(A)
.= 〈Φ, π(A)Φ〉,
Zbiór stanów jest wypukły,
Inny stany mozemy skonstruowac przy uzyciu macierzy gestosci ρ(sladowe operatory naH, o sladzie 1). Odpowiadajacy jej stan to:ωρ(A) = trρA.
14 / 27Impresje algebraiczne
N
Podstawy
Reprezentacje algebr
Definicja
Reprezentacja π, C∗-algebry A na przestrzeni Hilberta H nazy-wamy homomorfizm π pomiedzy A i algebra ograniczonych op-eratorów naH, taki ze π(A∗) jest operatorem sprzezonym do π(A).Jezeli A posiada jedynke, wymagamy dodatkowo π(1) = 1H.
Znormalizowane wektory Φ przestrzeni HilbertaH definiuja stanyna A poprzez: ωΦ(A)
.= 〈Φ, π(A)Φ〉,
Zbiór stanów jest wypukły,
Inny stany mozemy skonstruowac przy uzyciu macierzy gestosci ρ(sladowe operatory naH, o sladzie 1). Odpowiadajacy jej stan to:ωρ(A) = trρA.
14 / 27Impresje algebraiczne
N
Podstawy
Reprezentacje algebr
Definicja
Reprezentacja π, C∗-algebry A na przestrzeni Hilberta H nazy-wamy homomorfizm π pomiedzy A i algebra ograniczonych op-eratorów naH, taki ze π(A∗) jest operatorem sprzezonym do π(A).Jezeli A posiada jedynke, wymagamy dodatkowo π(1) = 1H.
Znormalizowane wektory Φ przestrzeni HilbertaH definiuja stanyna A poprzez: ωΦ(A)
.= 〈Φ, π(A)Φ〉,
Zbiór stanów jest wypukły,
Inny stany mozemy skonstruowac przy uzyciu macierzy gestosci ρ(sladowe operatory naH, o sladzie 1). Odpowiadajacy jej stan to:ωρ(A) = trρA.
14 / 27Impresje algebraiczne
N
Podstawy
Reprezentacje algebr
Definicja
Reprezentacja π, C∗-algebry A na przestrzeni Hilberta H nazy-wamy homomorfizm π pomiedzy A i algebra ograniczonych op-eratorów naH, taki ze π(A∗) jest operatorem sprzezonym do π(A).Jezeli A posiada jedynke, wymagamy dodatkowo π(1) = 1H.
Znormalizowane wektory Φ przestrzeni HilbertaH definiuja stanyna A poprzez: ωΦ(A)
.= 〈Φ, π(A)Φ〉,
Zbiór stanów jest wypukły,
Inny stany mozemy skonstruowac przy uzyciu macierzy gestosci ρ(sladowe operatory naH, o sladzie 1). Odpowiadajacy jej stan to:ωρ(A) = trρA.
14 / 27Impresje algebraiczne
N
Podstawy
Reprezentacje algebr
Definicja
Reprezentacja π, C∗-algebry A na przestrzeni Hilberta H nazy-wamy homomorfizm π pomiedzy A i algebra ograniczonych op-eratorów naH, taki ze π(A∗) jest operatorem sprzezonym do π(A).Jezeli A posiada jedynke, wymagamy dodatkowo π(1) = 1H.
Znormalizowane wektory Φ przestrzeni HilbertaH definiuja stanyna A poprzez: ωΦ(A)
.= 〈Φ, π(A)Φ〉,
Zbiór stanów jest wypukły,
Inny stany mozemy skonstruowac przy uzyciu macierzy gestosci ρ(sladowe operatory naH, o sladzie 1). Odpowiadajacy jej stan to:ωρ(A) = trρA.
14 / 27Impresje algebraiczne
N
Podstawy
Representations of algebras
Twierdzenie (Gelfand, Naimark, Segal)
Niech ω bedzie stanem na C∗-algebrze A z jedynka, wtedy ist-nieje przestrzen Hilberta Hω, representacja πω A na Hω i znor-malizowany wektor Ωω ∈ Hω takie ze:
ω(A) = 〈Ωω, πω(A)Ωω〉
ponadto πω(A)Ωω jest gesta podprzestrzeniaHω.
Wniosek
Mozemy identyfikowac stany z reprezentacjami.
15 / 27Impresje algebraiczne
N
Podstawy
Representations of algebras
Twierdzenie (Gelfand, Naimark, Segal)
Niech ω bedzie stanem na C∗-algebrze A z jedynka, wtedy ist-nieje przestrzen Hilberta Hω, representacja πω A na Hω i znor-malizowany wektor Ωω ∈ Hω takie ze:
ω(A) = 〈Ωω, πω(A)Ωω〉
ponadto πω(A)Ωω jest gesta podprzestrzeniaHω.
Wniosek
Mozemy identyfikowac stany z reprezentacjami.
15 / 27Impresje algebraiczne
N
Podstawy
Spektrum
Mozliwe wyniki pomiarów obserwabli A tworza tzw. spektrum.Bardziej abstrakcyjna definicja:
Definicja
Spektrum obserwabli A ∈ A nazywamy zbiór λ ∈ C, takich zeelement A− λ1 nie jest odwracalny w A.
16 / 27Impresje algebraiczne
N
Podstawy
Spektrum
Mozliwe wyniki pomiarów obserwabli A tworza tzw. spektrum.Bardziej abstrakcyjna definicja:
Definicja
Spektrum obserwabli A ∈ A nazywamy zbiór λ ∈ C, takich zeelement A− λ1 nie jest odwracalny w A.
16 / 27Impresje algebraiczne
N
Podstawy
Dodatniosc energii
Mozemy wreszcie sprecyzowac co oznacza aksjomat stabilnosci(dodatniosc energii). Mówi on, ze:
Istnieje reprezentacja π algebry A naH kowariantna ze wzgledu natranslacje, czyli naH niesie dodatkowo silnie ciagła, unitarnareprezentacje grupy translacji.
Translacje implementowane sa jako: U(a)π(A)U(a)−1 = π(αa(A)) ,a ∈ R4, A ∈ A
Niech P oznacza generator translacji: eiaP = U(a), aP = aµPµ.Wspólne spektrum składowych P jest zawarte w stozku przyszłosci:σ(P) ⊂ V+.
17 / 27Impresje algebraiczne
N
Podstawy
Dodatniosc energii
Mozemy wreszcie sprecyzowac co oznacza aksjomat stabilnosci(dodatniosc energii). Mówi on, ze:
Istnieje reprezentacja π algebry A naH kowariantna ze wzgledu natranslacje, czyli naH niesie dodatkowo silnie ciagła, unitarnareprezentacje grupy translacji.
Translacje implementowane sa jako: U(a)π(A)U(a)−1 = π(αa(A)) ,a ∈ R4, A ∈ A
Niech P oznacza generator translacji: eiaP = U(a), aP = aµPµ.Wspólne spektrum składowych P jest zawarte w stozku przyszłosci:σ(P) ⊂ V+.
17 / 27Impresje algebraiczne
N
Podstawy
Dodatniosc energii
Mozemy wreszcie sprecyzowac co oznacza aksjomat stabilnosci(dodatniosc energii). Mówi on, ze:
Istnieje reprezentacja π algebry A naH kowariantna ze wzgledu natranslacje, czyli naH niesie dodatkowo silnie ciagła, unitarnareprezentacje grupy translacji.
Translacje implementowane sa jako: U(a)π(A)U(a)−1 = π(αa(A)) ,a ∈ R4, A ∈ A
Niech P oznacza generator translacji: eiaP = U(a), aP = aµPµ.Wspólne spektrum składowych P jest zawarte w stozku przyszłosci:σ(P) ⊂ V+.
17 / 27Impresje algebraiczne
N
1 Wprowadzenie
2 Podstawy
3 Splatanie
18 / 27Impresje algebraiczne
N
Splatanie
Nierównosci Bella
Nierównosci Bella: Dla dwóch par detektorów ai, bj, (i, j = 1, 2)zachodzi:0 ≤ p(a1)+p(b1)+p(a2∧b2)−p(a1∧b1)−p(a1∧b2)−p(a2∧b1) ≤ 1.
W formalizmie AQFT: Niech Oi, i = 1, 2 beda obszaramirozdzielonymi przestrzennie. Detektor, który daje dwa mozliwe wynikizlokalizowany w Oi modelowany jest przez F ∈ A(Oi), 0 ≤ F ≤ 1,
Prawdopodobienstwo wyniku "tak" dla układu przygotowanego wstanie ω na A =
⋃O⊂M
A(O) wynosi ω(F),
Jezeli F1, F2 zlokalizowane sa w przestrzennie rozdzielonychobszarach, to prawdopodobienstwo rezultatu "tak-tak" dane jest przez:ω(F1F2) .
19 / 27Impresje algebraiczne
N
Splatanie
Nierównosci Bella
Nierównosci Bella: Dla dwóch par detektorów ai, bj, (i, j = 1, 2)zachodzi:0 ≤ p(a1)+p(b1)+p(a2∧b2)−p(a1∧b1)−p(a1∧b2)−p(a2∧b1) ≤ 1.
W formalizmie AQFT: Niech Oi, i = 1, 2 beda obszaramirozdzielonymi przestrzennie. Detektor, który daje dwa mozliwe wynikizlokalizowany w Oi modelowany jest przez F ∈ A(Oi), 0 ≤ F ≤ 1,
Prawdopodobienstwo wyniku "tak" dla układu przygotowanego wstanie ω na A =
⋃O⊂M
A(O) wynosi ω(F),
Jezeli F1, F2 zlokalizowane sa w przestrzennie rozdzielonychobszarach, to prawdopodobienstwo rezultatu "tak-tak" dane jest przez:ω(F1F2) .
19 / 27Impresje algebraiczne
N
Splatanie
Nierównosci Bella
Nierównosci Bella: Dla dwóch par detektorów ai, bj, (i, j = 1, 2)zachodzi:0 ≤ p(a1)+p(b1)+p(a2∧b2)−p(a1∧b1)−p(a1∧b2)−p(a2∧b1) ≤ 1.
W formalizmie AQFT: Niech Oi, i = 1, 2 beda obszaramirozdzielonymi przestrzennie. Detektor, który daje dwa mozliwe wynikizlokalizowany w Oi modelowany jest przez F ∈ A(Oi), 0 ≤ F ≤ 1,
Prawdopodobienstwo wyniku "tak" dla układu przygotowanego wstanie ω na A =
⋃O⊂M
A(O) wynosi ω(F),
Jezeli F1, F2 zlokalizowane sa w przestrzennie rozdzielonychobszarach, to prawdopodobienstwo rezultatu "tak-tak" dane jest przez:ω(F1F2) .
19 / 27Impresje algebraiczne
N
Splatanie
Nierównosci Bella
Nierównosci Bella: Dla dwóch par detektorów ai, bj, (i, j = 1, 2)zachodzi:0 ≤ p(a1)+p(b1)+p(a2∧b2)−p(a1∧b1)−p(a1∧b2)−p(a2∧b1) ≤ 1.
W formalizmie AQFT: Niech Oi, i = 1, 2 beda obszaramirozdzielonymi przestrzennie. Detektor, który daje dwa mozliwe wynikizlokalizowany w Oi modelowany jest przez F ∈ A(Oi), 0 ≤ F ≤ 1,
Prawdopodobienstwo wyniku "tak" dla układu przygotowanego wstanie ω na A =
⋃O⊂M
A(O) wynosi ω(F),
Jezeli F1, F2 zlokalizowane sa w przestrzennie rozdzielonychobszarach, to prawdopodobienstwo rezultatu "tak-tak" dane jest przez:ω(F1F2) .
19 / 27Impresje algebraiczne
N
Splatanie
Relacja porzadku
Niech A bedzie C∗-algebra z jedynka.Mozemy zdefiniowac na A relacje porzadku jako:
A ≥ B⇔ A− B ≥ 0,
gdzie: A− B ≥ 0 oznacza, ze istnieje element C ∈ A taki ze:
A− B = C∗C.
20 / 27Impresje algebraiczne
N
Splatanie
Splatanie a przyczynowosc
Uwaga
W sformułowaniu AQFT nie ma sprzecznosci miedzy korelacja aprzyczynowoscia! Ta pierwsza zapisana jest w konkretnym stanie,a druga jest własnoscia algebry obserwabli.
Mozemy teraz sformułowac nierównosci Bella w jezyku AQFT:Niech A = 2F − 1 (tak, ze −1 ≤ A ≤ 1). Wtedy dla Ai, Bj (i, j = 1, 2)nalezacych do przestrzennie rozdzielonych obszarów i stanu ω,nierównosci te przyjmuja postac:
|ω(A1(B1 + B2) + A2(B1 − B2))| ≤ 2
21 / 27Impresje algebraiczne
N
Splatanie
Splatanie a przyczynowosc
Uwaga
W sformułowaniu AQFT nie ma sprzecznosci miedzy korelacja aprzyczynowoscia! Ta pierwsza zapisana jest w konkretnym stanie,a druga jest własnoscia algebry obserwabli.
Mozemy teraz sformułowac nierównosci Bella w jezyku AQFT:
Niech A = 2F − 1 (tak, ze −1 ≤ A ≤ 1). Wtedy dla Ai, Bj (i, j = 1, 2)nalezacych do przestrzennie rozdzielonych obszarów i stanu ω,nierównosci te przyjmuja postac:
|ω(A1(B1 + B2) + A2(B1 − B2))| ≤ 2
21 / 27Impresje algebraiczne
N
Splatanie
Splatanie a przyczynowosc
Uwaga
W sformułowaniu AQFT nie ma sprzecznosci miedzy korelacja aprzyczynowoscia! Ta pierwsza zapisana jest w konkretnym stanie,a druga jest własnoscia algebry obserwabli.
Mozemy teraz sformułowac nierównosci Bella w jezyku AQFT:Niech A = 2F − 1 (tak, ze −1 ≤ A ≤ 1). Wtedy dla Ai, Bj (i, j = 1, 2)nalezacych do przestrzennie rozdzielonych obszarów i stanu ω,nierównosci te przyjmuja postac:
|ω(A1(B1 + B2) + A2(B1 − B2))| ≤ 2
21 / 27Impresje algebraiczne
N
Splatanie
Splatanie a przyczynowosc
Uwaga
W sformułowaniu AQFT nie ma sprzecznosci miedzy korelacja aprzyczynowoscia! Ta pierwsza zapisana jest w konkretnym stanie,a druga jest własnoscia algebry obserwabli.
Mozemy teraz sformułowac nierównosci Bella w jezyku AQFT:Niech A = 2F − 1 (tak, ze −1 ≤ A ≤ 1). Wtedy dla Ai, Bj (i, j = 1, 2)nalezacych do przestrzennie rozdzielonych obszarów i stanu ω,nierównosci te przyjmuja postac:
|ω(A1(B1 + B2) + A2(B1 − B2))| ≤ 2
21 / 27Impresje algebraiczne
N
Splatanie
Nierównosci Bella w AQFT
Interesuje nas wielkosc:
β(A(O1),A(O2), ω).=
12
supω(Al(B1 + B2) + A2(B1 − B2))|Ai ∈ A(O1),Bj ∈ A(O2)
Jezeli β(A(O1),A(O2), ω) = 1, wtedy nierównosci Bella sa spełnione.W szczególnosci zachodzi to gdy:
obie algebry sa abelowe (sytuacja klasyczna),lub stan jest kombinaja liniowa stanów produktowych (brak korelacji).
Maksymalne mozliwe złamanie nierównosci zachodzi przy:β(A(O1),A(O2), ω) =
√2.
22 / 27Impresje algebraiczne
N
Splatanie
Nierównosci Bella w AQFT
Interesuje nas wielkosc:
β(A(O1),A(O2), ω).=
12
supω(Al(B1 + B2) + A2(B1 − B2))|Ai ∈ A(O1),Bj ∈ A(O2)
Jezeli β(A(O1),A(O2), ω) = 1, wtedy nierównosci Bella sa spełnione.W szczególnosci zachodzi to gdy:
obie algebry sa abelowe (sytuacja klasyczna),lub stan jest kombinaja liniowa stanów produktowych (brak korelacji).
Maksymalne mozliwe złamanie nierównosci zachodzi przy:β(A(O1),A(O2), ω) =
√2.
22 / 27Impresje algebraiczne
N
Splatanie
Nierównosci Bella w AQFT
Interesuje nas wielkosc:
β(A(O1),A(O2), ω).=
12
supω(Al(B1 + B2) + A2(B1 − B2))|Ai ∈ A(O1),Bj ∈ A(O2)
Jezeli β(A(O1),A(O2), ω) = 1, wtedy nierównosci Bella sa spełnione.W szczególnosci zachodzi to gdy:
obie algebry sa abelowe (sytuacja klasyczna),
lub stan jest kombinaja liniowa stanów produktowych (brak korelacji).
Maksymalne mozliwe złamanie nierównosci zachodzi przy:β(A(O1),A(O2), ω) =
√2.
22 / 27Impresje algebraiczne
N
Splatanie
Nierównosci Bella w AQFT
Interesuje nas wielkosc:
β(A(O1),A(O2), ω).=
12
supω(Al(B1 + B2) + A2(B1 − B2))|Ai ∈ A(O1),Bj ∈ A(O2)
Jezeli β(A(O1),A(O2), ω) = 1, wtedy nierównosci Bella sa spełnione.W szczególnosci zachodzi to gdy:
obie algebry sa abelowe (sytuacja klasyczna),lub stan jest kombinaja liniowa stanów produktowych (brak korelacji).
Maksymalne mozliwe złamanie nierównosci zachodzi przy:β(A(O1),A(O2), ω) =
√2.
22 / 27Impresje algebraiczne
N
Splatanie
Nierównosci Bella w AQFT
Interesuje nas wielkosc:
β(A(O1),A(O2), ω).=
12
supω(Al(B1 + B2) + A2(B1 − B2))|Ai ∈ A(O1),Bj ∈ A(O2)
Jezeli β(A(O1),A(O2), ω) = 1, wtedy nierównosci Bella sa spełnione.W szczególnosci zachodzi to gdy:
obie algebry sa abelowe (sytuacja klasyczna),lub stan jest kombinaja liniowa stanów produktowych (brak korelacji).
Maksymalne mozliwe złamanie nierównosci zachodzi przy:β(A(O1),A(O2), ω) =
√2.
22 / 27Impresje algebraiczne
N
Splatanie
Splatanie w AQFT
Twierdzenie (Summers, Werner (1985))
Niech A(O)O⊂M bedzie siecia algebr obserwabli swobodnej re-latywistycznej kwantowej teorii pola ze stanem prózni ω0. Wtedydla klinu W ⊂ M:
β(A(W),A(Wc), ω0) =√
2
W definiujemy jako obraz WR = x ∈ R4| |x0| < |x1| poddziałaniem dowolnej transformacji Poincaré. x0 oznacza współrzednaczasowa, a Wc kauzalne dopełnienie W, czyli podzbiór R4
przestrzennie oddzielony od W.
23 / 27Impresje algebraiczne
N
Splatanie
Splatanie w AQFT
Twierdzenie (Summers, Werner (1985))
Niech A(O)O⊂M bedzie siecia algebr obserwabli swobodnej re-latywistycznej kwantowej teorii pola ze stanem prózni ω0. Wtedydla klinu W ⊂ M:
β(A(W),A(Wc), ω0) =√
2
W definiujemy jako obraz WR = x ∈ R4| |x0| < |x1| poddziałaniem dowolnej transformacji Poincaré. x0 oznacza współrzednaczasowa, a Wc kauzalne dopełnienie W, czyli podzbiór R4
przestrzennie oddzielony od W.
23 / 27Impresje algebraiczne
N
Splatanie
Splatanie w AQFT
Twierdzenie (Summers, Werner)
Dla teorii niezmienniczych ze wzgledu na dylatacje, spełniajacychwarunek A(W)′ = A(Wc) poprzedni rezultat mozna uogólnic dladowolnych przestrzennie rozdzielonych klinów W1, W2,niezaleznie od odległosci.
Dla teorii niezmienniczych ze wzgledu na dylatacje, rezultat moznarówniez uogólnic na dowolna pare stycznych podwójnych stozkówO1, O2.
24 / 27Impresje algebraiczne
N
Splatanie
Splatanie w AQFT
Twierdzenie (Summers, Werner)
Dla teorii niezmienniczych ze wzgledu na dylatacje, spełniajacychwarunek A(W)′ = A(Wc) poprzedni rezultat mozna uogólnic dladowolnych przestrzennie rozdzielonych klinów W1, W2,niezaleznie od odległosci.
Dla teorii niezmienniczych ze wzgledu na dylatacje, rezultat moznarówniez uogólnic na dowolna pare stycznych podwójnych stozkówO1, O2.
24 / 27Impresje algebraiczne
N
Splatanie
Splatanie w AQFT
Twierdzenie (Summers, Werner)
Dla teorii niezmienniczych ze wzgledu na dylatacje, spełniajacychwarunek A(W)′ = A(Wc) poprzedni rezultat mozna uogólnic dladowolnych przestrzennie rozdzielonych klinów W1, W2,niezaleznie od odległosci.
Dla teorii niezmienniczych ze wzgledu na dylatacje, rezultat moznarówniez uogólnic na dowolna pare stycznych podwójnych stozkówO1, O2.
24 / 27Impresje algebraiczne
N
Splatanie
Podsumowanie
Nie ma sprzecznosci pomiedzykorelacja kwantowa a przyczynowoscia.
Do wykrycia splatania w zasadzieniekonieczne jest zródło.
Same fluktuacje prózni zapewniajamaksymalne złamanie nierównosciBella.
Obserwacja tego efektu byłaby dosctrudna ze wzgledu na pewne ogólnewłasnosci stanu prózni.
Stopien łamania nierównosci Bellaspada eksponencjalnie z przestrzennymdystansem dzielacym obszary O1, O2.
25 / 27Impresje algebraiczne
N
Splatanie
Podsumowanie
Nie ma sprzecznosci pomiedzykorelacja kwantowa a przyczynowoscia.
Do wykrycia splatania w zasadzieniekonieczne jest zródło.
Same fluktuacje prózni zapewniajamaksymalne złamanie nierównosciBella.
Obserwacja tego efektu byłaby dosctrudna ze wzgledu na pewne ogólnewłasnosci stanu prózni.
Stopien łamania nierównosci Bellaspada eksponencjalnie z przestrzennymdystansem dzielacym obszary O1, O2.
25 / 27Impresje algebraiczne
N
Splatanie
Podsumowanie
Nie ma sprzecznosci pomiedzykorelacja kwantowa a przyczynowoscia.
Do wykrycia splatania w zasadzieniekonieczne jest zródło.
Same fluktuacje prózni zapewniajamaksymalne złamanie nierównosciBella.
Obserwacja tego efektu byłaby dosctrudna ze wzgledu na pewne ogólnewłasnosci stanu prózni.
Stopien łamania nierównosci Bellaspada eksponencjalnie z przestrzennymdystansem dzielacym obszary O1, O2.
25 / 27Impresje algebraiczne
N
Splatanie
Podsumowanie
Nie ma sprzecznosci pomiedzykorelacja kwantowa a przyczynowoscia.
Do wykrycia splatania w zasadzieniekonieczne jest zródło.
Same fluktuacje prózni zapewniajamaksymalne złamanie nierównosciBella.
Obserwacja tego efektu byłaby dosctrudna ze wzgledu na pewne ogólnewłasnosci stanu prózni.
Stopien łamania nierównosci Bellaspada eksponencjalnie z przestrzennymdystansem dzielacym obszary O1, O2.
25 / 27Impresje algebraiczne
N
Splatanie
Podsumowanie
Nie ma sprzecznosci pomiedzykorelacja kwantowa a przyczynowoscia.
Do wykrycia splatania w zasadzieniekonieczne jest zródło.
Same fluktuacje prózni zapewniajamaksymalne złamanie nierównosciBella.
Obserwacja tego efektu byłaby dosctrudna ze wzgledu na pewne ogólnewłasnosci stanu prózni.
Stopien łamania nierównosci Bellaspada eksponencjalnie z przestrzennymdystansem dzielacym obszary O1, O2.
25 / 27Impresje algebraiczne
N
Kierunki badan
Algebraiczna teoria informacji
Splatanie dla nieskonczenie wymiarowych układow (np. nieskonczonełancuchy spiowe). Przykład: M. Keyl, T. Matsui, D. Schlingemann, R.F. Werner, Entanglement, Haag-Duality and Type Properties of InfiniteQuantum Spin Chains, Rev. Math. Phys., 18 (2006) 935-970.
Bramki kwantowe, komputer kwantowy. . .
Quantum error correction.
Quantum walks, quantum cellular automata.
Wiecej informacji dostepnych na:http://www.itp.uni-hannover.de/~werner/
Informacje na temat grupy AQFT w Hamburgu mozna znalezc na:http://unith.desy.de/research/aqft/
Slajdy z biezacej prezentacji zamieszczone zostana na mojej stronie:http://katarzyna.rejzner.pl/
26 / 27Impresje algebraiczne
N
Dziekuje Panstwu za uwage
27 / 27Impresje algebraiczne
N
Top Related