Andrzej Leśnicki Wprowadzenie do transformaty Laplace’a 1/2
LINIOWE UKŁADY Z SYGNAŁAMI PRZYCZYNOWYMI
Wprowadzenie do transformaty Laplace’a
W układzie przyczynowym odpowiedź układu zależy wyłącznie od warunków początkowych w chwili 0t i zachowania się pobudzenia począwszy od chwili 0t . Układ "zapomina" całą dotychczasową "historię". Nie jest zupełnie istotne jak zachowywały się sygnały w układzie do chwili 0t . Nie jest ważne w jaki sposób w układzie doszło do ustalenia się określonych warunków początkowych i jak zachowywało się pobudzenie. Dla przyszłych zachowań sygnału w układzie jest istotne wyłącznie jakie są warunki początkowe i jak będzie zachowywało się pobudzenie. Zachodzi tu pełna analogia do systemów niezdeterminowanych z procesami Markowa i do systemów optymalnego sterowania. Jeżeli układ jest liniowy, to odpowiedź jest sumą (złożeniem, superpozycją) składowej przejściowej )(ty p i składowej ustalonej )(tyu
)()()()()()()()( tytytytytytytyty wsupwsup Jeżeli w układzie pobudzenie jest zerowe 0)( tx , to odpowiedź zawiera wyłącznie tą część składowej przejściowej )(ty p , która nazywa się odpowiedzią swobodną (własną) )(ty s i pochodzi od niezerowych warunków początkowych. Jeżeli w układzie warunki początkowe są zerowe (wszelkie zmiany sygnałów pochodzą wyłącznie od niezerowego pobudzenia 0)( tx ), to odpowiedź układu nazywa się odpowiedzią wymuszoną i jest sumą składowej przejściowej pochodzącej od pobudzenia i składowej stanu ustalonego )()()( tytyty upww . Tak więc odpowiedź układu można też interpretować jako sumę (złożenie, superpozycję) odpowiedzi swobodnej i odpowiedzi wymuszonej. W układzie (także i nieliniowym) zawsze można tak dobrać warunki początkowe, aby składowe )(ty s i )(ty pw zniosły się, a tym samym aby wyzerowała się składowa przejściowa 0)( ty p . W takim układzie wystąpi już od chwili 0t wyłącznie odpowiedź stanu ustalonego )()( tyty u .
)(tx )(ty
0dla,0)(,)( ttxtx
0 0tt
0dla,0)(,)( ttyty
Przyczynowy sygnał pobudzenia Przyczynowy sygnał odpowiedzi
Przyczynowy układ liniowy z niezerowymi warunkami początkowymi
Stan nieustalony Stan ustalony
Andrzej Leśnicki Wprowadzenie do transformaty Laplace’a 2/2
Schemat postępowania przy analizie układu metodą: a) klasyczną; b) operatorową
a)
b)
Fizyczny układ
skupiony liniowy stały w czasie
Fizyczny układ
skupiony liniowy stały w czasie
Rozwiązanie
Rozwiązanie
ty
ty
Rozwiązanie operatorowe
sY
Schemat zastępczy
układu
Operatorowy schemat
zastępczy układu
Model matematyczny: równania różniczkowe
liniowe o stałych współczynnikach
z zadanymi warunkami początkowymi
Model matematyczny:
równania algebraiczne ze stałymi
współczynnikami
Andrzej Leśnicki Warunki komutacji 1/2
Warunki komutacji Z chwilą rozpoczęcia obserwacji sygnałów w układzie dokonuje się komutacja (z języka łacińskiego komutacja oznacza zmianę).
Idealne klucze i skok wartości sygnału spowodowany przełączeniem klucza Zakłada się, że w idealnym kluczu nie występuje zjawisko łuku elektrycznego (przeskoku iskry). Łuk elektryczny pojawia się w pewnych okolicznościach między zestykami rzeczywistego klucza i oznacza promieniowanie energii fal elektromagnetycznych. W teorio-obwodowym modelu klucza to zjawisko musi być wykluczone, gdyż przeczyłoby założeniu o quasi-stacjonarności, dzięki któremu są słuszne prawa Kirchhoffa. Przełączanie kluczy może spowodować skoki w przebiegach sygnałów. Granicę lewostronną
)0( x nazywa się warunkiem początkowym, granicę prawostronną )0( x wartością początkową, a funkcja )(tx ma wówczas w punkcie 0t nieciągłość I-go rodzaju. Nie wszędzie skokowa zmiana sygnału jest dopuszczalna i wówczas warunek początkowy jest tożsamy z wartością początkową. Z zasady ciągłości strumienia magnetycznego skojarzonego wynika, że dla strumienia każdego induktora i prądu induktora liniowego, stacjonarnego warunek początkowy jest tożsamy z wartością początkową )0()0( , )0()0( LL LiLi , 0)0()0( LLL iii
Energia jest całką z mocy chwilowej, zmienia się w sposób ciągły, a więc jest ciągła w induktorze także w chwili 0t
)0(21)0()0(
21)0( LiWLiW LL
Z zasady ciągłości ładunku elektrycznego wynika, że dla ładunku każdego kondensatora i napięcia kondensatora liniowego, stacjonarnego warunek początkowy jest tożsamy z wartością początkową )0()0( qq , )0()0( CC CvCv , 0)0()0( CCC vvv
Energia jest całką z mocy chwilowej, zmienia się w sposób ciągły, a więc jest ciągła w kondensatorze także w chwili 0t
)0(21)0()0(
21)0( CvWCvW CC
0t 0t 0t
t0
)(tx
)0( x
)0( x
a) b) Wartość początkowa Warunek
początkowy
Andrzej Leśnicki Warunki komutacji 2/2
Były to prawa komutacji. Określają one warunki początkowe, przy których rozwiązuje się równania różniczkowe opisujące układ elektroniczny. Rozpoczynając analizę układu należy nie tylko ułożyć równania różniczkowe opisujące układ, ale też określić warunki początkowe. Podaje się tyle warunków początkowych, ile jest w układzie niezależnych induktorów i kondensatorów.
Przykłady zależnych kondensatorów i induktorów
1C 2C
)(tea) b) )(tj
1L
2L
Andrzej Leśnicki Metoda klasyczna analizy 1/5
Metoda klasyczna analizy
)()0(d1
dd
0
tevtiCt
iLRit
C
)()0(d1
dd
0
tjitvLt
vCGvt
L
)()(d
)(dd
)(dd
)(d011
1
1
n
tftyattya
ttya
ttya n
n
nnn
, 0t
Równanie rozwiązujemy dla 0t przy zadanych warunkach początkowych 0,,0,0 11 nyyy .
Na początku poszukuje się rozwiązania ogólnego równania jednorodnego ( 0)( tf )
0)(d
)(dd
)(dd
)(d011
1
1
n
tyattya
ttya
ttya n
n
nnn
Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego (odpowiedź swobodna układu) jest kombinacją liniową n liniowo niezależnych rozwiązań podstawowych (modów) )(tyi )()()()( 211 tyCtyCtyCty nnn gdzie iC są stałymi całkowania. Aby wyznaczyć rozwiązania podstawowe należy rozwiązać równanie charakterystyczne 0)( 01
11
asasasasM
nn
nn
będące przyrównaniem do zera wielomianu charakterystycznego równania różniczkowego. Równanie charakterystyczne ma n pierwiastków nazywanych wartościami własnymi lub częstotliwościami własnymi. Jeżeli pierwiastek is jest pojedynczy, to w równaniu charakterystycznym istnieje czynnik )( iss i rozwiązanie podstawowe (mod) ma postać tsi iety )( Jeżeli pierwiastek is jest k-krotny, to w równaniu charakterystycznym istnieje czynnik
kiss )( i k rozwiązań podstawowych (modów) ma postać
tskkits
its
iiii ettytetyety 111 )(,,)(,)(
Andrzej Leśnicki Metoda klasyczna analizy 2/5
Znając rozwiązanie ogólne równania jednorodnego można przystąpić do wyznaczenia rozwiązania ogólnego niejednorodnego równania. Poszukiwane jest rozwiązanie ogólne o postaci )()()()()()()( 2211 tytCtytCtytCty nn Pierwsze pochodne uzmiennionych stałych )(tCi wyznacza się z układu równań liniowych przyjmujących w zapisie macierzowym postać
nn
nn
nn
n
n
atftC
tCtC
yyy
yyyyyy
/)(
00
)(
)()(
2
1
)1()1(2
)1(1
21
21
W powyższym równaniu macierz kwadratowa z rozwiązaniami podstawowymi i ich pochodnymi nazywa się macierzą Wrońskiego, a jej wyznacznik wrońskianem. Rozwiązanie równania macierzowego istnieje ponieważ dowodzi się, że rozwiązania podstawowe są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy wrońskian jest różny od zera. Całkując wyznaczone pochodne )(tCi otrzymuje się poszukiwane uzmiennione stałe )(tCi , a tym samym rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego. Przy całkowaniu pochodnych
)(tCi pojawiają się stałe całkowania, których wartości oblicza się wykorzystując znane z założenia warunki początkowe równania różniczkowego. Przykład 42. Rozwiążemy równanie różniczkowe tetytyty 65 12 , 0t , 00 y , 101 y Równanie charakterystyczne 0652 ss ma dwa rozwiązania 21 s , 32 s , skąd rozwiązanie równania jednorodnego ma postać tt eCeCty 3221 a rozwiązanie równania niejednorodnego ma następującą postać z uzmiennionymi stałymi tt etCetCty 3221 Pierwsze pochodne uzmiennionych stałych wyznaczamy z układu równań
ttt
tt
etCtC
eeee 032 2
132
32
i mamy tetC 1 , tetC 22 skąd po całkowaniu
AetC t 1 , BetC t 22 21
Podstawiając te uzmiennione stałe mamy
ttt BeAeety 3221)(
Andrzej Leśnicki Metoda klasyczna analizy 3/5
gdzie stałe A , B wyznaczamy z warunków początkowych
132210
0210
1
BAy
BAy
Ponieważ stałe mają wartości 0A , 21
B , to poszukiwane rozwiązanie jest następujące
tt eety 321
21 , dla 0t
Przykład 43. Układ pierwszego rzędu ma jeden element L lub C i jest opisany równaniem różniczkowym pierwszego rzędu.
0I R C
0t
?)( tv
0)0()0( vv
?)( ti
W układzie do chwili czasu 0t prąd nie płynie i z prawa komutacji dla kondensatora
0)0()0( vv (warunek początkowy jest zerowy). W chwili czasu 0t zostaje podłączone źródło prądu stałego o wydajności I0 i rozpoczyna się obserwacja sygnałów )(tv i )(ti . Równanie opisujące układ
0)(
d)(d I
Rtv
ttvC , dla 0t
Równanie jednorodne
0)(d
)(d
Rtv
ttvC
ma równanie charakterystyczne
01 R
Cs
z jednym pierwiastkiem
11
1 RCs
gdzie RC jest stałą czasową układu. Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego ma postać
t
ts eCeCtv
11 1)( , dla 0t Znając rozwiązanie ogólne równania jednorodnego można przystąpić do poszukiwania rozwiązania równania niejednorodnego. Po uzmiennieniu stałej
t
etCtv
)()( 1
Andrzej Leśnicki Metoda klasyczna analizy 4/5
podstawiając do równania Wrońskiego mamy zależność na pierwszą pochodną uzmiennionej stałej
CItCe
t0
1 )(
skąd po scałkowaniu
AeRItCt
01 )( gdzie A jest stałą całkowania. Po podstawieniu tej uzmiennionej stałej do rozwiązania mamy
t
AeRItv
0)( Wartość stałej całkowania A obliczamy z warunku początkowego ARIv 00)0( 0RIA Ostatecznie
t
tvtv
t
eRIRIeRItvup
1)( 0)(
0
)(
0 , dla 0t
Rozwiązanie )(tv ma składową przejściową )(tv p zanikającą do zera przy t (układ jest asymptotycznie stabilny) i składową stanu ustalonego )(tvu . Napięcie kondensatora )(tv jest funkcją rosnącą, zbliżającą się asymptotycznie do wartości stałej 0RI . Z kolei prąd kondensatora )(ti
t
eIttvCti
0d
)(d)( , dla 0t
jest funkcją malejącą wykładniczo, zbliżającą się asymptotycznie do zera. Wykładnicze zanikanie procesów przejściowych ze stałą czasową jest charakterystyczne dla asymptotycznie stabilnych układów pierwszego rzędu. Procesy te zanikają praktycznie już po czasie 5 (z dokładnością 51 e , tj. 0,67 %). Obserwując procesy przejściowe na ekranie oscyloskopu można określić wartość stałej czasowej . Stosuje się trzy metody wyznaczania stałej czasowej układu pierwszego rzędu. a) Metoda stycznej. Należy wykreślić styczną do wykresu w punkcie 0t . Na rysunku
wykreślono te styczne i podano ich równania. Jak widać, styczne przecinają asymptoty w chwilach czasu odpowiadających stałym czasowym t .
t t0 0
0RI 0I
)(tv )(titRI
0
t
II
0
0
b)a)
Wyznaczanie wartości stałej czasowej metodą stycznej
Andrzej Leśnicki Metoda klasyczna analizy 5/5
b) Metoda 37 % .
t0
0RI)(tva)
t0
0I)(tib)
%37
%63
eRI /110 %63
%37eI /0
Wyznaczanie wartości stałej czasowej metodą 37 % c) Metoda 3/8 . Metoda ta sprowadza się do podania bardzo dogodnego graficznego
sposobu wyznaczania wartości %37 długości odcinka. Zachodzi następujące przybliżenie
831
e
(z dokładnością %2 ). Każdy odcinek bardzo łatwo jest podzielić na osiem
równych części metodą dychotomiczną (poprzez trzykrotny podział przez 2). Jeżeli odcinek jest podzielony na osiem równych części, to 3 części stanowią %37 całego odcinka.
t0
0RI)(tva)
t0
0I)(tib)
Wyznaczanie wartości stałej czasowej metodą 3/8
Andrzej Leśnicki Stabilność układu 1/5
Stabilność układu
O O
O
AS S
Na) b) c)
Interpretacja mechaniczna pojęcia stabilności
t
ty
0 t
022
AS
S
N
Interpretacja graficzna stabilności, niestabilności i asymptotycznej stabilności Definicja stabilności w sensie Lapunowa. Jeżeli dla każdego 0 istnieje takie 0 , że dla wszystkich rozwiązań ty , dla których 00y , zachodzi nierówność tty dla 0t , to rozwiązanie t jest stabilne (S). W przeciwnym razie
rozwiązanie jest niestabilne (N). Jeżeli rozwiązanie stabilne ma dodatkowo właściwość 0lim
tty
t , to jest asymptotycznie stabilne (AS). Rozwiązanie, które jest stabilne, ale
nie jest asymptotycznie stabilne, jest granicznie stabilne (GS).
Andrzej Leśnicki Stabilność układu 2/5
Układ SLS z zerowym pobudzeniem 0)( tx (autonomiczny) jest opisany jednorodnym liniowym równaniem różniczkowym zwyczajnym o stałych współczynnikach
0)(d
)(dd
)(dd
)(d011
1
1
n
tyattya
ttya
ttya n
n
nnn
i przy niezerowych warunkach początkowych ma odpowiedź swobodną o postaci )()()()( 211 tyCtyCtyCty nnn gdzie rozwiązania podstawowe (mody) )(tyi zależą od pierwiastków (wartości własnych) is równania charakterystycznego 0)( 01
11
asasasasM
nn
nn
i dla pierwiastków pojedynczych mają postać tsi iety )( a dla pierwiastków k-krotnych tskki
tsi
tsi
iii ettytetyety 111 )(,,)(,)(
Aby zbadać stabilność układu należy zbadać zachowanie się rozwiązań podstawowych przy t .
Kształty rozwiązań podstawowych w zależności od położenia pierwiastków wielomianu charakterystycznego układu na płaszczyźnie zmiennej zespolonej Z powyższych rozważań wynika, że stabilność układu SLS można zbadać w następujący sposób.
0
00
0 0
0 0
0
00
0
0
0
0
t
t
tt
t
tt
tt
t
t
tt
t
t
2t
tete
tte tte
0
j js 0, LP 0, PP
2
3
1
1
1
2
12
3
2
1
2
1
2
Andrzej Leśnicki Stabilność układu 3/5
Należy wyznaczyć równanie charakterystyczne układu i obliczyć jego pierwiastki. Stabilność układu zależy od położenia pierwiastków (wartości własnych) na płaszczyźnie zmiennej zespolonej: a) Jeżeli wszystkie pierwiastki leżą na lewej półpłaszczyźnie, to układ jest asymptotycznie
stabilny (AS). b) Jeżeli nie ma pierwiastków na prawej półpłaszczyźnie i pierwiastki na osi urojonej są
pojedyncze, to układ jest stabilny (S). c) Jeżeli chociaż jeden pierwiastek leży na prawej półpłaszczyźnie lub chociaż jeden
pierwiastek na osi urojonej jest wielokrotny, to układ jest niestabilny (N). d) Jeżeli nie ma pierwiastków na prawej półpłaszczyźnie, nie ma pierwiastków
wielokrotnych na osi urojonej, istnieje przynajmniej jeden pojedynczy pierwiastek na osi urojonej, to układ jest granicznie stabilny (GS).
Przykład 44. Pewien układ ma następujące równanie charakterystyczne 01234525948268)( 234567 ssssssssM Nie ma pierwiastków na prawej półpłaszczyźnie, a pierwiastki na osi urojonej są pojedyncze, a więc układ jest granicznie stabilny (GS).
Pierwiastki równania charakterystycznego Inny układ ma równanie charakterystyczne 010833)( 2345 ssssssM o pięciu pierwiastkach zaznaczonych krzyżykami na rys. Istnieją dwa pierwiastki leżące na prawej półpłaszczyźnie, a więc układ jest niestabilny (N).
Pierwiastki równania charakterystycznego
j
j
j
123
» roots([1,8,26,48,59,52,34,12])
ans =
-3.0000 -2.0000 -1.0000 + 1.0000i -1.0000 - 1.0000i -0.0000 + 1.0000i -0.0000 - 1.0000i -1.0000
0
» roots([1,3,1,-3,8,10])
ans =
-2.0000 + 1.0000i -2.0000 - 1.0000i 1.0000 + 1.0000i 1.0000 - 1.0000i -1.0000
jj
j
112 0
Andrzej Leśnicki Stabilność układu 4/5
Algebraiczne kryterium stabilności Routha-Hurwitza pozwala zbadać stabilność układu bez potrzeby obliczania pierwiastków równania charakterystycznego. Równanie charakterystyczne układu 0)( 01
11
asasasasM
nn
nn
można zapisać następująco (po rozłożeniu na czynniki) 0)())(()( 21 nn ssssssasM Współczynniki ia wielomianu są rzeczywiste i będziemy zakładali, że 0na (gdyby 0na , to wystarczy pomnożyć obie strony równania razy -1) oraz 00 a (gdyby 00 a , to istnieje pierwiastek w początku układu współrzędnych 0is i łatwo jest go wyłączyć z dalszych obliczeń). Mnożąc czynniki w drugim równaniu i przyrównując współczynniki w otrzymanym wielomianie do współczynników wielomianu w równaniu charakterystycznym otrzymujemy układ równań
nn
n
nnn
n
n
n
sssa
a
ssssssssssa
a
sssaa
211
1423231212
2210 1
z którego wyprowadza się następujące wnioski: a) jeżeli współczynniki wielomianu ia są rzeczywiste, to pierwiastki is są albo czysto
rzeczywiste, albo parami zespolone sprzężone; b) jeżeli wszystkie pierwiastki is mają części rzeczywiste ujemne, to wszystkie
współczynniki ia wielomianu są dodatnie. Wynika stąd, że warunkiem koniecznym asymptotycznej stabilności układu jest, aby wszystkie współczynniki wielomianu były dodatnie 0,,0,0 10 naaa Żaden współczynnik ia nie może być ani ujemny, ani równy zeru. Ten warunek konieczny jest zarazem warunkiem dostatecznym dla układów do rzędu drugiego ( 2n ) włącznie. Dla układów rzędu wyższego niż dwa trzeba prowadzić dalsze badania tworząc tablicę Routha.
Andrzej Leśnicki Stabilność układu 5/5
Tablica Routha ma następującą postać
000000
0
1
22
33
444
222
1111
AA
BABA
CBA
CBADCBADCBA
nnn
nnnn
nnnn
gdzie poszczególne elementy są wpisywane według poniższych zasad. W początkowych dwóch wierszach wpisuje się co drugi współczynnik wielomianu
513111
42
nnnnnn
nnnnnn
aCaBaAaCaBaA
W trzecim wierszu wpisuje się elementy (zależą one od elementów z dwóch wierszy leżących powyżej) według następującego schematu
itd.,1
,1
1
11
1112
1
11
1112
n
nnnn
nn
nn
nn
n
nnnn
nn
nn
nn
ACACA
CACA
AB
ABABA
BABA
AA
W czwartym wierszu wpisuje się elementy (zależą one od elementów z dwóch wierszy leżących powyżej) według tego samego schematu
itd.,1
,1
2
2112
22
11
23
2
2112
22
11
23
n
nnnn
nn
nn
nn
n
nnnn
nn
nn
nn
ACACA
CACA
AB
ABABA
BABA
AA
Kontynuując to postępowanie wypełnia się całą tablicę, aż do ostatnich dwóch jednoelementowych wierszy 01 , AA . Można wykazać, że przy bezbłędnym wykonaniu obliczeń każda obliczona kolumna kończy się elementem 0a . W tablicy Routha pierwsza kolumna ma 1n elementów 021 ,,,, AAAA nnn i nazywa się szeregiem Routha. Cała tablica Routha została ułożona po to, aby uzyskać szereg Routha, gdyż od jego właściwości zależy rozkład pierwiastków na płaszczyźnie zespolonej: a) Jeżeli elementy szeregu Routha zmieniają znak, to liczba pierwiastków leżących na prawej
półpłaszczyźnie równa się liczbie zmian znaku elementów w szeregu Routha. b) Warunkiem koniecznym i dostatecznym asymptotycznej stabilności obwodu (tzn. tego, aby
wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego miały ujemne części rzeczywiste - leżały na lewej półpłaszczyźnie) jest, aby każdy z 1n elementów 021 ,,,, AAAA nnn szeregu Routha był dodatni
0,,0,0,0 021 AAAA nnn Przykład 45
Andrzej Leśnicki Jednostronne przekształcenir Laplace’a 1/2
Jednostronne przekształcenie Laplace'a Rachunek operatorowy jest działem matematyki zajmującym się badaniem operatorów. Parę oryginał-transformata oznacza się następująco )()( sXtx . Prostym jednostronnym przekształceniem Laplace'a (transformatą Laplace'a) nazywamy przyporządkowanie danemu sygnałowi tx zmiennej rzeczywistej t , funkcji sX zmiennej zespolonej js według zależności
)(sX L )(tx
0
d)( tetx st
Zakłada się istnienie powyższej całki (nazywanej całką Laplace'a) na pewnej półpłaszczyźnie
sRe . Najmniejszą wartość spełniającą tą nierówność nazywa się odciętą zbieżności 0 , a obszar 0Re s nazywa się obszarem zbieżności. W obszarze zbieżności transformata sX jest holomorficzna (ma pochodne) i ma właściwość zerowania się w nieskończoności 0)(lim
sX
s. Funkcja ste pod całką nazywa się jądrem przekształcenia
całkowego. W zmiennej zespolonej js część rzeczywista ma wymiar w neperach na sekundę, a część urojona ma wymiar w radianach na sekundę. Przekształcenie nazywa się jednostronnym, gdyż dolna granica całkowania równa się 0 . Nie jest istotne zachowanie się sygnału tx dla 0t . Jeżeli nawet sygnał tx różnił się od zera w tym przedziale, to został on przez jednostronne przekształcenie całkowe "obcięty" i przekształcony w sygnał przyczynowy. W literaturze matematycznej podaje się różne zestawy warunków dostatecznych istnienia transformaty sX . Zostanie przytoczony jeden z takich zestawów. Warunki dostateczne istnienia transformaty sX sygnału tx są następujące: - sygnał tx jest funkcją prawie wszędzie ciągłą w przedziale t0 i przedział ten
można podzielić na skończoną liczbę przedziałów ),( 21 tt , wewnątrz których funkcja )(tx jest monotoniczna i ograniczona (są to warunki Dirichleta) ;
- sygnał )(tx jest funkcją rzędu wykładniczego (jej wartość bezwzględna rośnie nie szybciej niż funkcja wykładnicza), tzn. istnieją takie liczby rzeczywiste M , a , 0t , że dla każdego 0tt jest spełniona nierówność
atMetx )(
Andrzej Leśnicki Jednostronne przekształcenir Laplace’a 2/2
Jeżeli X(s) = L[x(t)] , to odwrotne przekształcenie Laplace'a jest określone wzorem Riemanna-Mellina
)(tx L-1 )(sX sti ss
jc
jc
st esXressesXj i
d)(21
w każdym punkcie 0t , w którym )(tx jest funkcją ciągłą, zaś w punktach nieciągłości I-go rodzaju funkcji )(tx dla 0t zachodzi równość
2
)0()0(d)(21
txtxsesXj
jc
jc
st
Linia całkowania musi przebiegać w obszarze zbieżności, czyli występująca w granicach całkowania liczba rzeczywista c spełnia relację 0c .
Andrzej Leśnicki Transformaty Laplace’a sygnałów 1/2
Transformaty Laplace'a sygnałów
Przyczynowe sygnały: a) skok jednostkowy; b) sygnał wykładniczy; c) sygnał liniowy (rampa) Transformata Laplace'a skoku jednostkowego tutx obliczona z zależności definicyjnej
s
es
tetusX stst 11d)()(00
, dla Re s > 0 Transformata Laplace'a sygnału wykładniczego atetutx )(
asaseteesX
tasstat
1d)(00
, dla Re s > -Re a
Jeżeli 0a , to sygnał wykładniczy atetu )( zmierza do skoku jednostkowego )(tu i tak jest też z transformatami tych sygnałów. Transformata Laplace'a sygnału liniowego wyzerowanego dla czasu ujemnego ttutx )(
200
2
111d)(s
es
tes
ttesX ststst
, dla Re s > 0
przy czym całkę Laplace'a obliczono całkując przez części, wzwzzw dd . Transformata Laplace'a impulsu jednostkowego ttx
10
00
dtetdtetsX stst
W definicji całki Laplace'a dolna granica całkowania równa się zeru. Jeżeli sygnał tx jest funkcją, to nie ma znaczenia, czy dolna granica całkowania to 0 , czy 0 . Jeżeli sygnał tx nie jest funkcją, ale zawiera dystrybucję, deltę Diraca lub jej pochodne w początku układu współrzędnych, to należy przyjąć jako dolną granicę całkowania 0 , aby objąć początek układu współrzędnych.
0 0t t
1 1)()( tutx 0,)()( aetutx at
a) b)
0 t
c)ttutx )()(
Andrzej Leśnicki Transformaty Laplace’a sygnałów 2/2
Obliczając transformaty Laplace'a można wspomagać się funkcjami analizy symbolicznej MATLABa, np.: >> syms x X a b t s >> x=exp(-a*t)*sin(b*t); >> X=laplace(x) X = b/((s+a)^2+b^2) >> pretty(X) b ------------- 2 2 (s + a) + b >> simplify(X) ans = b/(s^2+2*s*a+a^2+b^2) >> ilaplace(1/(s+a)) ans = exp(-a*t) Transformaty Laplace'a sygnałów
)(tx L-1 )(sX )(sX L )(tx Obszar zbieżności )(tu
s1
Re s >0
atetu as
1 Re s > - Re a
ttu 2
1s
Re s >0
nttu 1
!ns
n Re s > 0
ttu 0sin 20
20
s
Re s > 0
ttu 0cos 20
2 ss
Re s >0
tetu at 0sin 202
0
as
Re s > - Re a
tetu at 0cos 202
as
as Re s > - Re a
)(t 1 )()( tn ns s
Jeżeli sygnał jest funkcją, to jego transformata ma właściwość zerowania się w nieskończoności 0)(lim
sX
s. Właściwości tej nie mają transformaty sygnałów
zawierających dystrybucje (pseudofunkcje) t .
Andrzej Leśnicki Właściwości przekształcenia Laplace’a 1/5
Właściwości przekształcenia Laplace'a 1. Liniowość Jeżeli L )()( 11 sXtx oraz L )()( 22 sXtx , to z definicji przekształcenia Laplace'a wynika, że L )()()()( 2121 sbXsaXtbxtax Przykład 46. Sygnał rampy )(tr można przedstawić jako sumę dwóch funkcji liniowych.
0
0
T
T
t
tA
)(trTtAtu )(
TTtATtu )(
b)a)
Dlatego transformata sygnału rampy jest sumą transformat dwóch funkcji liniowych
)(sR L 22211)()(
se
TA
se
TA
sTA
TTtATtu
TtAtu
sTsT
2. Opóźnienie w czasie Jeżeli L )()( sXtx z odciętą zbieżności 0 , to dla 00 t L )()()( 000 sXettxttu st Odcięta zbieżności pozostaje bez zmian. 3. Przesunięcie w dziedzinie s Jeżeli L )()( sXtx z odciętą zbieżności 0 , to dla dowolnej liczby zespolonej a mamy L )()( asXtxe at przy czym odcięta zbieżności przesunie się do wartości aRe0 . 4. Zmiana skali Jeżeli L )()( sXtx z odciętą zbieżności 0 , to dla liczby rzeczywistej 0a zachodzi równość
L
asX
aatx 1)(
Odcięta zbieżności przyjmie wartość a/0 . Właściwość ta ma następującą interpretację: jeśli sygnał zostanie "rozciągnięty" a-krotnie w dziedzinie czasu t , to jego transformata zostanie "ściśnięta" a-krotnie w dziedzinie s .
Andrzej Leśnicki Właściwości przekształcenia Laplace’a 2/5
5a. Transformata pierwszej pochodnej Jeżeli sygnał )(tx ma dla 0t pochodną )(tx (zwykłą lub dystrybucyjną) i istnieje transformata pochodnej L )(tx , to między transformatą pochodnej funkcji, transformatą funkcji i granicą funkcji w zerze zachodzi związek L )(tx = )0()( xssX 5b. Transformata n-tej pochodnej Powyższa zależność uogólniona na przypadek n-tej pochodnej ma postać
L
1
0
)(1)( )0()()(n
k
kknnn xssXstx
Czynnik s w dziedzinie zmiennej zespolonej s nazywa się operatorem różniczkowania, gdyż każdorazowe pomnożenie razy s transformaty )(sX jest równoważne jednokrotnemu różniczkowaniu w dziedzinie czasu sygnału tx . Przykład 47 6. Pochodna transformaty Jeżeli L )()( sXtx , to
ssX
d)(d
L )(ttx Uogólnienie tej zależności na przypadek n-tej pochodnej jest następujące
nn
ssX
d)(d
L )(1 txt nn 7a. Transformata całki oznaczonej Jeżeli L )()( sXtx , to
LssXx
t )(d)(0
7b. Transformata n-krotnej całki oznaczonej Zależność dla jednokrotnej całki oznaczonej może być uogólniona na przypadek n-krotnej całki oznaczonej
L
t n
x0 0 0
n211
2
ddd)(
L n
t n
ssXx
nt )(d)(
!10
1
Czynnik s/1 w dziedzinie zmiennej zespolonej s nazywa się operatorem całkowania, gdyż każdorazowe podzielenie transformaty )(sX przez s jest równoważne jednokrotnemu całkowaniu w dziedzinie czasu.
Andrzej Leśnicki Właściwości przekształcenia Laplace’a 3/5
8. Całka transformaty Jeżeli L )()( sXtx , to
s
ssX d)( L
ttx )(
Uogólnienie powyższej zależności na przypadek n-krotnego całkowania jest następujące
s s sn
n
ssX2
ddsds)( 211 L
nttx )(
9. Twierdzenia o wartościach granicznych Jeżeli sygnał )(tx i jego pierwsza pochodna mają transformaty Laplace'a i istnieje granica
)()(lim
xtxt
, to zachodzi równość
)()(lim0
xssXs
Zależności tej nie można wykorzystywać do badania stabilności (badania zachowania się sygnału w nieskończoności), gdyż w tym twierdzeniu granica x istnieje z założenia.
Jeżeli sygnał )(tx i jego pierwsza pochodna mają transformaty Laplace'a i istnieje granica
)0()(lim0
xtx
t, to zachodzi równość
)0()(lim
xssXs
10. Transformata przyczynowego sygnału okresowego Jeżeli przyczynowy sygnał )(tx składa się z powtarzającego się na dodatniej półosi czasu z okresem T sygnału )(txT , to
sTT
esXsX
1
)()(
0 0t tT T
A A
T2
)(txT)(txT
2T
)(txa) b)
Przykład przyczynowej funkcji okresowej
Andrzej Leśnicki Właściwości przekształcenia Laplace’a 4/5
11. Twierdzenie Borela Operacja splotu jest zdefiniowana jako następująca całka splotowa
txtxtxtxtxxtxxtt
12210
120
21 )()()(d)()(d)()( Operację splotu oznacza się skrótowo symbolem gwiazdki " " . Splatanie jest przemienne
1221 xxxx , łączne 321321 xxxxxx , rozdzielne względem dodawania 3121321 xxxxxxx . Sygnałem niezmienności splotu jest delta Diraca
txttx . Zachodzą też właściwości: txttx nn , ttt , ttt nmnm .
Zgodnie z twierdzeniem Borela transformata splotu równa się iloczynowi transformat
L )()(d)()( 210
21 sXsXtxxt
Przykład 48 12.Transformata całki Duhamela Całka Duhamela jest zdefiniowana jako pierwsza pochodna całki splotowej
tt
txxxtxtxxt 0
2120
121 d)()()0()(d)()(dd
Transformata Laplace'a całki Duhamela równa się iloczynowi zmiennej s i transformat Laplace'a oryginałów
L )()(d)()(dd
210
21 sXssXttxxt
t
13. Splot w dziedzinie s Splot w dziedzinie zmiennej zespolonej s jest zdefiniowany następująco
zzsXzXj
sXsXj
jc
jc
d)()(21)()(
21
2121
gdzie c jest nie mniejsze od sumy odciętych zbieżności oryginałów )(1 tx i )(2 tx . Splot w dziedzinie s równa się transformacie Laplace'a iloczynu oryginałów
)()(21
21 sXsXj L
Andrzej Leśnicki Właściwości przekształcenia Laplace’a 5/5
Właściwości przekształcenia Laplace'a Lp. Nazwa właściwości Właściwość 1 Liniowość L )()()()( 2121 sbXsaXtbxtax 2 Opóźnienie w czasie L )()()( 000 sXettxttu st 3 Przesunięcie w dziedzinie s L )()( asXtxe at 4 Zmiana skali
L
asX
aatx 1)( , 0a
5 Transformata pochodnej L )0()()( xssXtx
L
1
0
)(1)( )0()()(n
k
kknnn xssXstx
6 Pochodna transformaty
ssX
d)(d
L )(ttx , nn
ssX
d)(d
L )(1 txt nn 7 Transformata całki oznaczonej
LssXx
t )(d)(0
L nt
n ssXx
n )(ddd)(0 0 0
211
2
8 Całka transformaty
s
ssX d)( L
ttx )(
9 Twierdzenia o wartościach granicznych
)(lim0
ssXs
)(x
)0()(lim
xssXs
10 Transformata przyczynowej funkcji okresowej sT
T
esXsX
1
)()(
11 Twierdzenie Borela L )()(d)()( 21
021 sXsXtxx
t
12 Transformata całki Duhamela L )()(d)()(
dd
210
21 sXssXtxxt
t
13 Splot w dziedzinie s
jc
jc
zzsXzXj
sXsXj
d)()(21)()(
21
2121
= L )()( 21 txtx
Andrzej Leśnicki Operatorowa metoda rozwiązywania równań różniczkowych 1/2
Operatorowa metoda rozwiązywania równań różniczkowych
)(tx )(tySygnał wejściowy (pobudzenie) Sygnał wyjściowy
(odpowiedź) Układ SLS
Układ SLS, jest opisany równaniem różniczkowym zwyczajnym n-tego rzędu o stałych współczynnikach
)()()()()()( 0)1(
1)(
0)1(
1)( txbtxbtxbtyatyatya mm
mm
nn
nn
Równanie różniczkowe zostanie rozwiązane metodą operatorową. W tym celu należy dokonać przekształcenia Laplace'a obu stron równania
)0()0()0()(
)0()0()0()(
12
11)2(
1)1(
01
1
12
11)2(
1)1(
01
1
xbsbsbxbsbxbsXbsbsb
yasasayasayasYasasa
mm
mm
mmm
mm
mm
mm
nn
nn
nnn
nn
nn
nn
Zastosowanie przekształcenia Laplace'a spowodowało, że trudne do rozwiązania równanie różniczkowe zostało przekształcone w łatwiejsze do rozwiązania równanie algebraiczne. Rozwiązanie równania algebraicznego ma następującą postać
)()()(0
11
01
1 sWsXasasabsbsb
sY nn
nn
mm
mm
Funkcja )(sW jest funkcją wymierną zależną od warunków początkowych. Jeżeli wszystkie warunki początkowe są zerowe 0)0()0()0( )2()1( yyy nn i pobudzenie jest przyczynowe ( 0)( tx , 0 dla t ), to 0)( sW . Współczynnik przy transformacie pobudzenia )(sX jest funkcją wymierną oznaczaną symbolem )(sH
0
11
01
1
0)( )()(
)()()(
asasabsbsb
sMsL
sXsYsH n
nn
n
mm
mm
sW
i nazywa się transmitancją (operatorową) układu. Wielomian mianownika )(sM pokrywa się z wielomianem charakterystycznym równania różniczkowego opisującego układ pod warunkiem, że wielomiany licznika i mianownika nie mają wspólnych, upraszczających się czynników (układ jest sterowalny i obserwowalny). Transmitancja doskonale charakteryzuje układ z zerowymi warunkami początkowymi i pobudzeniem przyczynowym. W takim układzie, aby obliczyć odpowiedź w dziedzinie zmiennej s, wystarczy pomnożyć transmitancję przez transformatę Laplace'a pobudzenia
)()()( sXsHsY
Andrzej Leśnicki Operatorowa metoda rozwiązywania równań różniczkowych 2/2
Transmitancja jest funkcją zespoloną argumentu zespolonego. Nie wykreśla się tej funkcji, ale podaje rozkład zer i biegunów. Dla wprawnego inżyniera rozkład zer i biegunów mówi bardzo wiele o właściwościach układu. Na rysunkach położenie zer zaznacza się kółeczkami, a położenie biegunów krzyżykami. Zera iz są pierwiastkami wielomianu licznika )(sL , a bieguny ip są pierwiastkami wielomianu mianownika )(sM
)())(()())(()(
21
21
nn
mm
pspspsazszszsbsH
Rozkład zer i biegunów określa transmitancję z dokładnością do stałego współczynnika nm ab . Zarówno zera jak i bieguny mogą być jednokrotne lub wielokrotne. Ponieważ
współczynniki wielomianów są rzeczywiste, to zera i bieguny są albo rzeczywiste, albo parami zespolone sprzężone. Bieguny są równoważne pierwiastkom równania charakterystycznego i ich położenie decyduje o stabilności AS, S, GS, N. Obszar zbieżności transformaty nie może zawierać biegunów. Przykładowo transmitancja )1/()( 0 ssHsH ma pojedyncze zero w zerze 01 z i pojedynczy biegun 11 p (narysowano je kółkiem i krzyżykiem). Moduł tej transmitancji można wykreślić za pomocą programu MATLAB. Jak widać transmitancja zeruje się w zerze i zmierza do nieskończoności w biegunie.
[Res,Ims]=meshgrid(-2:.1:0.5,-2:.1:2);a=sqrt(Res.^2+Ims.^2);b=sqrt((Res+1).^2+Ims.^2);H=a./b;mesh(Res,Ims,H);
01 js
Biegun p=-1 Zero z=0
j
Przykład 49
Andrzej Leśnicki Rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste 1/4
Rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste Metoda dopasowywania współczynników Rozpatrywany będzie przypadek funkcji wymiernej właściwej, tzn. takiej funkcji wymiernej, w której stopień licznika jest mniejszy niż stopień mianownika nm oraz licznik i mianownik nie mają wspólnych pierwiastków. Jeżeli bieguny są pojedyncze, to rozkład na ułamki proste ma następującą postać (przyjęto, że 1na )
n
i i
i
n
mm
mm
nn
n
mm
mm
psA
pspsbsbsbsb
asasbsbsb
sMsLsH
11
011
1
01
1
01
1
)()()(
W metodzie dopasowywania współczynników, aby wyznaczyć współczynniki iA rozkładu na ułamki proste, należy sprowadzić sumę ułamków prostych do wspólnego mianownika
nn
nnn
n
i i
i
pspsAAcsAAcsAAc
psA
1
210111
11
1
),,(,,),,(
i przyrównać współczynniki ic przy kolejnych potęgach is do współczynników ib przy
tych samych potęgach
0),,(
0),,(),,(
),,(),,(
11
11
1
111
010
nn
nm
mnm
n
n
AAc
AAcbAAc
bAAcbAAc
Jest to układ n równań liniowych z n niewiadomymi, z których wyznacza się poszukiwane współczynniki nAA ,,1 . Jeżeli biegun jest wielokrotny, to powyższe postępowanie pozostaje bez zmian, a jedynie trzeba uwzględnić, że czynnikowi kips bieguna k-krotnego odpowiada k ułamków prostych o postaci
ki
ik
i
i
i
i
psA
psA
psA
,,, 2
21
Przykład 50. Zostanie rozłożona na ułamki proste funkcja wymierna
222
23
2
112129114
2549114)(
sC
sB
sA
ssss
ssssssH
Suma ułamków prostych sprowadzona do wspólnego mianownika ma następującą postać
2
2
122232
ssCBAsCBAsBA
i z przyrównania współczynników wielomianów licznika otrzymujemy trzy równania liniowe z trzema niewiadomymi
Andrzej Leśnicki Rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste 2/4
4
1132922
BACBACBA
o rozwiązaniu 3A , 1B , 2C . Tak więc poszukiwany rozkład na ułamki proste jest następujący
22
2
12
11
23
129114)(
sssss
sssH
Współczynniki A , B , C są residuami biegunów i mogą być obliczone za pomocą funkcji MATLABa residue: >> num=[4,11,9]; >> den=[1,4,5,2]; >> [r,p,k]=residue(num,den) r = 3.0000 1.0000 2.0000 p = -2.0000 -1.0000 -1.0000 k =[ ] >> [num1,den1]=residue(r,p,k) num1 = 4.0000 11.0000 9.0000 den1 =1.0000 4.0000 5.0000 2.0000 Metoda dopasowywania współczynników staje się uciążliwa w przypadku, gdy stopień mianownika jest większy niż 3. Układ równań liniowych staje się zbyt liczny. Korzystniej jest wówczas zastosować metodę zerowania reszty. Metoda zerowania reszty Jeżeli biegun ip jest pojedynczy, to funkcję wymierną można przedstawić jako sumę ułamka prostego i wyrazu z resztą )(sR
)()(
)()(
)()()(
sNsR
psA
pssNsL
sMsLsH
ii
Mnożąc obustronnie powyższe równanie razy czynnik ips , otrzymujemy równanie
ipssNsRA
sNsL
)()(
)()(
które jest spełnione dla każdego s , a więc także dla ips . Podstawienie ips powoduje, że wyraz z resztą )(sR zeruje się i otrzymujemy wzór na współczynnik A ułamka prostego
Andrzej Leśnicki Rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste 3/4
)()(
i
i
pNpLA
Z założenia jest 0)( ipN (w przeciwnym razie biegun ip nie byłby biegunem pojedynczym). Wartość )( ipN może być obliczona ze wzoru Heaviside'a )()( ii pMpN , wynikającego z następującego przekształcenia
i
ii
i pspsi
i
psips
sMps
pMsMpssMsN
)()()()()(
W praktyce jednak łatwiej jest obliczyć )( ipN poprzez bezpośrednie podstawienie ips do )(sN .
Jeżeli biegun ip jest k-krotny, to funkcję wymierną można przedstawić w postaci
)()(
)()(
)()()( 1
12
21
sNsR
psA
psA
psA
psA
pssNsL
sMsLsH k
i
kk
i
k
iik
i
Mnożąc obustronnie powyższe równanie razy czynnik kips , otrzymujemy równanie
kikikkiki pssNsRApsApsApsA
sNsL
)()(
)()(
12
21
1
Podstawiając ips do powyższego równania, a następnie do równania zróżniczkowanego jednokrotnie, dwukrotnie itd., otrzymujemy wzory na współczynniki iA
ii ps
k
k
psk
i
ik sN
sLsk
AsNsL
sA
pNpLA
)()(
dd
!11,,
)()(
dd,
)()(
1
1
11
Przykład 51. Zostanie rozłożona na ułamki proste funkcja wymierna
22
23
1123123112112)(
s
DsC
sB
sA
sssssssH
Wyznaczamy współczynnik A
24
821
136995412
1121122
32
23
sss
sssA
Wyznaczamy współczynnik B
311
124441613
1121122
22
23
sss
sssB
Wyznaczamy współczynnik D
224
12112112
23112112
1
23
ssssssD
Wyznaczamy współczynnik C
Andrzej Leśnicki Rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste 4/4
1
4128
1211211231212226
23112112522312226
23112112
dd
22
122
232
1
23
s
s
ssssssssss
sssss
sC
Tak więc poszukiwany rozkład na ułamki proste jest następujący
22
23
12
11
23
32
123112112)(
sssssss
ssssH
Andrzej Leśnicki Operatorowy schemat zastępczy układu 1/1
Operatorowy schemat zastępczy układu
)()( tRitv )()( sRIsV
R R)(ti )(sIa) b)
Opis rezystora w dziedzinie t i w dziedzinie s
sCsY )(
0CCv
)(sI
)(sVb)
0Cv
ttvCti
dd)(
00
d)(1)( Ct
viC
tv
C
a) c)
sCsZ 1)(
C
C
svC0
)(sI
)(sV
Opis kondensatora w dziedzinie t i w dziedzinie s
0Li
ttiLtv
d)(d)(
00
d)(1)( Lt
ivL
ti La) b)
sLsZ )( 0LLi )(sI
L
)(sV
c)
sLsY 1)(
siL0
L
)(sI
)(sV
Opis induktora w dziedzinie t i w dziedzinie s
1L 2L
M
ttiM
ttiLtv
ttiM
ttiLtv
d)(d
d)(d)(
d)(d
d)(d)(
1222
2111
0021222
0012111
12
21
)()()(
)()()(
LL
LL
MiiLssMIsIsLsV
MiiLssMIsIsLsV
)(1 tv )(2 tv
)(1 ti )(2 ti
)(1 sV )(2 sV
1sL 2sL)(1 sI )(2 sI
)(2 ssMI )(1 ssMI
01 1LiL 02 2LiL02LMi 01LMi
a) b)
Operatorowy schemat zastępczy induktorów sprzężonych Prądowe i napięciowe prawa Kirchhoffa mają taką samą postać dziedzinie t i w dziedzinie s
k kkk sIti 0)(0)(
k k
kk sVtv 0)(0)(
Przykład 52
Andrzej Leśnicki Dwustronne przekształcenie Laplace’a 1/1
Dwustronne przekształcenie Laplace'a Dwustronne przekształcenie Laplace'a (proste i odwrotne) jest zdefiniowane parą następujących wzorów
)(sX L )(tx
tetx std)(
)(tx L-1 )(sX
jc
jc
st sesXj
d)(21
W porównaniu z jednostronnym przekształceniem Laplace'a zmieniła się dolna granica całkowania z wartości 0 na . Każdy sygnał nieprzyczynowy tx można przedstawić jako sumę sygnału przyczynowego i antyprzyczynowego txtxtx ap . Przekształcenie dwustronne sygnału nieprzyczynowego można traktować jako sumę przekształcenia jednostronnego części przyczynowej sygnału i przekształcenia części antyprzyczynowej sygnału sXsXsX ap .
txtxtx ap tp etutx 2
ta etutx 3te3
0 t
te 2te3
0 t
te 2
0 t
te 3
0 t
a) b)
c) d) ta etutx 3
Przedstawienie sygnału nieprzyczynowego jako sumy sygnału przyczynowego i antyprzyczynowego Jeżeli sygnał antyprzyczynowy txa zostanie odbity lustrzanie txa (in. zawinięty), to stanie się sygnałem przyczynowym. Dlatego zadanie obliczenia transformaty sygnału antyprzyczynowego txa można sprowadzić do zadania obliczenia transformaty jednostronnej
00
0
dtetxdtetxdtetxsX tsast
ast
aa
Najpierw należy obliczyć dla sygnału txa jednostronną transformatę sX a z obszarem zbieżności sRe . Następnie zmiana znaku argumentu tej transformaty daje transformatę sygnału antyprzyczynowego sXsX aa z obszarem zbieżności sRe . Przykład 53
Andrzej Leśnicki Charakterystyki czasowe układu 1/3
Charakterystyki czasowe układu Odpowiedzi impulsowa i skokowa System SLS można opisać nie tylko poprzez podanie transmitancji
poczatkowe warunkiZerowesXsYsH
ale także poprzez podanie jego charakterystyki czasowej. Dla systemu SLS definiuje się dwie następujące charakterystyki czasowe. Def. 1. Odpowiedzią impulsową th systemu nazywamy odpowiedź systemu z zerowymi warunkami początkowymi na pobudzenie impulsem jednostkowym t (deltą Diraca). Def. 2. Odpowiedzią skokową tg systemu nazywamy odpowiedź systemu z zerowymi warunkami początkowymi na pobudzenie skokiem jednostkowym tu (jedynką Heaviside’a t1 ) .
System z zerowymi warunkami początkowymi
System z zerowymi warunkami początkowymi
ttx tutx thty tgty
Impuls Diraca
Skok jednostkowy
Odpowiedź impulsowa
Odpowiedź skokowa
a) b)
Ilustracja definicji charakterystyk czasowych systemu: a) odpowiedź impulsowa th ; b) odpowiedź skokowa tg Pobudzenia t i tu są sygnałami przyczynowymi i dla systemów realizowalnych fizycznie (przyczynowych) odpowiedzi impulsowa th i skokowa tg są także przyczynowe. Odpowiedzi impulsową th i skokową tg można obliczyć rozwiązując równania różniczkowe opisujące system. Najłatwiej jest jednak wyznaczyć charakterystyki czasowe systemu z jego transmitancji operatorowej sH . Jeżeli system ma transmitancję sX
sYsH
to transformata Laplace’a odpowiedzi jest iloczynem transmitancji i transformaty Laplace’a pobudzenia sXsHsY Przy pobudzeniu systemu impulsem jednostkowym ttx mamy L sHth L t
Andrzej Leśnicki Charakterystyki czasowe układu 2/3
a ponieważ L 1t , to odpowiedź impulsowa jest odwrotną transformatą Laplace’a transmitancji systemu th L sH1 Przy pobudzeniu systemu skokiem jednostkowym tutx mamy L sHtg L t1 a ponieważ L st 11 , to odpowiedź skokowa jest odwrotną transformatą Laplace’a transmitancji systemu podzielonej przez zmienną s
tg L
sH
ssG 11
Między odpowiedziami impulsową i skokową zachodzą związki różniczkowo-całkowe.
Czynnik s1 jest operatorem całkowania, czyli odpowiedź skokowa jest całką odpowiedzi
impulsowej
t
dhtg0
Odwracając tą zależność mamy tgth dystr czyli odpowiedź impulsowa jest pierwszą pochodną dystrybucyjną odpowiedzi skokowej. Całka splotowa Borela Obliczenie odpowiedzi układu w dziedzinie zmiennej s, czyli obliczenie transformaty Laplace’a sygnału wyjściowego sY , tol sXsHsY Działaniu mnożenia wykonanemu w dziedzinie zmiennej s (czyli mnożeniu dwóch transformat Laplace’a) odpowiada w dziedzinie czasu t operacja splatania dwóch oryginałów (całka Borela, splatanie jest operacją przemienną)
t
dthxthtxtxthty0
sX
tx
sH
th
sXsHsY
t
dthxthtxty0
t
dtxhtxthty0
Układ i jego sygnał wyjściowy obliczany w dziedzinie zmiennej s i w dziedzinie czasu t z użyciem całki splotowej (całki Borela)
Andrzej Leśnicki Charakterystyki czasowe układu 3/3
Badając odpowiedź impulsową układu można stwierdzić, czy układ jest BIBO stabilny. Tw. Układ SLS nie zawierający źródeł niezależnych jest BIBO stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy jego odpowiedź impulsowa jest bezwzględnie całkowalna
Sdtth0
Wszystkie przyczynowe sygnały zanikające wykładniczo do zera są bezwzględnie całkowalne. Ponieważ w układzie SLS odpowiedź impulsowa jest kombinacją liniową funkcji o charakterze wykładniczym, to układ SLS jest BIBO stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy jego odpowiedź impulsowa zanika do zera. Całka superpozycji Duhamela Obliczenie odpowiedzi układu w dziedzinie zmiennej s , czyli obliczenie transformaty Laplace’a sygnału wyjściowego sY może być zapisane następująco ssX
ssHsXsHsY
Wyrażenie s1 jest operatorem całkowania i
ssH oznacza w dziedzinie czasu całkowanie
odpowiedzi impulsowej układu, czyli odpowiedź skokową układu t
dhtg0
.
Czynnik s jest operatorem różniczkowania i ssX oznacza w dziedzinie czasu pierwszą pochodną dystrybucyjną pobudzenia txdystr . Działanie uprzednio interpretowane jako całka splotowa Borela teraz może być interpretowane jeszcze inaczej. Jest to w dziedzinie czasu splot odpowiedzi skokowej systemu z pierwszą pochodną dystrybucyjną pobudzenia i nazywa się całką superpozycji Duhamela
tt
dystrdystrdystr dtgxtgxdtgxtgtxtxtgty00
0*
sH
tg
sX
tx
ssXssH
sY
t
dystr dtgxtgxtgtxty0
0
Układ i jego sygnał wyjściowy obliczany w dziedzinie zmiennej s i w dziedzinie czasu z użyciem całki superpozycji Duhamela Przykład 54
Top Related