Zestaw VIICiecze

Krzysztof Biedroń, Jan Majore-mail: kolkof@uj.edu.pl

http://www.fais.uj.edu.pl/dla-szkol/warsztaty-z-fizyki/szkoly-ponadgimnazjalne

04 listopada 2015 r.

Wstęp

Parcie hydrostatyczne: Parcie hydrostatyczne to siłanacisku jaką płyn wywiera na daną powierzchnię. Siła tajest normalna do danej powierzchni

d~P “ pd~S,

gdzie d~S to wektor powierzchni nieskończenie małego frag-mentu ds powierzchni S, p to ciśnienie hydrostatyczne pa-nujące na poziomie, na którym znajduje się powierzchniads. Ponieważ rozpatrywane są nieskończenie małe elemen-ty, przyjmuje się, że ciśnienie jest stałe na poziomie każdejtakiej powierzchni ds. Dla powierzchni płaskich i stałegociśnienia w każdym punkcie powierzchni, wzór na parcieupraszcza się do postaci

P “ pS.

Płyn w stanie spoczynku wywiera napór hydrostatycznyzarówno na dno jak i ścianę naczynia.Parcie na ścianę poziomą można zapisać

N “ ρghS,

gdzie N to parcie (napór) hydrostatyczne, ρ to gęstośćcieczy, g to przyspieszenie ziemskie, h to wysokość słupacieczy, a S to powierzchnia ściany. Wzór na parcie dlaściany pionowej to

N “ ρh0gS,

gdzie h0 to głębokość środka ciężkości cieczy.

Prawo Pascala: Ciśnienie w płynie na tym samym po-ziomie jest jednakowe. Różnicę ciśnień między dwiema wy-sokościami opisuje wzór

p2 ´ p1 “ ´ρgph2 ´ h1q.

Równanie Bernoulliego: Dla idealnej cieczy (zakła-damy, że dla taka ciecz jest nieściśliwa, nielepka, a prze-pływ jest stacjonarny i bezwirowy) następująca wielkośćjest stała

v2

2` gh`

p

ρ“ const.,

gdzie ρ to gęstość cieczy, v to prędkość płynu w rozpatry-wanym miejscu, h to wysokość w danym układzie odnie-sienia, g to przyśpieszenie grawitacyjne, p to ciśnienie wrozpatrywanym miejscu.

Zadania nieobliczeniowe

Zadanie 1 [NZzF, roz.1, zad. 48]

Na jednym talerzyku wagi sklepowej stoi zlewka z wo-dą, na drugim zlewka z naftą. Waga jest w równowadze.No końcach ramion wagi szalkowej zawieszonej nad wagąsklepową wiszą kulki mosiężne o równych masach. Wagaszalkowa też jest w równowadze. Wagę szalkową opusz-czamy tak, aby każda z kulek całkowicie zanurzyła się wróżnych cieczach nie dotykając ścianek zlewek. Jak zacho-wają się wagi?

Zadanie 2 [NZzF, roz. 1, zad. 53]

W ścianie naczynia z cieczązamocowano na osi jednorodnywalec, tak jak to pokazuje rysu-nek poniżej. Walec ściśle wypeł-nia otwór i może obracać się zminimalnym tarciem. Na każdąz połówek walca znajdująca sięna zewnątrz i wewnątrz naczy-nia działa siła ciężkości. Na po-łówkę walca znajdującą się we-wnątrz naczynia działa dodat-kowo ze strony cieczy siła wypo-ru. Walec powinien się obracać.Mamy więc perpetum mobile?

Zadanie 3 [NZzF, roz. 1, zad. 57]

Idealna (tzn. nieściśliwa i nielepka) ciecz opływa nie-skończony walec. Na rysunkach przedstawione są linie prą-du w dwóch przypadkach: w dużej odległości od walcaciecz ma prędkość niezależną od położenia (a) oraz cieczporusza się po okręgach (b). Pokaż, korzystając z symetriioraz równania Bernoulliego, jakie siły działają na walce wobu przypadkach. Następnie powiedz, jaka jest ta siła dlaprędkości cieczy będącej sumą prędkości z obu przypad-ków?

Zadanie 4 [XLI OF, etap 1]

Dwa naczynia w kształcie stożków ściętych, otwarte ugóry i połączone cienką rurką napełniono wodą o tempe-raturze pokojowej. W którą stronę przepłynie woda, gdypodgrzejemy ją w naczyniu 1, w którą, gdy podgrzejemy w

naczyniu 2, a co się stanie, gdy jednocześnie podgrzejemywodę w obu naczyniach? W każdym przypadku zakłada-my, że podgrzewanie jest na tyle powolne, by temperaturapodgrzewanej wody była jednakowa w całej objętości na-czynia, oraz że układ naczyń połączonych rurką nie ulegaodkształceniu.

Zadania obliczeniowe

Zadanie 5 [LI OF, etap 1]

Jednorodna kulka o objętości V pływa na granicy dwóchniemieszających się cieczy. Gęstość jednej z cieczy wynosiρ1, a drugiej ρ2, natomiast materiału z którego wykonanajest kulka ρ i spełnia relacje ρ1 ă ρ ă ρ2. Jaka część ob-jętości kulki znajduje się w górnej a jaka w dolnej cieczy?Co się dzieje, gdy ρÑ ρ1, a co gdy ρÑ ρ2?

Zadanie 6 [XLV OF, etap 1]

Jednorodny cienki drewniany patyczek o długości l jestzanurzony w wodzie. Jeden z jego końców jest swobodny,drugi przytrzymywany koniec przesuwa się powoli wzdłużosi x (patrz rysunek). Patyczek może się obracać swobod-nie wokół przytrzymywanego końca. Wykreśl zależność ką-ta α (jaki tworzy z pionem patyczek) od x w przedzialex P p´l, lq. Przyjmij gęstość drewna równą 0,5 gcm3 orazgęstość wody równą 1 gcm3.

Zadanie 7 [g-OF, 7.15]

W kranie wodociągowym za pomocą gumowejrurki zamocowano rurkę szklaną o długości 1 mi przekroju wewnętrznym 0.3 cm2 zakrzywionąna końcu pod kątem prostym (patrz rysunek).Oblicz kąt, o jaki odchyli się rurka od kierunkupionowego jeżeli prędkość wypływu wody wynosi2 ms, a masa rurki jest równa 80 g. Siły sprę-żystości rurki gumowej zaniedbujemy.

Zadanie 8 [z pamięci]

Drewniany klocek o kształcie walca pływa pionowo wwodzie. Jak będzie poruszał się klocek jeżeli go trochęwciśniemy pionowo w wodę? Czy wróci do położenia rów-nowagi? Jeżeli tak to po jakim czasie? Zaniedbaj oporypowietrza i lepkość, i załóż, że klocek zawsze będzie utrzy-mywał pion. Przyjmij za dane gęstość wody i drewna, orazwysokość cylindrycznego klocka.Pytanie zaawansowane: Jak będzie wyglądał jego ruchjeżeli weźmiemy pod uwagę siłę oporu wynikającą z lep-kości proporcjonalną do prędkości klocka?

Zadanie 9 [XLVIII OF, etap 1]

Szklanka ma kształt cylindra o średnicy wewnętrz-nej 6,6 cm, zewnętrznej 6,8 cm i wysokości 10 cm. Masaszklanki wynosi 150 g. Szklankę zanurzono w wodzie, od-wrócono i wyciągnięto do połowy (patrz rysunek). Jakąsiłą trzeba działać na tę szklankę, by ją utrzymać?

Literatura

[NZzF] J. Domański, J. Turło, Nieobliczeniowe zadaniaz fizyki, Pruszyński i S-ka, Warszawa, 1997.

[g-OF] Zbiór zadań z olimpiad fizycznych redakcja W.Gorzkowskiego, Wyd. Szkolne i Pedagogiczne, War-szawa, 1987.

Zadanie 10 [Landau,Lifszyc]

Wyznaczyć kształt powierzchni swobodnej cieczy nie-ściśliwej znajdującej się w polu ciężkości w naczyniu cy-lindrycznym, które obraca się wokół swojej osi ze stałąprędkością kątową Ω.Pytanie zaawansowane: Skorzystaj z równania Euleraopisującego przepływ cieczy nieściśliwej: B~v

Bt ` p~v ¨ ∇q~v “´∇p

ρ `~F . Podpowiedź: Na powierzchni swobodnej cieczy

ciśnienie jest stałe.