Zagadnienia statystyki aktuarialnej · ma rozkład normalny N(0, 1). Wyznaczenie mocy testu przy...

Zagadnienia statystyki aktuarialnej

Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego we WrocławiuWrocław 2011

pod redakcjąJoanny Dębickiej

Recenzenci:KrzysztofDębicki,GrzegorzKończak, ZbigniewPalmowski,WłodzimierzSzkutnik

Redakcjawydawnicza:JoannaŚwirska-Korłub

Redakcjatechniczna:BarbaraŁopusiewicz

Korektor:BarbaraCibis

Łamanie:AdamDębski

Projektokładki:BeataDębska

Publikacjajestdostępnanastroniewww.ibuk.pl

StreszczeniaopublikowanychartykułówsądostępnewTheCentralandEasternEuropeanOnlineLibrarywww.ceeol.com, atakżewadnotowanejbibliografiizagadnieńekonomicznychBazEkon http://kangur.uek.krakow.pl/bazy_ae/bazekon/nowy/index.php

Informacjeonaborzeartykułówizasadachrecenzowania znajdująsięnastronieinternetowejWydawnictwa www.wydawnictwo.ue.wroc.pl

Kopiowanieipowielaniewjakiejkolwiekformie wymagapisemnejzgodyWydawnictwa

© CopyrightbyUniwersytetEkonomicznyweWrocławiu Wrocław2011

ISSN 1899-3192 ISBN 978-83-7695- 240-6

Wersjapierwotna:publikacjadrukowana

Druk:DrukarniaTOTEM

Spis treści

Wstęp................................................................................................................ 7

Joanna Dębicka: Indeksacja przepływów pieniężnych w ubezpieczeniachwielostanowych.......................................................................................... 9

Stanisław Heilpern: Wyznaczaniewielkościrentywzależnychgrupowychubezpieczeniachnażycie............................................................................ 30

Aleksandra Iwanicka: Wpływzewnętrznychczynnikówryzykanaprawdo-podobieństworuinywagregacjidwóchklasubezpieczeń......................... 49

Anna Nikodem-Słowikowska: Theeffectofdependenceonlifeinsurance. 60Katarzyna Ostasiewicz: Modele progowe i ich zastosowaniew socjologii

iekonomii................................................................................................... 77Stanisława Ostasiewicz, Katarzyna Ostasiewicz: Modelowanie trwania

życiawpopulacjachniejednorodnych........................................................ 99Katarzyna Sawicz: Uwagi o finansowaniu systemu ochrony zdrowia

wPolsce...................................................................................................... 123Janusz L. Wywiał, Agnieszka Źrubek: Odokładnościanalitycznegowy-

znaczania mocy pewnego testu na normalność rozkładu prawdopodo-bieństwa...................................................................................................... 131

Summaries

Joanna Dębicka, Indexingcashflowsinmultistateinsurancecontracts....... 29Stanisław Heilpern, Calculationofpensionsinthemultiplelifeinsurances 48Aleksandra Iwanicka, Influence of some outside risk factors on a ruin

probabilityintheaggregatedtwo-classesriskmodel................................ 59Anna Nikodem-Słowikowska, Wpływ zależności na ubezpieczenia na

życie............................................................................................................ 76Katarzyna Ostasiewicz, Thresholdmodelsandtheirapplicationtosociology

andeconomics............................................................................................ 98Stanisława Ostasiewicz, Katarzyna Ostasiewicz, Approximationofsurvival

functionforheterogeneitypopulation....................................................... 122Katarzyna Sawicz, Somecommentsonthefinancingofhealthcaresystem

inPoland..................................................................................................... 130Janusz L. Wywiał, Agnieszka Źrubek, On estimation of the power of a

normalitytest.............................................................................................. 147

PRACE NAUKOWE UNIWERSYTETU EKONOMICZNEGO WE WROCŁAWIU nr 230 RESEARCH PAPERS OF WROCŁAW UNIVERSITY OF ECONOMICS

Zagadnieniastatystykiaktuarialnej ISSN1899-3192

Janusz L. WywiałUniwersytetEkonomicznywKatowicachAgnieszka ŹrubekKAMSOFTSAKatowice

O DOKŁADNOśCI ANALITYCZNEGO WYZNACZANIA MOCY PEWNEGO TESTU NA NORMALNOśĆ ROZKŁADU PRAWDOPODObIEŃSTWA

Streszczenie: Z. Pawłowski zaproponował test nanormalność rozkładu prawdopodobień-stwa skonstruowanegonapodstawie znanego twierdzeniaGeary’egogłoszącego, żeprostapróbastatystycznajestzrozkładunormalnegowtedyitylkowtedy,gdyśredniazpróbyiwa-riancja zpróby sąniezależne.Celem niniejszej pracy jest ocena dokładności oszacowaniamocyrangowegotestunanormalnośćrozkładu,gdysprawdzianemtestujestproponowanyprzezWywiaławspółczynnikkorelacjirangowejKendalla[2].Uzyskaneanalityczneocenymocy testu zostały porównane zsymulacyjną oceną tejmocy. Jako rozkłady alternatywnedlahipotetycznegoprzyjętorozkładchi-kwadratlubrozkładDagumawykorzystywanyprzymodelowaniurozkładówdochodów.

Słowa kluczowe:testnormalnościrozkładu,moctestu,symulacjakomputerowa,współczyn-nikkorelacjirangowej.

1. Wstęp

Rozpoczynamy odlosowania k statystycznych próbek prostych, z których każdaskłada się zm elementów. Następnie wyznaczamy k par obserwacji X Si i,

2( ) , i=1,…,k),przyczym

X m Xi ijj

m

==

∑11

, (1)

S m X Xi ij ij

m2 2

1

1= −=

∑ ( ) . (2)Wywiał[5]zaproponowałjednoczesnerangowanieelementówciągu X Si i,

2( ) ,przekształcającgowciągparrang(ai,bi),i=1,…,k),przyczymaijestrangąprzy-pisanąśredniejX̅ i,natomiastbijestrangąnadanąwariancji Si

2 .

132 JanuszL.Wywiał,AgnieszkaŹrubek

GdyprawdziwajesthipotezaH0onormalnościrozkładu,wówczasprawdziwabędzierównieżhipotezaH'0:ρ =0,gdzieρoznaczawartośćwspółczynnikakorelacjirangowejpar X Si i,

2( ) .NatomiastgdyprawdziwajesthipotezaH1,żebadanyroz-kład charakteryzuje się asymetrią dodatnią (tak jak jest townaszymprzypadku),wówczasrównieżbędzieprawdziwahipotezaH'1: ρ =ρ0>0.

Paryrang(ai,bi)porządkujemywedługrosnącychwartościrangbiWówczask jestliczbąprawdziwychimplikacjiai > aj,jeślii > j,przyczymi =2,…,k,j=1,…,k −1.Zkolei 'il jestliczbąprawdziwychimplikacjiai < aj,jeślii > j,przyczym i =2,…,k,j=1,…,k −1,WspółczynnikkorelacjirangowejKendalla[2]mawów-czaspostać:

Q Fk k= −

21( ), (3)

gdzie

F l li i

i

k

= −=∑ ( )'1

. (4)

Kendallwykazał,żejeżelip=0 i k → 0,tozmienna:

Q QD Q' ( )=

, (5)

gdzie

D Q kk k( )

( )( )=

+−

2 2 59 1

, (6)

marozkładnormalnyN(0,1).WyznaczeniemocytestuprzyprawdziwościhipotezyH'1: ρ =ρ0>0sprowadza

siędowyznaczeniaprawdopodobieństwa:

P Q q H( ' | )'≥ =α δ1 , (7)

gdzieδjestwartościąmocytestu,aqαjestwartościąkrytycznązależnąodzałożone-gopoziomuistotnościα.Kendallwykazuje,żejeżeliρ≠0igdyk → ∞,tospraw-dzianQmarozkładnormalnyonadzieimatematycznejrównejρ0iodchyleniustan-dardowymrównymD*(Q).Dlaρ0estymatoremjestQ,adlaD*(Q)estymatorwyrażasięwzorem:

W k k c

kk k c k kii

k2 2 2

1

4 4 2 2 31 2 1=− − −

−− −

=∑( )!!

( )( ) ( ) , (8)

Odokładnościanalitycznegowyznaczaniamocypewnegotestunanormalność… 133

gdzie

c c c k l lii

k

i i i= = − − −=∑1

1' .

Wzór(7)równoważnyjestnastępującymrelacjom:

P Q q D Q H( ( ) | )'≥ =α δ1 , (9)

P QD Q

q D QD Q H

−≥

−

=

ρ ρ δα0 0 1* *

'

( )( )( ) | . (10)

Wielkościρ0,D(Q)iD*(Q)zastępujemyocenamiichestymatorówiotrzymuje-my:

P QD Qq Q k k

kk k k k k

k

−≥ − −

+

− − − +ρ03 2

12 5

1 2 3 2 5

2*( )

( ) ( )( )( )( )

(( ) ( ) ( )| ''

k c k c k kH

ii

k

− − − − −

=

=∑1 2 3 12 2 2 21

1 δ. (11)

Wiemy,żestatystyka:

Z QD Q=

− ρ0*( )

(12)

marozkładnormalnyN(0,1).Wprowadzającoznaczenie:

zq Q k k

kk k k k k

k k ciδ = −

−+

− − − +

−3 2

12 5

1 2 3 2 5

2 1 2( ) ( )( )( )( )

( ) −− − − −=∑ ( ) ( )2 3 12 2 21

k c k ki

k, (13)

otrzymujemy:

δ ϕδ δ δ' ( | ) ( | ) ( )' '= ≥ = − < = −P Z z H P Z z H z1 11 1 , (14)

gdzieφjestdystrybuantąrozkładunormalnego.

2. Analiza symulacyjna mocy testu

Wtej części artykułuzajmiemysięoceną,podobnie jakWywiał [5],dokładnościanalitycznegowyznaczaniamocypowyższegotestu.Moctegotestuanalizowaćbę-dziemydladwóchrozkładówcharakteryzującychsięasymetriądodatnią,tj.rozkła-duchi-kwadrat( 2r )orazrozkładuDaguma(D(a,b,p)).Wiemy,żewrazzewzro-stem liczby stopni swobody rozkładu chi-kwadrat jego asymetria zmniejsza się,zatemrozważamyrozkładchi-kwadratzliczbąstopniswobody,którewynosząko-


lejno3,5,10,20i30,Współczynnikiskośnościwynosząodpowiednio1.63,1.26,0.89,0.63,0.52.

FunkcjagęstościprawdopodobieństwazmiennejorozkładzieDagumamapo-stać:

f x apx

b x bx

ap

ap a p( ) [ ( / ) ], ,=

+>

−

+

1

110 (15)

gdziea,b, p>0.WartośćoczekiwanąiwariancjęrozkładuDagumaokreślająodpo-wiedniowzory:

E X b p a ap( )( / ) ( / )

( )=+ −Γ Γ

Γ1 1 1 (16)

oraz

D X b p p a a p a a

p2

2 2 2

22 1 2 1 1 1( ) [ ( ) ( / ) ( / ) ( / ) ( / )

( )= + − − + −Γ Γ Γ Γ Γ

Γ. (17)

Współczynnik skośności, wyznaczony jako zestandaryzowany trzecimomentcentralny,dlarozkładuDagumamapostać:

β λ λ λ λ

λ λ12

3 2 1 13

2 12 3 2

3 2=

− +−

Γ ΓΓ

( ) ( )[ ( ) ] /

p pp

, (18)

gdzieλi=Γ(1−i/a)Γ(p+i/a),i =1,2,3.

MoctestuanalizowaćbędziemydlarozkładuDagumaznastępującymiparametra-mi:D(4,1252,15),D(8,2277,5),D(15,2978,1).Parametrytegorozkładuzostałydobranetak,abysiłajegoasymetriisięzmieniałaiwartośćoczekiwanapozostawałabezzmian.Wartośćoczekiwanaliczonazapomocąwzoru(16)wynosi E(X)=3000dlaD(4,1252,15),D(8,2277,5)orazD(15,2978,1).Obliczmyterazodchyleniestandardoweorazwspółczynnikiskośności.Skorzystamyzewzorów(17)oraz(18),Wstawiającodpowiednieparametry,otrzymujemy:

D(X)=1292,β1=5,505,dlarozkładuD(4,1252,15);D(X)=566,β1=1,983,dlarozkładuD(8,2277,5);D(X)=367,β1=0,599,dlarozkładuD(15,2978,1).Przejdziemy teraz dooceny dokładności analitycznego wyznaczania mocy

przedstawionegotestu.Rozważamypróbyoliczebnościachn wynoszącychkolejno20,30,40,50,70i100.Natomiastliczebnośćkażdejpodpróbywynosidwaelemen-ty.Wartościδ i δ'szacowaćbędziemynapodstawieserii100000niezależnychprób,każdaozadanejliczebnościn,składającychsięzpseudolosowychliczborozkładziechi-kwadratlubrozkładzieDaguma.

Wprowadźmynastępująceoznaczenia.Niechr oznaczamoctestuwyznaczonązapomocąkomputerowejanalizysymulacyjnej(oszacowanazapomocączęstościodrzuceniasprawdzanejhipotezyonormalnościrozkładuprzeztest).Natomiastr'


oznaczmyoszacowanąmoctestuwyznaczonąanalityczniezapomocąwzoru(14).Otrzymane wyniki zostały zamieszczone wtab. 1-8, natomiast nawykresach na rys.1-16przedstawionowynikiotrzymanedlapoziomuistotnościα =0,1.

Tabela 1. Mocetestudlarozkładuchi-kwadratz3stopniamiswobody

nα = .1 α = .05 α = .01 α = .005 α = .001

r r' r r' r r' r r' r r'20 .702 .637 .556 .519 .235 .294 .171 .223 .040 .10930 .841 .769 .720 .670 .421 .449 .331 .367 .142 .21640 .923 .854 .847 .777 .631 .581 .516 .499 .280 .33150 .961 .908 .919 .851 .761 .687 .655 .611 .428 .44170 .991 .964 .979 .935 .906 .834 .852 .779 .687 .634100 1 .991 .998 .982 .983 .941 .968 .914 .905 .829

Źródło:opracowaniewłasne.

Tabela 2. Mocetestudlarozkładuchi-kwadratz5stopniamiswobody.

nα = .1 α = .05 α = .01 α = .005 α = .001

r r' r r' r r' r r' r r'20 .544 .518 .391 .399 .128 .202 .029 .146 .015 .06630 .678 .632 .519 .518 .229 .302 .164 .234 .052 .12240 .791 .719 .657 .614 .382 .397 .275 .320 .112 .18550 .857 .787 .753 .694 .493 .483 .371 .403 .178 .25170 .938 .875 .878 .807 .678 .628 .574 .550 .351 .386100 .983 .946 .961 .907 .857 .785 .791 .723 .601 .573



nα = .1 α = .05 α = .01 α = .005 α = .001

r r' r r' r r' r r' r r'20 .379 .391 .244 .283 .061 .126 .038 .087 .005 .03630 .472 .478 .313 .364 .103 .183 .067 .134 .017 .06240 .569 .543 .409 .429 .176 .233 .110 .176 .032 .08850 .636 .603 .484 .490 .229 .285 .148 .221 .051 .11770 .752 .699 .621 .593 .343 .382 .248 .309 .106 .181100 .863 .797 .770 .708 .511 .506 .406 .428 .214 .278




n α = .1 α = .05 α = .01 α = .005 α = .001r r' r r' r r' r r' r r'20 .278 .313 .165 .217 .036 .089 .021 .060 .003 .02330 .332 .369 .197 .266 .051 .121 .031 .085 .031 .03640 .398 .414 .255 .308 .086 .148 .039 .106 .011 .04850 .443 .456 .297 .347 .110 .177 .062 .129 .018 .06270 .539 .527 .390 .415 .159 .228 .101 .173 .033 .089100 .650 .616 .510 .505 .247 .303 .171 .239 .066 .132



nα = .1 α = .05 α = .01 α = .005 α = .001

r r' r r' r r' r r' r r'20 .239 .280 .137 .191 .027 .076 .016 .050 .019 .00230 .278 .323 .156 .228 .039 .098 .023 .067 .005 .02740 .332 .360 .201 .260 .062 .118 .034 .083 .007 .04050 .364 .393 .232 .289 .077 .138 .042 .099 .010 .04570 .438 .451 .296 .343 .106 .175 .064 .129 .019 .062100 .527 .523 .386 .412 .159 .226 .103 .172 .035 .089


Tabela 6. MocetestudlarozkładuD(4,1252,15)

nα = .1 α = .05 α = .01 α = .005 α = .001

r r' r r' r r' r r' r r'20 .694 .634 .553 .516 .240 .294 .173 .224 .041 .11130 .829 .764 .708 .665 .419 .447 .332 .366 .145 .21740 .914 .848 .837 .771 .622 .576 .511 .495 .281 .33050 .955 .902 .909 .844 .749 .680 .645 .605 .420 .43970 .989 .960 .973 .930 .897 .825 .841 .770 .677 .628100 .998 .990 .996 .979 .977 .935 .960 .906 .893 .819


Tabela 7. MocetestudlarozkładuD(8,2277,5)

nα = .1 α = .05 α = .01 α = .005 α = .001

r r' r r' r r' r r' r r'20 .505 .486 .357 .370 .114 .183 .075 .132 .014 .05830 .627 .595 .464 .481 .198 .274 .139 .210 .045 .10840 .737 .679 .597 .571 .330 .358 .235 .286 .092 .16250 .805 .743 .687 .644 .424 .434 .313 .357 .144 .21770 .901 .837 .824 .760 .596 .570 .490 .492 .282 .334100 .964 .918 .929 .867 .785 .722 .704 .654 .501 .498



Tabela 8. MocetestudlarozkładuD(15,2978,1).

nα = .1 α = .05 α = .01 α = .005 α = .001

r r' r r' r r' r r' r r'20 .195 .240 .111 .161 .022 .063 .013 .041 .002 .01530 .215 .266 .118 .183 .028 .076 .016 .052 .003 .02140 .246 .289 .142 .203 .041 .088 .022 .061 .005 .02650 .260 .306 .155 .218 .047 .097 .025 .068 .006 .03070 .302 .341 .190 .248 .060 .116 .035 .083 .010 .038100 .349 .382 .233 .284 .081 .140 .050 .102 .016 .049


Rys. 1. Funkcjagęstościzmiennejlosowejorozkładziechi-kwadrato3stopniachswobody



Rys. 2. Wykresymocytestudla3stopniswobodyrozkładuchi-kwadrat







Rys. 11. FunkcjagęstościzmiennejlosowejorozkładzieD(4,1252,15)



Rys. 12. WykresymocytestuD(4,1252,15)


Rys. 13. FunkcjagęstościzmiennejlosowejorozkładzieD(8,2277,5).





Rys. 15. FunkcjagęstościzmiennejlosowejorozkładzieD(15,2978,1)





Przejdziemyterazdoporównaniamocytestur,którazostałaoszacowanazapo-mocą komputerowej analizy symulacyjnej zmocą testu r' otrzymaną zapomocąwzoru(14).Wtymceluobliczymybłędywzględne,jakiezostałypopełnioneprzywyznaczaniumocytestuwsposóbanalityczny.Skorzystamyznastępującegowzoru:

r

rr −'. (19)

Wtabelach9i10przedstawionezostałybłędywzględnedlanajczęściejprzyj-mowanychpoziomówistotnościα = 0,1 oraz α = 0,05.

Tabela 9. Błędywzględneocenymocytestuwprzypadkurozkładu

n/α2

3

2

5

2

10

2

20

2

30

0.1 0.05 0.1 0.05 0.1 0.05 0.1 0.05 0.1 0.0520 .09 .07 .05 .02 .03 .16 .13 .32 .39 .1730 .09 .07 .07 .01 .01 .16 .11 .35 .16 .4640 .07 .08 .09 .07 .05 .05 .04 .21 .08 .2950 .06 .07 .08 .08 .05 .01 .03 .17 .08 .2570 .03 .04 .07 .08 .07 .05 .02 .06 .03 .16100 .01 .02 .04 .06 .08 .08 .05 .01 .01 .07



Tabela 10. BłędywzględneocenymocytestuwprzypadkurozkładuDaguma

nD(4,1252,15) D(8,2577,1) D(15,2978,1)

α = .1 α = .05 α = .1 α = .05 α = .1 α = .0520 .08 .07 .04 .04 .23 .4530 .08 .06 .05 .04 .24 .5540 .07 .08 .08 .04 .17 .4350 .06 .07 .08 .06 .18 .4170 .03 .04 .07 .08 .13 .31100 .01 .02 .05 .07 .09 .22


3. Podsumowanie

Badaniemocytestuwskazuje,czegonależałosięspodziewać,żemoctestumalejewrazzespadkamistopniaasymetriirozkładualternatywnego.

Zprzeprowadzonej analizy wynika, żesiła asymetrii rozkładu alternatywne-godohipotetycznego rozkładunormalnegomadużywpływnadokładność anali-tycznegowyznaczaniamocy tego testu. Imwiększy jestwspółczynnik skośnościrozkładu alternatywnego, tym większa jest ta dokładność. Rozpatrując rozkłady,dlaktórychwspółczynnikskośności jestnajwiększy, tzn. rozkład 23orazrozkład D(4,1252,15),widzimy,żemaksymalnybłąd,jakizostałpopełnionyprzywyzna-czaniumocytestuwsposóbanalityczny,wynosi9%,zatemniejestonduży.

Nadokładność analitycznegowyznaczaniamocy rozważanego testumatakżewpływ liczebność próby.Wwiększości przypadków zauważamy, żejeśli zwięk-szasięliczebnośćpróby,zwiększasięrównieżdokładność.Gdyliczebnośćpróby N=100orazgdypróbapochodzizrozkładu 23lubzrozkładuD(4,1252,15), awięcrozkładów,którecharakteryzująsięsilnąasymetrią,wówczaswidzimy,żeobliczonebłędywynoszą1%lub2%,wzależnościodprzyjętegopoziomuistotności.

Przeprowadzona analiza pozwala naużycie wpraktyce analitycznej metodyocenyrozważanegotestunanormalnośćrozkładuprawdopodobieństwa.

Literatura

GearyR.C.,[1] The distribution of the student’s ratio for the non-normal samples,„SupplementtotheJournaloftheRoyalStatisticalSociety”1936.KendallM.G.,[2] Rank Correlation Methods,C.GriffinandCompanyLimited,London1958.PawłowskiZ.,[3] O testach jednoznacznych,„PrzeglądStatystyczny”1958.PawłowskiZ.,[4] Moc pewnego testu,„PrzeglądStatystyczny”1959,s.141-150.WywiałJ.L.,[5] Rozważania na temat testu normalności zaproponowanego przez Z. Pawłowskiego, „PrzeglądStatystyczny”1979,26,s.101-110.


Wywiał J.L.,[6] Symulacyjna analiza mocy modyfikacji testu na normalności rozkładu prawdopodobieństwa zaproponowanego przez Z. Pawłowskiego,[w:]Badania ekonometryczne w teorii i praktyce,red.A.S.Barczak,WydawnictwoUEwKatowicach,Katowice2010,s.29--40.

ON ESTIMATION OF THE POWER OF A NORMALITY TEST

Summary:Thetestofnormalitybasedonrankcorrelationbetweenthesamplemeanandthesamplevarianceisconsidered.ThewellknownGeary’stheoremleadstotheconclusionthatsuchacorrelationisnotsignificantwhenthehypothesisonnormalitydistributionistrue.Thepaperconsiderstheestimatorofthepowerofthetestinthecaseofasymmetricalternatives.Onthebasisofcomputersimulationanalysistheaccuracyofthisestimatorisanalysed.Thechi-squareandDagum’sdistributionsareconsideredasalternativeones.Theanalysisofthesimulationresultsleadstoaconclusionthattheproposedestimatorofthepowercanbetreatedassufficientlyaccuratefromthepracticalpointofview.

Keywords:testingnormality,powerofatest,simulationanalysis,rankcorrelation.

Zagadnienia statystyki aktuarialnej · ma rozkład normalny N(0, 1). Wyznaczenie mocy testu przy...

Documents

Transcript of Zagadnienia statystyki aktuarialnej · ma rozkład normalny N(0, 1). Wyznaczenie mocy testu przy...