1

ZADANIE 8

BADANIE WAHADEŁ SPRZĘŻONYCH

WYKAZ PRZYRZĄDÓW:

1. Wahadło sprzężone 2. Linia metrowa 3. Szalka wagi 4. Statyw 5. Odważniki 6. Ostrze pryzmatyczne do wyznaczania środka ciężkości WYKONANIE ZADANIA: 1. Dokonaj symetryzacji wahadeł (punktów zaczepienia sprężyny, okresów wahań). 2. Dokonaj pomiaru okresu drgań wahadeł. 3. Dokonaj pomiar okresu drgań wahadeł sprzężonych dla ruchu w przeciwfazie. 4. Dokonaj pomiar okresu dudnień i okresu drgań wahadeł przy występowaniu dudnień. 5. Dokonaj pomiaru okresu drgań przy jednym z wahadeł unieruchomionym. 6. Za pomocą statywu, szalki odważników i skali mikrometrycznej dokonanej statycznego pomiaru stałej sprężyny. UWAGA: Należy wykonać przynajmniej 1 z punktów 2 i 4. Literatura do zadania 8 H. Szydłowski, Pracownia fizyczna wspomagana komputerem, Warszawa 2003. § 15.0-15.4, 7.4; F.C. Crawford, Fale, Warszawa 1972. str. 48 - 52, 100 - 102; C. Kittel, W.D. Knight, M.A. Ruderman, Mechanika, Warszawa 1969. Rodz. 7;

2

ZADANIE 8

BADANIE WAHADEŁ SPRZĘŻONYCH

I. Wstęp Będziemy zajmować się dwoma wahadłami fizycznymi połączonymi sprężyną (tzw. wahadła sympatyczne) jako przykładem oscylatorów sprzężonych. Dla prostoty rozważymy jednakowe wahadła, dla których punkty zaczepienia sprężyny leżą w tych samych odległościach od osi obrotów. Zakładamy również, że w położeniu równowagi sprężyna nie jest napięta (rys. 1).

Rys. 1. Wahadła połączone sprężyną.

II. Podstawy teoretyczne 1. Rozwiązanie równań ruchu Ruch każdego z wahadeł jest płaskim ruchem obrotowym wokół ustalonej osi. W tym przypadku równanie ruchu ma postać:

∑=i

iDdtφdI 2

2

(1)

gdzie:

φ – kąt obrotu bryły, I – moment bezwładności bryły liczony względem osi obrotu, Di – moment i-tej siły działającej na bryłę liczony względem osi obrotu. (definicje występujących tu wielkości fizycznych podane są w podręcznikach mechaniki)

3

Rys. 2.

Z rys. 2 widzimy, że

iii rFD ⊥= gdzie Fi jest i-tą siłą działającą na bryłę, przyłożoną w odległości ri od osi obrotu, a Fi⊥ jest składową tej siły prostopadłą do prostej łączącej oś obrotu i punkt zaczepienia tej siły. Wprowadzamy następujące oznaczenia: m – masa wahadła; I – moment bezwładności wahadła; r – odległość środka ciężkości wahadła od osi obrotu. Wielkości te są jednakowe dla obu wahadeł. Ponadto wprowadzamy: φ1, φ2 – kąty obrotu poszczególnych wahadeł,

k – współczynnik charakteryzujący sprężynę (tzw. współczynnik sprężystości). Sprężyna rozciągnięta o x (skurczona gdy x < 0) działa siłą F = –kx, k > 0, przeciwstawiającą się sile deformującej sprężynę.

Ograniczymy się do małych wychyleń φ tak, aby z dobrym przybliżeniem spełnione były relacje

.1cos ,sin ≈≈ φφφ Na każde z wahadeł działają dwie siły:

— siła ciężkości P = mg przyłożona w odległości r od osi obrotu, o momencie φmgrφmgrrP ≈=⊥ sin

— siła sprężystości F = –kx przyłożona w odległości a od osi obrotu.

4

P

P⊥

π/2 - ϕ

ϕ

Rys. 3.

W celu obliczenia siły sprężystości F należy znaleźć przyrost długości sprężyny x. Z rys. 4 widać, że z dokładnością do czynnika rzędu cosφ ≈ 1

21 xxx −≈ czyli

).()sin(sin 2121 φφaφφax −≈−≈ Stąd na pierwsze wahadło działa siła

),( 21 φφkakxF −−≈−=′ a na drugie ta sama co do wartości, lecz przeciwnie skierowana

).( 21 φφkaFF −=′−=′′

ϕ

ϕ2 ϕ1

X2 X1

'⊥F

F’

Rys. 4.

Ponieważ kąt γ między F⊥ a F jest mniejszy od max(φ1, φ2), więc dla małych wychyleń momenty sił F′ i F″ wynoszą:

5

).(cos)(cos

212

2

212

1

φφkaaγFaFφφkaaγFaF

−≈′′=′′

−−≈′=′

⊥

⊥

Ostatecznie otrzymujemy następujące równania ruchu dla wahadeł:

)(

)(

212

222

2

212

121

2

φφkaφmgrdtφdI

φφkaφmgrdtφdI

−+−=

−−−= (2)

Zauważmy, że możemy wprowadzić nowe zmienne:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=+

=

−=+=

2ΨΨ ,

2ΨΨ

Ψ ,Ψ

212

211

212211

φφ

φφφφ (3)

Równania ruchu wahadeł w nowych zmiennych dostaniemy dodając i odejmując stronami równania (2):

0ΨΨ

0ΨΨ

2222

22

1212

12

=+

=+

ωdt

d

ωdt

d

(4)

gdzie wstawiliśmy:

.02 ,02

22

21 >

+=>=

Ikamgrω

Imgrω (5)

Równania (4) opisują ruch harmoniczny dla każdej zmiennej Ψ1, Ψ2 osobno. Mają one postać równania dla zwykłego wahadła fizycznego. Wynika z tego, że ruch układu wahadeł scharakteryzowany jest przez dwie częstości ω1 i ω2. Nazywamy je częstościami własnymi układu. Rozwiązanie ma postać:

).sin()cos()(Ψ)sin()cos()(Ψ

22222

11111

tωBtωAttωBtωAt

+=+=

(6)

Stałe A1, A2, B1 i B2 wyznaczamy z warunków początkowych. 2. Szczególne przypadki ruchu Zbadamy teraz ruch wahadeł w kilku konkretnych przypadkach. Jako czas początkowy t0 wybieramy 0, co nie zmniejsza ogólności rozważań. Aby jednoznacznie określić ruch układu należy podać cztery stałe, np. położenia i

prędkości wahadeł w chwili t0, czyli φi(0) oraz 0=t

i

dtφd . Korzystając z równań

definicyjnych dla Ψi (3) łatwo wyznaczamy stałe

0

22

0

11

Ψ ),0(Ψ ,Ψ ),0(Ψ== tt dt

ddt

d

6

Kładąc w rozwiązaniach (6) t = 0 otrzymujemy parę równań (7a) i (7c). Różniczkując równania (6) stronami i kładąc t = 0 dostajemy następną parę równań (7b) i (7d):

11 )0(Ψ A=

110

1Ψ Bωdt

d

t

==

22 )0(Ψ A=

220

2Ψ Bωdt

d

t

==

(7a)

(7b)

(7c)

(7d)W ten sposób otrzymaliśmy układ czterech równań liniowych z niewiadomymi A1, A2, B1 i B2, co pozwala wyznaczyć te niewiadome, a więc jednoznacznie określić rozwiązanie (6).

Interesują nas następujące przypadki: a) w chwili początkowej oba nieruchome wahadła wychylone są o taki sam kąt α,

czyli

.0 ,)0()0(0

2

0

121 ====

== tt dtφd

dtφdαφφ

Wówczas z (3) wynika, że

.0ΨΨ ,0)0(Ψ ,2)0(Ψ0

2

0

121 ====

== tt dtd

dtdα

Stałe A1, A2, B1 i B2 obliczymy z równań (7). Wstawiając tak otrzymane stałe do rozwiązań (6) dostajemy

0)(Ψ)cos(2)(Ψ

2

11

==

ttωαt

czyli

)cos()()cos()(

12

11

tωαtφtωαtφ

==

Jak widać, ruch każdego z wahadeł jest periodyczny. Okres wynosi

11

π2ω

T =

Ponieważ φ1(t) = φ2(t), więc sprężyna nie jest napięta, każde z wahadeł porusza się tak, jakby było niezależne od drugiego.

b) w chwili początkowej oba nieruchome wahadła wychylone są przeciwnie, każde o

taki sam kąt α:

.0 ,)0()0(0

2

0

121 ===−=

== tt dtφd

dtφdαφφ

po obliczeniach ostatecznie otrzymujemy

)cos()()cos()(

22

21

tωαtφtωαtφ

−==

Ruch jest periodyczny, okres wynosi

22

π2ω

T =

Ponieważ ω2 > ω1, więc T2 < T1.

7

Widać z powyższych przykładów, że obserwując ruch wahadeł przy odpowiednio

zadanych warunkach początkowych, można wyznaczyć częstości własne układu. c) w chwili początkowej wychylone jest tylko jedno wahadło:

.0 ,0)0( ,)0(0

2

0

121 ====

== tt dtφd

dtφdφαφ

Otrzymujemy następujące rozwiązanie:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=+=

tωωtωωαtωtωαtφ

tωωtωωαtωtωαtφ

2sin

2sin))cos()(cos(

2)(

2cos

2cos))cos()(cos(

2)(

1221212

1221211

(8)

Wprowadzamy nowe zmienne:

2Ω ,

2Ω 12

221

1ωωωω −

=+

= (9)

wtedy

)Ωsin()Ωsin()()Ωcos()Ωcos()(

122

121

ttαtφttαtφ

==

(10)

Jeżeli Ω1 jest dostatecznie większe od Ω2, wówczas ruch wahadeł można traktować jako drgania o częstości Ω1 i okresie

21

21

11

2Ωπ2

TTTTT+

==′ (11)

ze zmiennymi w czasie amplitudami: cos(Ω2t) dla pierwszego i sin(Ω2t) dla drugiego wahadła. Na rys. 5 przedstawione są wychylenia wahadeł w funkcji czasu. Amplituda wychyleń jest również periodyczną funkcją czasu o odpowiednio większym niż T1 okresie:

21

21

22

2Ωπ2

TTTTT−

==′ (12)

Oczywiście 2T ′ nie musi być całkowitą wielokrotnością 1T ′ .

Mówimy, że mamy do czynienia z dudnieniami o częstości Ω2. W czasie ruchu energia przekazywana jest między wahadłami. Gdy jedno z nich spoczywa, wówczas drugie wykonuje drgania z maksymalną amplitudą, następnie oba drgają z pośrednimi amplitudami, a potem drugie zatrzymuje się w położeniu równowagi, podczas gdy pierwsze drga z maksymalną amplitudą.

8

Rys. 5. Wychylenie wahadeł w funkcji czasu — dudnienia.

d) Na zakończenie rozważmy ruch jednego z wahadeł, np. pierwszego, gdy drugie

jest umocowane w pozycji pionowej. Wtedy 0)(2 ≡tφ

i zgodnie z (2) równanie ruchu dla pierwszego wahadła przybiera postać

01202

12

=+ φωdtφd

gdzie

.02

20 >

+=

Ikamgrω (13)

Rozwiązaniem tego równania jest ).sin()(1 δtωCtφ o +=

Stałe C i δ określone są przez warunki początkowe. Ruch wahadła odbywa się z częstością ω0 i odpowiadającym jej okresie

00

π2ω

T = .

9

III. Doświadczenie 1. Wstęp Celem doświadczenia jest obserwacja przewidywanych zjawisk, sprawdzenie podanych praw oraz wyznaczenie współczynnika sprężystości k. Większość pomiarów dotyczy okresów wahadeł, dlatego poświęcimy nieco uwagi tym pomiarom. Przypominamy, że okresem wahadła nazywamy czas, jaki upłynął od chwili, gdy minęło ono pewne położenie z określoną prędkością do chwili, gdy wróci do tego położenia z tą samą co do wartości i kierunku prędkością. Na przykład wygodnie jest liczyć okres od chwili, gdy wahadło jest maksymalnie wychylone do chwili, gdy wróci ono do tego samego położenia. Zgodnie z założeniami teorii, którą sprawdzamy, należy zawsze wychylać wahadło o małe kąty (kilka stopni). W trakcie jednego pomiaru liczymy czas wielu wahnięć łącznie. Po podzieleniu wyniku przez liczbę wahnięć otrzymamy szukany okres. Postępujemy tak ze względu na błąd związany z czasem naszej reakcji upływającym od spostrzeżenia wahadła w określonym położeniu do naciśnięcia stopera. Dzieląc wyniki czasu łącznego sprawiamy, że wspomniany błąd rozkłada się na części. Gdy wahadło mija ustalone położenie, włączmy stoper i mówimy „zero”, po pełnym wahnięciu mówimy „jeden”, itd. aż do ustalonej liczby. W naszym przypadku podczas jednego pomiaru wystarczy liczyć czas 10 drgań łącznie. Pomiary powtarzamy ok. 10 razy. Obliczamy okres średni Tśr oraz jego błąd średni kwadratowy δ(Tśr). W oparciu o Tśr obliczamy częstość ω. Średni błąd kwadratowy znalezionej w ten sposób częstości obliczamy traktując ją jako funkcję wielkości Tśr obarczonej błędem δ(Tśr):

)()( śrśr

TδTωωδ

∂∂

= .

Przed przystąpieniem do pomiarów należy sprawdzić, czy zgodnie z naszymi założeniami wahadła są jednakowe (tzn. czy każde z nich ma w granicach błędu ten sam okres) oraz czy sprężyna zaczepiona jest w równych odległościach od osi obrotów wahadeł. Uchwyty do sprężyny można przesuwać wzdłuż prętów wahadeł. 2. Wyznaczanie okresów i częstości własnych układu. Obserwacja dudnień. a) Ustalając warunki początkowe jak w przypadku II.2.a można obserwować drgania

z częstością ω1. Zauważyliśmy wówczas, że w czasie tego ruchu sprężyna faktycznie nie ulega odkształceniu. W tej sytuacji lepiej jest rozłączyć wahadła i badać ruch dowolnego z nich (założyliśmy, że są one jednakowe). Będzie to również ruch okresowy z częstością ω1. Aby przekonać się o tym, wystarczy rozwiązać jedno z równań (2) w przypadku, gdy nie ma sprężyny (k = 0).

Wyznaczamy okres T1, odpowiadającą mu częstość własną układu 1

1π2

Tω = .

Obliczamy błędy. b) Ustalamy warunki początkowe jak w przypadku II.2.b. W chwili t0 = 0 oba

nieruchome wahadła wychylone są o równe co do wielkości bezwzględnej, a przeciwne kąty. Teoretycznie nie ma znaczenia, czy wahadła są rozsunięte (rys. 6a) czy zsunięte (rys. 6b), wygodniej jest jednak zrealizować drugi przypadek. Zbliżamy wahadła ku sobie. Sprężyna jest teraz skurczona. Ponieważ ma ona

10

tendencję do wyginania się w łuk, należy na tyle zbliżyć wahadła, aby wygięcie to nie wystąpiło jeszcze, w przeciwnym razie zmienia się współczynnik sprężystości k. Związujemy nitką końce zsuniętych wahadeł. W równowadze oba nieruchome wahadła będą symetrycznie wychylone ku sobie. Po przepaleniu nitki nastąpi ruch opisany w punkcie II.2.b. Jest to ruch okresowy z częstością ω2. Obserwując dowolne z wahadeł wyznaczamy okres T2 i odpowiadającą mu częstość własną

układu 2

2π2

Tω = . Obliczamy błędy.

c) Znając odpowiadające częstościom własnym układu okresy T1 i T2 możemy wyznaczyć okresy 1T ′ i 2T ′ dane wzorami (11) i (12). Traktując 1T ′ i 2T ′ jako funkcje wielkości T1 i T2 obarczonych błędami δ(T1śr) i δ(T2śr) (do obliczeń bierzemy tu T1śr i T2śr) wyznaczamy błędy kwadratowe )(δ 1T ′ oraz )(δ 2T ′ :

2 ,1 ,))(δ())(δ()(δ 2śr2

2

śr2

2śr1

2

śr1

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=′ iTTTT

TTT ii

i .

a b c

Rys. 6. Schemat sprzężenia dla różnych warunków początkowych

d) Porównujemy powyższe przewidywania z wynikami doświadczalnymi. W tym celu ustalamy warunki początkowe jak w przypadku II.2.c. W chwili t0 = 0 oba wahadła powinny być nieruchome. Jedno z nich jest wychylone o niewielki kąt (dodatni lub ujemny), a drugie spoczywa w położeniu pionowym (rys. 6c). Puszczamy wahadło, obserwujemy dudnienia. Pomiar okresów 1T ′ i 2T ′ odbywa się na podstawie obserwacji ruchu jednego z wahadeł.

Pomiar okresu 1T ′ (krótszego): Liczymy tu drgania jednego z wahadeł nie zważając, że odbywają się one ze zmienną amplitudą. Ze względu na warunki doświadczenia nie zawsze można liczyć czas dużej ilości drgań łącznie bez obawy popełnienia większego błędu, może się bowiem zdarzyć, że wahadło zatrzyma się w trakcie liczenia. W układzie zrealizowanym w Pracowni wahadło staje co kilka lub kilkanaście drgań w zależności od położenia punktu zaczepienia sprężyny. W trakcie jednego pomiaru liczymy czas 5 drgań łącznie. Obliczamy

11

stąd okres 1T ′ . Pomiar powtarzamy ok. 10 razy. Obliczamy średnią i średni błąd kwadratowy δ(T1śr).

Pomiar okresu 2T ′ (dłuższego): Znów obserwujemy ruch dowolnego wahadła. Należy pamiętać, że od jednego zatrzymania się wahadła do ponownego mija tylko pół okresu. Wygodnie jest rozpocząć liczenie, gdy wahadło staje. W trakcie jednego pomiaru liczymy czas 5 drgań łącznie. Ze względu na błąd spowodowany trudnością ustalenia momentu zatrzymania się wahadła pomiary powtarzamy większą niż dotychczas liczbę razy, np. 20. Obliczamy śr2T ′ i )(δ śr2T ′ . Porównujemy otrzymane wyniki z przewidywaniami opartymi na podstawie pomiarów opisanych w punktach III.2.a i III.2.b.

e) Okres T0 mierzymy obserwując ruch dowolnego z wahadeł, podczas gdy drugie

umocowane jest za pośrednictwem statywu w pozycji pionowej. 3. Wyznaczanie współczynnika k sprężystości sprężyny a) Metoda dynamiczna

Należy posłużyć się równaniami (5) lub pierwszym z równań (5) i równaniem (13). Można też zastosować wszystkie równania (5) i (13) i wyznaczyć niezależne dwie wartości współczynnika k. Potrzebną wartość masy m uzyskujemy przez ważenie wahadła lub wykorzystując informację podaną na wahadle. Odległość r środka masy wahadła od osi obrotu znajdujemy równoważąc wahadła ułożone w poziomej pozycji na pryzmatycznym ostrzu (rys. 7). Wahadła należy w tym celu zdjąć ostrożnie z łożysk, a po pomiarze ułożyć precyzyjnie na powrót w ich właściwych łożyskach.

Rys. 7.

b) Metoda statyczna Współczynnik k wyznaczamy mierząc przyrost długości sprężyny pod wpływem znanego przyrostu obciążenia (rys. 8).

12

Rys. 8.

Czy wyznaczone obiema metodami współczynniki k są jednakowe w granicach błędów pomiaru? Skomentuj wyniki. Uwaga: czerwona kreska na pręcie wahadła znajduje się w odległości 15 cm od osi obrotu. Literatura do ćwiczenia 8 H. Szydłowski, Pracownia fizyczna wspomagana komputerem, Warszawa 2003. § 15.0-15.4, 7.4; F.C. Crawford, Fale, Warszawa 1972. str. 48 - 52, 100 - 102; C. Kittel, W.D. Knight, M.A. Ruderman, Mechanika, Warszawa 1969. Rodz. 7

13