НАУЧНО-ПОПУЛЯРНЫЙ ФИЗИКО -МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

ИЗДАЕТСЯ С ЯНВАРЯ 1 9 7 0 ГОДА

В номере:

2 Источники электричества. Л.Ашкинази11 Еще раз о графике синуса. Е.Бакаев

З А Д А Ч Н И К « К В А Н Т А »

16 Задачи М2598–М2601, Ф2605–Ф260817 Решения задач М2586–М2589, Ф2593–Ф2596

«КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

22 Задачи23 Примеры и контрпримеры. А.Канунников

К О Н К У Р С И М Е Н И А . П . С А В И Н А

27 Задачи 29–32

Ш К О Л А В « К В А Н Т Е »

28 Не чихать: пандемия! А.Стасенко

Ф И З И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т А Т И В

29 Дышите на здоровье! А.Минеев

К А Л Е Й Д О С К О П « К В А Н Т А »

32 Векторы в физике

М А Т Е М А Т И Ч Е С К И Й К Р У Ж О К

38 Об укладке блинов, котлет и апельсинов.С.Дориченко

О Л И М П И А Д Ы

43 XLI Турнир городов. Задачи весеннего тура45 LXXXIII Московская математическая олимпиада47 Московская олимпиада школьников по физике

2020 года

58 Ответы, указания, решения

Вниманию наших читателей (26, 27)

Н А О Б Л О Ж К Е

I Иллюстрация к статье Е.Бакаева

II Коллекция головоломок

III Шахматная страничка

IV Прогулки с физикой

УЧРЕДИТЕЛИ

Российская академия наук

Математический институт

им. В.А.Стеклова РАН

Физический институт

им. П.Н.Лебедева РАН

Ю№420

20

А ПРЕЛЬ

ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР

А.А.Гайфуллин

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ

Н.Н.Андреев, Л.К.Белопухов,

М.Н.Бондаров, Ю.М.Брук,

А.А.Варламов, С.Д.Варламов,

А.П.Веселов, А.Н.Виленкин, В.И.Голубев,

Н.П.Долбилин, С.А.Дориченко,

В.Н.Дубровский, А.А.Заславский,

А.Я.Канель-Белов, П.А.Кожевников

(заместитель главного редактора),

С.П.Коновалов, К.П.Кохась, А.А.Леонович,

Ю.П.Лысов, А.Б.Минеев, В.Ю.Протасов,

А.М.Райгородский, Н.Х.Розов,

А.Б.Сосинский, A.Л.Стасенко, В.Г.Сурдин,

В.М.Тихомиров, В.А.Тихомирова,

А.В.Устинов, А.И.Черноуцан

(заместитель главного редактора)

РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ

А.В.Анджанс, М.И.Башмаков, В.И.Берник,

А.А.Боровой, В.В.Козлов,

Н.Н.Константинов, Г.Л.Коткин,

С.П.Новиков, А.Л.Семенов,

С.К.Смирнов, А.Р.Хохлов

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ19 7 0 ГОДА

ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР

И.К.Кикоин

ПЕРВЫЙ ЗАМЕСТИТЕЛЬГЛАВНОГО РЕДАКТОРА

А.Н.Колмогоров

Л.А.Арцимович, М.И.Башмаков, В.Г.Болтянский,

И.Н.Бронштейн, Н.Б.Васильев, И.Ф.Гинзбург,

В.Г.Зубов, П.Л.Капица, В.А.Кириллин,

Г.И.Косоуров, В.А.Лешковцев, В.П.Лишевский,

А.И. Маркушевич, М.Д.Миллионщиков,

Н.А.Патрикеева, Н.Х.Розов, А.П.Савин,

И.Ш.Слободецкий, М.Л.Смолянский,

Я.А.Смородинский, В.А.Фабрикант, Я.Е.Шнайдер

Источники электричества

Л.АШКИНАЗИ

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20200401

Мы сделаем электричество таким дешевым,

что жечь свечи будут только богачи.

Томас Эдисон

Сначала – кое-что о силах

Школьный учебник физики гласит, чтосуществует четыре вида взаимодействий(т.е. сил) – гравитационные, электромаг-нитные, сильные и слабые. И дает некото-рое их сравнение – по радиусу действия,величине силы и области применения. За-метим сразу, что сравнивать силы по ради-усу действия можно только, если этотрадиус определен однозначно, а вообще-толучше говорить «зависимость от расстоя-ния». Далее, если уж сказали про зависи-мость от расстояния, то можно что-тоизречь и про зависимость от времени, т.е.про скорость распространения. Про ско-рость распространения одного из этих че-тырех взаимодействий учебник весьмаупрощенно, но хоть что-то говорит, продругую скорость если и говорит, то лишьпредположительно, а еще про две вообщевсе молчат (хотя иногда авторы упомина-ют про время взаимодействия). То, что этивзаимодействия реально распространяют-ся на столь малые расстояния, что времяне имеет значения, не отговорка. Логикадолжна соблюдаться, упомянуть надо. Нуи наконец, сравнивать силы разной приро-ды странно – они зависят от разных пара-метров (да еще и по-разному от расстоя-ния).

Вопрос 1. Что можно сказать о скорости рас-пространения всех взаимодействий?

Раз у нас четыре типа взаимодействий,то можно ожидать, что все, о чем расска-

зано в учебнике, привязано к этим взаимо-действиям. Гравитационное взаимодействиепроявляется в движении планет и спутни-ков, более серьезные проблемы учебникине рассматривают, хотя рассказать кое-чтоо точках Лагранжа, кривой вращениягалактик, проблеме трех тел, гравита-ционном маневре и устойчивости солнеч-ной системы вполне было бы можно.1 Иэто – частью как решение, а частью какпостановка задачи – вполне было бы по-лезно для уяснения картины мира и при-менения физики. Электромагнитное взаи-модействие проявляется в учебнике в заря-де и поле, потом – в токе и индукции,третий и последний раз – в электромагнит-ном поле, т.е. в свете и радио. Два другихвзаимодействия остаются на уровне слов.Возникает вопрос: а весь остальной учеб-ный мир – трение, реакция опоры, упру-гость, свойства твердых тел, жидкостей игазов – это что?Приходится признать, что это все –

электромагнетизм, но об этом учебникиногда что-то говорит, иногда молчит. Акогда становится совсем невтерпеж, т.е.когда заходит речь о батарейках, – вводят-ся понятия «сторонние силы» и «химичес-кая энергия». Так вот – все это электро-магнетизм, но построить на основе законовэлектромагнетизма полную и последова-тельную теорию трения, упругости, проч-ности и т.д. современная физика можетлишь частично. А в тех сегментах, в кото-рых это возможно, теория получается на-столько сложной, что изложить ее и вуниверситетском учебнике – а в школьномтем более – нельзя. Поэтому люди прибе-гают к промежуточным моделям, парамет-

1 Если термин написан курсивом, значит, онем можно найти информацию в интернете.

ры которых (коэффициент трения, упру-гость, прочность и т.д.) определяют экспе-риментально, а потом пытаются связатьэти параметры между собой, продвигаяськ чаемому пониманию устройства нашегомира. Иногда это можно, на качественномуровне, сделать и в школе.

Вопрос 2. Какой коэффициент трения боль-ше – твердого материала по твердому или того жетвердого по мягкому? Как выглядит зависимостьдиэлектрической проницаемости от частоты длянеполярной жидкости (например, жидкий аргон)и полярной (например, вода)?

Эквивалентная схема – что это?

Сейчас прибегнем к промежуточной мо-дели и введем понятие внутреннего сопро-тивления источника электроэнергии. Под-ключим наш источник к переменному со-противлению, измерим зависимость вы-ходного напряжения и тока в нагрузке отсопротивления и построим график зависи-мости напряжения от тока (рис.1). Эта

зависимость называется нагрузочной ха-рактеристикой или вольт-амперной ха-рактеристикой. Во многих случаях (на-пример, для гальванических источников –батареек и аккумуляторов) она близка кпрямой. А раз так, то возникает мысль –представить источник эквивалентной схе-мой из идеального источника ЭДС и со-противления. Эквивалентная схема – это

схема из идеальных в каком-то смыслеэлементов, которая ведет себя примернотак же, как реальное устройство.Почему вообще эквивалентные схемы

получили широкое распространение? При-чина этого «случайна»: люди поздно со-здали компьютеры. Дело в том, что компь-ютеру можно сообщать информацию окомпонентах схемы в любой форме и мож-но написать программу, которая – если этаинформация полна и непротиворечива –сделает расчет схемы. Но если зависимос-ти, которые характеризуют элементы, на-пример вольт-амперные характеристики,нелинейные, то объем вычислений оказы-вается слишком велик для расчетов вруч-ную. Поэтому и возникло когда-то понятиеэквивалентных схем.На заре физики электричества, когда

люди о том, как течет вода, хоть что-тознали, а электричество было совсем внове,для рассмотрения электричества при пре-подавании применялась «гидродинамичес-кая аналогия» – протекание тока рассмат-

ривали как течение воды.Со временем ситуация ин-вертировалась – для описа-ния гидродинамики стали ис-пользовать электрическиесхемы, тоже в некоторомсмысле эквивалентные. Длярасширения кругозора мож-но спросить в интернете эк-вивалентные схемы гидрав-лических систем или экви-валентные схемы электро-моторов.Теперь вернемся к нагру-

зочной характеристике, сде-лаем несколько замечаний изададим вопросы. Замеча-ние первое – крайние точки

называются напряжением холостого ходаи током короткого замыкания, их связь спараметрами эквивалентной схемы оче-видна – ее можно увидеть на рисунке.Замечание второе – понятие внутреннегосопротивления создано для описания на-грузочной характеристики, и оно соответ-ствует именно линейной модели. Если мыхотим использовать его расширительно и

Рис. 1

3И С Т О Ч Н И К И Э Л Е К Т Р И Ч Е С Т В А

К В А Н T $ 2 0 2 0 / № 4

4

вычислять его для разных участков реаль-ной характеристики, то оно окажется дляних несколько различным.

Вопрос 3. Если вольт-амперная характеристи-ка при малых токах выпукла вниз, а при боль-ших – вверх, как на рисунке 1, то при каких токахвнутреннее сопротивление окажется больше ипри каких меньше? И еще – можно ли использо-вать понятие внутреннего сопротивления для оп-ределения тепловыделения внутри источника элек-троэнергии?

Замечание третье – вы, наверное, заме-тили, что здесь используется термин «ис-точник электроэнергии» Лишь один размелькнуло «источник ЭДС», и это было неслучайно. В школе вы вперемежку исполь-зуете выражения «источник ЭДС» и «ис-точник тока». В физике, а точнее в ееинженерно-физической области, котораяназывается ТОЭ – Теоретические ОсновыЭлектротехники (некоторые студентывздрогнули), эти два термина означаютнекоторые идеализированные источникиэлектроэнергии. А именно, «источникЭДС» – это такой, у которого на выход-ных клеммах всегда одно и то же напряже-ние (именно это имелось в виду выше, там,где он единственный раз был упомянут). А«источник тока» – это такой, через клем-мы которого и через внешнюю цепь проте-кает всегда один и тот же ток.

Вопрос 4. Объясните, почему это не всегдавозможно. Подумайте, в каких условиях работаеттакая модель, и придумайте модель реальногоисточника с использованием не источника ЭДС(как выше), а источника тока.

А теперь попробуем выйти за пределыконцов нагрузочной прямой. Ведь не зряже мы назвали ее прямой, а не отрезком(это, конечно, шутка). Но сначала ещеодин, чисто школьный, вопрос: как вдольнашей прямой – которая пока что отре-зок – меняются мощность источника, мощ-ность в нагрузке и коэффициент полезногодействия? Если пользоваться моделью систочником ЭДС, как на рисунке 1, томощность, создаваемая источником, рас-тет с током от Р = 0 до P = EI = E2/r.Мощность в нагрузке проходит через мак-симум при сопротивлении нагрузки R = r,

а мощность, выделяющаяся в источнике,растет как 2rI , т.е. всю дорогу – не спалитеисточник! Ну, а КПД соответственно пада-ет от 100% до 0. При согласованной на-грузке это 50%. Все эти ответы можно датьбез вычислений, просто посмотрев на схе-му и немного подумав.А теперь – «поверх барьеров»! Что будет

с нагрузочной характеристикой, если токбудет больше тока короткого замыканияили будет течь в обратную сторону? Вы все(ну, почти все) делаете это, а некоторые –ежедневно. Разумеется, для того чтобыпропустить через нагрузку ток в обратнуюсторону, нужен еще один источник напря-жения, причем не какой попало. Какойже? И как его включить? А чтобы пропу-стить через нагрузку ток, больший токакороткого замыкания, тоже нужен дополни-тельный источник, причем тут его и вклю-чать надо иначе, и требований к нему будетне одно, а два. Ток в обратную сторону –это просто режим заряда. А почему акку-муляторы заряжаются, а батарейки илисовсем нет или очень плохо, читайте винтернете, ключевое слово – деполяриза-тор. Так вот, чтобы ток через нагрузку текв обратную сторону, в нагрузку включаемисточник с большей ЭДС, чем у основногоисточника, причем навстречу. А чтобы текток, больший тока короткого замыкания, внагрузку включаем источник с большейЭДС, чем у основного, причем такой,чтобы (E1 + E2)/(r1 + r2) > E1/r1.

Об устройстве батарейки

Пришла пора спросить, от чего зависятпараметры E и r. Когда мы опускаемпроводник (в частности, металл) в элект-ролит, ионы из металла начинают перехо-дить в раствор и обратно. Эти потокизависят, в частности, от прочности решет-ки проводника, концентрации ионов в ра-створе и температуры. При переходе ионовэлектрод заряжается и возникает разностьпотенциалов между электродом и раство-ром, образуется двойной электрическийслой. В итоге устанавливается такая раз-ность потенциалов, чтобы потоки сравня-лись и возникло динамическое равновесие.

Если опустить в этот же электролит другойпроводник, то у него появляется свойпотенциал относительно электролита, от-личающийся от того, который появился напервом электроде. Таким образом возник-ла разность потенциалов между электро-дами, мы изобрели гальванический эле-мент.Чтобы расширить образование и пора-

зиться человеческой изобретательности,можно набрать в интернете резервные галь-ванические элементы. Кстати, вы даже изшкольного учебника знаете, что бываютэлементы с двумя разными электролита-ми, разделенными полупроницаемой мем-браной; так что здесь дана сильно упро-щенная картина.Что касается внутреннего сопротивле-

ния, то оно связано, как обычно, с сопро-тивлением среды, по которой вынуждентечь ток. Это – электролит, т.е. то, чтонаходится между электродами (и выводы,но их сопротивление обычно пренебрежи-мо мало). Впрочем, раз нагрузочная ха-рактеристика не линейна, то сопротивле-ние не постоянно, а само сложно зависитот тока. Причем если мы произнесли слова«двойной электрический слой», значит,мы признали, что среда неоднородна. Внут-реннее сопротивление, как ему и положено(помните R L S= ρ ?) действительно умень-шается при уменьшении толщины и увели-чении площади слоя. Но оно уменьшаетсяи при увеличении шероховатости электро-дов, а это говорит о большом вкладе всопротивление именно прикатодного слоя,того самого двойного слоя. В общем, поледля исследований у вас будет – причем этаобласть физики очень и очень востребова-на техникой.Химические источники электрической

энергии создают на своих клеммах раз-ность потенциалов, а вокруг них, соответ-ственно, появляется электрическое поле.В электростатике эти вещи неразделимы –у заряда есть поле, силовые линии (привсей условности этого понятия) кончаютсяи начинаются на зарядах. Вне электроста-тики может быть и не так – если контурпронизывает переменный магнитный по-ток, то в контуре возникает электрическое

поле, его силовые линии замкнуты, они неначинаются и не кончаются на зарядах.Разумеется, такое поле не потенциально –запустив в этот контур заряд или простопоместив в него замкнутый проводник, мыизвлечем из него энергию.

Вопрос 5. Откуда, кстати, она возьмется?

Пусть источник электроэнергии имеетразность потенциалов между клеммами Eпри I = 0, т.е. при отсутствии потребления,в режиме холостого хода. Будет ли наклеммах заряд? Иногда уточняют – избы-точный заряд, чтобы не услышать, что«какие-то заряды есть всегда – протоны иэлектроны в атомах». Естественно, клем-мы будут заряжены зарядом Q = EC, гдеC – емкость между клеммами, пропорцио-нальная размеру клемм D. Когда мы со-единим клеммы сопротивлением R, понему и по ним потечет ток. Если ток будетне бесконечно мал, то напряжение междуклеммами уменьшится: U < E, уменьшит-ся и заряд. Разность зарядов сброситсячерез это самое сопротивление в виде им-пульсного тока, длительность этого им-пульса будет порядка ( )max ,RC D cτ = ,где c – скорость света, R – сопротивлениеклемм и нагрузки, оно не включает сопро-тивление источника r. Иными словами,обмен зарядами между клеммами произой-дет, даже если мы разорвем цепь источни-ка, т.е. сделаем r неограниченно большим.Казалось бы, экзотическая ситуация?

Да, но абсолютно реальная, например –оксфордский электрический звонок. Еслисильно упрощать ситуацию, то это – маят-ник, шарик на конце нити колеблется,поочередно касаясь контактов высоковоль-тной батареи и в момент касания заряжа-ющийся от них. При этом внутреннеесопротивление батареи огромно, среднийток потребления ничтожно мал (устрой-ство работает от одной батареи большевека), но время заряда весьма мало, поэто-му в импульсе ток значителен. При боль-шом сопротивлении батареи заряд касаю-щегося клемм шарика происходит не то-ком «батареи», а током накопленного наклеммах заряда. Вот оценка параметров:E = 103 B, 1210 ФC −= , 910 КлQ −= ,

5И С Т О Ч Н И К И Э Л Е К Т Р И Ч Е С Т В А

К В А Н T $ 2 0 2 0 / № 4

6

113 10 c−τ = ⋅ , max 30 AI Q= τ = , однакосредний ток равен отношению Q к периодуколебания T = 1 c, т.е. 910 A− .

Необычные источники

Однако не все источники электрическойэнергии имеют нагрузочную характерис-тику, похожую на прямую, есть и совер-шенно другие ситуации. В частности, ина-че ведут себя источники электрическойэнергии, использующие энергию, выделя-ющуюся при радиоактивном распаде. Рас-падающийся атом – сам по себе преобразо-ватель видов энергии, т.е. внутриядернуюэнергию он преобразует в механическуюэнергию, точнее в кинетическую энергию,продуктов распада плюс потенциальную,если они заряжены, плюс электромагнит-ную, если это кванты. Далее есть несколь-ко вариантов преобразования, один изних – через тепло. Частицы тормозятся всреде, энергия преобразуется в тепло(часть – в разрушение межатомных свя-зей), а дальше есть много разных спосо-бов, самый распространенный – через тер-моэлектричество (РИТЭГ), возможны идругие. Общие обзоры этих методов есть винтернете.Рассмотрим не тепловые пути превраще-

ния энергии радиоактивного распада вэлектричество. Возьмем две пластины изпроводника, нанесем на одну из них ра-диоактивный изотоп, поместим эти плас-тины в вакуум, сделав от них выводы. Внекоторой ситуации между выводами нач-нет расти напряжение. Быстро ли онобудет расти и какой величины достигнет?Расти оно будет, только если при распадевылетают заряженные частицы (α или β)и попадают на вторую пластину. Скоростьроста пропорциональна количеству распа-дов за единицу времени, заряду частиц иобратно пропорциональна емкости:U = Q/////C, а ∆U/////∆t = ∆Q/////(C∆t) = I/////C, гдеI – ток этих частиц. Расти U будет до техпор, пока что-то не прекратит этот ток илине возникнет ток утечки по оболочке, илине произойдет вакуумный пробой либопробой по воздуху. Но если все сконстру-ировано правильно, то утечек и пробоев не

будет, а напряжение между электродамипостепенно увеличится до такого, что за-ряженные частицы просто перестанут до-летать до второго электрода. Это произой-дет именно тогда, когда напряжение, ум-ноженное на их заряд, сравняется с ихисходной энергией (рис.2; здесь сплошнаялиния – идеализация, штриховая линия –

ближе к реальности, e – заряд, E – энер-гия, Imax – ток заряженных частиц). Те-перь мы можем сообразить, какой будетнагрузочная кривая для атомной батареиименно такой конструкции – мы оговари-ваем это потому, что реальные атомныебатареи устроены иначе, и далее расска-жем, как именно. Но пока – вот этапринципиальная конструкция, предложен-ная Генри Мозли более 100 лет назад.(Для расширения кругозора можно по-пробовать найти в интернете статью Пятьфотографий Генри Мозли и прочитатьее.) А нагрузочная кривая будет совер-шенно фантастической – просто горизон-тальная прямая от нуля тока до макси-мального, когда все заряженные частицыимеют строго одну энергию и долетаюткуда надо, и спад до нуля при достижениикритического значения тормозящего на-пряжения. Потому что ток, больший токазаряженных продуктов распада, получитьиз атомной батареи простейшей конструк-ции нельзя.Реально энергии частиц немного различа-

ются хотя бы потому, что не все распадаю-щиеся атомы лежат на поверхности, неко-торым заряженным частицам приходитсяпробираться к поверхности и часть энергиипри этом остается на пластине – источникечастиц. Кроме того, не все заряженныечастицы летят перпендикулярно поверх-ностям электродов, а для того чтобы недопустить до пересечения зазора частицу,вылетевшую под углом, нужно меньшеетормозящее поле. Поэтому реальная зави-симость станет менее категоричной.

Рис. 2

Однако это только начало биографииатомных батарей или, как их еще назы-вают, изотопных батарей. Вся применя-емая людьми электротехника используетвполне определенный диапазон напряже-ний и токов. Вы редко встретите напряже-ния больше 20–30 кВ, потому что приэтих напряжениях возникают серьезныепроблемы с изоляцией, а если это вакуум-ные приборы и электроны имеют в нихвысокую энергию, еще и возникает рентге-новское излучение. Другими словами, еслинадо все это использовать, есть электрон-ные приборы с напряжением 300 кВ иболее и есть линии электропередач 500 кВи более – но это промышленность, а небыт, хотя и очень важные для цивилиза-ции, но узкие области. Что касается тока,то тоже особо большие токи не слишкомудобны – растет сечение проводов. Так чтоесли для какого-то применения нужна оп-ределенная мощность, то сочетания напря-жения и тока могут быть разные, опреде-ляется это экономикой, схемными возмож-ностями, традицией и т.д. Но в общем ицелом, то сочетание напряжения и тока,которые могли бы давать атомные батареитривиальной конструкции, категорическинеудобны. Хорошо бы иметь напряжениепорядка на три-четыре меньше, а ток,соответственно, больше.Путей решения этой проблемы предло-

жено несколько, причем важно пониматьдве принципиальные вещи. Чем лучше мыиспользуем ту большую энергию, с кото-рой вылетают частицы, тем выше будетКПД. Другое ограничение – малогабарит-ное устройство не может иметь на выход-ных клеммах высокое напряжение, иначепроизойдет пробой. Малогабаритное уст-ройство с высоким КПД должно как-тоиспользовать высокую энергию частицвнутри себя, во что-то ее преобразовывая.Посмотрим, какие варианты предложены.Первый – заряженные частицы попада-

ют в пленку полупроводника, где онитормозятся и отдают свою энергию элект-ронам. Само по себе это просто увеличива-ло бы проводимость, поэтому пленка неоднородна, это p–n-переход с двумя, какему и положено, выводами. Тормозящиеся

в p–n-переходе быстрые первичные элект-роны порождают электронно-дырочныепары, поле перехода растаскивает элект-роны и дырки в разные стороны, на выво-дах накапливаются заряды, и, подсоеди-нив к выводам нагрузку, мы получим ток.Один электрон с энергией в килоэлектрон-вольты порождает тысячи пар, каждаяимеет в тысячи раз меньшую энергию, нозато их в тысячу раз больше – это иобеспечит увеличение тока. Правда, приотборе тока электронам приходится про-бираться сквозь слой полупроводника, ивольт-амперная характеристика приобре-тает черты того варианта, что был у бата-реек – при отборе тока напряжение замет-но падает.Проблем у такой конструкции несколь-

ко, и одна – общая со всеми атомнымибатареями. А именно, выбор изотопа и егоколичества. Период полураспада – этотемп падения мощности со временем исрок службы батареи; количество изотопаи энергия продуктов распада – это мощ-ность батареи, ее опасность для окружаю-щих, а если она будет летать в космосе –то это последствия прибытия на Землю сразрушением в атмосфере и заражением(уже были прецеденты) и ее опасность дляокружающих устройств. Например, полу-проводниковые приборы не любят, когдаих облучают. Естественно, есть еще обще-технические проблемы – вес, габариты,стоимость, срок службы, надежность, иног-да ремонтопригодность, патентная чисто-та. Патентная чистота важна, если собира-ются производить и легально продаватьприборы. Вес и габариты – если это носи-мая, возимая, бортовая аппаратура лета-тельного средства. Самое интересное –срок службы и надежность, потому чтоиногда лучше срок службы 10000 часов снадежностью 0,9, а иногда лучше 5000 и0,95 или 1000 и 0,99… (подумайте, когдаи почему).Еще одна проблема, которую тоже мож-

но назвать общетехнической, – это прин-ципиальная конструкция, оптимизацияпараметров, выбор материалов и разме-ров. Например, в данном случае нужновыбрать оптимальную толщину слоя, со-

7И С Т О Ч Н И К И Э Л Е К Т Р И Ч Е С Т В А

К В А Н T $ 2 0 2 0 / № 4

8

держащего изотоп, – чтобы части-цы не затормозились в нем самом.И выбрать оптимальный полу-проводник, чтобы он, например,не разрушался излучением. Этивопросы исследуются, обсужде-ния вы легко найдете в литерату-ре. По ситуации на сегодня, вкачестве изотопа используют три-тий Т (он же 3H) и никель-63 (он же 63Ni),в качестве полупроводника – кремний Si,карбид кремния SiC, нитрид и арсенидгаллия GaN и GaAs или алмаз С. Нарисунке 3 представлена вольт-амперная

характеристика оптимизированного источ-ника на никеле и алмазе.

Вопрос 6. Как вы думаете, будет ли при работеэта батарейка греться, в какой точке характерис-тики батарейка будет отдавать в нагрузку макси-мальную мощность и в какой точке будет минима-лен нагрев.

Подобное устройство может и не иметьдвух электродов – с изотопом и без оного,изотоп может просто контактировать сполупроводником. В этом случае высоко-энергетичным частицам не нужно пересе-кать вакуумный зазор – родившись, онисразу начинают распространяться сквозьполупроводник, тормозясь и порождая мно-гочисленные электронно-дырочные пары.Такие батареи (рис.4) уже выпускаютсясерийно, их напряжение 0,75–2,4 В, ток0,05–0,3 мкА, срок службы 20 лет. Рас-

падающийся изотоп – тритий Т, поэтомучерез 12 лет ток падает вдвое, полупровод-ник – кремний Si.Более того, можно, по крайней мере

теоретически, поискать вариант, когдаизотоп является одним из элементов, вхо-дящих в полупроводник. Например, еслииспользовать изотоп углерод-14 (он же14C), то можно попробовать в качествеполупроводника алмаз C или карбид крем-ния SiC. Такие идеи предлагались, и по-скольку период полураспада здесь 5700лет, то батарейка получается вечной. Ноэтот параметр почти для всех применений(кроме полета к экстрасолнечным плане-там) будет избыточен, а мощность относи-тельно мала. Кстати, при некоторых усло-виях и графен становится полупроводни-ком – так что есть, о чем пофантазировать.Предлагался и такой вариант – высоко-

энергетичные частицы возбуждают люми-несценцию, этот эффект известен и ис-пользуется. Вот, например, имеются бре-локи с тритием и люминофором (рис.5).Далее свет преобразуется в электричествофотоэлементом. Но каждое преобразова-

Рис. 4

Рис. 3

Рис. 5

ние вообще уменьшает КПД, а у фотоэле-ментов он не слишком велик.Известны варианты конструкций (неко-

торые реально использующиеся, некото-рые на уровне первых лабораторных об-разцов) с полетом заряженных частиц че-рез вакуум, причем «плоскость прилета»сделана гибкой. В этом случае при попада-нии на нее заряженных частиц она изгиба-ется, и если в итоге касается «плоскостивылета», то заряд сбрасывается обратно.В итоге мы получаем генератор не посто-янного, а переменного напряжения – чтотоже для чего-то может пригодиться. Пе-риодически изгибающаяся консоль можетбыть использована как механический дви-гатель, а если сама консоль сделана изпьезоэлектрика – то как еще один источ-ник напряжения, такая идея предлага-лась. Во всех случаях остаются в силесоображения, изложенные выше, – иливысокое напряжение, но тогда значитель-ные габариты, или малые габариты, нотогда низкий КПД. В последнем случае онстановится еще меньше из-за наличия вто-рого преобразования.Пьезокристалл – это еще один источник

электроэнергии. Точнее – преобразовательработы в электрическую энергию и обрат-но, т.е. электроэнергии в перемещение.Сопротивление пьезокристалла весьма ве-лико, поэтому мощность его, как преобра-зователя механической работы в электри-ческую мощность, мала. Обычно он при-меняется либо как источник высокого на-пряжения и малой мощности, например взажигалках, либо как датчик перемеще-ний – там мощность не столь важна. Вобратном направлении – как способ созда-ния малых перемещений. Это – генерато-ры ультразвука и устройства для точногоперемещения объектов в микроскопии иоптике. Отдельная область применения –использование механического резонанса вкристалле.Принципиальное отличие вольт-ампер-

ной характеристики атомных батарей отобычных, химических, состоит в том, чтоатомные батареи переносят заряженныечастицы и этот поток ограничен в принци-пе. Его можно прекратить, подав на выво-

ды соответствующее напряжение, но нисменить его направление, ни пропуститьчерез атомную батарею ток, больший токакороткого замыкания, невозможно (если,конечно, мы не подадим напряжение, боль-шее напряжения вакуумного пробоя – нопри этом мы батарею выведем из строя).

В кабинете физики

Существуют и другие источники элект-рической энергии, переносящие заряды,это – солнечные батареи, генератор Ванде Граафа и электрофорная машина, кое-что из этого может быть в школе. Солнеч-ная батарея – это p–n-переход, генерацияэлектронно-дырочных пар производитсяне высокоэнергетичной заряженной части-цей, а квантом света. Поскольку солнеч-ный свет на земле бесплатен и его много,люди давно и упорно пытаются добыватьэлектроэнергию прямо из него. Сейчас извсей энергии, используемой человечеством,примерно 2% получают от таких батарей.Это немного, но цифра устойчиво растет,причем в ближайшие годы рост ускорит-ся – потому что электричество, получае-мое этим способом, сравняется по стоимо-сти с «обычным» и это увеличит притокинвестиций. Соответственно, вольт-ампер-ная характеристика солнечной батареи по-хожа на характеристику атомной батареи.На рисунке 6 представлен пример харак-теристик при разной освещенности.Генератор Ван де Граафа – это источник

весьма высоких, до 25 МВ, напряженийпри малых токах, хотя усовершенствован-

9И С Т О Ч Н И К И Э Л Е К Т Р И Ч Е С Т В А

Рис. 6

К В А Н T $ 2 0 2 0 / № 4

10

ная модификация, пеллетрон, выдает до0,5 мА. Исторически его использовалидля физических экспериментов, напримердля питания линейных ускорителей, сей-час – наверное, только в учебных целях.Генератор содержит диэлектрическую коль-цевую ленту, натянутую между двумя ро-ликами и расположенную вертикально –нечто вроде вертикального эскалатора. Унижнего конца расположен источник уме-ренно высокого напряжения, который иони-зует воздух. Ионы налипают на ленту ипереносятся ею наверх. Наверху зарядснимается с ленты и переносится на прово-дящий шар большого диаметра.

Вопрос 7. Чем ограничено максимальное на-пряжение генератора Ван де Граафа, за счет чегонакапливается в нем энергия и что происходит сионами, доставленными лентой наверх?

Существует еще несколько устройств, вкоторых высокое напряжение создается засчет работы по перемещению зарядов. Воттри примера, два из которых вам, скореевсего, известны. Первый – капельницаКельвина. Попробуйте догадаться, как онаработает, посмотрев на рисунок 7. Устрой-ство примитивно – две металлические бан-ки внизу, два металлических кольца выше,два провода и труба с раздвоением, изкоторой капает.

Оказывается, принципиальный моментздесь – случайная несимметрия по заряду.Например, одну банку двигали по столу,другую нет, первая и электризовалась. Адальше что происходит? Например, леваязарядилась минусом. Тогда правое кольцотоже заряжается минусом, правый конецтрубы – плюсом, капли из него и праваябанка – плюсом, причем чем дальше, тембольше. Но вот вопрос – чем ограниченонапряжение?Близкие по принципу работы родствен-

ники этого прелестного устройства – элек-трофорная машина и ее предшественницамашина Гольца.Заметим, что при обсуждении работы

электрофорных машин часто начинаютсяспоры, важна ли для их работы электриза-ция трением. Из источников в интернетеможно сделать вывод, что электризациятрением сделает более быстрым процесснакопления заряда. И в более старыхконструкциях она действительно приме-нялась. В более поздних конструкциях,рассчитанных не на достижение наиболь-ших напряжений, а предназначенных длядемонстрации эффекта, стали обходитьсябез этого. Электризацию трением серьезноисследовал М.И.Корнфельд (публикациив журнале «Физика твердого тела»), апопулярное изложение есть в журнале«Квант» (№6 за 1985 г.).

Напоследок заметим, что источники элек-тричества есть у живых организмов, на-пример — у некоторых рыб. Люди такиеисточники, кажется, не применяют, арыбы — вполне. Они используют их длялокации и как оружие. И есть еще одинисточник электричества, причем мы самиживем внутри этого источника — это ат-мосфера. В этом случае мы можем указатьна некоторые процессы, благодаря кото-рым работает такая батарейка. Переносзарядов осуществляется в атмосфере аэро-золями — каплями воды, кристалламильда. А их заставляют двигаться потокивоздуха и гравитация.Рис. 7

В статье П.Панова (см. «Квант» № 3)обсуждается, как выглядит график

( )sin 314x , состоящий из точек с абсцисса-ми, кратными 310− . Естественно обобщитьэтот вопрос и выяснить, как выглядитграфик ( )sin ax , если отмечаются толькоего точки с абсциссами, кратными d.Здесь же мы рассмотрим другой подход к

этой задаче. Для простоты мы тоже возьмемчастный случай, но другой: a = d = 1.Построим график: на рисунке 1 изобра-

жены точки, соответствующие значениямsin x для целых x от 0 до 50. Но размерыграфика и, соответственно, масштаб осейможно выбирать по-разному. Например,вот первые 1000 точек sin x для натураль-ных x (рис.2) и первые 10000 точек (рис.3).Получается, что a и d это не единственныепараметры, от которых зависит, что мыувидим на графике, – важен еще масштабосей.

Еще раз о графике синуса

Е.БАКАЕВ

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20200402

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Графики друг на друга не похожи: наодном вырисовывается узор из шестиуголь-ников, а на другом возникает переплете-ние линий, похожих на синусы. А ведь ониустроены одинаково, просто график с 1000точками это растянутая в ширину 1 10часть графика с 10000 точками (при этомрастягивании сами точки не вытягиваютсяв овалы, а по-прежнему остаются круглы-ми). В этом можно убедиться, посмотревна график на рисунке 2 сбоку под острымуглом.Тем не менее графики выглядят по-

разному, потому что при таком растягива-нии расстояние между многими парамиточек увеличивается, и точки, которые нарисунке 3 кажутся близкими, на рисунке 2могут такими не казаться.Такой вопрос был поставлен в книге

Гилберта Стрэнга [1]. Более подробно онразобран в статье Нормана Ричерта«Strang’s Strange Figures» [2]. Наш под-ход будет во многом следовать этим источ-никам. Но будет и отличаться.

Прямая, намотанная на цилиндр

Чтобы сделать дальнейшие рассужденияи вычисления более простыми, перейдемот синусов к рассмотрению прямых. Дляэтого представим себе цилиндр. Если напрозрачной пленке нарисовать прямую инамотать пленку на прозрачный цилиндр

К В А Н T $ 2 0 2 0 / № 4

12

(рис.4), то проекциятакого цилиндра наплоскость, парал-лельную образую-щей цилиндра, бу-дет графиком сину-са. Опишем это под-робнее.Пусть на пленке

изображены перпен-дикулярные оси x, t(их единичные отрез-ки не обязательноравны), прямая l, за-даваемая уравнениемt kx= , и одна из ееточек ( )0 0;A x kx(рис.5).Намотаем пленку на цилиндр радиуса 1

так, чтобы ось x совпала с одной из обра-зующих цилиндра. Оси x, y, z попарноперпендикулярны, единичные отрезки осейy и z равны, а единичный отрезок x можетот них отличаться. На рисунке 6 старые

оси x и t изображены теми же цветами, чтои на предыдущем. Посмотрим, какие коор-динаты имеет точка A в этой системекоординат. Координата по оси x такая же,

0x . Координата по оси t стала углом пово-рота, поэтому координаты по осям y и z –соответственно, 0sinkx и 0coskx . Значит,если спроецировать цилиндр на плоскостьOxy, то проекция точки A будет иметькоординаты ( )0 0; sinx kx . Тогда проекцияпрямой l, намотанной на цилиндр, будетсостоять из точек этого вида, т.е. будетграфиком уравнения siny kx= .И наоборот – графику sin x (масштаб

осей не обязательно одинаковый) можнопоставить в соответствие прямую, нарисо-ванную на пленке, которая намотана на

цилиндр. Если мы разрежем пленку нацилиндре по оси х и развернем, то получимналоженные друг на друга части пленки снарисованными на них отрезками. Шири-на этих кусков пленки будет равна 2π –длине окружности, являющейся основани-ем цилиндра.Несложно понять, что точка с координа-

тами ( )0 0;x y на пленке будет на разверну-той пленке иметь координаты ( )0 1;x y , где1 0 2y y n= + π , n ∈ Z и 10 2y≤ < π. Это по-

хоже на «остаток при делении» на 2π, еслипроводить аналогию с целыми числами.Обозначим эту функцию как ( )m x =

22

x = ⋅ π π

(где {a} – дробная часть числа

а). Тогда ( )1 0y m y= .

Итак, представив графики на рисунках 2и 3 как нарисованные на пленке, намотан-ной на цилиндр, затем разрезав и развер-нув эти воображаемые куски пленки, по-лучим графики на рисунках 7 и 8.

Почему образуются линии?

Докажем, что на рисунке 8 точки выст-раиваются в прямые линии. Из этого будетследовать, что линии на рисунке 3 этодействительно синусы.

Рис. 4

Рис. 6

Рис. 7

Рис. 5

Из-за чего точки образуют одну линию?Потому, что они образовали последова-тельность точек, в которой соседние точкирасположены близко друг к другу. Судяпо рисунку 8, одна из прямых выходит източки ( )0; 0 . Давайте поймем, что за пос-ледовательность точек может образоватьтакую линию. Точку (i; m(i)) будем обо-значать как Ai.Какая точка графика близко расположе-

на к ( )0; 0 ? Пусть это точка Ak. Тогда«остаток при делении» k на 2π чуть боль-ше нуля, т.е. число k примерно равно 2 nπ ,причем чуть больше его. Выпишем при-ближенные значения первых чисел вида2 nπ : 6,28; 12,57; 18,85; 25,13; 31,42; 37,70;43,98. Таким образом, 44 чуть больше2 7π ⋅ и дает маленький «остаток». Преды-дущие числа дают «остаток» не меньше0,15, т.е. они хотя бы в 7 раз дальше отоси x.Можно было найти это число не проводя

эти подсчеты, а присмотревшись к рисун-ку 1. Видно, что sin 44 близок к нулю ичуть больше его (между точкой и прямойy = 0 не видно просвета), а до этого такойситуации не встречается.

Также можно заметить: для того чтобы kбыло примерно равно 2 nπ , достаточно, что-бы 2k n ≈ π . Дробь 22 7 это известноеприближение числа π, отсюда и возникает44 7 .Но известно, что дробь 355 113 тоже

приближает π с избытком, тогда 710 113приближает 2π. Почему же при этом невозникают еще и прямые с другим накло-ном? Посмотрим, как точки c абсциссами,отличающимися на 710, удалены друг отдруга на нашем графике на рисунке 8. Ихординаты действительно близки, но вотабсциссы отличаются сильно. Ширина гра-фика примерно 60 мм, значит, они удале-

ны примерно на 710

60 4,2610000

⋅ =  мм по

оси абсцисс – это достаточно много для

того, чтобы такие точки не казались намблизкими, потому что на этом рисунке укаждой точки есть гораздо более близкиесоседи. Для примера пара таких точек,

3000A и 3710A , выделена на рисунке 9.Точки же с разностью абсцисс 44 уда-

лены друг от друга примерно на44

6010000

⋅ ≈ 0,26 мм по оси абсцисс и на

13Е Щ Е Р А З О Г Р А Ф И К Е С И Н У С А

Рис. 8

Рис. 9

К В А Н T $ 2 0 2 0 / № 4

14

44 7 280

2

− ⋅ π⋅

π≈ 0,23 мм по оси ординат

(так как высота графика – около 80 мм) ипоэтому кажутся нам близкими. (Это от-носится не ко всем парам точек: если точкастоит в самом верху или самом низу гра-фика, то возможен «переход остатка» че-рез 2π.) Пара таких точек, 5000A и 5044A ,выделена на рисунке 9 – между ними невидно просвета, они почти сливаются водну точку.Заметим: мы не определяем, что значит

«близкий». Лишь говорим, что какие-торасстояния явно достаточно маленькие,чтобы точки казались близкими, а какие-то – явно слишком большие. Также мыпренебрегаем размером точек и считаем ихдостаточно маленькими – понятно, чторисунок может кардинально изменитьсяпри существенном увеличении размераточек, из которых он состоит.О приближении π и других чисел раци-

ональными дробями можно прочитать встатье Н.Бескина «Цепные дроби»(«Квант», 1970, №1).

Почему линии прямые?

Вернемся к рассмотрению линии, выхо-дящей из ( )0;0 на рисунке 8. Мы выясни-ли, что вторая точка этой цепочки( )44; 44 7 2− ⋅ π . Ровно так же взаимно рас-положены и другие точки, абсциссы кото-рых отличаются на 44, т.е. точки ( )( );k m kи ( )( )44; 44k m k+ + (опять же, кроме сто-ящих в самом верху или самом низу гра-

фика), значит, 44 0 44k kA A A A+ =���������� ��������

.

Доказать это можно с помощью свойств«остатка при делении». Доказательствооставим читателю в качестве упражнения.Таким образом, получаются 44 «преры-

вающиеся» прямые, каждая из которых

идет вдоль вектора 0 44A A��������

до верха графи-

ка и потом возобновляется снизу. И когдаобернем пленку с прямой вокруг цилиндра,то получим 44 графика синуса (графикисинусов, начинающиеся с одной стороныцилиндра, будут сначала убывать, а начи-нающиеся с другой – сначала возрастать).

Откуда возникают треугольники?

На рисунке 7 возникает сетка из треу-гольников, похожих на равносторонние.Здесь уже не вырисовываются сплошныелинии, как на рисунке 8. Зато есть тринаправления (по сторонам треугольников),вдоль которых расстояния между соседни-ми точками примерно одинаковые. Чтобы вэтом убедиться, надо провести некоторыедовольно громоздкие вычисления, которыхмы хотели бы здесь избежать. Вместо этогоприведем краткое объяснение.Как мы уже выяснили, рациональные

приближения 2π порождают цепочки внекоторой степени близких точек, но на-сколько именно они близки, зависит отпараметров графика. Например, на рисун-ке 8 приближение дробью 44 7 дает це-почки близких точек, а другие приближе-ния – нет. В случае же рисунка 7 три

приближения дробями 44 7 , 25/4, 19 3дают цепочки примерно одинаковых поблизости точек. На рисунке 10 отмеченыточка 500A и три точки, номера которыхотличаются от 500 на знаменатели этихдробей – 44, 25 и 19.

Рис. 10

15Е Щ Е Р А З О Г Р А Ф И К Е С И Н У С А

Более подробно это доказательство из-ложено в уже упомянутой статье НорманаРичерта.

Откуда берутся шестиугольники?

Мы выяснили, как можно объяснитьтреугольники на рисунке 7, но как появля-ются шестиугольники на рисунке 2?Рисунок 2 мы получаем сворачиванием

«в трубку» рисунка 7. При этом однаполовина рисунка накладывается на дру-гую. Появление шестиугольников можнообъяснить так называемым эффектом му-ара: он возникает при наложении периоди-ческих узоров. Для примера на рисунке 11показано, что получается при наложениидруг на друга двух квадратных сеток. Обэффекте муара можно прочитать в статьеЗ.Пятаковой, А.Пятакова «О муарах,оживших иллюстрациях и пользе моде-лей» («Квант», 2010, №6).Отметим, что и при накладывании непе-

риодических узоров тоже могут возникатьинтересные эффекты. Например, эффект,иллюстрирующий теорему Шаля, можнонаблюдать на сайте «Математические этю-

ды» (http://www.etudes.ru/ru/models/chasles-theorem/). Прочитать о нем можнов статье С.Дориченко, С.Шашкова и А.Ше-ня «Загадочные круги и движения плоско-сти» («Квант», 2009, №4).

Возвращаясь к общему случаю

Итак, мы разобрались со случаем a = d = 1при конкретных размерах графиков. Рас-суждая аналогично, получим, что цепочкиблизко расположенных точек возникают

из удачных приближений числа 2

ad

π . Заме-

тим, что если параметры a и d менять так,

чтобы произведение ad было постоянным,то картинка никак не меняется.Например, для первого графика из ста-

тьи П.Панова это выражение равно2

20,010,001 314

π≈

⋅, что хорошо приближа-

ется дробью 20 1 . Этим можно объяснить

появление 20 графиков синуса.Как мы выяснили выше, получающаяся

картинка зависит от параметров графиканетривиальным образом, поэтому дать про-стую формулу в ответ на основной вопросэтой статьи не получается. Но мы обозна-чили некоторые подходы к изучению час-тных случаев, которые, как мы надеемся,были интересны читателю.

Еще пара задач

Напоследок предлагаем подумать надтакими задачами, связанными с затрону-тыми нами темами.1. Батон колбасы разрезали под углом

45° к направляющей батона и сняли обо-лочку. Докажите, что ее граница это гра-фик синуса.2 (И.Богданов, Всероссийская олимпиа-

да по математике) . Даны различные нату-ральные числа a, b. На координатнойплоскости нарисованы графики функцийy = sin ax, y = sin bx и отмечены все точкиих пересечения. Докажите, что существуетнатуральное число c, отличное от a и b,такое, что график функции y = sin cxпроходит через все отмеченные точки.

Литература

1. Gilbert Strang. Calculus (1991, pp.34–36).2. Norman Richert. Strang’s Strange Figures

(The American Mathematical Monthly, Vol. 99,No. 2 (Feb., 1992), pp. 101–107).

Рис. 11

Задачи

по математике и физике

Этот раздел ведется у нас из номера в номер с момента основания журнала. Публикуемые в

нем задачи нестандартны, но для их решения не требуется знаний, выходящих за рамки

школьной программы. Наиболее трудные задачи отмечаются звездочкой. После формулировки

задачи мы обычно указываем, кто нам ее предложил. Разумеется, не все эти задачи публикуются

впервые.

Решения задач по математике и физике из этого номера следует отправлять по электрон-

ным адресам: math@kvant.ras.ru и phys@kvant.ras.ru соответственно или по почтовому адресу:

119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А, «Квант».

Условия каждой оригинальной задачи, предлагаемой для публикации, вместе с Вашим

решением этой задачи присылайте по тем же адресам.

Задачи М2598 – М2601 предлагались на весеннем туре XLI Турнира городов.

Задачи Ф2605–Ф2608 предлагались на заключительном туре Инженерной олимпиады

школьников в 2019/20 учебном году. Автор задач – С.Муравьев.

Задачи М2598–М2601, Ф2605–Ф2608

M2598. Может ли в сечении какого-тотетраэдра двумя разными плоскостямиполучиться два квадрата: один – со сторо-ной не больше 1, а другой – со стороной неменьше 100?

М.Евдокимов

M2599. К Ивану на день рождения при-шли 2N гостей. У Ивана есть N черных иN белых цилиндров. Он хочет устроитьбал: надеть на гостей цилиндры и выстро-ить их в хороводы (один или несколько)так, чтобы в каждом хороводе было хотябы два человека и люди в цилиндраходного цвета не стояли в хороводе рядом.Докажите, что Иван может устроить балровно (2N)! различными способами. (Ци-линдры одного цвета неразличимы; всегости различимы.)

Г.Погудин

M2600. Дан вписанный четырехугольникABCD. Окружности с диаметрами AB иCD пересекаются в двух точках 1X и 1Y .Окружности с диаметрами ВС и АD пере-секаются в двух точках 2X и 2Y . Окруж-ности с диаметрами AС и ВD пересекаютсяв двух точках 3X и 3Y . Докажите, чтопрямые 1 1X Y , 2 2X Y , 3 3X Y пересекаются водной точке.

М.Дидин

M2601. Глеб задумал натуральные числаN и a, где a < N. Число a он написал надоске. Затем Глеб стал проделывать та-кую операцию: делить N с остатком напоследнее выписанное на доску число иполученный остаток от деления такжезаписывать на доску. Когда на доскепоявилось число 0, он остановился. Могли Глеб изначально выбрать такие N и a,чтобы сумма выписанных на доске чиселбыла больше 100N?

И.Митрофанов

Ф2605. Два маленьких шарика – легкийот пинг-понга и тяжелый каучуковый –бросают вместе на пол с высоты h (шарикот пинг-понга – сверху, кау-чуковый – снизу; рис.1). Ша-рики падают на землю, и кау-чуковый шарик отражается отземли. Считая, что все столк-новения шариков упругие, чтомежду шариками есть неболь-шой зазор и шарик от пинг-понга много легче каучуково-го шарика, найдите, на какуювысоту подпрыгнет шарик от пинг-понга.Размеры шариков много меньше высоты h.Сопротивлением воздуха пренебречь.

Ф2606. Шесть одинаковых зацепляющих-ся зубчатых колес связаны рычагом, вра-щающемся с угловой скоростью ω относи-

Рис. 1

З А Д А Ч Н И К « К В А Н Т А »

З А Д А Ч Н И К « К В А Н Т А »17З А Д А Ч Н И К « К В А Н Т А »17

тельно центра колеса 1, которое являетсянеподвижным (рис.2). Найдите угловуюскорость шестого колеса.

Ф2607. Инженеры-взрывотехники прово-дят испытание новых видов взрывчатки воткрытом снизу толстостенном цилиндри-ческом «колоколе» массой М и радиусомR, стоящем на земле. Внутри колокола наего оси на высоте h от поверхности земливзрывается заряд массой m. Заряд разры-вается на множество мелких осколков,разлетающихся с одинаковыми скоростя-ми равномерно во все стороны. Считая,что все осколки либо уходят в землю, либозастревают в стенках колокола, что массаколокола много больше массы осколков ивсе осколки долетают до колокола практи-чески одновременно, найдите высоту, накоторую он подпрыгнет над землей. Сум-марная кинетическая энергия осколковравна E.

Ф2608. Рассмотрим модель передачи вра-щения между двумя параллельными ося-ми, основанную на трении. Два одинако-вых конуса – ведущий и ведомый – прижи-маются друг к другу по образующей(рис.3). Ведущий конус вращается с по-стоянной угловой скоростью ω , к его осиприложен момент внешних сил M. С какойугловой скоростью вращается ведомыйконус? Конусы прижаты друг к другуравномерно по образующей с силой N.

Рис. 2

Рис. 3

Угол при вершине конусов α , коэффици-ент трения между конусами µ, высотаконусов h.

Решения задач М2586–М2589,

Ф2593–Ф2596

М2586. Дан многоугольник, у которогокаждые две соседние стороны перпенди-кулярны. Назовем две его вершины недружными, если биссектрисы многоуголь-ника, выходящие из этих вершин, перпен-дикулярны. Докажите, что для любойвершины количество не дружных с нейвершин четно.

Расположим многоугольник так, чтобы егостороны были горизонтальны и верти-кальны. Все вершины многоугольника де-

лятся на 4 типа: Пусть вершинаA имеет тип 2 (без ограничения общности).Тогда не дружные с ней – вершины типа 1и 4. Обозначим количества вершин каждо-го типа через 1S , 2S , 3S , 4S . Рассмотримлюбую горизонтальную сторону. Ее левыйконец может быть только типа 1 или 3, аправый – только типа 2 или 4. Каждаявершина является концом ровно однойгоризонтальной стороны. Так как общееколичество левых концов равно количе-ству правых концов, получаем

1 3 2 4S S S S+ = + . Аналогичные рассужде-ния с вертикальными сторонами дают ра-венство

1 2 3 4S S S S+ = + . Складывая по-лученные равенства, имеем 1 42 2S S= , от-куда 1 4 42S S S+ = – четное количество.Задача решена.Приведем схему еще одного из возможныхрешений. Расположим многоугольник так,чтобы биссектрисыуглов задавали го-ризонтальное ивертикальное на-правления (см. ри-сунок). Пусть не-кая точка обходитпериметр много-угольника. Тогдапроекция этой точ-ки на горизонталь также меняет направле-ние движения (делает разворот) ровно в темоменты, когда точка проходит вершину,

К В А Н T $ 2 0 2 0 / № 4

18

в которой биссектриса внутреннего угламногоугольника горизонтальна.

М.Скопенков

М2587. В каждой клетке полоски длины100 стоит по фишке. Можно за 1 рубльпоменять местами любые две соседниефишки, а также можно бесплатно поме-нять местами любые две фишки, междукоторыми стоят а) ровно три фишки;б) ровно четыре фишки. За какое наи-меньшее количество рублей можно пере-ставить фишки в обратном порядке?

Ответ: а) за 50 рублей; б) за 61 рубль.Занумеруем клетки по порядку от 1 до 100,а текущим номером фишки будем считатьномер клетки, на которой она стоит.а) Оценка. Пусть фишки переставили вобратном порядке. Тогда каждая фишкадолжна была поменять четность своегономера. Но заметим, что бесплатная опе-рация не меняет четность номеров фишек,а платная операция меняет ее у двухфишек. Поэтому потребуется сделать неменее 100 2 50= операций.Пример. Предварительно заметим, чтобесплатная операция не меняет остатокномера фишки при делении на 4 и, наобо-рот, можно бесплатно переставить в лю-бом порядке 25 фишек, номера которыхдают один и тот же остаток при делении на4. Выполним 49 обменов: 2–3, 4–5, 6–7, 8–9, …, 98–99. Затем бесплатными операци-ями фишку 1 переставим на клетку 5, афишку 100 – на клетку 4, после чегопоменяем их местами за 1 рубль. Теперькаждая фишка заняла клетку с номеромнужного остатка при делении на 4, длятого чтобы бесплатными операциями пере-ставить их в порядке, обратном к исходно-му.б) В этом пункте бесплатная операция неменяет остаток номера клетки при делениина 5. Наоборот, можно бесплатно переста-вить в любом порядке 20 фишек, номеракоторых дают один и тот же остаток приделении на 5. Для решения удобна следу-ющая модель: разложим фишки в 5 кучекпо 20 фишек, в кучку номер 0 – фишки состатком 0 при делении на 5, в кучку номер1 – фишки с остатком 1 при делении на 5

и так далее. Располо-жим кучки фишек покругу – сначала кучка0, потом – 1, и такдалее до 4 (см. рису-нок). Теперь платнаяоперация представля-ет собой обмен пары

фишек из соседних кучек. Бесплатныеоперации можем больше не рассматривать(бесплатная операция «перемешивает»фишки внутри одной кучки). Нам требует-ся переложить все фишки из кучки 0 вкучку 4 и, наоборот, из кучки 4 в кучку 0,а также переложить все фишки из кучки 1в кучку 3 и, наоборот, из кучки 3 в кучку1; фишки из кучки 2 должны в итогеостаться в той же кучке.Оценка. Каждая фишка из кучки 0 долж-на участвовать хотя бы в одном обменемежду кучками, чтобы добраться до кучки4. Аналогично для фишек кучки 4. Каждаяфишка из кучки 1 должна участвоватьхотя бы в двух обменах, чтобы добратьсядо кучки 3. Аналогично для фишек кучки3. Значит, потребуется не менее( )20 20 40 40 2 60+ + + = обменов. Ноесли в доказанной оценке будет достигать-ся равенство (т.е. будет сделано ровно 60обменов), то фишкам из кучки 1 придетсяидти через кучку 2, поэтому хотя бы однафишка из кучки 2 будет участвовать вобмене. Следовательно, необходимо боль-ше 60 обменов.Пример. Сделаем 20 обменов, меняющихместами фишки из кучек 0 и 4. Далее,обозначим по-новому фишки, которыевначале были в кучке 1: 1.1, 1.2, …, 1.20,и аналогично занумеруем фишки в кучках2 и 3. Выполним последовательно 41 об-мен: 2.1–1.1, 1.1–3.1, 3.1–1.2, 1.2–3.2,3.2–1.3, 1.3–3.3, 3.3–1.4, ..., 1.20–3.20,3.20–2.1. Нетрудно убедиться, что всефишки из кучки 2 остались в итоге в той жекучке, а фишки из кучек 1 и 3 поменялисьместами.

Е.Бакаев

М2588*. Точка M лежит внутри выпук-лого четырехугольника ABCD на одина-ковом расстоянии от прямых AB и CD и

19З А Д А Ч Н И К « К В А Н Т А »19

на одинаковом расстоянии от прямых BCи AD. Оказалось, что площадь четырех-угольника ABCD равна

MA MC MB MD⋅ + ⋅ .

Докажите, что четырехугольник ABCDа) вписанный; б) описанный.а) Опустим перпендикуляры MP, MQ,MR, MT на прямые AB, BC, CD, DAсоответственно (см. рисунок). Тогда

ABCD AMB BMC CMD DMAS S S S S= + + + ≤

≤ ( ) ( )AMP BMP BMQ CMQS S S S+ + + +

+ ( ) ( )CMR DMR DMT AMTS S S S+ + + =

= ( ) ( )AMP CMR BMP DMRS S S S+ + + +

+ ( ) ( )BMQ DMT CMQ AMTS S S S+ + + .

Заметим, что прямоугольные треугольни-ки AMP и CMR имеют равные катеты MPи MR, поэтому из них можно сложитьтреугольник ∆, две стороны которого рав-ны MA и MC, а значит,

1

2AMP CMRS S S MA MC∆+ = ≤ ⋅ .

Аналогично,

1

2BMP DMRS S MB MD+ ≤ ⋅ ,

1

2BMQ DMTS S MB MD+ ≤ ⋅ ,

1

2CMQ AMTS S MA MC+ ≤ ⋅ .

Следовательно,

ABCDS MA MC MB MD≤ ⋅ + ⋅ .

Из условия видно, что все предыдущиенеравенства на самом деле должны бытьравенствами. Это значит, что, во-первых,точки P, Q, R, T лежат на соответствую-щих сторонах четырехугольника (а не наих продолжениях) и, во-вторых, треу-гольник ∆ прямоугольный, т.е. MAP∠ +

90MCR+ ∠ = °. Аналогично, MAT∠ +90MCQ+ ∠ = °, откуда BAD BCD∠ + ∠ =

( )MAP MCR= ∠ + ∠ + ( )MAT MCQ∠ + ∠ =180= °, т.е. четырехугольник вписанный.

б) Из прямоугольного треугольника ∆ (см.

п. а) видно, что 2 2AP RC MA MC+ = + .

Аналогично, 2 2BP RD MB MD+ = + .

Тогда

AB + СD = 2 2MA MC+ + 2 2MB MD+ .

Вычисляя похожим образом сумму BC + DA,мы получим тот же результат. Доказанноеравенство AB + СD = BC + DA означает,что данный четырехугольник – описан-ный.

Замечание. Можно доказать (например, спомощью трюка со «склеиванием тре-угольников», используемого в решениизадачи), что площадь любого вписанно-описанного четырехугольника ABCD рав-на MA MC MB MD⋅ + ⋅ , где М – центрвписанной окружности четырехугольникаABCD.

Н.Седракян

М2589*. Дана возрастающая последова-тельность положительных чисел

2 1 0 2a a a a− −< < < < <… … , бесконечная вобе стороны. Пусть kb – наименьшеецелое число со свойством: отношение сум-мы любых k подряд идущих членов даннойпоследовательности к наибольшему изэтих k членов не превышает kb . Докажи-те, что последовательность 1 2 3, , ,b b b …либо совпадает с натуральным рядом 1,2, 3, ..., либо с некоторого моментапостоянна.

Очевидно, что 1 1b = , а при k > 1 отношениеиз условия меньше k, поэтому kb k≤ при

К В А Н T $ 2 0 2 0 / № 4

20

всех натуральных k. Если последователь-ность 1 2 3, , ,b b b … не совпадает с натураль-ным рядом, то 1kb k≤ − при некоторомk > 1. Тогда 1 1i i i ka a a+ + −+ + + ≤…

( ) 11 i kk a + −≤ − для каждого целого i, откуда

( ) 11i i kka k a + −< − . Обозначив 1

1k

tk

−= < ,

получаем 1i i k i ka ta ta+ − +< < при всех це-

лых i. Следовательно,

2

2

qi i k i k i qka t a t a t a+ + +< ⋅ < ⋅ < < ⋅… . (∗ )

Неформально, (∗ ) говорит о том, что ( ia )возрастает «не слишком быстро». Факти-чески (с учетом возрастания ( ia )), в (∗ )показано, что если есть два номера m и n,

где m > n, то отношение n

m

a

a меньше 1,

когда m – n < k; n

m

at

a< , когда m – n < 2k;

2n

m

at

a< , когда m – n < 3k, и т.д. Чтобы

оценить сверху произвольное nb , оценим

сверху отношение

1 1...i n i n i

i n

a a a

a+ + − +

+

+ + +=

1 1...i n i n i

i n i n i n

a a a

a a a+ + − +

+ + +

= + + + .

В этой сумме первые k слагаемых непревосходят 1, следующие k не превосхо-дят t, следующие k не превосходят 2t и т.д.Итак,

1 1...i n i n i

i n

a a a

a+ + − +

+

+ + +<

( )2 211

kk t t k

t< + + + = =

−… .

Это значит, что 2

nb k≤ при любом нату-ральном n. Поскольку последовательность( nb ), очевидно, не убывает, то она стаби-лизируется на числе, не большем 2k .

А.Шаповалов

она была очищена, выяснилось, что Васяочистил 20 метров длины. Вторую до-рожку они тоже начали чистить с двухконцов, но теперь Вася увеличил ско-рость в 3 раза, а Петя сохранил прежнийтемп. Когда обе дорожки были очищены,оказалось, что на Васину долю пришлосьвсего 50 метров. А сколько метров доро-жек очистил Петя?

Обозначим Васину долю очищенных доро-жек через x. Тогда ( )50 2x + – это длинаодной дорожки. Введем обозначение αдля отношения скоростей движения Васии Пети при очистке первой дорожки:

Васи Петиv vα = . Тогда справедливы такиесоотношения:

( )( ) ( )20 1 50 2x= α + α ⋅ + ,

( )( ) ( )50 20 3 1 3 50 2x− = α + α ⋅ + .

Получилась система из двух уравнений сдвумя неизвестными. Разделим левые иправые части этих уравнений друг на дру-га и получим

( ) ( )3 2 3 1 1 3= α + + α .

Отсюда находим, что 1α = . Подставив этозначение в любое из уравнений, получимx = 30 м.

Ф2594. Для переправки цистерн с нефте-продуктами по Каспийскому морю из Бакув Астрахань во время второй мировойвойны их заполняли не полностью, и вэтом случае стальная цистерна вместесо стальной платформой и стальнымиколесами плавала в воде. Грузоподъем-ность современной цистерны для пере-возки бензина 60 т. Это при полномзаполнении кузова – емкости для хране-ния жидкости. Масса тары цистерны23,4 т, объем кузова 373,1 м . Какое мак-симальное количество бензина (в тон-нах) можно переправить морем такимспособом в одной цистерне за один рейс?Плотность стали 37,8 т м , плотностьводы в Каспии – примерно 31т м .

Объем всех стальных частей одного транс-портного средства равен

( ) 3 323,4 т 7,8 т м 3 м= .

Если цистерна с бензином будет целикомпогружена в воду, то суммарный объем

Ф2593.1 Две одинаковые по длине дорож-ки в парке заметены снегом. Два дворни-ка, Вася и Петя, должны очистить до-рожки от снега. Первую дорожку ониначали чистить с двух концов, и, когда

1 Автор решений задач Ф2593–Ф2596 –С.Дмитриев.

21З А Д А Ч Н И К « К В А Н Т А »21

погруженного тела будет 3 33 м 73,1 м+ =376,1 м= . Следовательно, суммарная мас-

са тары и бензина не должна быть больше76,1 т. Отсюда находим максимальнуюмассу бензина в одной цистерне:

76,1 т 23,4 т 52,7 т− = .

Ф2595. «Водность» тумана (облака) –это общая масса водяных капелек в еди-нице объема тумана. Над землей на высо-те 1 км находится неподвижное облако сводностью 33 г м . Облако окружено про-зрачным воздухом, температура которо-го 273 К, а давление 510  Па. Каковасредняя температура внутри облака?Давление насыщенных паров воды при273 К равно 611  Па.

Разумно предположить, что температуравнутри облака не сильно отличается оттемпературы воздуха вне облака. При ука-занных в условии температуре и давлениипрозрачного, а значит, сухого воздуха,окружающего облако, его плотность

( ) 3сух 1278,3 г мp RTρ = Μ = .

В подсчете было учтено, что молярнаямасса сухого воздуха сух 29 г мольΜ = .Плотность влажного воздуха без капельвнутри облака

3 3 3вл 1278,3 г м 3 г м 1275,3 г мρ = − = .

Внутри облака в воздухе кроме капельнаходится и насыщенный пар воды. Дав-ление насыщенного водяного пара притемпературе, близкой к 273 К, около611 Па. Таким образом, из 510  Па при-мерно 611 Па созданы водяным паром. Изэтого следует, что средняя молярная массавлажного воздуха

( )5вл 1 611 10 29 г мольΜ = − ⋅ +

+ ( )5611 10 18 г моль 28,933 г моль⋅ ≈ .

Тогда температура внутри облака равна

( )вл вл 273,009 КT p R= Μ ρ = .

Иными словами, температура внутри об-лака всего на 0,009 К выше, чем у окружа-ющего облако прозрачного сухого возду-ха. При такой разнице температур процессустановления теплового равновесия идеточень медленно и время жизни облакавелико.

Ф2596. Чайник потребляет от электри-ческой сети мощность 2 кВт. Масса воды,которую Вася с небольшим запасом нали-вает в чайник, равна 0,3 кг (а в чашкупомещается 0,2 л воды). В таком чайни-ке Вася нагревает для приготовления чаячистую и первоначально холодную (20 C° )воду, доводя ее до кипения. Как тольковода (через одну минуту после включениячайника) начинает кипеть, Вася тут жеотключает чайник от сети, но вода про-должает кипеть еще примерно 10 секунд.Каков КПД использования электроэнер-гии, если считать полезной только токоличество теплоты, которое нужно,чтобы вода, наливаемая в чашку, имелатемпературу 100 C° ? Удельная теплоем-кость воды 4200 Дж/////(кг . К).

Если предположить, что вся мощность,потребляемая чайником от сети, досталасьводе, то время до закипания воды состави-ло бы

( )4200 Дж кг К 0,3 кг 80 К 2000 Вт⋅ ⋅ ⋅ =

50,4 c= .

А поскольку вода закипела только черезминуту, то это означает, что нагреваниеводы началось не сразу. Первые прибли-зительно 10 секунд греется сам нагрева-тельный элемент, а после выключениячайника как раз эти же 10 секунд вода ещепродолжает кипеть, поскольку нагрева-тельный элемент нагревается до темпера-

туры, которая гораздо выше 100 C° . В

условии задачи нужно найти отношениеколичества теплоты, которое потребова-лось для нагревания 200 г воды до кипе-ния, к общей энергии, полученной от элек-трической сети. В этом случае КПД равен

( ) ( )200 300 50,4 60 100% 56%⋅ ⋅ = .

Задачи

Иллю

страции Д.Гриш

уковой

1. На клетчатой бумаге был нарисован

лабиринт: квадрат 5 × 5 (внешняя сте-

на) с выходом шириной в одну клетку,

а также внутренние стенки, идущие по

линиям сетки. На нашем рисунке мы

скрыли от вас все внутренние стенки.

Начертите, как они могли располагать-

ся, зная, что числа, стоящие в клетках,

показывают наименьшее количество ша-

гов, за которое можно было покинуть

лабиринт, стартовав из этой клетки (шаг

делается в соседнюю по стороне клетку,

если они не разделены стенкой). Доста-

точно привести пример.

М.Евдокимов, А.Хачатурян

2. На столе лежат 6 яблок (не обяза-

тельно одинакового веса). Таня разло-

жила их по 3 на две чашки весов, и весы

остались в равновесии. А Саша разло-

жил те же яблоки по-другому: 2 яблока

на одну чашку и 4 на другую, и весы

опять остались в равновесии. Докажите,

что можно положить на одну чашку

весов одно яблоко, а на другую два так,

что весы останутся в равновесии.

А.Шаповалов

3. Пункты A, B, C, D расположены в

вершинах прямоугольника ABCD, его

стороны – дороги. Первая машина про-

ехала за час по маршруту A–B –C –D, а

вторая проехала за час по маршруту

A–D –C –B. Через какое время маши-

ны встретятся, если они одновременно

выедут из пункта A в разных направле-

ниях и поедут по сторонам прямоуголь-

ника ABCD ? (Скорости обеих машин

постоянны.)

Н.Агаханов

4. В лесу живет 40 зверей – лисицы,

волки, зайцы и барсуки. Ежегодно они

устраивают бал-маскарад: каждый на-

девает маску животного другого вида,

причем два года подряд они одну и ту

же маску не носят. Два года назад на

балу было 12 «лисиц» и 28 «волков»,

год назад – 15 «зайцев», 10 «лисиц» и

15 «барсуков», а в этом году – 15 «зай-

цев» и 25 «лисиц». Каких зверей в лесу

больше всего?

М.Хачатурян

Задачи 1, 2, 4 предлагались на Математиче-

ском празднике, задача 3 – на муниципальном

этапе Всероссийской олимпиады по математи-

ке в Московской области.

«КВАНТ» ДЛЯ МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

« К В А Н Т » Д Л Я М Л А Д Ш И Х Ш К О Л Ь Н И К О В23

Примеры и контрпримеры

А.КАНУННИКОВ

Об одном признаке делимости

Начнем с такого примера. Хорошо изве-стен признак делимости на 3: число делит-ся на 3, если сумма его цифр делится на 3.Верен аналогичный признак делимости на9. Например, 145287 кратно 9, так как

( ) ( ) ( )1 4 5 2 8 7 1 8 4 5 2 7+ + + + + = + + + + + =3 9= ⋅ кратно 9. Справедлив ли аналогич-

ный признак делимости на 27? Возьмем, кпримеру, наименьшее число с суммой цифр27: 999. Легко видеть, что оно кратно 27(достаточно разделить его на 9 и получитьчисло 111, кратное 3). Возьмем другойпример: 11...11 (27 единиц). Разделив егона 3, получим число из 9 блоков 037:

111 111 … 111 : 3 = 37 037 … 037.

Сумма цифр полученного частного равна( )3 7 9+ ⋅ и кратна 9, значит, само частноеделится на 9, а тогда исходное число из 27единиц делится на 27. Мы разобрали двапримера, но даже если бы нашли миллионподтверждающих примеров, мы бы не до-казали признак. Напротив, число 9981показывает, что наш признак неверен:хотя 9 + 9 + 8 + 1 = 27, но 9981 не кратно27, так как 9981 : 9 = 112 не кратно 3.Число 9981 опровергает неверный при-знак делимости на 27. Вообще, пример,который опровергает какое-то утвержде-ние, называется контрпримером. Приве-дем шуточную «теорему»: в математикенет терминов, в названии которых пятьсогласных идут подряд. Само слово «контр-пример» является контрпримером к этой«теореме».

Упражнения

1. Найдите самый маленький контрпример к«признаку делимости на 27», т.е. такое наи-меньшее натуральное число, не кратное 27,сумма цифр которого кратна 27.

2*. Признак делимости на 27 с суммой цифрневерен в десятичной системе счисления. По-думайте, почему в ней верны признаки делимо-сти на 3 и 9, и попробуйте понять, в какихсистемах счисления верен аналогичный при-знак делимости на 27.

Об одном признаке

равенства треугольников

Перейдем к геометрии. Вполне очевид-но, что если две стороны и угол междуними одного треугольника соответственноравны двум сторонам и углу между нимидругого треугольника, то такие треуголь-ники равны (рис.1). Это утверждение на-зывается первым признаком равенстватреугольников. Коротко говорят так: тре-угольники равны по двум сторонам и углумежду ними. Давайте подумаем, а будетли верен аналогичный признак, если слова«между ними» заменить словами «не меж-ду ними» (рис.2.) В подтверждение этойгипотезы говорит известный факт, чтопрямоугольные треугольники равны покатету и гипотенузе: прямой угол лежит

Рис. 1

Рис. 2DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20200403

К В А Н T $ 2 0 2 0 / № 4

24

как раз не междуними. Нам будет по-лезно вспомнить, какдоказывается этотпризнак. Это совсемнесложно: нужно при-ложить прямоуголь-ные треугольники

друг к другу, чтобы их равные катетысовпали (рис.3). Тогда из них сложитсяравнобедренный треугольник (его боко-вые стороны – это гипотенузы наших пря-моугольных треугольников, равные по ус-ловию). Высота, проведенная к его осно-ванию, является также и медианой, поэто-му наши прямоугольные треугольникиравны по двум катетам.

Более общий признак равенства треу-гольников «по двум сторонам и углу немежду ними» оказывается неверен, а при-вести контрпример помогает конструкцияиз доказательства с прямоугольными тре-угольниками. Давайте возьмем произволь-ный равнобедренный треугольник ABC с

основанием AC иразделим его от-резком BK на дватреугольника, взявточку K на AC, ноне в середине(рис.4). Как ви-дим, условия «при-знака» выполня-ются: AB = BC,сторона BK общая,

BAK BCK∠ = ∠ , в то время как треуголь-ники ABK и CBK явно не равны: одиностроугольный, другой тупоугольный.

Итак, мы опровергли неверный при-знак, приведя контрпример. Но, что кудаинтереснее, этот контрпример по существуединственно возможный, т.е. из любыхдвух неравных треугольников, удовлетво-ряющих условию «признака», можно со-ставить равнобедренный треугольник, какна рисунке 4.

Упражнение 3. Попробуйте это доказать.

В частности, если дополнительно потре-бовать, чтобы оба треугольника были ост-роугольными или тупоугольными, то при-знак станет верным.

Доказывать или опровергать?

Во многих задачах нужно что-то дока-зать. Другие задачи начинаются со слов«Приведите пример…». Но часто задачиформулируются в виде вопроса «Можноли…?» Такие формулировки приближенык исследованиям ученых, в которых зара-нее ответ неизвестен. По этому поводуакадемик Андрей Николаевич Колмого-ров советовал поочередно пытаться дока-зывать и опровергать неясные гипотезы.Даже если не удается сразу придуматьконтрпример, такие рассуждения подска-зывают направление поиска, отсекая вселишнее и сужая круг поиска: «Если при-мер и существует, то в нем обязательно...»Или, наоборот, при проверке доказатель-ства удается обнаружить брешь в рассуж-дениях и привести контрпример.Задача 1. Можно ли, используя цифры

от 1 до 9 каждую по разу, записать пятьчисел, каждое из которых (кроме перво-го) делится на предыдущее?

Можно или нельзя? Если нельзя, то невполне понятно, как это выяснить, развечто длинным перебором... Попробуем до-казать, что можно, подобрав пример. Каклучше располагать цифры? Из соображе-ний экономии начнем с самой маленькойцифры 1 и будем увеличивать числа внаименьшее число раз – в два раза. Так мызапишем четыре числа: 1, 2, 4, 8. Дляутвердительного ответа на вопрос задачиосталось из цифр 3, 5, 6, 7, 9 составитьчисло, кратное 8. Для этого необходимо идостаточно, чтобы три последние цифрыобразовывали число, кратное 8. Очевид-но, последней может быть только шестер-ка (остальные цифры нечетны). Неслож-но подобрать, что 376 подходит. Поэтомув качестве последнего, пятого числа можновзять 59376.

Ответ: да, можно, например: 1, 2, 4, 8,59376.

Упражнение 4. Найдите все возможные ва-рианты пятого числа после 1, 2, 4, 8.

Вот еще один задача на делимость, по-труднее.Задача 2. Учительница написала на

доске двузначное число и спросила Диму

Рис. 3

Рис. 4

« К В А Н Т » Д Л Я М Л А Д Ш И Х Ш К О Л Ь Н И К О В25

по очереди, делится ли оно на 2; на 3;... на9. На все восемь вопросов Дима ответилверно, причем ответов «да» и «нет» былопоровну. а) Можете ли вы теперь отве-тить верно хотя бы на один из вопросовучительницы, не зная самого числа? б) Ахотя бы на два вопроса?

Конечно, если мы можем ответить на двавопроса, то и на один тем более. Поэтому,«по законам жанра», скорее всего, ответ впункте а) – да, а в пункте б) – нет.Разумеется, это не гарантированно. Носогласитесь, было бы странным задаватьдва вопроса, если даже на один мы одно-значно ответить не можем.

Начнем с того, что попробуем придуматьпример к пункту а). Напрашивается про-верить ответ на первый вопрос учительни-цы – про делимость написанного (и неиз-вестного нам) числа N на 2. Если ответ«нет», то число нечетно и поэтому неделится также ни на 4, ни на 6, ни на 8.Поскольку ответов «делится» и «не делит-ся» поровну, значит, на оставшиеся четы-ре числа 3, 5, 7, 9 число N должноделиться. Но тогда оно делится на3 5 7 105⋅ ⋅ = и никак не двузначное. Полу-ченное противоречие показывает, что чис-ло N точно делится на 2, так что ответ впункте а) утвердительный.

Перейдем к пункту б). Интуиция намподсказывает, что ответ «нет», но мы этоготочно не знаем. Назовем двузначное числохорошим, если учительница могла его на-писать на доске, т.е. если оно делитсяровно на четыре числа от 2 до 9. В пунктеа) мы доказали, что всякое хорошее числочетное. Будем пытаться доказать ответ«да» в пункте б), т.е. найти число от 3 до9, на которое точно делится или точно неделится каждое хорошее число.

Найдется ли, к примеру, хорошее число,кратное 9? Если да, то оно также кратно 3,а еще 2, а тогда и 6. Уже 4 делителя: 2, 3,6, 9. Наименьшее такое число 18 – оно ивправду хорошее. Попробуем теперь най-ти хорошее число, кратное 8. Оно автома-тически делится на 2 и 4 – уже триделителя. Если оно делится на 3, то тогдаи на 6 – уже пять делителей. Но оно можетделиться на 5: 40 – хорошее число сделителями 2, 4, 5, 8.

Примеры чисел 18 и 40 показывают, чтонельзя однозначно ответить, делится лихорошее число на 3, 4, 5, 6, 8, 9 или нет:всякий раз ответы для чисел 18 и 40разные. Нам осталось определиться с се-меркой: 18 и 40 на 7 не делятся. Существу-ет ли хорошее число, кратное 7? Да, легкопривести пример, взяв вместо числа40 8 5= ⋅ число 56 8 7= ⋅ . Вот мы и доказа-ли, что ответ к пункту б) – «нет».Задача 3. а) Может ли работа фирмы

за любые пять месяцев быть прибыльной,а за весь год – убыточной? б) Может литакое положение продолжаться в тече-ние шести лет? (Иными словами, поитогам любых пяти подряд идущих меся-цев фирма получает прибыль, а по ито-гам каждого из шести лет – терпитубыток.)

На первый взгляд, такого быть не мо-жет, но давайте не спешить с выводами. Впункте б) отрезок в шесть лет указан «дляотвода глаз». На самом деле, описаннаяситуация невозможна даже в течение пятилет – ведь такой отрезок времени делитсяна 12 отрезков по пять месяцев и все ониприбыльные по условию. Итак, в пунктеб) ответ «нет».

Перейдем к пункту а), еще не зная,приведут ли наши размышления к приме-ру или к опровержению. Переформулиру-ем вопрос на математическом языке: мо-жет ли сумма 12 чисел быть отрицатель-ной, в то время как сумма 5 любых подрядидущих из них положительна? Если да, тосумма первых десяти чисел положитель-на, а тогда сумма двух последних отрица-тельна. С другой стороны, верно симмет-ричное заключение: сумма первых двухчисел отрицательна, а десяти остальных –положительна. Наконец, рассмотрев край-ние пятерки чисел, получим, что суммадвух чисел в середине отрицательна. Дляприведения примера учтем еще, что 1-е и12-е числа участвуют каждое только водной пятерке, так что переложим на них«основную ответственность за убыток».Из этих соображений уже несложно при-думать пример:

5, 0, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 0, 5− − − − .

К В А Н T $ 2 0 2 0 / № 4

26

Вся сумма равна 2− . Аккуратно проверьтекаждую пятерку подряд идущих чисел.

Кто больше, или «Оценка + пример»

Очень часто в задачах нужно не толькопривести пример, но и доказать его опти-мальность в каком-то смысле (наибольшеечисло, наименьшее время работы и т. д.).Соответственно, решения таких задач со-стоят из двух частей. Когда мы приводимпример, нам нужно только показать, чтоон удовлетворяет условию. При доказа-тельстве же оптимальности недостаточнопривести несколько контрпримеров, мол,у нас лучше не получилось. Необходимодоказать, что ни у кого лучше не получит-ся!Задача 4. В пять горшочков, стоящих в

ряд, Кролик налил три килограмма меда(не обязательно в каждый и не обяза-тельно поровну). Винни-Пух может взятьлюбые два горшочка, стоящие рядом.Какое наибольшее количество меда смо-жет гарантированно съесть Винни-Пух?

Если Кролик разольет мед поровну, тоПуху достанется 6 5  кг. Но Кролик можетпоступить хитрее: разлить по килограмму вгоршочки 1, 3 и 5, и тогда Пух возьмет 1 кг.Может ли экономный Кролик спасти ещебольше меда? Перебрав варианты, прихо-дим к гипотезе, что нет. Докажем это изаодно покажем, как можно прийти к отве-ту 1 кг, если мы сразу не догадались дохитроумного способа Кролика.

Пусть Пух может гарантированно заб-рать только x кг и не больше. Это значит,что как бы ни разливал Кролик мед, вкаждой паре горшочков ( )1, 2 , ( )2, 3 , ( )3, 4 ,( )4, 5 не более x кг, причем в какой-топаре ровно x кг. Сложив содержимое пар( )1, 2 , ( )3, 4 и добавив 5-й горшочек (вкотором тоже не более x кг), получим, чтообщая масса не более 3x кг (рис.5). Но по

условию она равна 3 кг. Итак, 3 3x≤ , т.е.1x ≥ . Значит, Кролик может не надеяться

спасти больше двух килограммов меда.Кстати, из этого рассуждения получаетсяи выше приведенный пример, и его един-ственность. Именно, чтобы x был равен 1,необходимо, чтобы в 5-м горшочке медубыло ровно 1 кг. Но тогда, симметрично,и в 1-м горшочке ровно 1 кг. Теперь ясно,что во 2-м и 4-м горшочках должно бытьпусто, а в 3-м – 1 кг.

Упражнение 5. Семья ночью подошла кмосту. Папа может перейти его за 1 минуту,мама – за 2, сын – за 5, а бабушка – за 10 минут.У них есть один фонарик. Мост выдерживаеттолько двоих. Если переходят двое, то ониидут с меньшей из их скоростей. Двигаться помосту без фонарика нельзя. Светить издалинельзя. Носить друг друга на руках нельзя. Закакое наименьшее время семья сможет перейтимост?

Рис. 5

КОНКУРС ИМЕНИ А .П .САВИНА

29. Положительные числа x и y тако-вы, что

1

32

54

...............................

20172016

20192018

2020 x

>+

+

++

+

1

32

54

...............................

20172016

20192018

2020 y

>+

+

++

+

.

Что больше: x или y?C.Дворянинов

30. На доске написаны числа 1, 2, …..., 2020. Какое наименьшее количествочисел надо стереть, чтобы для любыхдвух оставшихся чисел a и b сумма a ++ b не делилась на разность a – b?

Фольклор

Мы завершаем очередной конкурс по решению математических задач. Они рассчитаны в

первую очередь на учащихся 7–9 классов, но мы будем рады участию школьников всех возрастов.

Конкурс проводится совместно с журналом «Квантик».

Высылайте решения задач, с которыми справитесь, электронной почтой по адресу:

savin.contest@gmail.com или обычной почтой по адресу: 119296 Москва, Ленинский проспект,

64-А, «Квант» (с пометкой «Конкурс имени А.П.Савина»). Кроме имени и фамилии укажите

город, школу и класс, в котором вы учитесь, а также обратный почтовый адрес.

Мы приветствуем участие в конкурсе не только отдельных школьников, но и команд (в таком

случае присылается одна работа со списком участников). Участвовать можно, начиная с любого

тура. Победителей ждут дипломы журнала «Квант» и призы.

Задания, решения и результаты публикуются на сайте sites.google.com/view/savin-contest

Желаем успеха!

31. В окружность вписан 1000-уголь-ник, его вершины покрашены поочеред-но в красный и синий цвета. Каковонаибольшее возможное количество крас-ных вершин, углы при которых меньше179° ?

Б.Френкин

32. Рассмотрим плоскость с декарто-выми координатами. Можно ли разде-лить ее на многоугольники так, чтобыстрого внутри каждого многоугольникабыла точка с целыми координатами, атакже чтобы

а) площадь каждого многоугольникабыла меньше 0,9;

б) существовало такое d, что у каждо-го многоугольника диаметр меньше d, аплощадь меньше 0,9;

в) существовало такое d, что у каждо-го многоугольника диаметр меньше d, аплощадь меньше 1?

(Диаметром многоугольника называ-ется наибольшее из расстояний междудвумя точками на его границе. Напри-мер, диаметр квадрата со стороной 1равен 2 .)

Е.Бакаев

Вниманию наших читателей

Начиная с 2017 года журнал «Квант» стал ежемесячным и в год выходит 12 номеров

журнала.

Подписаться на наш журнал можно с любого номера в любом почтовом отделении. Наш

подписной индекс в каталоге «Пресса России» – 90964.

Купить журнал «Квант» возможно в магазине «Математическая книга» издательства

МЦМНО (адрес интернет-магазина: biblio.mccme.ru), а также в московских книжных магази-

нах «Библио-глобус», «Молодая гвардия», «Московский дом книги» и в редакции журнала.

Архив вышедших номеров журнала «Квант» имеется на сайте http://kvant.ras.ru

Не чихать:

пандемия!

А.СТАСЕНКО

Всем известно изображение коронавиру-са – рогатый шар, нечто вроде морской мины.Но, конечно, очень маленький: не всякиймикроскоп поможет его разглядеть. Извест-ны и рекомендации гражданам – держатьсядруг от друга на расстоянии не менее 1,5–2 м.Ожидается, что при соблюдении этого рас-стояния вирусы, разлетающиеся в воздухепри кашле или чихании одного субъекта,упадут к ногам другого субъекта, что снижа-ет возможность воздушно-капельного зара-жения. Конечно, при этом вирусы не голые,не сухие – они окружены слоем жидкости,так что такая сложная частица уже массив-нее самого вируса.И тут возникает желание сделать кое-

какие оценки. Известно, что на шарик ради-усом a, движущийся в воздухе со скоростьюv, действует сила сопротивления – так назы-ваемая сила Стокса, пропорциональная ско-рости: 6F av= πµ , где µ – вязкость воздуха.Напишем для нашей частицы уравнение вто-рого закона Ньютона:

6dv av v

dt m

πµ= − = −

τ,

откуда получим выражение для скорости влюбой момент времени t:

0

t

v v e−

τ= .

Обе формулы содержат «время релаксации»2

02

6 9

m a

a

ρτ = = ⋅

πµ µ– характерный масштаб времени, за котороечастица тормозится в несущей ее среде.Видно, что чем мельче частица и/или чем

больше вязкость среды, тем меньше времярелаксации. Так, для капли воды радиусомa = 0,1 мм = 410− м это время составляет

( )23 4

5

10 102c 0,1 c

9 1,5 10

−

−

⋅τ = ⋅

⋅∼ .

Здесь использованы значения плотности воз-духа 3 3

0 10 кг мρ = и вязкости воздуха51,5 10 Па с−µ = ⋅ ⋅ .

Значит, такая частица очень быстро будетувлечена воздухом. Поэтому, например, приее свободном падении быстро наступит рав-новесие между силами сопротивления и тя-готения, действующими на частицу:

6mg av= πµ ,

откуда установившаяся скорость вертикаль-ного перемещения (падения) частицы будетравна

v g= τ.Следовательно, с высоты h = 1,5 м нашачастица упадет на пол за время

1,5c 1,5 c

10 0,1

h ht

v g= = =

τ ⋅∼ .

А при характерном значении вызванной чи-ханием горизонтальной скорости воздухапорядка 1 м с получим расстояние, прой-денное частицей вируса, равным 1,5–2 м.Эти оценки говорят, между прочим, и о

том, что выбранное выше значение радиуса«мокрого» вируса a = 0,1 мм вполне разум-но с точки зрения официально рекомендо-ванных расстояний между субъектами.Впрочем, желающие могут подставить свои

численные значения определяющих пара-метров и вычислить свое безопасное рассто-яние до собеседника.

Ш К О Л А В « К В А Н Т Е »

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20200404

Дышите на

здоровье!

А.МИНЕЕВ

В ДАННОЙ СТАТЬЕ РЕЧЬ ПОЙДЕТ Овоздействии на человека кислорода и

углекислого газа – по отдельности и вместе.Некоторую настоящую интригу придаетвзгляд на проблему как извне – со сторонывдыхаемого воздуха, так и изнутри – внут-ри самого организма. Или, более научно, каксо стороны внешнего дыхания – обменамежду атмосферой и клетками в легких, таки внутреннего дыхания – процессы в клет-ках и тканях организма.

Среднее значение давления земной атмо-сферы на уровне моря примерно равно

атмp = 760 мм рт. ст. На долю кислородаприходится 160 мм рт. ст. или приблизи-тельно 21%. Кислород частично усваиваетсяорганизмом, углекислый газ образуется врезультате химических реакций окисления.Состав вдыхаемого и выдыхаемого воздухаприведен в таблице.

Таблица 1. Состав вдыхаемого и

выдыхаемого воздуха

Чем интересны эти цифры? Азот и аргонне используются организмом человека (яв-ляются инертными). Степень усвоения кис-лорода невелика, около 0,25. После вдохаорганизм выдыхает обратно основную частькислорода. Углекислый газ практически от-сутствует во вдыхаемом воздухе и активнообразуется при окислительных реакциях ворганизме. Процент поглощения организ-мом кислорода (21% – 16% = 5%) оказывает-ся близким к проценту образования углекис-лого газа (4%).

Инертность азота и аргона при обменныхпроцессах в организме привела к соблазнувообще отказаться от них в условиях дли-тельного пребывания в замкнутом простран-стве. По этому пути пошли американскиеастронавты в первых космических полетах,перейдя на дыхание чистым кислородом.При этом давление в случае использованиятолько 2O было существенно ниже атмос-ферного и составляло 260–280 мм рт. ст.Однако по мере увеличения длительностикосмических полетов в такой чисто кисло-родной атмосфере у астронавтов стали появ-ляться проблемы с дыхательными путями. Ктому же, чисто кислородная атмосфера по-жароопасна. Российские космонавты с само-го начала использовали состав воздуха, близ-кий к земному, что потребовало более слож-ной системы регенерации воздуха. В насто-ящее время при полетах в космосе и вплавании на подводных лодках использует-ся земной состав атмосферы.

Взгляд снаружи

Диапазон концентрации кислорода в воз-духе, пригодный для жизни. Диапазон со-держания кислорода в воздухе

2Op , прикотором возможна жизнедеятельность чело-века в течение длительного времени, огра-ничен значениями

2O90 100 мм рт. ст. 400 450 мм рт. ст.p− < < −

Нижняя граница соответствует началу кис-лородного голодания, верхняя – началу кис-лородного отравления. В процентном отно-шении наступление кислородного голоданияу здорового человека наступает уже присодержании 2O в воздухе

2O атмp p менее 14%(при атмp = 760 мм рт. ст.).

Эти данные соответствуют диапазону жиз-недеятельности человека на уровне моря. Помере подъема в горы давление снижается,что наглядно отражают кривые атмосферно-го давления и парциального давления кисло-рода (рис.1).

Видно, что начиная с высот 4,5–5 кмдавление кислорода становится ниже допу-стимой нижней границы давления в90 мм рт. ст. При этом давление воздуха вальвеолах составляет 105–110 мм рт. ст.,что также близко к нижней границе. По мереуменьшения давления кислорода до уровняDOI: https://doi.org/10.4213/kvant20200405

Ф И З И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т А Т И В

К В А Н T $ 2 0 2 0 / № 4

30

100 мм рт. ст. замедляются обменные про-цессы в организме, дыхание и сердцебиениеучащаются, ухудшаются зрение и работамозга… Вот почему высоко в горах людипостоянно жить не могут. В то же времявблизи верхней границы давления кислородначинает раздражать верхние дыхательныепути, появляется сухость в горле, кашель…

Оценка времени развития кислороднойнедостаточности при нахождении в замк-нутом объеме. В качестве примера рассмот-рим несколько ситуаций с людьми, находя-щимися в замкнутом объеме: один человек,застрявший в лифте объемом 32 мV = ; двачеловека в комнате с 330 мV = ; сто человек,застрявшие в остановившемся вагоне метро с

3250 мV = .В каждом случае найдем, за какое время t∆

в замкнутом объеме V в процессе спокойногодыхания людей концентрация кислородаснижается от первоначального уровня 21%до начала кислородной недостаточности, т.е.до 14%. Подчеркнем – спокойного, посколь-ку при панике это время сильно снижается.Спокойному дыханию соответствует потреб-ление кислорода на уровне 0,25 литра вминуту. Поскольку 1 литр 2O соответствует5 ккал энергии, то 0,25 л мин сообщаеторганизму за сутки 0,25 5 60 24× × ×  ккал == 1800 ккал энергии. Так как плотность че-ловеческого организма около 31000 кг м , теломассой 70 кг занимает объем 30,07 м или 70литров. Добавив одежду, получим оценкуобъема, вытесняемого из замкнутого помеще-

ния, в 100 литров или 0,1 кубометра начеловека.

Лифт. Свободный объем, занятый возду-хом, составляет 31,9 м . В этом объеме содер-жится 3 31,9 0,21 м 0,4 м 400 л× = = кисло-рода. Признаки кислородной недостаточно-сти развиваются, когда полезный объем кис-лорода уменьшится до 31,9 0,14 м× =

30,27 м 270 л= = . Изменение объема от 400литров до 270 литров при потреблении кис-лорода одним человеком 0,25 л мин займетвремя

2O 130 0,25 мин 520 минt∆ = = , т.е.более 8 часов.

Комната. Свободный объем около 330 м .Начальный объем кислорода 36,3 м . Мини-мально допустимый объем кислорода 34,2 м .Потребление кислорода 0,5 л мин . Время

2O 2100 0,5 мин 4200 минt∆ = = , т.е. почтитрое суток (!).

Вагон метро. Свободный объем около3240 м . Начальный объем кислорода 350 м .

Минимально допустимый объем кислорода334 м . Потребление кислорода около

25 л мин . Время 2O 16000 25 минt∆ = =

640 мин= , т.е. около 10 часов.Во всех указанных случаях (если нет па-

ники) время развития кислородной недоста-точности очень велико. Однако, такой выводнаходится в противоречии с житейским опы-том: в метро и застрявшем лифте бываетдушно и даже после сна в комнате с закрытойфорточкой наутро ощущается духота. Повсей видимости, имеет место другой, болеемощный механизм развития неблагоприят-ных ощущений в процессе дыхания принахождении в замкнутом объеме, не связан-ный с потерей кислорода из воздуха. Оказы-вается, таким механизмом является накопле-ние углекислого газа.Концентрация углекислого газа в возду-

хе, пригодная для жизни. Диапазон допу-стимого содержания 2CO в воздухе состав-ляет

2

2

COCO

атм

0 0,1%p

Cp

< = < .

Отметим, что обычное содержание углекис-лого газа в воздухе

2CO 0,04%C = .Величину принятого ограничения сверху на

содержание углекислого газа (2maxCO 0,1%C = )

обсудим чуть позже, а сначала проведемоценки для замкнутых объемов лифта, ком-наты, вагона метро и школьного класса

Рис. 1. Зависимость атмосферного давления ипарциального давления кислорода (мм рт. ст.)от высоты местности над уровнем моря (мет-ры). Показаны высоты альпинистских лагерей,гор Кавказа, Эльбруса и Эвереста

Ф И З И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т А Т И В 31

применительно ко времени накопления кон-центрации углекислого газа до верхней гра-ницы. Примем, что взрослый человек обыч-но выдыхает углекислого газа в атмосферу

2CO 0,25 л минq = .Лифт. Свободный объем, занятый возду-

хом, равен 31,9 м . Изменение уровня содер-жания 2CO в воздухе от 0,04% до 0,1%займет

( )2max 2

2

2

CO CO

COCO

C C Vt

q

− ⋅∆ = =

( )3 4 31 10 4 10 1,9 10мин 5 мин

0,25

− −⋅ − ⋅ ⋅ ⋅= = .

Комната. Свободный объем около 330 м .Изменение уровня содержания 2CO в воз-духе от 0,04% до 0,1% займет

2COt∆ =( )4 36 10 30 10 2 0,25 мин 36 мин−= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = .

Вагон метро. Свободный объем около3240 м . Изменение уровня содержания 2CO

в воздухе от 0,04% до 0,1% займет 2COt∆ =

( )4 36 10 240 10 100 0,3 мин 6 мин−= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ≈ .Школьный класс. Приведем также оценки

для школьного класса объемом около 3200 м ,в котором находится 25 учеников. При уров-не выдоха 2CO одним школьником 0,12 л/м(половина от взрослого) получим

2COt∆ =( )4 36 10 200 10 25 0,12 мин 40 мин−= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ≈ .

Это уже ближе к житейским ощущениям иоправдывает присутствие вентиляции напотолке лифтов, необходимость проветрива-ния комнат в домах, в школьных классахпосле каждого урока, а также наличие систе-мы вентиляции в метро.

Таким образом, именно накопление угле-кислого газа в замкнутых помещениях впервую очередь действует угнетающе на че-ловека. В чем это проявляется?

В литературе отмечается два типа воздей-ствия: кратковременное (часы) и длительное(регулярно, более нескольких часов в день).Симптомы при кратковременном воздей-ствии при уровне вдыхаемого углекислогогаза выше 0,1% – это усталость, головнаяболь, ухудшение концентрации внимания,плохой сон… При длительном воздействиипри уровне 2CO выше 0,1% появляютсяпроблемы с дыхательной системой (сухойкашель, риниты…), снижение иммунитета,ухудшение работы сердечно-сосудистой си-

стемы… При уровне выше 0,2% еще большеухудшается концентрация внимания, растетколичество совершаемых ошибок и т.д. понарастающей. Возможно, требуется болеежесткое ограничение на допустимый уро-вень 2CO во вдыхаемом воздухе – порядка0,06–0,08%. Это еще сильнее ограничит дли-тельность нахождения в помещениях безвентиляции.

Еще одна проблема помещений без венти-ляции – возможность расслоения воздуха нафракции. Поскольку углекислый газ в пол-тора раза тяжелее воздуха, он может опус-титься ближе к полу и его концентрация тамувеличится. Но процесс этот медленный, илюбое движение воздуха перемешивает фрак-ции.

Наконец, использование растений, каза-лось бы, должно помочь – ведь они выделя-ют кислород и поглощают углекислый газ.Однако, это происходит только днем, авечером и ночью (когда свежий воздухособенно нужен) растения выделяют угле-кислый газ, усугубляя проблему с его на-коплением.

Накопление угарного газа в замкнутомпомещении. Казалось бы, откуда взятьсяугарному газу (СО) в замкнутом помеще-нии, если нет рядом дровяной печки иликамина с неидеальной вытяжкой? Но влитературе приводятся следующие данные:наряду с углекислым газом человек выды-хает также и угарный газ – в количествепримерно 1,6 мл ч (при нормальных усло-виях); предельно допустимая для человекаконцентрация угарного газа составляет

31 мг м .Этих данных достаточно, чтобы снова про-

вести оценки времени накопления предель-ной концентрации угарного газа для людейв лифте, комнате, вагоне метро и школьномклассе. Для этого перейдем от объема к массеобразовывающегося угарного газа, восполь-зовавшись известным соотношением: одинмоль любого газа при нормальных условияхзанимает объем 22,4 л. Для СО молярнаямасса равна 28 г, поэтому 1 мл СО имеетмассу 1,25 мг, а значит,1,6 мл ч выдыхае-мого СО одним человеком соответствуетпоявлению в воздухе 2 мг ч угарного газа.

В таблице 2 приведены значения временинакопления 2CO и СО до опасной концен-

(Продолжение см. на с. 34)

Открытие векторного исчисления сталомощной «витаминной инъекцией» как дляматематики, так и для физики. Овладениеновым компактным языком оказалось важ-ным не только для «большой» науки – ономожет и должно быть полезным инструмен-том при изучении еще школьного курсаточных дисциплин. Обращение к векторамво многих случаях позволяет и нагляднееописать физические явления, и помочь прирешении конкретных задач, перенеся вас нановый уровень их понимания (ведь латинс-кое vector означает «несущий»).

Продолжая разговор о дружеском союзематематики и физики, попробуем сегодняоценить вклад векторов в нашу учебнуюпрактику в надежде отдать должное восхи-щенному отзыву Максвелла.

Вопросы и задачи

1. Под каким углом к берегу необходимоплыть на лодке, чтобы снос по течению былминимальным, если скорость лодки относи-тельно воды лv , а скорость реки: а) постоян-на по всей ширине реки и равна vp ( p лv v> );б) изменяется по линейному закону – равнанулю у берегов, на середине реки макси-мальна и равна 0v ( 0 л2v v> )?

2. Две лодки, скорости которых по модулюодинаковы и равны v, буксируют третьюлодку с помощью двух нерастяжимых тро-сов так, что угол между тросами равен 2α.

…если тело пришло в движение, уже этого

достаточно, чтобы оно его продолжало с той же

скоростью и в направлении той же прямой

линии…

Рене Декарт

… в то время как наука продвигается в одном

направлении путем развития наших физиче-

ских представлений, она может продвигаться

также и по пути изобретения новых математи-

ческих методов.

Уильям Роуэн Гамильтон

Ценность идеи вектора несказанна.

Джеймс Клерк Максвелл

Если два тела сталкиваются, то их относитель-

ная скорость удаления после удара та же, что и

относительная скорость сближения до удара.

Христиан Гюйгенс

Часто бывает удобно изобразить вектор в

виде стрелки, указывающей направление дей-

ствия. Но почему же можно представить силу

стрелкой? … магнитная сила имеет удивитель-

ное свойство: в любой данной точке простран-

ства как направление, так и величина силы

зависят от направления движения частицы…

Ричард Фейнман

векторы в физике?А так ли хорошо знакомы вам

Каковы модуль и направление скорости бук-сируемой лодки?

3. Две гладкие спицы, продернутые черезсвязывающее их колечко, движутся равно-мерно и поступательно со скоростями 1v

�

и 2v�

.Найдите построением скорость колечка.

4. Четыре жука находятся в вершинахквадрата АВСD со стороной а и начинаютодновременно двигаться со скоростями, помодулю равными v. Причем жук А все времядержит курс на жука В, жук В – на С, С – наD, D – на А. Встретятся ли жуки, и если да,то через какое время?

5. Как расположатся концы векторов ско-ростей снаряда, выпущенного из орудия подуглом α к горизонту, если эти векторы пост-роить из одной точки? Сопротивлением воз-духа пренебречь.

6. Два камня находятся на одной вертикалина расстоянии L друг от друга. Верхнийкамень бросают вниз со скоростью 0v , анижний одновременно отпускают без началь-ной скорости. Через какое время камни стол-кнутся, если они падают с достаточной высо-ты в отсутствие сопротивления воздуха?

7. Математический маятник совершает ко-лебания. Как направлено ускорение его гру-зика в крайних, промежуточных и самойнижней точках?

8. К телу приложены силы 5Н и 3H. Можетли их равнодействующая быть равной: 1Н;3Н; 4Н; 9Н?

9. Можно ли силу 8Н разложить на две по5Н каждая? А на две по 9Н каждая?

10. Брусок покоится на наклонной плоско-сти. Как графически найти точку приложе-ния нормальной реакции опоры?

11. Закрытый вагон движется по горизон-тальной поверхности с постоянным ускоре-нием а. К полу вагона привязан на нитишарик, заполненный гелием. Куда отклонит-ся нить?

12. Тело брошено под углом к горизонту.Как меняется во время его движения мощ-ность силы тяжести? Сопротивление воздухане учитывать.

13. В результате сложения электрическихполей с напряженностями 1E и 2E полученополе Е. Равна ли энергия поля Е суммеэнергий полей 1E и 2E ?

14. Является ли стрелка компаса, указыва-ющая направление магнитной индукции поляЗемли, вектором?

15. Вблизи Москвы вертикальная компо-нента магнитной индукции поля Земли вBсоставляет примерно 93% от полной индук-ции В. Какой процент от полной индукциисоставляет горизонтальная компонента гB ?

16. Человек идет со скоростью v навстречузеркалу, горизонтальная плоскость которогодвижется вверх со скоростью u. Какова ско-рость изображения человека в зеркале?

17. Как будет ориентироваться относитель-но Солнца спутник сферической формы, однаполовина которого зеркальная, а другая по-крыта черными термобатареями?

Микроопыт

Постарайтесь как можно сильнее ударитьногой по покоящемуся мячу (естественно, вбольшом спортзале или на стадионе). Каксвязана скорость бьющей ноги v со скоростьюотлетевшего мяча u? Какие допущения вампридется сделать для этой оценки?

Любопытно, что…

…еще в конце ХVI века голландский инже-нер и математик Симон Стевин осознал век-торный характер силы и предложил способизображения сил с помощью линий и прави-ло геометрического их сложения.

…в начале XVII века Галилей, исследуяповедение тел, брошенных под углом к гори-зонту, выдвигает фундаментальный прин-цип – закон сложения перемещений.

…в изданном в 1644 году трактате Декарта«Начала философии» в формулировке прин-

ципа постоянства количества движения (им-пульса тела) ученый странным для негообразом посчитал скорость не векторной, аскалярной величиной, что стало причинойошибочности правил, образующих декарто-ву теорию соударений.

…уже в 1669 году Гюйгенс уточнил, чтопри взаимодействии тел сохраняется не ариф-метическая, а геометрическая сумма коли-честв движения, и вывел законы столкнове-ния упругих тел.

…в учебниках физики на английском языкеразличают два понятия: velocity – скорость(векторная величина) и speed – быстротадвижения (скалярная величина). Второй тер-мин образует корень слова «спидометр».

…разделить физические величины на ска-лярные и векторные предложил ирландскийматематик и механик У.Гамильтон, разрабо-тав особые правила действий с векторами.Новое исчисление оказалось удивительноподходящим для формулировки теории элек-тромагнетизма Максвелла, а в дальнейшембыло развито американским физиком Дж.Гиб-бсом и английским ученым О.Хевисайдом.

…теория скользящих векторов, применяе-мая в задачах, где приходится принимать врасчет не только массу, но и размеры тела,широко используется в статике, в строитель-ной механике, в кинематике и динамикетвердого тела.

…векторы, связанные с вращением, на-правление которых определяется знамени-тым «правилом буравчика», – это моментсилы, угловые скорость и ускорение. А ещеодин вектор – момент количества движения –«проник» из механики в теорию элементар-ных частиц, став одной из важнейших иххарактеристик, называемой спином.

Что читать в «Кванте» о векторах в

физике

(публикации последних лет)

1. «Геометрия скользящих векторов» – 2014, При-ложение №4, с.114;

2. «Поле и линии поля» – 2015, №2, с.35;3. «Скорость и ускорение» – 2016, Приложение

№4, с.6;4. «Как не быть мазилой» – 2018, №7, с.37;5. «Господин Великий Косинус» – 2019, №1, с.39;6. «Относительность движения в задачах кинема-

тики» – 2019, №2, с.43;7. «Относительность движения в задачах динами-

ки» – 2019, №4, с.40.

Материал подготовил А.Леонович

К В А Н T $ 2 0 2 0 / № 4

34

трации, а также времени развития кислород-ной недостаточности в лифте, комнате, ваго-не метро и школьном классе. Для детейпринята половинная величина выдыхаемогоСО и 2CO .

Таблица 2. Сопоставление времени

снижения концентрации 2O ,

накопления СО и 2CO

Видно, что накопление углекислого газапримерно на порядок опаснее накопленияугарного газа и еще на порядок опаснееснижения концентрации кислорода.

Мощность систем вентиляции. Как оце-нить мощность систем вентиляции вентq , не-обходимую для поддержания нормальногосостава воздуха? Если отвлечься от переход-ных процессов установления и выравнива-ния потоков воздуха, то конечный результатвыглядит очень просто:

( )2

2 2

COвент

CO max CO

qq

C C=

−.

Так если 2CO 0,25q = литра в минуту (в этом

случае человек выдыхает 15 литров 2CO вчас), то при

2

3CO max 1 10C −= ⋅ и

2

4CO 4 10C −= ⋅

получим требуемую мощность вентиляции в420 литров воздуха в минуту или 325 м в час.

Если же выдыхается 20 литров 2CO в час,то мощность вентиляции увеличивается до

333 м воздуха в час. А если принять длямаксимально допустимого значения концен-трации 2CO в воздухе несколько меньшеезначение 30,8 10−⋅ , то мощность вырастет

уже до 338 м воздуха в час (при 15 л 2CO вчас) и 350 м воздуха в час (при 20 л 2CO вчас).

Много это или мало? Как обес-печить такой приток свежеговоздуха? Например, если при-открыть дверь, то через каждыйквадратный сантиметр щели приперепаде давлений по обе сторо-ны двери p∆ = 10 Па проходитв час один кубометр воздуха.Это означает, что при указан-

ном p∆ через сантиметровую щель в дверивысотой два метра проходит 3200 м воздухаза час. Отметим, что принятый уровеньперепада давлений 10 Па довольно мал (это

410− от атмосферного) и вполне может бытьдостигнут. Еще более мощный эффект вен-тиляции оказывает проветривание при от-крытии окон и дверей в течение хотя бынескольких минут.

В качестве примера рассмотрим ситуациюс кислородом и углекислым газом при спасе-нии детей в пещере Таиланда, частичнозатопленной водой. В 2018 году весь мирследил за спасением футбольной команды из12 школьников и их тренера, ушедших наэкскурсию в пещеру Кхао Луанг и застряв-ших в ней на 18 дней (23 июня – 10 июля)из-за дождей, затопивших вход в пещеру.Они укрылись в воздушном кармане, полно-

стью перекрытом во-дой и удаленном отвыхода из пещеры на5 километров. Зада-ча заключалась в выс-вобождении ослабев-ших детей и тренераиз пещеры. Ситуацияосложнялась наличи-ем узкой щели – нарисунке 2 она обо-значена как «опаснаяточка», через кото-рую предстояло вы-бираться. Особенно-

Рис. 2. Характерный вид пещеры Кхао Луанг. Слева – школьники и тренер,запертые в воздушной полости, справа – спасатели

(Начало см. на с. 29)

Ф И З И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т А Т И В 35

сти проплыва через щель показаны на рисун-ке 3. Спасателям пришлось непрерывно от-качивать воду из пещеры. Поэтому в нейнаходилось большое количество спасателей,помогавших откачивать воду и готовить де-тей к выходу.

В этой ситуации оказались важны всеотмеченные выше особенности поведениякислорода и углекислого газа в замкнутомобъеме. Для борьбы с постепенным умень-шением количества кислорода в пещере былаорганизована доставка кислорода с помо-щью специального трубопровода. Было ре-шено, что накопление углекислого газа впещере представляет существенно большуюопасность, чем нехватка кислорода. Закач-кой кислорода по трубопроводу в верхнюючасть пещеры вытесняли углекислый газ.Учитывалось также расслоение воздуха нафракции – 2CO скапливался в нижней частипещеры. Вот почему дети и тренер скрылисьв верхней ее части.

Поиски ребят и подготовительные работызаняли почти две недели. За это времяизвестный изобретатель и организатор ис-следований Илон Маск (космические кораб-ли, электрокары) успел из запчастей к раке-те изготовить миниатюрную подводную лод-ку на одного человека и доставить ее вТаиланд. Но из-за узкой щели от ее исполь-зования отказались.

Ситуация с каждым днем становилась всеболее сложной. Необходимо было постоян-ное присутствие людей, занятых на откачкеводы из пещеры (иначе пещера полностью

заполнилась бы водой) и установке труб дляподачи кислорода. Более десятка акваланги-стов доставляли в пещеру воду, еду и кисло-родные баллоны. Там постоянно присутство-вали врачи и те, кто готовили спасательнуюоперацию. При дыхании этих взрослых спа-сателей состав воздуха ухудшался еще стре-мительнее. Наступил момент, когда из-занакопления углекислого газа дальше ждатьбыло нельзя. Множество кислородных бал-лонов было расставлено по всему маршрутуиз пещеры к выходу (каждый баллон рас-считан на работу только в течение часа).Тысяча спасателей снаружи, включая стодайверов, начали операцию. В первый день13 дайверов спасли четырех подростков. Вовторой день 18 дайверов (и 70 аквалангистовсопровождения) спасли еще четверых. Нако-нец, в третий день были спасены оставшиесячетверо детей и их тренер, а также 4 челове-ка, остававшиеся в пещере. Молодцы!

Взгляд изнутри

На уровне клеток организма состав воз-душной среды совершенно иной. Содержа-ние кислорода в клетках организма около 1–2% (исключение – эритроциты, в которыхможет содержаться до 96–98% кислорода),углекислого газа в клетках около 6%. Есликонцентрации 2CO в клетках уменьшается,то появляется все больше проблем с дыхани-ем. На рисунке 4 приведена зависимостьхарактерного времени, в течение которогочеловек (не рекордсмен) способен задер-жать дыхание, частоты пульса и степени

Рис. 3. Узкая щель («опасная точка»). Дляпроплыва через щель было необходимо снятьакваланг, поэтому каждого ребенка спасалидва дайвера

Рис. 4. Характерная зависимость времени за-держки дыхания (секунды), частоты пульса(количество ударов в минуту) и степени ухуд-шения кровоснабжения (проценты) от концен-трации углекислого газа в крови

К В А Н T $ 2 0 2 0 / № 4

36

ухудшения кровоснабжения органов от кон-центрации углекислого газа. Общий выводтаков: при уменьшении концентрации 2COвремя задержки дыхания уменьшается и,если она приближается к 3%, клетки гибнут;быстро растет частота пульса; ухудшаетсякровоснабжение органов. В результате же-лательная концентрация 2CO в клетках дол-жна быть 6% и даже немного больше. При-мерное содержание кислорода и углекислогогаза в различных частях организма челове-ка, приведенное в таблице 3, подтверждаетвышеуказанные цифры.

Таблица 3. Содержание кислорода и

углекислого газа

В легких происходит обмен кислорода иуглекислого газа между альвеолами и кро-вью. Альвеолы – концевые образования влегких, имеющие вид пузырьков, которые

оплетены сетью капилляров (рис.5). Черезстенки альвеол (их диаметр около 0,3 мм,количество альвеол в легких человека околомиллиарда, а общая поверхность приблизи-тельно 100 м2) осуществляется газообмен:кислород переходит в кровь и примерностолько же углекислого газа из крови посту-пает в легкие. Более точно, в среднем засутки из альвеолярного воздуха в кровьпоступает 500 литров кислорода и выделяет-ся 430 литров углекислого газа из крови вальвеолярный воздух.

Более подробно о свойствах альвеол рас-сказано в книге К.Ю.Богданова «Физик вгостях у биолога» (Библиотечка «Квант»,выпуски 49, 133).

Что первично для организма:

O

2

или CO

2

?

Помните известный парадокс: что былораньше – курица или яйцо? Он не разре-шим, если не привлекать во внимание про-цесс эволюции и образование новых видов.Но если привлечь, то у яйца оказываетсянекоторый приоритет, он древнее. Так, ещединозавры откладывали яйца, а птицы про-изошли от одной из ветвей динозавров. По-лучается, что яйцо древнее птицы и в этом,эволюционном, смысле первично…

В нашем случае проблема выбора – чтопервично (иными словами, что запускаетпроцессы в человеческом организме): кисло-род или углекислый газ – решается следую-щим образом. Раньше первичным считалсякислород – ведь он основной источник энер-гии, дающий толчок всем процессам в орга-низме. Но сейчас маятник выбора качнулсяв сторону углекислого газа. Постепенно при-шли к выводу, что первичным, запускаю-щим, механизмом является накопление ворганизме углекислого газа.

Накопление 2CO в организме в ходе рас-щепления в клетках жиров и белков даетсигнал мозгу о том, что углекислый газнужно выводить из клеток – он «садится» наэритроциты и перемещается к альвеоламлегких. На освободившиеся места в «поезде»эритроцитов «усаживается» O2 и разноситсяпо организму. Поэтому современный взглядна процесс дыхания таков: сначала выдыха-ется углекислый газ, а потом вдыхаетсякислород. При этом вместе с углекислымгазом выдыхаются и излишки кислорода.

Рис. 5. Вид альвеолы, опутанной капиллярами.Показаны пути поступления кислорода в эрит-роциты и выхода углекислого газа из эритро-цитов

Ф И З И Ч Е С К И Й Ф А К У Л Ь Т А Т И В 37

Для дыхания необходимы оба газа, попере-менно «седлающие» эритроциты. При этомвенозная кровь окрашена с помощью угле-кислого газа в темно-красный цвет, а артери-альная кровь с помощью кислорода – в ярко-красный.

Среднее соотношение между количествомуглекислого газа и кислорода в организмездорового человека примерно 3:1 (6% CO2 и2% O2).Взаимодействие «снаружи» и «изнут-

ри». Итак, углекислый газ необходим дляжизнедеятельности человека. Важно и под-держание определенного уровня CO2 в орга-низме. А его недостаток и избыток вредны.Слишком высокое накопление CO2 возмож-но в плохо проветриваемых помещениях:при большом проценте (более 0,08–0,1%)его уровень в организме также растет (по-следствия этой ситуации обсуждались выше).Нехватка углекислого газа в крови (менее4%) тоже опасна (см. рис.4).

В каких случаях может возникнуть такаянехватка? Типичный пример – учащенноедыхание: слишком много 2CO выдыхается имало остается в организме. При недостаткеуглекислого газа кислород прочно «при-креплен» к эритроцитам. И даже когда кис-лорода в крови много, он оказывается свя-занным и плохо поступает в ткани организ-ма. Если в такой ситуации дышать еще чаще,то это только усугубит ситуацию.

Что делать? Движение, гимнастика, спортна воздухе или в хорошо проветриваемомпомещении – все это увеличивает содержа-ние CO2. Капилляры расширяются и дажеобразуются новые сети капилляров, крово-ток усиливается, кислород лучше отделяетсяот гемоглобина и поступает в клетки...

Приведем еще один пример важности бо-лее редкого дыхания. Стайерам во времябега рекомендуют в случае, когда уже нехватает сил, как можно дольше задержатьдыхание для того, чтобы открылось «второедыхание» и он мог бежать дальше.

Оказание первой помощи. Дыхание «ротв рот». При оказании первой доврачебнойпомощи человеку в случае исчезновениядыхания одним из действенных методов яв-ляется искусственное дыхание методом «ротв рот» вместе с непрямым массажем сердца.

В рот пострадавшего через марлю илиносовой платок спасатель должен выдыхать

воздух с частотой 12–15 раз в минуту. Каза-лось бы, это бессмысленно. Ведь в началестатьи мы много раз повторяли, каков дол-жен быть состав вдыхаемого воздуха (21%кислорода и 0,4% углекислого газа). А тутвыходит, что пострадавший вынужден при-нудительно получать воздух «на выдохе»(16% O2 и 4% CO2). Тем не менее, оказыва-ется, что и в выдыхаемом воздухе еще естьостатки кислорода в концентрации, превы-шающей минимально допустимую (16% >> 13–14%). А большая концентрация CO2оказывается полезной для стимуляции цент-ра головного мозга, который вызывает дыха-тельный рефлекс, приводящий к раскрытиюальвеол.

В этой ситуации имеется некоторая анало-гия с поведением спасателя при остановкесердца: он должен повернуть пострадавшегона спину и нанести ему удар ребром руки погрудной клетке. Цель – сотрясение груднойклетки, что должно привести к запуску оста-новившегося сердца.

Так что роль CO2 при остановке дыханиянесколько иная, чем при обычном, спокой-ном дыхании.Способы увеличения концентрации вы-

дыхаемого углекислого газа. Человек в по-вседневной жизни «в автоматическом режи-ме» делает примерно 15 циклов вдох-выдох вминуту (каждый цикл имеет длительностьприблизительно 4 секунды). Обычное отно-шение длительности вдоха и выдоха 1 : 1,3.

Смысл основных дыхательных гимнастикзаключается в повышении содержания вкрови углекислого газа за счет задержки,ослабления, замедления или искусственногозатруднения дыхания. При этом повышениеконцентрации CO2 (до определенного преде-ла, около 8%) улучшает усвоение кислородаорганизмом человека. В разных методикахэто достигается или за счет задержки дыха-ния после вдоха либо после выдоха, или засчет удлиненного выдоха, или за счет удли-ненного вдоха, или их комбинаций. Инымисловами, нужно, чтобы фаза выдоха суще-ственно превышала вдох.

Наиболее последовательной из современ-ных методик является система Бутейко –поверхностное дыхание с задержкой. Онанаправлена на уменьшение потребления кис-лорода и насыщение организма углекислымгазом. По этой системе усилием воли вдох

К В А Н T $ 2 0 2 0 / № 4

38

Рис. 2

занимает 2 секунды, выдох – 4 секунды, закоторым следует 4-х секундная задержкадыхания. Всего цикл длится 10 секунд, ук-ладываясь в 6 циклов в минуту.

В практике йоги правильным считаетсявесьма продолжительный выдох с отноше-нием длительности вдоха и выдоха 1 : 5.Утверждается, что йог в состоянии глубокоймедитации может «обходиться» всего двумя-тремя циклами вдох-выдох в минуту. Пер-вая реакция на это – не может быть! Но далеенеожиданно выясняется, что очень редкоедыхание йогов может быть связано с повы-шенной ролью у них кожного дыхания.

И действительно, в этом что-то есть. Пло-щадь кожи человека, покрытая 5 миллиона-ми волосков, составляет 21,5–2 м . А суммар-ная площадь 600 миллионов альвеол в лег-ких – около 2100 м . Грубо получается, что науровне 1–2% кожа может выполнять дыха-тельную функцию. Измерения показали, чточерез кожу выделяется около 2% углекисло-го газа и поглощается примерно 1% кислоро-да. Более того, через кожу выводится изорганизма порядка 800 граммов водяныхпаров – даже больше, чем из легких!

Об укладке

блинов, котлет

и апельсинов

С.ДОРИЧЕНКО

СЕГОДНЯ КВАНТИК РЕШИЛ СЕРЬ-езно попрактиковаться в готовке. Сам

он обычную пищу не ел, но друзей любилпорадовать чем-ни-будь вкусненьким.

– Начнем с блинов, –решил Квантик. С те-стом проблем не воз-никло, но один блинтак причудливо рас-текся по сковороде, чтоявно налез бы на дру-гие после переворачи-вания (рис.1).

– Интересно, а поместятся ли блины, еслия переверну их все?

Квантик любил сначала все продумать, апотом уже делать. Зачем пытаться уклады-

вать перевернутые блины, если они, может,и не влезут? Сначала надо доказать теорему!Но запах подгорающего теста заставил Кван-тика действовать: он схватил такую же, нохолодную сковороду и ловко опрокинул тудавсе блины, чтобы пока спокойно подумать.Чуть прилипшие блины перевернулись ввоздухе целиком вместе с горячей сковоро-дой, но тут же отлипли и аккуратно упали нахолодную – румяной стороной кверху.

– Кажется, это было доказательство, –осенило Квантика. – Интересно, а если бымоя сковорода была треугольной? Для рав-ностороннего треугольника все бы сработа-ло, а вот для любого… пожалуй, не всегда.(А вы поняли, почему?)

Следующий блин Квантик сделал «мате-матическим», в видепрямоугольника. Пе-реворачивая его надругую сторону,Квантик немного нерассчитал, и прямоу-гольник завернулся,да так, что даже вы-лез за пределы сково-роды (рис.2).

– Надо его хотя бы сдвинуть целиком насковороду. Ой, а вдруг не влезет?

Времени на доказательство не было, имысли в голове Квантика сменялись с беше-ной скоростью.

Рис. 1

М А Т Е М А Т И Ч Е С К И Й К Р У Ж О К

DOI: https://doi.org/10.4213/kvant20200406

М А Т Е М А Т И Ч Е С К И Й К Р У Ж О К39

– И зачем мне понадобился блин именно вформе прямоугольника? А для другой фор-мы понятнее, что ли, поместится ли загну-тый блин? Может, это вообще от формыблина не зависит... Ну если не зависит, толюбой, даже самый большой блин долженпоместиться, если его загнуть. Стоп, самыйбольшой блин – это же… вся сковорода! Нодля нее ответ очевиден!

Квантик так удивился этой неожиданноймысли, что резко вдвинул блин на сковородуи погасил огонь.

– Ну конечно. Если загнуть по прямойблин размером со сковороду, меньшая частьцеликом окажетсявнутри (под илинад) большей, изагнутый блин точ-но влезет на ско-вороду! А есливзять блин помень-ше, он влезет пос-ле загиба и подав-но (рис.3).

Квантик решил, что хватит с него насегодня блинов. Лучше сделать что-нибудьпростое и понятное – вот, например, котле-ты. Причем круглые и абсолютно одинако-вого размера. Приготовив фарш, Квантикбыстро налепил котлет и стал как попаловыкладывать их на разогретую сковороду.После шестой котлеты он обнаружил настоле оставшуюсяседьмую, места длякоторой с виду ужене было. Квантикбыстро сдвинул кот-леты вплотную другк другу и втиснулседьмую на край –получилось «тю-телька в тютельку»(рис.4).

– Повезло? Или если шесть влезло, то исемь влезет? – задумался Квантик. Покакотлеты жарились с одной стороны, он акку-ратно сформулировал гипотезу.

Котлетная теорема. Пусть на круглойсковороде удалось поместить шестьодинаковых круглых котлет. Тогда на этусковороду поместится и добавочная седьмаятакая же котлета (возможно, для этогопридется передвинуть предыдущие).

– Вроде бы ясно, что расположение в виде«ромашки», когда одна котлета в центре, аостальные вокруг, самое выгодное. Но какэто доказать? Если одна котлета лежит точнопо центру и есть место еще хоть для одной,то остальные шесть влезут – просто подрядпо кругу. А если никакая котлета не лежитстрого по центру? Никаких идей…

Квантик перевернул котлеты, думая даль-ше.

– Зайдем с другой стороны: какая сковоро-да нужна для семи котлет? Радиус котлеты,скажем, 1. Тогда для «котлетной ромашки»хватит сковороды с радиусом 3. Идея! Дока-жем, что если шесть котлет поместилось, торадиус сковороды не меньше 3.

Квантик убавил газ и накрыл котлетыкрышкой.

– И что дальше? Надо как-то использо-вать, что котлеты не накладываются друг надруга. Ага, это значит, что расстояние междулюбыми двумя центрами котлет не меньше 2.А еще котлеты не вылезают за пределысковороды – т.е. расстояние от ее края доцентра любой котлеты не меньше 1. Инымисловами, центры котлет лежат в круге ради-уса на 1 меньше, чем у сковороды. Перефор-мулируем-ка задачу:

Точки в круге. В круге лежат шесть точек,расстояния между любыми двумя из них неменьше 2. Тогда и радиус круга не меньше 2.

– Попробовать от противного? – подумалКвантик. – Пусть радиус круга меньше 2.Случай, когда какая-то точка в центре круга,разобран. А если все точки не в центре, а где-то вокруг? Соединю-ка их с центром.

Квантик погасил огонь,взял бумажку и каранда-ши и провел из центра кру-га шесть зеленых отрезков.Потом подумал немного исоединил «соседние» точ-ки красными отрезками(рис.5). Получилось шестьтреугольников.

– Все зеленые отрезки короче 2. А всекрасные – не меньше 2. Тогда в каждом изшести треугольников красная сторона –самая длинная. А это значит…

Квантик чувствовал, что решение где-тосовсем рядом. И тут он вспомнил, что втреугольнике против большего угла лежитбольшая сторона.

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

К В А Н T $ 2 0 2 0 / № 4

40

Рис. 8

– …это значит, что в каждом треугольникеугол против красной стороны строго самыйбольший. Тогда он по величине больше третиот суммы углов – от 180° – т.е. больше 60° .Стоп-стоп-стоп! А если я просто пройду покругу – от одного зеленого отрезка к следу-ющему и т.д. и вернусь в начало? Каждыйзеленый угол точно будет больше 60°. Угловшесть, и тогда их сумма больше 360° –больше полного оборота! Противоречие!!!

Квантик, решив задачу, никогда не могсразу остановиться. Вот и сейчас он ещекакое-то время размышлял над последнимшагом решения.

– А если бы радиус круга равнялся 2?Тогда красная сторона в каждом треугольни-ке снова самая длинная, но уже не строго –она может и равняться зеленым. Значит,угол против нее не меньше 60° .

А раз сумма шести углов между зеленымиотрезками равна 360°, все они по 60° . Выхо-дит, точки лежат на границе круга в верши-нах правильного шестиугольника!

Квантик сформулировал доказанный факт:

Вторая котлетная теорема. Если насковороде радиуса 3 лежат шесть котлетрадиуса 1, возможны два случая. Первый:одна котлета лежит точно по центру, аостальные – по краям, касаясь центральной.Второй: шесть котлет лежат «ромашкой» спустым центральным местом.

После всех этих котлетных теорем надобыло передохнуть, и Квантик решил потре-нироваться в украшении стола. Он поставилна стол блюдо для фруктов – разумеется,математическое, в форме равностороннеготреугольника – истал выкладывать нанего апельсины: тожематематические, т.е.абсолютно круглые иодинаковые. Апель-синов было девять, ина блюде осталосьместо еще ровно дляодного, которого,увы, не было (рис.6).

– Некрасиво, – подумал Квантик. – Пере-ложу-ка по-другому, чтобы нехватка не бро-салась в глаза.

Квантик долго укладывал апельсины водин слой, и так и эдак, и наконец пришел ктому, что верна

Апельсинная теорема. Если блюдо в видеравностороннего треугольника рассчитаноровно на десять апельсинов (в один слой,вплотную друг к другу и краям), то, как тудани клади девять апельсинов (в один слой),обязательно останется место и для десятого,даже если не сдвигать остальные.

– Вот тебе и отдых, – вздохнул Квантик. –Как подступиться к доказательству – совер-шенно неясно. Когда на блюде десять апель-синов, они – вернее, их центры – образуюткрасивую треугольную решетку. Но почемуи девять никак по-другому не положишь –только в виде решетки с одним пропуском?Нарисую-ка эту решетку. Радиус апельсинавозьму за 1.

Квантик изобразил апельсины кругами наплоскости – задачаведь фактически сво-дилась к этому плос-кому варианту. Унего получился боль-шой треугольник,разделенный наменьшие, а блюдо иапельсины Квантикнарисовал пункти-ром (рис.7).

– Центры апельсинов отстоят от края блю-да хотя бы на 1 и поэтому лежат в пределахтреугольной решетки. Стороны маленькихтреугольников равны 2. Тогда для центровтакая задача получается:

Точки в треугольнике. Треугольник состороной 6 разбит на маленькие треугольникисо стороной 2 (см. рис. 7). В нем лежат девятьточек, расстояния между любыми двумяточками не меньше 2. Докажите, что всеточки лежат в вершинах маленькихтреугольников (в узлах решетки).

– Что-то тут напоми-нает котлетную теоре-му… Ага, если отки-нуть три угла, остаетсяшестиугольник – та же«ромашка»! Нарисую-ка его красным цветом(рис.8).

Можно даже вокругнего невидимый круг описать радиуса 2. Нодальше-то что? У нас же теперь девять точек,а не шесть. Стоп! А что если шесть точек издевяти попадают в красный шестиугольник?

Рис. 6

Рис. 7

М А Т Е М А Т И Ч Е С К И Й К Р У Ж О К41

Вторая котлетная теорема! Ведь шесть точеклежат тогда в невидимом круге, а значит,либо одна точка в центре и пять – на краюкруга, либо все шесть точек на краю. Нокрай круга пересекается с шестиугольникомтолько в его вершинах! Значит, если шестьточек внутри шестиугольника – они все вузлах решетки.

Квантик перевел дух и продолжил разби-раться.

– А сколько точек может быть снаружишестиугольника, т.е. в трех «угловых» тре-угольниках? Ага, в каждом максимум потри, значит, всего трижды три – девять?Нет, я неправильно считаю. Ведь если точкана красной стороне углового треугольника,то она и в шестиугольнике тоже. А мне надопонять, сколько точек могут быть строго внешестиугольника. В каждом угловом треу-гольнике такая точка… одна! Значит, внешестиугольника – максимум три точки, а вшестиугольнике – минимум шесть. Ура!!!Ведь тогда эти шесть (или больше) точеклежат в узлах решетки. И в каждый угловойтреугольник попадет хоть одна из них, по-этому и в угловых треугольниках точкамнекуда деваться кроме узлов. Все доказано!

Квантик захотел узнать, не встречались лираньше подобные задачи. Полазив по интер-нету, он выяснил, что некоторые из нихпечатались в «Кванте» и что автор задачипро блины – А.Абрамов, про загнутый пря-моугольник – В.Произволов, про апельси-ны – Н.Долбилин, который, кстати, предла-гал подумать над общим случаем – когда вблюде помещается не 10, а 15 апельсинов, 21и т.д. (в виде треугольной решетки, но сбульшим количеством точек). Задача прокотлеты оказалась глубоким фольклором –наверняка каждый математик, занимавший-ся проблемой упаковки кругов в круге, еезнал (а «официальное» доказательство опуб-ликовал в 1968 году Рональд Грэхем).

А еще Квантик нашел задачу М.Евдокимо-ва из Турнира городов, которая очень емупонравилась:

Апельсины в кубе. В кубическую коробкупоместили три одинаковых апельсина.Докажите, что в такую же пустую коробкуможно поместить четыре таких жеапельсина.

– Буду рассуждать по аналогии с предыду-щими задачами, – решил Квантик. – Апель-

сины – это шары. Приму радиус шара за 1.Центры шаров отстоят от граней коробкихотя бы на 1, т.е. лежат в кубе со сторонойна 2 меньше, чем у коробки. Друг от другацентры отстоят хотя бы на 2, значит, образу-ют треугольник, все стороны которого неменьше 2. Интересно, а в куб какого наи-меньшего размера можно поместить равно-сторонний треуголь-ник со стороной 2?

Правдоподобныйпример пришел в го-лову быстро: Квантиквзял куб, у граней ко-торого диагонали рав-ны 2. Если раскраситьвершины такого кубав шахматном порядке,как на рисунке 9, любые три черные точкидадут как раз равносторонний треугольниксо стороной 2, а все четыре черные точки –тетраэдр, все ребра которого равны 2.

Так что если поместить центры четырехшаров единичного радиуса в черные точки,шары не будут мешать друг другу. Сторонатакого куба равна 2 (по теореме Пифаго-ра), а сами шары уме-стятся в кубическуюкоробку со стороной2 + 2 (два шара бу-

дут лежать на дне ко-робки «по диагонали»,а сверху на них – ещедва шара «по другойдиагонали», как нарисунке 10).

– Наверняка это и есть ответ, – подумалКвантик. – Осталось доказать теорему:

Треугольник в кубе. В кубе лежиттреугольник, каждая сторона которого неменьше 2. Тогда сторона куба не меньше 2.

С этой теоремой Квантик мучился не-сколько часов. Решение вышло хитрое.

– Треугольник «широкий», он требуетмного места, – размышлял Квантик. – Однуего сторону я еще мог бы вместить в меньшийкуб – например, пустить ее вдоль главнойдиагонали куба. Но третья вершина ужевылезет наружу. Получается, как треуголь-ник ни крути, он «длиннее» куба… Что этозначит? «Длиннее» куба в каком-то направ-лении? «Длиннее» какого-то его ребра? Стоп,эту мысль надо обдумать.

Рис. 9

Рис. 10

К В А Н T $ 2 0 2 0 / № 4

42

Спустя какое-то время Квантику удалосьперейти от туманных догадок к строгомурассуждению. На радостях он его даже запи-сал. Вот оно:

«Пусть наш треугольник (обозначим егоABC) поместился в куб со стороной меньше2 . Рассмотрим три ребра куба, выходящие

из одной вершины, и спроецируем треуголь-ник ABC на эти ребра.

А именно, сначала возьмем одну сторону –скажем, AB – нашего треугольника и рас-смотрим ее проекции на выбранные ребра.Проекция на одно ребро получается, еслизажать AB между двумя плоскостями, пер-пендикулярными ребру: они и высекут наребре проекцию. Проецируя на три ребра,мы проведем три пары параллельных плос-костей и фактически заключим AB в прямо-угольный параллелепипед: его стороны x, y,z равны длинам проекций, а его главнаядиагональ – это AB (рис.11).

По трехмерной теореме Пифагора,2 2 2 2 4x y z AB+ + = ≥ (ведь 2AB ≥ ). Про-

делав то же самое для BC и для AC, получа-ем: сумма квадратов проекций всех трехсторон треугольника не меньше 12.

Но эту же сумму можно подсчитать и «вдругом порядке»: сначала спроецироватьтреугольник отдельно на каждое из трехребер, а уже потом складывать. Проекциятрех сторон треугольника на конкретноеребро будет состоять из трех отрезков, одиниз которых равен сумме двух других,a b c= + , как видно из рисунка 12: «крайниевершины» проецируются в концы отрезкадлиной a, а «средняя» вершина – в точку,делящую его на части с длинами b и c.

При этом a не больше, чем длина ребракуба (так как треугольник лежит внутрикуба), т.е. 2a < , откуда 2 2 2a b c+ + ≤

( )22 22 2 2 4a b c a≤ + + = < ⋅ = . Значит, сум-ма квадратов проекций сторон на все три

ребра меньше 12 – противоречие! Задача проапельсины решена».

А напоследок Квантик решил напомнитьчитателям еще несколько «кулинарных» за-дач со страниц «Кванта» и «Квантика».

Задачи

1. Печенья на противне. На прямоугольныйпротивень помещается 100 круглых печений.Обязательно ли на такой же противень можноуложить 400 круглых печений в два раза мень-шего радиуса?2. Торт с глазурью. Квадратный торт облит

сверху и по бокам глазурью. Разрежьте его напять цельных кусков, в которых поровну иторта, и глазури.3. Лишний апельсин (С.Посицельский, М.Се-

менова). В плоской коробке в один слой вплот-ную лежат одинаковые круглые апельсины –

восемь рядов по пять штук в каждом (рис.13).Удастся ли поместить в коробку еще одинтакой апельсин?

Рис. 11

Рис. 12

Рис. 13

Задачи весеннего тура

Базовый вариант

8–9 классы

1. (4)1 Карта Квадрландии представляетсобой квадрат 6 6× клеток. Каждая клет-ка – либо королевство, либо спорная терри-тория. Королевств всего 27, а спорных тер-риторий 9. На спорную территорию претен-дуют все королевства по соседству и толькоони (т.е. клетки, соседние со спорной постороне или вершине). Может ли быть, чтона каждые две спорные территории претен-дует разное число королевств?

М.Евдокимов

2. (4) Какое наибольшее количество раз-личных целых чисел можно выписать в рядтак, чтобы сумма каждых 11 подряд идущихчисел равнялась 100 или 101?

Е.Бакаев

3. (4) На диагонали AC ромба ABCDпостроен параллелограмм APQC так, чтоточка B лежит внутри него, а сторона APравна стороне ромба. Докажите, что B –точка пересечения высот треугольника DPQ.

Е.Бакаев

4. (5). Целое число n таково, что уравне-ние 2 2 2x y z xy yz zx n+ + − − − = имеет ре-шение в целых числах x, y, z. Докажите, чтотогда и уравнение 2 2x y xy n+ − = имеетрешение в целых числах x, y.

А.Юран

5. (5) На доске 8 8× в клетках a1 и c3 стоятдве одинаковые фишки (см. рисунок). Петяи Вася ходят по очереди, начинает Петя. Всвой ход игрок выбирает любую фишку исдвигает ее либо по вертикали вверх, либо погоризонтали вправо на любое число клеток.Выиграет тот, кто сделает ход в клетку h8.

Кто из игроков может действовать так, что-бы всегда выигрывать, как бы ни игралсоперник? В одной клетке может стоятьтолько одна фишка, прыгать через фишкунельзя.

В.Ковальджи

10–11 классы

1. (4) Можно ли в каждую клетку таблицы40 41× записать по целому числу так, чтобычисло в каждой клетке равнялось количествутех соседних с ней по стороне клеток, вкоторых написано такое же число?

А.Грибалко

2. (4) Обсуждая в классе зимние канику-лы, Саша сказал: «Теперь, после того как яслетал в Аддис-Абебу, я встречал Новый годво всех возможных полусферах Земли, кро-ме одной!» В каком минимальном количе-стве мест встречал Новый год Саша? Места,где Саша встречал Новый год, считайтеточками на сфере. Точки на границе полу-сферы считаются не принадлежащими этойполусфере.

И.Думанский, Р.Крутовский

3. (5) По кругу стоят буквы A и B, всего41 буква. Можно заменять ABA на B инаоборот, а также BAB на A и наоборот.Верно ли, что из любого начального распо-ложения можно получить такими операция-ми круг, на котором стоит ровно одна буква?

М.Дидин

4. Существует ли непостоянный много-член ( )p x с действительными коэффициен-тами, который можно представить в видесуммы ( ) ( )a x b x+ , где ( )a x и ( )b x – квад-раты многочленов с действительными ко-эффициентами,

XLI Турнир городов

1 В скобках после номера задачи указаночисло баллов, присуждавшихся за ее полноерешение. Итог подводился по трем задачам, покоторым достигнуты наилучшие результаты(баллы за разные пункты одной задачи сумми-руются).

О Л И М П И А Д Ы

К В А Н T $ 2 0 2 0 / № 4

44

а) (2) ровно одним способом;б) (3) ровно двумя способами?

Способы, отличающиеся лишь порядком сла-гаемых, считаются одинаковыми.

С.Маркелов

5. (5) Даны две окружности, пересекаю-щиеся в точках P и Q. Произвольная прямая l,проходящая через Q, повторно пересекаетокружности в точках A и B. Прямые, каса-ющиеся окружностей в точках A и B, пере-секаются в точке C, а биссектриса угла CPQпересекает прямую AB в точке D. Докажите,что все точки D, которые можно так полу-чить, выбирая по-разному прямую l, лежатна одной и той же окружности.

А.Заславский

Сложный вариант

8–9 классы

1. (4) Существует ли число, делящееся на2020, в котором всех цифр 0, 1, 2, …, 9поровну?

М.Евдокимов

2. (5) Три богатыря бьются со ЗмеемГорынычем. Илья Муромец каждым своимударом отрубает Змею половину всех голови еще одну, Добрыня Никитич – треть всехголов и еще две, Алеша Попович – четвертьвсех голов и еще три. Богатыри бьют поодному в каком хотят порядке, отрубаякаждым ударом целое число голов. Если ниодин богатырь не может ударить (числоголов получается нецелым), Змей съедаетвсех троих. Смогут ли богатыри отрубить всеголовы 41!-головому Змею? (Напомним, что41! 1 2 3 41= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅… .)

А.Заславский

3. Существует ли вписанный в окружностьN-угольник, у которого нет одинаковых подлине сторон, а все углы выражаются целымчислом градусов, если

а) (4) N = 19; б) (3) N = 20?М.Малкин

4. (8) Для каких N можно расставить вклетках квадрата N N× действительные чис-ла так, чтобы среди всевозможных суммчисел на парах соседних по стороне клетоквстречались все целые числа от 1 до ( )2 1N N−включительно (ровно по одному разу)?

М.Дидин

5. (9) Трапеция ABCD вписана в окруж-ность. Ее основание AB в 3 раза большеоснования CD. Касательные к описанной

окружности в точках A и C пересекаются вточке K. Докажите, что угол KDA прямой.

А.Юран

6. (9) У Пети есть колода из 36 карт(4 масти по 9 карт в каждой). Он выбираетиз нее половину карт, какие хочет, и отдаетВасе, а вторую половину оставляет себе.Далее каждым ходом игроки по очередивыкладывают на стол по одной карте (посвоему выбору, в открытом виде); начинаетПетя. Если в ответ на ход Пети Вася смогвыложить карту той же масти или того жедостоинства, Вася зарабатывает 1 очко. Ка-кое наибольшее количество очков он можетгарантированно заработать?

М.Евдокимов

7. (12) См. задачу М2601 «Задачника«Кванта».

10–11 классы

1. (4) На плоскости даны две параболы:2y x= и 2

1y x= − . Пусть U – множествовсех точек плоскости, лежащих между пара-болами (включая точки на самих парабо-лах). Существует ли отрезок длины более

610 , целиком содержащийся в U?А.Толпыго

2. (5) Алеша задумал натуральные числа a,b, c, а потом решил найти такие натуральныеx, y, z, что ( )НОК ,a x y= , ( )НОК ,b x z= ,

( )НОК ,c y z= . Оказалось, что такие x, y, zсуществуют и определены однозначно. Але-ша рассказал об этом Боре и сообщил емутолько числа a и b. Докажите, что Боряможет восстановить c.

Б.Френкин

3. (8) См. задачу М2598 «Задачника «Кван-та».

4. (9) См. задачу М2599 «Задачника «Кван-та».

5. (9) См. задачу М2600 «Задачника «Кван-та».

6. (10) На доске написаны 2n последова-тельных целых чисел. За ход можно разбитьнаписанные числа на пары произвольнымобразом и каждую пару чисел заменить на ихсумму и разность (не обязательно вычитатьиз большего числа меньшее, все заменыпроисходят одновременно). Докажите, чтона доске больше никогда не появятся 2nпоследовательных чисел.

А.Грибалко

О Л И М П И А Д Ы45

7. (12) Для каких k можно закрасить набелой клетчатой плоскости несколько клеток(конечное число, большее нуля) в черныйцвет так, чтобы на любой клетчатой вертика-ли, горизонтали и диагонали либо былоровно k черных клеток, либо вовсе не былочерных клеток?

А.Динев, К.Гаров, Н.Белухов

Устный тур для 11 класса

1. В строку записано 2020 натуральныхчисел. Каждое из них, начиная с третьего,делится и на предыдущее, и на сумму двухпредыдущих. Какое наименьшее значениеможет принимать последнее число в строке?

А.Грибалко

2. На высотах AA0, BB0, CC0 остроуголь-ного неравностороннего треугольника ABCотметили соответственно точки 1A , 1B , 1C так,что AA1 = BB1 = CC1 = R, где R – радиусописанной окружности треугольника ABC.Докажите, что центр описанной окружноститреугольника 1 1 1A BC совпадает с центромвписанной окружности треугольника ABC.

Е.Бакаев

3. На клетчатой плоскости отметили 40клеток. Всегда ли найдется клетчатый пря-моугольник, содержащий ровно 20 отмечен-ных клеток?

М.Евдокимов

4. См. задачу М2603 «Задачника «Кван-та» в следующем номере журнала.

5. На сфере радиуса 1 дан треугольник,стороны которого – дуги трех различныхокружностей радиуса 1 с центром в центресферы, имеющие длины меньше π, а пло-щадь равна четверти площади сферы. Дока-жите, что четырьмя копиями такого треу-гольника можно покрыть всю сферу.

А.Заславский

6. Дан бесконечный запас белых, синих икрасных кубиков. По кругу расставляютлюбые N из них. Робот, став в любое местокруга, идет по часовой стрелке и, пока неостанется один кубик, постоянно повторяеттакую операцию: уничтожает два ближай-ших кубика перед собой и ставит позади себяновый кубик того же цвета, если уничтожен-ные одинаковы, и третьего цвета, если унич-тоженные двух разных цветов. Назовем рас-становку кубиков хорошей, если цвет остав-шегося в самом конце кубика не зависит оттого, с какого места стартовал робот. Назо-вем N удачным, если при любом выборе Nкубиков все их расстановки хорошие. Най-дите все удачные N.

И.Богданов

Материал подготовили Е.Бакаев,И.Богданов, С.Дориченко, М.Евдокимов,

А.Заславский, П.Кожевников, М.Малкин,Л.Медников, В.Ретинский, Е.Рябов,

А.Семенов, Б.Френкин, И.Фролов,А.Юран

LXXXIII Московская

математическая олимпиада

1 марта 2020 года прошла очередная Мос-ковская математическая олимпиада (одно-временно со сложным туром Турнира горо-дов, многие задачи были общими). Приво-дим некоторые задачи олимпиады (в скоб-ках после номера задачи указан класс, вкотором она предлагалась). Все условия ирешения см. на сайте olympiads.mccme.ru/mmo/

Избранные задачи

1. (8) Том написал на заборе из досокслово ММО, а Гек – число 2020. Ширина

каждой буквы и цифры 9 см, а ширина доскизабора 5 см. Мог ли Гек испачкать меньшедосок, чем Том? (Доски расположены верти-кально, а слова и числа пишутся горизон-тально. Цифры и буквы пишутся через рав-ные промежутки.)

Д.Мухин, А.Федулкин, И.Эльман

2. (8) На графике функции 1y x= Мишаотмечал подряд все точки с абсциссами 1, 2,3, …, пока не устал. Потом пришла Маша изакрасила все прямоугольники, одна из вер-шин которых – это отмеченная точка, еще

К В А Н T $ 2 0 2 0 / № 4

46

одна – начало коорди-нат, а еще две лежатна осях (на рисункепоказано, какой пря-моугольник Маша зак-расила бы для отме-ченной точки Р). За-тем учительница по-просила ребят посчитать площадь фигуры,состоящей из всех точек, закрашенных ров-но один раз. Сколько получилось?

Д.Мухин

3. (8) Дано натуральное число N. Вераделает с ним следующие операции: сначалаприбавляет 3 до тех пор, пока получившеесячисло не станет делиться на 5 (если изна-чально N делится на 5, то ничего прибавлятьне надо). Получившееся число Вера делитна 5. Далее она делает эти же операции сновым числом и так далее. Из каких чиселтакими операциями нельзя получить 1?

А.Шаламова

4. (8) В турнире по гандболу участвуют 20команд. После того как каждая командасыграла с каждой по разу, оказалось, чтоколичество очков у всех команд разное.После того как каждая команда сыграла скаждой по второму разу, количество очков увсех команд стало одинаковым. В гандболеза победу команда получает 2 очка, за ни-чью – 1 очко, за поражение – 0 очков. Верноли, что найдутся две команды, по разувыигравшие друг у друга?

Б.Френкин, А.Заславский

5. (8) Дана трапеция ABCD с основаниямиAD и BC. Перпендикуляр, опущенный източки A на сторону CD, проходит черезсередину диагонали BD, а перпендикуляр,опущенный из точки D на сторону AB,проходит через середину диагонали AC.Докажите, что трапеция равнобокая.

А.Доледенок

6. (9) Из шести палочек попарно различ-ной длины сложены два треугольника (потри палочки в каждом). Всегда ли можносложить из них один треугольник, стороныкоторого состоят из одной, двух и трехпалочек соответственно?

В.Новиков

7. (9) В остроугольном треугольнике ABC(AB < BC) провели высоту BH. Точка P

симметрична точке H относительно прямой,соединяющей середины сторон AC и BC.Докажите, что прямая BP содержит центрописанной окружности треугольника ABC.

А.Соколов

8. (10) Приведите пример такого квадрат-ного трехчлена ( )P x , что при любом xсправедливо равенство ( ) ( )1P x P x+ + +…

( ) 210P x x+ + =… .М.Евдокимов

9. (10) Среди зрителей кинофестивалябыло поровну мужчин и женщин. Всем зри-телям понравилось одинаковое количествофильмов. Каждый фильм понравился вось-ми зрителям. Докажите, что не менее 3 7

фильмов обладают следующим свойством:среди зрителей, которым фильм понравил-ся, не менее двух мужчин.

Фольклор

10. (10) Точка O – центр описанной ок-ружности треугольника ABC. Серединныйперпендикуляр к BC пересекает AB и AC вточках X и Y. Прямая AO пересекает пря-мую BC в точке D, M – середина BC.Описанная окружность треугольника ADMпересекает описанную окружность треуголь-ника ABC в точке E, отличной от A. Докажи-те, что прямая OE касается описанной ок-ружности треугольника AXY.

А.Соколов

11. (11) Существует ли такая непериоди-ческая функция f, определенная на всейчисловой прямой, что при любом x выполне-но равенство ( ) ( ) ( )1 1 1f x f x f x+ = + + ?

Фольклор

12. (11) Из шахматной доски 8 8× выреза-ли 10 клеток. Известно, что среди вырезан-ных клеток есть как черные, так и белые.Какое наибольшее количество двухклеточ-ных прямоугольников можно после этогогарантированно вырезать из этой доски?

А.Кубарев

13. (11) Решите уравнение tg xπ =lg lgx x = π − π , где [ ]a обозначает наи-

большее целое число, не превосходящее a.А.Бегунц

14. (11) За круглым вращающимся сто-лом, на котором стоят 8 белых и 7 черныхчашек, сидят 15 гномов. Они надели 8 белыхи 7 черных колпачков. Каждый гном берет

О Л И М П И А Д Ы47

себе чашку, цвет которой совпадает с цветомего колпачка, и ставит напротив себя, послеэтого стол поворачивается случайным обра-зом. Какое наибольшее число совпаденийцвета чашки и колпачка можно гарантиро-вать после поворота стола (гномы сами вы-бирают, как сесть, но не знают, как повер-нется стол)?

М.Лобанов

15. (11). На стороне AC треугольникаABC взяли такую точку D, что угол BDCравен углу ABC. Чему равно наименьшеевозможное расстояние между центрами ок-ружностей, описанных около треугольниковABC и ABD, если BC = 1?

М.Евдокимов

Московская олимпиада

школьников по физике 2020 года

16. (11) Кузнечик прыгает по числовойпрямой, на которой отмечены точки a− и b.Известно, что a и b – положительные числа,а их отношение иррационально. Если кузне-чик находится в точке, которая ближе к a− ,он прыгает вправо на расстояние, равное a.Если же он находится в середине отрезка

[ ];a b− или в точке, которая ближе к b, то онпрыгает влево на расстояние, равное b. До-кажите, что независимо от начального поло-жения кузнечик в некоторый момент окажет-ся от точки 0 на расстоянии меньше

610−.

П.Бородин

Материал подготовил С.Дориченко

Второй тур

7 класс

1. Про зайчика (8 баллов)Геша измерял плотность маленького стек-

лянного зайчика. Он налил воду в мензуркус ценой деления 2 мл, при этом столб водыдоходил до отметки 170 мл. После того какГеша полностью погрузил зайчика на ниточкев воду, уровень воды поднялся до 180 мл.Далее Геша решил взвесить зайчика на школь-ных рычажных весах для лабораторных ра-бот. Но гири у него были только массой 2 г.Получилось, что 12 гирь мало, чтобы уравно-весить зайчика, а 13 – много. Не думая долго,Геша вычислил плотность зайчика:

325 г2500 кг м

180 мл 170 млρ = =

−.

Пришел Лёлик, назвал Гешу неумным чело-веком и сказал, что на самом деле значениеплотности зайчика может сильно отличатьсяот значения, вычисленного Гешей. Извест-но, что Лёлик оценивает погрешность изме-рения объема мензуркой в половину ценыделения. Чему может быть равна плотностьзайчика?

П.Крюков

2. Переходы (10 баллов)Дядя Вова живет в области, а работает в

Москве, до которой едет на электричке. Путьот железнодорожной платформы до местаработы составляет 400 метров. На этом путидядя Вова преодолевает два пешеходныхперехода длиной по 20 метров, которыеразделяет сорокаметровая маленькая пло-щадь (рис.1). Светофор на каждом переходе

включает зеленый сигнал на 25 секунд, акрасный – на две минуты. Дядя Вова ходитне спеша, со скоростью не более1 м с. Обо-значим 1t – минимальное время, за котороедядя Вова может дойти от вокзала до рабо-ты, а 2t – минимальное время на обратнуюдорогу. Интервал времени между включени-ем зеленого сигнала на первом светофоре напути от вокзала и включением зеленогосигнала на втором обозначим T. Дядя Вова

Рис. 1

К В А Н T $ 2 0 2 0 / № 4

48

соблюдает правила, поэтому он выходит на«зебру» перехода только в том случае, еслидо окончания зеленого сигнала светофораостается 20 секунд и более. В противномслучае он дорогу не переходит.

1) Пусть время T равно 60 с. Найдитевремя 1t и 2t .

2) Чему равно время T, если 1 2t t= ?П.Крюков

3. Фонтан Герона (10 баллов)На рисунке 2 изображена схема «Фонтана

Герона». Три сосуда с вертикальными стенка-

ми, площади оснований которых указаны нарисунке, где 2100 смS = , соединены систе-мой трубок c площадью сечения 2

1 10 ммS = .Суммарный объем воздуха в нижних сосудахостается при работе фонтана постоянным.Вся вода, выходящая из верхней трубки иобразующая фонтан, в итоге оказывается вверхнем сосуде. Квадрат скорости воды v навыходе из трубки определяется выражением

( )22 1v h h= α − , где α – неизвестный коэф-

фициент пропорциональности, расстояния

1h и 2h показаны на рисунке. В процессеработы фонтана расстояния 1h , 2h и 3h меня-ются.

1) Как изменяется уровень воды в верхнемсосуде в процессе работы фонтана?

В некоторый момент времени 1h = 35 см,

2h = 60 см, а скорость воды, бьющей изтрубочки, равна 2,0 м сv = .

2) Найдите скорости изменения уровнейводы в нижних сосудах в этот момент времени.

3) По истечении некоторого времени уро-вень воды в среднем сосуде опустится на 3h == 6 см, при этом нижний сосуд еще не запол-нится. Чему равна в этот момент скоростьводы на выходе из трубки?

А.Бычков

4. Мокрый песок (12 баллов)Строительный песок часто добывается со

дна рек или карьеров. Такой песок содержитводу, что количественно характеризуется

влажностью песка вод

п

m

mϕ = , где водm – масса

воды (в мокром песке), пm – масса песка без

воды. Объем влажного песка влV сильнозависит от его влажности. Обозначим

вл сух

сух

V V

V

−α = – относительное изменение

объема песка при его увлажнении. Прибли-

женный график зависимости ( )α ϕ приведенна рисунке 3. Значения влажности песка иотносительного изменения объема выраже-ны в процентах.

1) Определите значение влажности, прикотором плотность влажного песка равнаплотности сухого.

2) Объем порции влажного песка склады-вается из объемов песчинок, воды и воздуш-ных полостей: вл п вод воздV V V V= + + . Когданебольшое количество воды попадает в пе-сок, вода обволакивает песчинки за счетРис. 2

Рис. 3

О Л И М П И А Д Ы49

капиллярных сил и отдаляет их друг отдруга. Предположим, что объем воды в пескеи объем воздушных полостей связаны соот-ношением ( )0

возд вод воздV k V V= ⋅ + , где ( )0воздV –

объем воздушных полостей при нулевойвлажности. Можно ли считать коэффициентпропорциональности k постоянным на всемвозрастающем прямолинейном участке гра-фика? Найдите значение коэффициента k всередине этого участка графика. Известно,что плотность сухого песка сухρ в 1,6 разбольше плотности воды водρ .

Ю.Черников, П.Крюков

8 класс

1. Крионасос (8 баллов)В криогенном эксперименте поток газо-

образного азота, распространяющийся в ва-куумной камере, направляется на охлажда-емую до низкой температуры к 243 CT = − °поверхность (криопанель), на которой газможет превращаться в твердое тело (процессдесублимации). Скорость потока азота рав-на 200 м сv = и направлена перпендикуляр-но криопанели, температура в потоке

0 173 CT = − ° . Определите максимальное зна-чение плотности газообразного азота, прикотором на криопанели десублимируется весьнатекающий газ. Холодильное оборудова-ние может обеспечить отвод тепла в количе-стве не более чем 0,4 Дж с 21 см поверхностикриопанели за 1 секунду. Удельная теплотасублимации азота 225 кДж кгL = . Удель-ная теплоемкость азота (при данных услови-ях) ( )1,0 кДж кг °Cc = ⋅ . Площадь сеченияпотока на входе равна площади криопанели.Кинетической энергией натекающего газаможно пренебречь.

П.Крюков

2. Ричстакер (10 баллов)Рисунок 4, на котором изображен погруз-

чик для работы с контейнерами – ричстакер,воспроизводит схему из буклета производи-теля, китайской фирмы «Sany». Прямоу-гольники символизируют контейнеры, массакоторых указана в тоннах. Линейные разме-ры даны в миллиметрах. Масса этого ричста-кера 72 тонны, расстояние между осямипередних и задних колес 6 м, внешний диа-метр покрышки колеса 1670 мм. Рисунокпоказывает, что при данном расположениипогрузчик может приподнять любой из изоб-

раженных контейнеров (предварительноубрав другие, если потребуется). При этомугол наклона стрелы и ее длина могут изме-няться.

1) Пусть ричстакер «разбирает» ближай-шую к себе стопку контейнеров. На какуюмаксимальную величину изменяется силадавления передних колес на поверхностьземли в момент, когда погрузчик приподни-мает контейнер из этой стопки? Считайте,что в момент подъема каждого из контейне-ров положение погрузчика в точности совпа-дает с показанным на рисунке. (4 балла)

2) На каком расстоянии по горизонтали отоси заднего колеса может располагаться центртяжести погрузчика, если для его безопас-ной работы необходимо, чтобы сила давле-ния пары колес (передних или задних) все-гда была не меньше шестой части веса по-грузчика без контейнера? (6 баллов)

Считайте, что при изменении длины стре-лы и ее наклона центр тяжести погрузчикапо горизонтали не смещается. Ускорениесвободного падения 10 Н кгg = .

П.Крюков

3. Студент, дельфин, модель (12 баллов)Студент-биофизик исследует физические

основы плавания дельфинов. Он рассматри-

Рис. 4

К В А Н T $ 2 0 2 0 / № 4

50

Рис. 5

вает следующую простую модель. Объем дель-фина складывается из объема тканей тела тV ,несжимаемых при погружении, и объема раз-личных газовых полостей гV (например, лег-ких), который при погружении уменьшаетсяпод действием давления воды. Студент счита-ет, что согласно газовым законам произведе-ние давления ( )p h на глубине h на объем

( )гV h для неизменной массы газа должнооставаться постоянным на всех глубинах:

( ) ( )г constp h V h = .

Пусть дельфин движется вертикально вниз схарактерной для себя скоростью v. Расчетыстудента показывают, что по достижениинижней критической глубины нh = 30 м дель-фин может продолжать движение вниз, несовершая никаких усилий. Иначе говоря, несоздавая силы тяги. При движении верти-кально вверх с той же скоростью v, достиг-нув верхней критической глубины вh = 10 м,дельфин продолжит всплывать, не создаваясилы тяги. Атмосферное давление равно

50 10p =  Па, плотность воды и ускорение

свободного падения равны 31000 кг мρ = и10 Н кгg = . Плотность тканей тела отлича-

ется от плотности воды на 2 %. Зависимостьсилы сопротивления воды от скорости неиз-вестна.

1) Определите отношение объема тканейтела к объему газовых полостей при нулевой

глубине ( )т

г 0

V

V. Можно считать, что при

нулевой глубине газовые полости заполнены

воздухом при атмосферном давлении 0p .(10 баллов)

2) Экспериментально наблюдаются такиезначения критических глубин: н 67h ≈  м и

в 6h ≈ м. Чем может быть обусловлено рас-хождение предсказаний модели студента иэкспериментальных данных? (2 балла)

П.Крюков

4. Аквариум (10 баллов)Аквариум в виде куба со стороной a = 40 см

заполнен водой доверху. Аквариум начина-ют очень медленно поворачивать вокруг од-ного из ребер так, что угол ϕ между дномаквариума и горизонтальной поверхностьюувеличивается на 1° каждые 10 секунд, приэтом вода из аквариума вытекает. Скоростьистечения воды количественно характеризу-

ется расходом mQ

t

∆=

∆, где m∆ – масса воды,

вытекающая из аквариума за малое время

t∆ . Расход Q меняется в зависимости от углаϕ. Плотность воды 31000 кг мρ = .

1) Найдите (можно приближенно) массуводы, вытекающей из аквариума в первые 10секунд. (3 балла)

2) Чему равен угол ϕ в момент, когдарасход воды достигает максимального значе-ния maxQ ? (4 балла)

3) Определите (можно приближенно) мак-симальное значение расхода maxQ . (3 балла)

Примечание. При решении задачи могут ока-заться полезными следующие геометрическиесоотношения.

1. В прямоугольном треугольнике с катетамиa, b и гипотенузой c сумма квадратов катетовравна квадрату гипотенузы: 2 2 2a b c+ = (тео-рема Пифагора).

2. Площадь прямоугольного треугольника сгипотенузой 1 и малым острым углом α (изме-

ряется в градусах) приближенно равна 360

πα°.

Малыми вполне можно считать углы мень-

ше 10°.

С.Дворянинов

9 класс

1. Ножки начинают отрываться (10 бал-лов)

К гладкому горизонтальному полу приби-та тонкая (высотой примерно 1 см) планка.Вася приставил к планке стул передниминожками, привязал к верхней точке спинкистула веревку и с помощью динамометравыяснил, что задние ножки стула отрывают-ся от пола, когда к веревке перпендикулярнопланке прикладывается горизонтальная силаF1 = 16 Н. Затем он изменил положениестула, и теперь стул касается планки своимизадними ножками. В этом случае минималь-ная сила, приложеннаяперпендикулярно план-ке в горизонтальномнаправлении и необхо-димая, чтобы передниеножки оторвались отпола, оказалось равной

2F = 12 Н. Расстояниемежду ножками стулаa = 42 см (рис. 5). Вы-сота верхней точки спин-

О Л И М П И А Д Ы51

ки стула над полом H = 72 см. Можно счи-тать, что эта точка находится ровно надлинией задних ножек. Какую минимальнуюсилу 3F нужно приложить к веревке, чтобыот пола оторвались левые ножки стула, еслистул приставлен к планке правыми ножка-ми? Ускорение свободного падения

210 м сg = . Правая и левая половинки стуласимметричны.

С.Варламов

2. Резистор начинает плавиться (10 бал-лов)

При пропускании тока через проволочныйрезистор он нагревается, при этом его темпе-ратура в зависимости от протекающего токаизменяется нелинейно. При малых токах,составляющих для типичных резисторов ве-личину порядка 10 мА, температура резис-тора T практически неотличима от темпера-туры окружающей среды 0T . При увеличе-нии тока до некоторого предельного значе-ния maxI резистор очень быстро (почти мгно-венно) нагревается до очень высокой темпе-ратуры и плавится (сгорает).

Пусть сопротивление некоторого резисторапри комнатной температуре и токе 1 мА равно10 Ом. Известно, что значение предельноготока для этого резистора maxI = 1,35 А. Най-дите сопротивление резистора и напряжениена нем при токе max0,8I . Можно считать, чтосопротивление резистора зависит от темпера-туры линейно: ( ) ( )( )0 01R T R T T= + α − , где

0R – сопротивление резистора при температу-ре 0T , α – неизвестный коэффициент. Мощ-ность теплоотдачи пропорциональна разно-сти температур резистора и окружающей сре-ды. Изменение сопротивления резистора невлияет на величину силы тока в цепи.

П.Крюков

3. Регби (10 баллов)Регби – это командная игра с мячом. Цель

игры – принести мяч в зачетное поле сопер-ника, расположенное за линией ворот(рис. 6). Игрок с мячом может отдать пе-редачу другому игроку своей команды, при-чем передачу нельзя делать вперед относи-тельно воображаемой линии, параллельнойлинии ворот и проходящей через игрока(прямая a на рисунке). Пасовать можнотолько вбок или назад относительно этойлинии. Игроки команды соперника имеютправо остановить игрока с мячом. На рисун-

ке представлен фрагмент поля с тремя регби-стами: A и B – игроки из одной команды, C –игрок команды соперника. Игрок C вот-вотостановит игрока A, поэтому тот делает пере-дачу игроку B. Чтобы сделать точную пере-дачу, игрок A предварительно притормозил,и в момент броска его скорость направлена всторону линии ворот и равна 2 м сv = . Пустьскорость игрока B равна 8 м/с при движениипо любой траектории. Расположение игро-ков A, B и C на поле, показанное на рисунке,соответствует моменту броска. Можно счи-тать, что мяч после броска игрока движетсяпрямолинейно с постоянной скоростью.

1) С какой минимальной скоростью (отно-сительно себя) должен бросить мяч игрок A,чтобы игрок B принял передачу и добежалдо зачетного поля соперника за минимальноевремя? (2 балла)

2) Пусть игрок A отдает передачу «на ход»игроку B с относительной скоростью 6 м с.Игрок B принимает мяч в движении и добе-гает до линии ворот за время t. Докажите,что минимальное значение времени mint дос-тигается в том случае, когда после броскаигрока A мяч летит параллельно линии во-рот. (4 балла)

3) Найдите время mint . Утверждением изп. 2) можно пользоваться без доказатель-ства. (4 балла)

А. Бычков

4. Вова начинает расчеты (10 баллов)Вова с папой поехали на машине из Мос-

квы в Санкт-Петербург. На трассе скоростьих автомобиля была не более 110 км ч, но неменее 80 км ч. От скуки Вова решил снятьвидео на смартфон. В поле съемки попалджип, двигавшийся некоторое время по со-седней полосе с той же скоростью, что иавтомобиль Вовиного папы. И тут Вова обна-ружил, что на экране его телефона радиаль-

Рис. 6

К В А Н T $ 2 0 2 0 / № 4

52

ные поперечины надиске колеса джи-па (форма дискапоказана на рисун-ке 7) либо стоят наместе, либо мед-ленно вращаются,совершая не болееодного оборота завремя около 10 с.Позже на стоянкепо маркировке на покрышке обогнавшего ихджипа Вова определил диаметр его колеса,получилось 72 см. Вова знает, что его смар-тфон снимает видео с частотой 30 кадров всекунду. Он считает, что каждый кадр пред-ставляет собой мгновенную фотографию. Воваподумал, что по имеющимся данным он мо-жет не просто определить скорость v джипа втот момент, когда он поравнялся с машинойпапы, но и указать границы интервала

min maxv v v< < , в пределах которого лежитзначение скорости v.

1) Чему может быть равна скорость v?Достаточно одного значения. (8 баллов)

2) Определите границы интервала minv и

maxv возможных скоростей. (2 балла)Ю.Черников, П.Крюков

5. Тень начинает притягиваться (10 бал-лов)

Широко известен опыт, который обычноназывают «притягивающиеся тени». Протя-женный источник света освещает два пред-мета, и тень одного как бы притягивается ктени другого. Опыт иллюстрируют рисунки8 и 9.

Рассмотрим упрощенную схему опыта,изображенную на рисунке 10. Протяженныйисточник AB с поперечным размером D = 6 см

освещает книжку и линейку. Он расположентак, что осевая линия c проходит черезсередину отрезка AB. Расстояния, обозна-ченные на рисунке, известны, a = 10 см.

Книжка и линейка отстоят от осевой ли-нии c на одинаковое (неизвестное) расстоя-ние d, как схематично по-казано на рисунке 11 (со-отношения между длина-ми изменены для удобствавосприятия). При какихзначениях d на стене меж-ду областью полной тенилинейки и областью пол-ной тени книжки будет на-блюдаться область полутени? Рассмотритедва случая.

1) Точки отрезка AB излучают изотропно(равномерно по всем направлениям). (6 бал-лов)

2) Любая точка источника испускает лучисвета, составляющие с осевой линией угол неболее чем α , при этом tg 0,15α = . (4 балла)

Примечание. Полной тенью называется об-ласть на стене, в которую не попадает ни одинлуч света от источника.

П.Крюков

Рис. 7

Рис. 8. Лампа освещает линейку и книжку. На

стене наблюдаются тени

Рис. 9. Область «притягивающихся» теней.

Фрагмент фотографии сильно увеличен

Рис. 10

Рис. 11

О Л И М П И А Д Ы53

10 класс

1. Измерение отклонений (10 баллов)Сопротивление терморезистора сильно за-

висит от температуры (рис. 12), поэтому егоиспользуют в точных измерителях отклоне-

ния температуры T∆ от заданного значения

0T . Схема измерителя показана на рисун-ке 13, терморезистор обозначен tR . Сопро-тивление переменного резистора 1R можноизменять в диапазоне от 0 до 900 Ом. Выво-ды подключают к идеальному источникунапряжением 0U = 6 В. Перед началом изме-рения отклонения T∆ от температуры 0Tизмеритель калибруют, подбирая сопротив-ление резистора 1R так, чтобы идеальныйстрелочный милливольтметр показывал ноль.В дальнейшем при изменении температурына T∆ сопротивление терморезистора изме-няется, милливольтметр показывает напря-жение U.

1) Для 0 50 CT = ° определите зависимость( )U T∆ , считая изменение сопротивления тер-

морезистора малым. В области каких темпе-ратур (высоких или низких) измерительобеспечивает меньшую относительную по-грешность измерения? (7 баллов)

Примечание. Может оказаться полезной при-ближенная формула ( ) 1

1 1x x−+ ≈ − , справед-

ливая для малых х ( )1x � .

2) В каком диапазоне температур можетработать данный измеритель, если нежела-тельно, чтобы на терморезисторе выделя-лась тепловая мощность больше 0P = 0,15 Вт?(3 балла)

П.Крюков

2. Мальчик с шариком (10 баллов)Мальчик Влад бегает по кругу, держа в

руке конец нитки длиной 2 2 м, к другомуконцу которой прикреплен небольшой на-дувной шарик с гелием внутри. Один кругВлад пробегает за 2π секунд. Рука, держа-щая нить, движется по окружности радиу-сом 2 м. Шарик движется по окружноститакого же радиуса на два метра выше руки повертикали. С какой установившейся скорос-тью будет взлетать шарик, если нить отпус-тить? Можно считать, что сила сопротивле-ния воздуха пропорциональна квадрату ско-рости шарика, а радиус шарика много мень-ше длины нити. Ускорение свободного паде-ния 210 м сg = .

С.Варламов, П.Крюков

3. Эолипил (10 баллов)Эолипил (паровой двигатель, изобретен-

ный в Древней Греции) представляет собойметаллический котел с двумя трубками накрышке, на которых, как на оси, можетвращаться турбина в виде полого шара сдвумя одинаковыми Г-образными патрубка-ми (соплами). В котел заливают воду, герме-тично закрывают его и ставят на огонь.Образовавшийсяпри кипении во-дяной пар потрубкам поступа-ет в шар и выхо-дит с большойскоростью черезсопла, заставляяшар вращаться(рис. 14; взят из«Википедии»).

Пусть мощ-ность подводатепла в воде рав-на Р = 1 кВт,площадь сечения

Рис. 13

Рис. 12

Рис. 14

К В А Н T $ 2 0 2 0 / № 4

54

патрубка 20,1 смS = , а расстояние от сопладо оси вращения d = 10 см. Считайте, чтоиз сопла выходит насыщенный пар приатмосферном давлении 5

0 10p = Па. Моляр-ная масса воды и ее удельная теплота паро-образования равны 18 г мольΜ = и

62,2 10 Дж кгL = ⋅ соответственно. Трениемв оси и сопротивлением воздуха можнопренебречь.

1) Определите момент сил, действующихна шар со стороны пара, если шар зафикси-рован.

2) Какое максимальное количество оборо-тов в минуту будет делать шар, если емупозволить свободно вращаться?

М.Ромашка

4. Автомобильное зеркало (10 баллов)При падении света на границу раздела

воздух–стекло (показатель преломления стек-ла n = 1,5) под малым углом к нормали доляR = 4% энергии падающего излучения отра-жается, а доля Т = 96% энергии проходит вовторую среду. При этом не важно, в какуюсторону распространяется свет: из воздуха встекло или из стекла в воздух.

К идеальному зеркалу (отражающему весьпадающий свет) прислонили стеклянныйклин (призму) размером d = 10 см с малым

углом ϕ = 0,06 рад при вершине (рис. 15).На призму падает лазерный луч, направлен-ный по нормали к зеркалу. При этом наэкране высотой Н = 40 см, расположенномпараллельно зеркалу на расстоянии L = 1 мот него, наблюдают несколько пятен разнойяркости. Расстояние от лазерного луча донижнего края экрана по вертикали h = 25 см.

1) Найдите приближенно расстояние отверхнего края экрана до каждого пятна и

подсчитайте долю энергии падающего из-лучения (в процентах, округлив до целых),приходящуюся на лучи, формирующие этопятно. Учтите, что приближенные соотноше-ния sinα ≈ α и tgα ≈ α с хорошей точностьювыполняются даже для углов около 0,4 рад.(6 баллов)

2) На какой угол следует повернуть зерка-ло с призмой в плоскости рисунка, чтобы наместе самого яркого пятна оказалось другое,следующее по яркости? (3 балла)

3) Автомобильная компания Chrysler в1958 году использовала зеркало с призмой вкачестве зеркала заднего вида с двумя режи-мами работы. С помощью специального ры-чажка его можно было перевести из «дневно-го» режима в «ночной» так, чтобы свет фаредущих сзади автомобилей, отраженный зер-калом, не слепил водителя. Объясните прин-цип работы такого автомобильного зеркала.(1 балл)

А.Бычков

5. Морозильник с горячей стенкой (10баллов)

Задняя стенка не очень современного мо-розильника, на которой располагаются труб-ки конденсатора холодильной машины, ра-ботающей по обращенному циклу Карно,греется, так что ее средняя температура ST врабочем режиме выше температуры в комна-те RT . Внутри морозильной камеры холо-дильная машина поддерживает температуру

23 CCT = − ° .Известно, что в стационарном режиме,

когда температура задней стенки и темпера-тура в камере установились, а температура вкомнате не меняется со временем, моторкомпрессора этого не очень современногоморозильника работает без остановки.

В жару, когда температура в комнате под-

нимается до ( )027 CRT = + ° , задняя стенка

нагревается до ( )047 CST = + ° . Определите тем-

пературу задней стенки морозильника зимойв холодный день, когда температура воздуха

в комнате уменьшается до ( )1 17 CRT = + ° .Мощность передачи тепла от горячего тела

к холодному за счет теплопроводности (на-пример, от воздуха в комнате холодильнойкамере через уплотнительные прокладки надверце) пропорциональна разности соответ-ствующих температур. При этом следует

Рис. 15

О Л И М П И А Д Ы55

считать, что от горячей стенки за счет тепло-проводности внутрь морозильника тепло непоступает.

П.Крюков, А.Дергачев

11 класс

1. Колебания внутри трубы (10 баллов)На внутренней поверхности трубы радиу-

сом R, вращающейся снекоторой угловой скоро-стью вокруг горизонталь-ной оси симметрии (точкаА на рисунке 16), нахо-дится небольшое тело. Вположении равновесиятело располагается ниже

оси трубы на расстоянии 0,8R по вертикалиот нее. Найдите период малых колебанийтела в плоскости, перпендикулярной оси тру-бы.

Примечание. Для малого угла δ ( )1δ � ипроизвольного угла α справедливы прибли-женные равенства ( )sin sin cosα + δ ≈ α + δ αи ( )cos cos sinα + δ ≈ α − δ α .

Американский фольклор

2. Стол на тонких ножках (12 баллов)Стол стоит на горизонтальном полу. Сто-

лешницу и пол можно считать абсолютнотвердыми, а ножки – упругими, подчиняю-щимися закону Гука при вертикальных де-формациях. Гирю массой 24 кг ставят настол так, что ее центр масс располагается в

точке А (рис. 17; вид сверху). На сколькоизменяются силы давления ножек стола:

1F∆ , 2F∆ , 3F∆ и 4F∆ на пол после этого?Номера ножек показаны на рисунке. Гори-зонтальными деформациями ножек можнопренебречь.

А.Бычков

3. Вода–пар–вода (14 баллов)Воде массой m = 180 г при постоянном

давлении 51 10p =  Па сообщают некоторое

количество теплоты, так что она превраща-ется в пар и нагревается до температуры

1 105 CT = ° . Далее пар адиабатически расши-ряется и в какой-то момент приходит всостояние насыщения, после чего конденси-руется. График зависимости давления насы-щенных паров воды от температуры показанна рисунке 18. Считая изменение парамет-ров пара при адиабатическом расширениималым, определите приближенно темпера-туру воды в начале конденсации. Чему равнасуммарная работа пара при его нагреваниипосле испарения и охлаждения до началаконденсации? Молярная теплоемкость парапри постоянном объеме 3VC R= .

Примечание. Для малых изменений p∆ иV∆ величин р и V справедлива приближенная

формула ( )pV p V V p∆ = ∆ + ∆ .

П.Крюков

4. Каустика (18 баллов)

Каустика – это огибающая семейства лу-чей, не пересекающихся в одной точке. Вплоском случае, рассматриваемом в этойзадаче, каустика – это кривая, которой каса-ются все лучи, отражающиеся от некоторойповерхности или испытывающие преломле-ние на некоторой границераздела. Интенсивностьсвета вблизи каустик воз-растает, поэтому кривыекаустик хорошо видныневооруженным глазом ина фотографиях.

1) Кривая синего цветана рисунке 19 – это каус-тика, образованная послеотражения пучка парал-

Рис. 16

Рис. 18

Рис. 17

Рис. 19

К В А Н T $ 2 0 2 0 / № 4

56

лельных лучей цилиндрической поверхнос-тью М, радиус которой равен R. Определитерасстояние от оси цилиндра О до вершиныкаустики А, а также расстояние РА. Здесь

1OO – ось симметрии, 1 2PP – касательная ккаустике. (5 баллов)

2) Источник, освещающий цилиндриче-скую поверх-ность радиусомR, располагает-ся на расстоянииa = 4R от точкиО на оси симмет-рии системы 1OO(рис 20). Опре-делите расстоя-ние от точки Одо вершины кау-стики, формируемой отраженными лучами вэтом случае. (4 балла)

В тонкостенный стеклянный цилиндриче-ский стакан наливают воду и освещают све-том фонаря. Ось пучка света составляетразные углы α с горизонтальной поверхно-стью стола. В пункте 3 стакан фотографиру-ют сверху (оптическая ось объектива пер-пендикулярна дну стакана) и освещают спра-ва (рис. 21), а в пункте 4 ось объектива

немного отклоняется от вертикали (рис. 22).3) Величина угла α – около 45° . Вблизи

дна стакана наблюдается кривая с двумявершинами, части которой напоминают кри-вую из пункта 1. На рисунке 23 вершиныобведены квадратиками. Объясните наблю-даемую картину. (3 балла)

4) Радиус основания стакана R = 4 см.Фонарь располагается на расстоянии 10a R≈от оси стакана. Угол α можно считать ма-лым. Снаружи стакана видна каустика, об-разованная прошедшими через стакан луча-ми (рис. 24). Определите приближенно рас-

стояние от стакана до вершины каустики (довершины «конуса»). Показатель преломле-ния воды 1,33n ≈ . (6 баллов).

А.Бычков, П.Крюков

5. Тепловой индуктор (18 баллов)Элемент Пельтье состоит из двух пластин,

разделенных большим количеством полу-проводниковых блоков (рис.25; взят из «Ви-кипедии»), и представляет собой преобразо-ватель электрической энергии в тепловую.Он также может работать и в обратномрежиме – вырабатывать ЭДС при наличииразности температур на пластинах.

На рисунке 26 схематично изображеноустройство на основе элемента Пельтье. Ниж-

Рис. 20

Рис. 21 Рис. 22

Рис. 23

Рис. 24

О Л И М П И А Д Ы57

няя пластина находится в контакте с «тепло-вым резервуаром» – большим телом, темпе-ратуру которого rT можно считать постоян-ной. Верхняя пластина контактирует с теломс теплоемкостью С и температурой Т, кото-рая изменяется со временем. Сверхпроводя-щая катушка с индуктивностью L включенамежду контактами элемента. В начальныймомент 0T T= , 0 rT T> .

В данных условиях верхнее тело отдаетэлементу за время t∆ количество теплотыQ TI T∆ = α ∆ , где α – постоянный коэффи-

циент, I – ток через элемент. В то же времятепловой резервуар получает от элементанекоторое меньшее количество теплоты,формула которого для решения задачи ненужна. Элемент Пельтье при этом выраба-тывает ЭДС ( )rT T= α −E . Полярность со-здаваемой ЭДС (для rT T> ) совпадает суказанной на рисунке. Положительным на-правлением тока считается направление от«плюса» к «минусу». Сопротивление эле-мента Пельтье равно R.

Оказывается, в рассматриваемой системевозможно периодическое изменение темпе-ратуры тела ( )T t и тока в цепи ( )I t . В задачепредлагается исследовать колебания тока итемпературы при различных значениях па-раметров rT , 0T , С, α , R, L, которыесчитаются известными. Ток в цепи в началь-ный момент равен нулю: ( )0 0I = . Разностьтемператур тела и резервуара можно считатьмалой: r rT T T− � в любой момент времени.

1) Рассмотрим идеализированный случай,когда сопротивление R равно нулю и тепло-обмен между тепловым резервуаром и телом

за счет теплопроводности отсутствует, а учи-тывается только теплообмен между телом иверхней пластиной элемента.

1а. Получите дифференциальное уравне-ние для функции ( )I t . (2 балла)

1б. Преобразуйте полученное уравнение сучетом условия r rT T T− � и найдите часто-ту 0ω колебаний тока. (3 балла)

1в. Найдите зависимость температуры телаот времени ( )T t . (1 балл)

2) Физически случай, описанный в пункте1, никогда не реализуется. Рассмотрим пара-метры системы, близкие к реальности. Пустьизвестно сопротивление элемента R, мощ-ность передачи тепла от тела резервуару засчет теплопроводности определяется соотно-шением ( )rP k T T= − , где k – известныйкоэффициент, а джоулево тепло, выделяю-щееся в элементе, делится поровну междупластинами. В этом случае колебания будутзатухающими.

2а. Получите дифференциальное уравне-ние для функции ( )I t . (3 балла)

2б. Преобразуйте полученное уравнение сучетом условия r rT T T− � к виду 2I I′′ ′+ γ +

2 0I+ ω = (уравнение затухающих колеба-ний). Чему равны коэффициенты γ и ω ?Каков их физический смысл? (4 балла)

2в. Полагая затухание слабым ( )2 2γ ω� ,определите относительное изменение ампли-

туды тока за период max

max

I

I

∆ . Ответ выразите

через коэффициенты уравнения колебаний

γ и ω . (3 балла)3) Предлагается создать на основе данного

устройства установку для точного измерениятеплоемкости тел. Параметры rT , α , k, R, Lизвестны, их измерили раньше с высокойточностью. В распоряжении эксперимента-тора есть электроизмерительные приборы,осциллограф и генератор переменного на-пряжения, частоту которого можно менять вшироком диапазоне. Опишите коротко воз-можную схему эксперимента. (2 балла)

П.Крюков

Публикацию подготовили П.Крюков,Д.Глазов, А.Дергачев

Рис. 26

Рис. 25

О Т В Е Т Ы , У К А З А Н И Я , Р Е Ш Е Н И Я

«Квант» для младших школьников

Задачи

(см. «Квант» №3)

1. Выберем цифры 0, 3 и 6. Тогда число 360 делитсяна 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 и на 10, а число 630 – на 7.2. Не могло.Предположим, что в зале мог быть ровно 101человек. Так как каждый указал на одного изприсутствующих, а на каждого из присутствующихкто-то указал, то на каждого указал ровно один изприсутствующих. Заметим, что рыцарь мог указатьтолько на лжеца, а лжец – только на рыцаря.Посмотрим теперь на какого-нибудь рыцаря A. Онуказал на какого-то лжеца. Тот указал на какого-торыцаря. Продолжая эту «цепочку», мы получим,что рано или поздно какой-то лжец укажет нарыцаря A, так как на других людей в цепочке ужекто-то указал. Поэтому все присутствующие разо-бьются на замкнутые цепочки (циклы) четной дли-ны (возможно, длины 2). Но 101 – нечетно.Противоречие.3. Через 157,5 минут.Пусть S – длина трассы, тогда скорость первоговелосипедиста равна 5S , второго – 7S , третьего –

9S . Поэтому время T до встречи всех велосипе-дистов определяется равенствами ( )5 7T S S− =

nS= , ( )7 9T S S mS− = , гдеn, m – натуральные числа.Отсюда 9 5n m = . Наимень-шее подходящее n равно 9.Значит, ( )1 5 1 7 9T − = . Тог-да минимальное время равно

( ) ( )9 7 5 7 5 157,5T = ⋅ − = .4. Получится правильный ок-таэдр с вершинами в центрахграней куба (рис.1). Рис. 1

Конкурс имени А.П.Савина

(см. «Квант» №2)21. 2020.Предположим, что это число вида 1***. В нем один0 и хотя бы одна 1 (она уже стоит на первом месте).Значит, количество других цифр вместе не большедвух, тогда и по величине остальные цифры небольше 2. Так как число при этом больше 1210, тооно вида 12**. Тогда в нем один 0, две 1 и одна 2,а таких чисел, больших 1210, нет. Итак, этот случайневозможен.Если число начинается с 2 и меньше 2020, то оновида 200* или 201*. Первый вариант невозможениз-за того, что 2 в нем есть, а ее быть не должно.Во втором варианте аналогичная проблема с 1.22. Первое решение. Обозначим точки, как нарисунке 2. Используя подобие треугольников BPQи BMK и очевидные равенства отрезков, получим

BP BP BM BM

PS PQ MK MA= = = .

Приведем два возможных способа завершить дока-зательство.1) Рассмотрим гомотетию с центром B, переводя-щую P в S. Из доказанного равенства отношенийBP BM

PS MA= следует, что при этой гомотетии M

перейдет в A. Тогда прямая PX перейдет в парал-

лельную ей прямую SR; аналогично, прямая MXперейдет в AR. Зна-чит, точка X пере-сечения PX и MXперейдет в точку Rпересечения SR иAR. Следователь-но, X и R лежат наодной прямой с цен-тром гомотетии B(рис.3).2) Пусть BR пере-секается с MK в точке 1X , а с PQ – в точке 2X .Покажем, что эти две точки совпадают. По теореме

Фалеса, 1

1

BX BM

X R MA= . Аналогично, 2

2

BX BP

X R PS= . Сле-

довательно, 1 2

1 2

BX BX

X R X R= , т.е. точки 1X и 2X совпа-

дают, тогда они совпадают и с X, а это значит, чтоX лежит на BR.Второе решение. Докажем равенство треугольни-ков PXK и SKY. Несложно понять, что ониподобны. Рассмотрим квадрат (на рисунке 4 онжелтый) с углом A, описанный вокруг квадратаPQRS. Разность сторон желтого и синего квадра-тов как раз равна соответствующим высотам этихдвух треугольников. Тогда соответствующие высо-

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

О Т В Е Т Ы , У К А З А Н И Я , Р Е Ш Е Н И Я59

ты подобных треугольников равны, а значит, и этитреугольники равны. Следовательно, при поворотеквадрата PQRS вокруг своего центра на 90° точкаX переходит в точку K, а отрезок RX – в QK,поэтому RX QK⊥ . В треугольнике BKQ высотыKM и QP пересекаются в точке X, значит,BX QK⊥ . А раз BX и RX перпендикулярны однойи той же прямой, то B, X и R коллинеарны, что итребовалось доказать.23. Данное в условии неравенство представляетсобой сумму трех неравенств такого вида:

2 2

xyy

y z≤

+.

Другие два получаются циклическим сдвигом пере-менных x, y, z. Докажем одно это неравенство, адругие будут доказываться аналогично. Цепочкойравносильных преобразований сведем его к болеепростому:

( )22y y z xy≤ + , ( )2

2y z y z xyz≤ + ,

22y z y z≤ + .

Здесь уже можно заметить неравенство о среднемарифметическом и среднем геометрическом либопродолжить преобразования:

20 2y z y z≤ + − , ( )20 y z≤ − .

Справедливость последнего уже очевидна.24. 1756863020.Для начала разрешим фишкам одновременно зани-мать одну клетку и посчитаем, сколько всего будетспособов совершить передвижения с учетом такогоразрешения. У красной фишки есть 9

18C способов1

дойти до другого угла, потому что всего ей придет-ся сделать 9 шагов вверх и 9 вправо, инымисловами – выбрать, какие 9 шагов из 18 делатьвправо, а остальные она будет делать вверх. Столькоже способов есть у синей фишки дойти до противо-положного угла. Значит, вариантов передвижениядвух фишек, т.е. всевозможных пар их маршрутов,

всего ( )29

18C .

Теперь надо убрать из этих вариантов те, где фишкиодновременно занимали одну клетку. После 9-гошага обе фишки окажутся на диагонали. До этогои после этого они будут находиться по разныестороны от диагонали. Значит, встретиться фишкимогут только на диагонали после 9-го шага.Пронумеруем клетки этой диагонали числами от 0до 9 слева направо. Посчитаем количество такихвариантов передвижений, когда они встретились наполе номер k (рис.5; здесь k = 3). И путь краснойфишки должен пролегать через эту клетку, и путьсиней. Посчитаем, сколько последовательностей из18 ходов красной фишки задают маршрут, проходя-щий через эту клетку. Из первых 9 ходов ровно kдолжны быть вправо (остальные – вверх), а из

1 Как обычно, через knC обозначается количество

способов выбрать k предметов из n различных.

последних 9 ходов ровно k должны быть вверх(остальные – вправо). Значит, таких маршрутов

( )29

kC . Но и маршрут синей фишки тоже должен

лежать через эту клетку, и таких маршрутов столькоже. Значит, всевозможных передвижений пары

фишек (т.е. пар маршрутов), которые надо убрать,

( )49

kC . Пройдя все возможные k, получим, что надо

вычесть сумму ( ) ( ) ( ) ( )4 4 4 40 1 2 9

9 9 9 9C C C C+ + + +… .

Применив формулу k n kn nC C −= , это выражение мож-

но записать короче:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 4 4 4 40 1 2 3 49 9 9 9 92 C C C C C + + + +

.

Ответ получен:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 4 4 4 4 49 0 1 2 3 418 9 9 9 9 92C C C C C C − + + + +

.

Вычислить его можно, подсчитав соответствующие

чисела сочетаний по формуле ( )

!

! !kn

nC

k n k=

− или

найдя их в треугольнике Паскаля.

Рис. 5

Источники электричества

1. Это гравитационное, электромагнитное, сильноеи слабое взаимодействия. Гравитационное взаимо-действие распространяется со скоростью, которуюпринять называть скоростью света, электромагнит-ное – в вакууме с ней же, в средах – как повезет(помните формулу с коэффициентом преломле-ния?). Впрочем, скоростей-то две – фазовая ско-рость и групповая скорость.2. Трение твердого по мягкому может быть больше,чем по твердому, потому что твердое внедряется в

К В А Н T $ 2 0 2 0 / № 4

60

Об укладке блинов, котлет и апельсинов

1. Обязательно.Проведем мысленно на большом противне дваразреза, соединив середины его противоположныхсторон. Противень разделится на четыре одинако-вые части вдвое меньшегоразмера. На каждой из нихможно будет разместить 100маленьких печений – тем жеспособом, как и большиепеченья на исходном про-тивне (на рисунке 6 приве-ден пример для 5 печений).Ведь размеры печений тожеуменьшились в два раза. Витоге на противне размес-тятся как раз 400 маленькихпечений.2. Отметим по периметру верхней части торта пятьточек, которые делят периметр на пять частейодинаковой длины, и соединим с этими точкамицентр квадрата (рис.7). По проведенным линиям

разрежем торт. Очевидно, чтобоковая часть глазури на тор-те разделится поровну междукусками. Остается доказать,что площади пяти частей нарисунке равны (тогда и тортабудет поровну, и глазури накусках сверху).Разделим четырехугольныечасти на треугольники. Пло-

щадь треугольника равна 2ah , где a – основание,а h – высота, проведенная к этому основанию. Вкаждом треугольнике на рисунке проведем высотуиз центра квадрата. Длины этих высот будут оди-наковы. Но и основания треугольников (на кото-рые опущены высоты) в каждом куске дают в суммеодно и то же число – пятую часть периметраквадрата. Значит, и площади всех кусков будутодинаковы, что и требовалось.Другое решение можно полу-чить, мысленно разделив вер-хнюю (квадратную) часть тор-та на 25 клеточек. Снова де-лим периметр квадрата на рав-ные части, а сам квадрат делимна пять частей, площадь у каж-дой – 5 клеточек, как показанона рисунке 8. Проверьте!3. Удастся.Можно поместить 41 апельсин, уложив их так, какпоказано на рисунке 9 (апельсины изображаем

Рис. 6

мягкое и при движении вынуждено рвать мягкое,т.е. коэффициент трения в паре твердое–мягкоеоказывается зависящим от прочности мягкого.Диэлектрическая проницаемость – это ослаблениевнешнего поля собственным полем зарядов веще-ства. В неполярной среде – это заряды ядер иэлектронных оболочек, в полярной – еще и зарядыионов. Электронные оболочки реагируют на внеш-нее поле быстрее, чем молекулы, но возникающеепри этом индуцированное поле слабее. Поэтому уполярной жидкости диэлектрическая проницаемостьбольше, но она значительно уменьшается с увеличе-нием частоты, когда молекулы не успевают повора-чиваться в переменном внешнем поле.3. При малых токах внутреннее сопротивление rокажется больше среднего значения, при боль-ших – меньше. Оно равно скорости уменьшениянапряжения при увеличении тока, т.е. r U I= ∆ ∆ –следствие закона Ома. При линейной зависимости

( )U I мощность тепловыделения действительно2P I r= , это можно показать прямым вычислением.

Для реальной характеристики это не так. Например,рассмотрите ситуацию, когда на характеристикеесть хоть небольшой участок с большим значением

U I∆ ∆ . Тогда на этом участке 2I r вроде бы скольугодно велико, хотя оно ограничено сверху величи-ной EI – полной мощностью источника.4. Не может быть напряжения на нулевом сопро-тивлении и не может быть тока через бесконечноесопротивление. Эти модели хорошо работают, т.е.позволяют получать правильные решения, если мыне собираемся использовать, соответственно, оченьмалые и очень большие сопротивления нагрузки.Конкретно в электронике это бывает нужно доста-точно часто для того, чтобы эти модели активноиспользовались. Модель источника тока проста –это параллельно включенные источник тока I исопротивление r. Убедитесь прямым расчетом, чтов этом случае нагрузочная характеристика – пря-мая, ток короткого замыкания равен I, а напряже-ние холостого хода равно rI.5. Из того, кто создавал магнитный поток – большенеоткуда. Но что изменится, когда поместили про-водник? Пошел ток, он создает магнитное поле,направленное против изменений (помните правилоЛенца?). И наличие этого «противополя» требуетувеличения расхода энергии создателем магнитногопотока, если мы хотим, чтобы поток нарастал, какраньше.6. КПД 100% не бывает, так что греться устройствобудет обязано. Максимальная скорость будет там,где произведение напряжения на ток будет макси-мально, т.е. на перегибе. Там же будет и минималеннагрев.7. При правильной конструкции максимальное на-пряжение ограничено пробоем в воздухе вблизиповерхности шара. Электропрочность воздуха око-ло 30 кВ/////см. При диаметре шара 2 м максимальное

напряжение будет 30 МВ. Энергия накапливаетсяза счет работы по подъему зарядов против поля.Иногда пишут, что ионы перемещаются на шар, ноэто неправильно – они обмениваются зарядами сшаром и превращаются в атомы.

Рис. 7

Рис. 8

О Т В Е Т Ы , У К А З А Н И Я , Р Е Ш Е Н И Я61

Рис. 9

кругами, центры круговобразуют треугольную ре-шетку). Получается 5 ря-дов по 5 кругов и 4 рядапо 4 круга: 25 + 16 = 41.По ширине ряды влезают вкоробку, но надо прове-рить, что и по высоте вле-зут. Пусть радиус круга 1,тогда высота коробки 16.Проведем в каждом гори-зонтальном ряду прямуючерез центры кругов. Рас-стояние между соседнимипрямыми равно высоте правильного треугольникасо стороной 2, т.е. равно 3. Высота конструкции

из кругов, т.е. 8 3 + 2, меньше 16, так как

( )2 28 3 192 196 14= < = .

содержит высоту треугольника DPQ. Аналогично,прямая QB содержит высоту треугольника DPQ,что и требовалось.4. Доказательство следует из тождества x2 + y2 ++ z2 – xy – yx – zx = (x – z)2 + (y – z)2 – (x – z)(y – z).5. Вася.Вася сделает так, что Петя первым выскочит наверхнюю или правую линию. После этого Васясдвинет эту фишку в h8 и победит. До этого Васяпридерживается следующей стратегии.Изначально фишки стоят на диагонали a1 – h8, несоседствуя. Петя сбегает с нее, а Вася, если может,возвращает эту фишку на диагональ, сохранивуказанную ситуацию. Вася не сможет это сделатьтолько тогда, когда фишки окажутся в одной илисоседних линиях. Тогда Вася сделает такой ход, чтофишки образуют доминошку. Ясно, что это воз-можно. После этого Вася будет сохранять доми-ношку, т.е. повторять ход Пети другой фишкой. Вконце концов Петя первым выскочит на верхнююили правую линию.

10–11 классы

1. Можно.Пример. Сделаем это для произвольной таблицы.Разобьем ее сеткой на прямоугольники так, чтоширина полос по каждому направлению чередуется:1, 2, 1, 2.... Ясно, что это возможно. Тогда таблицаразобьется на квадраты 2 2× , домино 1 2× и квадра-тики 1 1× . В квадраты впишем двойки, в домино –единицы, в квадратики – нули. Условие будетвыполнено, поскольку фигурки одного вида неимеют общих сторон.2. В четырех местах.Оценка. Предположим, что хватило трех точек.Они определяют плоскость. Если она проходитчерез центр сферы, то Саша не бывал в двухполусферах, высекаемых этой плоскостью. Проти-воречие.Если не проходит, то параллельной плоскостьюотсечем полусферу, в которой Саша не бывал. Вовсех полусферах, получаемых из нее малым шевеле-нием, Саша тоже не бывал. Снова противоречие.Пример. Возьмем на некоторой большой окружно-сти три точки, образующие остроугольный треу-гольник, и любую точку вне ее (это можно сделатьтак, что одной из точек будет город, в которомживет Саша, а другой – Аддис-Абеба). Из двухполусфер, высекаемых этой окружностью, Саша небывал ровно в одной. Если же провести через центрЗемли другую плоскость, то она высечет диаметр висходной окружности, по каждую сторону от кото-рого будет точка, в которой Саша бывал.3. Верно.Разобьем все буквы на группы одинаковых подрядидущих. Количество букв нечетно, поэтому найдет-ся «нечетная» группа. Заменами AA BABA↔ ↔

BB↔ сделаем из нее однобуквенную группу, после

Рис. 10

Рис. 11

XLI Турнир городов

Задачи весеннего тура

Базовый вариант

8–9 классы

1. Может.Один из примеров приведен нарисунке 10. Пустые клетки –королевства, а цифра в клеткеобозначает, сколько королевствпретендует на эту спорную тер-риторию.2. 22 числа.Оценка. Предположим, что получилось выписатьтакие различные числа 1 23, ,x x… , что сумма каж-дых 11 подряд идущих равна A или B. Пусть

10k k kS x x += + +… . Заметим, что 1k kS S +≠ (иначе

11k kx x += ). Значит, 2k kS S += . Поскольку

1 2 13 1 12 23x S S S S x+ + = + + , то 1 23x x= . Противо-речие.Пример. Выберем 10 натуральных чисел с шагом 3,а одиннадцатое – дополняющее их сумму до 100.Тогда ряд 1 11, ,x x… , 1 1x + , 2 1x − , 3 1x + , 4 1x − , ……, 11 1x + будет искомым. Например, так: 0, 3, 6,9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 35− , 1, 2, 7, 8, 13, 14, 19,20, 25, 26, 34− .3. Построим ромб APXB (рис.11). Тогда четырех-угольник CBXQ – тоже ромб, а ADQX – паралле-лограмм. Поэтому PB AX DQ⊥ � , т.е. прямая PB

К В А Н T $ 2 0 2 0 / № 4

62

чего будем удалять соседей этой буквы, пока этовозможно. Действуя таким образом, оставим толь-ко одну букву.4. Не существует.Пусть ненулевой многочлен P представим в видесуммы квадратов двух многочленов, т.е.

2 2P F G= + . Заметим, что ( )22 2F G cF sG+ = + +( )2sF cG+ − , где cosc = α , sins = α . Полагая

0 2≤ α < π , получим бесконечно много представ-лений.Допустим, какие-то два из них совпадут, т.е.

( ) ( )2 2

1 1 2 2c F s G c F s G+ = + или ( )21 1c F s G+ =

( )22 2s F c G= − . Перенося влево и раскладывая на

множители, получим, что какая-то из скобок равнанулю в бесконечном числе точек, следовательно, вней стоит нулевой многочлен. Посмотрим на коэф-фициенты перед F и G в этой скобке. Хотя бы одиниз них не равен нулю, так как числа 1 2c c+ , 1 2c c− ,

1 2c s+ , 1 2s c+ ненулевые. Значит, F и G линейнозависимы. Можно считать, что G = tF для некото-рого числа t. Тогда ( )2 2

1P t F= + . Поскольку F –ненулевой, то, по-разному раскладывая 2

1 t+ всумму квадратов двух чисел, получим бесконечноечисло представлений многочлена P.5. Пусть A лежит на одной окружности, B – надругой. Два различных случая расположения при-ведены на рисунках 12 и 13. Решение годится длявсех случаев.По теореме об угле между хордой и касательнойполучаем равенство ориентированных углов

( ) ( ) ( ), , ,AC AP AQ QP BC BP= = . Следователь-но, точка C лежит на описанной окружноститреугольника APB. Тогда ( ) ( ), ,CP PB CA AB= =

( ),AP PQ= , т.е. биссектрисы неориентированныхуглов CPQ и BPA совпадают или перпендикулярны.Если точка Q лежит между A и B, то APBC –выпуклый четырехугольник. Если же, например, Влежит между Q и А, то PBAC – выпуклыйчетырехугольник. В обоих случаях PD – биссект-риса треугольника PAB. Нетрудно видеть, что всеэти треугольники подобны друг другу и одинаковоориентированы. Значит, все треугольники PADтакже подобны друг другу и при движении точки Aпо окружности D также движется по окружности.

Сложный вариант

8–9 классы

1. Существует.Поскольку 2020 20 101= ⋅ , то подходит, например,число 10198987676545432320.2. Смогут.Если число голов четно, богатыри могут уменьшитьего, сохранив четность. Действительно, если голов4 2n − , то после удара Ильи их станет 2 2n − . Еслиже голов 4n, то после удара Алеши их станет 3 3n − ,а после следующего за ним удара Добрыни их станет2 4n − . Богатыри могут так действовать, пока неостанется четыре или две головы, для которыххватит одного удара Алеши или Ильи.3. а) Не существует.Пусть такой 19-угольник существует. Рассмотримвписанные углы, опирающиеся на его последова-тельные стороны. Все они разные, и сумма каждыхдвух углов, соответствующих соседним сторонам,целая (она дополняет один из углов 19-угольникадо 180°). Рассмотрим два случая.1) Все эти вписанные углы выражаются целымчислом градусов. Тогда их сумма не меньше1 2 19 180° + ° + + ° > °… , что невозможно.2) Есть угол с ненулевой дробной частью ε. Тогдау соседнего угла дробная часть равна 1− ε, уследующего – снова ε и т.д. Поскольку 19 –нечетное число, то 1 2ε = . Но тогда сумма углов,опирающихся на все стороны, не меньше

1 1 1 11 2 18

2 2 2 2

°° ° °+ + + + =…

( )1 11 3 5 37 361 180

2 2= ° + ° + ° + + ° = ⋅ ° > °… .

Снова противоречие.

б) Существует.Пример. Пусть вписанные углы, опирающиеся напоследовательные стороны 20-угольника, равны

143

°, 243

°, 153

°,

253

°, ..., 113

3

°, 213

3

°. Сумма этих

чисел равна ( )2 4 5 13 10 180° + ° + + ° + ° = °… . Каж-

дый угол 20-угольника равен 180° минус сумма

Рис. 12

Рис. 13

О Т В Е Т Ы , У К А З А Н И Я , Р Е Ш Е Н И Я63

двух соседних из указанного списка углов, а все этисуммы целые.4. Для всех N > 1.На рисунках 14 и 15 приведены примеры для N = 4и N = 5. Аналогично строятся примеры для всехчетных (нечетных) N: в первом столбце реализуют-ся все суммы от 1 до 1N − , на стыке первого ивторого столбцов – от N до 2 1N − , во второмстолбце – от 2N до 2 2N − и т.д.

5. Проведем высоту CY (рис.16). ТреугольникиADY и AKC равнобедрен-ные и подобные (угол KAC,как угол между касательнойи хордой, равен углу DAY,опирающемуся на такую жедугу). Тогда подобны и тре-угольники ADK и AYC (ана-логично, равны углы KAD иCAY, а KA : AC = DA : AYв силу первого подобия). Следовательно,

90ADK∠ = °.6. 15 очков.См. решение задачи 6 для 8 класса LXXXIIIМосковской математической олимпиады на сайтеolympiads.mccme.ru/////mmo/////

10–11 классы

1. Существует.Касательная к первой параболе в точке ( )2

;a a имеетуравнение ( ) 2

2y a x a a= − + . Точки пересеченияэтой прямой со второй параболой – это

( )( )21; 1 1A a a− − − и ( )( )2

1; 1 1B a a+ + − . Отрезок

AB целиком лежит в U, а квадрат его длины,равный 2 22 16a+ , может быть сколь угодно велик.2. Пусть произвольное простое p входит в x, y, z встепенях k l m≥ ≥ . Если l > 0, то можно изменитьm в пределах от 0 до l, не меняя a, b, c. Поэтомуx, y, z попарно взаимно просты. Значит, a = xy,

b = xz, c = yz = ( )( )

НОК ,

НОД ,

a b

a b.

6. Лемма. Сумма квадратов 2km последовательных

целых чисел (k > 0, m нечетно) делится на 12k− , но

не делится на 2k.

Доказательство. Индукция по k. База (k = 1).Сумма двух последовательных квадратов нечетна,значит, сумма 2m последовательных квадратов –сумма нечетного числа нечетных слагаемых, т.е.нечетна.

Шаг индукции. Пусть 2k ≥ , 12kn m−= , 1a , …, na –

первые n из 2n последовательных чисел. Тогда

( ) ( )2 22 21 1n na a a n a n+ + + + + + + =… … ( 2

12 a +…

) ( )2 3

12n na n a a n+ + + + +… … .

Каждое из трех слагаемых делится на 12k− (первое –

по предположению индукции). При этом первоеслагаемое не делится на 2k, а другие два делятся.(Замечание. Другое доказательство леммы можнополучить, воспользовавшись формулой для суммыквадратов натуральных чисел от 1 до N.)Вернемся к задаче. Заметим, что ( )2a b+ +

( ) ( )2 2 22a b a b+ − = + . Следовательно, на каждом

шаге сумма квадратов 2n чисел на доске удваивает-ся. По лемме она никогда не сможет являтьсясуммой 2n последовательных квадратов.7. Для всех натуральных k.Есть 4 вида линий. Линии, на которых есть черныеклетки, назовем покрываемыми. Требуется, чтобына каждой покрываемой линии было ровно по kчерных клеток.Набор черных клеток, для ко-торого на каждой покрываемойлинии содержится ровно k кле-ток, назовем k-набором. Из k-набора можно получить 2k-на-бор. Для этого вырежем квад-рат, содержащий k-набор, и раз-местим его копии в квадратах,отмеченных буквами на рисун-ке 17.Назовем k-набор супернабором, если его можноразбить на 1-наборы с тем же множеством покры-ваемых линий у каждого. Указанный выше методиз k-супернабора строит 2k-супернабор. Действи-тельно, разобьем k-супернабор на 1-наборы. Возьмемодин из них. Его копии на однобуквенных местахобразуют 1-набор, который покрывает то же мно-жество линий, что и 2k-набор. Весь 2k-наборразобьется на такие 1-наборы, значит, это2k-супернабор.В k-супернаборе легко выделить l-набор для любо-го l k≤ : взять в нем l разных 1-наборов с тем жемножеством покрывающих линий у каждого.Осталось заметить, что 1-супернабор существует:он состоит, например, из одной клетки. Тогда длякаждого k мы сможем создать сначала N-суперна-бор с N > k, а затем получить из него нужный намk-набор.

Устный тур для 11 класса

1. 2019!.Пример. Условию задачи, очевидно, удовлетворя-ют числа 1, 1, 2!, 3!, …, 2019!, так как при любомнатуральном k число ( )2 !k + делится и на ( )1 !k + ,и на ( ) ( )1 ! ! ! 2k k k k+ + = + .Оценка. Пусть a, b, c – три подряд идущих числав строке, но не первые три числа. Докажем, что

1c b

b a≥ + . По условию,

bx

a= ,

cy

b= , где x и y

натуральные. Тогда c = by = axy, причем c делится

Рис. 16

Рис. 14 Рис. 15

Рис. 17

К В А Н T $ 2 0 2 0 / № 4

64

на ( )1b a ax a a x+ = + = + . Получаем, что axyделится на ( )1a x + , откуда xy делится на x + 1, атак как x и x + 1 взаимно просты, y делится на x + 1,т.е. 1y x≥ + , что и требовалось.Заметим, что первые два числа не меньше 1 каждое.Третье число больше второго (так как делится насумму второго и первого), а значит, хотя бы в двараза больше второго (так как делится на него и неравно ему). По доказанному выше, четвертое числотогда хотя бы в 3 раза больше третьего, пятое –хотя бы в 4 раза больше четвертого и так далее,откуда по индукции получаем, что k-е число неменьше ( )1 !k − при всех натуральных k.2. Заметим, что если O – центр описанной окруж-ности, то 0 2ACO C CB B∠ = ∠ = π − ∠ . Следова-тельно, точки O и 1C симметричны относительнобиссектрисы угла C и 1IC IO= , где I – центрвписанной окружности. Аналогично,

1 1IO IA IB= = , т.е. I – центр описанной окружно-сти треугольника 1 1 1A BC .3. Нет.Рассмотрим клетчатый квадрат размером 11 11× иудалим из него внутренний центральный квадрат9 9× , оставив только рамку толщиной 1. В рамкебудет как раз 40 клеток. Докажем, что на плоскостинет клетчатого прямоугольника, содержащего ров-но 20 из этих 40 клеток.Допустим, такой прямоугольник есть. Пусть в неместь клетки из обеих вертикальных сторон рамки.Тогда каждая горизонтальная сторона рамки либополностью включена в прямоугольник, либо вовсене включена. Если включена ровно одна горизон-тальная сторона, число клеток в прямоугольникенечетно, если обе – клеток 40 (слишком много), аесли ни одной – клеток максимум 9 + 9 = 18(слишком мало).Значит, в прямоугольнике могут быть клетки лишьиз одной вертикальной стороны рамки и, аналогич-но, лишь из одной горизонтальной стороны рамки.Но эти стороны соседние, и суммарно в них макси-мум 19 клеток – слишком мало. Противоречие.5. Пусть O – центр сферы, а ABC – данныйсферический треугольник. По формуле площадисферического треугольника, ABCS Aπ = = ∠ +

B C+ ∠ + ∠ − π , т.е. 2A B C∠ + ∠ + ∠ = π . (Дока-зательство формулы площади заключается в приме-нении формулы включений-исключений к трем по-лусферам, пересечением которых является данныйтреугольник.)Построим на сфере точку D, лежащую с C в разныхполуплоскостях относительно OAB и такую, что

DAB CBA∠ = ∠ и DBA CAB∠ = ∠ (имеются в видусферические углы; иначе говоря, точка D полученаиз C композицией симметрии относительно OAB исимметрии относительно серединного перпендику-ляра к AB). Тогда треугольники ABC и BAD равны.Значит, BD = AC и AD = BC. Но из условия имеемDAC DBC ACB∠ = ∠ = ∠ , следовательно, сфери-

ческие треугольники CDA и DCB также равнытреугольнику ABC. Четыре полученных треуголь-ника покрывают сферу.

6. Степени двойки.Присвоим цветам остатки 0, 1, 2 от деления на 3произвольным образом. Все операции с ними такжебудем производить по модулю 3. Тогда операцияробота такова: если уничтожаются кубики цветов aи b, то появляется кубик цвета a b− − .Если 2kN = , то после каждого прохода полногокруга количество кубиков уменьшается вдвое, а ихсумма меняет знак. Значит, в конце получитсякубик цвета ( ) ( )11

kNa a− + +… , вне зависимости от

места старта, т.е. степени двойки удачные.Если 2kN d= + , где 1 2 1

kd≤ ≤ − , то рассмотримрасстановку из одного красного кубика и 1N −белого. Если робот стартует перед красным куби-ком, то после d ходов останутся один синий кубики 2 1

k − белых. Если робот стартует после красногокубика, то через d ходов останутся один красныйкубик и 2 1

k − белых. В обеих ситуациях итоговыецвета будут разными, т.е. N неудачное.

Журнал «Квант» зарегистрированв Комитете РФ по печати.

Рег. св-во ПИ №ФС77–54256

Тираж: 1-й завод 900 экз. Заказ № 201363

Адрес редакции:

119296 Москва, Ленинский проспект, 64-А,«Квант»

Тел.: +7 916 168-64-74Е-mail: math@kvant.ras.ru,

phys@kvant.ras.ru

Отпечатанов соответствии с предоставленными

материаламив ООО «Принт-Хаус» г. Нижний Новгород,

ул. Интернациональная, д. 100, корп. 8

Тел.: (831) 216-40-40

НОМЕР ПОДГОТОВИЛИ

Е.В.Бакаев, Е.М.Епифанов,А.Ю.Котова, С.Л.Кузнецов,

В.А.Тихомирова, А.И.Черноуцан

НОМЕР ОФОРМИЛИ

М.Н.Голованова, Д.Н.Гришукова,А.Е.Пацхверия, М.Н.Сумнина

ХУДОЖЕСТВЕННЫЙРЕДАКТОР

Е.В.Морозова

КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРУППА

М.Н.Грицук, Е.А.Митченко

КВАНТ

Ш А Х М А Т Н А Я С Т Р А Н И Ч К А

ПрерванныЙТУРНИР

Главным событием шахматнойвесны стал турнир претенден-тов. Начало турнира удалосьроссийскому гроссмейстеру ЯнуНепомнящему, который старто-вал с двух побед, однако послепоражения в последнем туре егодогнал француз Максим Вашье-Лаграв. Именно эти два грос-смейстера, скорее всего, разыг-рают между собой право сра-зиться с Магнусом Карлсеном.

А.Гири – Я.Непомнящий

Екатеринбург, 2020

1. mf3 >f6 2. c4 c5 3. mc3>c6 4. d4 cd 5. md4 e6 6. g33 b6 7. mdb5 >e5 8. of4 >fg49. e3 a6 10. h3 ab 11. hg >c412.qc1 d5 13. b3 +b4! (такти-ческий ресурс, позволяющий со-хранить инициативу на ферзе-вом фланге) 14. bc /a3 15.oe5f6 16.od4 3a5 17. oe2 +c3+18.qc3 /c3 19.uf1! Жертвакачества раскрывает суть дебют-ного плана белых, рассчитыва-ющих на активность чернополь-ного слона. 19… b4! 20. g5 e521.oc3 bc 22. gf gf 23.sb1!?(защищая пешку на а2 и контро-лируя f5) 3c7! 24.sd3?! (силь-нее sb4, или sb5+, не допускаяответ черных) b5! 25.sc3 bc26. e4 de 27.qh4 +e6 28.qe40-0 29.oc4 7g7 30. sb3 /b831.oe6! Жертвуя ферзя за ла-дью со слоном, белые получаюттеоретически ничейный эндш-пиль. 31… /b3 32.qg4+ 7f833. ob3 3c1+ 34. ug2 3c6+35. ug1 h5 36.qg8+? (Ставитбелых на грань поражения. Пра-вильное 36.qh4 3f3 37. oc4!f5 38. of1 f4 39. gf ef 40. og2позволяло построить ничейнуюкрепость.) 36…7e7 37.qg7+7d6 38.qh7 3f3 39.qh8 e440.qd8+ 7e7 41.od1 3c342.qd5 h4! (еще один пешеч-

ный выпад вынуждает белыхотдать слона) 43. gh f5 44. qf53e1+ 45. ug2 3d1 46. qg53a1 47. qg4 3b1 48. qg33a2.

Черные достигли теоретичес-ки выигранной позиции. Безпешек е4 и h4 это была быничья, так как черный корольне смог бы добраться до пешкиf2, а теперь план черных состо-ит в том, чтобы поставить коро-ля на d4, а ферзя на d3 и,пользуясь угрозой создания про-ходной, проникнуть королем навторую горизонталь. Однако впервую очередь надо избавить-ся от пешки h4. 49.qh3 3d550. uf1 3d1+! Короля нельзяпускать на e2, чтобы он не успелзаблокировать проходную.51.ug2 3g4+ 52.qg3 3h5!(52…3h4? 53.uf1, и корольуходит на e2) 53.qa3 3d554. ug1 7f6 55.qg3! (белыестараются максимально услож-нить задачу черным, отрезаякороля от линии h) 3d1+56. ug2 7f5 57. qg5+ 7f458.qg3 3d5 59. uf1 3d260.ug2 3d1 61.qe3 7f5. Чер-ные упускают красивый выиг-рыш: 61…3d5+! 62. uf1 3c4+63. ue1 3c1+ 64. ue2 3e3+ 65.fe 7g4, и одна пешка сильнеедвух! 62. qg3 7f6 63. qh3 7g664. qg3+ 7h5 65. qh3 3b1! 66.qe3 7h4 67. qg3 7h5 68. qh3+7g4 69.qg3+ 7f4 70. qe3 3d171.qa3 7e5 72.qg3 7d473.qe3 3d3. Искомая позициядостигнута, и белые сдались.

М.Вашье-Лаграв –Я.Непомнящий

Екатеринбург, 2020

1. e4 e6 2. d4 d5 3.mc3 +b44. e5 c5 5. a3 +c3+ 6. bc >e77.h4 3c7 8. h5 h6 9.qb1 b610. sg4 /g8 11. ob5+ 7f812.od3 +a6 13. dc +d3 14. cd>d7 15. d4 bc 16. sd1!

Компьютер оценивает эту по-зицию как полностью равную, ачеловеческий взгляд обращаетвнимание на разницу положе-ний ладей на королевском флан-ге. 16…3a5 17. od2 /b818.me2 c4?! Фиксируя пешки,черные рискуют остаться совсембез активной игры. 19. 0-0 /b620.sc2 /h8 21. a4 7e8 22.qb4>c6 23. f4!? >e7 (приниматьжертву слишком опасно:23…>b4 24. cb 3a6 25. b5 3c826. f5 с последующим ob4 иmf4) 24.qfb1 f5 25.qb5 3 a626. oc1 7f7 27.oa3 /hb828. oe7 7e7 29. g4 /b5 30. ab/b5 31. gf /b1+ 32.sb1 ef33.mg3 3b6 34.mf5+ 7f835.sa1. Белые уклоняются отразмена ферзей, так как в коне-вом эндшпиле у черных появят-ся шансы за счет лишней пешкина ферзевом фланге. 35…3e636. mg3! 3g4 37. ug2. Несмот-ря на раскрытое положение ко-роля, подобраться к нему невоз-можно. 37…3f4 38. sa7 7e739. sa3+ 7d8 40. sd6 g5 41.hg h5 42. g7, и черные сдались.

А.Русанов