x k m k k’ - cts.iitkgp.ac.in · L L M M N N O O P P Q Q R R S S T T U U V V W W X X Y Y Z Z [[\...

7
k m k m x 0 1 x (a.) (b.) k’ k m k m x 0 1 x

Transcript of x k m k k’ - cts.iitkgp.ac.in · L L M M N N O O P P Q Q R R S S T T U U V V W W X X Y Y Z Z [[\...

Page 1: x k m k k’ - cts.iitkgp.ac.in · L L M M N N O O P P Q Q R R S S T T U U V V W W X X Y Y Z Z [[\ \ \]]] ^ ^ _ _ ` ` ` a a a b b c c d8d d8d e8e e8e f f g g h h i i j j k k l l m

������������ �������������������� �"!�#%$'&�(*),+.-/�0$'&�(*!�+1$32�4657#%$38:9�5'(<;=46)>8:�"!�$'2?�"#%2@$'5'5'4A+1�6)%#B�6CD8:46#%#,EF46!G&H#>9G)%$3!GIJ2@�"!G#>+146!�+?K46#B#>;G��-B!L$3!LM�$'I"NG)>(PO:Q�4�RTSURDVW;G(<+.-/�:�"#>2*$35'5X4�+1�")>#Y46)>(?$3!G&G(@9Z(@!G&G(*!�+[-B$3+%;

\�] Q^>S`_ba ] 2@�"#�QXc`^edgf ] S QhOiS46!�&

\kj Q^>S`_ba j 2@�"#�QXc`^edgf j S Q�l"S-B;G(@)%(m+%;G(@npo��6+%;p�"#%2@$'5'5'4A+1(<-B$3+%;H+1;G(P#%468q(rC)%(@stN�(*!G2Unuc�_wv xy R?VW;G(�468q9G5'$z+1NG&G(@#{a ]�| a j46!�&?+%;G(`9G;=46#>(*#}f ]�| f j �AC�+%;G(D+.- �,�"#%2@$'5'5'4A+1�6)%#k4A)%(`$'!<!G�B-Y4�n<$3!~+%(*)>&G(*9�(*!G&�(*!�+�R�VW;�(�s~NG(@#>+%$'�"!-B;G$32�;u-/(r+�46�A(rNG9LC�")�&G$3#%2@NG#%#>$'�"!H;�(*)%(�$'#B-B;=4A+�;=469G9�(*!G#�$3C�+%;G(�+.-/�J8:46#%#>(*#�46)>(r2@�"NG9G53(*&o�n�4P+1;G$3)%&0#>9G)%$3!GI�4A#W#%;G��-B!u$3!�M}$'I"N�)%(PO:Q�okRTSUR

�}�}�}��}�}�}��}�}�}��}�}�}��}�}�}��}�}�}��}�}�}��}�}�}��}�}�}��}�}�}��}�}�}��}�}�}��}�}�}��}�}�}��}�}�}��}�}�}�

�}�}�}��}�}�}��}�}�}��}�}�}��}�}�}��}�}�}��}�}�}��}�}�}��}�}�}��}�}�}��}�}�}��}�}�}��}�}�}��}�}�}��}�}�}��}�}�}�

�}�}�}��}�}�}��}�}�}��}�}�}��}�}�}��}�}�}��}�}�}��}�}�}��}�}�}��}�}�}��}�}�}��}�}�}��}�}�}��}�}�}��}�}�}�

�}�}�}��}�}�}��}�}�}��}�}�}��}�}�}��}�}�}��}�}�}��}�}�}��}�}�}��}�}�}��}�}�}��}�}�}��}�}�}��}�}�}��}�}�}�

�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}��}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}��}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}��}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}��}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}��}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}��}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}��}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}��}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}��}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}��}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}��}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}��}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}��}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}��}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�

�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}��}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}��}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}��}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}��}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}��}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}��}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}��}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}��}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}��}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}��}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}��}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}��}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}��}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}��}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}��}�}��}�}� �}�}��}�}�

�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}��}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}��}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}��}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}��}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}��}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}��}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}��}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}��}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}��}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}��}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}��}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}��}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}��}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}��}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�

�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}��}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}��}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}��}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}��}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}��}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}��}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}��}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}��}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}��}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}��}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}��}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}��}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}��}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}��}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}�}���������������

���������������}�}��}�}� �}�}��}�}�

k m km

x0 1x

(a.)

(b.)

k’

k m km

x0 1x

�}�3 "¡G¢>£�¤"¥,¦W§G�'¨�¨>§G©�ªB¨<«.ª/©��'¬G£@­~«%�'®*¯6°�¨>±G¢%�3­G A²´³�¯6¨>¨{¨>µt¨¶«1£*³q¨*·r¸.­º¹�¯�·T»¼«1§�£m«.ª ©�©"¨>®*�'°3°X¯A«%©"¢%¨¯6¢>£��'­G¬�£*±�£*­G¬G£@­�«,ªB§G£@¢%£*¯6¨,�3­½¹�¾k·T»P«%§G£@µ0¯6¢%£<®*©6¡G±G°'£@¬0«1§G¢>©"¡G "§L¯6­�£U¿t«1¢%¯q¨>±G¢%�3­G G·¦W§G£¼³q©6«1�3©"­À©6Á?«1§G£H«.ª/©g©6¨%®*�3°'°'¯A«1©"¢>¨��3¨0­G©�ªÂ®*©6¡G±G°'£@¬Ã«%§G¢%©6¡G "§À«1§G£p«%§G�'¢>¬À¨%±G¢>�'­G Ä©6Á¨>±G¢%�3­G �®*©"­G¨¶«�¯6­�«�ÅtÆ�·D¸´«[�'¨W®*°3£�¯6¢Y«%§=¯A«W«%§G£<©"¨%®@�'°'°'¯A«1�3©"­�©AÁ}©"­�£?©6¨%®*�3°'°'¯A«1©"¢/¯AÇZ£*®U«1¨W«1§G£<¨>£*®*©6­G¬k·¦W§G£?±G§=¯A¨%£*¨�¯6­G¬u¯6³:±�°'�3«%¡G¬G£@¨W©6Á}«%§G£?«.ª/©�©6¨%®*�3°'°'¯A«1©"¢>¨W¯6¢>£�­G©q°'©6­G "£*¢B�3­G¬G£*±�£*­�¬G£*­�«�¯A­G¬�«%§G£Á¢>£*È~¡G£*­�®@µ0©6Á�©"¨>®*�3°'°X¯�«1�'©6­:�3¨W¯6°'¨>©m³q©�¬G�zÉ=£*¬Ê·}ËÌ£�±G¢%©t®*£@£*¬�«1©P®�¯A°'®*¡�°X¯A«%£,«1§�£*¨%£�£UÇÊ£@®@«%¨[¾�£*°3©�ª<·¦W§G£?£*È~¡=¯A«%�'©"­�¨W "©�Í"£*¢>­G�'­� q«%§G£<®*©"¡G±�°'£*¬�©"¨>®*�'°3°X¯A«%©"¢%¨ ¯6¢%£

ÎÄÏ~Ð=Ñ�ÒÏ"Ó ÐÕÔ×Ö

Å Ñ�Ò ÖÅ Æ ¹ Ñ�Ò Ö ÑkØ

» ¹�Ù�»

¤

Page 2: x k m k k’ - cts.iitkgp.ac.in · L L M M N N O O P P Q Q R R S S T T U U V V W W X X Y Y Z Z [[\ \ \]]] ^ ^ _ _ ` ` ` a a a b b c c d8d d8d e8e e8e f f g g h h i i j j k k l l m

46!�&EÄÚ~Û \kjÚ ^ Û

_×Ü�K \kj ÜÝK~Þ.Q \kj Ü \�] S Qß~SVW;G(¼+1(@2�;G!G$'s~NG(¼+1�Ý#%�653à"(¼#>NG2�;âá�ã�ä�å�æ'ç%èéè6ê ë{çUì1çUí=î�ê�ï6æ<ç%ð*äGï6î�êñã�í�ò�$'#J+1�Ý$'&�(*!�+1$zCóné5'$3!G(�4A)2@�"8moG$3!=4A+1$3�"!G#/�6C \�] 46!�& \kj C�") -B;�$'2�;�+1;G(�(@stNG4A+1$3�"!G#Wo�(*2*�68:(�&G(@2*�"N�9G5'(@&kR`ô.!�+%;G$'#W2*46#%(<$z+$3#Yà"(*)¶n�(�46#¶n0+1��$'&�(*!�+1$zCónJ#%N�2�;LàA46)%$'46oG53(*#

õ*] _ \�] d \kjl 4A!G& õij _ \�] Ü \kjl ö Q�÷"SVW;G(@#%(:46)%(r)%(@C(@)%)>(*&¼+1��46#<46#{+%;G(�íÊã�ìUøqï6æ�ø�ã*ètç�ò,�6C`+1;G(P#¶n�#¶+1(@8F46!G&p+1;G(�(@stNG4A+1$3�"!G#�I"��à�ù(@)%!G$3!GIP+1;G(@8ú46)%(

E Ú Û õ*]Ú ^ Û

_×Ü�K õ*] Q�û�S46!�&

E Ú�Û õ�jÚ ^ Û

_üÜrQñK?dºl"K Þ S õ�j ö Q�ý"Sô.!þ+1;�$'#P2�4A#%(0+1;G(0!��")%8:465Y8q��&�(*#m53(*!G&þ+1;�(*8q#%(*5zà"(@#q+%�¼4¼#>$'8q9G5'(�9G;�n�#>$'2*465W$'!�+1(@)%9G)>(@+14A+1$3�"!-B;G(@)%(ARVW;G(,!G�")%8:465G8q�t&G( õ*] )>(*9G)>(*#>(*!�+1# +%;G([2*(*!�+%(*) �ACe8�4A#%#*R}VW;G(,2@(*!�+1(@) �6CÊ8�4A#%#�oZ(@;=4�à"(*#Y46#$zC7$3+Y-/(*)>(�4m9G46)>+%$'2*53(��6C�8:46#%#Bl�Eÿ4A+>+�462�;�(*&0+1�m+.-/�:#>9G)%$3!GI"#?Q�M}$'I"N�)%(�l6S 46!G&�$3+%#Y�"#>2*$'535X4A+%$'�"!C)>(*s~NG(*!�2@n�$'#W+%;G(<#1468q(<46#W+1;=4�+B�6C�+%;G(<$'!G&�$3àt$'&GNG465ÊNG!�2*�"NG9�5'(*&��"#>2*$'535X4A+%�")%#�c ] _ v Û xÛ y

_ c[R

������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������������k k2m

�}�3 "¡G¢>£��¥D¦W§G�3¨W¨%§G©�ªB¨B«1§G£<¨%±�¢%�'­� q³:¯6¨>¨W£*È~¡G�3ÍA¯6°3£*­�«B©6Á�«1§G£<­G©6¢%³:¯6°Ê³q©�¬�£� Ò ªB§G�'®�§�®*©6¢%¢%£ ²¨>±Z©"­�¬G¨W«1©�«1§G£<®*£@­�«1£*¢B©6Á}³�¯A¨%¨*·¦W§G£{­�©"¢%³:¯6°�³:©t¬G£� Ø ¢>£*±G¢>£*¨%£@­�«1¨W«1§G£,¢%£@°X¯A«%�3Í"£[³q©6«1�3©"­:©AÁ7§G£�«.ª/©m³�¯A¨%¨%£@¨ ªB§G�3®�§0°'£�¯�Í6£*¨«%§G£L®@£*­�«1£@¢�©6Á{³�¯6¨>¨�¡G­G®�§=¯6­� "£*¬k· ¦W§G�3¨:®*¯6­º¾�£�«1§G©"¡� "§�«J©6Á{¯6¨q«%§G£�³:©6«%�'©"­Ä©6Á�«.ª © «.ª ©±=¯A¢>«1�3®*°3£*¨D©6ÁZ³�¯A¨%¨ Î ®@©"­G­G£@®@«%£*¬�«%©�¯�¨>±G¢%�3­G �©AÁʨ>±G¢%�3­G <®*©"­G¨¶«�¯6­�«� Å

Ô¹ñÅ����6Å Æ »����<¯6¨D¨%§�©iªB­

�3­ �}�3 "¡G¢%£qÙ�·�¦W§G£:©"¨%®@�'°'°'¯A«1�3©"­pÁ¢%£@Èt¡�£*­G®UµÌ©6Á «1§G�3¨r­G©"¢>³�¯A°D³:©t¬G£�� Ø Ô � ���Ð� Æ� �3¨r¯6°zªY¯�µt¨§G�3 "§G£@¢Y«1§=¯6­0«%§=¯A«[©6Á�«1§G£<�'­�¬G�3Ít�'¬�¡=¯6°Ê¡�­G®*©"¡�±G°'£@¬L©"¨>®*�3°'°X¯�«1©"¢>¨�¹�©6¢Y«1§G£<®*£@­�«1£*¢[©6Á�³�¯A¨%¨�» ·�DÈ~¡G�3ÍA¯6°3£*­�«1°zµ���ª £P³:¯�µL�3­�«1£*¢>±G¢%£U«� Ò ¯A¨{¯�³q©�¬�£r©6Á`©"¨>®*�3°'°X¯�«1�'©6­�ªB§�£*¢%£�«1§G£r«.ª/©0³:¯6¨%¨>£*¨©"¨>®*�3°'°X¯�«1£:ªB�z«1§þ£ ¿G¯A®@«1°zµÌ«%§G£0¨1¯6³q£0±G§=¯A¨%£��/¯6­G¬� Ò ¯6¨�¯H³q©t¬G£�ªB§G£@¢%£0«1§G£Uµþ§=¯�Í"£�¯p±G§=¯A¨%£¬G�zÇÊ£@¢%£@­G®*£�©6Á! H¹��}�3 "¡G¢>£#"�»U·%$[£@®*©"°3°'£*®U«7«1§=¯A«�«1§�£/±G§G¯6¨%£@¨}©6Á�«1§G£�«.ª ©,³�¯6¨>¨%£@¨�¯6¢>£/�3­G¬G£*±�£*­�¬G£*­�«ªB§G£@­½«%§G£P«.ª ©�³�¯A¨%¨%£@¨?¯6¢%£�­G©6«?®@©"¡G±G°3£*¬k·�¸.­�«1¢>©�¬G¡�®*�'­� L¯0®@©"¡G±G°3�'­G �®�¯A¡G¨%£@¨?«%§G£�±G§=¯6¨>£*¨<«1©¾�£<�'­�«1£@¢%¬G£@±Z£@­G¬G£*­�«*· �

Page 3: x k m k k’ - cts.iitkgp.ac.in · L L M M N N O O P P Q Q R R S S T T U U V V W W X X Y Y Z Z [[\ \ \]]] ^ ^ _ _ ` ` ` a a a b b c c d8d d8d e8e e8e f f g g h h i i j j k k l l m

~k

& & & && & & && & & && & & && & & &' ' ' '' ' ' '' ' ' '' ' ' '' ' ' '( ( (( ( (( ( (( ( (( ( () ) )) ) )) ) )) ) )) ) )m m

M}$3I"NG)>(�*,+DVW;G$3#W#%;G��-B#B+1;G(<#%9�)%$'!�Iq8:46#>#W(*s~NG$3àA4653(*!�+B�6C�+1;G(<!G�6)%8:465Ê8q��&�( õ�j -B;G$'2�;�2*�6)%)%( ù#>9Z�"!�&G#W+1��+.- �q9=46)¶+1$'2@5'(@#W2*�"!G!�(*2@+%(*&�+1;G)>�"NGI";�4�#%9G)>$'!GIGR

--..//001122 3344 5566

787787989989 :8::8:;8;;8;<8<<8<=8==8=>8>>8>>8>?8??8??8?@8@@8@A8AA8AB8BB8BC8CC8C D8DD8DE8EE8EF8FF8FG8GG8GH8HH8HH8HI8II8II8IJ8JJ8JK8KK8KLLMMNNOOPPQQ R

RSS TTUUVVWW XXYY ZZ[[\\\]]]^^__

```aaa bbcc d8dd8de8ee8effgghhiijjkkllmmnnoo p

pqq rrss t8tt8tu8uu8u vvww x8xx8xy8yy8yzzz{{{|8||8|}8}}8}~~���������� �

��� ����

x

t

1q

0q

M}$3I"NG)>(rß!+[VW;G$'#�#>;G��-B#�+1;G(m8q�6+%$'�"!L2*�")>)%(*#>9Z�6!G&G$'!�IJ+1�J+1;�(m+.- ��!G�")>8�4A5�8q��&�(*# õ@] 4A!G& õ�j)>(*#%9�(*2U+1$zà"(*5zn"R �k�����7�������M=�")Y+1;�(?!��")%8:465Ê8q�t&G(*#W-/(?;G4�à6(õ@] Q^>S`_�� ]���������� Q���Sõij Q^>SD_�� j���������� Q���S

-B;G(@)%(:$3+<#%;��"NG5'&½oZ(qo��")%!G(q$'! 8q$'!G&p+1;G4A+�� ] 46!�&�� j 46)%(q2*�68:9G53( �¼!~NG8roZ(@)%#�-B$z+1; oZ�A+1;468q9G53$3+1N�&G({46!�&L9G;G46#%(?$'(AR¡� ] _£¢ � ] ¢ � �¥¤§¦ (U+12AR\�] Qó^>SD_£¢ � ] ¢ � �©¨ª�«¦¬�®­,¤§¦°¯ d±¢ � j ¢ � �©¨²���³�®­,¤´�µ¯ Q¶O·¶�S*

Page 4: x k m k k’ - cts.iitkgp.ac.in · L L M M N N O O P P Q Q R R S S T T U U V V W W X X Y Y Z Z [[\ \ \]]] ^ ^ _ _ ` ` ` a a a b b c c d8d d8d e8e e8e f f g g h h i i j j k k l l m

o�(@+>+1(*)W+%��-B)>$3+%(�$3+[46#\�] Q^>S`_¸� ]¹� ���«¦�� d�� jº� �»���³� Q¶O6OiS\kj Q^>S`_�� ]�� ���«¦¼� ܽ� j°� �����¾� Q¶O�l"S¿�À �»ÁÌ����t��ÂQhOiSkVW;G(/+.-/�{9=46)¶+1$32*5'(@#�46)%(�$'!G$z+1$'465'5zn�4�+})>(*#>+*R}VW;G(/9=46)¶+1$'2@5'( \�] $3#�I6$3à"(@!m4[#%8:465'5"&�$'#%9�5X462@(*8q(*!�+46!�&�+%;G(*!L5'(UCó+Y+1�q�"#%2@$'535X4A+%(6R\kj Q�¶�S`_�¶Äà � ] _�� j Q¶O·*�S

\�] Q^>S`_�� ]�Å¥�����«¦µ� d �������¾�¾Æ Q¶O*ß~SÇ\�] Qµ¶�SD_ȶÉà ÊB(ÌË�� ]ÎÍÐÏ c ] d Ï c j¬Ñ�Ò _�¶ Q¶O�÷"SÃÓ� ] $'#W)>(�465µÔ�-B;G$'2�;�-/(�&G(@!G�6+%(?o�n�Õ Û +%;G(<$'!G$z+1$'465Z&�$'#%9�5X462@(*8q(*!�+B�6C}+%;G(�Ö=)%#¶+[9=46)>+%$'2@5'(6R\�] Qó^>S�_ a ]l Í 2*�"#0c ] ^edÄ2*�"#�c j ^ Ñ Q¶O�û�S\kj Qó^>S`_ a ]l Í 2*�6#�c ] ^�Üþ2*�"#�c j ^ Ñ Q¶O�ý"S

\�] Q^>S`_�a ] 2@�"#�×ÙØ c j ÜÌc ]l Ú ^�Û�2*�"#�×ÜØ c ] dþc jl Ú ^�Û Q¶O·��S\kj Qó^>S�_�a ] #%$'!ÞÝ Qóc j ܽc ] Sh^l ß #%$3! ×ÙØ c ] d c jl Ú ^ Û Q¶O·��S

Q�à{S �Ê���³áb�"�����������ãâ ä�å,æ äVW;G$3#[$3#W5'$3�6(�2*�6!G!G(*2U+1$3!GIq+%;G(�+.- �q8:46#%#>(*#W-B$3+%;L4�!G(*46)%5znJ)%$3I"$'&0)>��&ÊRc j æ c ]

VW;G({+.-/�P�"#%2@$'535X4A+%$'�"!PC)%(@s~NG(*!G2@$'(@#B46)%([C�46)Y469G46)>+*RDô´Ce- (��"o�#%(*)¶à"({+%;G({8q�6+1$3�"!:�6!�4r#%8:465'5+%$'8q({#%2*465'(Äç j��� | -/(�-B$'535k!G�6+B#>(*(<+1;G(<#%53��-b�"#>2*$35'5X4�+1$'�6!kRô´Ce-/(��"oG#%(@)>à6(��"!04m5'�6!GI�+%$'8q(,#>2�4653(�ç j�«¦ +%;G(�C�46#¶+Y�"#>2*$'535X4A+%$'�"!�2*46!G2*(@5'#Y�6N�+B46!G&:- (�#>(*(�"!�53n�+%;G(<#%53�i-��"#>2*$'535X4A+%$'�"!ÊR è ~�!éÝ�"�Z�7�������êâ ä�å,ë ä

c j _íì ä E Ø O�d ä åä Úïî c ] dºl�ðrcg-B;G(*)>( ðrcc ] _ ä�åß ä ë O Qñlñ¶�S

\�] Q^>S`_baé2*�6#Þðrc`^02*�6#�c ] ^ QñltOiS\kj Qó^>S`_baé#%$3!òðrc`^0#%$3!Ãc ] ^ Qñl6l"SóÞÂ�ô �6+1; 9=46)¶+1$'2@5'(@#��"#%2@$'5'5'4A+1(�-B$3+1;Hc ] Ôe+1;�(�468q9G53$3+1N�&G(rNG!�&G(*)>I"��(@#r4�#%53��- 8q��&�NG5X4A+%$'�"!H4A+4A!GI"NG5'46) C)%(@s~NG(*!G2Unõðmc[Rö  VW;�(��"#%2@$'5'5'4A+1$3�"!G#�46)>({#%53�i-B5zn:+%)146!�#>C(*)>)%(@&�C)>�"8 +1;G({9G46)>+%$'2*53(,-B;G$32�;0)%(@2*(*$zà"(@#B+%;G({$3!G$3+%$X465&�$'#%9�5X462@(*8q(*!�+,+%��+1;�(r9=46)¶+1$32*5'(<�")>$'I"$3!=465353n�4A+{)>(*#>+�Ôk46!�&u+1;G(@!po=462���46I�4A$'!kRBVW;G(m)>�"5'(@#�AC}&G)>$3à6(*)[46!G&�&G)>$3à"(@!u4A)%(<$'!�+1(@)%2�;=4A!GI"(*&

ß

Page 5: x k m k k’ - cts.iitkgp.ac.in · L L M M N N O O P P Q Q R R S S T T U U V V W W X X Y Y Z Z [[\ \ \]]] ^ ^ _ _ ` ` ` a a a b b c c d8d d8d e8e e8e f f g g h h i i j j k k l l m

óJ���D÷����� Àùø � �"NG9G53(*&:�"#%2@$'5'5'4A+1$3�"!G#D4A)%([465'#>��)>(�4653$'#>(*&qo~nq2@�"!G!G(@2@+1$3!GIm4<#%9�)%$'!�Iro�(@+.-/(*(*!+.-/�:#>$'8q9G5'(�9Z(@!G&GNG5'4�R

x 0 x 1

Coupled pendula

m

l l

m

k ’x (t)0

x (t)1

10 20 30 40 50

-1

-0.5

0.5

1

10 20 30 40 50

-1

-0.5

0.5

1

x

t

t

y

Coupled Oscillations

M}$3I"NG)>(<÷÷+�� �"NG9�5'(*&�9�(*!G&GN�5X4

a a

In−phase mode

a−a

Out−of−phase mode

M}$'I6NG)%(�û÷+Dô.!�ù.9G;G46#%(�46!G&��"N�+¶ù.�6CXù´9G;=46#>(�8:�t&G(÷

Page 6: x k m k k’ - cts.iitkgp.ac.in · L L M M N N O O P P Q Q R R S S T T U U V V W W X X Y Y Z Z [[\ \ \]]] ^ ^ _ _ ` ` ` a a a b b c c d8d d8d e8e e8e f f g g h h i i j j k k l l m

x (t)0

x (t)12 4 6 8 10

-1

-0.5

0.5

1y

t

2 4 6 8 10

-1

-0.5

0.5

1

T0

x

t

In−phase mode

x (t)1

x (t)02 4 6 8 10

-1

-0.5

0.5

1

2 4 6 8 10

-1

-0.5

0.5

1

x

y

t

t

Out−of−phase mode

T1

M}$'I6NG)%(<ýú+�ô.!tù.9G;=4A#%(?46!G&��"N�+¶ù.�6CXù´9G;=46#>(�(@à"�65'N�+%$'�"!

Resonance

2a

Out−of−phase mode

a−a

In−phase mode

a a

+=

M}$'I"N�)%(�,+�ÊB(*#>�"!=46!G2@(û

Page 7: x k m k k’ - cts.iitkgp.ac.in · L L M M N N O O P P Q Q R R S S T T U U V V W W X X Y Y Z Z [[\ \ \]]] ^ ^ _ _ ` ` ` a a a b b c c d8d d8d e8e e8e f f g g h h i i j j k k l l m

x (t)0

x (t)1

TC

10 20 30 40

-1

-0.5

0.5

1

10 20 30 40

-1

-0.5

0.5

1

x

t

t

y

TB / 2

(Resonance)Coupled oscillations

M}$'I"N�)%(�,+�ÊB(*#>�"!=46!G2@(û ì1ã�ü*æ'çUøþý ÿ � �6!G#>+%)%NG2U+{4P2*�6NG9G5'(@&L#¶nt#>+1(@8 -B$3+%;�+.-/��8:46#>#%(*#[46!�&�+.-/�:#>9G)%$3!GI"#@R�kã�æ ätî�êñã�í�ÿ`VW;G(*)>(�2*46!�oZ(<#>(@à"(@)14657#>�"5'N�+%$'�"!�#W�"!G(<$'#W#>;G��-B!uo�(*5'��-<Rû ì1ã�ü*æ'çUø��úÿ � �"!G#¶+1)>NG2@+,4�2*�"NG9�5'(*&�#¶n�#¶+1(@8 -B$z+1;��"!G(<8:46#%#[46!�&��6!G(<#%9G)>$'!GIGR�kã�æ ätî�êñã�í�ÿ���;G��-B!Ä$'! +1;�( Ö=I"NG)>(6R¼ô.! +1;�$'#m2*46#%(�+%;G(*)>(0$'#�2*�"NG9�5'$'!�IHoZ(U+.- (@(*!Ä+1;G(�)%�6+14A+1$3�"!8q�6+1$3�"!:46!G&�+%;G({NG9�ù´&G��-B!J+1)%46!G#%5'4A+1$3�"!=465=8q�6+%$'�"!q�6Ce+1;�({#>nt#>+%(*8�R��{!G({;=46#�+1�P4A&�>NG#>+Y8�46#>#2@5'(@à6(*)>53n�C�6)k+1;G$3#e#>nt#>+%(*8 +1�W�6oG#%(@)>à"(`+1;�(�)>�6+�4�+1$'�6!=465�(*!G(@)%I6n�2�;G46!GI"$3!GIB$'!�+1�Y+%;G(D+1)14A!G#%5'4A+1$3�"!=46546!�&�àt$32*(Uùñà"(@)%#14�R

������������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

� � � � � � � � � � � �

���������������������

k k’m

l

m

����������������������������

���

M}$3I"NG)>(mO�¶,+�� �"N�9G5'(@&L#¶n�#¶+1(@8:#ý