Wytrzymałość Materiałów

Skręcanie prętów o przekrojach kołowychSiły przekrojowe, deformacja, naprężenia, warunki

bezpieczeństwa i sztywności, sprężyny śrubowe.

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji

dr hab. inż. Kinga Nalepka

B2, III p., pok. 312

e-mail: knalepka@agh.edu.pl tel. 12 617 30 98

http://zwmik.imir.agh.edu.pl/dydaktyka/dla_studentow/imir/imir.html

Siły przekrojowe - naprężenia

© K. Nalepka, Wytrzymałość Materiałów: Skręcanie prętów o przekrojach kołowych. Sprężyny śrubowe. 2

�

�

�

�� � ���

� �

��

��

�

CdA

��

�

� � � ����

�� � � ������

� � � �����

�� � � ����

�� � � ��� � ������

- rozciąganie/ściskanie

- ścinanie

- zginanie

- skręcanie

� � ��� � ���

�

� � �� �����

Ścięcie pręta poddanego skręcaniu

� materiał sprężysto plastyczny

� materiał kruchy

����

����

F.P. Beer, Mechanics of Materials

Moment obrotowy – zależności fizyczne

©K. Nalepka, Wytrzymałość Materiałów: Skręcanie prętów o przekrojach kołowych. Sprężyny śrubowe. 3

MO

Praca � wykonana przez moment obrotowy

�� [Nm] na kącie obrotu � [rad]:

� � �� · �

� � ���� � �� ·���� ⇒ � � �� · !� – moc [W=Nm/s]

! – prędkość kątowa [rad/s]⇒ ��� �!

� – moc [kW]" – prędkość obrotowa

[obr/min]

�� � # · 10&'W)

* 2,60rads

⇒ ��� 30 · 10&

,#* N∙ms1s

�� ≅ 9550#* N∙m

Odkształcenie postaciowe

© K. Nalepka, Wytrzymałość Materiałów: Skręcanie prętów o przekrojach kołowych. Sprężyny śrubowe. 4

Prosty pręt pryzmatyczny o kołowym przekroju poprzecznym utwierdzony na jednym końcu (cała ścianka poprzeczna) obciążono na swobodnej ściance parą sił o momencie �9.� Pomijamy siły masowe.� Oś x wzdłuż osi pręta, a y i z stanowią

osie główne centralne przekroju poprzecznego.

R

R

��

��

:;′

;

;

=>=′

>′>′′

�:

��

?Odkształcenie postaciowe (?)Kąt o jaki zmieni się kąt zawartypomiędzy dwoma włóknami materialnymiprzechodzącymi przez wspólny punkt,które przed przyłożeniem obciążenia byływzajemnie prostopadłe.

@ A tan @ � DED′′FED′′

G

DED′′ � H�IFED′′ � ��⟹ ? � G�:��

: – kąt skręcenia

R

Konfiguracja początkowa

Konfiguracja końcowa

��

��HK

�

�

�

�� ��

�

K

�

Kąt skręcenia rośnie liniowo wraz zodległością od utwierdzenia:

Naprężenie styczne

© K. Nalepka, Wytrzymałość Materiałów: Skręcanie prętów o przekrojach kołowych. Sprężyny śrubowe. 5

I � � L · � ⇒ �I�� � L,

�9 � NL� HO�PQ

RS � � HO�PQ

L � �9NRS @ � �9NRS H, T ��9RS H

Zgodnie z prawem Hooke’a, naprężeniestyczne jest proporcjonalne do odkształceniapostaciowego:

T � N · @, G – moduł sprężystości poprzecznej(moduł Kirchhoffa)

�9 � � T · H�PQ

T � N · L · HNaprężenie styczne jest skierowane prostopadle do promienia wodzącego rozważanego punktu i rośnie proporcjonalnie wraz z długością tego promienia

@ � L · H (4.1)

(4.2)

Zgodnie z (4.1) oraz (4.2):

⇒(4.2)

�UV�

(4.3)

�

��

�

?

�P

Warunek bezpieczeństwa

© K. Nalepka, Wytrzymałość Materiałów: Skręcanie prętów o przekrojach kołowych. Sprężyny śrubowe. 6

TWXY � �YRS HWXY

TWXY � �Y�S Z [9, �S �RSHWXY

�Y- moment skręcającyRS - biegunowy moment bezwładności.HWXY– odległość krawędzi zewnętrznej przekroju od jego środka ciężkości.

[9 - dopuszczalne naprężenie przy skręcaniu.�S - wskaźnik wytrzymałości przekroju przy skręcaniu.

R\ � R] � ,K^4 � ,D

^64

RS � R\ � R] � ,D^

32�S � RS

D 2⁄�S � ,D

&16

RS � ,D^

32 �,�^32

RS � ,aD^��^b32

�S � ,aD^��^b16D

Wskaźniki nie są addytywne

przekrój kołowy

przekrój pierścieniowy

�

�

D

D

�

�

�

��

��

�UV�

�UV�

�UV�

�UV�

�

�cd

cO

c&

Warunek sztywności

© K. Nalepka, Wytrzymałość Materiałów: Skręcanie prętów o przekrojach kołowych. Sprężyny śrubowe. 7

gdzie:

:�ef - dopuszczalny kąt skręcenia (rad)

g�ef - dopuszczalny kąt skręcenia na

jednostkę długości (rad/mm, rad/m)

IWXY � I c � �9cNRS

I � � L · �,L � �9NRS ,

IWXY � �9 · cNRS Z Ihij

L � �9NRS Z Lhij

Kąt skręcenia rośnie liniowo wraz zodległością od utwierdzenia:

L- jednostkowy kąt skręcenia

Największy kąt skręcenia:

Warunki sztywności

:UV�

Przykład obliczeń inżynierskich

© K. Nalepka, Wytrzymałość Materiałów: Skręcanie prętów o przekrojach kołowych. Sprężyny śrubowe. 8

Dla pręta stalowego jak na rysunku sporządzić wykresy:� momentu skręcającego (Mx),� maksymalnych naprężeń stycznych (τmax)� kąta skręcenia (ϕ).

Szukane:Wykresy: MS, τmax, ϕ

Dane:D= 100 mm, G=8�104 MPa

cd cO � 0.65m

cd � 0.2mcO � 0.3m

cO c&

�d �O �& �d � 5kNm�O � 15kNm�& � 14kNm

Sprężyny śrubowe o małym skoku – naprężenia, warunek bezpieczeństwa

© T. Machniewicz, Wytrzymałość Materiałów: Skręcanie prętów o przekrojach kołowych. Sprężyny śrubowe. 9

�m � n>��m � �mop

�q � n�

�UV� � �m � �q

�UV� � r · n · >s · �t u � ��> Z vm

dnw

D

h

nw

d

D/2

nw

z

yO

�m

�m

nw

�q�q�UV� � �m � �q�UV� � �m � �q

� r · n · >s · �t� n · > �⁄s · �t ux⁄

op � s · �t

ux� � s · �

�y

� ns · �� y⁄ � y · n

s · ��

� r · n · >s · �t � y · ns · �� �

r · n · >s · �t u � �

�>kS – dopuszczalne naprężenia styczne

Sprężyny śrubowe o małym skoku –ugięcie (λ)

10

Praca wykonana nad sprężyną (L) Energia zmagazynowana w sprężynie (E)

z � u� · n · {| � u� · �m · :

�m � n>�

: � �m · }~ · �� �p � s · �t

t�

} � s · > · "

| � ux · �m� · }

~ · s · �y

| � �m� · }� · ~ · ��

| � y · n� · >� · }

~ · s · �y| � y · n

� · >t · "~ · �y

{ � r · n · >t · "

~ · �y

nw nw

λ

P

λ

L

≡

nw nwu � t "…

D

l – długość drutu sprężyny (po rozwinięciu)

n – liczba zwoi,

MS

} � s>"

MS

…

u� · n · { � z�

© T. Machniewicz, Wytrzymałość Materiałów: Skręcanie prętów o przekrojach kołowych. Sprężyny śrubowe.