Wytrzymałość materiałów...
4
Click here to load reader
Transcript of Wytrzymałość materiałów...
www.PROJEKTOMANIA.com
Wytrzymałość materiałów IIZAD 6 by Tommy
www.PROJEKTOMANIA.comkom: 693-667-598
Dla pręta pokazanego na rysunku wyznaczyć krytyczną wartość siły P oraz współczynnik wyboczeniowy μ. Wykorzystać energetyczne kryteriumTimoshenki przyjmując jako postulowaną postać wyboczenia linię ugięcia belki wyznaczoną dla zadanego obciążenia rozłożonego q.
Schemat 6Temat 541= Grupa 28= Temat' 541=
Dane:α 0.8=
β 0.8=
γ 0.32=
L 6.9= mEJ 1800= kNm2
1. Postać wyboczenia1.1 Równanie różniczkowe osi odkształconejPrzedział I Przedział II0 x< α L⋅< 0 y< L α L⋅−<
My x( ) MA− VA x⋅+12
q⋅ x2⋅−= My y( ) VB y⋅12
q⋅ y2⋅−=
EJ w''I x( )⋅12
q⋅ x2⋅ VA x⋅− MA+= β EJ⋅ w''II y( )⋅12
q⋅ y2⋅ VB y⋅−=
EJ w'I x( )⋅16
q⋅ x3⋅12
VA x2⋅− MA x⋅+ C1+= β EJ⋅ w'II y( )⋅16
q⋅ y3⋅12
VB y2⋅− C2+=
EJ wI x( )⋅124
q⋅ x4⋅16
VA⋅ x3⋅−12
MA⋅ x2⋅+ C1 x⋅+ D1+= β EJ⋅ wII y( )⋅124
q⋅ y4⋅16
VB⋅ y3⋅− C2 y⋅+ D2+=
www.PROJEKTOMANIA.com 1 / 4
www.PROJEKTOMANIA.com
1.2 Wyznaczenie stałych z warunków brzegowych
1) wI(x=0) = 0
2) w'I(x=0) = 0
3) wII(y=0) = 0
4) w'I(x=αL) = -w'II(y=L-αL)
5) wI(x=αL) = wII(y=L-αL)
124
q⋅ 04⋅16
VA⋅ 03⋅−12
MA⋅ 02⋅+ C1 0⋅+ D1+ 0=
16
q⋅ 03⋅12
VA 02⋅− MA 0⋅+ C1+ 0=
124
q⋅ 04⋅16
VB⋅ 03⋅− C2 0⋅+ D2+ 0=
16
q⋅ x3⋅12
VA x2⋅− MA x⋅+ C1+1−
β
16
q⋅ y3⋅12
VB y2⋅− C2+⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
⋅= C1 0.8 MA⋅+ 0.32 VA⋅− 0.0853 q⋅+ 0.025 VB⋅ 1.25 C2⋅− 1.6667 10 3−× q⋅−==
Rozwiązanie układu równań
MA 0.1256 q L2⋅⋅= C1 0 q L3⋅⋅= D1 0 q L4⋅⋅=
VA 0.6256 q L⋅⋅= VB 0.3744 q L⋅⋅= C2 0.01766 q L3⋅⋅= D2 0 q L4⋅⋅=
Wynik kontrolny w'(αL):x α L⋅ 0.8 L⋅== Kontrola 0.0144−=
1EJ
16
q⋅ x3⋅12
VA x2⋅− MA x⋅+ C1+⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
1EJ
16
q⋅ x3⋅12
0.6256 q⋅ L⋅⋅ x2⋅− 0.1256 q⋅ L2⋅ x⋅+ 0 q⋅ L3⋅+⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
⋅= 0.014379−q L3⋅EJ
⋅=
www.PROJEKTOMANIA.com 2 / 4
www.PROJEKTOMANIA.com
2. Obciążenie krytyczne2.1 Kryterium energetyczne Timoshenki
xEJ w''2⋅⌠⎮⎮⌡
d xN w'2⋅⌠⎮⎮⌡
d+ 0=
I)
w'I X( )1EJ
16
q⋅ x3⋅12
VA⋅ x2⋅− MA x⋅+⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
⋅1EJ
16
q⋅ x3⋅12
0.6256 q⋅ L⋅⋅ x2⋅− 0.1256 q⋅ L2⋅ x⋅+⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
⋅==
w''I X( )1EJ
12
q⋅ x2⋅ VA x⋅− MA+⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
⋅1EJ
12
q⋅ x2⋅ 0.6256 q⋅ L⋅ x⋅− 0.1256 q⋅ L2⋅+⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
⋅==
NI X( ) 1− γ−( ) P⋅ 1− 0.32−( ) P⋅== P
www.PROJEKTOMANIA.com 3 / 4
www.PROJEKTOMANIA.com
2.2 Wartość krytyczna siły P
0
α L⋅xEJ w''I
2⋅⌠⎮⎮⌡
d0
L α L⋅−
yβ EJ⋅ w''II2⋅
⌠⎮⎮⌡
d+ P0
α L⋅x1 γ+( ) w'I
2⋅⌠⎮⎮⌡
d⋅− P0
L α L⋅−
yw'II2⌠⎮
⎮⌡d⋅− 0=
0
0.8 L⋅xEJ w''I
2⋅⌠⎮⎮⌡
d0
L 0.8 L⋅−
y0.8 EJ⋅ w''II2⋅
⌠⎮⎮⌡
d+ P0
0.8 L⋅x1.32 w'I
2⋅⌠⎮⎮⌡
d⋅− P0
L 0.8 L⋅−
yw'II2⌠⎮
⎮⌡d⋅− 0==
I10
α L⋅
xEJ1EJ
12
q⋅ x2⋅ VA x⋅− MA+⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
2⋅
⌠⎮⎮⎮⌡
d 2.885079 10 3−×q2 L5⋅
EJ⋅==
xEJ1EJ
12
q⋅ x2⋅ VA x⋅− MA+⎛⎜⎝
⎞⎟⎠
⎡⎢⎣
⎤⎥⎦
2⋅
⌠⎮⎮⎮⌡
dx3 VA
2 MA q⋅+⎛⎝
⎞⎠⋅
3 EJ⋅q2 x5⋅20 EJ⋅
+MA
2 x⋅
EJ+
MA VA⋅ x2⋅
EJ−
VA q⋅ x4⋅
4 EJ⋅−=
x 0=
x3 VA2 MA q⋅+⎛
⎝⎞⎠⋅
3 EJ⋅q2 x5⋅20 EJ⋅
+MA
2 x⋅
EJ+
MA VA⋅ x2⋅
EJ−
VA q⋅ x4⋅
4 EJ⋅− 0
q2 L5⋅EJ
⋅=
x α L⋅=
x3 VA2 MA q⋅+⎛
⎝⎞⎠⋅
3 EJ⋅q2 x5⋅20 EJ⋅
+MA
2 x⋅
EJ+
MA VA⋅ x2⋅
EJ−
VA q⋅ x4⋅
4 EJ⋅− 2.885079 10 3−×
q2 L5⋅EJ
⋅=
2.3 Współczynnik wyboczeniowy
μπ
2 EJ⋅
Pkr L2⋅
π2 1.8 103× kN⋅ m2⋅⋅
667.5 kN⋅ 6.9 m⋅( )2⋅= 0.747672==
www.PROJEKTOMANIA.com 4 / 4
