Wymagania edukacyjne z matematyki w roku szkolnym 2018/2019 Klasa 1t

Nauczyciele uczący Małgorzata Popiela Poziom rozszerzony

1. Wprowadzenie do matematyki. Pojęcia podstawowe

ocena dopuszczająca ocena dostateczna ocena dobra ocena bardzo dobra ocena celująca

Uczeo: – potrafi odróżnid definicję od twierdzenia; – rozumie budowę twierdzenia matematycznego potrafi wskazad jego założenie i tezę; – rozumie takie pojęcia, jak: zbiór pusty, zbiory równe, podzbiór zbioru; – potrafi podad przykłady zbiorów (w tym przykłady zbiorów skooczonych oraz nieskooczonych); – potrafi określad relacje pomiędzy zbiorami (równośd zbiorów, zawieranie się zbiorów, rozłącznośd zbiorów); – potrafi określad relację pomiędzy elementem i zbiorem;

Uczeo opanował wymagania na ocenę dopuszczającą oraz:

– potrafi zbudowad twierdzenie odwrotne do danego; – zna takie pojęcia, jak: zbiór pusty, zbiory równe, podzbiór zbioru; – zna definicję sumy, iloczynu, różnicy oraz dopełnienia zbioru; – potrafi sprawnie wyznaczyd sumę, iloczyn i różnicę zbiorów skooczonych; – potrafi wyznaczyd dopełnienie przedziału; – potrafi wyznaczyd sumę, różnicę oraz częśd wspólną podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych: N, C, NW, W; – potrafi zapisad za pomocą przedziałów zbiory opisane

Uczeo opanował wymagania na ocenę dostateczną oraz: – potrafi zbudowad twierdzenie odwrotne do danego oraz ocenid prawdziwośd twierdzenia prostego i odwrotnego; – potrafi sprawnie posługiwad się symboliką matematyczną dotyczącą zbiorów; – potrafi wyznaczyd dopełnienie przedziału lub dopełnienie zbioru liczbowego w przestrzeni R; – potrafi wyznaczyd dziedzinę równania z jedną niewiadomą, w przypadku, gdy trzeba rozwiązad koniunkcję warunków; – potrafi przeprowadzid proste dowody dotyczące własności liczb całkowitych;

Uczeo opanował wymagania na ocenę dobrą oraz: – potrafi podad przykłady zbiorów A i B, jeśli dana jest suma AB, iloczyn AB albo różnica A – B; – potrafi przeprowadzid proste dowody, w tym dowody „nie wprost”, dotyczące własności liczb rzeczywistych;

Uczeo opanował wymagania na ocenę bardzo dobrą oraz: – potrafi stosowad wiadomości z logiki do wnioskowania matematycznego; – potrafi stosowad działania na zbiorach do wnioskowania na temat własności tych zbiorów; – potrafi określid dziedzinę i zbiór elementów spełniających równanie z jedną niewiadomą, zawierające wyrażenia wymierne lub pierwiastek stopnia drugiego.

– zna symbolikę matematyczną

dotyczącą zbiorów (, , , ,

, , ); – potrafi wyznaczyd sumę, iloczyn i różnicę zbiorów skooczonych; – potrafi rozróżniad liczby naturalne, całkowite, wymierne, niewymierne; – umie zamienid ułamek o rozwinięciu dziesiętnym nieskooczonym okresowym na ułamek zwykły; – rozumie pojęcie przedziału, rozpoznaje przedziały ograniczone i nieograniczone; – potrafi zaznaczyd na osi liczbowej podany przedział liczbowy; – potrafi wyznaczyd sumę, różnicę oraz częśd wspólną przedziałów;

nierównościami; – potrafi zaznaczyd liczby wymierne na osi liczbowej; – wie , co to jest równanie (nierównośd) z jedną niewiadomą; – potrafi określid dziedzinę równania; – zna definicję rozwiązania równania (nierówności) z jedną niewiadomą; – wie, jakie równanie nazywamy równaniem sprzecznym, a jakie równaniem tożsamościowym; – wie, jaką nierównośd nazywamy sprzeczną, a jaką nierównością tożsamościową;

– potrafi podad przykład równania sprzecznego oraz równania tożsamościowego; – potrafi wskazad przykład nierówności sprzecznej oraz nierówności tożsamościowej;

2. Działania w zbiorach liczbowych

ocena dopuszczająca ocena dostateczna ocena dobra ocena bardzo dobra ocena celująca

Uczeo: – odróżnia liczby naturalne, całkowite, wymierne, niewymierne, rzeczywiste;

Uczeo opanował wymagania na ocenę dopuszczającą oraz:

– potrafi określid, o ile procent dana wielkośd jest większa (mniejsza) od innej wielkości;

Uczeo opanował wymagania na ocenę dostateczną oraz: – potrafi zapisad symbolicznie zbiór na podstawie informacji o jego elementach;

Uczeo opanował wymagania na ocenę dobrą oraz: – zna definicję liczb względnie pierwszych;

Uczeo opanował wymagania na ocenę bardzo dobrą oraz: – potrafi rozwiązywad zadania tekstowe o podwyższonym stopniu trudności, dotyczące

– potrafi wskazad liczby pierwsze i liczby złożone; – zna i potrafi stosowad cechy podzielności liczb naturalnych przez 2, 3, 4, 5, 9, 10; – potrafi podad zapis symboliczny wybranych liczb, np. liczby parzystej, liczby nieparzystej, liczby podzielnej przez daną liczbę całkowitą, wielokrotności danej liczby; – potrafi rozłożyd liczbę naturalną na czynniki pierwsze – potrafi wyznaczyd największy wspólny dzielnik i najmniejszą wspólną wielokrotnośd liczb naturalnych; – potrafi wykonad dzielenie z resztą w zbiorze liczb naturalnych; – potrafi sprawnie wykonywad działania na ułamkach zwykłych i na ułamkach dziesiętnych; – potrafi stosowad w obliczeniach kolejnośd działao i prawa działao w zbiorze liczb rzeczywistych; – potrafi porównywad liczby rzeczywiste; – potrafi stosowad proporcje do

– potrafi odczytywad dane przedstawione w tabeli lub na diagramie i przeprowadzad analizę procentową przedstawionych danych; – zna i potrafi stosowad cechy podzielności liczb naturalnych przez 6, 8; – potrafi podad zapis liczby, która w wyniku dzielenia przez daną liczbę całkowitą daje wskazaną resztę; – zna definicję liczby całkowitej parzystej oraz nieparzystej; – potrafi wymienid elementy zbioru zapisanego symbolicznie; – zna własnośd proporcji i potrafi stosowad ją do rozwiązywania równao zawierających proporcje; – zna twierdzenia pozwalające przekształcad w sposób równoważny równania i nierówności; – potrafi odczytywad dane w postaci tabel i diagramów, a także przedstawiad dane w postaci diagramów procentowych;

– wie, kiedy dwa równania (dwie nierówności) są równoważne i potrafi wskazad równania (nierówności) równoważne; – potrafi rozwiązad równania wymierne typu:

2

𝑥 + 7=

1

4; 𝑥 − 5

𝑥 − 2= 0;

– rozumie zmiany bankowych stóp procentowych i umie wyrażad je w punktach procentowych i bazowych; – zna własności wartości bezwzględnej i potrafi je stosowad w rozwiązywaniu zadao oraz równao i nierówności z wartością bezwzględną o średnim stopniu trudności;

– zna i stosuje w obliczeniach zależnośd dotyczącą liczb naturalnych różnych od zera:

NWD(a, b)NWW(a, b) = ab; – potrafi wykonad dzielenie z resztą w zbiorze liczb całkowitych ujemnych; – potrafi rozwiązywad zadania tekstowe o podwyższonym stopniu trudności, w których jest mowa o własnościach liczb całkowitych; – potrafi dowodzid twierdzenia dotyczące własności liczb całkowitych (np. dzielenie z resztą, podzielnośd liczb całkowitych itp.); – zna własności wartości bezwzględnej i potrafi je płynnie stosowad w rozwiązywaniu zadao oraz równao i nierówności z wartością bezwzględną;

własności liczb rzeczywistych; – zna własności wartości bezwzględnej i potrafi je stosowad w rozwiązywaniu zadao oraz równao i nierówności z wartością bezwzględną o podwyższonym stopniu trudności; – potrafi zbadad liczbę rozwiązao równania typu |x – a| + |b – x| = m, gdzie a i b są danymi liczbami, zaś m – jest parametrem.

rozwiązywania prostych równao – potrafi rozwiązywad równania z jedną niewiadomą metodą równao równoważnych; – potrafi rozwiązywad nierówności z jedną niewiadomą metodą nierówności równoważnych; – potrafi obliczyd procent danej liczby, a także wyznaczyd liczbę, gdy dany jest jej procent; – potrafi obliczyd, jakim procentem danej liczby jest druga dana liczba; – potrafi odczytywad dane przedstawione w tabeli lub na diagramie; – potrafi posługiwad się procentem w prostych zadaniach tekstowych; – potrafi obliczyd wartośd bezwzględną liczby; – umie obliczyd odległośd na osi liczbowej między dwoma dowolnymi punktami; – potrafi wyznaczyd przybliżenie dziesiętne liczby rzeczywistej z żądaną dokładnością;

– rozumie pojęcie punktu procentowego i potrafi się nim posługiwad; – zna definicję wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej i jej interpretację geometryczną; – potrafi zaznaczyd na osi liczbowej zbiory opisane za pomocą równao i nierówności typu: |cx – a|= b, |cx – a|< b, |cx – a|> b, |cx – a|≤ b, |cx – a|≥ b; – potrafi na podstawie zbioru rozwiązao nierówności, zapisad tę nierównośd w postaci nierówności z wartością bezwzględną; – potrafi obliczyd błąd procentowy przybliżenia; – potrafi szacowad wartości wyrażeo;

– potrafi obliczyd błąd bezwzględny i błąd względny danego przybliżenia;

3.Wyrażenia algebraiczne

ocena dopuszczająca ocena dostateczna ocena dobra ocena bardzo dobra ocena celująca

Uczeo: – potrafi wykonywad działania na potęgach o wykładniku naturalnym, całkowitym i wymiernym; – potrafi wyłączad wspólny czynnik z różnych wyrażeo poza nawias; –potrafi posługiwad się wzorami skróconego mnożenia i wykonuje działania na wyrażeniach, które zawierają wymienione wzory skróconego mnożenia; – potrafi usuwad niewymiernośd z mianownika ułamka, w tym, stosując wzór skróconego mnożenia (różnicę kwadratów dwóch wyrażeo); – potrafi obliczad pierwiastki stopnia nieparzystego z liczb ujemnych; –potrafi obliczad logarytm z danej liczby; – potrafi obliczyd średnią

Uczeo opanował wymagania na ocenę dopuszczającą oraz: – zna prawa działao na potęgach o wykładnikach wymiernych; – potrafi sprawnie wykonywad działania na potęgach o wykładniku naturalnym, całkowitym i wymiernym; – zna pojęcie pierwiastka arytmetycznego z liczby nieujemnej oraz zna i potrafi stosowad prawa działao na pierwiastkach w obliczeniach; – zamienia pierwiastki arytmetyczne na potęgi o wykładniku wymiernym i odwrotnie; – potrafi zapisad liczbę w notacji wykładniczej; – zna i potrafi posługiwad się wzorami skróconego mnożenia; – sprawnie sprowadza wyrażenia algebraiczne do najprostszej postaci i oblicza

Uczeo opanował wymagania na ocenę dostateczną oraz: – sprawnie przekształca wyrażenia algebraiczne zawierające potęgi i pierwiastki; – sprawnie zamienia pierwiastki arytmetyczne na potęgi o wykładniku wymiernym i odwrotnie; – potrafi sprawnie wykonywad działania na potęgach o wykładniku rzeczywistym; – zna i potrafi sprawnie posługiwad się wzorami skróconego mnożenia; – potrafi sprawnie rozłożyd wyrażenia na czynniki metodą grupowania wyrazów lub za pomocą wzorów skróconego mnożenia; – zna i potrafi stosowad własności logarytmów w obliczeniach; – stosuje średnią arytmetyczną, średnią ważoną i średnią

Uczeo opanował wymagania na ocenę dobrą oraz: – sprawnie przekształca wyrażenia zawierające wzory skróconego mnożenia; – potrafi usunąd niewymiernośd z mianownika ułamka, stosując wzór skróconego mnożenia na sumę (różnicę) sześcianów; – potrafi oszacowad wartośd potęgi o wykładniku rzeczywistym; – potrafi dowodzid twierdzenia, posługując się dowodem wprost oraz dowodem nie wprost;

Uczeo opanował wymagania na ocenę bardzo dobrą oraz: – potrafi sprawnie działad na wyrażeniach zawierających potęgi i pierwiastki z zastosowaniem wzorów skróconego mnożenia; – potrafi sprawnie rozkładad wyrażenia zawierające potęgi i pierwiastki na czynniki, stosując jednocześnie wzory skróconego mnożenia i metodę grupowania wyrazów; – potrafi wykorzystad pojęcie logarytmu (a także cechy i mantysy logarytmu dziesiętnego) w zadaniach praktycznych.

arytmetyczną, średnią ważoną i średnią geometryczną liczb; – przekształca proste wzory matematyczne, fizyczne i chemiczne;

ich wartości dla podanych wartości zmiennych; – potrafi rozłożyd proste wyrażenia na czynniki metodą grupowania wyrazów lub za pomocą wzorów skróconego mnożenia; –potrafi sprawnie obliczad logarytm z danej liczby; – zna i potrafi stosowad własności logarytmów w prostych obliczeniach; – potrafi dowodzid proste twierdzenia; – sprawnie przekształca wzory matematyczne, fizyczne i chemiczne;

geometryczną w zadaniach tekstowych; – dowodzi twierdzeo z zakresu podzielności liczb całkowitych;

4. Geometria płaska – pojęcia wstępne

ocena dopuszczająca ocena dostateczna ocena dobra ocena bardzo dobra ocena celująca

Uczeo: – zna figury podstawowe (punkt, prosta, płaszczyzna, przestrzeo) i potrafi zapisad relacje między nimi; – umie określid położenie prostych na płaszczyźnie; – rozumie pojęcie odległości, potrafi wyznaczyd odległośd między dwoma punktami,

Uczeo opanował wymagania na ocenę dopuszczającą oraz: – rozumie pojęcie figury wypukłej i wklęsłej oraz ograniczonej i nieograniczonej i potrafi podad przykłady takich figur; – zna i potrafi stosowad wzór na liczbę przekątnych wielokąta wypukłego;

Uczeo opanował wymagania na ocenę dostateczną oraz: – wie, że suma miar kątów zewnętrznych wielokąta wypukłego jest stała i stosuje tą własnośd w zadaniach; – sprawnie posługuje się wzorem na liczbę przekątnych wielokąta wypukłego w zadaniach;

Uczeo opanował wymagania na ocenę dobrą oraz: – zna i potrafi stosowad twierdzenie dotyczące sumy miar kątów wewnętrznych wielokąta wypukłego; – potrafi udowodnid, że suma miar kątów zewnętrznych wielokąta wypukłego jest stała; – zna przekształcenia

Uczeo opanował wymagania na ocenę bardzo dobrą oraz: – potrafi udowodnid twierdzenie dotyczące sumy miar kątów wewnętrznych wielokąta wypukłego; – potrafi rozwiązywad nietypowe zadania o podwyższonym stopniu trudności dotyczące odcinków, prostych, półprostych, kątów i

punktu od prostej, dwóch prostych równoległych; – zna podział kątów ze względu na ich miarę oraz położenie i potrafi zastosowad własności tych kątów w rozwiązywaniu prostych zadao; – zna własności kątów utworzonych między dwiema prostymi równoległymi przeciętymi trzecią prostą i umie zastosowad je w rozwiązywaniu prostych zadao; – rozumie pojęcie dwusiecznej kąta i symetralnej odcinka i potrafi zastosowad własnośd dwusiecznej kąta oraz symetralnej odcinka w rozwiązywaniu prostych zadao; – umie skonstruowad dwusieczną danego kąta i symetralną danego odcinka; – potrafi wskazad oś symetrii figury (figurę osiowosymetryczną); – potrafi wskazad środek symetrii figury (figura środkowosymetryczna); – potrafi stosowad twierdzenie Talesa do podziału odcinka w danym stosunku, do konstrukcji odcinka o danej długości, do

– wie, jaki wielokąt nazywamy foremnym; – zna określenie kąta, podział kątów ze względu na ich miarę oraz położenie i sprawnie umie zastosowad własności tych kątów w rozwiązywaniu zadao; – zna własności kątów utworzonych między dwiema prostymi równoległymi przeciętymi trzecią prostą i sprawnie umie zastosowad je w rozwiązywaniu zadao; –potrafi uzasadnid równoległośd dwóch prostych znajdując równe kąty odpowiadające; – stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa do uzasadniania równoległości odpowiednich odcinków lub prostych; – posługuje się terminami: kąt wpisany w koło, kąt środkowy koła oraz zna twierdzenia dotyczące kątów wpisanych i środkowych i umie je zastosowad przy rozwiązywaniu prostych zadao; – wie, co to jest kąt dopisany do okręgu; zna twierdzenie o kątach wpisanym i dopisanym do okręgu, opartych na tym samym łuku;

– zna i stosuje prawa dotyczące działao na wektorach; – potrafi rozwiązywad zadania o średnim stopni u trudności z zastosowaniem poznanych twierdzeo; – wie, co to jest punkt stały przekształcenia geometrycznego; – wie, jakie przekształcenie geometryczne jest tożsamościowe; – wie, jakie przekształcenie geometryczne jest izometrią; – zna definicje i własności takich przekształceo izometrycznych, jak: przesunięcie równoległe o wektor, symetria osiowa względem prostej, symetria środkowa względem punktu; – potrafi rozwiązywad zadania o średnim stopniu trudności dotyczące okręgów, stycznych, kątów środkowych, wpisanych i dopisanych, z zastosowaniem poznanych twierdzeo;

nieizometryczne – rzut równoległy na prostą oraz powinowactwo prostokątne; – potrafi rozwiązywad zadania złożone, wymagające wykorzystania równocześnie kilku poznanych własności;

kół, w tym z zastosowaniem poznanych twierdzeo; – umie udowodnid własności figur geometrycznych w oparciu o poznane twierdzenia.

obliczania długości odcinka w prostych zadaniach; – potrafi stosowad wnioski z twierdzenia Talesa w rozwiązywaniu prostych zadao; – rozumie pojęcie koła i okręgu; – poprawnie posługuje się terminami: promieo, środek okręgu, cięciwa, średnica, łuk okręgu; – potrafi określid wzajemne położenie prostej i okręgu oraz dwóch okręgów na płaszczyźnie; – rozróżnia kąty wpisane i środkowe w kole oraz stosuje twierdzenia dotyczące tych kątów do wyznaczania miar; – zna definicję wektora na płaszczyźnie (bez układu współrzędnych); – wie, jakie wektory są równe, a jakie przeciwne;

– zna twierdzenie o odcinkach stycznych i potrafi je stosowad w rozwiązywaniu prostych zadao; – zna twierdzenie o stycznej do okręgu i potrafi wykorzystywad je przy rozwiązywaniu prostych zadao; – zna i stosuje w zadaniach warunki dotyczące położenia prostej i okręgu oraz dwóch okręgów na płaszczyźnie; – potrafi wektory dodawad, odejmowad i mnożyd przez liczbę;

5. Geometria płaska – trójkąty ocena dopuszczająca ocena dostateczna ocena dobra ocena bardzo dobra ocena celująca

Uczeo: –potrafi sklasyfikowad trójkąty ze względu na boki i kąty; – potrafi ocenid, czy z danych

Uczeo opanował wymagania na ocenę dopuszczającą oraz:

– umie określid na podstawie długości boków trójkąta, czy trójkąt jest ostrokątny, czy

Uczeo opanował wymagania na ocenę dostateczną oraz: – potrafi udowodnid proste własności trójkątów, wykorzystując cechy

Uczeo opanował wymagania na ocenę dobrą oraz: – potrafi udowodnid twierdzenie o odcinku łączącym środki boków w trójkącie;

Uczeo opanował wymagania na ocenę bardzo dobrą oraz: – potrafi udowodnid twierdzenie dotyczące wysokości w trójkącie

odcinków można zbudowad trójkąt; –stosuje w zadaniach twierdzenie o sumie kątów w trójkącie; – stosuje w zadaniach twierdzenie o odcinku łączącym środki boków trójkąta; – zna twierdzenie Pitagorasa i umie je zastosowad w rozwiązywaniu prostych zadao; – zna twierdzenie odwrotne do twierdzenie Pitagorasa i potrafi wykorzystad je do sprawdzenia, czy dany trójkąt jest prostokątny; – umie narysowad wysokości w trójkącie i wie, że wysokości lub ich przedłużenia przecinają się w jednym punkcie; – zna pojęcie środka ciężkości trójkąta; –potrafi stosowad twierdzenie o symetralnych boków w trójkącie; – wie, że punkt przecięcia symetralnych boków trójkąta jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie; – potrafi stosowad twierdzenie o dwusiecznych kątów w

rozwartokątny; – zna twierdzenie o środkowych w trójkącie oraz potrafi je zastosowad przy rozwiązywaniu prostych zadao; – potrafi rozwiązywad zadania o średnim stopniu trudności dotyczące okręgów wpisanych w trójkąt i okręgów opisanych na trójkącie; – potrafi rozwiązywad zadania o średnim stopniu trudności dotyczące trójkątów, z zastosowaniem poznanych do tej pory twierdzeo; – zna trzy cechy przystawania trójkątów i stosuje je do rozwiązywania zadao; –zna cechy podobieostwa trójkątów i stosuje je do rozpoznawania trójkątów podobnych i przy rozwiązywaniu zadao; – zna twierdzenie o stycznej i siecznej oraz potrafi je stosowad w rozwiązywaniu prostych zadao geometrycznych; – umie udowodnid twierdzenie o odcinkach stycznych;

przystawania trójkątów; – potrafi obliczyd długośd promienia okręgu wpisanego w trójkąt równoramienny i długośd promienia okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym, mając dane długości boków trójkąta z wykorzystaniem tw. Pitagorasa; – potrafi stosowad cechy podobieostwa trójkątów do rozwiązania zadao z wykorzystaniem innych, wcześniej poznanych własności; – zna twierdzenie o stycznej i siecznej oraz potrafi je stosowad w rozwiązywaniu zadao geometrycznych; – potrafi uzasadnid, że symetralna odcinka jest zbiorem punktów płaszczyzny równoodległych od kooców odcinka; – potrafi uzasadnid, że każdy punkt należący do dwusiecznej kąta leży w równej odległości od ramion tego kąta;

– potrafi rozwiązywad zadania o podwyższonym stopniu trudności, dotyczących trójkątów, z wykorzystaniem poznanych twierdzeo;

prostokątnym, poprowadzonej na przeciwprostokątną; – potrafi rozwiązywad nietypowe zadania dotyczące trójkątów z wykorzystaniem poznanych twierdzeo.

trójkącie; – wie, że punkt przecięcia dwusiecznych kątów trójkąta jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt; – zna i stosuje przy rozwiązywaniu prostych zadao własności trójkąta równobocznego: długośd wysokości w zależności od długości boku, długośd promienia okręgu opisanego na tym trójkącie, długośd promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt; – stosuje własności trójkąta prostokątnego; – zna podstawowe własności trójkąta równoramiennego i stosuje je przy rozwiązywaniu prostych zadao; – stosuje trzy cechy przystawania trójkątów do rozwiązywania prostych zadao; –potrafi zastosowad cechy podobieostwa trójkątów do rozpoznawania trójkątów podobnych i przy rozwiązywaniu prostych zadao; – umie obliczyd skalę podobieostwa trójkątów podobnych;

6. Trygonometria

ocena dopuszczająca ocena dostateczna ocena dobra ocena bardzo dobra ocena celująca

Uczeo: – potrafi obliczyd wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym o danych długościach boków; – potrafi korzystad z przybliżonych wartości funkcji trygonometrycznych (odczytanych z tablic lub obliczonych za pomocą kalkulatora); – zna wartości funkcji trygonometrycznych kątów o miarach 30, 45, 60; – potrafi rozwiązywad trójkąty prostokątne; – potrafi obliczad wartości wyrażeo zawierających funkcje trygonometryczne kątów o miarach 30, 45, 60 – zna definicje sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa dowolnego kata wypukłego; – stosuje proste zależności między funkcjami

Uczeo opanował wymagania na ocenę dopuszczającą oraz:

– zna wartości funkcji trygonometrycznych ( o ile

istnieją) kątów o miarach: 0,

90, 180;

– potrafi obliczyd wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta, gdy dana jest jedna z nich; – potrafi stosowad poznane wzory redukcyjne w obliczaniu wartości wyrażeo; – potrafi zastosowad poznane wzory redukcyjne w zadaniach geometrycznych; – potrafi zbudowad kąt znając wartośd jednej z funkcji trygonometrycznych tego kąta; – zna twierdzenie sinusów, potrafi je zastosowad do wyznaczania długości boku trójkąta, sinusa kąta lub długości promienia okręgu opisanego na trójkącie; – zna twierdzenie cosinusów,

Uczeo opanował wymagania na ocenę dostateczną oraz: – zna i potrafi stosowad podstawowe tożsamości trygonometryczne (dla dowolnego kąta, dla którego funkcje trygonometryczne są określone); – zna i potrafi stosowad wzory redukcyjne; – potrafi dowodzid różne tożsamości trygonometryczne; – zna twierdzenie sinusów i potrafi je stosowad w zadaniach geometrycznych; – zna twierdzenie cosinusów i potrafi stosowad je w zadaniach geometrycznych; potrafi rozwiązywad zadania o średnim stopniu trudności, wykorzystując także wcześniej poznaną wiedzę o figurach geometrycznych;

Uczeo opanował wymagania na ocenę dobrą oraz: – zna i potrafi stosowad podstawowe tożsamości trygonometryczne (dla dowolnego kąta, dla którego funkcje trygonometryczne są określone); – zna i potrafi stosowad wzory redukcyjne; – potrafi dowodzid różne tożsamości trygonometryczne; – zna twierdzenie sinusów i potrafi je stosowad w różnych zadaniach geometrycznych; – zna twierdzenie cosinusów i potrafi stosowad je w zadaniach geometrycznych; – potrafi rozwiązywad zadania o różnym stopniu trudności, wykorzystując także wcześniej poznaną wiedzę o figurach geometrycznych;

Uczeo opanował wymagania na ocenę bardzo dobrą oraz: – potrafi udowodnid twierdzenie sinusów; – potrafi udowodnid twierdzenie cosinusów; – potrafi rozwiązywad zadania o podwyższonym stopniu trudności, wymagające niekonwencjonalnych pomysłów i metod.

trygonometrycznymi: sin2α+cos2α=1, sin(90°-α)= cosα

oraz 𝑡𝑔𝛼 =𝑠𝑖𝑛𝛼

𝑐𝑜𝑠𝛼 ;

– znając wartośd jednej z funkcji: sinus lub cosinus, wyznacza wartości pozostałych funkcji tego samego kąta ostrego; –zna pojęcie kąta skierowanego; –umie podad znaki wartości funkcji trygonometrycznych w poszczególnych dwiartkach;

potrafi je zastosowad do wyznaczania długości boku trójkąta lub cosinusa kąta w trójkącie; –potrafi rozwiązywad proste zadania geometryczne z zastosowaniem twierdzenia sinusów i twierdzenia cosinusów;

7. Geometria płaska – pole koła, pole trójkąta.

ocena dopuszczająca ocena dostateczna ocena dobra ocena bardzo dobra ocena celująca

Uczeo: – rozumie pojęcie pola figury; zna wzór na pole kwadratu i pole prostokąta; – potrafi obliczyd pole trójkąta korzystając z następujących wzorów na pole trójkąta:

𝑃 =𝑎2 3

4, gdzie a to długośd

boku trójkąta równobocznego;

𝑃 =1

2𝑎 ∙ ℎ𝑎 , 𝑃 =

1

2𝑎𝑏𝑠𝑖𝑛𝛾;

𝑃 =𝑎𝑏𝑐

4𝑅, 𝑃 = 𝑝𝑟,

𝑃 = 𝑝 𝑝 − 𝑎 𝑝 − 𝑏 (𝑝 − 𝑐)

gdzie 𝑝 =𝑎+𝑏+𝑐

2

Uczeo opanował wymagania na ocenę dopuszczającą oraz: – zna i potrafi stosowad następujące wzory na pole trójkąta:

𝑃 =𝑎2 3

4, gdzie a to długośd

boku trójkąta równobocznego;

𝑃 =1

2𝑎 ∙ ℎ𝑎 , 𝑃 =

1

2𝑎𝑏𝑠𝑖𝑛𝛾,

𝑃 =𝑎𝑏𝑐

4𝑅, 𝑃 = 𝑝𝑟,

𝑃 = 𝑝 𝑝 − 𝑎 𝑝 − 𝑏 (𝑝 − 𝑐)

gdzie 𝑝 =𝑎+𝑏+𝑐

2 ;

– potrafi rozwiązywad proste zadania geometryczne dotyczące trójkątów, wykorzystując wzory na ich

Uczeo opanował wymagania na ocenę dostateczną oraz: – potrafi rozwiązywad zadania geometryczne o średnim stopniu trudności, stosując wzory na pola trójkątów, w tym również z wykorzystaniem poznanych wcześniej własności trójkątów; – potrafi rozwiązywad zadania geometryczne, wykorzystując

cechy podobieostwa trójkątów, twierdzenie o polach figur podobnych; – rozwiązuje zadania dotyczące trójkątów, w których wykorzystuje

Uczeo opanował wymagania na ocenę dobrą oraz: – potrafi wyprowadzid wzory na pole trójkąta; – potrafi dowodzić twierdzenia,

w których wykorzystuje pojęcie

pola;

Uczeo opanował wymagania na ocenę bardzo dobrą oraz: – potrafi rozwiązywad nietypowe zadania geometryczne o podwyższonym stopniu trudności z wykorzystaniem wzorów na pola figur i innych twierdzeo.

– potrafi rozwiązywad proste zadania geometryczne dotyczące trójkątów, wykorzystując wzory na pole trójkąta i poznane wcześniej twierdzenia; – potrafi obliczyd wysokośd trójkąta, promieo okręgu opisanego i promieo okręgu wpisanego w trójkąt korzystając ze wzoru na pole; – zna twierdzenie o polach figur podobnych; potrafi je stosowad przy rozwiązywaniu prostych zadao; – zna wzór na pole koła i pole wycinka koła, umie zastosowad te wzory przy rozwiązywaniu prostych zadao;

pola i poznane wcześniej twierdzenia, w szczególności twierdzenie Pitagorasa oraz własności okręgu wpisanego w trójkąt i okręgu opisanego na trójkącie; – zna wzory na długośd okręgu i długośd łuku okręgu, umie zastosowad te wzory do rozwiązywania prostych zadao;

twierdzenia poznane wcześniej ( tw. Pitagorasa, tw.Talesa, tw. sinusów, tw.cosinusów, twierdzenia o kątach w kole, itp.);

8. Funkcja i jej własności.

ocena dopuszczająca ocena dostateczna ocena dobra ocena bardzo dobra ocena celująca

Uczeo: – potrafi odróżnid funkcję od innych przyporządkowao; – potrafi podawad przykłady funkcji; – potrafi opisywad funkcje na różne sposoby: wzorem, tabelką, grafem, opisem słownym oraz zbiorem par

Uczeo opanował wymagania na ocenę dopuszczającą oraz: – potrafi wyznaczad dziedzinę funkcji oraz miejsca zerowe funkcji liczbowej opisanej wzorem; – potrafi sporządzid wykres funkcji spełniającej podane warunki (w prostych przykładach);

Uczeo opanował wymagania na ocenę dostateczną oraz: – potrafi określid dziedzinę oraz miejsca zerowe funkcji liczbowej danej wzorem w przypadku, gdy wyznaczenie dziedziny funkcji wymaga rozwiązania koniunkcji warunków, dotyczących mianowników lub pierwiastków stopnia drugiego,

Uczeo opanował wymagania na ocenę dobrą oraz: – posługuje się wykresami funkcji np.: y = reszta z dzielenia x przez 3, gdzie x C, y = sgn x, y = [x], y = x – [x], y =max(5, |x|), y = min (x, 2x + 1); – szkicuje wykres funkcji określonej w różnych

Uczeo opanował wymagania na ocenę bardzo dobrą oraz: – rozwiązuje zadania dotyczące funkcji o podwyższonym stopniu trudności; – sprawnie posługuje się językiem matematycznym i symbolika matematyczną.

uporządkowanych; – potrafi naszkicowad wykres funkcji liczbowej określonej słownie, grafem, tabelką, wzorem oraz zbiorem par uporządkowanych; – potrafi odróżnid wykres funkcji od krzywej, która wykresem funkcji nie jest; – potrafi narysowad wykresy takich funkcji jak: 𝑦 = 𝑥,

𝑦 = 𝑥2, 𝑦 = 𝑥3, 𝑦 = 𝑥, 𝑦 =1

𝑥;

– stosuje poznane wykresy funkcji do rozwiązywania równao i nierówności; – potrafi wyznaczyd dziedzinę funkcji liczbowej danej wzorem (w prostych przypadkach); – potrafi obliczyd miejsce zerowe funkcji liczbowej (w prostych przypadkach); – potrafi wyznaczyd współrzędne punktu wspólnego wykresu funkcji i osi OY; – potrafi obliczyd wartośd funkcji liczbowej dla danego argumentu, a także obliczyd argument funkcji, gdy dana jest jej wartośd;

– potrafi sprawdzid równośd funkcji; – umie na podstawie wykresów funkcji f i g podad zbiór rozwiązao równania f(x) = g(x) oraz nierówności typu: f(x) < g(x), f(x) > g(x),

f(x) ≤ g(x), f(x) g(x) ; – potrafi interpretowad informacje na podstawie wykresów funkcji lub ich wzorów (np. dotyczące różnych zjawisk przyrodniczych, ekonomicznych, socjologicznych, fizycznych); – potrafi przetwarzad informacje dane w postaci wzoru lub wykresu funkcji;

występujących we wzorze; – zna pojęcie funkcji parzystej oraz nieparzystej; – wie, jaką funkcję nazywamy okresową; – potrafi podad własności funkcji okresowej na podstawie jej wykresu; – sporządza wykres funkcji spełniającej podane warunki; – szkicuje wykres funkcji określonej w różnych przedziałach różnymi wzorami, odczytuje własności takiej funkcji ( w prostych przykładach); – potrafi zbadad na podstawie definicji monotonicznośd danej funkcji; – potrafi zbadad na podstawie definicji parzystośd (nieparzystośd) danej funkcji;

przedziałach różnymi wzorami, odczytuje własności takiej funkcji; – potrafi stosowad wiadomości o funkcji do opisywania zależności w przyrodzie, gospodarce i życiu, codziennym;

– potrafi określid zbiór wartości funkcji w prostych przypadkach np. w przypadku, gdy dziedzina funkcji jest zbiorem skooczonym; – potrafi na podstawie wykresu funkcji liczbowej odczytad jej własności, takie jak: ● dziedzina funkcji ● zbiór wartości funkcji ● miejsce zerowe funkcji ● argument funkcji, gdy dana jest wartośd funkcji ● wartośd funkcji dla danego argumentu ● przedziały, w których funkcja jest rosnąca, malejąca, stała ● zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie, ujemne, niedodatnie, nieujemne ● najmniejszą oraz największą wartośd funkcji; – potrafi odczytad informacje na podstawie wykresów funkcji, dotyczące różnych zjawisk, np. przyrodniczych, ekonomicznych, socjologicznych, fizycznych, chemicznych;

9. Przekształcenia wykresów funkcji.

ocena dopuszczająca ocena dostateczna ocena dobra ocena bardzo dobra ocena celująca

Uczeo: – zna określenie wektora i

Uczeo opanował wymagania na ocenę dopuszczającą oraz:

Uczeo opanował wymagania na ocenę dostateczną oraz:

Uczeo opanował wymagania na ocenę dobrą oraz:

Uczeo opanował wymagania na ocenę bardzo dobrą oraz:

potrafi podad jego cechy; – potrafi obliczyd współrzędne wektora, znając współrzędne początku i kooca wektora; – potrafi obliczyd współrzędne początku (kooca)wektora, gdy dane ma współrzędne wektora oraz współrzędne kooca (początku) wektora; – potrafi wyznaczyd długośd wektora (odległośd między punktami na płaszczyźnie kartezjaoskiej); – potrafi wykonywad działania na wektorach: dodawanie, odejmowanie oraz mnożenie przez liczbę (analitycznie); – potrafi obliczyd współrzędne środka odcinka; – potrafi podad współrzędne punktu, który jest obrazem danego punktu w symetrii osiowej względem osi OX , w symetrii względem osi OY, w symetrii środkowej względem punktu (0,0) oraz w przesunięciu równoległym o dany wektor; – potrafi narysowad wykres funkcji y = f(x) + q, y = f(x – p), y = f(x – p) + q, y= –f(x), y = f(–x) , y = –f(–x) , w przypadku, gdy dany jest

– potrafi na podstawie wykresu funkcji y = f (x) sporządzid wykresy funkcji: y = f(|x|), y=|f(x)| ;

– potrafi narysowad wykresy funkcji określonych wzorami

np.: 𝑦 = |𝑥3| , 𝑦 = |𝑥|,

𝑦 =2

|𝑥 | ;

– umie podad własności funkcji: y = f(x) + q, y = f(x – p), y = f(x – p) + q, y= –f(x), y = f(–x) , y = –f(–x) , y=|f(x)| oraz y = f(|x|) w oparciu o wykres funkcji y = f(x); – potrafi zapisad wzór funkcji, której wykres otrzymano w wyniku przekształcenia wykresu funkcji f przez symetrię osiową względem osi OX, symetrię osiową względem osi OY, symetrię środkową względem początku układu współrzędnych, przesunięcie równoległe o układu współrzędnych, przesunięcie równoległe o dany wektor; – potrafi rozwiązad proste równania i nierówności z wykorzystaniem wykresu funkcji;

–zna własności działao na wektorach i potrafi je stosowad w rozwiązywaniu zadao o średnim stopniu trudności; – potrafi na podstawie wykresu funkcji y = f (x) sporządzid wykresy funkcji: y = kf(x), oraz y = f(kx), k 0; – potrafi narysowad wykresy funkcji określonych wzorami np.: 𝑦 = −4𝑥2, 𝑦 = (0,5𝑥)3

𝑦 = 2 𝑥; – potrafi naszkicowad wykres funkcji, którego sporządzenie wymaga złożenia kilku poznanych przekształceo; – potrafi rozwiązad równania i nierówności z wykorzystaniem wykresu funkcji; – potrafi przeprowadzid dyskusję rozwiązao równania z parametrem f(x) = m, w oparciu o wykres funkcji f;

– potrafi sprawnie naszkicowad wykres funkcji, którego sporządzenie wymaga złożenia kilku poznanych przekształceo; – potrafi przeprowadzid dyskusję rozwiązao równania z parametrem w oparciu o wykres funkcji f; – potrafi stosowad własności przekształceo geometrycznych do rozwiązywania zadao o podwyższonym stopniu trudności;

– potrafi rozwiązywad nietypowe zadania dotyczące przekształceo wykresów funkcji oraz własności funkcji.

wykres funkcji y = f(x); – potrafi narysowad wykresy funkcji określonych wzorami np.: 𝑦 = (𝑥 − 1)2 − 5,

𝑦 = −1

𝑥 , 𝑦 = − −𝑥,

𝑦 =2

𝑥−2+ 3;

10. Funkcja liniowa

Ocena dopuszczająca Ocena dostateczna Ocena dobra Ocena bardzo dobra Ocena celująca

Uczeo:

wie, jaką zależnośd między dwiema wielkościami zmiennymi nazywamy proporcjonalnością prostą;

potrafi wskazad współczynnik proporcjonalności;

rozwiązuje proste zadania tekstowe z zastosowaniem proporcjonalności prostej;

zna pojęcie funkcji liniowej;

potrafi interpretowad współczynniki we wzorze funkcji liniowej;

potrafi sporządzid wykres funkcji liniowej danej wzorem;

potrafi na podstawie wykresu funkcji liniowej (wzoru funkcji) określid monotonicznośd funkcji;

potrafi wyznaczyd algebraicznie i graficznie zbiór tych argumentów, dla których funkcja liniowa przyjmuje wartości dodatnie (ujemne, niedodatnie, nieujemne);

potrafi sprawdzid algebraicznie,

Uczeo opanował wymagania na ocenę dopuszczającą oraz: zna wzór na współczynnik

kierunkowy funkcji liniowej, gdy dane są współrzędne dwóch punktów należących do wykresu funkcji;

potrafi stosowad wiadomości o funkcji liniowej do opisu zjawisk z życia codziennego (podad opis matematyczny zjawiska w postaci wzoru funkcji liniowej, odczytad informacje z wykresu lub wzoru, zinterpretowad je, przeanalizowad i przetworzyd);

potrafi rozwiązad układ nierówności liniowych z jedną niewiadomą;

potrafi interpretowad graficznie równania i nierówności liniowe z jedną niewiadomą;

potrafi rozwiązywad algebraicznie proste równania i nierówności z wartością bezwzględną i interpretowad je graficznie, np.

324,312 xxx ;

Uczeo opanował wymagania na ocenę dostateczną oraz: potrafi udowodnid na

podstawie definicji niektóre własności funkcji liniowej, takie jak: monotonicznośd, różnowartościowośd itp.;

potrafi rozwiązywad zadania z wartością bezwzględną i parametrem dotyczące własności funkcji liniowej;

potrafi rozwiązywad równania i nierówności liniowe z wartością bezwzględna i interpretowad je graficznie;

potrafi przeprowadzid dyskusję liczby rozwiązao układu równao liniowych z dwiema niewiadomymi z parametrem;

potrafi przeprowadzid dyskusję liczby rozwiązao równania liniowego z parametrem (z dwoma parametrami).

Uczeo opanował wymagania na ocenę dobrą oraz: potrafi przeprowadzid

dowód warunku na prostopadłośd wykresów funkcji liniowych o współczynnikach różnych od zera;

potrafi wyznaczyd wszystkie wartości parametru, dla których zbiorem rozwiązao nierówności liniowej z parametrem jest podany zbiór;

potrafi rozwiązad układ dwóch równao liniowych z dwiema niewiadomymi z wartością bezwzględną oraz zinterpretowad go graficznie;

potrafi wykreślad w prostokątnym układzie współrzędnych zbiory punktów opisane: równaniem, nierównością, układem równao lub

Uczeo opanował wymagania na ocenę bardzo dobrą oraz: rozwiązuje zadania

nietypowe o podwyższonym stopniu trudności.

czy punkt o danych współrzędnych należy do wykresu funkcji liniowej;

potrafi podad własności funkcji liniowej na podstawie wykresu tej funkcji;

wie, że współczynnik kierunkowy a we wzorze funkcji baxy

oznacza tangens kąta nachylenia wykresu funkcji liniowej do osi OX;

potrafi znaleźd wzór funkcji liniowej o zadanych własnościach (np. takiej, której wykres przechodzi przez dwa dane punkty; jest nachylony do osi OX pod danym kątem i przechodzi przez dany punkt);

potrafi napisad wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie;

stosuje wzór na współczynnik kierunkowy funkcji liniowej, gdy dane są współrzędne dwóch punktów należących do wykresu funkcji;

potrafi napisad wzór funkcji liniowej, której wykres jest równoległy do wykresu danej funkcji liniowej i przechodzi przez punkt o podanych współrzędnych;

potrafi napisad wzór funkcji liniowej, której wykres jest prostopadły do wykresu danej funkcji liniowej i przechodzi przez punkt o podanych współrzędnych;

zna pojęcie równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi;

potrafi rozpoznad układ oznaczony, nieoznaczony, sprzeczny i umie podad ich interpretację geometryczną;

potrafi rozwiązywad układy równao pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi metodą wyznacznikową;

zna pojęcie nierówności pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi i potrafi interpretowad geometrycznie taką nierównośd;

potrafi przedstawid na płaszczyźnie z prostokątnym układem współrzędnych, zbiór tych wszystkich punktów, których spółrzędne spełniają dany układ nierówności liniowych z dwiema niewiadomymi;

potrafi opisad daną figurę geometryczną (np. trójkąt, czworokąt) przedstawioną w prostokątnym układzie współrzędnych za pomocą odpowiedniego układu nierówności liniowych z dwiema niewiadomymi.

układem nierówności liniowych z dwiema niewiadomymi i z wartością bezwzględną;

potrafi stosowad wiedzę o układach nierówności pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi do rozwiązywania zadao.

potrafi określid na podstawie wzorów dwóch funkcji liniowych wzajemne położenie ich wykresów;

potrafi naszkicowad wykres funkcji kawałkami liniowej i na jego podstawie omówid własności danej funkcji;

potrafi wyznaczyd algebraicznie miejsca zerowe funkcji kawałkami liniowej oraz współrzędne punktu wspólnego wykresu funkcji i osi OY;

potrafi wyznaczyd algebraicznie zbiór tych argumentów, dla których funkcja kawałkami liniowa przyjmuje wartości dodatnie (ujemne);

potrafi obliczyd wartośd funkcji kawałkami liniowej dla podanego argumentu;

potrafi rozwiązad równanie liniowe z jedną niewiadomą;

potrafi rozwiązad nierównośd liniową z jedną niewiadomą i przedstawid jej zbiór rozwiązao na osi liczbowej;

potrafi wskazad równanie pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi;

wie, że wykresem równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi jest prosta;

zna pojęcie układu dwóch równao pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi;

potrafi rozwiązywad algebraicznie metodą przez podstawianie oraz

metodą przeciwnych współczynników układy dwóch równao liniowych z dwiema niewiadomymi;

potrafi rozwiązywad zadania tekstowe prowadzące do układów równao liniowych.

Nauczyciel przedmiotu uwzględnia zalecenia zawarte w opinii z Poradni Psychologiczno-Pedagogicznej. Możliwe sposoby sprawdzania wiedzy i umiejętności to: sprawdziany, kartkówki, odpowiedzi ustne, zadania domowe, aktywnośd na lekcji, praca w grupach.