Wykorzystanie programu Statistica do rozwiązywania ... · Dla potencjalnego indywidualnego...

Copyright © StatSoft Polska 2015, [email protected]

101

WYKORZYSTANIE PROGRAMU STATISTICA DO ROZWIĄZYWANIA

ZŁOŻONYCH ZAGADNIEŃ W OBSZARZE INŻYNIERII MATERIAŁÓW

BUDOWLANYCH

Janusz Konkol, Katedra Inżynierii Materiałowej i Technologii Budownictwa,

Politechnika Rzeszowska

Zastosowanie narzędzi i metod statystycznych w inżynierii materiałów budowlanych jest

coraz powszechniejsze. Specyfika badań materiałów budowlanych różni się jednak od

szeroko opisywanych w literaturze i popartych licznymi przykładami wyników badań

społecznych, ekonomicznych czy biomedycznych. Zachodzi zatem konieczność prezento-

wania i publikowania badań własnych z obszaru inżynierii materiałów budowlanych, co nie

tylko umożliwia osiągnięcie założonego przez badacza celu utylitarnego i aplikacyjnego,

ale również pokazuje możliwości i korzyści wynikające z zastosowania narzędzi i metod

statystycznych, podając jednocześnie wzorce postępowania w tego rodzaju badaniach.

W odpowiedzi na tak zdefiniowaną potrzebę w artykule przedstawione zostały między

innymi przykłady wykorzystania podejścia statystycznego, przy użyciu programu

Statistica, do opracowania procedur projektowania betonów modyfikowanych dodatkami

o właściwościach pucolanowych, jak również przykłady podejścia do istotnego z punktu

widzenia inżynierii materiałowej zagadnienia modelowania powiązań między technologią,

strukturą i właściwościami tych betonów.


102

Projektowanie betonów to nie tylko nauka, ale i sztuka

Jednym z zagadnień badawczych w obszarze inżynierii materiałów budowlanych jest

szeroko rozumiane projektowanie betonów cementowych, uwzględniające między innymi:

opracowanie podstaw naukowych, a w konsekwencji także praktycznych, otrzymywania

nowych generacji betonów oraz możliwości wykorzystania innych poza cementem mater-

iałów wiążących, w tym także nieujętych w normie PN-EN 206-1. Do betonów o szczegól-

nych właściwościach można zaliczyć betony modyfikowane dodatkiem prażonego kaolinu

bądź popiołu z kotłów o spalaniu fluidalnym. Oba dodatki należą do grupy dodatków

o właściwościach pucolanowych (według PN-EN 206-1 dodatek typu II), które mogą być

stosowane jako częściowy substytut cementu. Poprzez zmniejszenie ilości cementu, a tym

samym zmniejszenie, wynikającej z procesu jego produkcji, emisji CO2, ich użycie należy

zaliczyć do działań proekologicznych. Dodatkowo w przypadku popiołów fluidalnych,

będących materiałem odpadowym, jego zastosowanie do betonów stwarza możliwość

utylizacji tego odpadu oraz zmniejsza koszty związane z jego składowaniem.

Dla potencjalnego indywidualnego odbiorcy betonu rozwój technologii betonu widoczny

jest obecnie między innymi przez mnogość dostępnych na rynku dodatków, domieszek, jak

również materiałów wiążących. Stwarza to konieczność odpowiedniego doboru tych skład-

ników, przy zwróceniu uwagi na kwestię ich kompatybilności. Projektant dostaje zatem

trudne zadanie odpowiedniego skomponowania składników betonu w taki sposób, aby

powstały produkt spełniał stawiane mu wymagania, nie tylko w aspekcie odpowiednich

właściwości wytrzymałościowych, ale także trwałości. W zależności od rodzaju i stopnia

agresywności środowiska pracy betonu norma PN-EN 206-1 wyróżnia tzw. klasy ekspo-

zycji, podając jednocześnie wymagania dla projektanta, których spełnienie gwarantuje

trwałość betonu w tym środowisku. W przypadku stosowania wymienionych powyżej

niekonwencjonalnych dodatków istnieje potrzeba badań w celu sprecyzowania wymagań

związanych z zapewnieniem odpowiedniej wytrzymałości i trwałości tych betonów.

Okazuje się wówczas, że technologia betonu to nie tylko nauka (gr. lógos), ale i sztuka


103

(gr. téchne), a ustalenie składu betonów modyfikowanych musi być poprzedzone licznymi

badaniami.

Głównym celem badań eksperymentalnych jest poznanie prawideł rządzących danym zja-

wiskiem, a w efekcie ustalenie zależności między badanymi cechami a przyjętymi zmien-

nymi niezależnymi. Przeprowadzenie badań przy minimalizacji nakładów finansowych, jak

i minimalizacji ich czasochłonności zapewnia zastosowanie już na etapie programowania

badań teorii planowania eksperymentu [1,2].

Głównym czynnikiem związanym z właściwościami betonu, w tym jego trwałością, jest

struktura betonu. Narzędzia i metody pozwalające na ilościowy opis struktury betonu daje

inżynieria materiałowa. Inżynieria materiałowa jest nauką interdyscyplinarną zajmującą się

wieloaspektowym zagadnieniem materiałów, ich budową, metodami kształtowania i bada-

niem ich właściwości. Wynikająca z tego podejścia wieloaspektowość i mnogość infor-

macji wymusza konieczność stosowania narzędzi statystycznych do opracowania wyników

badań i wnioskowania.

W artykule przedstawiono przykłady zastosowania programu Statistica do planowania

eksperymentu i opracowania wyników badań zmierzających do stworzenia procedur pro-

jektowania betonów modyfikowanych dodatkami nie ujętymi w normie PN-EN 206-1.

Optymalizacja składu betonu z dodatkiem popiołu fluidalnego

W wyniku zaplanowanych, a następnie przeprowadzonych badań badacz otrzymuje zbiór

informacji o właściwościach materiału. Często jednak rozwiązania optymalne ze względu

na poszczególne właściwości leżą w różnych punktach dziedziny eksperymentu, a niekiedy

są to rozwiązania wzajemnie się wykluczające. Rolą projektanta jest wówczas znalezienie

kompromisu. Rozwiązanie takiego zadania można uzyskać przy użyciu optymalizacji

wielokryterialnej. Jednym z narzędzi pozwalających na przeprowadzenie tego etapu badań

jest program Statistica.


104

W pierwszej kolejności zadaniem badacza jest odpowiedni dobór planu, przyjęcie zmien-

nych niezależnych oraz przedziałów ich zmienności [1,2]. Należy zaznaczyć, że błędów

popełnionych na tym etapie badań nie można będzie skorygować w następnych etapach

badań.

Prezentowany przykład dotyczy optymalizacji składu betonu z dodatkiem modyfikowa-

nego mechanicznie popiołu fluidalnego ze względu na trzy wybrane jego właściwości:

wytrzymałość na ściskanie (ważną cechę z uwagi na bezpośrednie odniesienie do klasy

wytrzymałości i wymagań normowych w tym względzie), odporność na pękanie (cechę

istotną z uwagi na występujące w betonie nieciągłości struktury) oraz porowatość

stwardniałego betonu (przekładającą się na trwałość betonu). Jako miarę odporności na

pękanie przyjęto krytyczny współczynnik intensywności naprężeń KIcS.

Poprawę szczelności, a w efekcie trwałości betonu, można uzyskać między innymi poprzez

zastosowanie dodatków pylastych, o ziarnach o rozmiarach mniejszych niż ziarna cementu.

Mogą być one obojętnymi, pełniącymi jedynie rolę wypełniacza w betonie, jak również

mogą mieć właściwości wiążące. Zaletą drugiej grupy dodatków jest uszczelnienie

mikrostruktury betonu na skutek zachodzących reakcji chemicznych, w wyniku których

ziarna dodatku łączą się ze stwardniałym zaczynem cementowym. Jednym z dodatków o

właściwościach wiążących jest aktywowany mechanicznie popiół z kotłów o spalaniu

fluidalnym (FL). Z uwagi na właściwości wiążące tego dodatku może on zastępować

pewną część cementu. Jak potwierdziły badania [3-7] nie bez znaczenia pozostaje jednak

określenie optymalnego udziału tego dodatku w stosunku do masy cementu (c). Główną

zaletą stosowania tego typu ubocznych produktów spalania UPS jest ich utylizacja,

przyczyniająca się do ochrony środowiska.

W celu uzyskania pełnego obrazu zachodzących zmian właściwości betonu (wytrzymałość

na ściskanie fc, odporność na pękanie KIcS oraz porowatość) oraz podania zależności

w postaci aproksymujących funkcji obiektu badań zaprogramowano badania, przyjmując

dwie zmienne determinujące skład mieszanki betonowej. Były to: stosunek woda/spoiwo


105

w/s, w którym po stronie spoiwa uwzględniono również dodatek popiołu fluidalnego, oraz

udział dodatku w stosunku do łącznej masy spoiwa FL/s (s=k·FL+c).

Oprócz zmiennych niezależnych (wielkości wejściowych) przyjęto również wartości stałe.

Założono utrzymanie stałej konsystencji mieszanki betonowej regulowanej doświadczalnie

ustaloną ilością upłynniacza. Brak takiego założenia mógłby spowodować uzyskanie mie-

szanek betonowych o nieodpowiedniej ze względów wykonawczych urabialności, czego

skutkiem byłoby na przykład powstawanie dużych porów strukturalnych i wzrost porowa-

tości. Wielkością stałą był także rodzaj i klasa cementu (CEM I 32,5R), rodzaj dodatku, ro-

dzaj kruszywa grubego (grys bazaltowy z m. Wilków) i drobnego (piasek kwarcowy

z m. Strzegocice), proporcja kruszywa grubego do drobnego (optymalny stos okruchowy),

sposób dozowania składników, sposób i czas mieszania oraz zagęszczenia mieszanki beto-

nowej, warunki dojrzewania próbek, czas i sposób badania, jak również zastosowany

sprzęt.

Program badań

Plan badania wygenerowano za pomocą programu Statistica. Z uwagi na liczbę zmiennych

decyzyjnych oraz przewidywany nieliniowy wpływ zmiennych niezależnych na badane

właściwości (zmienne zależne) wybrano plan centralny kompozycyjny z pięciowartoś-

ciowymi wielkościami wejściowymi (-, -1, 0, +1, +), dostępny w module Planowanie

doświadczeń DOE.

Uzyskano plan wymagający przeprowadzenia doświadczenia w 10 punktach (rys. 1).

Jednak sugerowany punkt 10 (dodatkowy punkt w centrum planu) został usunięty z uwagi

na planowane powtórzenia we wszystkich punktach planu badań.


106

Rys. 1. Wygenerowany plan centralny kompozycyjny przy dwóch wielkościach wejściowych.

Plan eksperymentu określony jest przez ustaloną liczbę kombinacji wartości unormowa-

nych, kodowych i

x̂ wynoszących w przypadku zastosowanego planu: 0, 1 i 1,414

(rys. 1). Operowanie bezwymiarowymi wartościami wielkości wejściowych eliminuje

problemy mogące wystąpić w przypadkach, gdy wartości wielkości wejściowych są w du-

żym stopniu zróżnicowane oraz jednocześnie pozwala na duży stopień uogólnienia stoso-

wanych procedur. Dla wybranego planu relacja standaryzowania opisana jest wzorem:

)(2

ˆ)(2ˆ

min,max

min,max,

ii,i

i

ii

iii xx

xxx

xx

xxx

i lub , i=1,2, (1)

gdzie: ix̂ – wartość unormowana (kodowa); – ramię gwiezdne planu; w przyjętym planie

= 1,414 (alfa rotalność); xi – wartość rzeczywista kolejnej zmiennej; xi, max, xi, min – war-

tości maksymalna i minimalna kolejnej zmiennej rzeczywistej; ix – wartość średnia kolej-

nej zmiennej rzeczywistej.

Przyjęty plan przewiduje przeprowadzenie badań dla pięciu wartości pośrednich wielkości

wejściowych x1 (w/s) i x2 (FL/s). Na podstawie doświadczenia, stanu wiedzy i możliwości

technicznych przyjęto zakres zmienności stosunku woda/spoiwo w/s od około 0,35 do 0,54

oraz zakres zmienności stosunku popiół fluidalny/spoiwo FL/s od około 0,02 do 0,15.

2**(2) centr. kompozyc., nc=4 ns=4 n0=2 Ukł.=10 (Dane)Standard

Układ x1 x2

1

2

3

4

5

6

7

8

9 (C)

10 (C)

-1,00000 -1,00000

-1,00000 1,00000

1,00000 -1,00000

1,00000 1,00000

-1,41421 0,00000

1,41421 0,00000

0,00000 -1,41421

0,00000 1,41421

0,00000 0,00000

0,00000 0,00000


107

Dokładne ustalenie wartości wielkości wejściowych oraz ich sposób dyskretyzacji, ściśle

związany z planem badań, przeprowadzono w generatorze planu. Ostatecznie uzyskano

plan eksperymentu pokazany na rys. 2, a skład poszczególnych serii betonów, uzyskany

w oparciu o doświadczalnie ustaloną podstawową recepturę mieszanki betonowej [6], zes-

tawiono w tabeli 1. Zmiana stosunku woda/spoiwo oraz różnica gęstości cementu i dodatku

powoduje, że zestawione w tabeli 1 receptury pozwalają na uzyskanie mieszanek beto-

nowych o różnej objętości. Ze względów praktycznych należy zatem przeliczyć otrzymane

składy na 1 m3 mieszanki betonowej (patrz poz. [6,7]).

Rys. 2. Graficzna prezentacja centralnego kompozycyjnego planu eksperymentu.

0.353 0.380 0.445 0.510 0.537

Stosunek woda/spoiwo, w/s

0.021

0.04

0.085

0.13

0.149

Masa p

op

iołu

flu

idaln

eg

o d

o m

asy s

po

iwa

seria 1

seria 4

seria 3

seria 6

seria 8

seria 7

seria 9seria 5

seria 2


108

Tabela 1. Zestawienie zmiennych w planie badań oraz składników poszczególnych serii betonów.

Seria

Zmienna Skład mieszanki betonowej według przyjętego

planu w kg

w/s FL/s Cement FL Woda Piasek Bazalt

1 0,380 0,04 435,8 18,2 172,5

739,3 1212,5

2 0,380 0,13 395,0 59,0 172,5

3 0,510 0,04 435,8 18,2 231,5

4 0,510 0,13 395,0 59,0 231,5

5 0,353 0,085 415,4 38,6 160,3

6 0,537 0,085 415,4 38,6 243,8

7 0,445 0,021 444,3 9,7 202,0

8 0,445 0,149 386,5 67,5 202,0

9 0,445 0,085 415,4 38,6 202,0

Praktyczne uwagi i wskazówki dotyczące stosowania planu kompozycyjnego zostały opi-

sane szerzej w pracach [1,2].

Realizacja badań

Badania wytrzymałości na ściskanie fc wykonano po 180 dniach dojrzewania próbek

sześciennych o krawędzi 0,1 m, przechowywanych w warunkach laboratoryjnych.

Badania odporności na pękanie (określenie KIcS) przeprowadzono na belkach o wymiarach

0,08×0,15×0,70 m ze szczeliną pierwotną długości 0,05 m [8,9]. Badania przeprowadzono

również po 180 dniach dojrzewania próbek w warunkach laboratoryjnych.

2 cm

prawy

margines


109

Określenie porowatości stwardniałego betonu przeprowadzono na podstawie analizy płas-

kich przekrojów betonu przy zastosowaniu metod stereologicznych, obliczając powierz-

chnię względną porów AAP [10,11].

Wyznaczono miary położenia (wartość średnią) i rozproszenia (błąd standardowy wartości

średniej). Wyniki badań zestawiono w tabeli 2 w nawiasach podając liczbę próbek do

badań.

Tabela 2. Wyniki badań betonów z dodatkiem popiołu fluidalnego.

Seria

Wyniki badań

fc ± błąd stand. śred.

MPa

KIcS ± błąd stand. śred.

MN/m3/2

AAP ± błąd stand. śred.

-

1 78,1±1,75 (8) 1,561±0,065 (4) 0,029±0,0013 (12)

2 80,1±1,04 (8) 1,471±0,043 (4) 0,028±0,0016 (12)

3 55,3±1,15 (8) 1,300±0,083 (4) 0,023±0,0016 (12)

4 53,2±1,19 (8) 1,290±0,081 (4) 0,023±0,0020 (12)

5 82,0±1,42 (12) 1,544±0,062 (4) 0,028±0,0013 (12)

6 50,4±0,64 (10) 1,260±0,036 (4) 0,023±0,0013 (12)

7 66,3±0,53 (8) 1,484±0,033 (4) 0,030±0,0014 (12)

8 71,9±1,45 (14) 1,457±0,070 (4) 0,032±0,0012 (12)

9 63,1±1,08 (8) 1,380±0,089 (4) 0,028±0,0014 (12)

Określenie funkcji obiektu badań

Procedurę określenia funkcji obiektu badań rozpoczęto od wykazania jednorodności

wariancji dla wszystkich badanych właściwości betonu (fc, KIcS i AAP). Jest to warunek

konieczny do spełnienia, gdyż brak jednorodności wariancji uniemożliwia poszukiwanie


110

funkcji obiektu badań. W analizie jednorodności wariancji, jak i w pozostałych analizach

statystycznych przyjęto poziom istotności równy 0,05.

Przed wyznaczeniem funkcji obiektu badań za pomocą testu F Snedecora (Fishera) dla

prób o różnej liczebności wykazano także istotny wpływ wielkości wejściowych xi na wiel-

kość wyjściową (korelacja kwalitatywna). Weryfikację przeprowadzono; wykorzystano

moduł Statystyki podstawowe i tabele ( Przekroje, prosta ANOVA, Analiza war-

iancji). Uzyskane wartości poziomu istotności p mniejsze od 0,05 (rys. 3, ostatnia kolumna

tabeli poniżej) świadczą o istotnym wpływie wielkości wejściowych na wyjściowe, jak

również o statystycznej istotności zróżnicowania średnich.

Analiza wariancji (Porowatosc Flubet)

Zaznaczone efekty są istotne z p < ,05000

Zmienna

SS

Efekt

df

Efekt

MS

Efekt

SS

Błąd

df

Błąd

MS

Błąd

F p

AAP 0,000985 8 0,000123 0,002565 99 0,000026 4,754444 0,000058

Rys. 3. Wyniki analizy wariancji dla powierzchni względnej porów AAP (porowatości).

Przeprowadzona analiza wariancji, przy zastosowaniu testu F, wykazała zatem istotny

wpływ zmiany stosunku woda/spoiwo w/s oraz stosunku popiół fluidalny/spoiwo FL/s na

wszystkie cechy badanego betonu (fc, KIcS i AAP)

Następnie przy wykorzystaniu modułu Planowanie doświadczeń DOE przeprowadzono

dalszą analizę prowadzącą do uzyskania funkcji obiektu badań.

Przeprowadzono dekompozycję obiektu badań, polegającą na utworzeniu trzech obiektów

badań charakteryzowanych jedną wielkością wyjściową (analizy wykonywane oddzielnie

dla fc, KIcS i AAP), oraz zaproponowano funkcję aproksymacyjną postaci wielomianu

drugiego stopnia:

21522423

212110 xxBxBxBxBxBBz

(2)


111

Weryfikację funkcji regresji, tj.: istotności efektów, istotności współczynników Ai oraz

adekwatności funkcji przeprowadzono na wartościach unormowanych i

x̂ dla funkcji

obiektu badań postaci:

21522423

212110 x̂x̂Ax̂Ax̂Ax̂Ax̂AAz (3)

Na podstawie analizy istotności efektów usunięto efekty uznane za nieistotne (patrz rys. 3

p<0,05). W przypadku porowatości efektami nieistotnymi okazały się: efekt liniowy

i kwadratowy związany ze zmienną FL oraz efekt współdziałania obu zmiennych (rys. 4).

Ostatecznie uzyskano funkcje regresji postaci (rys. 5):

29988414351805150 )s/FL(,s/FL,s/w,,f c (4)

s/w,,K S

Ic 62411392 (5)

2553304589006530 )s/w(,s/w,,AAP (6)

gdzie: w/s – stosunek woda/spoiwo; FL/s – masa popiołu fluidalnego w stosunku do

łącznej masy spoiwa (cement + popiół fluidalny).

Współczynniki determinacji R2 dla modeli (4)-(6) wyniosły odpowiednio 0,898; 0,409 oraz

0,218. Niskie współczynniki determinacji dla krytycznego współczynnika intensywności

naprężeń KIcS oraz powierzchni względnej porów AAP spowodowane są typowymi dla tych

cech, względnie dużymi rozrzutami pojedynczych wyników badań.

Dokonano sprawdzenia adekwatności zaproponowanych funkcji aproksymujących. Uzys-

kane wartości poziomu p w wierszu brak dopasowania (zaznaczona opcja składniki błędu

ANOVA czysty błąd, w zakładce Model) większe od 0,05 potwierdzają adekwatność

otrzymanych funkcji (rys. 6).


112

Rys. 4. Analiza istotności efektów - wykres Pareto.

Rys. 5. Uzyskane funkcje aproksymujące w przypadku kolejno: wytrzymałości na ściskanie fc,

krytycznego współczynnika intensywności naprężeń KIcS oraz porowatości AAP.


113

Dla wszystkich trzech cech betonów uzyskano ich wzrost na skutek zmniejszania się sto-

sunku woda/spoiwo. Wpływ zmiennego udziału dodatku popiołu fluidalnego okazał się

istotnym jedynie dla wytrzymałości na ściskanie fc.

ANOVA; Zmn.:AA; R^2= ,21847;Popr:,20358

2 wielk. , 1 Bloki , 108 ukła;Czysty błąd MS=,0000259

ZZ AA

Wejśc. SS df MS F p

(1)w/s(L)

w/s(Q)

Brak dopas.

Czysty bł.

Całk. SS

0,000455 1 0,000455 17,58007 0,000060

0,000320 1 0,000320 12,35785 0,000664

0,000210 6 0,000035 1,34961 0,242632

0,002565 99 0,000026

0,003550 107

Rys. 6. Tabela ANOVA – wynik sprawdzenie istotności efektów oraz adekwatności funkcji.

Optymalizacja składu betonów

Optymalizację składu betonów przeprowadzono w module Planowanie doświadczeń wy-

bierając opcję Profil użyteczności odpowiedzi w zakładce Predykcja i profile. Optymali-

zację przeprowadzono dla przyjętych wartości dolnej, pośredniej i górnej danej wielkości

wyjściowej, przypisując im odpowiednie wartości użyteczności (rys. 7). W przypadku

właściwości fc i KIcS wartości użyteczności 1,0 przypisano wartościom górnym tych cech

(kryterium maksimum fc i KIcS). W przypadku natomiast porowatości AAP wartość użytecz-

ności 1,0 przypisano wartości dolnej tej cechy (kryterium minimum AAP).

Parametry funkcji użyteczności (Op tymalizacja Flubet)

Ustawienia f. użyteczności

dla każdej zmn. zależnej

Zmienna

Dolna

Wartość

Użyteczn

Wartość

Pośred.

Wartość

Użyteczn

Wartość

Górna

Wartość

Użyteczn

Wartość

fc180

KIcS180

AAP

61,8 0,0 68,5 0,5 75,1 1,0

1,39 0,0 1,45 0,5 1,51 1,0

0,026 1,0 0,028 0,5 0,030 0,0

Rys. 7. Zestawienie parametrów funkcji użyteczności.


114

Korzystając z opcji Profil użyteczności odpowiedzi, należy pamiętać, że optymalizację ze

względu na kilka wielkości wyjściowych, w przypadku gdy uzyskano różne modele dopa-

sowania dla tych wielkości mierzonych, należy przeprowadzać na odpowiednio przygoto-

wanych danych. Na podstawie właściwego dla danej wielkości wyjściowej modelu należy

obliczyć wartości przewidywane wielkości wyjściowej w kolejnych punktach planu ekspe-

rymentu. Wartości te stanowią wówczas bazę do przeprowadzenia optymalizacji. Optyma-

lizacja nie może być przeprowadzana na podstawie danych z arkusza wyników z badań,

gdyż dopasowane w tym przypadku modele będą zawierały wszystkie wyrazy wielomianu

aproksymującego, a nie jak wynika z analizy tylko wybrane składniki (modele (4)-(6)).

Optymalizację przeprowadzono przy ustawieniu wejścia na wartości optymalne funkcji

użyteczności, stosując dwie opcje poszukiwania optymalnej użyteczności: Zastosuj ogólną

optymalizację funkcji oraz Optimum użyteczności w węzłach siatki. Liczbę kroków siatki

przyjęto równą 20.

Maksymalną użyteczność otrzymano dla stosunku w/s = 0,353 oraz stosunku FL/s = 0,149.

Rozwiązanie to uzyskano przy zastosowaniu zarówno opcji Zastosuj ogólną optymalizację

funkcji, jak i opcji Optimum użyteczności w węzłach siatki (rys. 8 i 9).

Bieżące specyfikacje i aproksymowane odpowiedzi (Optymalizacja Flubet)

Aproksymowane odpowiedzi przy bieżących

poziomach wielkości wejśc.

wartości

w/s

wartości

FL/s

Aproksym

fc180

Aproksym

KIcS180

Aproksym

AAP

Użyteczn

Wartość

,35308 ,14864 87,30263 1,565598 0,027778 0,822018

Rys. 8. Wyniki optymalizacji dla opcji Optimum użyteczności w węzłach siatki.

Bieżące specyfikacje i aproksymowane odpowiedzi (Optymalizacja Flubet)

Aproksymowane odpowiedzi przy bieżących

poziomach wielkości wejśc.

wartości

w/s

wartości

FL/s

Aproksym

fc180

Aproksym

KIcS180

Aproksym

AAP

Użyteczn

Wartość

,35308 ,14855 87,28909 1,565598 0,027778 0,822018

Rys. 9. Wyniki optymalizacji dla opcji Zastosuj ogólną optymalizację funkcji.


115

Rys. 10. Wykres powierzchniowy i warstwicowy funkcji użyteczności dla trzech kryteriów

optymalizacji i dwóch zmiennych niezależnych.

Rys. 11. Profile aproksymowanych wartości w/s i FL/s oraz użyteczności.


116

Opcja Profil użyteczności odpowiedzi w module Planowanie doświadczeń umożliwia

również uzyskanie wykresu powierzchniowego i warstwicowego funkcji użyteczności

w zależności od wartości wielkości wejściowych (rys. 10), jak również wykreślenie profili

aproksymowanych wartości oraz odpowiadającej im użyteczności (rys. 11).

Ciekawym spostrzeżeniem praktycznym wynikającym z przeprowadzonej analizy jest wi-

doczny na rys. 10 i 11 niewielki wpływ zmiennego udziału dodatku popiołu fluidalnego FL

na wartość użyteczności, co może sugerować zbliżony efekt działania tego dodatku w sto-

sunku do cementu.

W wyniku przeprowadzonej analizy nasuwa się także wniosek dużo skuteczniejszego dzia-

łania modyfikowanego mechanicznie popiołu fluidalnego w odniesieniu do konwencjo-

nalnego popiołu lotnego.

Analiza związków struktury betonu modyfikowanego z jego odpornością na pękanie

Jednym z zadań inżynierii materiałowej jest dążenie do określenia zależności między struk-

turą a właściwościami materiału. Poniższy przykład dotyczy relacji uzyskanej w przypadku

betonu modyfikowanego oddzielnie trzema dodatkami o właściwościach pucolanowych:

pyłem krzemionkowym (PK), aktywowanym mechanicznie popiołem fluidalnym (FL) lub

metakaolinitem (MK) [12]. Plan badań przyjęto podobnie jak w przykładzie pierwszym.

Wybranymi do analizy właściwościami betonu były: wytrzymałość na ściskanie oraz

odporność na pękanie (tabela 3). Strukturę betonu opisano ilościowo przy pomocy para-

metrów fraktograficznych, charakteryzujących powstałą na skutek zniszczenia powierz-

chnię przełomu oraz parametrów stereologicznych określanych na płaskich przekrojach.

Analizę przeprowadzono zarówno dla fazy kruszywa grubego, jak również fazy porów

powietrznych. W obu przypadkach określono powierzchnię względną, odpowiednio: kru-

szywa grubego SVK i porów SVP.


117

Tabela 3. Wyniki badań wytrzymałości na ściskanie fc i krytycznego współczynnika intensywności

naprężeń KIcS po 28 dniach dojrzewania betonu.

Seria

Właściwości betonu z dodatkiem

popiołu fluidalnego (FL) metakaolinitu (MK) pyłu krzemionkowego

(PK)

fc± błąd

stand. śred.

MPa

KIcS± błąd

stand. śred.

MN/m3/2

fc± błąd

stand. śred.

MPa

KIcS± błąd

stand. śred.

MN/m3/2

fc± błąd

stand. śred.

MPa

KIcS± błąd

stand. śred.

MN/m3/2

1 58,3±1,2 1,49±0,03 53,7±0,5 1,44±0,04 54,8±1,1 1,25±0,04

2 61,0±1,1 1,58±0,03 61,0±1,2 1,57±0,02 65,3±1,1 1,53±0,05

3 40,0±0,9 0,90±0,05 40,8±1,2 0,94±0,03 39,2±0,7 0,92±0,02

4 40,9±0,6 1,17±0,03 41,3±0,4 1,02±0,06 40,2±1,3 0,97±0,03

5 63,8±0,4 1,47±0,05 63,7±0,6 1,52±0,03 66,1±0,7 1,58±0,01

6 41,5±1,4 1,06±0,05 37,2±0,8 0,97±0,01 38,6±0,5 0,93±0,03

7 45,2±0,8 1,23±0,04 46,7±0,5 1,25±0,05 46,7±1,0 1,24±0,06

8 47,3±0,9 1,34±0,10 51,5±0,9 1,32±0,02 54,8±1,1 1,34±0,04

9 45,5±1,0 1,27±0,04 47,8±1,0 1,25±0,06 48,8±0,7 1,21±0,03

10 45,9±1,1 1,25±0,12 48,0±1,0 1,20±0,04 49,2±0,5 1,22±0,01

Kształt powierzchni przełomu, jak i wydzielonej z tej powierzchni linii profilowej, jest

efektem układu, liczby i rozmiaru defektów, rodzaju składników betonu i ich udziału,

jakości i wytrzymałości połączenia kruszywo/zaczyn cementowy oraz porowatości. Iloś-

ciowy opis linii profilowej uzyskano, obliczając wymiar fraktalny [13,14]. Wymiar frak-

talny obliczono metodą pudełkową (ang. box counting).

Uwzględniając rodzaj zastosowanego dodatku, przeprowadzono analizę korelacji między

wytrzymałością na ściskanie a odpornością na pękanie. Wykazano, że wraz ze wzrostem

wytrzymałości na ściskanie fc betonów rośnie także jego odporność na pękanie, wyrażona


118

wartością krytycznego współczynnika intensywności naprężeń KIcS. Uzyskano liniowy

model tej zależności postaci:

c

S

Ic f,K 0250 (7)

Wykazano nieistotność wyrazu wolnego, a uzyskany współczynnik determinacji R2 modelu

(7) wyniósł 0,867. Zatem zmienność krytycznego współczynnika intensywności naprężeń

KIcS jest wyjaśniona zmiennością wytrzymałości na ściskanie fc w prawie 87% i w około

13% zmiennością innych czynników, w tym czynników losowych. Wykres wartości obser-

wowanych krytycznego współczynnika intensywności naprężeń KIcS względem wartości

przewidywanych tego współczynnika przedstawiono na rys. 12.

Rys. 12. Zależność między wartością obserwowaną krytycznego współczynnika intensywności

naprężeń KIcS a wartością tego współczynnika określoną na podstawie modelu (7).

Przyjmując, że istnieje korelacja między odpornością na pękanie (krytycznym współ-

czynnikiem intensywności naprężeń KIcS) a kształtem powstałej powierzchni przełomu

FL

FL

FL

FL

FL

FL

FL

FL

FL

FL

MK

MK

MK

MK

MK

MK

MK

MK

MKMK

PK

PK

PK

PK

PK

PK

PK

PK

PK

PK

0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8

Wart. przewidyw.

KIcS = 0,0253*fc

0,8

0,9

1,0

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

Wart

. o

bserw

. K

IcS, M

N/m

3/2 FL

FL

FL

FL

FL

FL

FL

FL

FL

FL

MK

MK

MK

MK

MK

MK

MK

MK

MKMK

PK

PK

PK

PK

PK

PK

PK

PK

PK

PK

0,95 Prz.Ufn.

FL - popiół fluidalny

MK - metakaolinit

PK - pył krzemionkowy


119

(wymiarem fraktalnym DBC), do zależności (7) wprowadzono dodatkową wielkość wymiar

fraktalny, uzyskując statystycznie istotną zależność opisaną wzorem:

BC

S

Ic D,s/w,,K 81316869216420 (8)

Ponownie, jak dla modelu (7), także w modelu (8) stwierdzono brak statystycznie istotnego

wpływu rodzaju dodatku na wartość krytycznego współczynnika intensywności naprężeń

KIcS. Analizę przeprowadzono metodą regresji wielorakiej (rys. 13), uzyskując poprawę

współczynnika korelacji R z wartości 0,931 dla modelu (7) na 0,960 dla modelu (8). Dla

modelu (8) zmienność krytycznego współczynnika intensywności naprężeń wyjaśniona jest

zatem zmianą stosunku woda/spoiwo i wymiarem fraktalnym w około 92%, a niespełna

8% stanowią inne czynniki, w tym losowe. Analizując uzyskane wyniki regresji wielora-

kiej, należy zaznaczyć, że wkład zmiennej stosunek woda/spoiwo w/s w predykcję współ-

czynnika KIcS jest o 3,5 razy większy aniżeli wkład zmiennej DBC (rys. 13; patrz: wartości

standaryzowanych współczynników regresji b*). Zależność wartości obserwowanych KIcS

względem przewidywanych modelem (8) przedstawiono na rys. 14.

Wartość wymiaru fraktalnego zależy od wielu czynników. Do istotnych można zaliczyć:

udział poszczególnych faz w betonie, takich jak: faza kruszywa, faza stwardniałego

zaczynu lub zaprawy, udział ewentualnych modyfikatorów składu oraz rodzaju i udziału

defektów, m. in. udział i charakterystyka porów. W celu pominięcia kłopotliwych analiz

fraktalnych, wymagających oprogramowania oraz specjalistycznych urządzeń (np. profilo-

metrów), przeprowadzono analizę regresji liniowej wielorakiej, przyjmując jako zmienne:

powierzchnię względną kruszywa SVK i powierzchnię względną porów SVP (parametry

stereologiczne), masę dodatku w stosunku do masy spoiwa w betonie DK/s, objętość

zaczynu cementowego w mieszance betonowej VZaczynu (wzięta ze składu recepturowego

betonu) oraz jako zmienną typu jakościowego rodzaj dodatku.


120

Podsumowanie regresji zmiennej zależnej: KIcS (WytrzymaFraktogra)

R= ,96023283 R^2= ,92204709 Skoryg. R2= ,91627280

F(2,27)=159,68 p<,00000 Błąd std. estymacji: ,06250

N=30

b* Bł. std.

z b*

b Bł. std.

z b

t(27) p

W. wolny

w/s

DBC

20,1641 6,324499 3,18825 0,003604

-0,7854310,080170 -2,8693 0,292870 -9,79703 0,000000

-0,2201640,080170 -16,8134 6,122409 -2,74620 0,010599

Rys. 13. Podsumowanie analizy regresji wielorakiej w przypadku modelu (8).

Rys. 14. Zależność między wartością obserwowaną krytycznego współczynnika intensywności

naprężeń KIcS, a wartością tego współczynnika określoną na podstawie modelu (8).

Wyniki przeprowadzonej analizy (wartości poziomów istotności p) wskazały, że powierz-

chnia względna kruszywa SVK, powierzchnia względna porów SVP oraz rodzaj dodatku są

nieistotne (rys. 15, p>0,05).

FL

FL

FL

FL

FL

FL

FL

FL

FL

FL

MK

MK

MK

MK

MK

MK

MK

MK

MKMK

PK

PK

PK

PK

PK

PK

PK

PK

PKPK

0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7

KIcS=20,164-2,869*w/s-16,813*DBC

0,8

0,9

1,0

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

Wart

ość o

bserw

ow

an

a K

IcS

FL

FL

FL

FL

FL

FL

FL

FL

FL

FL

MK

MK

MK

MK

MK

MK

MK

MK

MKMK

PK

PK

PK

PK

PK

PK

PK

PK

PKPK

0,95 Prz.Ufn.


MK - metakaolinit



121

Podsumowanie regresji zmiennej zależnej: DBC (WytrzymaFraktogra)

R= ,82778920 R^2= ,68523497 Skoryg. R2= ,61965892


N=30

b* Bł. std.

z b*

b Bł. std.

z b

t(24) p

W. wolny

Dodatek

SVP

SVK

V zaczynu

Rodzaj dodatku

1,004943 0,012192 82,42943 0,000000

-0,410323 0,120991 -0,029876 0,008810 -3,39135 0,002408

-0,039738 0,131039 -0,000358 0,001182 -0,30325 0,764313

0,090998 0,130498 0,000818 0,001173 0,69732 0,492304

0,771715 0,134602 0,126564 0,022075 5,73332 0,000007

-0,148535 0,118955 -0,000506 0,000405 -1,24866 0,223833

Rys. 15. Wyniki regresji wielorakiej przed usunięciem efektów nieistotnych.

Ostatecznie otrzymany model ma postać:

ZaczynuBC V,s/DK,,D 123002600881 (9)

Wykres wartości obserwowanych wymiaru fraktalnego DBC względem wartości przewidy-

wanych przedstawiono na rys. 16.

Rys. 16. Zależność między wartością obserwowaną wymiaru fraktalnego DBC a wartością

tego wymiaru określoną na podstawie modelu (9).

FL

FL

FL

FL

FL

FL

FL

FL

FL

FL

MK

MK

MK

MK

MK

MK

MK

MK

MK

MK

PK

PK

PK

PK

PK

PK

PK

PK

PK

PK

1,044 1,045 1,046 1,047 1,048 1,049 1,050 1,051 1,052 1,053

DBC=1,088 - 0,026*DK/s + 0,123*VZaczynu

1,040

1,042

1,044

1,046

1,048

1,050

1,052

1,054

1,056

Wart

. o

bserw

. D

BC

FL

FL

FL

FL

FL

FL

FL

FL

FL

FL

MK

MK

MK

MK

MK

MK

MK

MK

MK

MK

PK

PK

PK

PK

PK

PK

PK

PK

PK

PK

0,95 Prz.Ufn.


MK - metakaolinit


Podsumowanie regresji zmiennej zależnej: DBC (WytrzymaFraktogra)

R= ,81061736 R^2= ,65710050 Skoryg. R2= ,63170054


N=30

b* Bł. std.

z b*

b Bł. std.

z b

t(27) p

W. wolny

Dodatek

V zaczynu

1,008803 0,006335 159,2526 0,000000

-0,356694 0,112852 -0,025971 0,008217 -3,1607 0,003861

0,747043 0,112852 0,122518 0,018508 6,6196 0,000000


122

Otrzymane równanie regresji (9) jest wysoce istotne (R = 0,811 i p = 0,000), a uzyskane

wartości standaryzowanych współczynników regresji b* (rys. 16) świadczą o około dwa

razy większym wkładzie udziału zaczynu VZaczynu w predykcję wymiaru fraktalnego, aniżeli

udziału dodatku (DK/s). Jest to zapewne spowodowane nieznacznym w porównaniu do

zaczynu udziałem dodatku w betonie. Jednakże zwiększenie dodatku, poprzez zagęszcze-

nie struktury zaczynu cementowego, wpływa istotnie na wygładzenie linii profilowej

i mniejszy wymiar fraktalny.

Połączenie zaproponowanych modeli (8) i (9) może być z powodzeniem wykorzystane do

przewidywania odporności na pękanie betonu modyfikowanego jednym z wybranych do-

datków. Podejście takie wymaga jednak określenia błędu oszacowania wartości krytycz-

nego współczynnika naprężeń KIcS. Biorąc za podstawę wyniki rzeczywistych badań współ-

czynnika KIcS betonów modyfikowanych, określono, że średni błąd oszacowania wartości

tego współczynnika wynosi 4%, a ekstremalny -12% i +10%. Rozkład błędu oszacowania

wartości współczynnika KIcS betonów modyfikowanych przedstawiono w postaci histogra-

mu (rys. 17). W przypadku 87% wyników błąd oszacowania wartości współczynnika KIcS

mieści się w przedziale od -8% do +8% i jest zdecydowanie mniejszy aniżeli różnica wyni-

kająca z porównania wartości średniej w danym punkcie planu badań a pojedynczym wyni-

kiem KIcS. Różnica między rzeczywistym wynikiem badania a wartością średnią wyniosła

średnio 4,9%, a ekstremalnie były to wartości odpowiednio +20% i -15%.

Dodatkowym potwierdzeniem wiarygodności uzyskanych na podstawie modeli (8) i (9)

wartości krytycznego współczynnika intensywności naprężeń KIcS jest graficzne porów-

nanie wyników współczynnika KIcS otrzymanych na podstawie badań oraz obliczonych

według tych modeli (rys. 18). Na podstawie wyników analizy regresji stwierdzono wysoce

statystycznie istotną liniową zależność między wartością obserwowaną a przewidywaną

krytycznego współczynnika intensywności naprężeń KIcS (R bliskie 1, a p bliskie zero),

przy istotnym jedynie współczynniku kierunkowym równym w zaokrągleniu 1,0.


123

Rys. 17. Histogram rozkładu błędu oszacowania wartości KIcS, określonej według wzorów (8) i (9)

w porównaniu do wartości KIcS otrzymanych na podstawie badań.

Rys. 18. Wartości obserwowane KIcS względem przewidywanych, wyznaczonych

na podstawie modeli (8) i (9).

3% 3%

10%

7%

10%

17%

20%

10% 10%

3%

7%

-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14

Błąd oszacowania wartości KIcS na podstawie modeli (8) i (9)

0

1

2

3

4

5

6

7

Lic

zb

a o

bs.

3% 3%

10%

7%

10%

17%

20%

10% 10%

3%

7%

0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7

KIcS obliczone z modelu (8) i (9)

0,8

0,9

1,0

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

KIc

S w

yn

aczo

ne n

a p

od

sta

wie

bad

ań

Podsumowanie regresji zmiennej zależnej: KIcS rzecz.

R= ,99892447 R^2= ,99785009 Skoryg. R2= ,99777595

F(1,29)=13460, p<0,0000 Błąd std. estymacji: ,05984

N=30

b* Bł. std.

z b*

b Bł. std.

z b

t(29) p

KIcS rzecz. 0,99892 0,008610 0,995890 0,00858 116,02 0,0000


124

Podsumowanie

Prezentowane w artykule przykłady są dowodem na duże znaczenie zastosowania metod

i narzędzi statystycznych, zarówno w programowaniu badania, jak i na etapie analizy wyni-

ków i wnioskowania. Zmniejszają pracochłonność badań, powodując ich redukcję w sto-

sunku do często stosowanych planów kompletnych, a w konsekwencji ograniczają koniecz-

ne nakłady finansowe potrzebne na realizację badań.

Rozważane w artykule zależności mogą być wykorzystane do projektowania betonów mo-

dyfikowanych oddzielnie trzema dodatkami: pyłem krzemionkowym, popiołem fluidalnym

lub metakaolinitem, jak również mogą być wykorzystane do prowadzenia analiz symu-

lacyjnych.

Prezentowane wyniki i analizy są częścią pracy naukowej finansowanej ze środków na naukę w la-

tach 2009-2011 jako projekt badawczy nr N N507 475337 oraz ze środków Narodowego Centrum

Nauki w latach 2011-2013 jako projekt badawczy nr N N507 321140.

Literatura

1. Polański Z., Planowanie doświadczeń w technice, PWN, Warszawa, 1984.

2. Konkol J., Wprowadzenie do praktycznego planowania eksperymentu, s. 43-58, 2008,

http://www.statsoft.pl/czytelnia/artykuly/Wprowadzenie_do_praktycznego.pdf.

3. Zastosowanie popiołów lotnych z kotłów fluidalnych w betonach konstrukcyjnych.

Praca zbiorowa pod red. A.M. Brandta. Studia z zakresu inżynierii, nr 72, Warszawa 2010.

4. Glinicki M.A., Zieliński M., Rozmieszczenie porów powietrznych w betonie

z dodatkiem fluidalnego popiołu lotnego. Cement Wapno Beton, 3, 2007, 133-138.

5. Giergiczny Z., Pużak T., Popiół fluidalny a właściwości mieszanki betonowej. Dni

Betonu 2008.


125

6. Konkol J., Prokopski G., Właściwości wytrzymałościowe betonów bazaltowych

z dodatkiem Flubetu. Przegląd Budowlany, 11, 2010, 25-29.

7. Konkol J., Metakaolinit i popiół fluidalny jako alternatywne w stosunku do pyłów

krzemionkowych dodatki mineralne do betonu. Inżynieria i Budownictwo, 9, 2012,

503-507.

8. Determination of fracture parameters (KIcS and CTODc) of plain concrete using three-

point bend tests. RILEM Draft Recommendations, TC 89 - FMT Fracture Mechanics

of Concrete Test Methods, Materials and Structures, 23, 1990.

9. Prokopski G., Mechanika pękania betonów cementowych. Oficyna Wydawnicza

Politechniki Rzeszowskiej, Rzeszów, 2009.

10. Ryś J.: Stereologia materiałów, Fotobit Design, Kraków, 1995.

11. Konkol J., Prokopski G., The use of fractal geometry for the assessment of the

diversification of macro-pores in concrete. Image Anal. Stereol., 30(2), 2011, 89-100.

12. Konkol J., Wykorzystanie parametrów fraktalnych i stereologicznych do opisu odpor-

ności na pękanie betonów modyfikowanych wybranymi dodatkami typu II. Zeszyty

Naukowe Politechniki Rzeszowskiej, seria Budownictwo i Inżynieria Środowiska,

z 59, nr 3/12/III (2012) 222-232.

13. Mandelbrot B. B., Fractals. Form, chance and dimension. Freeman, San Francisco

1977.

14. Konkol J., Wykorzystanie geometrii fraktalnej do oceny materiałów budowlanych. Izo-

lacje, 7/8, 2011, 17-24.

Wykorzystanie programu Statistica do rozwiązywania ... · Dla potencjalnego indywidualnego...

Documents

Transcript of Wykorzystanie programu Statistica do rozwiązywania ... · Dla potencjalnego indywidualnego...