Wykład 24

06-01-2009 Reinhard Kulessa 1

Wykład 24

11.4 Faza i prędkość fazowa.

11.3 Fale harmoniczne

11.5 Zespolony zapis fali harmonicznej

11.6 Rodzaje fal

11.6.1 Fale płaskie

11.2 Różniczkowe równanie fali

11 Ruch falowy11.1 Fala jednowymiarowa


11 Ruch falowy11.1 Fala jednowymiarowa

Pamiętamy z mechaniki, że falą nazywamy pewne zaburzenie w ośrodku sprężystym poruszające się kierunku np. x ze stałą prędkością.

Zaburzenie to może zachodzić w kierunku równoległym do kierunku rozchodzenia, mamy wtedy do czynienia z falą podłużną, lub w kierunku prostopadłym do kierunku rozchodzenia, mówimy wtedy o fali poprzecznej.Prędkość rozchodzenia się fal zależy od gęstości i własności sprężystych ośrodka.

Ev

Dla fali podłużnej w pręcie, E jest modułem

sprężystości.


v

Dla fali poprzecznej w pręcie, jest modułem sztywności.

Długość fali

Najmniejszą odległość między drgającymi punktami znajdującymi się w tej samej fazie nazywamy długością fali.

Miejsca geometryczne punktów do których doszło zaburzenie nazywamy czołem fali.

Geometryczny kształt czoła fali określa typy fal;

Promień fali określa nam kierunek wzdłuż którego rozchodzi się zaburzenie.


jeśli jest to płaszczyzna, mamy falę płaską,

Zaburzenie będzie zależało zarówno od płożenia, jak i czasu, można go zapisać jako:

( , )f x t .

jeśli jest to sfera, mamy falę kulistą

Czoło fali

Promień fali


Dla dowolnej chwili t = const można otrzymać kształt zaburzenia. Zakładając, że mamy do czynienia z zaburzeniem nie zmieniającym kształtu wprowadzamy drugi układ współrzędnych U’ poruszający się razem z zaburzeniem z prędkością v względem układu nieruchomego U.

Zobaczmy falę rozchodzącą się na linie.


U U’

vt

’

x

x’=x-vt

Jaka w ogólnym przypadku będzie postać funkcji

W układzie ruchomym nie jest więcej funkcją czasu, a zależy tylko od położenia.

Mamy więc:( )f x .


W układzie ruchomym U’ zaburzenie dla dowolnego czasu t jest takie jak w układzie nieruchomym U dla czasu t=0, w którym początki obydwu układów znajdowały się w tym samym miejscu. Współrzędne obydwu układów związane są następująco:

x x vt tak, że występujące zaburzenie można zapisać przez współrzędne układu nieruchomego U następująco:

,

( , ) ( )x t f x vt .

Symbolicznie równanie fali możemy napisać następująco:

(11.1)( , ) ( )x t x vt .


Równaniem fali będzie również następująca funkcja3

2 2( , )

( )

ax t

a x vt

.

Nie przedstawia równania fali np. następujące wyrażenie:3

2 2 2 2( , )

ax t

a x v t

.

Najbardziej znaną postacią fal są fale sinusoidalne. Równania tych fal możemy podać np. jako:

2( , ) sin ( )

2( , ) cos ( )

x t A x vt

x t A x vt

. (11.2)


Nazwa Długość

fali

Liczba

falowa

okres Częstość Częstość

kołowa

prędkość

symbol k T v

definicja 2/ = k 1/T = 2 =

Zależności

kinematyczne = v T = v /k = v

Równoważne

Zapisy

Równania

fali

( , ) sin[2 / ( )]

( , ) sin[2 ( / / )]

( , ) sin( )

x t A x vt

x t A x t T

x t A kx t

Zależności występujące pomiędzy wielkościami charakteryzującym falę można zsumować w następującej tabelce


11.3 Różniczkowe równanie fali

Różniczkowe równanie fali wyprowadzimy w oparciu o II zasadę dynamiki Newtona zastosowaną do małego elementu drgającej struny.

x x+x

T

T

W

x

(x,t)

Poczyńmy następujące założenia:

1. Napięcie T jest stałe również w czasie gdy zaburzenie przechodzi przez rozważany element strugi,

2. Zaniedbujemy ciężar W elementu struny, czyli wymagamy, że przyczyną dynamiki

jest napięcie struny, a nie grawitacja,3. Kąt jest mały


Wielkość sił napinających jest taka sama z obu stron elementu struny, lecz przeciwnie skierowana.

T

T

x x+x

Tp(x)

Tp(x+x)

x

Wypadkowa pionowa siła napinająca strunę Tp(x+x)-Tp(x) nadaje segmentowi pionowe przyśpieszenie zgodnie z II zasada dynamiki Newtona. Jeżeli struna ma masę M i długość L, to masa struny na jednostkę długości wynosi M/L. Rozważany segment ma więc masę M/L · x.


Pionowe przyśpieszenie uzyskane przez strunę oznaczamy jako;

2

2vat

.

Drugie prawo Newtona zapisujemy w postaci:2

2( ) ( )p p

Mx T x x T x

L t

.

Zmniejszając przedział x do zera możemy napisać;

2

20

( ) ( )lim p p p p

x

T x x T x T TM

x x L t x

.

Zakładając, że kąt jest mały możemy napisać;

sinpT T T tg Tx

.


Doprowadzamy więc nasze równanie do następującej postaci; 2 2

2 2

2 2

2 2

MT

L t x

LT

t M x

.

Wyrażenie T L/M ma wymiar kwadratu prędkości.Na początku tego rozdziału podaliśmy wyrażenia na prędkości fal poprzecznych i podłużnych. T L/M możemy przekształcić do postaci:

T T L S T V

M L M S S M

,

gdzie jest naciągiem struny, a gęstością materiału struny.


Różniczkowe równanie fali ma więc postać:

2 22

2 2v

t x

. (11.3)

Jako ciekawostkę omówmy dwa przypadki fal na wodzie.

1. Głębokość h << -czyli płytka woda, wtedy

2. Głębokość h >> -czyli głęboka woda, wtedy

2

2

gv

gdzie jest napięciem powierzchniowym wody.

,

ghv


Dla prędkości fal na głębokiej wodzie istnieje minimalna prędkość. Można ją znaleźć z podanego wzoru.

2

1 2( )

2 20 2

22

gdv

d gg

.

Podstawiając równanie na długość fali do odpowiedniego wzoru na prędkość, otrzymujemy;

1

4

min

4gv

.


11.2 Fale harmoniczne

Do tej pory nadaliśmy funkcji falowej (x; t) jedynie postać funkcji sinusoidalnych. Funkcja, która będzie rozwiązaniem różniczkowego równania fali będzie miała postać:

( , ) sin ( ) ( )x t A k x vt F x vt ,

gdzie k jest stałą dodatnią.

Ustalenie położenia lub czasu prowadzi do sinusoidalnego zaburzenia . Fala jest periodyczna zarówno w przestrzeni jak i w czasie. Odległość po której powtarza się (okres) zaburzenie przestrzenne nazywamy jak już powiedzieliśmy długością fali i oznaczamy przez . Zmiana położenia o długość fali nie zmienia zaburzenia . Mamy więc:

( , ) ( , )x t x t .


W rozważanym przypadku oznacza to zmianę argumentu funkcji sinus o ±2. Mamy więc:

sin ( ) sin [( ) ] sin[ ( ) 2 ]k x vt k x vt k x vt .

Wynika stąd, że

2k ,

oraz 2k

,

gdyż zarówno k jak i są dodatnie.

W sposób analogiczny możemy zbadać periodyczność funkcji ze względu na czas, czyli wyznaczyć okres fali T. Jest to czas, w którym fala o długości przebiega obok nieruchomego obserwatora. Ponieważ chodzi nam o zależność czasową, możemy napisać:


( , ) ( , )x t x t T ,

czyli, sin ( ) sin [ ( )] sin[ ( ) 2 ]k x vt k x v t T k x vt .

Wynika stąd, że2kvT .

Wiedząc, że wszystkie powyższe wielkości są dodatnie, otrzymujemy

Tv

.

Odwrotnością okresu T jest jak wiadomo częstość ;

1

T

Dla fali definiujemy jeszcze częstość kątową i częstość przestrzenną . Przy czym,


2 1

T

Zdefiniowane wielkości charakteryzujące fale harmoniczne dotyczą również fal nieharmonicznych, jak długo przedstawiają one pewne periodyczne zaburzenia.

11.3 Faza i prędkość fazowa.

Rozpatrzmy dowolną funkcję harmoniczną:

(x, t) = A sin (kx - t)

Cały argument funkcji sinus nazywamy fazą (kątem fazowym ) , tak, że

kx t .


W tym zapisie dla kąta fazowego = 0 ( czyli dla t=0, x=0) wartość zaburzenia jest też równa zero. Tak nie zawsze musi być, dlatego wprowadza się fazę początkową tak, że ogólna postać równania przyjmuje postać:

(x, t) = A sin (kx - t + )

Faza (kąt fazowy) powyższego zaburzenia można podać w następującej postaci:

(x, t) = (kx - t + )

.

.

Faza ta jest funkcją położenia i czasu. Zmianę fazy w czasie przy stałym położeniu definiuje prędkość kątową .

.

xt


Z kolei zmiana fazy w funkcji położenia dla ustalonego czasu prowadzi do równania;

t

kx

.

W oparciu o własności pochodnych cząstkowych możemy napisać;

( / )

( / )x

t

tx

t x

Lewa strona tego równania przedstawia prędkość rozprzestrzeniania się zaburzenia dla stałej fazy. Uwzględniając poprzednie równania otrzymujemy;

xv

t k


Powyższy wzór definiuje prędkość z którą porusza się zaburzenie. Jest to tzw. prędkość fazowa.

11.4 Zespolony zapis fali harmonicznej

Falę harmoniczną możemy napisać w postaci:( )( , ) Re[ ]i t kxx t Ae ,

czyli, ( , ) cos( )x t A t kx .

11.5 Rodzaje fal

Zapoznajmy się z różnymi rodzajami fal z którymi możemy mieć do czynienia. Ze względu na kierunek rozchodzenia się zaburzenia w stosunku do kierunku rozchodzenia się fali możemy mieć fale poprzeczne i podłużne.


11.5.1 Fale płaskie

Ze względu na kształt czoła fali możemy mieć fale płaskie i kuliste.

Ze względu na charakter zaburzenia fale mogą być skalarne (np. fala dźwiękowa w powietrzu) lub wektorowe (np. fala świetlna).

Możemy mieć również fale spolaryzowane (zaburzenie zachowuje stały kierunek)

Omówmy dokładniej fale płaskie i kuliste.

Oczywistym jest, że fale rozchodzą się w przestrzeni we wszystkich trzech kierunkach. Fala płaska jest najprostszym przykładem fali trójwymiarowej. Miejsce geometrycznepunktów o tej samej fazie tworzy płaszczyznę. Płaszczyzny


Takie istnieją dla każdej fazy dając w efekcie ciąg płaszczyzn będących zwykle prostopadłych do kierunku rozchodzenia się fali. Oznaczymy kierunek rozchodzenia się fali przez wektor ko współrzędnych (kx, ky, kz). Załóżmy również, że wspomniana płaszczyzna przechodzi przez punkt o współrzędnych (x0, y0, z0).


Jeśli wektor wodzący r określa dowolny punkt w przestrzeni, to wyrażenie;

0( ) 0r r k

umieszcza wektor r – r0 na płaszczyźnie prostopadłej do wektorak, przy czym współrzędne końca wektora r – r0 ; (x, y, z) przyjmują wszystkie dozwolone wartości.

Przyjmując, że k (kx,ky, kz) otrzymujemy w oparciu o poprzednie równanie;

0 0 0( ) ( ) ( ) 0x y zk x x k y y k z z ,

lub0 0 0x y z x y zk x k y k z a const k x k y k z .

Wyrażenie k r a const


jest najprostszym równaniem płaszczyzny prostopadłej do k. Płaszczyzna ta jest zbiorem wszystkich punktów, których rzut na kierunek k jest wielkością stałą.

= 0

= - A

Możemy teraz skonstruować szereg płaszczyzn, dla których warto (r) w przestrzeni zmienia się periodycznie. Mianowicie

( ) sin( ) ( ) cos( )r A k r r A k r

lub bardziej ogólnie;

( ) ik rr Ae

.

Dla powyższych równań, dla każdej płaszczyzny ustalonej przez warunek

k r const


(r) przyjmuje wartość stałą. Dla fal harmonicznych wartości powinny powtórzyć się w przestrzeni po przesunięciu o w kierunku k. Przedstawia to ostatni rysunek.

Rysunek poprzedni przedstawia tylko niektóre z nieskończonej liczby płaszczyzn. Przestrzenną powtarzalność harmonicznego zaburzenia, możemy przedstawić następująco;

( ) ( )or r k ,

Gdzie ko jest wektorem jednostkowym w kierunku wektora falowego.

W układzie kartezjańskim płaska fala harmoniczna ma następująca postać;

( )( , , , ) x y zi k x k y k z tx y z t Ae .


lub

[ ( ) ]( , , , ) i k x y z tx y z t Ae .

Wykład 24

Documents

Transcript of Wykład 24