Wykład 18

05-12-2008 Reinhard Kulessa 1

Wykład 18

7.3 Transformacja Lorentza7.3.1 Względność równoczesności7.3.2 Transformacja Lorentza7.3.3 Dodawanie prędkości

7.2 Stałość prędkości światła- Doświadczenie Michelsona-Morley’a

7.3.4 Kontrakcja długości Lorentza - Fizgeralda7.3.5 Dylatacja czasu


7.2 Stałość prędkości światła- Doświadczenie Michelsona-Morley’a

W IX wieku teorie tłumaczące rozchodzenie się światła zakładały istnienie tzw. eteru - czyli ośrodka mającego bardzo szczególne właściwości, dużą sprężystość, przeźroczystość i przenikliwość, przenikającego wszystko i będącego również w próżni.Przy pomiarach prędkości światła trzeba by więc uwzględnić fakt, że Ziemia porusza się względem eteru. Ta prędkość względna powinna mieć wpływ na pomiary prędkości światła,o ile słuszna jest transformacja Galileusza.

Jeśli mierzylibyśmy prędkość światła w układzie poruszającym się z prędkością v względem eteru, to dla dwóch różnych kierunków tej prędkości uzyskalibyśmy dwa różne rezultaty na prędkość światła v + c, i -v+c.


Z różnicy tych dwóch wartości możemy wyznaczyć prędkość v.Szereg przeprowadzonych eksperymentów dało jako wynik wartość v = 0.Ten fakt spowodował, że Einstein w 1905 r. sformułował swoje postulaty dotyczące tzw. szczególnej teorii względności.1. Prawa natury mają tą sama postać we wszystkich układach inercjalnych,2. Prędkość światła jest stała i taka sama we wszystkich

inercjalnych układach odniesienia, niezależnie od ruchu źródła i obserwatora.

W roku 1881 Michelson chciał zbadać ruch Ziemi względem eteru przy pomocy doświadczenia, które tu przedyskutujemy. Użył on do tego bardzo czułego instrumentu optycznego – interferometru.


l0

l0

S

S

P

O

Q

Światło ze źródła Q zostaje po soczewce posłane równoległą wiązką na

półprzezroczystą płytkę P. Na płytce tej dzieli się i biegnie do luster S i S.

Po odbiciu od luster obydwa promienie docierają do lunetki F. Tam obserwuje się obraz interferencyjny w postaci równoległych prążków.


Obraz interferencyjny zależy od różnicy faz, a tym samym od różnicy t

czasu przelotu obydwu promieni cząstkowych na drodze PSP i PSP.

Przy czym PS = PS = l0 .

1. Przypuśćmy, że interferometr spoczywa w eterze. Wtedy prędkość światła jest wszędzie równa c i t = 0.2. Jeżeli interferometr porusza się z prędkością v np. w

kierunku PS, wtedy powinna wystąpić różnica czasu t .

Można to zaobserwować w następujący sposób; Rozważmy układ U, w którym spoczywa eter i układ U’ poruszający się względem eteru w którym spoczywa interferometr.

l0

l0

S

SP

O

Q

v U W układzie U prędkość światła jest c, a w układzie U’ c-v () i c+v () zgodnie z transformacją Galileusza. W układzie U’

na czas przelotu odcinka PSP otrzymujemy wartość;


0 0 02 2

2l l l ct

c v c v c v

.

Wyznaczenie prędkości po drodze PSP jest trochę trudniejsze. Rozpatrzmy ten problem w układzie U, w którym jak pamiętamy prędkość światła jest c.

l0

S

P Pvt

v

Widzimy, że;

2 2 20

2

( )2

lt

cvt

l l

,

lub


2 2 20

0

2 2

( ) ( )2 2

2

ct vtl

lt

c v

.

Całkowita różnica czasu jest równa;

0 2 2 2 2

02 2

2 2

12

2 1 1

1 1

t t t

ct l

c v c v

lt

vc vc c

.

Wiadomo, że v<<c, możemy więc obydwa składniki ostatniego równania rozwinąć w szereg. Skorzystamy z szeregów:

2

2

11

11 1 3

12 81

x xx

x xx


2 20

2 2

20

2

2 1(1 ) (1 )

2

2 1

2

l v vt

c c c

l vt

c c

Zaniedbując człony począwszy od kwadratowego, otrzymujemy;

.

Wniosek jest taki, że światło biegnące po drodze PSP potrzebuje czas dłuższy o t, niż światło biegnące po drodzePSP.Jeżeli obrócimy interferometr o 900, obydwa lustra S i S zamienią się rolami, i jeśli tak jak założyliśmy ramiona z lustrami miały jednakową długość, różnica czasów powinna wynosić -t.


Czyli oczekiwana różnica różnic czasowych dla dwóch położeń ramion powinna wynosić;

20

2

2( ) 2

l vt t

c c .

Jeżeli jako v przyjmiemy prędkość orbitalną Ziemi w ruchudookoła Słońca i założymy średnią wartość tej prędkości jako30 km/s, to możemy znaleźć wartość (t);

24 8

2

816

0 08

0

15

10 10

2 10( )( ) [ ] 0.67 10 [ ]

3 1010

( )( ) 0.67 10

v v

c c

t s l m l m

dla l m

t s s

.


Tak małą różnicę czasów przelotu można zmierzyć przy pomocy interferometru. Dla porównania okres drgań fali świetlnej wynosi;

715

8

5 101.67 10

3 10T s

c

.

Różnice czasu rzędu 1/100 tej wielkości powodują jeszcze mierzalne przesunięcie prążków interferencyjnych.

xNS

OW

NS

Linia przerywana przedstawia przewidywaną zmianę położenia,a czerwona otrzymaną w doświadczeniu. Różnice były 40 razy mniejsze niż przewidywane.

Wniosek jest taki, żenie ma względnegoRuchu Ziemi względem eteru. Czyli, że nie mawyróżnionego układuwspółrzędnych.


L (cm) Calcul. Observ. Ratio

Michelson, 1881 120 .04 .02 2

Michelson & M. 1887 1100 .40 .01 40Morley &Miller,1902-04 3220 1.13 .015 80

Illingworth, 1927 200 .07 .0004 175

Joos,1930 2100 .75 .002 375

Michelson-Morley Data Over a period of about 50 years, the Michelson-Morley experiment was

repeated with growing levels of sophistication. The overall result is a high level

of confidence that the wavelength shift is consistent with zero.

Shankland, et al., Rev. Mod. Phys. 27, 167 (1955)


7.3 Transformacja Lorentza7.3.1 Względność równoczesności

1. Prawa natury mają ta sama postać we wszystkich układach inercjalnych,2. Prędkość światła jest stała i taka sama we wszystkich

inercjalnych układach odniesienia, niezależnie od ruchu źródła i obserwatora.

Przypomnijmy sobie postulaty Einsteina

Wynik doświadczenia Michelsona, że nie ma wyróżnionego układu współrzędnych, jest zgodna z drugim postulatem Einsteina.Rozważmy następujące doświadczenie;W chwili t = 0 dwa układy U i U’ pokrywają się swoimi początkami O = O’ zachodzi błysk światła.


Układy te poruszają się z pewną prędkością w kierunku x

xv vi

.

O

O’

z’z

x’x

y’y

v

W obydwu układach prędkość światła wynosi c.Światło rozchodzi się kuliście, tak , że po czasie t pokonuje drogę ct.Mamy więc w układzie U;

2 2 2 2 2x y z c t . (7.1)

Równocześnie w układzie U’ mamy;

2 2 2 2 2x y z c t . (7.2)


O O’

z

x’

y

v

x

y’

z’

P(x,y,z) P(x’,y’,z’)

Wynika więc z tego, żedla chwili t=t’ czoło falipromienia świetlnego znajdowałoby się na dwóch różnych kulach o różnych środkach przesuniętych o odcinek OO’ = vt.

Jest to pewnego rodzaju sprzeczność, którą możemy tylko wtedy wyjaśnić, gdy zaniechamy stosowania pojęcia czasu uniwersalnego i zamiast tego przyjmiemy, że przy przejściu pomiędzy dwoma poruszającymi się prostoliniowo układami współrzędnych następuje nie tylko zależna od czasu zmiana współrzędnych, ale również zależna od położenia zmiana czasu.


B N A

B’ R A’

B N A

B’ R A’

B N A

B’ R A’

B N A

B’ R A’

1. Błyskawica uderza w pociąg w punkach A’ i B’ oraz w szyny w punktach A i B.

2. Światło z A’ osiąga ruchomego obserwatora R.

3. Światło z A i B osiąga nieruchomego obserwatora

w punkcie N.

4. Światło z B’ osiąga ruchomego obserwatora R

Rozważmy jako przykład tzw. pociąg Einsteina


Widzimy więc, że równoczesność jest względna a nie absolutna. Zależy ona od ruchu obserwatora.

Dla obserwatora N punkty A i A’ pokrywają się w tym samym czasie co punkty B i B’. Dla niego więc długość odcinka torów AB jest równa długości pociągu A’B’.

Obserwator ruchomy R widzi jednak rzeczy inaczej. Ponieważ widzi on błyskawicę z przodu pociągu wcześniej niż z tyłu, wydaje mu się, że A i A’ koincydują wcześniej niż B i B’. Przyjmuje on więc, że długość toru AB jest krótsza od długości pociągu A’B’.Obydwaj obserwatorzy nie zgadzają się więc co do oceny długości jak i czasu.


7.3.2 Transformacja Lorentza

Opierając się na postulatach Einsteina postaramy się znaleźć zależność pomiędzy wartościami położenia i czasu mierzonymi przez jednego obserwatora, z odpowiednimi wartościami mierzonymi przez drugiego obserwatora znajdującego się w ruchu względem pierwszego obserwatora.

Jeśli wybierzemy sobie dwa układy współrzędnych U i U’ z dwoma obserwatorami, to z transformacji Galileusza otrzymamy;

x

x’

U U’

v

y y’ x x vt

x x vt

. (7.3)

t’ bierze pod uwagę możliwość różnychskali czasowych.


Ponieważ może również zmieniać się długość(odległość) wprowadzamy czynnik skalujący ( niezależny od pozycji i czasu), ale mogący zależeć od prędkości v.

( )

( )

x x vt

x x vt

. (7.4)

Zgodnie z I postulatem Einsteina w obydwu równaniach powinno występować to samo , aby nie wyróżniać żadnego z układów.Wprowadziliśmy współczynnik jako matematyczną możliwość, gdy v 0, 1.

Chcemy znaleźć opierając się na II postulacie Einsteina. Jeśli w czasie pokrywania się początków układów U i U’ włączymy zegary, to pokażą one czas t i t’.


Jeśli w chwili pokrywania się układów dla (x = 0, t = 0, orazx’ = 0, t’ = 0) w początku układów zajdzie błysk światła, to ze względu na to, że światło rozchodzi się w każdym z tych układów z prędkością c, mamy;

x ct

x ct

.

Wstawiając to do równania (7.4) mamy;

( )

( )

ct c v t

ct c v t

.

Mnożąc ostatnie dwa równania przez siebie otrzymujemy;

2 2 2 2( )c c v . (7.5)

Na współczynnik otrzymujemy wyrażenie;


2

2

1

1vc

. (7.6)

Ze względu na to, że dla v = 0, x’ = x, przyjmujemy we wzorze(7.6) znak +1.

2

2

1

1vc

Transformacja położenia i czasu przyjmie postać;

2

2

2

2

1

1

x vtx

vc

x vtx

vc

y y

z z

.,

2

2

2

2

2

2

1

1

v xt

ctvcv x

tctvc

(7.8)

Wzory przedstawiają transformacje Lorentza.


7.3.3 Dodawanie prędkości

Chcąc wyrazić prędkość ciała poruszającego się w układzie ruchomym przez przez prędkość w układzie nieruchomym, nie możemy już stosować transformacji Galileusza, gdyż byłoby to sprzeczne z II postulatem Einsteina. Nowe wyrażenie na dodawanie prędkości wyprowadzimy w oparciu o transformację Lorentza (7.8). Wyprowadźmy wyrażenia dla różniczek położenia i czasu.

2

2 2

2 21 1

v dxdtdx v dt cdx dt

v vc c

(7.9)

Dzieląc te równania stronami otrzymamy szukane zależności.


Niech cząstka ma prędkość u w układzie U i u’ w układzie U’ tak jak na rysunku.

x

x’

U U’

v

y y’

ux

u’x’

Wtedyx x

dx dxu u

dt dt

, i mamy;

2

2/ 1

dxvdx dx v dt dt

dx vdt dt v c dxdt c

.

Czyli ostatecznie,

.( , , )

( , , )

x y z

x y z

u u u u

u u u u

Gdy xv v i ,

.


21

xx

x

u vu

vuc

. (7.10)

Równocześnie ze względu na zależność możemy napisać, że;

2 2

2 2

( / ) (1 / )

( / ) (1 / )

yy

x

zz

x

udy dyu

dt dt v c dx v c u

udz dzu

dt dt v c dx v c u

.

y y

z z

Po zebraniu wzorów na dodawanie prędkości razem,otrzymujemy;


2

2

2

1

(1 )

(1 )

xx

x

yy

x

zz

x

u vu

vucu

uv

uc

uu

vuc

(7.11)

(gdzie maksymalna wartość u=c, oraz v=c), otrzymujemy;

1

2

v/c0 1

u/c

2 2

2

1 /

Einstein

u

c v c

2

Galileusz

u v

c c

Porównując dodawanie dwóch jednakowych prędkości u’ = v według Galileusza i Einsteina


7.3.4 Kontrakcja długości Lorentza - Fizgeralda

Rozważmy znów układ nieruchomy U i ruchomy U’, i zmierzmy w obydwu tych układach długość odcinka.

W układzie U mamy x2 – x1 wykonujemy pomiar w chwili t1 = t2, aby móc przyjąć, że x2 – x1 oznacza długość.W układzie U’ mamy odpowiednio x’

2-x’1.

Korzystając z transformacji Lorentza, otrzymujemy;

2 12 1 2

2

2

1

1

x xx x

vc

vL L

c

. (7.12)


7.3.5 Dylatacja czasu

Umieśćmy w stałym punkcie x’0 układu ruchomego U’ zegar.

Układ ten porusza się z prędkością v w kierunku osi x’.W układzie nieruchomym U umieszczamy dwa zsynchronizowane zegary umieszczone w punktach x1 i x2.

x

x’

U U’

v

y y’

x’0

x1 x2

Gdy zegar x’o w U’ mija zegar x1 w U, rejestrujemy czasy t’

1 w układzie U’ i t1 w układzie U.Gdy zegar w U’ mija zegar x2 w U, rejestrujemy czasy t’

2 w układzie U’ it2 w układzie U.Odpowiednie przedziały czasoweWynoszą w układzie U’ t’ = t’

2 – t’1 , a w układzie U

t = t2 – t1. W oparciu o równanie (7.9) mamy;


2

2

2

2

2

/

1

1

t v c xt

vc

tt

vc

. (7.13)Ponieważ w układzie U’

zegar spoczywa, więcx’ = 0, mamy więc

Przykład: Mion jest cząstką nietrwałą, rozpadającą się w czasie 2 s, mierzonym na zegarze będącym w spoczynku względem mionu. Licząc klasycznie- mion w poruszający się z prędkością c przebywa czasie swego życia drogę ct=3·108 m/s 2·10-6 s = 600 m zanim się rozpadnie. Wiele mionów dociera jednak do Ziemi.Odpowiedzmy na pytanie, czy mion o prędkości v = 0.9999c znajdujący się na wysokości 30 km dotrze do powierzchni Ziemi.

66

2

2 10141 10

1 (0.9999)

st s

Dla nas odległość pokonana przez mion będzie równaczyli doleci.

8 63 10 / 141 10 42x m s s km

Wykład 18

Documents

Transcript of Wykład 18