1 FIZYKA – wykład 14

14.1. Eksperyment Oersteda 14.2. Indukcja elektromagnetyczna • Prawo Faraday ’a • indukcyjność 14.3. Równania Maxwella

Wykład 14.

Część IV. Elektryczność i magnetyzm

2 FIZYKA – wykład 14

14.1 Eksperyment Oersteda

Rys. Doświadczenie Oersteda.

Część IV. Elektryczność i magnetyzm.

Duński fizyk Hans Christian Oersted w 1820 roku odkrył, że istnieje związek pomiędzy zjawiskami elektrycznymi i magnetycznymi.

Oersted wykazał doświadczalnie, że wokół przewodnika, przez który płynie prąd elektryczny, istnieje pole magnetyczne.

Wniosek: Pole magnetyczne pojawia się tylko wtedy, gdy występuje ruch względny od ładunków elektrycznych. Pola elektryczne i magnetyczne są różnymi aspektami jednego pola elektromagnetycznego

Hans Christian Oersted

(1777-1851). Źródło: www.slideshare.net

3 FIZYKA – wykład 14

Rys. Laboratorium Faradaya w Royal Institution,

z „, The Life and Letters of Faraday” t. 2.

Źródło: http://skullsinthestars.com/michael-faraday

Michael Faraday (1791-1867) był jednym z najwybitniejszych

fizyków eksperymentalnych wszech czasów i odkrywcą

niektórych z najważniejszych efektów związanych z energią

elektryczną i magnetyzmem.

Oersted odkrył, że magnetyczna igła kompasu może być odchylana

przez prąd elektryczny, Faraday poszedł dalej niż którykolwiek

z jego współczesnych , doświadczalnie cementuje związek

między elektrycznością i magnetyzmem i światłem (rotacja Faradaya). W 1851 roku

opublikował wyniki swoich prób w celu wykazania, że energia elektryczna i grawitacja są związane!

Jego główne odkrycia obejmują m.in.:

zrozumienie zjawiska indukcji elektromagne-

tycznej, prawa elektrolizy Faradaya,

diamagnetyzmu, czy zrozumienie działania

klatki Faradaya .

Związek między polami elektrycznymi i magnetycznymi.

Michael Faraday Źródło: http://en.wikipedia.org

14.2. Indukcja elektromagnetyczna

4 FIZYKA – wykład 14

Kiedy magnes zatrzymamy, igła galwanometru powraca do pozycji zerowej. Teraz, gdy magnes jest

wysuwany ze zwoju, istnieją wychylenia igły, lecz w przeciwnym kierunku. Gdy magnes będzie

nieruchomy , w odniesieniu do cewki, igła galwanometru powraca do położenia zerowego. Zjawisko

przebiega podobnie, gdy magnes jest unieruchomiony, a cewka jest przesuwana w kierunku

magnesu. W czasie ruchu magnesu (rys.) w kierunku zwojów wskazówka amperomierza wychyla

się pokazując, że w obwodzie został wytworzony prąd, nazywany go prądem indukcyjnym.

I. Doświadczenie Faraday’a z cewką i magnesem . Cewkę łączymy z galwanometrem (miliamperomierz). Magnes jest w spoczynku, więc nie ma

wychylenia igły w galwanometrze (jest w tzw. pozycji zerowej). Gdy magnes jest przesuwany

w kierunku cewki igła galwanometru wychyla się w jednym kierunku (rys.).

M. Faraday stwierdził, że zmienne w czasie pole magnetyczne powoduje przepływ prądu

elektrycznego w przewodniku. Zjawisko to nazywa sie indukcją elektromagnetyczną a

powstający wówczas prąd — prądem indukcyjnym.

Rys. Indukcja własna .

Prawo Faraday’a - prawo indukcji elektromagnetycznej (w 1831r).

Indukcja elektromagnetyczna

5 FIZYKA – wykład 14

II. Doświadczenie z cewkami.

Podobne zjawiska zachodzą, gdy magnes zastąpimy obwodem z prądem.

Faraday dokonał odkrycia indukcji elektromagnetycznej, która jest wytwarzania różnicą potencjału

elektrycznego przewodnika (cewki) przez zmianę pola magnetycznego w pobliżu niego.

Dwie cewki ( Faraday umieścił je na drewnianym rdzeniu), umieszczamy blisko siebie.

Przy nie zmieniającym się natężeniu prądu w pierwszym obwodzie (A), w drugim obwodzie (B)

galwanometr nie wykazał prądu. W czasie włączania i wyłączania wyłącznika (W), wskazówka

galwanometru odchylała się nieco, a następnie szybko wracała do położenia równowagi.

Chwilowe wychylenia wskazówki są spowodowane krótkotrwałym przepływem prądu w cewce B,

który jest indukowany z powodu zmianami pola magnetycznego cewki A.

Zmiany pola magnetycznego występują, gdy akumulator jest podłączony lub odłączony.

A

B

W

Rys.1a. Schemat doświadczenia Faradaya Rys. 1b.Powstanie prądu indukcyjnego I2 w czasie

ruchu cewki z prądem I1.

Indukcja elektromagnetyczna

6 FIZYKA – wykład 14

Gdzie: - wielkość indukowanej SEM, N - liczba zwojów cewki ,

- szybkość zmian strumienia pola magnetycznego.

Znak „−” w tym wzorze związany jest z kierunkiem siły elektromotorycznej uwzględniając

regułę Lenza .

(14.1)

2. Jeżeli prąd przepływający przez uzwojenie cewki zmienia się, to zgodnie z

PRAWEM INDUKCJI FARADAYA zmiana strumienia pola magnetycznego ,

czyli w uzwojeniu cewki indukuje się siła elektromotoryczna indukcji (SEM, ) : B

dt

dN B

SEM

SEM

SEM

dt

d B

Wnioski:

1. Indukowany prąd w obwodzie B jest skutkiem pojawienia się

siły elektromotorycznej (SEM), która jest różnicą potencjałów obecnych w cewce B.

Przy zbliżaniu i oddalaniu, prądy indukowane w cewce B mają kierunki przeciwne.

3. W obu przypadkach prądy indukowane płyną jedynie w czasie ruchu względnego

obwodów lub magnesu i obwodu.

W czasie spoczynku prąd indukowany przestaje istnieć.

Prawo Faradaya

7 FIZYKA – wykład 14

Elektryczność i magnetyzm.

Wyjaśnienie prawa Faradaya.

Odbiegniemy nieco od historycznego toku wydarzeń. Wykażemy, że w zamkniętym przewodzącym

konturze dowolnego kształtu poruszającym się w polu magnetycznym powstaje SEM.

Zakładamy, że obwód znajduje się w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B,

skierowanym prostopadle do płaszczyzny obwodu i do wektora prędkości v jego

ruchomego odcinka (rys. ) o długości l poruszającym sie z prędkością v .

Na ładunek q (elektrony), znajdujący się w

niewielkiej części tego przewodzącego odcinka

działa wówczas siła Lorentza, pochodząca od

pola magnetycznego :

)( BeFm

Pod działaniem siły Lorentza elektrony przemieszczają się wzdłuż przewodnika,

w związku z czym ulega naruszeniu równomierność ich rozkładu w objętości

przewodnika. Między końcami odcinka powstaje różnica potencjałów ,

a wewnątrz niego pole elektryczne:

lE

(14.3)

(14.2)

8 FIZYKA – wykład 14

gdzie: - określa pole powierzchni zakreślanej przez przewodnik podczas jego ruchu

w czasie ;

- określa strumień magnetyczny przez pole powierzchni .

Wyjaśnienie prawa Faradaya.

Siła Fe, z jaką działa pole elektryczne na elektrony odcinka

przewodnika ma wartość:

i jest skierowana przeciwnie niż siła Lorentza.

W stanie równowagi siły te równowagą się, a zatem:

EeFe

evBeE

Skąd, z uwzględnieniem (1.2), otrzymujemy:

dt

d

dt

dSB

dt

dxBllB m

dSldx dt

mdBdS dS

(14.4)

(14.5)

(14.6)

9 FIZYKA – wykład 14

Zgodnie z prawem Ohma dla odcinka :

W przypadku gdy , różnica potencjałów równa się ze znakiem minus sile

elektromotorycznej działającej na ruchomym odcinku przewodnika:

21/)( RI

0I

Ponieważ na tym odcinku nie występują źródła prądu, można przyjąć, że siła

elektromotoryczna występująca we wzorze (14.8) to jest siła elektromotoryczna (SEM)

Indukcji . .

Zatem, ze wzorów (14.6) i (14.8) otrzymujemy:

SEM

(14.8)

dt

d mSEM

Prawo Faradaya- prawo indukcji

elektromagnetycznej.

(14.9)

Siła elektromotoryczna nie jest siłą w dosłownym tego słowa znaczeniu. Mierzona jest w

voltach (J/C), a więc przedstawia energię przypadającą na jednostkowy ładunek,

dostarczoną elektronowi przewodnictwa przy obejściu obwodu.

(14.7)

Indukcja elektromagnetyczna

10 FIZYKA – wykład 14

Prawo indukcji Faradaya c.d.

14.2.1. Prawo indukcji Faradaya – wyprowadzenie z zasady zachowania energii.

Niemiecki fizyk H. Helmholtz zauważył, że prawo indukcji Faradaya można wyprowadzić

z zasady zachowania energii.

Podamy takie wyprowadzenie w przypadku rozważanego poprzednio obwodu. Na

ruchomy odcinek obwodu działa ze strony pola magnetycznego siła FB (rys. 2), której wartość

wynosi:

(14.10)

Przy założeniu, ze ruch odcinka przewodnika jest jednostajny, siła ta musi być zrównoważona

przez zewnętrzną siłę F:

Siła ta, przy przesuwaniu ruchomego odcinka obwodu, dostarcza do obwodu moc:

(14.11)

(14.12)

Występujący w tym wzorze czynnik lBv jest równy, zgodnie ze wzorem (15.8),szybkości zmian

strumienia indukcji pola magnetycznego. Wobec tego moc: (14.13)

11 FIZYKA – wykład 14

Prawo indukcji Faradaya c.d.

Zgodnie z zasada zachowania energii, identyczna moc musi być rozpraszana na

oporze R w rozpatrywanym obwodzie (rys.2.). Moc wydzieloną w obwodzie można wyrazić

innym wzorem (P = UI) , (zastępując w nim napięcie U przez siłę elektromotoryczna E),

mamy wiec:

Porównując ostatnie dwa wzory, otrzymujemy:

prawo indukcji Faradaya .

(14.14)

Przytoczony przykład wskazuje, że w przypadku, gdy zamknięty obwód lub jego odcinek porusza sie w polu

magnetycznym, indukowanie sie w nim prądu można wyjaśnić oddziaływanie pola magnetycznego na ładunki w

przewodnikach, tworzących ten obwód. Wyjaśnienie to nie jest jednak uniwersalne. Nie można go zastosować do przypadku

zjawiska indukcji elektromagnetycznej w nieruchomych obwodach zamkniętych, znajdujących sie w zmiennym polu

magnetycznym (por. rys. 1). Istotnie, pole magnetyczne nie oddziałuje na nieruchome ładunki i nie może wprawiać ich w

ruch. W celu zinterpretowania zjawiska indukcji elektromagnetycznej w nieruchomych obwodach należy przyjąć, że zmienne

w czasie pole magnetyczne wywołuje powstanie wirowego pola elektrycznego, które powoduje przepływ prądu

elektrycznego w zamkniętym obwodzie. Wspomniane pole elektryczne istnieje w przestrzeni zawsze, a zamknięty obwód

pozwala jedynie stwierdzić jego obecność.

Uwaga:

(14.15)

12 FIZYKA – wykład 14

Prawo Faradaya c.d.

14.2.2. Prawo indukcji Faradaya w postaci całkowej.

Cyrkulacja, krążenie pola elektrycznego definiujemy

w sposób następujący :

dlldEEldE

B

A

B

A

),cos(

Prawo Faradaya mówi, że cyrkulacja pola elektrycznego

wywołana jest zmianą pola magnetycznego:

dt

dldE B

Po podstawieniu definicji strumienia pola magnetycznego otrzymamy następującą postać

prawa Faradaya:

SC

SdBdt

dldE

gdzie kontur C obejmuje powierzchnię S.

(14.16)

(14.17)

(14.18)

13 FIZYKA – wykład 14

Postać różniczkowa prawa Faradaya

14.2.3.Postać różniczkowa prawa Faradaya :

t

BErot

14.2.4. Reguła Lenza (sformułowana w 1834r.)

Rys. Reguła Lentza

Prawo Faradaya brzmi:

Zmienne pole magnetyczne wytwarza wirowe pole elektryczne, które może

wywoływać prąd elektryczny .

Każda zmiana indukcji magnetycznej B w danym obszarze

pociąga za sobą powstawanie otaczającego go wirowego

pola elektrycznego E, które ze swej strony (jeśli to jest

możliwe) wzbudza prąd elektryczny przeciwstawny tejże

zmianie.

(14.19)

Znak minus występujący we wzorze

dotyczy kierunku indukowanej SEM,

opisuje ją reguła Lenza.

14 FIZYKA – wykład 14

Indukcja wzajemna i samoindukcja

14.2.5. Zjawiska indukcji wzajemnej i samoindukcji

14.2.5.1. Indukcja wzajemna

Jedno z doświadczeń Faradaya dotyczyło sytuacji, gdy pole magnetyczne, wytworzone przez

przepływ prądu o zmiennym natężeniu w pierwszym obwodzie, indukowało przepływ pradu w

drugim obwodzie, umieszczonym w poblizu pierwszego (rys.). Ponieważ indukcja B1 pola

magnetycznego,

(14.20)

(14.21)

15 FIZYKA – wykład 14

Zachodzi wiec zależność: (14.22)

(14.24)

(14.25)

(14.23)

Indukcja wzajemna i samoindukcja

16 FIZYKA – wykład 14

Indukcja wzajemna i samoindukcja

14.2.5.2 . Indukcja własna (samoindukcja).

tyczne B oraz strumień tego pola, obejmowany przez obwód (rys. poniżej).

(14.26)

17 FIZYKA – wykład 14

(14.28)

dt

dILSEM

dt

d BSEM

Uwzględniając w równaniu (14.27 )zależność ( 14.26), otrzymujemy:

(14.27)

Indukcja wzajemna i samoindukcja

18 FIZYKA – wykład 14

Przykład. Wyznaczyć indukcyjność własną długiego solenoidu o liczbie zwojów N, długości l i

powierzchni przekroju poprzecznego S, wypełnionego materiałem o względnej

przenikalności magnetycznej μ. Zał. Przez solenoid płynie prąd o natężeniu I.

Indukcja solenoidu

Indukcja pola magnetycznego wewnątrz solenoidu

wyraża się wzorem:

Po uwzględnieniu poprzedniego wzoru:

Porównując ten wzór ze wzorem (14.26) otrzymujemy

następujące wyrażenie dla indukcyjności

długiego solenoidu:

(14.29)

(14.30)

(14.31)

(14.32)

19 FIZYKA – wykład 14

Równania Maxwella

14.3. Równania Maxwella

Prawo Faradaya jest niezwykle ważne ze względu na zastosowania.

Można powiedzieć, że przemył energetyczny, elektromaszynowy oparty jest na

zastosowaniach prawa Faradaya. Dzięki temu prawu mamy silniki elektryczne,

generatory prądu, transformatory i wiele innych.

Omówione wcześniej prawa rządzące zjawiskami elektro- magnetycznymi zostały połączone w całość przez J. C. Maxwella jako układ czterech równań opisujący ogół zjawisk elektromagnetycznych.

20 FIZYKA – wykład 14

І

Równania Maxwella

(14.33)

21 FIZYKA – wykład 14

ІІ

Równania Maxwella

(14.34)

22 FIZYKA – wykład 14

ІІІ

Równania Maxwella

(14.35)

23 FIZYKA – wykład 14

ІV

Równania Maxwella

(14.36)

24 FIZYKA – wykład 14

Tabela 1. Równania Maxwella.

Równania Maxwella

25 FIZYKA – wykład 14

Tabela 2. Oznaczenia użyte w równaniach Maxwella.

Równania Maxwella

26 FIZYKA – wykład 14

Oznaczenia użyte w równaniach Maxwella cd.

27 FIZYKA – wykład 14

(14.37)

14.4.1. Konsekwencje równań Maxwella.

14.4.2. Zasada zachowania ładunku

Równania Maxwella

28 FIZYKA – wykład 14

(14.38)

(14.39)

14.4.3. Pole elektromagnetyczne w próżni

Równania Maxwella

29 FIZYKA – wykład 14

(14.41)

(14.40a)

(14.40b)

(14.34) i (14.35)

Rozwiązaniem równań (14.40) jest zmienne pole elektryczne i magnetyczne

o równaniach, odpowiednio:

Równania Maxwella

30 FIZYKA – wykład 14

Oczywiście rozpatrujemy fale jednowymiarową, i rozwiązania (14.36) słuszne są dla

fali jednowymiarowej.

Zgodnie z równaniami Maxwella iloraz amplitud pola magnetycznego i elektrycznego

jest związana zależnością:

c

B

E

0

0

gdzie c – prędkość światła.

Przykład fali elektromagnetycznej

( patrz rys.).

Pole magnetyczne jest

prostopadłe do pola elektrycznego,

zaś iloczyn wektorowy E x B

wyznacza kierunek propagacji

fali elektromagnetycznej.

Rys. Fala elektromagnetyczna

(14.42)

Równania Maxwella

31 FIZYKA – wykład 14

Dziękuję za uwagę !