Wykład 13

04-11-19 Reinhard Kulessa 1

Wykład 13

4.4.3 Ruch rakiety

5 Ruch obrotowy5.1 Zachowanie momentu pędu dla ruchu obrotowego

punktu materialnego

4.4.4 Wyznaczanie środka masy

5.3 Zachowanie momentu pędu przy działaniu siły centralnej

5.2 Zachowanie momentu pędu dla układu punktów materialnych.

4.4.2 Zderzenia w układzie środka masy


4.4.2 Zderzenia w układzie środka masy

Omówmy przypadek zderzenia ciała o masie m1 i prędkości v1 ze spoczywającą w układzie laboratoryjnym cząstką o masie m2 . Ponieważ v2 = 0, w oparciu o r. (4.30) otrzymujemy,

1 1

1 2S

m vv

m m

.


p2Si

p2Sf

p1Si

p1Sf

Układ laboratoryjny Układ środka masy

Jeśli w układzie środka masy zaznaczymy prędkości analogiczniejak pędy na prawym rysunku, to w oparciu o definicję pędu wukładzie środka masy możemy napisać;

1 1 2 2

1 1 2 2

Si Si

Sf Sf

m v m v

m v m v

.

m2

m1m2

SL

m1

v1i

v2Sf

v1Sfv1f

v2f

vS


2 22 21 11 1 1 1

2 2

1 1

( ) ( )Si Sf

Si Sf

m mv m v m

m m

v v

Dla zderzenia elastycznego zachowana jest również energia kinetyczna. Dla układy środka masy możemy ją napisać następująco:

2 22 21 1 2 21 1 2 2

2 2 2 2Sf SfSi Si

m v m vm v m v .

Z zasady zachowania pędu w układzie środka masy S podanej na poprzedniej stronie, mamy

1 12 1 2 1

2 2Si Si Sf Sf

m mv v v v

m m

.

Wstawiając to do poprzedniego równania otrzymujemy:


W oparciu o rysunek na stronie 3 możemy znaleźć związek pomiędzy prędkościami w układzie laboratoryjnym i w układzie środka masy.

1 1f S Sfv v v

.

vS

v1f

v1Sf

L

S

vS

v1f

v1Sf

SL

A B C

D

W oparciu o prawy rysunek możemy napisać;

1

1

sin

cosSf S

LSf S S

vCDtg

AB BC v v

.


1 1

sin sin

cos cos

S SL

S SS S

Sf Si

tgv v

v v

Z zasady zachowania pędu (r. (4.31) ) możemy napisać:

1 1 2 2 1 1

1 2 1 2

i i iS

m v m v m vv

m m m m

, bo v2i = 0.

Z transformacji prędkości pomiędzy układem L i S, mamy,

1 1i Si Sv v v

.

Możemy więc napisać:

1 1 11 1

1 2 2 1 2

( ) SS Si S S Si

Si

vm m mv v v v v

m m m v m

1

1

N

i iS i

S NS

ii

mvdr P

vdt Mm


Na zależność pomiędzy kątami rozproszenia w układzie laboratoryjnym L i w układzie środka masy S otrzymujemy:

1

2

sin

cos

SL

S

tgm

m

. (4.41)

W przypadku zderzenia dwóch równych mas, mamy m1 = m2, czyli

( / 2) 2L S S Ltg tg .


4.4.3 Ruch rakiety

Rozważmy następujący układ.

m m-dm dmdv v0

Rozważmy problem ruchu rakiety w układzie środka masy. Jest on umiejscowiony w rakiecie tak długo jak masa wyrzucanych gazów dm jest mała w stosunku do chwilowej masy rakiety. W układzie tym całkowity pęd jest stały przed i po wyrzucie gazów i jest równy zero.

0

0

0 ( )

( )

m dm dv dmv

mdv dmdv dmv

Zaniedbując dm·dv mamy:

0

dmdv v

m

.

.


0 ln

f f

i i

v m

v m

if i

f

dmdv v

m

mv v v

m

Prędkość rakiety zależy od prędkości wylotu gazów i stosunku mas rakiety z paliwem do masy pustej rakiety,

4.4.4 Wyznaczanie środka masy

W jaki sposób możemy wyznaczyć środek masy ciała?

Rozważmy następującą sytuację.


x

rS

ri

dmig

Względem punktu zawieszenia działa moment siły;

1 1

( ) ( )N N

i i i ii i

M r dm g g r dm

.

Pamiętamy w oparciu o r. (4.30) że,

1 1

N N

i i S ii i

r dm r dm

Otrzymujemy więc, że,

.

1

( )N

S ii

M g r dm

.

Widzimy, że równowagę uzyskamy tylko wtedy, gdy środek masy czy ciężkości leży poniżej punktu zaczepienia, rS || g, (lub ogólnie, gdy suma momentów sił działających na dane ciało jest równa zero)Powtarzając tą czynność dwa razy , możemy wyznaczyć rS .

1

N

i ii

Si

i

m rr

m


5 Ruch obrotowy5.1 Zachowanie momentu pędu dla ruchu obrotowego punktu materialnego

Rozpatrzmy następujący układ.

rF

Równanie ruchu punktu materialnego można napisać jako: dv

F mdt

.

Pomnóżmy to równanie wektorowo z lewej strony przez r.

dvr F m r

dt

.

Równanie to możemy zapisać inaczej korzystając z zależności;


Z kolei nazywamy momentem pędu lub krętem.

( )d dr dv dvr v v r r

dt dt dt dt

.

Mamy więc;( )

dr F mr v

dt

,

lub krócej, dLM

dt

. (5.1)

M r F

( ) ( )L m r v r p

Wyrażenie nazywamy momentem siły lub momentem obrotowym.


5.2 Zachowanie momentu pędu dla układu punktów materialnych.

W poprzednim rozdziale równanie (4.32) opisywało ruch środka masy. Jego ruch zależał tylko od sumy sił zewnętrznych. Gdy ich nie ma, środek masy porusza się ruchem jednostajnym po linii prostej lub spoczywa.

2

21

NzS

S ii

d r dpM F

dt dt

.

Widzimy więc, że środek masy nie bierze udziału w ruchu obrotowym ciała. Możemy więc wysnuć wniosek, że przy braku sił zewnętrznych obrót ciała może zachodzić tylko wokół osi, które przechodzą przez środek masy ciała.

2

21

NzS

S ii

d r dPM F

dt dt


S

Fz

Fz

Zastanówmy się jak zasadę zachowania momentu pędu możemy uogólnić dla układu wielu mas. Przeprowadźmy w tym celu następujące rozumowanie.


Siły zewnętrzne pochodzą od mas i ładunków z poza naszego układu.

F21

F32

F13F31

F23F12

S

F1z

F3z

F2z

r1 r3

r2

1

3

2

Drugie prawo Newtona dla jednego ciała możemy napisać jako:


1 11 12 13 1

( )z d m vF F F F

dt

.

Równanie to pomnożymy z lewej strony wektorowo przez wektor r1. Następnie robimy to samo dla pozostałych dwóch mas i dodajemy do siebie.

1 12 1 13 1 1 1 1 1

2 21 2 23 2 2 2 2 2

3 31 3 32 3 3 3 3 3

( ) ( ) ( ) ( ( ))

( ) ( ) ( ) ( ( ))

( ) ( ) ( ) ( ( ))

z

z

z

dr F r F r F m r v

dtd

r F r F r F m r vdtd

r F r F r F m r vdt

.

Pamiętając o zasadzie akcji i reakcji, czyli np.12 21F F

otrzymamy,


3

12 1 2 23 2 3 31 3 11

3

1

( ) ( ) ( ) [ ]

( )

zi i

i

i i ii

F r r F r r F r r r F

dm r v

dt

Wiemy, że , i.t.d.. Wobec tego znikają pierwsze trzy człony po lewej stronie. Mamy więc;

12 1 2( )F r r

3 3

1 1

[ ] ( )zi i i i i

i i

dr F m r v

dt

. (5.2)

Możemy to równanie zapisać inaczej jako;

z dLM

dt

. (5.3)


Całkowity moment pędu układu zamkniętego może zostać zmieniony tylko przez działający zewnętrzny moment siły. kiedy Mz = 0,

L const

(5.4)

5.3 Zachowanie momentu pędu przy działaniu siły centralnej

.

Zarówno moment siły M jaki i moment pędu L zależą od r. Zależą więc od wyboru układu współrzędnych. Szczególnie warto zauważyć, że w przypadku gdy siła jest siłą centralną, moment siły jest równy zero.

W przypadku ruchu planety wokół Słońca, siła grawitacji leży zawsze wzdłuż promienia i z tego powodu zawsze jest spełniona zależność:


0M r F .

Taka sama sytuacja zachodzi przy rozpraszaniu cząstki na ciężkim jądrze atomowym.

Fr

Jeśli w czasie ruchu ciała nie działa moment siły, to z równania (5.1) wynika, że

0dL

dt

( )L t const

(5.5).


Równanie (5.5) przedstawia sobą trzecie ważne prawo zachowania – prawo zachowania momentu pędu.W dalszej części wykładu pokażemy jak z prawa zachowania krętu można wyciągnąć szczegółowe informacje dotyczące toru ruchu planet czy cząstki .

Wykład 13

Documents

Transcript of Wykład 13