1

Wybrane zastosowania programowania liniowego

Katarzyna KujawskaStudium Nauczania Matematyki PG

Katarzyna.Kujawska@pg.gda.pl

2

Plan wystąpienia

1. Czym jest programowanie liniowe?2. Podstawowe pojęcia i definicje3. Przykłady zastosowania modelu pierwotnego4. Zagadnienie dualne5. Wytęskniony koniec...

3

Sytuacja decyzyjna...

Stajemy wówczas przed dylematem: co jest dla nas lepsze, co jest bardziej opłacalne?

W wielu sytuacjach życia codziennego jesteśmy zmuszeni do podejmowania decyzji

Sytuacje takie nazywamy sytuacjami decyzyjnymi, a osobę podejmującą decyzję nazywamy decydentemWarunki, w jakich działa decydent nie pozwalają na wybór dowolnej decyzji, gdyż każdy decydent podlega pewnym ograniczeniomTaką decyzję, która jest zgodna z warunkami ograniczającymi nazywamy decyzją dopuszczalną Jednak...

4

Decyzja optymalna, kryterium wyboru...

Nie każda decyzja dopuszczalna jest jednakowo dobra dla decydentaW zależności od powziętych celów, jedne sytuacje mogą być lepsze, inne gorszeW taki sposób pojawia się problem wyboru decyzji najlepszej, zwanej decyzją optymalnąWybór decyzji optymalnej wymaga przyjęcia określonego kryterium, wg którego możliwa jest ocena decyzji jako lepszych lub gorszych

Takie kryterium umożliwiające ocenę decyzji w kategorii lepsza/gorsza nazywamy kryterium wyboru

5

Problem decyzyjny, model decyzyjny...

Opis określonej sytuacji decyzyjnej nazywamy problemem decyzyjnym

Nasze zainteresowanie ograniczymy do sytuacji, w których warunki ograniczające, kryterium wyboru i decyzje można opisać językiem matematyki

Powiemy wówczas, że formułujemy matematyczny model problemu decyzyjnego

W matematycznym modelu problemu decyzyjnego warunki ograniczające opisywane są za pomocą układów równań lub układów nierówności

6

Warunek brzegowy, funkcja celu...

W układach tych występować będą wielkości dane, zwane parametrami modelu, oraz zmienne, zwane zmiennymi decyzyjnymiOprócz warunków ograniczających występować mogą warunki dotyczące znaku zmiennych (np. nieujemności) lub typu zmiennych (np. całkowitoliczbowości), te dodatkowe warunki (mnogie) określamy pojedynczym sformułowaniem warunek brzegowy W modelu rolę kryterium wyboru pełni pewna funkcja zmiennych decyzyjnych, mierząca cel, jaki chce osiągnąć decydentFunkcję tę nazywamy funkcją celu

7

Liniowy model decyzyjny...

Opisanie sytuacji decyzyjnej językiem matematyki ma na celu sprowadzenie problemu wyboru najlepszej decyzji do rozwiązania pewnego zagadnienia

W tym celu należy:• zdefiniować zmienne decyzyjne (oraz co niebagatelne, ustalić sposób ich notacji)• określić wielkości dane, czyli określić parametry modelu• zidentyfikować warunki ograniczające• określić cel decydenta i zapisać go w postaci funkcji celu

8

Liniowy model decyzyjny...

Jeżeli dla danej sytuacji decyzyjnej warunki ograniczające i funkcja celu mogą przyjąć postać funkcji liniowych, to mówimy, że wyboru najlepszej decyzji dokonamy poprzez rozwiązanie zagadnienia programowania liniowego lub inaczej, że sytuacja decyzyjna może zostać opisana (przybliżona, uproszczona) liniowym modelem decyzyjnym

9

Postać standardowa liniowego modelu decyzyjnego... (maksymalizacja funkcji celu)

0...00

...

...

...

21

2211

22222121

11212111

n

mnmnmm

nn

nn

xxx

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

max...)( 2211 nnxcxcxcXZ

10

Postać standardowa liniowego modelu decyzyjnego... (minimalizacja funkcji celu)

0...00

...

...

...

21

2211

22222121

11212111

n

mnmnmm

nn

nn

xxx

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

min...)( 2211 nnxcxcxcXZ

11

Przykład zastosowania liniowego modelu decyzyjnego

Przedsiębiorstwo produkuje dwa rodzaje wyrobów A i BW procesie produkcji wykorzystywane są trzy środki produkcji S1, S2, S3 dane w ograniczonych ilościach 2000, 4200, 1200 jednostek odpowiednioDo wytworzenia jednego wyrobu A należy zużyć 4, 6 i 3 jednostki środków produkcji S1,S2,S3

Do wytworzenia jednego wyrobu B zużywa się 2 i 6 jednostek środków S1 i S2

Jednostkowe zyski ze sprzedaży wyrobów A i B wynoszą odpowiednio 70 i 50 jednostek pieniężnychZapisać i rozwiązać odpowiedni model decyzyjny (czyli ustalić optymalną strukturę produkcji maksymalizującą zysk)

12

Przykład zastosowania liniowego modelu decyzyjnego

00

120003

420066

200024

21

21

21

21

xx

xx

xx

xx

max5070)( 21 xxXZ

13

00

120003

420066

200024

21

21

21

21

xx

xx

xx

xx

Przykład zastosowania...

max5070)( 21 xxXZ

1x

2x 200024 21 xx1000

500

700

700

420066 21 xx

120003 21 xx

400

1P

2P

3P

4P

5P

)0,0(1P

0050070)( 1 PZ

)700,0(2P

3500070050070)( 2 PZ

)400,300(3P)200,400(4P )0,400(5P

410004005030070)( 3 PZ380002005040070)( 4 PZ

2800005040070)( 5 PZ

14

Twierdzenia...

Twierdzenie1Zbiór wszystkich rozwiązań dopuszczalnych niesprzecznego liniowego modelu decyzyjnego zadanego skończoną liczbą warunków ograniczających jest zbiorem wielościennym wypukłym

Twierdzenie2Funkcja celu przyjmuje wartość optymalną w punkcie wierzchołkowym zbioru określonego w Twierdzeniu 1

15

Przykład zastosowania liniowego modelu decyzyjnego

Załóżmy, że dieta składa się z trzech składników odżywczych: białka, tłuszczu i węglowodanówW celu dostarczenia organizmowi tych składników kupujemy dwa produkty: chleb i mięsoW j.w. chleba są 2 j. białka, 1 j. tłuszczu i 4 j. węglowodanów, a dla mięsa odpowiednio 3, 5 i 1Minimalne dzienne ilości białka, tłuszczu i węglowodanów, jakie powinien otrzymać organizm wynoszą 6, 5 i 4j odpCena j.w. chleba wynosi 1, a mięsa 2Jakie ilości chleba i mięsa należy kupować dziennie, by koszt diety był najniższy?

16

Przykład zastosowania liniowego modelu decyzyjnego

Przedsiębiorstwo wytwarza wyroby: A, B, C, D, które są obrabiane na dwóch rodzajach maszyn: M1 i M2

Jednostkowe czasy pracy maszyn przypadające na obróbkę poszczególnych wyrobów zawarte są w tabeliZyski jednostkowe z produkcji wyrobów A,B,C,D wynoszą odpowiednio: 2; 2,5; 4; 1,5 (PLN)Maszyna M1 może pracować tygodniowo nie więcej niż 100 godzin, maszyna M2 nie więcej niż 50 godzin

Ustalić optymalny asortyment produkcji umożliwiający maksymalizację zysku

17

Przykład zastosowania liniowego modelu decyzyjnego

Jednostkowy czaspracy maszyn [h]

Wyroby

A B C D

M1 1,0 1,5 2,0 1,0

M2 2,0 2,5 3,0 0,5

18

Przykład zastosowania liniowego modelu decyzyjnegoZagadnienie dualne

1. W ZD liczba zmiennych objaśniających jest równa liczbie nierówności ZP

n

jjj

j

n

jijij

xc

x

mibxa

1

1

max

0

,...,1

m

iii

i

m

ijiij

yb

y

njcya

1

1

min

0

,...,1

2. W ZD liczba warunków ograniczających jest równa liczbie zmiennych decyzyjnych w ZP3. Parametry funkcji celu w ZP są wyrazami wolnymi w ZD4. Wyrazy wolne ZP są parametrami funkcji celu ZD5. Macierz współczynników ZD jest transpozycją macierzy współczynników ZP

6. Jeżeli ZP jest na max, to ZD jest na min, i odwrotnie

19

Szczęśliwy koniec

Dziękuję za uwagę