Wytrzymałość Materiałów – utrata stateczności, wyboczenie sprężyste i niesprężyste

WYBOCZENIE SPRĘŻYSTE I NIESPRĘŻYSTE

UTRATA STATECZNOŚCI PRĘTA

dr inż. J.Malesza wykład 6

Wytrzymałość Materiałów – utrata stateczności, wyboczenie sprężyste i niesprężyste

ZADANIE 1

Wyznaczyć siły krytyczne dla ściskanych osiowo prętów stalowych o długości L=1m, wymiarach

przekroju poprzecznego 30x60mm, podpartych jak na rysunkach.

Przyjąć: fH=200MPa , fe=215MPa , fc=195MPa , E=205GPa

Jz=30⋅603

12=540000mm4 , Jy=

60⋅303

12=135000mm4= Jmin

A=30⋅60=1800mm2

imin=√ Jmin

A=√ 135000

1800=8,66mm , imax=√ Jmax

A=√ 540000

1800=17,32 mm

Smukłość graniczna:

λgr=π⋅√ EfH

=π⋅√205000200

=100,6

dr inż. J.Malesza wykład 6

Wytrzymałość Materiałów – utrata stateczności, wyboczenie sprężyste i niesprężyste

Schemat 1

Smukłość pręta:

λ=L w

imin

=2⋅1000

8,66=230,946>λgr=100,6

Obowiązuje wzór Eulera:

Pkr=π

2⋅E⋅Jmin

Lw2 =

π⋅205000⋅13500020002 =68,285kN

dr inż. J.Malesza wykład 6

Wytrzymałość Materiałów – utrata stateczności, wyboczenie sprężyste i niesprężyste

Schemat 2

Smukłość pręta:

λ=L w

imin

=10008,66

=115,5> λgr=100,6

Obowiązuje wzór Eulera:

Pkr=π

2⋅E⋅Jmin

Lw2 =

π⋅205000⋅13500010002 =273,14 kN

dr inż. J.Malesza wykład 6

Wytrzymałość Materiałów – utrata stateczności, wyboczenie sprężyste i niesprężyste

Schemat 3

Smukłość pręta:

λ=L w

imin

=0,5⋅1000

8,66=57,78< λgr=100,6

Wyboczenie niesprężyste. Nie można liczyć siły krytycznej ze wzoru Eulera.

Przyjmujemy wzór Tetmajera-Jasińskiego:

σkrT−J=fe−

fe−fHπ ⋅√ fH

E⋅λ=215−

215−200π ⋅√ 200

205000⋅57,7=206,39MPa

PkrT−J

=A⋅σkrT−J

=18⋅10−4⋅206,39⋅106

=371,5kN

dr inż. J.Malesza wykład 6

Wytrzymałość Materiałów – utrata stateczności, wyboczenie sprężyste i niesprężyste

Siły krytyczne z trzech schematów:

P1=68,285 kN , P2=273,14 kN , P3=371,50 kN

Warunek wytrzymałości ze ściskania osiowego we wszystkich przypadkach

(bez wyboczenia – zasada zesztywnienia):

P=A⋅fc=18⋅10−4⋅195⋅106

=351,0 kN

dr inż. J.Malesza wykład 6

Wytrzymałość Materiałów – utrata stateczności, wyboczenie sprężyste i niesprężyste

Zadanie 2

Obliczyć siłę krytyczną dla słupa złożonego z 2 L60x60x8mm przyjmując: E = 205GPa, fH = 200MPa

Geometria przekroju L60x60x8mm

Jx=Jy=29,1cm4 , e=1,77cm ,

A=9,03cm2 , Jξ=46,1cm4 , Jη=12,1cm4

λgr=π⋅√ EfH

=π⋅√205000200

=100,6

Geometria przekroju 2 L60x60x8mm

y0=2⋅A⋅e2⋅A

=e=1,77cm ,

Jx0=2⋅Jx=2⋅29,1=58,2cm4=Jmin

Jy0=2⋅(Jy+ A⋅e2)=2⋅(29,1+ 9,03⋅1,772

)=114,8 cm4

dr inż. J.Malesza wykład 6

Wytrzymałość Materiałów – utrata stateczności, wyboczenie sprężyste i niesprężyste

imin=√ Jmin

2⋅A=√ 58,2

2⋅9,03=1,8 cm ,

Dla podanego schematu podparcia pręta:

Lw=2m

λmin=Lw

imin

=2001,8

=111> λgr=100,6

Wyboczenie sprężyste

Pkr=π

2⋅E⋅Jmin

Lw2 =

π⋅205000⋅58,2⋅104

20002 =294,36 kN

σkr=Pkr

A=

2943602⋅9,03⋅102

=163,00 MPa< fH=200MPa

dr inż. J.Malesza wykład 6