1

WSTĘP

Zmiany (drgania) natężeń pól elektrycznego i magnetycznego rozchodzą się w przestrzeni (w próżni lub w ośrodkach materialnych) w postaci fal elektromagnetycznych

Założenia

Materia jest traktowana jako ośrodek ciągły. Pomija się fakt, że ma ona strukturę cząsteczkową. Energia rozchodzi się w postaci fal. Pomija się zjawiska kwantowe. Zależność wszystkich wielkości polowych i obwodowych od czasu jest zdeterminowana. Na ogół przyjmuje się opis za pomocą funkcji cos t.

2

Zastosowania

przemysłowe (50Hz) Energetyka, Zasilanie urządzeńFale radiowe ( kmm) Radiokomunikacja, Radiodyfuzja, TVMikrofale (dcmmm) Telekomunikacja i TV Satelitarna,

Radiolokacja,Radionawigacja, Łączność naziemna (radiolinie)

Fale świetlne ( < m) Łączność światłowodowa, Transmisja dużej ilości danych między komputerami

Inne zastosowania fal elektromagnetycznych:- grzanie (suszenie, niszczenie szkodników)- ruch drogowy (radary antykolizyjne, pomiar prędkości)- precyzyjne pomiary geodezyjne- technika jądrowa (akceleratory)- medycyna (spektroskopia, tomografia, napromieniowanie)

3

ANALIZA WEKTOROWA. DEFINICJE

pseudo - wektor nabla jest zdefiniowany następująco:

zi

yi

xi zyx

Poniżej podano wzory umożliwiające obliczanie operacji wektorowych we współrzędnych kartezjańskich:

Gradient funkcji skalarnej U : Uz

Ui

y

Ui

x

UiU zyx

grad

Laplasjan funkcji skalarnej U: Uz

U

y

U

x

UU 2

2

2

2

2

2

2

Laplasjan

4

Dywergencja pola wektorowego A

: AAdiv

z

A

y

A

x

A zyx

Rotacja pola wektorowego A

: AArot

zyx

zyx

AAAzyx

iii

Laplasjan pola wektorowego A

: zzyyxx AiAiAi 2222 A

5

WYBRANE TOŻSAMOŚCI WEKTOROWE

0A

U 0

U U2

A A A2

AUAUAU

UAAUAU

0UVVU

VUVU

UVVUVU

BAABBA

6

TWIERDZENIA CAŁKOWE

SV

SnV dAdA

Tw. Gaussa:

gdzie S jest powierzchnią zamkniętą, otaczającą obszar V

Tw. Stokesa: Sl

Snl dAdA

gdzie l jest linią zamkniętą, która jest brzegiem powierzchni S

Twierdzenia całkowe zostaną bliżej przedstawione także przy omawianiu właściwości pól statycznych.

7

POLA WEKTOROWE (ilustracje)

E

l

JH

l – krzywa całkowania

E E

Pole bezwirowe

Pole wirowePole wirowe

l

l 0d

E

l

l JH

d 0EE

;0dl

l

8

RODZAJE PÓL WEKTOROWYCH

0A

0A

0A

0A

Pole bezwirowe

Pole wirowe

Pole bezźródłowe

Pole źródłowe

W punktach o niezerowej dywergencji zaczynają się (lub kończą) linie pola wektorowego.

9

Powierzchnie f = const nazywają się powierzchniami ekwipotencjalnymi. Gradient f pokazuje kierunek najszybszej zmiany potencjału f . Wektor ten jest prostopadły do powierzchni ekwipotencjalnej, a jego wielkość mówi o szybkości zmian potencjału f .

A BPrzykład 1

A

Pole wektorowe A

jest rotacją innego pola .B 0BA

Pole A

jest więc zawsze bezźródłowe

Przykład 2 0 f

fA

Pole potencjalne jest bezwiroweZachodzi też twierdzenie odwrotne. Jeśli

A 0

to takie pole bezwirowe da się przedstawić w postaci .fPole bezwirowe jest potencjalne.

10

Właściwości pól bezwirowych:

B

A

dE l

- wartość całki nie zależy od drogi całkowania

Q

l1

l2

Pole

A

B

0

y

x

E

0dEdEdE21

lll

lll

Jest to równoważne stwierdzeniu:

Całka po drodze zamkniętej z pola bezwirowego (tzw. wirowość pola) równa się zeru. Dowód wynika z twierdzenia Stokesa:

0dEdE l S

Snl

0E

gdyż

11

Strumień pola przez powierzchnię zamkniętą S równa się zeru. Tyle samo linii pola wchodzi i tyle samo wychodzi z obszaru V ograniczonego powierzchnią S. Linie te są zamknięte lub idą do nieskończoności. Nie mogą one (jak w elektrostatyce) zaczynać się i kończyć na ładunkach.

A

A

Właściwości pól bezźródłowych:

A 0

VS

VSn dAdA

Z twierdzenia Gaussa wynika:

12

Pole grawitacyjnePole elektrostatyczne

źródłowe, bezwirowe, potencjalne

Pole magnetyczne (stałe lub zmienne)

wirowe, bezźródłowe

Pole elektryczne zmienne wirowe, źródłowe

Pole wektora prędkości wody w rzece

wirowe, nawet, gdy nie ma widocznych wirów, wystarczy uwzględnić zmniejszenie prędkości przy brzegach rzeki

13

UKŁADY WSPÓŁRZĘDNYCH KRZYWOLINIOWYCH

Układ współrzędnych cylindrycznych

Wersory i

i

,

Współrzędne punktu:x = cos , y = sin Składowe wektora:Bx = B cos - B sin By = B sin - B cos

x

P

0 y

r

z

iz

i

i

i

i

pokazują kierunek najszybszego wzrostu współrzędnych .

BρBBρz

iρ

i

ρ

i

ρz

ρz

B

Przykład operacji wektorowej

14

Układ współrzędnych sferycznych

Q

P

z

y

x

r

i

i

i

ir Współrzędne punktu:x = r sin cos ,y = r sin sin ,z = r cos

Składowe wektora:Bx = (Br sin + B cos )cos +B sin By = (Br sin + B cos )sin + B cos Bz = Br cos - B sin

U

r

iU

r

i

r

UiU

θsinθθ

r

Przykład operacji wektorowej