Wprowadzenie do obliczeń symbolicznych

W programie Mathematica 6 można wykonywać następujące operacje:

Upraszczanie wyrażeńRozwijanie iloczynówRozkład wyrażeń na czynniki

Wielomiany i potęgiWielomiany i potęgi

Expand - służy do rozwijania wyrażeń

Expand[(x-2)(x-3)(x+1)^2]

Factor – służy do rozkładania wyrażeń na czynniki pierwsze

Factor[6 + 7*x - 3*x^2 – 3*x^3 + x^4]

42376 xxx

2)1)(2)(3( xxx

Przykład Działanie

Factor[x^2-3]-3 + x^2

Factor nie zwraca pierwiastków w swoich wynikach

Factor[-4+4*I+(3+I)*x+x^2]((-1+i)+x)(4+x)

Działa nawet, gdy współczynniki są liczbami zespolonymi

Factor[x^2+1]1+x^2

Niestety nie podaje wyniku w liczbach zespolonych, gdy żaden współczynnik nie jest zespolony

Wielomiany i potęgiWielomiany i potęgi

Simplify – upraszcza podane wyrażenie

Simplify[x^2-2x+1] (-1+x)2

Jednakże Simplify[x^3+2x^2-2 x-1]

-1 - 2x + 2x2 + x3

Dzieje się tak ponieważ Mathematica interpretuje wyrażenie sześcienne z 4 wyrazami jako prostsze niż (-1+x) (1+3 x+x2) jakie mogło powstać po rozłożeniu pierwotnego wyrażenia na czynniki

Wielomiany i potęgiWielomiany i potęgi

PowerExpand– pozwala na rozwijanie wyrażeń zawierających potęgi o wykładniku wymiernym.

Simplify[Sqrt[x^2]]

Expand[Sqrt[x^2]]

Natomiast: PowerExpand[Sqrt[x^2]]

X

PowerExpand[(x^6)^(1/3)]x2

2x

2x

Funkcje wymierneFunkcje wymierne

Together– łączy wyrażenia nad wspólnym mianownikiem

Together[2/(3 x+1)+(5 x)/(x+2)]

)31)(2(

1574 2

xx

xx

Funkcje wymierneFunkcje wymierne

Apart– służy do rozkładu funkcji wymiernej na oddzielne części ułamkowe.

Apart[(11 x^2-17 x)/((x-1)^2*(2 x+1))]

Apart umożliwia także wykonywanie dzieleń

Apart[(x^5-2*x^2+6 x+1)/(x^2+x+1)]

xxx 21

5

1

3

)1(

22

232

1

721

xx

xxx

Funkcje trygonometryczne i Funkcje trygonometryczne i hiperbolicznehiperboliczne

FullSimplify– jest „pełną” wersją funkcji Simplify. Pozwala pracować poprawnie także w funkcjami przestępnymi.

Simplify[Cos[x]^2+Sin[x]^2] FullSimplify[Cos[x]^2+Sin[x]^2]

Dają w wyniku 1Natomiast zastosowanie wyrażenia:

Na obu tych funkcjach, skutkuje:

xx

xx

ee

ee11

11

tanhtanh

tanhtanh

Funkcje trygonometryczne i Funkcje trygonometryczne i hiperbolicznehiperboliczne

FullSimplify[(Exp[ArcTanh[x]]Exp[ArcTanh[x]])/(Exp[ArcTanh[x]]+Exp[-ArcTanh[x]])]

x

Simplify[(Exp[ArcTanh[x]]Exp[ArcTanh[x]])/(Exp[ArcTanh[x]]+Exp[-ArcTanh[x]])]

][2

][2

1

1xArcTanh

xArcTanh

e

e

Funkcje trygonometryczne i Funkcje trygonometryczne i hiperbolicznehiperboliczne

TrigFactor, TrigExpand, TrigReduce - zostały omówione wcześniej, z tą tylko różnicą że pracują efektywnie dla wyrażeń trygonometrycznych i hiperbolicznych.

TrigFactor[Sin[2 x]]2 Cos[x] Sin[x]

TrigExpand[Sin[2 x] Cos[3 x]]

TrigReduce[Sin[2 x] Cos[3 x]]

2

][][][5][][

2

5

2

][ 53244 xSin

xSinxCosxSinxCosxSin

])5[][(2

1xSinxSin

UwagiUwagi

Funkcji PowerExpand, Expand oraz Simplify możemy używać także w postaci postfixowej.

(1+x)^2 // Expand

Dziękuje za uwagęDziękuje za uwagę