1

ĆWICZENIE NO 3

3. Statystyczna Obróbka wyników pomiaru

Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest praktyczne poznanie przez studentów statystycznej obróbki wyników pomiaru w tej czesi, która jest niezbędna w szacowania niepewności wyniku.

3.1. Teoria

3.1.1. Błąd pomiaru a niepewność wyniku pomiaru

Pomiar jest to proces, w którym w sposób doświadczany, przypisujemy pewne wartości liczbowe charakteryzujące właściwości obiektu lub procesu fizycznego w taki sposób, aby opisać ten obiekt lub proces. Dzięki temu nasza wiedza o obiekcie czy procesie staje się pełniejsza, jest bogatsza, bardziej kompletna.

Do celów pomiarowych używa się przyrządów pomiarowych lub zespołów przyrządów pomiarowych nierzadko wspomaganych komputerami i wówczas mam do czynienia z komputerowo wspomaganymi pomiarami. Dzięki zastosowaniu komputerów mamy możliwość sterowania procesem pomiarowym, gromadzenia znacznej liczby wyników pomiaru, których obróbka i właściwa prezentacja stają się głównym zadaniem współczesnego metrologa. Obliczanie niepewności wyniku pomiaru, a w tym statystyczna obróbka wyników pomiaru są obowiązkowe z punktu widzenia poprawności zapisu wyniku pomiaru.

W procesie pomiarowym staramy się poznać wielkość prawdziwą wielkości mierzonej lub zbiór parametrów opisujących badany obiekt lub proces, lecz de facto wartości prawdziwej wielkości mierzonej nie poznamy, a co najwyżej możemy wyznaczyć węższy lub szerszy przedział, który na określonym poziomie ufności pokrywa wielkość prawdziwą wielkości mierzonej.

Błąd pomiaru jest to różnica pomiędzy wartością pomierzoną a wartością prawdziwą.: (3.1)

gdzie: błąd w n-tym pomiarze jest defilowany jako różnica pomiędzy aktualnym wynikiem pomiaru , a wartością prawdziwą, zdefiniowaną lub obliczoną wartością wielkość podlegającej pomiarowi.Oczywiste jest, że można spierać się czy znamy lub czy możemy poznać wartość „prawdziwą” wielkości mierzonej, ale dla celów inżynierskich możemy przyjąć, że „wartość” prawdziwa jest wartością określoną w najdokładniejszy jak tylko potrafimy sposób np. poprzez porównanie jej w wysokiej klasy standardem.Jeżeli jako wartości prawdziwą wielkości mierzonej wprowadzi się pojecie wartości poprawnej czyli tej wyznaczanej lub obliczanej w najdokładniejszy sposób, wówczas możemy przyjąć, że wyznaczenie wartości średniej jest takim sposobem uzyskiwania wartości poprawnej. Wartość średnia z pomiarów można obliczyć jako średnią arytmetyczną zgodnie z (3.2)

(3.2)

gdzie: – całkowita liczba próbek (zebranych pomiarów),

wyniki kolejnych pomiarów

- średnia arytmetyczna z wyników

W miejsce wartości prawdziwej można wprowadzić pojęcie wartości poprawnej, , która jest najlepszą estymatą wartości prawdziwej, a w miejsce błędu się błąd pozorny , wówczas nie budzi to kontrowersji w stosunku do posługiwania się pojęciem błędu i wartości prawdziwej.Tak wiec

(3.3)a wartości średnia równa się wartość i poprawnej:

(3.4)

Należy zwrócić uwagę, że występujące w (3.2) i (3.4) jest wartością kolejnego wyniku, który musi być otrzymany już w najlepszy z możliwych sposobów, w tym skorygowany o wartość korekcyjną, która jest znany np. z procesu kalibracji, zastosowanej metody pomiarowej co jest znane z fizyki pomiaru lub i innych znanych systematycznych wpływów jak wpływ środowiska zewnętrznego. Przykładowo takim czynnikiem wpływającym jest temperatura, która powoduje zmianę warunków pomiaru i o ten wpływ może być skorygowany pojedynczy wynik pomiaru w serii pomiarowej, co może objawiać się wpływem o charterze periodyczny (np. sinusoidalny) lub np. linowym w postaci stałego trendu w serii pomiarów. Możliwość eliminacji takich wpływów w czasie pomiarów występuje wtedy i tylko wtedy, gdy znane są chwile czasowe otrzymywanych poszczególnych wyników cząstkowych.Na Rys. 3.1a przedstawiono 512 próbek symulacyjnych wyników pomiaru, zbieranych co 1 s, które są zanieczyszczone trendem liniowym i okresowym sinusoidalnym

Rys. 3.1 wyniki symulacji pomiaru obarczone niepewnościami typu A, oraz trendem liniowo zmiennym w czasie i zakłóceniami periodycznymi sinusoidalnymi

Rys. 3.1 b) zakłócenie liniowo zmienne w czasie wyodrębnione z wyników pomiaru

Rys. 3.1 c) Zakłócenie sinusoidalne wyodrębnione w wynikach

Rys. 3.1d) Rozrzuty wyników wokół wartości średniej charakterze przypadkowym o rozkładzie Gaussa.

Na Rys 3.1b) zakłócenie liniowo zmienne w czasie wyodrębnione z wyników pomiaru,3.1c) Zakłócenie sinusoidalne wyodrębnione w wynikach, a na rys 3.1d) Rozrzuty wyników wokół wartości średniej charakterze przypadkowym o rozkładzie Gaussa.

2

Jeżeli dla zbiorów wyników z ryz 3.1a-d) wykonamy histogramy wówczas otrzymamy wykresy przedstawione na rys 3.2 a-3.2d)

UWAGA:Histogram to jeden z graficznych sposobów przedstawiania rozkładu cechy. Składa się z szeregu prostokątów umieszczonych na osi współrzędnych. Prostokąty te są z jednej strony wyznaczone przez przedziały klasowe wartości cechy, natomiast ich wysokość jest określona przez liczebności (lub częstości) elementów wpadających do określonego przedziału klasowego): patrz http://pl.wikipedia.org/wiki/Histogram

Na Rys. 3.2 przedstawiono takie histogramy dla 4 przypadków:, gdy próbka nie jest zanieczyszczona zakłóceniami (3.2.d), zanieczyszczona zakłóceniami o charakterze liniowym (3.2 b), okresowym sinusoidalnym (3.2 c) oraz oboma tymi zakłóceniami: jednocześnie (3.2 a):

Rys. 3.2 a Wartość średnia odchylenie standardowe

Rys. 3.2 b Wartość średnia odchylenie standardowe

Rys. 3.2 c Wartość średnia odchylenie standardowe

Rys. 3.2 d Wartość średnia odchylenie standardowe

Jeżeli liczby pomiarów w poszczególnych podprzedziałach podzielimy przez liczbę wszystkich pomiarów, uzyskujemy częstość występowania wyników w poszczególnych podprzedziałach. Taki histogram jest rozkładem empirycznym i można go przybliżyć rozkładem Normalnym

(3.5)

w którym: - funkcja gęstości prawdopodobieństwa - różnica pomiędzy bieżąca wartością x a jej średnią arytmetyczną x

- odchylenie standardowe- parametr rozkład, który dla

3

Rys. 3.3 Przejście od histogramu do funkcji gęstości prawdopodobieństwa

Jeżeli oznaczyć: i przyjąć, że , wówczas od rozkładu Gaussa przechodzimy do

rozkładu Gaussa standaryzowanego, który ma bardzo szczególna rolę w wyznaczaniu niepewności wyniku pomiaru na określonym poziomie ufności, co jest dalej rozwinięte.

a) b)Rys 3.4 Funkcja gęstości prawdopodobieństwa (a) i dystrybuanta (b) dla i

Znormalizowana funkcja gęstości prawdopodobieństwa i dystrybuanta dla i Przedstawiono na Rys. 3.7

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

0.35

0.40

0.45

-5.00 -4.00 -3.00 -2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00

a)

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.70

0.80

0.90

1.00

-5.00 -4.00 -3.00 -2.00 -1.00 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00

b)Rys 3.5 a) - funkcja gęstości prawdopodobieństwa rozkładu Normalnego (Gaussa) b) skumulowana funkcja opisana równaniem dla wartości średniej i odchylenia standardowego

czyli tzw znormalizowanego rozkładu Normalnego którym:

Zależność pomiędzy funkcją gęstości prawdopodobieństwa i skumulowaną funkcja gęstości

4

prawdopodobieństwa zwaną również dystrybuantą dla zmiennej nieznormalizowanej x, jest następująca:

(3.6)

i odwrotnie

(3.7)

Równanie 3.7 może być interpretowane jako prawdopodobieństwo, że przyjmuje wartość mniejszą niż . Prawdopodobieństwo, że leży pomiędzy i (tj. ) może być zapisane jako:

(3.8)

Interpretacja geometryczna funkcji gęstości prawdopodobieństwa przedstawiono na rys 1.3

Rys. 3.6 Graficzna interpretacja funkcji gęstości prawdopodobieństwa skumulowanej funkcji gęstości prawdopodobieństwaPole powierzchni zawarte pomiędzy osią ox i funkcja gęstości prawdopodobieństwa równe jest 1, natomiast skumulowana funkcja gęstości prawdopodobieństwa jest całką z funkcji gęstości prawdopodobieństwa liczoną od do bieżącej wartości

Prawdopodobieństwo, że pomiędzy wynosi , a pomiędzy wynosi . Stosując tą teorię do obliczania niepewności, należy stwierdzić, ze jeżeli uzyska się funkcję częstotliwości występowania błędów (histogram błędów) w funkcji błędów pozornych odniesionych do odchylenia standardowego z próby, wówczas taki rozkład jest rozkładem normalnym czyli: w przedziale od znajdzie się wyników, czyli na poziomie ufności błędy będą w przedziale .Zatem wartość prawdziwa wielkości mierzonej będzie pokryta przez przedział:Zapis wówczas wyniku pomiaru ma formę następującą:

(3.9)

- wielkość mierzona - najlepsza estymata wartości wielkości mierzonej Y - niepewności - wartość określająca przedział na określonym poziomie ufności (n.p. .

Uogólniając zapis nierówności 3.9 można zapisać, ze dla dowolnego poziomu ufności (3.10)

gdzie - jest zmienną losową zależną od poziomu ufności a jeszcze bardziej ogólnie:

(3.11)

5

gdzie jest niepewnością na poziomie ufności

Na Rys. 3.9 przedstawiono interpretacje graficzna przedziału ufności .

Rys. 3..7. Interpretacja graficzna Przedział pokrywający wielkość prawdziwą wielkości mierzonej wyniku pomiaru i niepewności wyniku pomiaru

Oprócz niepewności o charterze przypadkowym, które podlegają rozkładowi Normalnemu, a przy małej liczbie pomiarów (do 30) rozkładowi t-Studenta,

Rozkład t-StudentaDla stosunkowo małej liczy pomiarów np. do 30 celowe jest stosowanie rozkładu

Rys. 3.8. Funkcja gęstości prawdopodobieństwa rozkładu Normalnego (Gaussa) i rozkład t-Studenta. Rozkład t-Studneta, to ten niższy i szerszy

Dla rozkładu t-Student wartości współczynników zależą od liczby stopni swobody i od wymaganego poziomu ufności. Istotne jest tu wyraźnie zaznaczyć, że dla rozkładu normalnego i dla rozkładu t-studenta dla 31 pomiarów (30 stopni swobody) wobec wartość dla rozkładu normalnegoRóżnica więc pomiędzy rozkładem t-studenta i Normalnym począwszy do 31 pomiarów wynosi więc 0,04 w odniesieniu do wartości poprawnej. Tak więc zastosowanie rozkładu Normalnego w miejsce studenta spowodowało by, ze niepewność wyniku pomiaru byłaby obarczona 4% błędem (metody), ale proszę wziąć pod uwagę łatwość z jaką obecnie możemy wykonać pomiary wielokrotnie używając komputerów do wspomagania procesu pomiaru.

6

Tab. 3.1 Współczynniki rozszerzenia k dla rozkładu t-Studenta; - jest liczbą stopni swobody równa liczbie obserwacji (wyników minus jeden).

1 6.31 12.71 63.66 636.622 2.92 4.30 9.93 31.603 2.35 3.18 5.84 12.924 2.13 2.78 4.60 8.615 2.02 2.57 4.03 6.876 1.94 2.45 3.71 5.967 1.89 2.37 3.50 5.418 1.86 2.31 3.36 5.049 1.83 2.26 3.25 4.7810 1.81 2.23 3.17 4.5911 1.80 2.20 3.11 4.4412 1.78 2.18 3.06 4.3213 1.77 2.16 3.01 4.2214 1.76 2.14 2.98 4.1415 1.75 2.13 2.95 4.0716 1.75 2.12 2.92 4.0217 1.74 2.11 2.90 3.9718 1.73 2.10 2.88 3.9219 1.73 2.09 2.86 3.8820 1.72 2.09 2.85 3.8521 1.72 2.08 2.83 3.8222 1.72 2.07 2.82 3.7923 1.71 2.07 2.82 3.7724 1.71 2.06 2.80 3.7525 1.71 2.06 2.79 3.7326 1.71 2.06 2.78 3.7127 1.70 2.05 2.77 3.6928 1.70 2.05 2.76 3.6729 1.70 2.05 2.76 3.6630 1.70 2.04 2.75 3.6540 1.68 2.02 2.70 3.5560 1.67 2.00 2.66 3.46

120 1.66 1.98 2.62 3.371.65 1.96 2.58 3.29

(3.12)Niepewność U jest obliczana na określonym poziomie ufności, i tak poziom ufności p=0,95, oznacza, że z prawdopodobieństwem 95% przedział pokrywa wartość prawdziwa wielkości mierzonej.

Niepewności obliczane na podstawie serii pomiarów są to niepewności typu A, z jej wartością standardowa i przedziałem wyznaczającym granice przedziału pokrywającego wartość prawdziwa wielkości mierzonej zgodnie z powyższymi zasadami. Oprócz niepewności obliczanej metoda typu A, elementem składowym niepewności całkowitej jest jeszcze niepewność obliczana innymi metodami niż na podstawie serii pomiarów. Jest to niepewność obliczana metoda typu B, której wartość standardowa jest oznaczana symbolem: . Na podstawie niepewności standardowej obliczanej metoda typu A i metodą typu B, po ich geometrycznym zsumowaniu, czyli obliczeniu pierwiastka kwadratowego z sumy ich kwadratów otrzymuje się niepewność łączną (3.13), która umożliwia obliczenie granic przedziału niepewności zgodnie ze wzorem 3.14.

(3.13)gdzie :

-niepewność standardowa łączna,- komponent niepewności łącznej obliczany metoda typu A (na podstawie serii pomiarów),- komponent niepewności łącznej obliczany metoda typu B (nie na podstawie serii pomiarów a

innych danych niż seria pomiarów).

(3.14)

7

Współczynnik we wzorze 3.14 jest zmienną losową odpowiadają łącznemu rozkładowi niepewności typu A i typu B niepewności standardowej łącznej. Funkcja gęstości prawdopodobieństwa niepewności łącznej nie ani rozkładem Normalnym ani t-Studenta, chociaż w przybliżeniu dopuszcza się stosowanie współczynników k odpowiadających tym rozkładom, dla niepewności łącznej. Należy jednak pamiętać, że jest to przybliżenie.

3.1.2. Obliczanie niepewności metodą typu B

Źródłem informacji do obliczania niepewności typu B, są wszystkie inne dane niż te które uzyskano z serii pomiarów. Zalicza się do nich:

dane uzyskane z wcześniej przeprowadzonych pomiarów, doświadczenie lub ogólna znajomość zachowania się i właściwości odpowiednich materiałów

i przyrządów pomiarowych, dane techniczne pochodzące ze specyfikacji technicznej producenta, dane uzyskane ze świadectw wzorcowania i z innych certyfikatów,

Producent przyrządów pomiarowych wśród danych technicznych przyrządu podaje parametry umożliwiające wyznaczenie granicznych wartości błędów, które wraz z wartością wskazaną przez dany przyrząd określają przedział, który pokrywa wartość prawdziwa wielkości.

O ile intuicyjnie zgadzamy się, ze wykonując serię pomiarów, najbardziej zbliżonym wynikiem jest wartość średnia wyniku pomiaru najwięcej wyników pomiarów będzie skupionych wokół tej wartości, i częstość wyników spada wraz z oddalaniem się od wartości średniej, a błąd od wartości zerowej to w przypadku niepewności typu B, częstość występowania wyników charakteryzuje się innymi rozkładami niż Normalny czy t-Studenta i funkcja gęstości prawdopodobieństwa może być o rozkładzie równomiernym (jednakowe prawdopodobieństwa w całym przedziale), trójkątny, trapezoidalny, w kształcie litery „U”, trapezoidalny ze zboczami logarytmicznymi lub inny.

Najczęściej mamy do czynienia z rozkładem jednostajnym, którego funkcja gęstości prawdopodobieństwa jest linią prostą, a dystrybuanta prostą o stałym nachyleniu (rys. 3.9).

Rys:. 3.9 a) Przedział pokrywający wartość prawdziwą wielkości mierzonej ; b) funkcja gęstości prawdopodobieństwa przy założeniu, ze rozkład jest równomierny, c) dystrybuanta granica błędu wyznaczona metoda typu B.

8

W celu zaznajomienia czytelnika z rozkładem równomiernym czyli o funkcji gęstości prawdopodobieństwa o stałej wartości, przeprowadzono eksperyment, który jest symulacja pomiarów, których częstotliwość pojawiania się w przedziale jest jednakowa.

Na rysunku 3.10a przedstawiono błędy pozorne dla N=1000 pomiarów, w którym wartości . Na rys 3.10b częstości występowania tych błędów w zakres dzieląc cały przedziałów na 100 podprzedziałów; w każdym z podprzedziałów pojawiło się średnio po 10 wyników, czyli częstość wynosi 10/1000=0,01, a na rys 3.10c – kolejne sumy częstości występowania wyników z ryz. 3.12b.

a)

b c)Rys. 3.10. Wyniki symulacji 1000 pomiarów, których błędy pomiaru równomiernie rozkładają się w przedziale <-1;1>.a) Błędy pozorne: wartości średnia , a odchylenie standardowe b)) Wykres częstości występowania błędów pozornych w kaczym ze 100 równych podprzedziałów dla 1000 pomiarów o granicach błędów <-1;1> (w każdym podprzedziale średnio występuje po 10 pomiarów czyli częstość10/1000 = 0,01), c) Wykres sum częstości występowania błędów w przedziale <-1;1> czyli dystrybuanta eksperymentalna rozkładu równomiernego (linia prosta o równaniu: )Jeżeli pomiarów wykonalibyśmy nieskończenie wiele, a liczba podprzedziałów byłaby również nieskończenie duża, otrzymuje się postać analityczną postać funkcji gęstości i rozkładu jednostajnego i jej dystrybuantę, co już zilustrowano na rys 3.9.

Przykład liczbowy 1 (miernik analogowy):Dla woltomierza analogowego producent podał, że na zakresie pomiarowym 300 V, wartości błędu

9

odniesiona do zakresu (300 V) wynosi 0,5. Wartość 0,5 jest wartością wyrażona w % i odniesiona do zakresu czyli 300 V. Za pomocą tego woltomierza na zakresie 300 V pomierzono napięcie i wskazanie wynosiło .

Obliczyć wartość graniczną oraz wartość względna

Obliczenia:

a wartość względna

Przykład liczbowy 2 (miernik cyfrowy):Dla woltomierza analogowego producent podał, że na zakresie pomiarowym 300 V, wartości błędu odniesiona do zakresu (300 V) wynosi 0,05 oraz 0,1 w stosunku do wartości wskazywanej przez miernik. Wartość 0,05 jest wartością wyrażona w % i odniesiona do zakresu czyli 300 V a wartość 0,1 jest też wyrażona w % w stosunku do wartości odczytu. Za pomocą tego woltomierza na zakresie 300 V pomierzono napięcie i wskazanie wynosiło

.

Obliczyć wartość graniczną oraz wartość względna

Obliczenia:

a wartość względna

Uwaga: wartość niepewności wyniku pomiaru przedstawia się w postaci liczby z dwoma cyframi znaczącymi niezależnie czy jest to wartość w jednostkach czy bez miana, lecz jeżeli jest to wynik pośredni brany w dalszych obliczeniach np. obliczaniu niepewności złożonej bierze się pod uwage liczbę cyfr wynikająca z poprzednich obliczeń bez zaokrąglania.

Obliczone w obu przypadkach wartości umożliwiają na sformułowanie przedziału pokrywającego wartość prawdziwą wielkości mierzonej w postaci:

(3.15)lecz nie uwzględniono tutaj niepewności typu A wynikającej z serii pomiarów, oraz nie uwzględniono poziomu ufności np. .

W celu uwzględnienia obu składników w niepewności wyniku należy ustalić reguły ich łącznego obliczania w niepewności a takich reguł dostarcza nam matematyka – ściślej rachunek prawdopodobieństwa.

Na podstawie granic dla rozkładu jednostajnego zgodnie z oznaczeniami jak na rys. 3.12 można obliczyć wartość średnią i odchylenie standardowe niezbędne w obliczaniu standardowej niepwności łącznej typu A i typu B

Przykład obliczenia wartości średniej i odchylenia standardowego dla funkcji gęstości rozkładu jednostajnego

10

Rys 3.12 Funkcja gęstości prawdopodobieństwa rozkładu jednostajnego,

Z definicji funkcja gęstości prawdopodobieństwa, i stałym rozkładzie w przedziale <a; b> wyraża się wzorem 3.16:

(3.16)

Wartość średnia dla funkcji ciągłej definiowana jest wzorem 3.17:

(3.17)

Dla przedziału <a; b>

(3.18)

Wariancja zgodnie z definicją wariancji (kwadratu odchylenia standardowego):

(3.19)

Dla przedziału <a; b>

(3.20)

Dla przypadku, gdy: i wówczas kwadrat odchylenia standardowego wyraża się zależnością 3.21:

(3.21)

stąd niepewność standardowa równa odchyleniu standardowemu wynosi”

(3.22)

Gdy niepewność standardowa przyjmuje wartość

a jest wartością graniczna błędy o rozkładzie równomiernym

W tab 2. zestawiono wzory do obliczeń niepewności standardowych dla różnych typowych funkcji gęstości prawdopodobieństwa

11

Tab. 2 Funkcje gęstości prawdopodobieństwa i ich niepewności standardoweRozkład Normalny (Gauss)

Rozkład t-Studenta

Rozkład równomierny (prostokątny)

Rozkład trójkątny

Rozkład trapezoidalny

Rozkład typu „U”

Obliczanie łącznej niepełności standardowej funkcji złożonych

Obliczanie łącznej niepewności standardowej typu A I B niepewności oraz niepewności funkcji złażonej jest określone matematyczna funkcja odnoszącej się do odchyleń standardowych w których odchylenia są niepewnościami standardowych (równanie 3.23):

(3.23)

w którym: (3.24)

jest funkcja złożone, o składnikach pośrednich, wielkości Estymatą wielkości , jest , otrzymywane na podstawie zależności 3.18 poprzez wprowadzenie estymat wielkości składowych , które oznaczamy przez . Otrzymuje się wówczas zależność 3.25:

(3.25)Niepewność standardowa wyniku , nazywana niepewnością złożoną reprezentowana jest przez niepewność, która jest dodatnim pierwiastkiem wariancji dla funkcji złożonej. Równanie 1.15 bazujące na rozwinięciu funkcji w szeregu aproksymującego ta funkcje w szereg Taylora jest nazywane jako prawo propagacji niepewności .

Pochodne cząstkowe oblicza się w punktach .

We wzorze 1.15 to odchylenia standardowe stowarzyszone z , a jest estymatą kowariancji stowarzyszonej z i .

12

Detekcja i eliminacja błędów nadmiernych

Dokonując statystycznej analizy wyników pomiaru, zawsze należy zastanowić się czy nie zawierają one błędów nadmiernych spowodowanych omyłkami oraz czy nie zawierają trendów periodycznych lub nieperiodycznych. Takie wpływy na próbkę wyników obrabianą statystyczną analizę usunąć z wyników, a w opracowaniu zawrzeć stosowne informacje.W celu identyfikacja błędów nadmiernych można zastosować np. kryterium polegające na tym, że wszystkie wyniki, które nie spełniają zależności

(3.26)gdzie

(3.27)

13

Metoda techniczna pomiaru rezystancji i identyfikacja błędów pomiarowych

Rozważmy obwód pomiarowy wa obwody pomiarowe, które metodą pośrednią, umożliwiają pomiar rezystancji Na rysunku 1. 23 przedstawiono obwód z .

Rys 3.15 Schemat pomiaru rezystancji metodą techniczną , a Układ przy zadanej wartości prądu, b) układ przy zadanej wartości napięcia

Rozważmy układ pomiaru rezystancji z zadaną wartością prądu. Napięciu wskazywane przez woltomierz jest równe napięciu na amperomierzu i badanej rezystancji.:

stąd:

(3.28):

(3.29)Tak więc błąd wynikający z metody wynosi::

. (3.30)

a jego wartość względna:

(3.31)Poniżej przestawiono przykładowe obliczenia dla mierników: analogowych i cyfrowych W poniższych FSR= ang. Full Scale Range n –wartość nominalna.

14

Przykład dla pomiarów wykonanych za pomocąprzyrządów analogowych o przyrządów cyfrowych- woltomierz o zakresie: , klasy dokładności: wskazał wartość

,

- amperomierz o zakresie: klasy dokładności wskazał wartość prądu

rezystancja wewnętrzna amperomierza wynosi: .

woltomierz o zakresie o dokładność z danych technicznych

wskazał : :

amperomierz o zakresie: o dokładność z danych technicznych

i rezystancji wewnętrznej z pomiarów:

wówczas

Względne błedy metody pomiaru (efekt obciążenia przez amperomierz) wynoszą:

Obliczenie maksymalnego błędu- najgorszy przypadekMaksymalny błąd pomiaru rezystancji , lub jego wartość względna wynoszą:

Obliczenie niepewności na zadanym poziomie ufnościProcedura obliczania niepewności wyniku pomiaru na określonym poziomie ufności tym różni się od najgorszego przypadku, że zakłada poziom zaufania do wyniku np. , , , co jest logiczne bo zawsze mogą pozostać jakieś wątpliwości co do poprawności pomiarów czy obliczeń pomimo należytej staranności.

Ponieważ dalej będzie statystyczna analiza wyników pomiarów dl kompletności takiej analizy należy i kompletności zapisu wyniku pomiaru należy zawsze dokonać analizy niepewności typu BTak więc: niepewność typu B oblicza się dla funkcji złożonej, gdyż wynik pomiaru rezystancji jest

15

obliczany jako iloraz wskazań woltomierza i amperomierza. Zastosowanie ma tutaj wzór na względną niepewność odniesioną do wartości rezystancji mierzonej, gdyż jego postać jest zbliżona do wcześniej omówionego najgorszego przypadku ( )

(3.32)

- względna niepewność standardowa pomiaru rezystancji - niepewność standardowa pomiaru rezystancji

- współczynnik rozszerzenia dla splotu dwóch w tym przypadku rozkładów względnych gęstości prawdopodobieństwa błędów woltomierza i amperomierza, które SA rozkładami jednostajnymi.

- względna niepewność standardowa pomiaru napięcia - względna niepewność standardowa pomiaru prądu

(3.33)

- względny błąd graniczny pomiaru napięcia - wartość bezwzględna błędu granicznego pomiaru napięcia

- względny błąd graniczny woltomierza - wskazanie woltomierza

- zakres pracy woltomierza (Full Scale Range)

(3.34)

- względny błąd graniczny pomiaru prądu - wartość bezwzględna błędu granicznego pomiaru prądu

- względny błąd graniczny amperomierza - wskazanie amperomierza

- zakres pracy amperomierza (Full Scale Range)

(3.35)

(3.36)

„2R” – oznacza splot dwóch rozkładów prostokątnych

Przykład obliczeń:

(3.37)

(3.38)

(3.39)

(3.40)

Względna niepewność na poziomie ufności

16

(3.41)

Bezwzględna (w jednostkach miary) niepewność pomiaru rezystancji

(3.42

zapis końcowy wyniku:

(3.43)

17

3.2. Wykonanie ćwiczenia (sala ogólna)

Statystyczna obróbka wyników pomiaruKolejność czynności

1. Połączyć układ pomiarowy zgodnie ze schematem:

a) b)Rys 1. Schemat podłączenia amperomierza i woltomierza do pomiaru rezystancji Rx przy

zadanej wartości a) prądu, przełącznik S w poz. A , b)przy zadanej wartości napięcia (przełącznik S w poz. B).

Rx - badany rezystorV - woltomierz cyfrowy (multimetr na zakresie pomiaru napięcia 5 V)

DC VoltageRanges* – 500.0 mV, 5.000 V, 50.00 V, 500.0 V, 1000 V; DC Accuracy* – ±(0.07% + 1 ct.) (TX1)

A - amperomierz cyfrowy (mulytimetr na zakresie pomiaru prądi5 mA)DC/AC CurrentRanges* – 500.0 µA, 5.000 mA, 50.00 mA, 500.0 mA, 5.000 A, 10.00 A (3 minutes)DC Accuracy* – ±(0.2% + 2 ct.)

S - przełącznik Zasilacz prądu stałego (zalecany zakres 0 5 V)

2. Na zasilaczu ustawić wartość napięcia do 5 V

18

Pomiar przy zadanej wartości prądu 3. Przełącznik S w poz. A

a. Wartość napięcia ustalić ok. 5V, odczytać wartość prądu i napięcia, wyniki zanotować w Tab. 1.

b. Podłączyć woltomierz tak, aby pomierzyć spadek napięcia na amperomierzu (ok. 240mV) przy niezmiennej wartości prądu przepływającego przez amperomierz. Pomiar ten służy do

obliczenia oporności wewnętrznej amperomierza: .

a)Tab. 1 RA = – temperatura otoczenia t =.......oC

IA VV R’ VA RA RxI δRx obc

mA V V %

4.750 4.990 1050.5 0.240 50.5 1000.0 5.05

Obliczenia:

Rezystancja, która jest sumą Rezystancji amperomierza i badanej rezystancji

Rezystancja wewnętrzna amperomierza:

Rezystancja badana przy zadanej wartości pradu:

Błąd metody, gdybyśmy nie uwzględnili rezystancji wewnętrznej amperomierza wyniósłby:

c. Obliczyć wartość graniczne błędów amperomierza korzystając z danych zadeklarowanych przez producenta a potwierdzonych w procesie kalibracji przyrządu na etapie jego wytwarzania

Dla amperomierza

niepewność standardowa pomiary amperomierzem tej wielkości wynosi:

d. Obliczyć wartość graniczne błędów woltomierza korzystając z danych zadeklarowanych przez producenta a potwierdzonych w procesie kalibracji przyrządu na etapie jego wytwarzania

Dla woltomierza

niepewność standardowa pomiaru woltomierzem tej wielkości wynosi:

e. Obliczenie niepewności standardowej pomiaru rezystancji w/w metodą oblicz się ze wzoru

f. Dalsze obliczenia zgodnie z instrukcją odpowiadająca rozkładowi trójkątnemuWartości względne oznaczane symbolem „rel” (relaive- względne) oblicza się dzieląc wartości błędów poprzez wartości wskazywane i wówczas wartość względna niepewności pomiaru rezystancji wyrażona jest zależnością:

19

Pomiar przy zadanej wartości napięcia4. Przełącznik S w poz. A (pomiar przy zadanej wartości napięcia).

a. ustawić wartość napięcia zasilacza tak, aby woltomierz wskazywał napięcie ok. 5V, odczytać i zanotować w tabeli wartości prądu i napięcia.

VV IA R’’ IV IRx RxV δRx Vobc URx rel URx

V mA mA mA % %

4.750 4.750 1000.0 0.0005 4.7495 1000.1 -0.01 0.27 2.7

Obliczenia:

Rezystancja, która jest sumą równolegle połączonych rezystancji: badanej i woltomierza

ze wskazań mierników obliczamy

Rezystancja wewnętrzna woltomierza podana przez producenta wynosi: .

Rezystancja badana przy zadanej wartości napięcia

Błąd metody, gdybyśmy nie uwzględnili rezystancji wewnętrznej woltomierza wyniósłby:

b. Obliczyć wartość graniczne błędów amperomierza korzystając z danych zadeklarowanych przez producenta a potwierdzonych w procesie kalibracji przyrządu na etapie jego wytwarzania

Dla amperomierza

niepewność standardowa pomiary amperomierzem tej wielkości wynosi:

c. Obliczyć wartość graniczne błędów woltomierza korzystając z danych zadeklarowanych przez producenta a potwierdzonych w procesie kalibracji przyrządu na etapie jego wytwarzania

Dla woltomierza

niepewność standardowa pomiaru woltomierzem tej wielkości wynosi:

d. Obliczenie niepewności standardowej pomiaru rezystancji w/w metodą oblicz się ze wzoru

e. Dalsze obliczenia zgodnie z instrukcją odpowiadająca rozkładowi trójkątnemuWartości względne oznaczane symbolem „rel” (relaive- względne) oblicza się dzieląc wartości błędów poprzez wartości wskazywane i wówczas wartość względna niepewności pomiaru rezystancji wyrażona jest zależnością:

20

Zestawienie wyników w tabeli:

Rx R’x δRx Vobc URx rel URx R’’x δRx Vobc URx rel URx

% % % %

Pomiary z zastosowaniem sytemu pomiarowego: multimetry podłączone do komputera za pośrednictwem interfejsu RC 232C w celu jednoczesnego zbierania danych z obu mierników. Zastosowana aplikacja ponad zbieranie wyników z „woltomierza” i „amperomierza” oblicza wartość rezystancji oraz wykonuje histogramy oddzielenie dla wartości prądu i napięcia oraz rezystancji. Zadaniem studentów jest zebranie „N” indywidualnych pomiarów prądu i napięcia i następnie obliczenie.

a) Otworzyć folder „Ćwiczenie Nr 3”b) Naciskać na skrót: wykonanie Cw 3 (aplikacja nazywa się: Tx1 czytaj raz.vi” (front panel)

Panel Frontowy: wpisujemy liczbę pomiarów i liczbe podprzedziałów histogramówdo poszcególnych zakladk przechodzi się używając “palca wskazujacego” z “Tools”

c) Wpisać liczbę pomiarów np. 1024, liczbę przedziałów np. 17d) Nacisnąć ikonę białej strzałki w lewym górnym rogu – RUN programu, strzałka przechodzi kolor czarny,

odczekać aż powróci do kolru białego – koniec pomiarów.e) W zakładkach „Prąd”, „Napięcie”, Rezystancja” obejrzec wyniki i przekopiować do własnego dokumentu

w do formacie „WORD”f) Otworzyć folder „Ćwiczenie Nr 3” i następnie folder „Wyniki Studentów”. W tym folderze w pliku

otwieranym za pomocą arkusza kalkulacyjnego „EXCELL” w kolumnie pierwszej znajduje się numer pomiaru, w drugiej wartość napięcia i w trzecie prądu.

g) (uwaga kropki jako delimitery zamienić na przecinki)h) Korzystając z arkusza kalkulacyjnego (PODCZAS TRWANIA ZAJĘĆ LABORATORYJNYCH)

wykonać następujące obliczenia:a. Wartości rezystancji jako iloraz

21

b. Wartość średnia: ; ;

c. Wartości: minimalna i maksymalną z wyników: , , ; ,

d. Obliczyć szerokość przedziału

e. Wyznaczyć granice przedziałów do których będziemy kwalifikować pojedyncze wyniki: , ….. , aż do wartości maksymalnej gdzie dla prądu x

zastąpić I, napięcia x zastąpić V, dla rezystancji x zastąpić Rf. Każdemu z tych podprzedziałów przy porządkować liczbę wyników, która w ich się zawierag. Wykonać wykres: wartości granic „ ” przedziałów na osi ‘x” a na osi „y” liczby pomiarów

w tych podprzedziałach

Wykres częstość występowania pomiarów w podprzedziałach W wynikach przedstawionych w aplikacji liczby pomiarów w poszczególnych przedziałach zostały podzielone przez sumaryczna liczbę wszystkich wyników, a na osi poziomej w miejsce wartości rezystancji, napięcia i prądu wartości względne błędów pozornych odniesione do odchylenia standardowego.Błędy pozorne tworzy się odejmując od każdego wyniku wartości średnią Odchylenie standardowe charakteryzujące rozrzut wokół wartości średniej oblicza się ze wzoru:

Odchylenie standardowe dla wartość średniej wyraża się zależnością:

Od wartości próbek zgromadzonych z pomiarów wyłoniono trendy liniowy, który usunięto ze zgromadzonych próbek, jako czynnik ochrakterze systematycznym.

W teoria niepewności, niepewności standardowa obliczona na podstawie serii pomiarów, dla rozkładu Gaussa, jest równa odchyleniu standardowemu o oznaczana jest symbolem gdyż jest to niepewność obliczana metodą

typu A (na podstawie serii pomiarów):

Obliczenie niepewności standardowej łączącej niepewności typu A i B jest sumą geometryczna niepewności obliczonej metodą typu A i metoda typu B i wyraża się zależnością:

gdzie :-niepewność standardowa łączna,- komponent niepewności łącznej obliczany metoda typu A (na podstawie serii pomiarów),

22

- komponent niepewności łącznej obliczany metoda typu B (nie na podstawie serii pomiarów a innych danych niż seria pomiarów).Niepewność całkowita wyrażana na na poziomie ufności wyraża się zależnością

w której współczynnik jest zmienną losową odpowiadają łącznemu rozkładowi niepewności typu A i typu B niepewności standardowej łącznej.

Dla uproszczenia można w wielu przypadkach w praktyce przyjąć, ze ten współczynnik na poziomie ufności .

Innym sposobem wyznaczenia niepewności całkowitej jest skorzystanie z programów obliczania niepewności z pominięciem współczynnika .

Prąd – zakładka prąd panelu frontowego (odczytujemy i kopiujemy wyniki do sprawozdania

23

Napięcie – zakładka napięcie panelu frontowego (doczytujemy i kopiujemy wyniki do sprawozdania

Rezystancja – zakładka rezystancja panelu frontowego (doczytujemy i kopiujemy wyniki do sprawozdania

3.3. Wnioski Wnioski powinny dotyczyć

a) dokładności typu A i typu Bb) wpływu usunięcia linii trendu z wyników poamiaru

3.4. Literatura 1. Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement, I wydanie 1993, poprawione i dodrukowane w roku 1995, International Organization for Standardization (Genewa, Szwajcaria).Wydanie polskie: Wyrażanie niepewności pomiaru. Prz ewodnik. Główny Urząd Miar, 1999.

24

3.2. Wykonanie ćwiczenia (sala KSP)Obiektem badawczym w ćwiczeniu jest czterozaciskowy opornik wzorcowy o wartości 1000 i klasie dokładności . Wykonanie ćwiczenia polega na wielokrotnym pomiarze (10, 31, 1024) wartości jego rezystancji, za pomocą multimetru cyfrowego NI DMM 4060, wykonanego jako modułu wewnętrznego komputera na złączu PCI i statystycznej obróbki otrzymanych wyników dla 10, 31 i 1024 wyników oraz wyznacza się niepewność standardową typu A dla tych 3 przypadków.Następnie na podstawie danych technicznych multimetru, oblicza się niepewność standardowa metodą typu B,, niepewność standardową łączna i przedział, który na poziomie ufności pokrywa wartość prawdziwą mierzonej rezystancji opornika wzorcowego.Wyniki pośrednie w postaci histogramów należy przedstawić w formie graficznej –jako rezultat obliczeń w dowolnym programie matematycznym lub arkuszu kalkulacyjnym np. EXCELL albo starannie przeanalizowanych wyników otrzymanych z wirtualnego przyrządu pomiarowego, rozszerzającego funkcje multimetru o statystyczna obróbkę wyników pomiaru dostępnego na stanowisku pomiarowym.

Ćwiczenie należy zakończyć wysnuciem wniosku czy opornik wzorcowy spełnia deklarowana dokładność i czy multimetr NI DMM 4060 jest przyrządem, który może być uzyty w procesie weryfikacji klasy dokładności tego opornika wzorcowego. Pomocnym w tym wniosku jest wspólny wykres na którym naniesiony jest deklarowany producenta przedział niepewności opornika wzorcowego i deklarowany przedział niepewności typu B przez producenta i wynik statystycznej analizy serii 1024 wyników pomiaru

3.4.1. Układ połączeń

Rys. 3.16 Układ podłączenia DMM NI 4560. czterozaciskowy opornik wzorcowy – obiekt badany w ćwiczeniuDane techniczne multimetru DMM 4060 w doniesieniu do pomiaru rezystancji

Range 24 Hour (25 °C ± 1 °C)

90 Day (25 °C ± 10 °C)

1 Year (25 °C ± 10 °C)

Temperature Coefficient (% of reading/ °C ± Ω/ °C)

Extended Ohm (> 2 MΩ)

0.1% ± 6 kΩ 0.1% ± 60 kΩ 0.1% ± 60 kΩ 0.0072% ± 6 kΩ

2.00000 MΩ* 0.012% ± 9 Ω 0.077% ± 27 Ω 0.080% ± 27 Ω 0.0072% ± 2 Ω

200.000 kΩ 0.012% ± 5 Ω 0.077% ± 22 Ω 0.080% ± 22 Ω 0.0072% ± 2 Ω

20.0000 kΩ 0.006% ± 0.09 Ω 0.024% ± 0.3 Ω 0.027% ± 0.3 Ω 0.0020% ± 0.02 Ω

2.00000 kΩ 0.006% ± 0.05 Ω 0.024% ± 0.2 Ω 0.027% ± 0.2 Ω 0.0020% ± 0.02 Ω

200.000 Ω 0.006% ± 0.05 Ω 0.024% ± 0.2 Ω 0.027% ± 0.2 Ω 0.0020% ± 0.02 Ω Accuracy numbers are for the 4-wire resistance mode 5 1/2 digits with autozero on and include the effects of full-scale and zero-scale errors, temperature variation, linearity, and noise. *With autozero on or while scanning, and when large resistance with capacitive loads is measured, additional delay time is required.

Producent stwierdza, że graficzną wartość dokładności, którą deklaruje dla tego multimetru na podstawie certyfikatu kalibracji oblicza się według zależności: (…. % * wartość wskazana ± Ω).Funkcja gęstości prawdopodobieństwa rozkładu błędu jest funkcja jednostajną (prostokątną). Przykład: dla wartości wskazanej przez multimetr na zakresie

25

pomiarowy -

Fig. 3.17 Widok stanowiska pomiarowego z DMM, PCI 4060 w slocie komputerowym PCI

3.4.2. Wykonanie pomiarów 1. Uruchomić program ćwiczenie 3 (skrót na pulpicie: „skrót do Cieczenia 3 …)2. Wprowadzić nastawy u stawienia:

a. - omomierz do pomiaru rezystancji z 4-zaciskami, b. - zakres pomiarowy c. - dokładność omomierza z parametrów technicznych przyrządu pomiarowegod. - zadeklarować liczbę pomiarów 1024, e. - czasokres pomiędzy poszczególnymi pomiarami np. 20 ms może być inny po

uzgodnieniu z prowadzącym)3. - uruchomić pomiary (naciskając na ikobne białej strzałki w lewym górnym rogu) Strzałka

przyjmie kolor czarny, a po zakończeniu działania alikacji powróci do koloru białego)a. pomiary wykonujemy dla 10, 31 i 1024 powtórzeń (prowadzący może zalecić inne

liczby pomiarów)4. - po zakończeniu: pomiarów dla 10, 31 i 1024 próbek:

a. - przekopiować wartości i wykresy do własnego pliku wykonanie sprawozdania,b. - przekopiować na własny nośnik zapisany automatycznie utworzony plik z

pomiarami, który ma nazwę: „WYN_2008 nr XXX.lvm”, zapisywany w folderze: „pulpit/wynik studentów”, po wcześniejszym otwarciu go i zapisaniu w formacie (nazwa).xls lub (nazwa).txt.

c. pomiary wykonujemy dla 10, 31 i 1024 powtórzeń (prowadzący może zalecić inne liczby pomiarów)

5. Obliczenia można wykonać (zgodnie z poniższymi wskazówkami korzystając np. z arkusza kalkulacyjnego lub np. z graficznego środowiska LabView, którego licencja „CAMPUS” dostępną jest na wielu komputerach w Politechnice Łódzkiej w tym w Wydziałowej Pracowni Komputerowej Wydz. El. El. Informatyki i Automatyki zbiór z wynikami ora aplikacje w Labview można przekopiować na własny nośnik

26

3.4.3. Obliczenia Kolejność obliczeń dla 10, 31 i 1024 wyników pomiaru

a) z sporządzić wykres

b) obliczyć wartość średnia rezystancji

c) obliczyć błąd pozorny każdego wyniku pomiaru d) kwadrat błędu pozornego

e) odchylenie standardowe pojedynczego wyniku pomiaru

f) sprawdzić, czy w zborze wyników nie ma wyników obarczonych nadmiernym błędem (kryterium poprzez wyłączenie z wyników pomiaru tych które nie spełniają poniższej nierówności:

. Wyniki obarczone błędem nadmiernym należy wyłączyć z obliczeń i ponownie obliczyć wartość średnia, błędy pozorne, odchylenie standardowe i powtórnie zbadać czy nie ma konieczności eliminacji kolejnych wyników obarczonych błędem grubym

g) dla wyników pomiarów nie zawierających błędów pomiarowych nadmiernych należy wykonać histogram tak aby na osi pionowej była częstotliwość względna błędów pozornych w poszczególnych podprzedziałach wokół wartość średniej błędów pozornych (częstotliwość odniesioną do liczby wszystkich pomiarów otrzymuje się przez podzielenie liczby pomiarów w podprzedziale przez liczbę wszystkich pomiarów). Należy zauważyć, ze częstotliwość występowania pomiarów odpowiada prawdopodobieństwu ich wystąpienia w danym podprzedziale. Na osi poziomej wyznaczyć wartości środkowe podprzedziałów odniesione do wartości odchylenia standardowego

f) dla tak wyznaczonych i narysowanych histogramów należy wyznaczyć metoda najmniejszych kwadratów najkorzystniejszą funkcje rozkładu Normalnego i nanieść ja na wykres z histogramem

g) Obliczyć niepewność standardową wyznaczana metodą typu A (na podstawie serii pomiarówFig. 1.5 Widok stanowiska pomiarowego z DMM, PCI 4060 w slocie komputerowym PCI

Za pomocą multimetru podłączonego do komputera należy wykonać serię 1024 pomiarów, i dla 1024 oraz pierwszych 31 i 128 pomiarów dokonać statystycznej obróbki wyników pomiarów, tak aby wyznaczyć:

1. Obliczyć wartość średnią2. Obliczyć odchylenie standardowe z próby3. Wyeliminować błędy nadmierne stosując kryterium , o ile występuję i powtórzyć

operuje od początku (1), jeżeli nie przejść do punktu 44. Obliczyć odchylenie standardowe średniej5. Wykonać histogram błędów 6. Wyznaczyć metoda najmniejszych kwadratów najkorzystniejszą funkcję Rozkładu

Normalnego w stosunku do uzyskanych wyników pomiaru7. Test Obliczenia od 1-7 powtórzyć oddzielnie dla 31, 128 i 1024 wyników z próby.

Wyniki zestawić w tabeli:

27

Tab 3.3 – zestawienie wynikówLiczba pomiarów 31 128 1024Wartość średniaOdchylenie standardoweOdchylenie standardowe średniejHistogram błędów liczba dla liczby podprzedziałów:

5 9 11

Wyznaczyć najkorzystniejszą funkcję Rozkładu Normalnego W tabeli podać nową wartość odchylenia standardowegoWynik testu Niepewność wyniku pomiaru na poziomie ufności

Wartość średnia

Błąd pozorny

Niepewność standardowa typu A

Obliczyć niepewność Type na podstawie danych multimetru cyfrowego to

gdzie: – błąd w części multiplikatywnej I addytywnej multimetru – na zakresie rezystancji,

, – multiplikatywny I addytywny składnik błędu pomiaru multimetrem wartosci ze specyfikacji multimetru.

Niepwenośc łaczna

przyjąc współczynnik dla poziomu ufności

Test

28

Dodatek –widok panelu sterowania przyrządu wirtualnego – Multimetru NI DMM 4060 z dodatkowymi funkcjami statystycznej obróbki wyników pomiaru i obliczania niepewności

wyniku pomiaru z zastosowaniem algorytmu splotu rozkładów błędów cząstkowych wpływających na dokładność wyniku pomiaru

Rys. 1Wygląd Dane deklarowane przez użytkownika: tryb pracy czas pomiędzy kolejnymi próbkami pomiarowymi, dolna i górna wartość wielkości mierzonej, liczba obserwacji, wymagany poziom ufności, zakres pomiarowy przyrządu, składowe błędu deklarowane przez producenta multimetru.

Rys. 2 Wyniki pomiaru: wartość, średnia, przedział pokrycie czyli dotychczas zwany niepewnością, wyniku pomiaru, poziom ufności oraz wartość bieżąca, minimalna i maksymalna wartość w próbce

Rys. 3 Graficzna forma wyników: kolejne obserwacje, histogram, funkcje gęstości prawdopodobieństwa oraz splot funkcji gęstości prawdopodobieństwa i dystrybuanta

29