Ciągi i rekurencja, komputer dla matematyka

warsztaty towarzyszące konferencji Informatyka realnieprowadzą: Hanna Basaj

Jan Aleksander Wierzbicki

Ciągi określone rekurencyjnie

w projekcie nowej podstawy programowej

Treści nauczania – wymagania szczegółowe

Warunki i sposób realizacji treści z podstawy

programowej odnośnie ciągów

Rekurencja w matematyce

Rekurencja w matematyce, jak również w informatyce, to odwoływanie się funkcji (ciągu, algorytmu) do samej siebie.

Ze wzorem rekurencyjnym mamy do czynienia wtedy, gdy w definicji wyrazu n-tego mamy odwołanie do wyrazu o indeksie zależnym od n.

Przykłady zadań z możliwością wykorzystania TIK.

Zadania te można rozwiązać korzystając z arkusza kalkulacyjnego Excel z pakietu biurowego Ms Office lub innego dostępnego w „chmurze” np.:Arkusze Google – wcześniej należy zalogować się na swoje konto Google

Widoku Arkusza programu Geogebra 6.0 – można korzystać bez logowania się

Przykłady zadań i zastosowanie TIK

do ich rozwiązywania

Ciąg (an) jest określony rekurencyjnie

a1 = 1

an+1= an-3n+1 dla n > 1

a) Oblicz 4 wyraz ciągu (an)

b) Zbadaj monotoniczność ciągu (an)

Rozwiązanie w Arkuszach Google

Rozwiązanie w Widoku Arkusza w GeoGebrze

Zadanie 1

GeoGebra 6.0 dla każdego

bez potrzeby logowania się

- Korzystamy z platformy GeoGebra:www.geogebra.org

- wybieramy opcję GeoGebra klasyczna

- w menu GeoGebra Math Calculatorswybieramy opcję Spreadsheet Calc

Kolejne zadania

Rozwiązanie w Widoku Arkusza GeoGebry 6.0

Rozwiązanie w Widoku Arkusza GeoGebry 6.0

Ciąg rekurencyjne wokół nas

Huragan Sandy r. 2012Źródło: http://wehikulwartosci.blogspot.com/2012/11/i4-przestepstwo-rekurencyjne.html Spiralnie ułożone pestki słonecznika

według ciągu FibonacciegoŹródło: http://blog-o-inwestowaniu.blogspot.com/2011/02/zniesienia-fibonnaciego.html

Źródło: http://matematykainnegowymiaru.pl/open/lekcje.php?mode=pokaz&id=80

Ciąg Fibonacciego

Ciąg Fibonacciego pojawia się wszędzie wokół nas: w przyrodzie, architekturze, inżynierii, sztuce, fizyce, matematyce, w anatomii ludzkiego ciała.

Jest to ciąg liczb naturalnych określony rekurencyjnie:

an = 0 dla n = 0 Zaliczenie 0 do elementów ciągu

jest kwestią umowną1 dla n = 1

an – 1 + an-2 dla n > 1

Kolejne wyrazy ciągu zwane liczbami Fibonacciego(0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987 ...)

Tablica z kolejnymi liczbami Fibonacciego

Ciąg Fibonacciego – skąd ta nazwa?

Ciąg został opisany w dziele Liber abaci w 1202 roku

przez Leonarda z Pizy zwanego Fibonaccim

jako rozwiązanie zadania o rozmnażaniu się królików.

Nazwę ciąg Fibonacciego spopularyzował w XIX wieku francuski matematyk Edouard Lucas.

Lucas zajmował się algebrą, badał ciąg Fibonacciego, zajmował się rozrywkowymi zastosowaniami matematyki, wymyślił grę Wieże Hanoi w 1883 r.

Właściwości ciągu Fibonacciego

Jeżeli podzielimy przez siebie dowolne, kolejne dwa wyrazy ciągu Fibonacciego to stosunek tych liczb będzie równy zawsze tej samej liczbie, równej w przybliżeniu 1.618.

Im większe wyrazy ciągu podzielimy, tym dokładniejsze przybliżenie tej liczby uzyskamy. Liczbę tę nazywa się „złotą liczbą” i oznacza grecką literą φ

Stosunek tego podziału określa się również mianem „złotego podziału” lub „Boskiej proporcji”.

Kolejne wyrazy ciągu Fibonacciego

i złota liczba

Programowanie rekurencyjne czy iteracyjne?

Ciąg kwadratów, których długości boków są

kolejnymi liczbami Fibonacciego

Ciąg Fibonacciego w przyrodzie

Układ ziaren słonecznika

Ciąg LucasaLiczby Lucasa są tworzone w taki sam sposób, jak liczby Fibonacciego, ale dwa początkowe wyrazy ciągu to 2 i 1.

tablica z kolejnymi liczbami Lucasaln =

l0 = 2

l1 = 1

ln = ln-1 + ln-2 dla n > 1

Ciągi Lucasa znajdują zastosowanie w algorytmach szyfrowaniaz kluczem jawnym.

Podobnie jak w przypadku liczb Fibonacciego, stosunki kolejnych liczb Lucasa dążą także do liczby złotego podziału= 1,618033988749894

Kolejne elementy ciągu Lucasa, są równe zaokrągleniom kolejnych potęg liczby .

Kod źródłowy rozwiązania w C++

Rodzina złotych ciągów, złota zasada

Zadanie:

Wybierzmy dwie dowolne liczby całkowite.

Na ich podstawie stwórzmy ciąg (bn) powstający w ten sam sposób, co ciąg Fibonacciego.

Dla dalszych, kolejnych wyrazów tego ciągu wyznaczmy stosunek 𝑏𝑛

𝑏𝑛−1

Przykładowe rozwiązanie zadania

Co zauważymy?

𝑏𝑛

𝑏𝑛−1 1.618 =

Istotnym elementem nie są pierwsze wyrazy ciągu, lecz metoda powstawania ciągu, którą nazwiemyzłotą zasadą

Przykład złotego ciągu z liczbami wymiernymi

Dziękujemy za udział w warsztatach