Stanisław BednarekZespół Teorii Nanostruktur i NanourządzeńKatedra Informatyki Stosowanej i Fizyki KomputerowejWFiIS AGH

Operacje na spinie pojedynczego elektronu

w zastosowaniu do budowy bramek logicznych komputera kwantowego

Prezentowany materiał ukazał się w:

S. Bednarek, B. Szafran,Phys. Rev. Lett. 101, 216805 (2008)

S. Bednarek, B. Szafran, R.J. Dudek and K. LisPhys. Rev. Lett. 100, 12685 (2008)

S. Bednarek B. Szafran, Nanotechnology 20 (2009) 065402

S. Bednarek, K. Lis, B. Szafran Phys. Rev. B77, (2008) 115320

Plan wkładu.

2. Stan dotychczasowych koncepcji wykonywania operacji na spinach elektronu.

6. Oddziaływanie spin-orbita w nanostrukturach półprzewodnikowych

4. Indukowane kropki i druty kwantowe.

7. Propozycja konstrukcji podstawowych bramek kwantowych

8. Podsumowanie.

1. Spin elektronu jako nośnik bitu kwantowego

Co musimy wiedzieć o komputerze kwantowym?

Komputer klasyczny kwantowy

Jednostka pamięci bit bit kwantowy klasyczny kubit

Liczba stanów dwa ∞

↑↓ ilub

1i0

↑β+↓α

β+αlub

10

Operacje wykonujemy kolejno na każdym stanie

Operacje wykonujemy jednocześnie na obu stanach bazowych

Co może stanowić nośnik bitu kwantowego?

Bit klasyczny realizujemy na dwustanowym układzie elektronicznym

Dowolny układ kwantowy o dwóch stanach bazowych:

Najbardziej obiecującym nośnikiem bitu kwantowegojest spin elektronu, ponieważ:

1,0

1. Spin elektronu posiada dokładnie dwa stany bazowe

2. Odporność na oddziaływanie z otoczeniem (długi czas koherencji)

Potrzebne więc będą nanourządzenia, w których na spinie elektronu będzie można wykonywać operacje

odpowiadające kwantowym bramkom logicznym.

Dotychczasowe konstrukcje i ich teoretyczne modelowanie

S. Bednarek, B. Szafran, and K. Lis Phys. Rev. B77, 115320 (2008)

W studni kwantowej pojawia się 2D gaz elektronowy

substrate

AlAs

metal gate

blocking barrier 10nm ALAs

10 nm GaAs QW

V(y)

bufor

J. M. Elzerman et al. (Delft -Holandia) Appl. Phys. Lett. 94, 4617 (2004)

Napięcie przyłożone do elektrod wypycha

spod nich elektrony

R. Hanson et al. (Delft -Holandia)Zeeman Energy and Spin Relaxation in a One-Electro Quantum DotPhys. Rev. Lett. 91, 196802 (2003)

Operacje na spinach w eksperymencie:

Przykładamy pole magnetyczne

Obrót spinu – mikrofalaO odpowiedniej energii meVE 2.0=∆=ω ⇒ λ=6 mm

umieszczamy w nanourządzeniu pojedynczy elektron

B=0 B=10T

spin ∆ E

Operacje na spinach w eksperymencie:

Obrót spinu wymaga:• zewnętrznego pola magnetycznego• mikrofali o długości kilku milimetrów

Trudności z budową rejestrów wielokubitowych

Jeżeli kubity tworzące rejestr umieścimy w odległościach nanometrowychstracimy możliwość wykonywania operacji na pojedynczych kubitach.

Czy możliwe jest inne rozwiązanienie wymagające mikrofal i pola magnetycznego?

Spróbujmy w tym celu wykorzystać efekt „induktonowy”, czylisamoogniskowanie funkcji falowej elektronu

Nadające elektronowi własności solitonu.

⇒

z

V(z)

GaAs

AlGaAs

Elektron

metal

AlGaAs

Elektron znajdujący się w studni kwantowej powoduje redystrybucję ładunku na dolnej powierzchni metalu aż do wyzerowania równoległej do powierzchni składowej pola.

Przypomnienie pojęcia „induktonu” lub inaczej efektu samoogniskowania elektronowej funkcji falowej

Pojawia się potencjał uwięzienia bocznego formujący funkcję falową elektronu w stabilny pakiet falowymający podczas ruchu własności solitonu.

Poza stabilnością kształtu,najciekawszą własnością induktonu jest

Jego zdolność do pokonywania przeszkód.(niezwykła dla cząstki kwantowej)

Indukton podobnie jak cząstka klasyczna potrafi tunelować lub odbijać się od przeszkód

z prawdopodobieństwem 100%

symulacje\rozpraszanie1.exe

file:///D:/symulacje\rozpraszanie1.exefile:///D:/symulacje\rozpraszanie1.exe

Znajdujemy Hamiltonian induktonu, który zawiera energię kinetyczną elektronu

( )( )∫ +′−

′ρ′κ−= +22

2

d4rr

rrde)d,r(U

oraz energię potencjalną, którą stanowi potencjał pochodzący od obrazu:

Uyxm2

H 22

2

22

+

∂∂+

∂∂−=

W jaki sposób opisujemy własności Induktonu?

Rozwiązania stacjonarne znajdujemy rozwiązując bezczasowe równanie Schroedingera:

ψ=ψ EH

Rozwiązania niestacjonarne znajdujemy rozwiązując równanie Schroedingera zależne od czasu:

it

x t H t x t ∂∂

ψ ψ( , ) ( ) ( , )=

GaAs

AlGaAs

Elektron

metal

AlGaAs

GaAs

AlGaAs

metal

AlGaAs

W realnych nanourządzeniach warunek ten na ogół nie jest spłeniony Metalowe elektrody mają skończone rozmiary

Metodę obrazów stosujemy tylko wtedy, gdy metalowa elektroda na powierzchni struktury jest nieskończoną płaszczyzną

GaAs

AlGaAs

metalowe elektrody

AlGaAs

Otaczamy całe nanourządzenie trójwymiarowym prostopadłościanem i w nim znajdujemy rozkład potencjału rozwiązując Równanie Poissona

( ) ( )r1r0

2 ρε ε

=Φ∇ ( ) ( )rerU Φ−=⇒Uwaga! W symulacjach zależnych od czasu, równanie Poissona rozwiązujemy w każdej chwili czasowej.

Indukowane kropki kwantowe

120 160 200 240 280

x [nm]

120140160180200220240260280

y [n

m]

0 100 200 300 400b [nm]

-3.0

-2.0

-1.0

0.0

ener

gy [m

eV]

40

80

120

160

200

D [n

m]

S. Bednarek, B. Szafran, R.J. Dudek and K. Lis“Induced Quantum Dots and Wires: Electron Storage and Delivery”

Phys. Rev. Lett. 100, 12685 (2008)

Indukowane druty kwantowe

0 100 200 300 400

x [nm]

050

100150200250300350400

y [n

m]

0 100 200 300 400b [nm]

-1.6

-1.2

-0.8

-0.4

0.0

ener

gy [m

eV]

50

60

70

80

Dx,

Dy

[nm

]

Indukowane kropki i druty kwantowe

0.00 100.00 200.000.00

100.00

200.00

300.00

400.00

500.00

600.00

700.00

800.00

0.00 100.00 200.000.00

100.00

200.00

300.00

400.00

500.00

600.00

700.00

800.00

0.00 100.00 200.000.00

100.00

200.00

300.00

400.00

500.00

600.00

700.00

800.00

0.00 100.00 200.000.00

100.00

200.00

300.00

400.00

500.00

600.00

700.00

800.00

0.00 100.00 200.000.00

100.00

200.00

300.00

400.00

500.00

600.00

700.00

800.00

0.00 100.00 200.000.00

100.00

200.00

300.00

400.00

500.00

600.00

700.00

800.00

0.00 100.00 200.000.00

100.00

200.00

300.00

400.00

500.00

600.00

700.00

800.00

0.00 100.00 200.000.00

100.00

200.00

300.00

400.00

500.00

600.00

700.00

800.00

0.00 100.00 200.000.00

100.00

200.00

300.00

400.00

500.00

600.00

700.00

800.00

0.00 100.00 200.000.00

100.00

200.00

300.00

400.00

500.00

600.00

700.00

800.00

0.00 100.00 200.000.00

100.00

200.00

300.00

400.00

500.00

600.00

700.00

800.00

0.00 100.00 200.000.00

100.00

200.00

300.00

400.00

500.00

600.00

700.00

800.00

0.00 100.00 200.000.00

100.00

200.00

300.00

400.00

500.00

600.00

700.00

800.00

0.00 100.00 200.000.00

100.00

200.00

300.00

400.00

500.00

600.00

700.00

800.00

0.00 100.00 200.000.00

100.00

200.00

300.00

400.00

500.00

600.00

700.00

800.00

0.00 100.00 200.000.00

100.00

200.00

300.00

400.00

500.00

600.00

700.00

800.00

0.00 100.00 200.000.00

100.00

200.00

300.00

400.00

500.00

600.00

700.00

800.00

0.00 100.00 200.000.00

100.00

200.00

300.00

400.00

500.00

600.00

700.00

800.00

0.00 100.00 200.000.00

100.00

200.00

300.00

400.00

500.00

600.00

700.00

800.00

0.00 100.00 200.000.00

100.00

200.00

300.00

400.00

500.00

600.00

700.00

800.00

0.00 100.00 200.000.00

100.00

200.00

300.00

400.00

500.00

600.00

700.00

800.00

0.00 100.00 200.000.00

100.00

200.00

300.00

400.00

500.00

600.00

700.00

800.00

0.00 100.00 200.000.00

100.00

200.00

300.00

400.00

500.00

600.00

700.00

800.00

e1

e2

e3

Ve3=-0.1mVVe2=-0.1mVVe1=0

Ve3=-0.1mVVe2=0Ve1=-0.1mV

Ve3=-0.1mVVe2=-0.15Ve1=0.

0.00 100.00 200.000.00

100.00

200.00

300.00

400.00

500.00

600.00

700.00

800.00

Indukowane kropki i druty kwantowe

0 200

y [nm]

0100200300400500600700800

x [n

m]

10 30 50 70

t [ps]

0100200300400500600700800

x [n

m]

(a) (b)

0.00 50.00 100.00 150.00 200.00 250.00 300.00 350.00 400.00

0.00

50.00

100.00

150.00

200.00

250.00

300.00

350.00

400.00

450.00

500.00

0.00 50.00 100.00 150.00 200.00 250.00 300.00 350.00 400.000.00

50.00

100.00

150.00

200.00

250.00

300.00

350.00

400.00

450.00

500.00

0.00 50.00 100.00 150.00 200.00 250.00 300.00 350.00 400.000.00

50.00

100.00

150.00

200.00

250.00

300.00

350.00

400.00

450.00

500.00

0.00 50.00 100.00 150.00 200.00 250.00 300.00 350.00 400.000.00

50.00

100.00

150.00

200.00

250.00

300.00

350.00

400.00

450.00

500.00

0.00 50.00 100.00 150.00 200.00 250.00 300.00 350.00 400.000.00

50.00

100.00

150.00

200.00

250.00

300.00

350.00

400.00

450.00

500.00

0.00 50.00 100.00 150.00 200.00 250.00 300.00 350.00 400.000.00

50.00

100.00

150.00

200.00

250.00

300.00

350.00

400.00

450.00

500.00

0.00 50.00 100.00 150.00 200.00 250.00 300.00 350.00 400.000.00

50.00

100.00

150.00

200.00

250.00

300.00

350.00

400.00

450.00

500.00

0.00 50.00 100.00 150.00 200.00 250.00 300.00 350.00 400.000.00

50.00

100.00

150.00

200.00

250.00

300.00

350.00

400.00

450.00

500.00

0.00 50.00 100.00 150.00 200.00 250.00 300.00 350.00 400.000.00

50.00

100.00

150.00

200.00

250.00

300.00

350.00

400.00

450.00

500.00

0.00 50.00 100.00 150.00 200.00 250.00 300.00 350.00 400.000.00

50.00

100.00

150.00

200.00

250.00

300.00

350.00

400.00

450.00

500.00

0.00 50.00 100.00 150.00 200.00 250.00 300.00 350.00 400.000.00

50.00

100.00

150.00

200.00

250.00

300.00

350.00

400.00

450.00

500.00

0.00 50.00 100.00 150.00 200.00 250.00 300.00 350.00 400.000.00

50.00

100.00

150.00

200.00

250.00

300.00

350.00

400.00

450.00

500.00

0.00 50.00 100.00 150.00 200.00 250.00 300.00 350.00 400.000.00

50.00

100.00

150.00

200.00

250.00

300.00

350.00

400.00

450.00

500.00

0.00 50.00 100.00 150.00 200.00 250.00 300.00 350.00 400.000.00

50.00

100.00

150.00

200.00

250.00

300.00

350.00

400.00

450.00

500.00

0.00 50.00 100.00 150.00 200.00 250.00 300.00 350.00 400.000.00

50.00

100.00

150.00

200.00

250.00

300.00

350.00

400.00

450.00

500.00

0.00 50.00 100.00 150.00 200.00 250.00 300.00 350.00 400.000.00

50.00

100.00

150.00

200.00

250.00

300.00

350.00

400.00

450.00

500.00

0.00 50.00 100.00 150.00 200.00 250.00 300.00 350.00 400.000.00

50.00

100.00

150.00

200.00

250.00

300.00

350.00

400.00

450.00

500.00

0.00 50.00 100.00 150.00 200.00 250.00 300.00 350.00 400.000.00

50.00

100.00

150.00

200.00

250.00

300.00

350.00

400.00

450.00

500.00

0.00 50.00 100.00 150.00 200.00 250.00 300.00 350.00 400.000.00

50.00

100.00

150.00

200.00

250.00

300.00

350.00

400.00

450.00

500.00

Możliwy jest również ruch po zakrzywionej trajektorii

0.00 50.00 100.00 150.00 200.00 250.00 300.00 350.00

0.00

50.00

100.00

150.00

200.00

250.00

300.00

350.00

400.00

450.00

500.00

0.00 50.00 100.00 150.00 200.00 250.00 300.00 350.000.00

50.00

100.00

150.00

200.00

250.00

300.00

350.00

400.00

450.00

500.00

0.00 50.00 100.00 150.00 200.00 250.00 300.00 350.000.00

50.00

100.00

150.00

200.00

250.00

300.00

350.00

400.00

450.00

500.00

0.00 50.00 100.00 150.00 200.00 250.00 300.00 350.000.00

50.00

100.00

150.00

200.00

250.00

300.00

350.00

400.00

450.00

500.00

0.00 50.00 100.00 150.00 200.00 250.00 300.00 350.000.00

50.00

100.00

150.00

200.00

250.00

300.00

350.00

400.00

450.00

500.00

0.00 50.00 100.00 150.00 200.00 250.00 300.00 350.000.00

50.00

100.00

150.00

200.00

250.00

300.00

350.00

400.00

450.00

500.00

0.00 50.00 100.00 150.00 200.00 250.00 300.00 350.000.00

50.00

100.00

150.00

200.00

250.00

300.00

350.00

400.00

450.00

500.00

0.00 50.00 100.00 150.00 200.00 250.00 300.00 350.000.00

50.00

100.00

150.00

200.00

250.00

300.00

350.00

400.00

450.00

500.00

0.00 50.00 100.00 150.00 200.00 250.00 300.00 350.000.00

50.00

100.00

150.00

200.00

250.00

300.00

350.00

400.00

450.00

500.00

0.00 50.00 100.00 150.00 200.00 250.00 300.00 350.000.00

50.00

100.00

150.00

200.00

250.00

300.00

350.00

400.00

450.00

500.00

0.00 50.00 100.00 150.00 200.00 250.00 300.00 350.000.00

50.00

100.00

150.00

200.00

250.00

300.00

350.00

400.00

450.00

500.00

0.00 50.00 100.00 150.00 200.00 250.00 300.00 350.000.00

50.00

100.00

150.00

200.00

250.00

300.00

350.00

400.00

450.00

500.00

0.00 50.00 100.00 150.00 200.00 250.00 300.00 350.000.00

50.00

100.00

150.00

200.00

250.00

300.00

350.00

400.00

450.00

500.00

0.00 50.00 100.00 150.00 200.00 250.00 300.00 350.000.00

50.00

100.00

150.00

200.00

250.00

300.00

350.00

400.00

450.00

500.00

0.00 50.00 100.00 150.00 200.00 250.00 300.00 350.000.00

50.00

100.00

150.00

200.00

250.00

300.00

350.00

400.00

450.00

500.00

0.00 50.00 100.00 150.00 200.00 250.00 300.00 350.000.00

50.00

100.00

150.00

200.00

250.00

300.00

350.00

400.00

450.00

500.00

0.00 50.00 100.00 150.00 200.00 250.00 300.00 350.000.00

50.00

100.00

150.00

200.00

250.00

300.00

350.00

400.00

450.00

500.00

0.00 50.00 100.00 150.00 200.00 250.00 300.00 350.000.00

50.00

100.00

150.00

200.00

250.00

300.00

350.00

400.00

450.00

500.00

0.00 50.00 100.00 150.00 200.00 250.00 300.00 350.000.00

50.00

100.00

150.00

200.00

250.00

300.00

350.00

400.00

450.00

500.00

0.00 50.00 100.00 150.00 200.00 250.00 300.00 350.000.00

50.00

100.00

150.00

200.00

250.00

300.00

350.00

400.00

450.00

500.00

przeprowadzenie elektronu pomiędzy dowolnymi punktaminanourządzenia

Udaje się przetransportować elektron pomiędzy różnymi elementami nanourządzenia

Zastosowanie efektu ?

!!!!! z prawdopodobieństwem 100% !!!!! funkcja falowa elektronu ulega niewielkim deformacjom

Pierwszym pomysłem zastosowania efektu był transport elektronu w polu magnetycznym, w którym dzięki domieszkom magnetycznym można uzyskać lokalne niejednorodności pozwalające na wykonywanie kontrolowanych operacji na spinie elektronu.

Pomysł ten został jednak zastąpiony lepszym!

Do wykonania operacji na spinie elektronu można użyć oddziaływania spin-orbita

Oddziaływanie spin-orbita

Równanie Diraca

∞→c

Równanie Schrödingera Poprawki relatywistyczne+

( ) ...............cm4

p̂)r(V)r(Vm2

p̂H~22

0

2

+×∇⋅σ++=

Oddziaływanie spin-orbita

Oddziaływanie spin-orbita

( )22

0

so

cm4p̂)r(VH

×∇⋅σ=Oddziaływanie spin-orbita powoduje obrót spinu elektronu przy jego ruchu w obecności gradientu potencjału (np. pola elektrycznego)

W typowych nanostrukturach półprzewodnikowych jest wystarczająco silne do wykonywania operacji na spinie elektronu

0 40 80 120 160time [ps]

(a) (b)

λSO

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

σzσxσy

Po pokonania w kierunku osi „z” odcinka λso=1700nmspin elektronu obraca się o 360oWokół osi „x”(symulacja wykonana dla Si)

przy ruchu w kierunku „z” spin obraca się wokół osi „x”podobnieprzy ruchu w kierunku „x” spin obraca się wokół osi „z”

Oddziaływanie spin-orbita

Efekt wykorzystamy zmuszając elektron do ruchu po krzywej zamkniętej

S. Bednarek, B. Szafran,“Spin rotations induced by an electron running in closed trajectories in gated semiconductor nanodevices” Phys. Rev. Lett. 101, 216805 (2008)

0 200 400 600 800 1000

x [nm]

0100200300400500600700

z [n

m]

0 40 80 120 160 200

time [ps]

0

400

800

1200

x, z

[nm

]

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

A B C D

0 200 400 600 800 1000x [nm]

0100200300400500600700

z [n

m]

A

B

C

D

e

e

e e1 2

3

4

spin orientation

σzσxσy

Bramka negacji NOT

↑=↓

↓=↑NOT

NOT

U

U

zz

zz

σ→σσ→σ

−

−

bramka_NOT\NOT.exe

file:///D:/bramka_NOT\NOT.exefile:///D:/bramka_NOT\NOT.exe

A

B

C

D

e

ee e1 2

3

4

0 200 400 600x' [nm]

0

200

400

600

800

1000

1200

z' [

nm]

0 50 100 150 200time [ps]

0

400

800

1200

x', z

' [nm

]

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

AB

C D

Bramka Hadamarda

( )zx2

1z +=′

( )zx2

1x −=′

σzσxσy

( )( )↓−↑=↓

↓+↑=↑

21U

21U

H

H

xz

xz

−− σ→σσ→σ

bramka_Hadamarda\bramka_Hadamarda.exe

file:///D:/bramka_Hadamarda\bramka_Hadamarda.exefile:///D:/bramka_Hadamarda\bramka_Hadamarda.exefile:///D:/bramka_Hadamarda\bramka_Hadamarda.exefile:///D:/bramka_Hadamarda\bramka_Hadamarda.exefile:///D:/bramka_Hadamarda\bramka_Hadamarda.exefile:///D:/bramka_Hadamarda\bramka_Hadamarda.exe

Ux(-π/2)

Uz(π)

Ux(π/2)

Uz(-π)

Uz(-π/2)

Ux(-π)

Uz(π/2)

Ux(-π/2)

0 400 8000

200

400

600

800

1000

1200

e2 e3 UH UNOT

Uπ

e4 e5

e6 e7

e8

e9

e10

e11

e12

e13 Ux(π)

Nanourządzenie pozwalające na wykonanie na spinie elektronu dowolnej sekwencji operacji logicznych

NOTHadamardaZmiany fazy

S. Bednarek B. Szafran, „Gated combo nanodevice for sequential operations on single electron spin”Nanotechnology 20 (2009) 065402

Podsumowanie•Pod metalowymi elektrodami umieszczonymi na powierzchni nanostrukturyelektron może być transportowany w postaci stabilnego do dowolnego miejsca w nanourządzeniu.

•Elektron może być transportowany zarówno po liniach prostych jak i łamanychz prawdopodobieństwem 100%.

•W nanostrukturach półprzewodnikowych półprzewodnikowych oddziaływanie spin-orbita jest na tyle silne, że elektron pokonujący drogę rzędu kilkuset nm obraca swój spin o1800.

•Łącząc oba efekty można zbudować nanourządzenia wykonującena spinie elektronu dowolną operację.

Podsumowanie

•Udało się zasymulować działanie trzech jednokubitowych kwantowych bramek logicznych operujących na spinie elektronu

Bramki NOTBramki HadamardaBramki zmiany fazy

•Można również zbudować nanourządzenie, wykonujące na spinie jednego elektronu dowolną sekwencję operacji logicznych.

Nie wymagają mikrofal ani zewnętrznych pól magnetycznych

Operacje są sterowane przyłożonymi do elektrod niewielkimi napięciami (.1mV)

Po połączeniu kubitów w rejestry wieokubitowe, bez trudu mogą być wykonywane operacje logiczne na pojedynczych kubitach

Bramki NOTBramki HadamardaBramki zmiany fazy

•W porównaniu z dotychczasowymi konstrukcjami zaproponowane nanourządzenia mają szereg zalet:

Slajd 1Slajd 2Slajd 3Slajd 4Slajd 5Slajd 6Slajd 7Slajd 8Slajd 9Slajd 10Slajd 11Slajd 12Slajd 13Slajd 14Slajd 15Slajd 16Slajd 17Slajd 18Slajd 19Slajd 20Slajd 21Slajd 22Slajd 23Slajd 24Slajd 25Slajd 26Slajd 27Slajd 28