Uniwersytet Warszawski - mimuw.edu.plapalczew/praca2015.pdf · Uniwersytet Warszawski Wypracowanie...

16
Uniwersytet Warszawski Wypracowanie z Seminarium Modele Matematyczne w Finansach THE MOMENT FORMULA FOR IMPLIED VOLATILITY AT EXTREME STRIKES Roger W.Lee Autor: Bartlomiej Pieper Sprawdzający: Prof. Andrzej Palczewski 11 lipca 2015

Transcript of Uniwersytet Warszawski - mimuw.edu.plapalczew/praca2015.pdf · Uniwersytet Warszawski Wypracowanie...

Page 1: Uniwersytet Warszawski - mimuw.edu.plapalczew/praca2015.pdf · Uniwersytet Warszawski Wypracowanie z Seminarium Modele Matematyczne w Finansach THE MOMENT FORMULA FOR IMPLIED VOLATILITY

Uniwersytet Warszawski

Wypracowanie z SeminariumModele Matematyczne w Finansach

THE MOMENT FORMULA FORIMPLIED VOLATILITY AT

EXTREME STRIKESRoger W.Lee

Autor:Bartłomiej Pieper

Sprawdzający:Prof. Andrzej Palczewski

11 lipca 2015

Page 2: Uniwersytet Warszawski - mimuw.edu.plapalczew/praca2015.pdf · Uniwersytet Warszawski Wypracowanie z Seminarium Modele Matematyczne w Finansach THE MOMENT FORMULA FOR IMPLIED VOLATILITY

Wstęp

Głównym przedmiotem zainteresowania pracy THE MOMENT FORMULAFOR IMPLIED VOLATILITY AT EXTREME STRIKES wg. Rogera W.Lee jest pojęcie zmienności implikowanej. Kluczowym zagadnieniem jest od-działywanie zmienności na wartość opcji charakteryzujących się relatywniedużymi i odpowiednio małymi cenami wykonania. Zaczniemy od odpowiedzina pytanie: Po co liczyć zmienność implikowaną?

Okazuje się, że, poniekąd wbrew intuicji, na rynkach finansowych handlujesię instrumentami pochodnymi de facto w oparciu o zmiennością impliko-waną, a nie, jak wydawałoby się być naturalnym, opierając się na wycenieinstrumentu pochodnego wyrażonego w tradycyjnym ekwiwalencie pienięż-nym.

W typowej sytuacji instytucja finansowa ma dostęp do większości danychhistorycznych, które pozwalają na wycenę opcji w oparciu o przyjęty mo-del. Takimi danymi mogą być: akutalna cena instrumentu bazowego, czasdo zapadnięcia instrumentu, bieżąca stopa procentowa pozbawiona ryzyka.Jednym z wyjątków jest zmienność aktywa bazowego opcji. Niestety nie ist-nieje jeden doskonały sposób jej szacowania.

Informację o wysokości zmienności implikowanej (które wylicza się w opar-ciu o ogólnie uznawane modele np. Blacka-Scholesa) uzyskanej na podstawiedanych historycznych można znaleźć na platformach finansowych (np. Reu-ters, Bloomberg).

Niewątpliwym benefitem posiadania informacji o zmienności implikowanej,a nie ceny zadanego instrumentu jest możliwość natychmiastowej wycenynie tylko tego instrumentu, ale również innych opartych o ten sam walorbazowy. Przykładem jest wykorzystanie płaszczyn zmienności opcji wanilio-wych do wyceny np. opcji binarnych.

Korzystanie z zmienności implikowanej nastręcza dwie główne trudności. Popierwsze, ma ona charakter historyczny. Aby uzyskać zmienność implikowa-ną niezbędna jest cena instrumentu bazowego, a zatem bierze się pod uwagętransakcje z przeszłości.

Po drugie, zmienność implikowaną potrafimy określić jedynie dla opcji stan-dardowych, a więc płynnych. To zaś zmusza do szacowania zmienności im-plikowanej dla niestandardowych opcji w taki sposób aby rynek pozostałbezarbitrażowy. Jednym z parametrów czyniącym opcję niestandardową jestcena wykonania. Roger W. Lee rozważa w swojej pracy przypadek szczegól-ny tego zagadnienia. Sensu stricte poszukuje odpowiedzi na pytanie: Jak

2

Page 3: Uniwersytet Warszawski - mimuw.edu.plapalczew/praca2015.pdf · Uniwersytet Warszawski Wypracowanie z Seminarium Modele Matematyczne w Finansach THE MOMENT FORMULA FOR IMPLIED VOLATILITY

prawidłowo oszacować zmienność implikowaną dla bardzo dużych i bardzomałych cen wykonania?

Definicje i oznaczenia

Na początku zdefiniujemy wszystkie niezbędne wielkości. Niech

T - ustalony moment wygaśnięcia instrumentuSt - wartość instrument bazowego w w momencie tFt - wartość kontraktu forward na instrument bazowy St w momencie tBt - czynnik dyskontowy (cena aktywa pozbawionego ryzyka w momencie ti o zapadalności w T)K - cena wykonania opcji

Załóżmy, że na rynku nie ma arbitrażu. Zgodnie z pierwszym podstawowymtwierdzeniem matematyki finansowej na takim rynku istnieje co najmniejjedna miara martyngałowa. Oznaczmy ją przez P . A zatemBt-dyskontowanyproces cen aktywa St jest martyngałem. Przez E definiujemy wartość oczeki-waną względem tej miary. Ceny opcji call i put zadajemy za pomocą równości

C(K) = B0E(ST −K)+

P (K) = B0E(K − ST )+

gdzie K > 0.

Zmienność implikowana zadano poprzez wzór Blacka-Scholesa. Należy zwró-cić uwagę, że nieprzypadkowo mówimy o wzorze, a nie o modelu Blacka-Scholesa. Nietrudno zauważyć, że samo założenia o braku arbitrażu to zbytmało aby móc ten model wprowadzić. Będziemy zatem rozważać pewienogólny model wyceny opcji, a model Blacka-Scholesa zostaje sprowadzonydo wzoru dzięki któremu otrzymujemy zmienność implikowaną. Przyjmuje-my zatem, że

C(K(x)) = CBS(x, I(x))

gdzieCBS(x, σ) := B0(F0φ(d+)−K(x)φ(d−))

d+−

:=−xσ√T+−σ√T

2

x := log(K/F0) (log-moneyness)

3

Page 4: Uniwersytet Warszawski - mimuw.edu.plapalczew/praca2015.pdf · Uniwersytet Warszawski Wypracowanie z Seminarium Modele Matematyczne w Finansach THE MOMENT FORMULA FOR IMPLIED VOLATILITY

Jeśli przyjmiemy, że zmienność implikowana I(x) ma postać

I(x) :=

√β|x|T

gdzie β jest odpowiednio dobranym współczynnikiem, wówczas cena opcjicall wyrażona przy pomocy wzoru Blacka-Scholesa wyraża się w sposób na-stępujący

CBS(x,√β|x|/T ) = B0F0φ(−

√f−(β)|x|)−B0F0exφ(−

√f+(β)|x|)

F+−

(β) :=1β

4+−1

Opcja call

Rozważmy opcję call. Kluczowym elementem artykułu jest udowodnienienastępującego twierdzenia

Twierdzenie 1. Niech

p := supp : ES1+pT <∞

βR := limsupx→∞I2(x)|x|/T

Wówczas βR ∈ [0, 2] oraz

p =1

2βR+βR8− 1

2

Przyjmujemy, że 1/0 :=∞

W tym celu autor wprowadza następujące twierdzenia pomocnicze

Twierdzenie 2. Dla każdego p > 0 i K > 0 prawdziwa jest nierówność

C(K) ¬ B0E(Sp+1T )p+ 1

(p

p+ 1

)p 1Kp

oraz

P (K) ¬ B0E(S−qT )q + 1

(q

q + 1

)q 1K1+q

gdzie przez C(K), P (K) rozumiemy opcję call i put zdefiniowane powyżej.

Twierdzenie 3. Istnieje x∗ > 0 takie że, dla każdego x > x∗ zachodzinierówność

I(x) <√

2|x|/T

4

Page 5: Uniwersytet Warszawski - mimuw.edu.plapalczew/praca2015.pdf · Uniwersytet Warszawski Wypracowanie z Seminarium Modele Matematyczne w Finansach THE MOMENT FORMULA FOR IMPLIED VOLATILITY

Twierdzenie 2. jest ciekawym sposobem szacowania ceny opcji call i put. Najego podstawie otrzymujemy, że jeśli ESp+1T < ∞ to C(K) = O(K−p) przyK →∞. Analogicznie jeśli ES−qT <∞ to P (K) = O(K1+q) przy K → 0.

Twierdzenie 3. zadaje ograniczenie zmienności implikowanej dla odpowied-nio dużych wartości log-moneyness. Jest to niezmiernie istotna informacja,którą uwzględnia się podczas ekstrapolacji zmienności implikowanej metodąB-splajnów.

Dowody obu twierdzeń wykorzystują ogólnie znane fakty z zakresu analizymatematycznej i mają charakter techniczny. Można je odnaleźć w artykule.

Opcja put

Powyższe twierdzenia mają swoje odpowiedniki dla opcji put. Ich dowodyprzebiegają niemal identycznie jak w przypadku opcji call. Ich treści za-mieszczono poniżej.

Twierdzenie 4. Dla każdego β > 2 istnieje x∗ takie, że dla każdego x < x∗

zachodzi nierównośćI(x) <

√β|x|/T

Dla β = 2 nierówność ta jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy P (ST =0) < 12 .

Twierdzenie 5. Niech

q := supq : ES−qT <∞

βL := limsupx→−∞I2(x)|x|/T

Wówczas βL ∈ [0, 2] oraz

q =1

2βL+βL8− 1

2

Przyjmujemy, że 1/0 :=∞.

Jak się okazuje Twierdzenie 5. można udowodnić niewprost, korzystając ztwierdzeń dotyczących opcji call. W tym celu stosuje się (w sposób umie-jętny) twierdzenie Girsanova i uzyskuje pewną miarę S, która stanowi tzw.zagraniczą miarę neutralną względem ryzyka. Obie wersje twierdzeń są za-tem symetryczne.

W rezultacie zauważa się, że opcja walutowa denominowana w walucie CUR1na walutę CUR2 i cenie wykonania K ma dokładnie tę samą zmiennośćimplikowaną co opcja walutowa denominowana w walucie CUR2 na walutęCUR1 i cenie wykonania K−1, co jest w pełni zgodne z praktyką rynkową.

5

Page 6: Uniwersytet Warszawski - mimuw.edu.plapalczew/praca2015.pdf · Uniwersytet Warszawski Wypracowanie z Seminarium Modele Matematyczne w Finansach THE MOMENT FORMULA FOR IMPLIED VOLATILITY

Wnioski

Niniejsza praca udowadnia zatem dwie istotne własności, które odnajdująbezpośrednie zastosowanie w badaniach nad zmiennością implikowaną.

Po pierwsze pokazuje, że szacując tzw. volatility smile należy wziąć poduwagę, że nachylenie na ogonach nie powinno być rzędu większego aniżeliO(|x|1/2), co jest faktem niezmiernie ważnym np. podczas kalibracji modeliz wykorzystaniem B-splajnów (pozwala na narzucenie dodatkowych warun-ków na ogonach). Mówi o tym Twierdzenie 2. i Twierdzenie 3.

Po drugie, wzór na momenty pozwala na oszacowanie nachylenia na ogo-nach (w rozumieniu asymptotycznym). Zgodnie z rekomendacją autora jestto dobry sposób na wyznaczenie wartości początkowej dla algorytmów opty-malizujących volatility smile. Mówi o tym Twierdzenie 1.

Zwróćmy uwagę na ogólny charakter twierdzeń. Zakładamy jedynie istnieniemiary martyngałowej oraz to że 0 < EST <∞. W efekcie, wyłuszczone faktymogą być z sukcesem wykorzystywane we współczesnych modelach.

6

Page 7: Uniwersytet Warszawski - mimuw.edu.plapalczew/praca2015.pdf · Uniwersytet Warszawski Wypracowanie z Seminarium Modele Matematyczne w Finansach THE MOMENT FORMULA FOR IMPLIED VOLATILITY

Płaszczyzna Zmienności: teoria i reguły kciuka

[email protected]

Sierpień 2015

Niniejsza praca jest przedstawieniem referatu wygaszanego na Semina-rium Magisterskim prof. Andrzeja Palczewskiego oraz dr. Piotra KowalczykaModele matematyczne w finansach w maju 2015. Referat dotyczył najistotniej-szych faktów artykułu pt. Volatility Surfaces: Theory, Rules of Thumb, andEmpirical Evidence autorstwa Toby’ego Daglisha, Johna Hulla oraz WulinaSuo, wersji z Sierpnia 2006. Artykuł ten traktuję o płaszczyźnie zmiennościimplikowanej oraz jej zastosowaniach na rynkach finansowych. Handlowcy, mo-delując trendy cen instrumentów finansowych, stosują tzw. reguły kciuka opartena zmienności implikowanej, wspomniany artykuł testuje czy są one zgodne zzałożeniem braku arbitrażu w zależności od przyjętej metodologii oraz zestawiaje z realnymi danymi cen opcji na indeks S&P 500.

1 WstępWartość zmienności implikowanej wyznaczają ceny bazowego instrumentu finan-sowego oraz dana metodologia. Przytaczając przejrzysty model Blacka-Scholesa-Mertona oraz rozpaprując ceny opcji europejskiej płaszczyzna zmienności im-plikowanej jest wyznaczona przez wartości σTK (∀ T > 0, K>0) spełniającerównanie:

C(S, t) = N(d1)S −N(d2)Ke−r(T−t)

d1 =1

σTK√T − t

[ln

(S

K

)+

(r +

σ2TK

2

)(T − t)

]d2 == d1 − σTK

√T − t,

(1)

gdzie C(S, t) jest ceną opcji europejskiej cytowaną na giełdzie, T − t - czasemdo zapadalności opcji, S - ceną aktywa bazowego, K - ceną strike, r - stopąprocentową wolną od ryzyka, N(.) - dystrybuantą standardowego rozkładu nor-malnego. Zbiór wartości σTK uzyskanych bezpośrednio na podstawie danychpozyskanych z rynku oraz równania (1) jest skończony. Interpolacja pozosta-łych wartości σ(TK pozwala uzyskać płaszczyznę dla każdej wartości T oraz Knazywaną płaszczyzną zmienności implikowanej. W dalszym ciągu handlarzeopcji używają interpolowanej płaszczyzny zmienności implikowanej w celu wy-ceniania opcji o takich cenach strike i terminie zapadalności, dla których opcje

1

Page 8: Uniwersytet Warszawski - mimuw.edu.plapalczew/praca2015.pdf · Uniwersytet Warszawski Wypracowanie z Seminarium Modele Matematyczne w Finansach THE MOMENT FORMULA FOR IMPLIED VOLATILITY

nie są notowane na rynku, a także do konstruowania portfeli zabezpieczających.Zmienność implikowana jest wartością jednoznacznie zdefiniowany przez

daną metodologię. Niesie to ze sobą pewne ograniczenia. Teoretycznie w mo-delu Blacka-Scholesa-Mertona zmienność jest stała tj. ∀T > 0, K > 0 σTK =constant, jednak w praktyce płaszczyzna zmienności implikowanej nigdy nie jeststała, a często an rynku obserwuję się różne jej zależności. Dla rynku akcji zda-rza się, że zmienność implikowana jest malejącą funkcją ceny strike, z kolei dlarynku walut obserwuję się, iż zmienność implikowana jest U-kształtną funkcjąceny strike. Przez lata handlowcy opcjami stworzyli różne sposoby korzysta-nia ze zmienności implikowanej. Sposoby te wykorzystują znajomość strukturypłaszczyzny zmienności implikowanej według:

1. reguł dotyczących tego jak zmienność implikowana zmienia się z biegiemczasu;

2. reguł badających jak zmienność implikowana zmienia się w zależności odceny strike dla stałego czasu i czasu do zapadalności.

W niniejszej pracy rozpędza się fale teoretycznych uwarunkowań, aby skruszyćbetonowe klify powstałe w wyniku aprobaty dla popularnie stosowanych reguł.Rozpatrywane są The Sticky Stike Rule, The Sticky Delta Rule należące dopierwszej kategorii oraz The Square Root of Time Rule należąca do kategoriidrugiej. Źródłowy artykuł testuję czy istnieją ramy teoretyczne z którymi re-guły te są. Omawiane są różne warianty modeli Blacka-Scholesa-Mertona, modelHulla i White’a(1987), Stein i Stein(1991), Heston(1993) oraz IVF (Implied Vo-latility Function).

2 MetodologiaModyfikując oryginalną strukturę artykułu źródłowego najpierw analizowanejest uwarunkowanie wyznaczone przez przyjętą metodologie. Rozpatrywana jestnastępująca dynamika ceny aktywa:

dS

S= [r(t)− q(t)]dt+ σdz, (2)

gdzie r(t) jest stopą procentową wolną od ryzyka, q(t) zwrotem z aktywa, σwspółczynnikiem zmienności, a z procesem Weinera. Funkcje r(t) oraz q(t) sądeterministyczne. Zamiast precyzowania procesu σ bezpośrednio definiowanyjest proces zmienności implikowanej σTK(t, S) dla czasu t, ceny aktywa S orazustalonej ceny strike i czasu zapadalności T. Z praktycznych względów definio-wana jest implikowana wariancja

VTK(t, S) :=[σTK(t, S)

]2

2

Page 9: Uniwersytet Warszawski - mimuw.edu.plapalczew/praca2015.pdf · Uniwersytet Warszawski Wypracowanie z Seminarium Modele Matematyczne w Finansach THE MOMENT FORMULA FOR IMPLIED VOLATILITY

oraz zakładane jest, że jej dynamika dana jest przez równanie stochastyczne

dVTK = αTKdt+ VTK

N∑i=1

θTKidzi, (3)

gdzie z1, ...., zn są procesami Wienera. Dla prostoty jest również zakładane, żewspółczynnik korelacji zi z z wynosi ρi oraz zi jest skorelowane z zj tylko po-przez proces z występujący w równaniu (2). Tak więc, współczynnik korelacji ziz zj wynosi ρiρj . Parametry θTKi wyznaczają wrażliwość zmiany VTK względemprocesów Wienera zi. Intuicyjnym jest, że istnieje związek σ(t) z płaszczyznąwyznaczoną przez wartości zmienności implikowanej σTK(t, S). W źródłowymartykule pokazywane jest, że wraz ze zbieganiem czasu do zapadalności do zeraimplikowana zmienność zbiega do współczynnika dyfuzji procesu F - ceny for-ward aktywa S tj.

limT→t

σTF (t, S) = σ(t) (4)

Dowód można zaleźć w załączniku do pracy źródłowej - jest on czysto rachun-kowy. Następnie definiując cenę europejskiej opcji kupna jako c(S, VTK , t;K,T )i korzystając z definicji zmienności implikowanej zauważmy, że zachodzi równo-ważność

c(S, VTK , t;K,T ) = e−∫ Ttq(τ)dτSN(d1)− e−

∫ Ttr(τ)dτKN(d2),

gdzie

d1 =ln(S/K) +

∫ Ttr(τ)− q(τ)dτ

12

√VTK(T − t)

+1

2

√VTK(T − t)

d2 = d1 −√VTK(T − t).

Rozwijając funkcje c(S, VTK , t;K,T ) z lematu Itô, wyznacza się dryft dynamikicen opcji:

∂c

∂t+ (r − q)S ∂c

∂S+

1

2σ2S2 ∂c

∂S2+ αTK

∂c

∂VTK

+1

2V 2TK

∂2c

∂V 2TK

[ N∑i=1

θ2TKi+∑i 6=j

θTKiθTKjθiθj

]

+ SVTKσ∂2c

∂VTK∂S

N∑i=1

θTKi i

Niezależnie od rozpatrywanego modelu, jeśli warunek braku arbitrażu na rynkujest spełniony to każdy instrument finansowy nie generujący ryzyka daje takisam zwrot z inwestycji. Dlatego też wyżej wyznaczony dryft musi być równy rc- wartość inwestycji pomnożona przez stopę procentową wolną od ryzyka. Na-stępnie można zauważyć, że jeśli VTK utrzymywałaby się na stałym poziomie to

3

Page 10: Uniwersytet Warszawski - mimuw.edu.plapalczew/praca2015.pdf · Uniwersytet Warszawski Wypracowanie z Seminarium Modele Matematyczne w Finansach THE MOMENT FORMULA FOR IMPLIED VOLATILITY

w ostatnim równaniu przyrosty ceny opcji napędzane przyrostami implikowanejwariancji będą się zerować

∂c

∂t+ (r − q)S ∂c

∂S= rc− 1

2σ2S2 ∂c

∂S2,

co prowadzi do następującej tożsamości

1

2(σ2 − VTK)S2 ∂c

∂S2+αTK

∂c

∂VTK+

1

2V 2TK

∂2c

∂V 2TK

[ N∑i=1

θ2TKi+∑i 6=j

θTKiθTKjρiρj

]

+ SVTKσ∂2c

∂VTK∂S

N∑i=1

θTKi i = 0

czyli

αTK = − 1

2∂c/∂VTK

[(σ2 − VTK)S2 ∂c

∂S2+ V 2

TK

∂2c

∂V 2TK

N∑i=1

θ2TKi+

+∂c

∂V 2TK

V 2TK

∑i 6=j

θTKiθTKjρiρj + 2SVTKσ∂2c

∂S∂VTK

N∑i=1

θTKiρi

] (5)

Analogicznie do modelu Blacka-Scholesa-Mertona wyznacza się współczynnikigreckie dla opcji europejskiej:

∂c

∂S=

∂2c

∂S2=

∂c

∂VTK=

∂2c

∂V 2TK

=

∂2c

∂S∂VTK=

gdzie φ oznacza gęstość standardowego rozkładu normalnego. Wstawiając otrzy-mane współczynniki do równania (5) uproszcza się ono do:

αTK =1

T − t(VTK − σ2)− VTK(d1d2 − 1)

4

[∑i 6=j

θTKiθTKj

ρiρj +

N∑i=1

θ2TKi

]

+ σd2

√VTKT − t

N∑i=1

θTKiρi.

(6)Po przytoczeniu odpowiednich ram teoretycznym możemy sprawdzić czy re-

guły stosowane przez handlowców na rynku derywatów są zgodne z założeniemo braku arbitrażu.

4

Page 11: Uniwersytet Warszawski - mimuw.edu.plapalczew/praca2015.pdf · Uniwersytet Warszawski Wypracowanie z Seminarium Modele Matematyczne w Finansach THE MOMENT FORMULA FOR IMPLIED VOLATILITY

3 The Sticky Stike RuleZasada ta zakłada, że σTK jest niezależna od S. Jest to bardzo istotnezałożenie, ponieważ pozwala liczyć wrażliwość zmian cen opcji za pomocą

∆ =∂c

∂S.

Wynika to z tego, że nie ma potrzeby stosowania reguły łańcuchowej, co byłobykonieczne jeśli cena opcji zależałaby od implikowanej zamienności. Założenie topozwala także w sposób analoogiczny liczyć gamme. Istnieje także generalizedsticky strike model, w którym implikowana zmienność jest niezależna od S, alemoże być zależna od innych zmiennych stochastycznych.

Test regułyW notacji z rozdziału drugiego niezależność σTK od S oznacza niezależność VTKod S, czyli θTKi

= 0 dla każdego i ≥ 1. Stąd dynamika implikowanej wariancji(3) przybiera postać

dVTK = αTKdt,

a z warunku braku arbitrażu dryft (6) wynosi:

α =VTK − σ2

T − t,

z czego wynika:

dVTK =VTK − σ2

T − tdt ⇒ σ2 = −d[(T − t)VTK ]

dt. (7)

Zauważmy, że zadanie dynamiki σ równaniem (7) jest równoznaczne ze stwier-dzeniem, że σ jest funkcja deterministyczną. Wynika z tego, że jedynym mo-delem z którym zgodna jest reguła The Sticky Stike jest model, w którymzmienność jest jedynie funkcją czasu tj. modelem Mertona z 1973 roku. Po-nadto zauważmy, że jeśli VTK zależy jedynie od K oraz T to wtedy równanie(7) przybiera postać VTK = σ2, czyli implikowana wariancja jest stałą funk-cją stałego parametru zmienności - tak jak w modelu Blacka-Scholesa ze stałązmiennością.

Rozwijając rozważania można zadać pytanie co się dzieje jeśli VTK jest nie-zależna od S, jednak nie musi być deterministyczna. Wtedy

αTK = −VTK − σ2

T − t− VTK(d1d2 − 1)

4

N∑i=1

θ2TKi, (8)

czyli przypadek ten redukuję się to do poprzedniego rozumowania, ponieważαTK oraz θTKi

mają być niezależne od S.Ostatecznie okazuję się, że reguła The Sticky Stike jest zgodna jedynie z

założeniami modelu Mertona z 1973 roku dla tych z rozpatrywanej metodologii.

5

Page 12: Uniwersytet Warszawski - mimuw.edu.plapalczew/praca2015.pdf · Uniwersytet Warszawski Wypracowanie z Seminarium Modele Matematyczne w Finansach THE MOMENT FORMULA FOR IMPLIED VOLATILITY

4 The Sticky Delta RuleAlternatywnie można założyć, że implikowana zmienność jest zależnaod ceny aktywa S, jednak tylko poprzez zmienną K

S . Wtedy formuła nadelte jest dana przez:

∆ =∂c

∂S+

∂c

∂σTK

∂σTK∂S

.

Pierwszy czynnik jest deltą liczoną w analogiczny sposób do modelu Blacka-Scholsa, a drugi przesądza o tym czy delta ta jest niedoszacowana czy prze-szacowana. Zależy to od tego czy σTK jest malejącą (rosnącą) funkcją cenystrike - ponieważ wtedy jest także rosnącą (malejącą) funkcją ceny aktywa S.W najprostszej wersji reguły rozpatruję się σTK jako deterministyczną funkcjeS,K oraz T-t. W bardziej skomplikowanym podejściu - generalized sticky deltamodel- zakłada się, że zmienność implikowana jest procesem stochastycznym,którego parametry zależą od K/S oraz T − t. Z kolei relative sticky delta modelzakłada, że różnica σTK(S, t)−σTF (S, t) zależy jedynie od czasu do zapadalnościi od ceny aktywa S tylko poprzez zmienną K

S .

Test regułyJeśli VTK byłaby deterministyczną funkcją t, T orazK/S, czyli VTK = G(T, t, KF )dla deterministycznej i ciągłej funkcji G to na podstawie równania (4) otrzymu-jemy:

limT→t

G(T, t,K

F) = G(t, t, 1) = σ2,

ponieważ limT→tKF = 1. Wynika z tego, że zmienność jest funkcją czasu. Reasu-

mując założenia The Sticky Delta Rule są zgodne jedynie z modelem Mertonaz 1973 roku. Ponadto, zakładając że VTK = G(T, t,K, F ), gdzie G jest funkcjądeterministyczną otrzymujemy

limT→t

G(T, t,K, F ) = G(t, t, F, F ) = σ2,

czyli zmienność jest deterministyczną funkcją czasu i ceny forward. Taka za-leżność występuję w modelach Implied Volatility Function (IVF). Artykuł źró-dłowy nie sprawdza czy generalized sticky delta model lub relative sticky deltasą niezgodne z argumentem o braku arbitrażu dla danej metodologii - zauważa,że dotychczasowe rozwiązania nie rozwiązują tego problemu.

5 The Square Root of Time RuleReguła ta zakłada, że relacja między implikowaną zmiennością cenyaktywa i kontraktu forward na to aktywo jest dana przez następującą

6

Page 13: Uniwersytet Warszawski - mimuw.edu.plapalczew/praca2015.pdf · Uniwersytet Warszawski Wypracowanie z Seminarium Modele Matematyczne w Finansach THE MOMENT FORMULA FOR IMPLIED VOLATILITY

tożsamość:

σTK(S, t)

σTF (S, t)= Φ

( ln(K/F )√T − t

),

bądź inaczej

σTK(S, t)− σTF (S, t) = Φ( ln(K/F )√

T − t

), (9)

Model ten znacząco upraszcza wyznaczanie płaszczyzny zmienności, ponieważznając uśmiech volatility dla pojedynczego terminu zapadalności T ∗ oraz cenęat-the-money dla wszystkich czasów zapadalności możemy wyznaczyć całą płasz-czyznę zmienności. Tak więc załóżmy, że F* jest ceną kontraktu forward o za-padalności T* na aktywa o cenie S, wtedy ponieważ

σTK(S, t)− σTF (S, t) = σT∗K∗(S, t)− σT∗F∗(S, t)

a także K∗ = F ∗(KF )√

(T∗−t)(T−t).

Test regułyW artykule źródłowym zauważa się, że reguła ta może być zgodna z argumentemo braku arbitrażu dla rozpatrywanego ogólnego modelu. Dokonuję się także testutej reguły dla danych historycznych. Test jest dokonany za pomocą regresjiliniowej i danych historycznych z SP 500.

6 WnioskiPodstawowym wnioskiem z artykułu źródłowego jest fakt, że handlowcy instru-mentami pochodnymi nadal używają reguł opartych na podstawie intuicji, którąmożna sformułować jedynie na podstawie modelu Mertona z 1973 roku.

7

Page 14: Uniwersytet Warszawski - mimuw.edu.plapalczew/praca2015.pdf · Uniwersytet Warszawski Wypracowanie z Seminarium Modele Matematyczne w Finansach THE MOMENT FORMULA FOR IMPLIED VOLATILITY

Rozkład prawdopodobieństwa zwrotu w modelu Hestonaze stochastyczną zmiennością

Alicja Zakrzewska

25 sierpnia 2015

Na podstawie pracy A. A. Dragulescu, V. M. Yakovenko, Probability distribution of returns in the

Heston model with stochastic volatility, Quantitive Finance Volumne 2 (2002) 443–453

W artykule omawiany jest model Hestona z dynamiką cen akcji regulowaną geometrycznym ruchemBrowna ze stochastyczną wariancją. Znalezione są analityczne formuły dla rozkładu prawdopodo-bieństwa zmian cen akcji w zależności od czasu.

1 Wstęp

Stochastyczna dynamika cen akcji jest powszechnie opisywana przez geometryczny ruch Browna,co skutkuje logarytmiczno-normalnym rozkładem zmian cen akcji. Jednak liczne obserwacje poka-zują, że ogony gęstości rozkładu zanikają wolniej niż w rozkładzie logarytmiczno-normalnym (efekttak zwanych ”Fat-Tails”). Model geometrycznego ruchu Browna posiada dwa parametry: dryfu µ,który charakteryzuje średnią stopę wzrostu, oraz zmienność σ, która charakteryzuje szumy pro-cesu. Istnieją doświadczalne dowody i zbiór faktów wskazujących na to, że zmienność, zamiastbyć stałym parametrem, jest napędzany przez proces stochastyczny. W artykule przedstawionyjest konkretny model stochastycznej zmienności zwany modelem Hestona, gdzie kwadrat zmien-ności cen akcji, zwanej wariancją v, jest losowym procesem znanym w literaturze finansowej jakoCox-Ingersoll-Ross (CIR) proces, a w statystyce matematycznej jako proces Fellera. Korzystając ztransformacji Fouriera i Laplace’a możemy rozwiązać równanie Fokkera-Plancka dla tego modeludokładnie i znaleźć wspólną gęstość zysków i wariancji jako funkcje zależne od czasu i uzależnioneod wartości początkowej wariancji. Podczas gdy zyski są znane z finansowych szeregów czasowychto odchylenia nie są podawane bezpośrednio, są zmienna losowa. Wynik dla gęstości zwrotów mapostać jednowymiarowej całki Fouriera, która jest łatwo obliczalna numerycznie lub w pewnychgranicach analitycznie.

2 Model

Rozważamy akcje, których cena St, jako funkcja czasu t, spełnia stochastyczne równanie różnicz-kowe z geometrycznym Ruchem Browna:

dSt = µStdt+ σtStdW(1)t (1)

Każde rozwiązanie (1) zależy tylko od σ2t , dlatego wygodnie jest wprowadzić nową zmienną vt := σ2

t ,nazywamy ją wariancją. Zakładamy, że vt spełnia następujące stochastyczne równanie różniczkowe:

dvt = −γ(vt − θ)dt+ κ√vtdW

(2)t (2)

Równanie (2) jest znane w literaturze finansowej jako proces CIR, a w statystyce matematycznejjako proces Fellera. Proces Wienera występujący w (2) jest skorelowany z procesem Wienera zrównania (1):

dW(2)t = ρdW (1)t +

√1− ρ2dZt (3)

gdzie Zt jest procesem Wienera niezależnym od W(1)t , a ρ należy do przedziału [−1, 1] i jest

współczynnikiem korelacji. Dokonujemy zamiany zmiennej w (1), zamiast ceny St bierzemy rt =

1

Page 15: Uniwersytet Warszawski - mimuw.edu.plapalczew/praca2015.pdf · Uniwersytet Warszawski Wypracowanie z Seminarium Modele Matematyczne w Finansach THE MOMENT FORMULA FOR IMPLIED VOLATILITY

ln(St/S0). Ze wzoru Ito otrzymujemy równanie spełnione przez rt:

drt =(µ− vt

2

)dt+

√vtdW

(1)t (4)

Parametr µ eliminujemy z (4) zmieniając zmienną rt na xt = rt − µ:

dxt = −vt2dt+

√vtdW

(1)t (5)

Równania (2) i (5) definiują dwuwymiarowy proces stochastyczny. Ten proces jest charakteryzo-wany przez funkcję przejścia Pt(x, v|vi) z warunkami początkowymi x = 0 i wariancją vi w chwilit = 0. Ewolucja Pt(x, v|vi) w czasie jest modelowana równaniem Fokkera-Plancka.

∂tP = γ

∂v[(v − θ)P ] +

12∂

∂x(vP ) + ρκ

∂2

∂x∂v(vP ) +

12∂2

∂x2 (vP ) +κ2

2∂2

∂v2 (vP ) (6)

Z warunkiem początkowymPt=0(x, v|vi) = δ(x)δ(v − vi) (7)

Całkując (6) po x otrzymujemy równanie spełnione przez Πt(v) =∫Pt(x, v)dx

∂tΠt(v) =

∂v[γ(v − θ)Πt(v)] +

κ2

2∂2

∂v2 [vΠt(v)] (8)

Wykazano1, że powyższe równanie jest dobrze określone dla v ∈ [0,+∞) i θ > 0. Jego stacjonarnerozwiązanie ma rozkład Gamma.

Π∗(v) =αα

Γ(α)vα−1

θαe−αv/θ, α =

2γθκ2 (9)

Parametr α jest to stosunek średniego odchylenia θ do charakterystycznej zmienności wariancjiκ2/2γ w czasie relaksacji 1/γ. Funkcja (9) jest całkowalna dla α > 0.

3 Rozwiązanie równania Fokkera-Plancka

Korzystając z transformaty Fouriera w (6) (tylko dla x) dostajemy

Pt(x, v|vi) =∫ +∞

−∞

dpx2π

eipxxP t,px(v|vi) (10)

Stosując (10) do (6) otrzymujemy równanie

∂tP = γ

∂v[(v − θ)P ]−

[p2x − ipx

2v − iρκpx

∂vv − κ2

2∂2

∂v2 v

]P (11)

Równanie (11) jest prostsze niż (6) ponieważ ubyło nam zmiennych, teraz są tylko dwie v i t, nato-miast px pełni rolę parametru. Ponieważ równanie (11) jest liniowe ze względu na v i kwadratoweze względu na ∂

∂v to możemy je uprościć biorąc transformatę Laplace’a po v.

Pt,px(pv|vi) =∫ ∞

0dve−pvvPt,px(v|vi) (12)

Stąd otrzymujemy następujące równanie[d

dt+(

Γpv +κ2

2p2v −

p2x − ipx

2

)∂

∂pv

]P = γθpvP (13)

GdzieΓ = γ + iρκpx (14)

1W. Feller, 1951 Ann. Math. 54 173

2

Page 16: Uniwersytet Warszawski - mimuw.edu.plapalczew/praca2015.pdf · Uniwersytet Warszawski Wypracowanie z Seminarium Modele Matematyczne w Finansach THE MOMENT FORMULA FOR IMPLIED VOLATILITY

Z warunkiem początkowymPt=0,px(pv|vi) = exp(−pvvi) (15)

Rozwiązanie (13) otrzymujemy metodą charakterystyk

Pt,px(pv|vi) = exp

(−pv(0)vi − γθ

∫ t

0dτ pv(τ)

)(16)

Gdzie funkcja pv(τ) jest rozwiązaniem równania różniczkowego zwyczajnego

dpv(τ)dτ

= Γpv(τ) +κ2

2p2v(τ)− p2

x − ipx2

(17)

Z warunkiem początkowym pv(t) = p w t = τ . Równanie różniczkowe (17) jest równaniem typuRiccatiego ze stałymi współczynnikami. Rozwiązaniem zatem jest

pv(τ) =2Ωκ2

1ζeΩ(t−τ) − 1

− Γ− Ωκ2 (18)

Gdzie wprowadzamy częstotliwość

Ω =√

Γ2 + κ2(p2v − ipx) (19)

I współczynnik

ζ = 1 +2Ω

κ2pv + (Γ− Ω)(20)

Podstawiając (18) do (16) dostajemy ostateczne rozwiązanie (13)

Pt,px(pv|vi) = exp

−pv(0)vi +

γθ(Γ− Ω)tκ2 − 2γθ

κ2 lnζ − eΩt

ζ − 1

(21)

4 Uśrednienia wariancji

Zwykle jesteśmy zainteresowani tylko x i nie zajmujemy się wariancją v. Co więcej x są znanez danych finansowych, a wariancja jest zmienną losową która musi być estymowana. Estymacjaodbywa się z pewnym stopniem niepewności co wyklucza bezpośrednie porównanie Pt(x, v|vi) idanych finansowych. Przedstawiamy zredukowany rozkład prawdopodobieństwa. Zmienna v jesttutaj wycałkowana, więc pv = 0.

Pt(x|vi) =∫ +∞

0dvPt(x, v|vi) =

∫dpx2π

eipxxPt,px(0, vi) (22)

Korzystając ze wzoru (21) i pv = 0 dostajemy

Pt(x|vi) =∫ +∞

−∞

dpx2π

exp

(ipxx− vi

p2x − ipx

Γ + Ω coth(Ωt/2)

)×exp

(−2γθκ2 ln

(cosh

Ωt2

+ΓΩ

sinhΩt2

)+γΓθtκ2

) (23)

Równanie (23) nie może być bezpośrednio porównane z finansowymi szeregami czasowymi bo zależyod nieznanej początkowej wariancji vi. Żeby rozwiązać ten problem zakładamy, że vi ma stacjonarnąfunkcję przejścia Π∗(vi) opisaną równaniem (9). Wprowadzamy PDF Pt(x) żeby uśrednić (23) povi z wagami Π∗(vi)

Pt(x) =∫ ∞

0dviΠ∗(vi)Pt(x|vi) (24)

Całka po vi jest podobna do funkcji gamma i może być stosowana bezpośrednio. Ostateczny wynikjest całką Fouriera:

Pt(x) =1

∫ +∞

−∞dpxe

ipxz+Ft(px) (25)

Gdzie

Ft(px) =γΓθtκ2 − 2γθ

κ2 ln(

coshΩt2

+Ω2 − Γ2 + 2γΓ

2γΩsinh

Ωt2

)(26)

3