UKSW Program ALGEBRA LINIOWA

Informatyka wykładu i ćwiczeń Kazimierz Jezuita

WM-I-ALL 2013/2014

Algebra liniowa - wykład Linear algebra - lectures

1 Zbiory. Iloczyn kartezjański. Relacje

równoważności i porządku .

Sets. Cartesian products.

Equivalence relations, orderings.

2 Relacja, wykres, funkcja. Relation, grafh, function.

3 Definicje, twierdzenia, dowody. Definitions, theorems proofs.

4 Struktury algebraiczne: grupa, ciało,

przestrzeń liniowa.

Algebraic structures: group, field,

linear space.

5

Kombinacja liniowa wektorów, baza

i wymiar przestrzeni liniowej.

Macierz wektora.

Linear combination of vectors, basis

and dimension of a linear space.

Matrix of a vector.

6

Przekształcenia liniowe przestrzeni

skończenie wymiarowych, macierz

przekształcenia liniowego.

Linear transformations between

finite-dimensional vector spaces.

Matrix of a linear transformation.

7

Kombinacja liniowa wektorów,

macierz przekształcenia liniowego

a mnożenie macierzy.

Linear combination of vectors,

matrix of a linear transformation and

matrix multiplication.

8 Struktura algebraiczna ciała liczb.

zespolonych

Algebraic and structure of the field

of complex numbers.

9 Interpretacja geometryczna liczb

zespolonych.

Geometric interpretation of the field

of complex numbers.

10

Wyznaczniki: definicje, właściwości,

rozwinięcie Laplace’a. Objętość

zorientowana.

Determinants: definitions,

properties, Laplace’s expansion.

Oriented volume.

11

Operacje elementarne na

kolumnach lub wierszach macierzy.

Rząd macierzy, macierz odwrotna.

Elementary row and column

operations. Rank of a matrix.

Inverce matrix.

12

Postać wektorowa i macierzowa

układu równań liniowych. Istnienie

i liczba rozwiązań.

Vector and matrix form of a system

of linear equations. Existance and

number of solutions.

13

Rozwiązywanie układów równań

liniowych: metoda eliminacji

Gaussa, wzory Cramera, metoda

macierzy odwrotnej.

Solving systems of linear equations:

Gaussian elimination method,

Cramer’s rule, inverse matrix

method.

14

Jednorodny i niejednorodny układ

równań liniowych, a jądro i obraz

przekształcenia liniowego.

Homogeneous and non-

homogeneous systems of linear

equations versus kernel and image

of a linear transformation.

15

Interpretacja geometryczna zbioru

rozwiązań układu równań liniowych.

Rozwiązania Moore’a-Penrose’a.

Geometric interpretation of solution

set of system of linear equations.

Moore-Penrose solutions.

UKSW Program ALGEBRA LINIOWA

Informatyka wykładu i ćwiczeń Kazimierz Jezuita

Algebra liniowa - ćwiczenia Linear algebra - exercises

1 Klasy równoważności. Porządek liniowy i częściowy.

Equivalence classes. Partial and linear ordering.

2 Od relacji do funkcji i jej wykresu. From relation to function and its graph.

3 Dowody konstruktywne, indukcyjne oraz nie wprost.

Direct proof, proof by mathematical induction, proof by transposition and contradiction.

4 Działania algebraiczne w grupach, ciałach i przestrzeniach liniowych.

Algebraic operations on groups, fields, and linear spaces.

5 Liniowa niezależność wektorów. Współrzędne wektora w bazie.

Linear independence of vectors. Coordinate vector with respect to a basis.

6 Konstrukcja macierzy przekształcenia liniowego.

Construction of a matrix of a linear transformation.

7 Działania algebraiczne na macierzach. Iloczyn macierzy z wektorem kolumnowym.

Algebraic operations on matrices. Product of matrix and column vector.

8 Sprowadzanie zespolonych wyrażeń algebraicznych do postaci arytmetycznej i trygonometrycznej.

Symplifying algebraic expressions of complex numbers to algebraic and trigonometric form.

9

Geometryczna interpretacja dodawania i mnożenia liczb zespolonych. Pierwiastki stopnia n-tego na płaszczyźnie zespolonej.

Geometric interpretation of addition and multiplication of complex numbers.

10

Obliczanie wyznaczników: reguła Sarrusa, rozwinięcie Laplace'a, operacje elementarne na kolumnach lub wierszach.

Calculating determinants: Sarrus' rule, definitions, Laplace’s expansion, elementary row and column operations

11

Wyznaczanie macierzy odwrotnej: operacje elementarne na wierszach ( lub kolumnach ), macierz dopełnień algebraicznych.

Finding the inverce of a matrix: elementary row ( or column ) operations, cofactor matrix.

12

Postać wektorowa i macierzowa układu równań liniowych. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Vector and matrix form of a system of linear equations. Kronecker-Capelli theorem.

13

Rozwiązywanie układów równań liniowych: metoda eliminacji Gaussa, wzory Cramera, metoda macierzy odwrotnej.

Solving systems of linear equations : Gaussian elimination method, Cramer’s rule, inverse matrix method.

14 Wyznaczanie jądra i obrazu przekształcenia liniowego.

Finding the kernel and the image of a linear transformation.

15 Zbiór rozwiązań układu równań liniowych jako podprzestrzeń afiniczna przestrzeni R^n .

Set of solutions of a system of linear equations as an affine subspace of R^n.