TEORIA MASZYN I MECHANIZMÓWhome.agh.edu.pl/~kmtmipa/dydaktyka/tmm/6-Kinetostatyka.pdf · 2020. 4....

Teoria maszyn i mechanizmów Dynamika Mechanizmów. Analiza kinetostatyczna 17

Opracowali: J. Felis H. Jaworowski

Grafoanalityczna metoda wyznaczania reakcji dynamicznych w parach kinematycznych.

Grafoanalityczna metoda analizy kinetostatycznej mechanizmów polega na rysowaniu tzw. planów sił. Podobnie jak w metodzie planów prędkości i przyśpieszeń niektóre siły obliczane są z równań algebraicznych a pozostałe wyznaczane na podstawie wykreślnych rozwiązań równań wektorowych.

Metoda grafoanalityczna wyznaczania sił wymaga wprowadzenia podziałki rysunkowej wektorów sił Rk .

=mmN

)P(PkR (22)

gdzie: P - moduł działającej siły [ ]N , (P) - długość rysunkowa wektora siły [ ]mm

Tok postępowania w metodzie grafoanalitycznej jest początkowo

identyczny jak w metodzie analitycznej, natomiast w drugim etapie obliczeń, odmiennym niż w metodzie analitycznej należy: - podzielić mechanizm na grupy strukturalne odrzucając człony napędzają- ce, - ustalić sposób zrównoważenia członu napędzającego poprzez przyłożenie siły równoważącej rP lub momentu równoważącego rM , - oswobodzić od więzów poszczególne grupy strukturalne mechanizmu oraz człon napędzający, - analizę sił rozpocząć od grupy najbardziej oddalonej od członu

napędzającego, kolejno dochodząc na końcu analizy do członu napędzającego. Siła równoważąca jest to siła, która zapewnia równowagę dynamiczną

mechanizmu obciążonego układem sił zewnętrznych przy założonym prawie ruchu mechanizmu.

Moment równoważący jest to moment, który zapewnia równowagę

dynamiczną mechanizmu obciążonego siłami zewnętrznymi przy założonym prawie ruchu członu napędzającego.

Dynamika Mechanizmów. Analiza kinetostatyczna Strona 18


Dla członów k i l tworzących grupę klasy 2, należy w ogólnym przypadku napisać układ dwóch wektorowych równań równowagi sił działających na te człony oraz dwóch algebraicznych równań momentu sił w postaci:

0RP lkn

1k)k(i =+∑

=, 0RP kl

n

1l)l(i =+∑

= (23)

0Mn

1k)k(i =∑

=, 0M

n

1l)l(i =∑

= (24)

gdzie: ∑=

n

1k)k(iP , ∑

=

n

1l)l(iP - odpowiednio suma geometryczna sił działających

na człon k i l bez sił reakcji działających pomiędzy członami k i l, kllk R,R - odpowiednio siły reakcji działające pomiędzy członami k i l,

kllk RR −= . Po dodaniu stronami równań (23) otrzymamy:

0PPn

1l)l(i

n

1k)k(i =∑+∑

== (25)

co oznacza, że suma wektorowa wszystkich sił działających na grupę jest

w równowadze. Można to również zapisać w postaci: 0Pn

1i)l,k(i =∑

=

W toku dalszej analizy należy:

- rozwiązać równania wektorowe (25) dla poszczególnych grup wyznaczając reakcje dynamiczne w parach kinematycznych,

- rozwiązać równania równowagi dla członu napędzającego wyznaczając reakcje w parze kinematycznej oraz odpowiednio 1rM lub 1rP :

0Pn

1i)1(i =∑

= (26)

0Mn

1i)1(i =∑

= (27)

UWAGA: Na każdym etapie obliczeń można przystąpić do rozwiązywania

równań wektorowych (25) lub (26) pod warunkiem, że liczba niewiadomych jest równa dwa. Jeżeli liczba niewiadomych jest większa od dwóch należy zapisać dodatkowe algebraiczne równania momentów sił.



Przykład 2. Mechanizm korbowo-suwakowy. Przeprowadzić analizę kinetostatyczną mechanizmu korbowo-suwakowego

metodą grafoanalityczną w położeniu zadanym na Rys. 17. Wyznaczyć reakcje dynamiczne w parach kinematycznych oraz moment równoważący 1rM przyłożony do korby 1. Tarcie w parach kinematycznych należy pominąć.

Dany jest: opis ruchu członu napędzającego w postaci funkcji: 111 ,, εωϕ , długości członów: 21 BS,AS,BC,AB , masy członów 321 m,m,m , momenty

bezwładności członów względem środków mas: , 2S1S J,J oraz siła oporu 3P . Mechanizm pracuje w płaszczyźnie pionowej.

Rys. 17. Mechanizm korbowo-suwakowy

Rozwiązanie Mechanizm składa się z członu napędzającego 1 oraz grupy strukturalnej

(2, 3) klasy 2. Ruchliwość mechanizmu jest równa 1w = . Warunek statycznej wyznaczalności mechanizmu określony równaniem

(19) jest spełniony, ponieważ: 3·3 = 2·4 +1 = 9. Obliczamy siły bezwładności oraz momenty od sił bezwładności członów :

człon 1: 1S11 amB −= , 1S11 amB = 11S1B JM ε−= 11S1B JM ε=


człon 3: 3S33 amB −= , 3S33 amB = 00JM 3S3B =−= 0M 3B =

Wyznaczamy siły ciężkości: gmG 11 = , gmG 22 = , gmG 33 = .

Rys. 18. Mechanizm korbowo-suwakowy z układem sił zewnętrznych bez momentu równoważącego.



Uwalniamy od więzów grupę strukturalną (2, 3), (Rys. 19a), rozkładając re-akcje w przegubie B na składowe styczne i normalne. Taki rozkład reakcji w metodzie grafoanalitycznej ułatwia rozwiązanie zadania. a) Rys. 19. Analiza sił działających na grupę strukturalną (2, 3):

a) układ sił zewnętrznych i reakcji przyłożonych do grupy (2, 3), Zapisujemy wektorowe równania równowagi sił działających na człony 2 i 3:

dla członu 2: ∑ =++++= 0RGBRRR 3222t12

n12)2(i (P2.1a)

dla członu 3: ∑ =++++= 0RPGBRR n0333323)3(i (P2.1b)

Po dodaniu stronami równań (P2.1) otrzymujemy warunek równowagi sił działających na grupę:

0RPGBRRGBRRR n03333233222

t12

n12)3,2(i =+++++∑ ++++= ( P2.2)

Reakcje wewnętrzne w grupie znoszą się, gdyż 0RR 2332 =+ . ( P2.3) Równanie (P2.2) wygodnie jest zapisać w ten sposób, aby nieznane co do

wartości siły występowały na początku i końcu równania. W równaniu tym nieznane są trzy wartości sił n

12R , t12R oraz 03R .

Wyznaczymy wartość składowej stycznej t12R na podstawie algebraicznego

warunku równowagi momentów wszystkich sił dla członu 2 obliczonego względem punktu, należącego do wspólnej pary kinematycznej. W tym wypadku jest to punkt C.

0Mn

1i)2(iC =∑

=, 0MhBhGBCR 2B2212

t12 =−⋅−⋅+⋅ (P2.4)

Stąd otrzymujemy: BChGMhBR 122B22t

12⋅−+⋅= (P2.5)



Po obliczeniu wartości siły t12R równanie (P2.2) przyjmuje postać:

0RPGBGBRR n0333322

t12

n12 =+++++++ (P2.6)

Ponieważ w równaniu (P2.6) mamy już tylko dwie niewiadome, możemy je rozwiązać graficznie przyjmując podziałkę rysunkową sił. Podziałkę obliczamy w oparciu o dowolną znaną siłę działającą na grupę np.:

=mmN

)B(Bk

2

21R .

Następnie w celu wykreślnego rozwiązania równania (P2.6) obliczamy wartości rysunkowe wszystkich znanych sił i zapisujemy równanie w postaci:

0)R()P()G()B()G()B()R()R( n0333322

t12

n12 =+++++++ (P2.7)

b)

Rys. 19 b. Plan sił grupy (2, 3).

Rysowanie wieloboku sił rozpoczynamy od pierwszej znanej całkowicie siły, w tym wypadku jest to siła ( t

12R ) a kończymy na ostatniej znanej całkowicie sile, w tym wypadku jest to siła ( 3P ).

W celu zamknięcia wieloboku wektorowego opisanego równaniem (P2.7) rysujemy z początku wektora ( t

12R ) kierunek reakcji ( n12R ) a z końca wektora

ostatniej znanej siły ( 3P ) kierunek reakcji ( n03R ). Te dwa kierunki zamykają

wielobok sił i otrzymujemy nieznane wartości reakcji ( t12R ) i ( n

03R ). Na podstawie pierwszego z równań (P2.1) z planu sił odczytujemy reakcję ( 32R ), a na podstawie drugiego równania reakcję ( 23R ). 0)R()R( 3223 =+



Człon napędzający uwalniamy od więzów przykładając siły zewnętrzne, wyznaczoną reakcję )R()R( 1221 −= , reakcję podstawy w punkcie A

w postaci dwóch składowych stycznej ( t01R ) i normalnej ( n

01R ) oraz moment równoważący 1rM .

Równanie wektorowe równowagi sił działających na człon napędzający ma

postać: 0RGBRR 2111

t01

n01 =++++ (P2.8)

Po przyjęciu podziałki planu sił członu napędzającego:

=mmN

)R(Rk

21

212R

równanie (P2.8) zapiszemy w postaci rysunkowej:

0)R()G()B()R()R( 2111t01

n01 =++++ (P2.9)

Równanie (P2.9) rozwiązujemy graficznie, gdyż zawiera tylko dwie niewia-dome, wyznaczając wartość rysunkową reakcji ( 01R )

a) b)

Rys. 20. Analiza sił działających na człon napędzający a) uwalnianie od więzów członu napędzającego b) plan sił członu napędzającego Korzystając z warunku równowagi momentu dla członu 1 względem punktu

A obliczamy moment równoważący 1rM .

0Mn

1i)1(iA =∑

=, 0hRMMhGhB 5211r1B3141 =⋅−+−⋅−⋅− (P2.10)

5211B31411r hRMhGhBM ⋅++⋅+⋅= (P2.11)



Przykład 3. Mechanizm czworoboku przegubowego Przeprowadzić analizę kinetostatyczną mechanizmu czworoboku przegubowego meto-

dą grafoanalityczną w położeniu zadanym na Rys. 21. Wyznaczyć reakcje dynamiczne w parach kinematycznych oraz siłę równoważącą 1rP przyłożoną do korby 1. Tarcie w pa-rach kinematycznych należy pominąć. Siły ciężkości pominąć. Dane: prawo ruchu członu napędzającego, =1ω const, długości członów AB, BC, CD,

BK, CK, 2ABAS1 = , 2

CDDS3 = . Środek masy łącznika 2S znajduje się w punkcie prze-

cięcia środkowych trójkąta BCK. Masy członów są równe: 1m , 2m , 3m , a momenty bez-władności członów względem środków mas: 1SJ , 2SJ , 3SJ . Moment oporu użytecznego wynosi 3M . Mechanizm porusza się w płaszczyźnie poziomej.

Rozwiązanie Mechanizm składa się z członu napędzającego 1 i z grupy strukturalnej

(2, 3) klasy 2. Ruchliwość mechanizmu jest równa 1w = . Mechanizm spełnia warunek statycznej wyznaczalności. Obliczamy siły bezwładności oraz momenty od sił bezwładności: człon 1: 1S11 amB −= , 1S11 amB = , 0JM 11S1B =−= ε , 0M 1B = człon 2: 2S22 amB −= , 2S22 amB = , 22S2B JM ε−= , 22S2B JM ε= człon 3: 3S33 amB −= , 3S33 amB = , 33S3B JM ε−= , 33S3B JM ε=

a) b)

Rys. 21. Mechanizm czworoboku przegubowego obciążony siłami zewnętrznymi. a) plan przyspieszeń mechanizmu, b) układ sił zewnętrznych działających na mechanizm bez momentu równoważącego.



Uwalniamy od więzów grupę strukturalną (2, 3) rozkładając reakcje w przegubach B i D na składowe styczne i normalne: n

12R , t12R , n

03R , t03R

(Rys. 22a) Zapisujemy wektorowe równania równowagi sił działających na człony 2 i 3:

∑ =+++= 0RBRRR 322t12

n12)2(i ( P3.1a)

∑ =+++= 0RRBRR t03

n03323)3(i (P3.1b)

a)

Rys. 22. Analiza sił działających na grupę strukturalną (2, 3) a) układ sił zewnętrznych i reakcji przyłożonych do grupy (2, 3)

Po dodaniu równań (P3.1) stronami otrzymujemy warunek równowagi sił

działających na grupę (2, 3):

0RRBBRRR t03

n0332

t12

n12)3,2(i =++∑ +++= ( P3.2)

Równanie (P3.2) zawiera cztery niewiadome, więc aby mogło być rozwią-zane graficznie należy uprzednio wyznaczyć co najmniej dwie niewiadome.

0Mn

1i)2(iC =∑

=, 0MhBBCR 2B12

t12 =−+− ( P3.3a)

BCMhBR 2B12t

12−=

0Mn

1i)3(iC =∑

=, 0MMhBCDR 3B323

t03 =−++− (P3.3b)

CDMMhBR 3B323t

03−+=

Równanie (P3.2) zawiera teraz tylko dwie niewiadome oraz n12R oraz n

03R .



0RRBBRR n03

t0332

t12

n12 =+++++ (P3.4)

W celu graficznego rozwiązania równania (P3.4) przyjmujemy podziałkę

=mmN

)B(Bk

2

21R i obliczamy wartości rysunkowe poszczególnych sił.

0)R()R()B()B()R()R( n03

t0332

t12

n12 =+++++ (P3.5)

a)

Podziałka sił

b)

Rys. 22. Analiza sił działających na grupę strukturalną (2, 3) a) układ sił zewnętrznych i reakcji przyłożonych do grupy (2, 3), b) plan sił grupy (2, 3). Rozwiązanie graficzne równania (P3.5), zawierającego niewiadome ( n

12R )

oraz ( n03R ) przedstawiono na Rys. 22b.

Otrzymane wartości sił wynoszą: 1R1212 k)R(R ⋅= , 1Rn03

n03 k)R(R ⋅= .

Na podstawie równań (P3.1) na planie sił wyznaczono również reakcje ( 32R )

oraz ( 23R ). Wartość reakcji w punkcie C mechanizmu wynosi zatem: 1R2323 k)R(R ⋅= .



Przedmiotem dalszej analizy jest człon napędzający. Człon napędzający uwalniamy od więzów przykładając siły zewnętrzne, re-

akcje i siłę równoważącą 1rP , (Rys. 23). Równanie równowagi sił działają-cych na człon napędzający ma postać:

0RBRRP 211t01

n011r =++++ (P3.6)

Z równania równowagi momentów sił względem punktu A sił działających na człon 1 wyznaczamy siłę równoważącą 1rP :

0Mn

1i)1(iA =∑

=, 0hRAFP 3211r =− (P3.7)

Stąd otrzymujemy: AFhR

P 3211r =

Podziałka sił a) b)

Rys. 23. Analiza sił działających na człon napędzający a) uwalnianie od więzów członu napędzającego, b) plan sił członu napędzającego.

Przyjmujemy podziałkę:

=mmN

)R(Rk

21

212R i rozwiązujemy wykreślnie

równanie:

0)R()B()R()R()P( 211t01

n011r =++++ ( P3.8)

Rozwiązanie graficzne równania (P3.8) przedstawiono na Rys. 23b.

Wartość reakcji w punkcie A mechanizmu wynosi 2R0101 k)R(R ⋅= .



Zagadnienie równowagi sił działających na człon napędzający można roz-wiązać graficznie korzystając z twierdzenia o trzech siłach.

0)R()B()R()P( 211011r =+++ (P3.9)

Równanie (P3.9) zawiera trzy niewiadome i możemy je rozwiązać po uprzednim wyznaczeniu jednej z nich. W tym celu wykonamy odpowiednie kroki. Znajdziemy wypadkową znanych sił działających na człon napędzający zgodnie z równaniem.

)R()B()W( 211 += (P3.10)

Rozwiązujemy wykreślnie równanie (P3.10) rysując siły )B( 1 i )R( 21 w podziałce 2Rk (Rys. 24a). Znajdujemy wypadkową )W( . Równanie (P3.9) przyjmie teraz postać:

0)W()R()P( 011r =++ (P3.11)

Zgodnie z równaniem (P3.11) na człon napędzający działają teraz trzy siły nierównoległe. Siły te pozostają w równowadze, muszą zatem tworzyć układ środkowy. Środek układu sił S zostaje wyznaczony jako punkt przecięcia znanych kierunków sił )P( 1r i )W( . Kierunek reakcji )R( 01 określa prosta przechodząca przez punkty S i A.

0)W()R()P( 011r =++ (P3.12)

Podziałka sił

a) b) Rys. 24. Rozwiązanie graficzne zagadnienia równowagi sił działających na człon napę-dzający w oparciu o twierdzenie o trzech siłach a) wyznaczanie środka układu sił, b) rozwiązanie wykreślne równania równowagi trzech sił.

=mmN

)R(Rk

21

212R



Przykład 4. Mechanizm jarzmowy z jarzmem w ruchu płaskim Przeprowadzić analizę kinetostatyczną mechanizmu jarzmowego metodą

grafoanalityczną w położeniu zadanym na Rys. 25. Wyznaczyć reakcje dynamiczne w parach kinematycznych oraz moment równoważący 1rM przyłożony do korby 1. Tarcie w parach kinematycznych należy pominąć.

Dane: prawo ruchu członu napędzającego =1ω const, długości AB, BC,

BD, 2ABAS1 = , 2BS , masy członów: 1m , 2m , momenty bezwładności czło-

nów względem środków mas: 1SJ , 2SJ , siła użyteczna 3P . Zakładamy 0Jm 3S3 == . Mechanizm porusza się w płaszczyźnie poziomej.

Rozwiązanie Mechanizm podobnie jak poprzednie składa się z członu napędzającego 1

oraz grupy strukturalnej (2, 3). Ruchliwość 1w = . Mechanizm spełnia waru-nek statycznej wyznaczalności.

człon 1: 1S11 amB −= , 1S11 amB = 0JM 11S1B =−= ε 0M 1B =


człon 3: 0B3 = , 0B3 = 0M 3B = 0M 3B =

a) b) Rys. 25. Mechanizm jarzmowy obciążony siłami zewnętrznymi a) układ sił zewnętrznych działających na mechanizm bez momentu równoważącego, b) plan przyspieszeń mechanizmu.



Na Rys. 26. przedstawiono uwolnioną od więzów grupę strukturalną (2, 3) z przyłożonymi siłami reakcji: 03R , t

12R , n12R .

Warunek równowagi sił działających na grupę ma postać:

( ) 0RPBRRP 0322t12

n123,2i =++++=∑ (P4.1)

Wykorzystując warunek równowagi momentu wszystkich sił względem punktu

C obliczamy wartość reakcji t12R :

( ) 0M 3,2ic =∑ ; 0hPMhBBCR 222B12t12 =⋅+−⋅−− (P4.2)

BCMhBhPR 2B1222t

12−−⋅= (P4.3)

Następnie przyjmujemy podziałkę sił k 1R i rozwiązujemy graficznie równanie

wektorowe (P4.1) wyznaczając reakcje 03n12 R,R oraz 23R i 32R

Podziałka sił a)

=mmN

)P(Pk

2

21R

b) Rys. 26. Analiza sił działających na grupę strukturalną (2, 3),

a) układ sił zewnętrznych i reakcji przyłożonych do grupy (2, 3), b) plan sił grupy (2, 3)



Równanie równowagi sił działających na człon napędzający ma postać:

0RRBR t01

n01121 =+++ (P4.4)

a jego rozwiązanie wykreślne po przyjęciu podziałki sił 2Rk przedstawia Rys. 27b.

a) b) Podziałka sił

Rys. 27. Analiza sił działających na człon napędzający a) uwalnianie od więzów członu napędzającego, b) plan sił członu napędzającego

Z równania równowagi momentów względem punktu A sił działających na

człon 1 wyznaczamy moment równoważący 1rM .

∑ = 0MiA ; 0hRM 3211r =− (P4.5)

stąd 3211r hRM = (P4.6) Dla pozostałych przedstawionych w rozdziale przykładów przeprowadzimy

analizę statyczną z pominięciem sił bezwładności.



Przykład 5. Analiza statyczna mechanizmu Oldhama. Przeprowadzić analizę statyczną mechanizmu Oldhama przedstawionego

na Rys. 28. Dane: 1ϕ , AC, CD, ok 90=α , siła oporu użytecznego 3P .

Rozwiązanie

W pierwszym etapie rozwiązywania naturalną (2, 3), krzyżak-jarzmo. Uwalniazatem przyłożyć normalne siły reakcji R

12M , 32M . Tak należy rzeczywiście poRys. 29a, kiedy suwak obciążony jest dow

Rozważany w zadaniu przypadek jest nie działa żadna siła zewnętrzna. Warukrzyżak ma postać:

0RR 3212 =+

Ponieważ siły 12R i 32R są do siebispełnione tylko wtedy, gdy 0R12 = orazsuwak od więzów należy przyłożyć wyłączane na Rys. 29b.

a) b) Rys. 29. Ukła

a) przypadeb) suwak ni

Mechanizm składa się z korby 1 i grupy strukturalnej (2, 3), jego ruchliwość 1w = . Mechanizm spełnia warunek statycznejwyznaczalności.

Rys. 28. Mechanizm Oldhama

leży uwolnić od więzów grupę struk-jąc suwak od więzów należałoby 12 , 32R , raz odpowiednie momenty stąpić w przypadku pokazanym na olną siłą zewnętrzną 2P .

jednak szczególny, gdyż na krzyżak nek równowagi sił działających na

(P5.1)

e prostopadłe, równanie (P5.1) jest 0R32 = co oznacza, że uwalniając znie momenty sił co zostało poka-

d sił działających na krzyżak 2 k obciążenia suwaka siłą zewnętrzną, eobciążony żadną siłą zewnętrzną.



Uwalniamy teraz od więzów grupę strukturalną (2, 3), Rys. 30a.

a) b)

Rys. 30. Analiza sił działających na grupę strukturalną (2, 3) a) układ sił zewnętrznych i reakcji przyłożonych do grupy (2, 3), b) plan sił grupy (2, 3).

Warunek równowagi sił działających na grupę : 0RP 033 =+ (P5.2)

Ponieważ na jarzmo 3 działają tylko dwie siły ( 0R23 = ), to kierunek reakcji

03R działającej w przegubie C, który musi być równoległy do siły 3P . Rozwiązanie graficzne równania (P5.2), plan sił grupy (2, 3), przedstawia Rys. 30b.

Z równania równowagi momentów dla grupy względem punktu B,

mamy: 0M )3,2(iB =∑ ; 0hRhPM 2031312 =−+ (P5.3)

stąd )hh(PhPhRM 1231320312 −=−= (P5.4)

Z warunku równowagi momentów dla krzyżaka (Rys. 29b):

mamy: 0M )2(iB =∑ ; 0MM 3212 =− (P5.5)

1232 MM = (P5.6)

Z równania równowagi momentów dla członu napędzającego względem punktu A mamy: 0M )1(iA =∑ ; 0MM 211r =− (P5.7) stąd ostatecznie: 211r MM = oraz 0R01 = (P5.8)

Rys. 31. Człon napędzający mechanizmu Oldhama oswobodzony od więzów



Metoda Culmana umożliwia rozwiązanie graficzne zagadnienia równowagi czterech sił o znanych kierunkach leżących w jednej płaszczyźnie, nie tworzących układu środkowego ani równoległego, z których tylko jedna siła jest znana co do wartości a trzy są nieznane. Warunkiem wystarczającym równowagi takiego układu sił jest, aby wypadkowa dwóch dowolnie wybra-nych sił była w równowadze z wypadkową dwóch pozostałych sił nierównole-głych. Obie wypadkowe leżą na prostej Culmana łączącej punkty przecięcia pierwszej i drugiej dwójki sił nierównoległych.

Przykład 6

Wyznaczyć graficznie metodą Culmana wartości sił 2P , 3P , 4P , które pozostają

w równowadze ze znaną siłą 1P .

Dane: Wartość, kierunek i zwrot siły 1P , kierunki sił 2P , 3P , 4P

Rozwiązanie 1. znajdujemy odcinek prostej Culmana MN łączący punkt przecięcia prostej

działania znanej siły 1P oraz kierunku nieznanej siły 2P (punkt M) oraz

punkt przecięcia prostych działania nieznanych sił 3P i 4P (punkt N), Rys. 32a,

2. znajdujemy wykreślnie siłę 2P oraz wypadkową 2,1W takie, że spełnione

jest równanie: 2,121 WPP =+ , a 2,1W leży na prostej Culmana,

3. znajdziemy wypadkową 4,3W korzystając z równania 0WW 4,32,1 =+ ,

4. rozkładamy wypadkową 4,3W na kierunki działania sił 3P i 4P zgodnie

z równaniem 434,3 PPW += .

5. Znajdujemy wykreślnie wartości sił 3P i 4P . Wyznaczone siły spełniają równanie:

a)

Rys. 32. Graficzne rozwiązanie zagadnienia równowagi płaskiego dowolnego układu czterech sił metodą Culmana: a) rozwiązanie z wykorzystaniem pomocniczej siły wypadkowej

0PPPP 4321 =+++



Na Rys. 32b przedstawiono rozwiązanie tego samego zadania przyjmując, że w punktach M i N mamy dwa środkowe układy sił pozostające w równowadze:

0CPP NM21 =++ (P6.1)

0PPC 43MN =++ (P6.2) siły leżące na prostej Culmana pozostają w równowadze 0CC MNNM =+ . b)

Rys. 33. Graficzne rozwiązanie zagadnienia równowagi płaskiego dowolnego układu czterech sił metodą Culmana:

b) rozwiązanie z wykorzystaniem dwóch środkowych układów sił.

Rozwiązując wykreślnie równanie (P6.1) otrzymamy wartości NMC i 2P

a następnie rozwiązując równanie (P6.2) otrzymamy wartości 3P i 4P . Wy-znaczone siły spełniają warunek równowagi :

0PPPP 4321 =+++ (P6.3) Należy zwrócić uwagę, że w obydwu rozważanych rozwiązaniach zadania

wartości sił leżących na prostej Culmana są identyczne lecz różnią się zwrotem tzn. 2,1NM WC −= , 4,3MN WC −= .



Przykład 7. Analiza statyczna metodą Culmana grupy strukturalnej suwak � dźwignia.

Grupę strukturalną suwak-dźwignia, w której występują pary kinematyczne: postępowa, i dwie obrotowe zapiszemy symbolicznie jako grupę P-O-O.

Należy przeprowadzić analizę statyczną grupy strukturalnej P-O-O poka-zanej na Rys. 34 stosując metodę Culmana rozkładu siły na trzy kierunki.

Dane: siła 2P , wymiary członów. Wyznaczyć reakcje w punktach A i C oraz siłę równoważącą 1rP bez uwzględnienia tarcia.

Rys. 34. Grupa strukturalna P-O-O Rozwiązanie W rozwiązaniu stosujemy wariant B uwolnienia od więzów w parze kinema-

tycznej prowadnica � suwak (Rys. 10). Układ sił zewnętrznych powoduje, iż reakcje normalne w parze postępowej występują w punktach A i C.

Zadanie można rozwiązać dla dwóch położeń prostej Culmana. W przykła-dzie zastanie pokazane jedno z nich.



Wyznaczymy prostą Culmana przechodzącą przez punkty przecięcia: kie-runku działania znanej siły 2P i kierunku reakcji A

01R (punkt N) oraz kierun-

ków reakcji C01R i siły równoważącej 1rP (punkt M).

a) b)

Rys. 35. Analiza statyczna grupy strukturalnej P-O-O z wykorzystaniem prostej Culmana

a) wyznaczanie prostej Culmana, b) plany sił grupy strukturalnej P-O-O

Rozkładamy znaną siłę 2P na kierunek A01R i kierunek NM prostej Culmana

�c�. Siły 2P , A01R i NMC tworzą układ środkowy w punkcie N i spełniają

równanie: 0CRP MNA

012 =++ (P7.1)

W etapie drugim rozkładamy leżącą na prostej Culmana siłę NMC na kie-

runki C01R oraz 1rP . Siły te również tworzą układ środkowy w punkcie M

i spełniają równanie: 0PRC 1rC01NM =++ (P7.2)

Ponieważ NMMN CC −= , po dodaniu równań (P7.1) i (P7.2) otrzymamy równanie równowagi sił działających na suwak 1 postaci:

0PRRP 1rC01

A012 =+++ (P7.3)

0CRP MNA012 =++

0PRC 1rC01NM =++

0PRRP 1rC01

A012 =+++



Przykład 8. Mechanizm krzywkowy. Analiza statyczna metodą Culmana.

Przeprowadzić analizę statyczną mechanizmu krzywkowego Rys. 36a me-

todą Culmana. Dane: siła 2P , wymiary geometryczne mechanizmu. Tarcie w parach nale-

ży pominąć. Wyznaczyć reakcje w punktach C, B i F oraz moment równoważący 1rM .

a) b) Rys. 36. Analiza siłowa mechanizmu krzywkowego

a) mechanizm krzywkowy z popychaczem ostrzowym, b) uwalnianie od więzów członów mechanizmu krzywkowego Rozwiązanie Wyznaczamy prostą Culmana �c�, która przechodzi przez punkty przecięcia

znanej siły 2P i reakcji F02R (punkt M) oraz reakcji 12R i C

02R (punkt N), co przedstawiono na Rys. 36b.



W etapie pierwszym rozkładamy znaną siłę 2P na siły F02R oraz NMC

zgodnie z równaniem: 0CRP NMF022 =++ (P8.1)

W etapie drugim rozkładamy siłę MNC na siły oraz zgodnie z równaniem:

0RRC C0212MN =++ (P8.2)

Po dodaniu stronami równań (P8.1) i (P8.2) otrzymamy równanie równowagi

sił działających na popychacz 2 w postaci: 0RRRP C0212

F022 =+++

(P8.3) b) Podziałka sił

c) Rys. 37. Analiza siłowa mechanizmu krzywkowego b) uwalnianie od więzów członów mechanizmu krzywkowego,

c) plany sił popychacza mechanizmu krzywkowego Równanie równowagi sił działających na krzywkę 1 ma postać:

0RR 2101 =+ stąd: 2101 RR −= (P8.4)

Moment równoważący przyłożony do krzywki wyznaczamy z warunku równowagi momentu względem punktu A:

0M )1(iA =∑ ; 0hRM 1211r =− (P8.5)

ostatecznie: 1211r hRM = (P8.6)

0CRP NMF022 =++

0RRC C0212MN =++

0RRRP C0212

F022 =+++



METODA MOCY CHWILOWYCH Zasada mocy chwilowych. Jeżeli mechanizm złożony z członów

sztywnych połączonych ze sobą więzami dwustronnymi jest w równowadze dynamicznej pod działaniem sił zewnętrznych: czynnych, biernych, ciężkości i bezwładności, to suma mocy chwilowych tych sił jest równa zeru, co zapisujemy:

0Nn

1iichw =∑

= (28)

lub 0)MMvBvP( iBiiPin

1iiiii =⋅+⋅+∑ ⋅+⋅

=ωω (29)

Zasada mocy chwilowych wyrażona równaniem (28) stanowi podstawę me-tody obliczeniowej nazywanej dalej metodą mocy chwilowych, pozwalającej wyznaczyć uogólnioną siłę równoważącą działającą na mechanizm bez ko-nieczności wyznaczania reakcji w parach kinematycznych. Przykład 9. Metoda mocy chwilowych w zastosowaniu do mechanizmu jarzmowego

Wyznaczyć metodą mocy chwilowych moment równoważący 1rM dla mechani-zmu jarzmowego dla danych jak w Przykładzie 7. Rozwiązanie

Aby zapisać równanie mocy chwilowych dla mechanizmu, obciążamy go wszyst-kimi obliczonymi siłami zewnętrznymi a do członu napędzającego przykładamy dodatkowo moment równoważący 1rM . W celu obliczenia mocy wszystkich uogól-nionych sił konieczne jest zaznaczenie prędkości liniowych wszystkich punktów przyłożenia sił oraz prędkości kątowych wszystkich członów mechanizmu zgodnie z planem prędkości dla tego mechanizmu. Rys. 38.

a) b)

Rys. 38. Schemat obliczeniowy mechanizmu jarzmowego metodą mocy chwilowych

a) mechanizm jarzmowy obciążony siłami zewnętrznymi i momentem równoważącym, b) plan prędkości punktów przyłożenia siły.



Równanie mocy chwilowych (28) ma dla powyższego mechanizmu postać:

0vPMvBvBM D222B2S21S111r =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ ωω (P9.1) Po rozpisaniu w (P9.1) iloczynów skalarnych mamy:

0cosvP),M(cosM

cosvBcosvB),M(cosM

3D222B22B

22S211S111r11r

=+∠+

+++∠

αωω

ααωω (P9.2)

Na podstawie Rys. 38 odczytujemy wartości kątów: o11r 0),M( =∠ ω ,

o22B 0),M( =∠ ω , o

1 90=α , °=1472α , o3 180=α .

Ostatecznie poszukiwany moment równoważący wynosi:

1

3D222B22S21r

cosvPMcosvBMω

αωα −−−= (P9.3)

a)

Rys. 38. Schemat obliczeniowy mechanizmu jarzmowego metodą mocy chwilowych a) mechanizm jarzmowy obciążony siłami zewnętrznymi i momentem równoważącym,

Wyznaczony metodą mocy chwilowych moment równoważący 1rM winien być identyczny z momentem obliczonym metodą analizy kinetostatycznej, W równaniu mocy chwilowych zakłada się, że uogólniona siła równoważąca ma zwrot zgodny z uogólnionym przemieszczeniem członu napędzającego.

W rozpatrywanym przykładzie (równanie (P9.1)) założono, że moment 1rM ma zwrot zgodny z 1ω i otrzymany wynik obliczeń potwierdzi to w ten sposób, że otrzymamy dodatnią wartość obliczanego momentu po podstawieniu war-tości liczbowych kątów 1α , 2α , 3α . Jeżeli w wyniku obliczeń uzyskamy ujemną wartość uogólnionej siły równoważącej oznacza to, że zwrot tej siły jest przeciwny do zwrotu uogólnionego przemieszczenia członu napędzają-cego. Mamy wtedy przypadek siły hamującej lub momentu hamującego.

TEORIA MASZYN I MECHANIZMÓWhome.agh.edu.pl/~kmtmipa/dydaktyka/tmm/6-Kinetostatyka.pdf · 2020. 4....

Documents

Transcript of TEORIA MASZYN I MECHANIZMÓWhome.agh.edu.pl/~kmtmipa/dydaktyka/tmm/6-Kinetostatyka.pdf · 2020. 4....