Teoria Basica II Mat. III

8/18/2019 Teoria Basica II Mat. III

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MATEMATICAS III SEMIPRESENCIAL I

INSTRUCTOR: Ing. DIEVER ARTURO ARCOS

TEMA: LÍMITES DE UNA FUNCIÓNDEFINICIÓN

El concepto del límite para describir la tendencia de una sucesión o una función. La idea es que el una

sucesión o una función tiene un límite sise puede acercar a un cierto número, que se llama el límite

tanto como queramos. Se usa el límite en cálculo (por lo que también se usa en el análisis real y

matemático) para definir convergencia, continuidad, derivación, integración, y muchas otras cosas.

Límite de una función en un punto

El límite de la función f(x) en el punto x0, es el valor al que se acercan las imágenes (las y)

cuando los originales (las x) se acercan al valor x0. Es decir el valor al que tienden las imágenes

cuando los originales tienden a x0.

Vamos a estudiar el límite de la función f(x) = x2 en el punto x0 = 2.

Tanto si nos acercamos a 2 por la izquierda o la derecha las imágenes se acercan a 4.

Se dice que la función f(x) tiene como límite el número L , cuando x tiende a x0, si fijado un

número real positivo ε , mayor que cero, existe un numero positivo δ dependiente de ε, tal que,

para todos los valores de x distintos de x0 que cumplen la condición|x − x0| < δ , se cumple

que |f(x) − L| < ε.


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También podemos definir el concepto de límite a través de entornos:

si y sólo si, para cualquier entorno de L que tomemos, por pequeño que sea su

radio ε, existe un entorno de x0, Eδ(x0), cuyos elementos (sin contar x0), tienen sus imágenes dentro

del entorno de L, Eε(L).

Ejemplos:

Cálculo del límite en un punto

Si f(x) es una función usual (polinómicas, racionales, radicales, exponenciales, logarítmicas,

etc.) y está definida en el punto a, entonces se suele cumplir que:

Es decir: para calcular el límite se sustituye en la función el valor al que tienden las x.


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No podemos calcular porque el dominio de definición está en el intervalo [0, ∞), por

tanto no puede tomar valores que se acerquen a −2.

Sin embargo sí podemos calcular , porque aunque 3 no pertenezca al

dominio, D= − {2, 3}, sí podemos tomar valores del dominio tan próximos a 3 como

queramos.

Cálculo del límite en una función definida a trozos

En primer lugar tenemos que estudiar los límites laterales en los puntos de unión de los diferentes

trozos.

Si coinciden, este es el valor del límite.

Si no coinciden, el límite no existe.

.

En x = −1, los límites laterales son:

Por la izquierda:

Por la derecha:

Como en ambos casos coinciden, el límite existe y vale 1.

En x = 1, los límites laterales son:

Por la izquierda:


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Por la derecha:

Como no coinciden los límites laterales no tiene límite en x = 1.

Límites laterales

Diremos que el límite de una función f(x) cuando x tiende hacia a por

la izquierda es L, si y sólo si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si x

(a − δ, a) , entonces |f (x) − L| < ε .

Diremos que el límite de una función f(x) cuando x tiende hacia a por

la derecha es L , si y sólo si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que si x

(a, a + δ), , entonces |f (x) - L|


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En este caso vemos que el límite tanto por la izquierda como por la

derecha cuando x tiende a 2 es 4 .

El l ímite de la función es 4 aunque la función no tenga imagen en x = 2.

Para calcular el límite de una función en un punto, no nos interesa loque sucede en dicho punto sino a su alrededor.

2.

Como no coinciden los límites laterales, la función no tiene límite en x =

0.


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Límite infinito

Una función f(x) tiene por límite +∞ cuando x → a, si fijado un número real positivo K > 0 se

verifica que f(x) > k para todos los valores próximos a a.

Ejemplo

Límite menos infinito

Una función f(x) tiene por límite -∞ cuando x a, si fijado un número real negativo K < 0 se

verifica que f(x) < k para todos los valores próximos a a.

Ejemplo


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Para calcular el límite de una función cuando x → ∞ se sustituyen las x por ∞.

Operaciones con infinito

Debemos señalar que estas indicaciones no son operaciones propiamente dichas, sino simplemente

un recurso para ayudarnos a resolver límites.

Debemos tener claro que infinito no es un número.

No distinguimos entre +∞ y -∞ para no alargar excesivamente la lista. Nos basta con saber:

La regla de los signos y que a-n

= 1/an

Sumas con infinito

Infinito más un número

Infinito más infinito

Infinito menos infinito


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Productos con infinito

Infinito por un número

Infinito por infinito

Infinito por cero

Cocientes con infinito y cero

ero partido por un número

Un número partido por cero

Un número partido por infinito

Infinito partido por un número

ero partido por infinito


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Infinito partido por cero

ero partido por cero

Infinito partido por infinito

Potencias con infinito y cero

Un número elevado a cero

ero elevado a cero

Infinito elevado a cero

ero elevado a un número

Un número elevado a infinito

ero elevado a infinito


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Infinito elevado a infinito

Uno elevado a infinito

Límite de funciones polinómicas en el infinito

El límite cuando x → ∞ de una función polinómica es +∞ o −∞ según que el término de mayor

grado sea positivo o negativo.

Ejemplos

1.

2.

Límite de la inversa de un polinomio en el infinito

Si P(x) es un polinomio, entonces:

.

Ejemplo

álculo de límites cuando x → −∞

Ejemplos

1.

2.


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3.

4.

No existe el límite, porque el radicando toma valores negativos.

Propiedades de los límites

Límite de una constante

Límite de una suma

Límite de un producto

Límite de un cociente

Límite de una potencia

Límite de una función

g puede ser una raíz, un log, sen ,cos, tg, etc.

Límite de una raíz


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Límite de un logaritmo

Límite de la función exponencial

Caso 1: Si a > 0

Caso 2: Si 0 < a < 1

http://www.vitutor.com/fun/3/a_10.html#loghttp://www.vitutor.com/fun/3/a_10.html#log


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Ejemplos

1.

2.

3.

4.

Límite de la función logarítmica

Caso 1: Si a > 0


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Caso 2: Si 0 < a < 1

Ejempolo


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Indeterminaciones

Una indeterminación no significa que el l ímite no exista o no se pueda

determinar, sino que la aplicación de las propiedades de los límites tal como

las hemos enunciadas no son válidas.

En estos casos hay que efectuar operaciones particulares para resolver cada

una de las indeterminaciones.

Tipos de indeterminación

1 Infinito partido por infinito

2 Infinito menos infinito

3 Cero partido por cero

4 Cero por infinito

5 Cero elevado a cero

http://www.vitutor.com/fun/3/a_14.htmlhttp://www.vitutor.com/fun/3/a_15.htmlhttp://www.vitutor.com/fun/3/a_16.htmlhttp://www.vitutor.com/fun/3/a_17.htmlhttp://www.vitutor.com/fun/3/a_17.htmlhttp://www.vitutor.com/fun/3/a_16.htmlhttp://www.vitutor.com/fun/3/a_15.htmlhttp://www.vitutor.com/fun/3/a_14.html


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6 Infinito elevado a cero

7 Uno elevado a infinito

Límite de un número partido por cero

El límite puede ser +∞, −∞ o no tener límite.

Ejemplos

Calcular el l ímite:

1.

Tomamos los límites laterales para determinar el signo de ∞.

Si le damos a la x un valor que se acerque a −1 por la iz quierda como −1,1;

tanto el numerador como denominador son negativos, por tanto el límite por

la izquierda será: +∞.

Si le damos a la x un valor que se acerque a −1 por la derecha como −0,9. El

numerador será negativo y el denominador positivo, por tanto el l ímite por la

derecha será: −∞.

Como no coinciden los límites laterales, la función no tiene límite

cuando x → −1.

http://www.vitutor.com/fun/3/a_18.htmlhttp://www.vitutor.com/fun/3/a_18.html


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2.

3.

Indeterminación infinito menos infinito

Para resolver la indeterminación ∞ − ∞ tenemos varios métodos:

1 Por comparación de infinitos


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2 Con funciones racionales

Ponemos a común denominador.

3 Con funciones irracionales

Cuando se trata de funciones irracionales podemos multiplicar y dividir por el conjugado.


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Indeterminación cero partido cero

Vamos a estudiar la indeterminación 0/0 en dos casos:

Caso 1 Función racional

Se descomponen en factores los polinomios y se simplifica la fracción.

Ejemplos

1.

El límite es 0.

2.


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Tomamos límites laterales:

No tiene límite en x = −1

Caso 2 Función con radicales

En primer lugar multiplicamos numerador y denominador por el conjugado de la expresión

irracional.

Realizamos las operaciones y simplificamos la fracción.

BIBLIOGRAFIA

LEITHOLD, Louis. El Cálculo con geometría analítica. 7a edición. México: Oxford University, 2003.

STEWART, James. Cálculo diferencial e integral . Segunda edición. Bogotá: Thompson editores, 2007.

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