1

（ 第５回 ）

Ⅰ部 Ｃ科 １年

信号理論

本日の内容

１．前回の復習

フーリエ級数とスペクトル

２．本日の内容

◇フーリエ係数算出式の証明

◇ フーリエ級数の例

◇ 複素正弦波によるフーリエ級数

３．演習

すべての 周期信号 ｆ (t) は、

基本 (角) 周波数 ω0 = 2πf0および、

その2倍、3倍･･･（2ω0 、3ω0 ･･･ ）の周波数の

正弦波の和として表すことができる。

（ 表したもの → フーリエ級数 ）

前回の復習 （１）： フーリエ級数

)3sin2sinsin(

)3cos2coscos()(

030201

0302010

tbtbtb

tatataatf

周期

10 f

)32sin()22sin()2sin(

)32cos()22cos()2cos()(

030201

0302010

tfbtfbtfb

tfatfatfaatf

正弦波の「表現２」が使われている

表現２

周波数 ｆ0 の正弦波

周波数 2･ｆ0 の正弦波

周波数 3･ｆ0 の正弦波

＋ ＋

周期信号

「分析」と「合成」

水 400ｇ

醤油 10g

みりん 5g

塩 2ｇ

砂糖 0.2ｇ

昆布汁 5ｇ

煮干汁 20ｇ

うどんのスープ 材料（成分）

分析

合成

)32sin()22sin()2sin(

)32cos()22cos()2cos()(

030201

0302010

tfbtfbtfb

tfatfatfaatf

フーリエ級数との対応

周波数 ｆ0 の正弦波

周波数 2･ｆ0 の正弦波

周波数 3･ｆ0 の正弦波

＋ ＋

スープ ＝ 400ｇ の水 ＋ 10ｇ の醤油 ＋ 5g のみりん ＋･･･

信号

2

信号の「分析」と「合成」

信号 材料（成分）

500Hz の正弦波 1

1000Hzの正弦波 0.5

1500Hzの正弦波 0.3

2000Hzの正弦波 0.25

分析

合成

mm ba ,)(tf

すべての信号は、正弦波の和で出来ている

「スペクトル」は、成分のグラフ化

ｆ

成分

500Hz の正弦波 1

1000Hzの正弦波 0.5

1500Hzの正弦波 0.3

2000Hzの正弦波 0.25

mm ba ,

0 500 1000 1500 2000

周波数 （Hz）

1

0.50.3

0.25

大きさ（振幅）

パワースペクトル

ｆ

成分

500Hz の正弦波 1

1000Hzの正弦波 0.5

1500Hzの正弦波 0.3

2000Hzの正弦波 0.25

mm ba ,

0 500 1000 1500 2000

周波数 （Hz）

2/22nn ba

パワー　

(0.5)2/2

(0.3)2/2(0.25)2/2

(1)2/2

パワー

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03-3

-2

-1

0

1

2

3

信号 ｆ(t)

時間

どういう正弦波成分から作られているのだろうか？

分析の例

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03-3

-2

-1

0

1

2

3

信号 ｆ(t)

時間

分析 ・ 周波数 100Hzの sin （振幅が） １

・ 周波数 200Hzの cos （振幅が） 2

成分

分析結果

（ 分析「方法」は、後で説明 ）

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03-3

-2

-1

0

1

2

3

信号 ｆ(t)

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03-3

-2

-1

0

1

2

3

時間

時間

周期 0.01s 周期 0.005s

分析 ・ 周波数 100Hzの sin （振幅が） １

・ 周波数 200Hzの cos （振幅が） 2

成分

sin(2π100 ｔ) 2･cos(2π200 ｔ)

分析結果 （波形）

3

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03-3

-2

-1

0

1

2

3

信号 ｆ(t)

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03-3

-2

-1

0

1

2

3

時間

時間

周期 0.01s 周期 0.005s

分析 ・ 周波数 100Hzの sin （振幅が） １

・ 周波数 200Hzの cos （振幅が） 2

成分

ｆ(t) ＝sin(2π100 ｔ)＋2･cos(2π200 ｔ)

式で書くと

sin(2π100 ｔ) 2･cos(2π200 ｔ)

分析結果 （式）

)32sin()22sin()2sin(

)32cos()22cos()2cos()(

030201

0302010

tfbtfbtfb

tfatfatfaatf

フーリエ級数と対比すると

ｆ(t) ＝sin(2π100 ｔ)＋2･cos(2π200 ｔ)

)32sin()22sin()2sin(

)32cos()22cos()2cos()(

030201

0302010

tfbtfbtfb

tfatfatfaatf

フーリエ級数と対比すると

ｆ(t) ＝sin(2π100 ｔ)＋2･cos(2π200 ｔ)

0,,2,1,100 210 ii baabf その他の

)32sin()22sin()2sin(

)32cos()22cos()2cos()(

030201

0302010

tfbtfbtfb

tfatfatfaatf

フーリエ級数と対比すると

0,,2,1,100 210 ii baabf その他の

1・sin(2π100 ｔ)

2・cos(2π200 ｔ)0 0 00 0

100Hz 200Hz

（ 先週の演習問題）

)32sin()22sin()2sin(

)32cos()22cos()2cos()(

030201

0302010

tfbtfbtfb

tfatfatfaatf

0,,2,1,100 210 ii baabf その他の

1・sin(2π100 ｔ)

2・cos(2π200 ｔ)0 0 00 0

100Hz 200Hz

ｆ0 100 200

周波数 （Hz）

2/22nn ba (2)2/2

(1)2/2

よってパワースペクトルは

パワー

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03-3

-2

-1

0

1

2

3

信号 ｆ(t)

時間

分析 ・ 周波数 100Hzの sin （振幅が） １

・ 周波数 200Hzの cos （振幅が） 2

成分

分析の方法は？

4

「フーリエ係数」 a0, a1 , ･･･，ｂ1 , ｂ2 , ･･･ は、

同じ周波数の正弦波 sin nω0 ｔ をかけて積分すれば得られる。

ａn、ｂn の求め方 （＝分析方法）

T

n dttntfT

b0 0sin

2

)3sin2sinsin(

)3cos2coscos()(

030201

0302010

tbtbtb

tatataatx

1)1002sin(2

0

Tdtttf

T 2)2002cos(

20

T

dtttfT

100Hz の sin の大きさ（成分） 200Hz の cos の大きさ（成分）

本日の内容

１．前回の復習

フーリエ級数とスペクトル

２．本日の内容

◇フーリエ係数算出式の証明

◇ フーリエ級数の例

◇ 複素正弦波によるフーリエ級数

３．演習

すべての周期信号は、正弦波の和として合成できる

→ フーリエ級数

のこぎり波

方形波

＋

＋

＋

＋

方形波は正弦波の和として合成できる

ｘ(t) ＝ ｓｉｎ(ωt) ＋1/3･ｓｉｎ(3ωt)

＋1/5･ｓｉｎ(5ωt) ＋1/7･ｓｉｎ(7ωt)＋ ・・・・・

＋

＋

＋

＋

-1

0

1

２つの正弦波の和

ｆ ＝ 100 Hz （基本波）

ｆ ＝ 300 Hz （３倍波）1/3

時間

振幅

-1

0

1

２つの正弦波の和

ｆ ＝ 100 Hz （基本波）

ｆ ＝ 300 Hz （３倍波）1/3

時間

振幅

5

-1

0

1ｆ ＝ 100 Hz

ｆ ＝ 300 Hz

時間

２つの正弦波の和

青＋緑 → 赤

1/3

振幅

１，３，５倍周波数の正弦波の和

0

-1

0

1

時間

100 Hz＋300Hz

500 Hz

1/5

振幅

１，３，５倍周波数の正弦波の和

0

-1

0

1

時間

100 Hz＋300Hz

500 Hz

青＋緑 → 赤

1/5

振幅

0 20 40 60 80-2

-1

0

1

2

0 20 40 60 80-2

-1

0

1

2

0 20 40 60 80-2

-1

0

1

2

0 20 40 60 80-2

-1

0

1

2

sin t

t3sin3

1

tt 3sin3

1sin

t5sin5

1

tt 3sin3

1sin

ttt 5sin5

13sin

3

1sin

tsin

t7sin7

1

ttt 5sin5

13sin

3

1sin

tttt 7sin7

15sin

5

13sin

3

1sin

ω0 ＝１

方形波 の合成

0 50 100 150-2

-1

0

1

2

0 50 100 150-2

-1

0

1

2

0 50 100 150-2

-1

0

1

2

0 50 100 150-2

-1

0

1

2

0 50 100 150-2

-1

0

1

2

0 50 100 150-2

-1

0

1

2

0 50 100 150-2

-1

0

1

2

0 50 100 150-2

-1

0

1

2

0 50 100 150-2

-1

0

1

2

0 50 100 150-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 50 100 150-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 50 100 150-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 50 100 150-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

tsin tsin

tt 2sin2

1sin

t2sin2

1

t3sin3

1tt 2sin

2

1sin

ttt 3sin3

12sin

2

1sin

t4sin4

1ttt 3sin

3

12sin

2

1sin

tttt 4sin4

13sin

3

12sin

2

1sin

ω0 ＝１

6

のこぎり波 の合成

0 50 100 150-2

-1

0

1

2

0 50 100 150-2

-1

0

1

2

0 50 100 150-2

-1

0

1

2

0 50 100 150-2

-1

0

1

2

0 50 100 150-2

-1

0

1

2

0 50 100 150-2

-1

0

1

2

0 50 100 150-2

-1

0

1

2

0 50 100 150-2

-1

0

1

2

0 50 100 150-2

-1

0

1

2

0 20 40 60 80-2

-1

0

1

2

0 20 40 60 80-2

-1

0

1

2

0 20 40 60 80-2

-1

0

1

2

0 20 40 60 80-2

-1

0

1

2

sin t

t3sin3

1

tt 3sin3

1sin

t5sin5

1

tt 3sin3

1sin

ttt 5sin5

13sin

3

1sin

tsin

t7sin7

1

ttt 5sin5

13sin

3

1sin

tttt 7sin7

15sin

5

13sin

3

1sin

方形波

0 20 40 60 80-2

-1

0

1

2

0 20 40 60 80-2

-1

0

1

2

0 20 40 60 80-2

-1

0

1

2

0 20 40 60 80-2

-1

0

1

2

sin t

t3sin3

1

tt 3sin3

1sin

t5sin5

1

tt 3sin3

1sin

ttt 5sin5

13sin

3

1sin

tsin

t7sin7

1

ttt 5sin5

13sin

3

1sin

tttt 7sin7

15sin

5

13sin

3

1sin 1

2ω0

方形波のパワースペクトル

周波数ω

ω0 3ω0 4ω0 5ω0 6ω0 7ω0

1

(1/3)2

tttt 7sin7

15sin

5

13sin

3

1sin 1

含まれている正弦波の大きさを表すグラフ

(1/5)2(1/7)2

・・・・・2

2 2

2パワー

0 50 100 150-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 50 100 150-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 50 100 150-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 50 100 150-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

tsin tsin

tt 2sin2

1sin

t2sin2

1

t3sin3

1tt 2sin

2

1sin

ttt 3sin3

12sin

2

1sin

t4sin4

1ttt 3sin

3

12sin

2

1sin

tttt 4sin4

13sin

3

12sin

2

1sin

のこぎり波

0 50 100 150-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 50 100 150-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 50 100 150-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 50 100 150-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

tsin tsin

tt 2sin2

1sin

t2sin2

1

t3sin3

1tt 2sin

2

1sin

ttt 3sin3

12sin

2

1sin

t4sin4

1ttt 3sin

3

12sin

2

1sin

tttt 4sin4

13sin

3

12sin

2

1sin 1

7

2ω0

のこぎり波のパワースペクトル

周波数ω

ω0 3ω0 4ω0 5ω0 6ω0 7ω0

含まれている正弦波の大きさを表すグラフ

tttt 4sin4

13sin

3

12sin

2

1sin 1

(1/3)2(1/2)2

(1/4)2

・・・・・

2

2

2

12

パワー

フーリエ級数の意義

すべての周期波形は正弦波の和

◇ 各正弦波成分の大きさを分析

ａn、ｂn （スペクトル）が信号の特徴を表す。

・ 音声認識

◇ 合成できる

◇ 周波数操作

・ フィルタ

◇ 周波数で見る・考える

音声（短時間周期信号）は、（短時間）正弦波の和

aiueok_fem.wav

周波数

大きさ

音声の音色 → 母音のスペクトル

「あ」 「う」「い」

音声の音色 → 母音のスペクトル

「あ」 「う」「い」

GoldWave