Szereg Geometryczny

www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIR ZADAN Z MATEMATYKI

SZEREG GEOMETRYCZNY

Agitacja

Korzystajac ze wzoru na sume poczatkowych wyrazw ciagu geometrycznego atwo wy-prowadzic wzr

12+

14+

18+

116

+ + 12n

= 1 12n

.

Oczywiscie liczba 12n dla duzych n jest mikroskopijnie maa, wiec mozna powiedziec, ze po-wyzsza suma zbliza sie do 1 dowolnie blisko. Mwiac dokadniej, jezeli bedziemy zwiek-szac n to suma bedzie coraz mniej rznic sie od 1. Zupenie formalnie takie rzeczy zapisujesie za pomoca granic, ale na uzytek szkolny uzywa sie zapisu

12+

14+

18+

116

+ = 1.

Celowo z lewej strony nie napisalismy ostatniego skadnika sumy, bo zapis ten ma sugero-wac, ze dodajemy do siebie wszystkie wyrazy ciagu (a wiec dodajemy do siebie nieskon-czenie wiele liczb). Sens tego dodawania, jak i wyniku z prawej strony wyjasnilismy wyzej:dodajac do siebie liczby z lewej strony zblizamy sie do 1, im wiecej liczb do siebie dodamy,tym blizej znajdziemy sie 1.

Od razu zauwazmy, ze dodawanie do siebie nieskonczenie wielu liczb nie zawsze masens.

Suma1 + 1 + 1 + 1 +

nie dazy do zadnej liczby dodajac jedynki z lewej strony mozemy otrzymac do-wolnie duza liczbe. Symbolicznie zapisujemy to wzorem

1 + 1 + 1 + 1 + = +.

Jeszcze gorzej jest z suma

1 1 + 1 1 + 1 1 + .Dodajac po kolei skadniki z lewej strony na przemian mamy 1 i 0. Trudno w takiejsytuacji sensownie zdefiniowac wynik takiego dodawania.

Definicje

Opisana wyzej operacje dodawania do siebie nieskonczenie wielu liczb nazywa sie w mate-matyce szeregiem liczbowym. Jezeli dodatkowo liczby, ktre do siebie dodajemy sa kolej-nymi wyrazami ciagu geometrycznego, to mwimy o szeregu geometrycznym.

Materia pobrany z serwisu www.zadania.info1


Ze wzoru na n-ty wyraz ciagu geometrycznego wiemy, ze kazdy szereg geome-tryczny ma postac

a+ aq+ aq2 + aq3 + + aqn +

Mwimy, ze szereg jest zbiezny jezeli jego suma jest liczba (w takim samym sensie jak wpierwszym przykadzie tego poradnika). Jezeli szereg nie jest zbiezny to mwimy, ze jest onrozbiezny.

Szereg geometryczny12+

14+

18+

116

+ jest zbiezny do liczby 1.

Szeregi geometryczne1 + 1 + 1 + 1 + 1 1 + 1 1 + 1 1 +

sa rozbiezne.

Wzr

Widzielismy wyzej, ze niektre szeregi geometryczne sa zbiezne (czyli ich suma ma sens), ainne nie. Okazuje sie, ze jest bardzo prosta charakteryzacja, kiedy szereg geometryczny jestzbiezny.

Niezerowy szereg geometryczny

a1 + a1q+ a1q2 + a1q3 + jest zbiezny wtedy i tylko wtedy, gdy |q| < 1.

Co wiecej, mamy bardzo prosty wzr na sume szeregu

S =a1

1 q .

Na mocy powyzszego wzoru mamy

43+

49+

427

+ =43

1 13=

4323= 2.

Szereg geometryczny

1 43+

169 64

27+

25681

+

jest rozbiezny, bo |q| =43 = 43 > 1.



W kwadrat o boku 1 wpisujemy okrag. W ten okrag wpisujemy kwadrat, w ktrywpisujemy okrag itd. W ten sposb powstanie nieskonczony ciag kwadratw. Ob-liczmy sume pl wszystkich tych kwadratw.

Jezeli oznaczmy bok jednego z kwadratw przez x, to okrag wpisany w ten kwa-drat ma srednice x. Jednoczesnie jest to przekatna kolejnego kwadratu, czyli jegobok ma dugosc x

2. Zatem pole kolejnego kwadratu jest dwa razy mniejsze od po-

la poprzedniego kwadratu. Pierwszy kwadrat ma pole 1, wiec szukana suma jestrwna

1 +12+

14+ = 1

1 12=

112

= 2.

Rwnania i nierwnosciPopularny motyw zadan szkolnych to rwnania i nierwnosci, w ktrych jedna ze stron jestsuma szeregu geometrycznego. W tego typu zadaniach mamy do wykonania trzy czynnosci.

a) Po pierwsze wyznaczamy dziedzine danego rwnania/nierwnosci. Oprcz standar-dowych mianownikw, pierwiastkw, logarytmw etc., sprawdzamy kiedy dany sze-reg geometryczny jest zbiezny sprowadza sie to do rozwiazania nierwnosci |q| < 1.

b) Zastepujemy dany szereg geometryczny jego suma, zgodnie ze wzorem S = a11q .c) Rozwiazujemy otrzymane rwnanie/nierwnosc (w ktrym nie ma juz zadnych kro-

pek) i odrzucamy rozwiazania, ktre nie sa zawarte w wyznaczonej wczesniej dziedzi-nie.

Rozwiazmy rwnanie: (1 x) + (1 x)2 + (1 x)3 + = 32 x.Z lewej strony rwnania mamy szereg geometryczny o ilorazie q = 1 x, sprawdz-my kiedy jest on zbiezny

|1 x| < 11 0.Teraz rozwiazujemy rwnanie

1 x1 (1 x) =

32 x / 2x

2 2x = 3x 2x22x2 5x+ 2 = 0 = 25 16 = 9x =

5 34

=12 x = 5 + 3

4= 2.

Drugie rozwiazanie odrzucamy, bo nie nalezy do dziedziny rwnania.



Zadania.info Podoba Ci si ten poradnik?Poka go koleankom i kolegom ze szkoy!TIPS & TRICKS

1Liczac sume szeregu geometrycznego warto wyaczyc tyle, ile sie da przed nawias. Dziekitemu unikniemy wielokrotnego przepisywania takich samych wyrazen.

W okregu o promieniu r rysujemy okrag o srednicy r, nastepnie robimy to samo wnowo narysowanym okregu itd.

Obliczmy sume pl wszystkich narysowanych w ten sposb okregw.Liczymy

pir2 + pi( r

2

)2+ pi

( r4

)2+ pi

( r8

)2+ =

= pir2(

1 +14+

116

+1

64+

)=

= pir2 11 14

=4pir2

3.

2Nie wiem czy sie kiedys nad tym zastanawialiscie, ale sprbujmy ustalic co oznacza zapisnieskonczonego rozwiniecia dziesietnego liczby np.

x = 0, 33333 . . .?

Jest to dokadnie zapis sumy nieskonczonego szeregu postaci

310

+3

102+

3103

+ .

Akurat w tym przykadzie jest to szereg geometryczny (o ilorazie 110 ) i umiemy policzyc jegosume

x =3

10

1 110=

39=

13

.

Dokadnie tak samo jest z kazda inna liczba, przy czym na og nie mamy do czynienia zszeregiem geometrycznym i dlatego nie mozemy skorzystac ze wzoru na jego sume.



Mamy

pi = 3, 14159 . . . = 3 +110

+4

102+

1103

+5

104+

9105

+

Ze wzoru na sume szeregu geometrycznego mamy

0, 99999 . . . =9

10+

9102

+9

103+ =

910

1 110= 1.

W pierwszej chwili ta rwnosc powinna byc dosc zaskakujaca, bo przeciez lewastrona jest mniejsza od 1.Naprawde jest mniejsza? A o ile? Jak sie chwile zastanowicie, to powinno byc jasne,ze nie uda wam sie wcisnac zadnej liczby pomiedzy te dwie liczby i wasnie w tymsensie sa one rwne.

Jezeli sie komus wydaje, ze poprzedni przykad jest bardzo osobliwy, to moze war-to podkreslic, ze takich przykadw jest mnstwo.Jezeli wystartujemy od jakiejkolwiek liczby ze skonczonym rozwinieciem dziesiet-nym, np. od 0,12345, to mozemy zamienic ostatnia niezerowa cyfre na cyfre o 1mniejsza i nastepnie nieskonczenie wiele 9-atek:

0, 12345 = 0, 1234499999 . . . .

Nie ma na to zadnej rady: po prostu rozwiniecia dziesietne nie sa jednoznaczne (tasama liczba moze miec rzne rozwiniecia dziesietne).

3

Osoby, ktre pamietaja jak zamienia sie okresowe uamki dziesietne na zwyke, moga zasto-sowac te sama do wyprowadzenia wzoru na sume szeregu geometrycznego. Jezeli oznaczy-my

x = a+ aq+ aq2 + aq3 + aq4 + to mnozac te rwnosc stronami przez q mamy

xq = aq+ aq2 + aq3 + aq4 + = x aa = x xq = x(1 q) x = a

1 q .

Oczywiscie powyzszy rachunek nie daje odpowiedzi na pytanie, kiedy szereg geometrycz-ny jest zbiezny. Jest to tylko sposb na wyprowadzenie wzoru na jego sume.

4Pamietajmy, ze nie kazde rwnanie/nierwnosc z kropkami musi byc zadaniem na szereggeometryczny.



Rozwiazmy rwnanie 1 + 4 + 7 + + x = 117.Lewa strona tego rwnania jest (skonczona!) suma poczatkowych wyrazw ciaguarytmetycznego o pierwszym wyrazie a1 = 1 i rznicy 3, zatem

2a1 + 3(n 1)2

n = 177(1 + 3n)n = 2343n2 n 234 = 0 = 2809 = 532 n = 9.

Zatem x = a9 = a1 + 8r = 25.

5Jest jeszcze jeden detal, o ktrym do tej pory nie wspominalismy, mianowicie szereg geome-tryczny, ktrego wszystkie wyrazy sa zerami. Oczywiscie jest to szereg zbiezny i jego sumajest rwna 0. Problem polega jednak na tym, ze ten ciag nie ma jednoznacznie zdefiniowa-nego ilorazu i trudno ustalic, czy spenia on warunek |q| < 1, czy tez nie. Z tego powoduzawsze bezpieczniej jest rozwazyc ten przypadek osobno.

Rozwiazmy nierwnosc x+ x(1 x) + x(1 x)2 + > 1.Lewa strona jest zbieznym szeregiem geometrycznym jezeli

|1 x| < 11 0.

Przy tym zaozeniu mamy

1 < x1 (1 x) =

xx= 1,

czyli nierwnosc jest speniona.Jest jednak mae ale, bo zgubilismy prawidowe rozwiazanie x = 0 tak jakpisalismy wczesniej, przypadek ciagu zerowego nalezy rozpatrzyc osobno.

6Rwnosc

12+

14+

18+

116

+ = 1ma bardzo prosta interpretacje geometryczna: dzielimy odcinek dugosci 1 na dwie rwneczesci, potem prawa poowe dzielimy ponownie na dwie rwne czesci itd.

1/2 1/4 1/8 1/161/32



Jezeli bedziemy kontynuowac te procedure w nieskonczonosc, to otrzymamy przedsta-wienie odcinka dugosci 1 jako sumy odcinkw o dugosciach kolejno 12 ,

14 ,

18 ,

116 , . . ..

7Niezwykle ciekawe i trudne jest pytanie, czy opisane powyzej dzielenie odcinka na nieskon-czenie wiele czesci ma jakikolwiek sens fizyczny. Powiedzmy, ze zaczynamy dzielic kawaekdrutu na czesci. Dzielimy, dzielimy, po niezbyt dugiej chwili dochodzimy do poziomu ato-mw, dzielimy dalej, mamy kwarki. I co dalej, czy mozna tak dzielic w nieskonczonosc? Cociekawe, wspczesne teorie fizyczne skaniaja sie ku negatywnej odpowiedzi na to pytanie.

8Zahaczylismy juz wyzej o fizyke, wiec zahaczmy tez o filozofie. Przypomnijmy klasycznyparadoks Achillesa i zwia (jeden z tzw. paradoksw Zenona z Elei).

Achilles i zw startuja w wyscigu, przy czym zw zaczyna wyscig w poowietrasy wyscigu, a Achilles biegnie z predkoscia dwa wieksza od zwia.W momencie gdy Achilles przebiegnie poowe dystansu (a wiec znajdzie sie wmiejscu, z ktrego wystartowa zw), zw przebiegnie 34 caej trasy. W momen-cie, gdy Achilles dobiegnie do tego miejsca zw ponownie sie oddali i przebe-dzie 78 caego dystansu, itd. Za kazdym razem, gdy Achilles dobiegnie do miejsca,w ktrym jeszcze przed chwila by zw, zw bedzie juz odrobine dalej. W takimrazie Achilles nigdy nie dogoni zwia.

Sens powyzszego paradoksu oparty jest na naszym intuicyjnym przekonaniu, ze nie da siew skonczonym czasie wykonac nieskonczenie wielu czynnosci. Tymczasem wzr

12+

14+

18+

116

+ = 1

dowodzi czegos wrecz przeciwnego: jezeli czynnosci, ktre wykonujemy trwaja wystarcza-jaco krtko, to moga zostac wykonane w skonczonym czasie. Wracajac do paradoksu Achil-lesa i zwia, powyzszy wzr oznacza, ze Achilles i zw spotkaja sie dokadnie na meciewyscigu.

9Wzr na sume szeregu geometrycznego jest prostym wnioskiem ze wzoru na sume poczat-kowych wyrazw ciagu geometrycznego

Sn = a1 1 qn

1 q .

Jezeli |q| < 1 to qn 0, czyli Sn a11q (przy n +).



10Uwazny czytelnik powinien zauwazyc, ze nasza definicja pojecia szeregu jest delikatniemwiac niejasna. Napisalismy, ze jest to operacja dodawania do siebie nieskonczenie wieluliczb, ale jest to bardziej filozofia niz matematyka. Zrobilismy to celowo, zeby niepotrzebnienie komplikowac poradnika, ale teraz powiemy krtko jak takie rzeczy zrobic porzadnie.

Zaczynamy od ciagu liczbowego (an) (w przypadku szeregu geometrycznego zaczyna-my od ciagu geometrycznego). Nastepnie tworzymy nowy ciag, tzw. ciag sum czesciowych(Sn) okreslony (zgodnie z nazwa) wzorem

Sn = a1 + a2 + + an.Przy takich oznaczeniach, przez szereg (odpowiadajacy ciagowi (an)) rozumiemy po prostuciag sum czesciowych (Sn). Zauwazmy, ze na razie nie ma mowy o zadnym dodawaniunieskonczenie wielu skadnikw, po prostu z jednego ciagu zrobilismy drugi ciag.

Mwimy, ze szereg (Sn) jest zbiezny jezeli istnieje granica S = limn+ Sn. W takiej sytuacji

liczbe S nazywamy suma szeregu Sn. Zauwazmy, ze dokadnie teraz pojawio nam sie do-dawanie nieskonczenie wielu skadnikw: przejscie do granicy w wyrazeniu Sn odpowiadadodaniu do siebie wszystkich wyrazw ciagu (an).

Przesledzmy powyzsze definicje na przykadzie ciagu geometrycznego an = 12n .Ze wzoru na sume poczatkowych wyrazw ciagu geometrycznego mamy

Sn = a1 + a2 + + an = 12 1 12n1 12

=12 2

n 12n1

= 1 12n

.

W takim razie

limn+ Sn = limn+

(1 1

2n

)= 1,

co prowadzi do dobrze juz nam znanego wzoru

12+

14+

18+

116

+ = 1.

11Skoro juz zdobylismy sie na wysiek porzadnego zdefiniowania pojecia szeregu, to po-wiedzmy kilka sw o szeregach, ktre nie sa geometryczne. Okazuje sie, ze sytuacja bywazaskakujaca.

Pierwszy z szeregw

1 +12+

13+

14+

1 +122

+132

+142

+

jest rozbiezny (suma ta jest rwna +), a drugi z nich jest zbiezny do liczby pi2

6 !



Badanie szeregw zwiazane jest z dwoma problemami.

a) Po pierwsze, chcemy umiec sprawdzac, czy dany szereg jest zbiezny. Jest wiele roz-nych kryteriw pozwalajacych odpowiadac na to pytanie i zwykle jest to jeden z te-matw wykadu z matematyki dla studentw I roku.

b) Jezeli juz wiemy, ze szereg jest zbiezny, to chcielibysmy umiec policzyc jego sume.Okazuje sie, ze zadanie to jest niezwykle trudne, i nawet w niektrych bardzo prostychprzypadkach nie umiemy tego zrobic.

Z punktu widzenia dwch powyzszych punktw, przypadek szeregu geometrycznego jestniezwykle elegancki: mamy prosty warunek zbieznosci szeregu: |q| < 1, oraz wiemy ilewynosi jego suma: a11q .

12Mwilismy o tym jak liczyc nieskonczone sumy, ale okazuje sie, ze czasem warto jest umiecwykonac operacje odwrotna, tzn. dana liczbe rozpisac jako pewien szereg.

Okazuje sie, ze

pi =41 4

3+

45 4

7+

49 4

11+

413 4

15+

Fajnie, i co tego? Ano to, ze wyrazenie z prawej strony jest bardzo proste do licze-nia: mamy tam tylko dodawanie i odejmowanie dosc prostych uamkw. Im wiecejich wezmiemy, tym otrzymamy dokadniejsze przyblizenie pi.Nie robi to na was wrazenia? - to sprbujcie wymyslic jakikolwiek sposb na wyli-czenie pi z dokadnoscia do pierwszego miejsca po przecinku (czyli 3, 1)? A nawetjeszcze prosciej, sprbujcie uzasadnic, ze 2 < pi < 4. Jezeli sprbujecie to zrobic, topowinniscie docenic jak niezwykle wygodny jest powyzszy wzr.

13

Do tej pory mwilismy tylko o dodawaniu do siebie nieskonczenie wielu liczb, ale nie maprzeszkd, zeby nie postepowac analogicznie np. w przypadku funkcji.

Ze wzoru na sume szeregu geometrycznego mamy

1 + x+ x2 + x3 + = 11 x ,

o ile tylko |x| < 1. Lewa strone powyzszej rwnosci nazywa sie szeregiem funk-cyjnym i jest to dosc naturalne uoglnienie szeregw liczbowych.


Szereg Geometryczny

Documents

Transcript of Szereg Geometryczny