SYSTEMY LICZBOWEZapraszam wszystkich zainteresowanych poszerzeniem wiedzy z informatyki do wspólnej pracy

Samodzielne wykonanie wybranych trzech zadań umożliwia zdobycie dodatkowej oceny z tego przedmiotu

SYSTEM DWÓJKOWY•Systemem liczbowym stosowanym w technice cyfrowej jest system dwójkowy (binarny) – system liczbowy o podstawie 2. •W systemie dwójkowym w zapisie liczb używasz dwóch cyfr: 0 i 1.• Kolejne cyfry w liczbie są mnożone przez kolejne potęgi liczby 2. Znajdziesz więc tu pozycję jedynek (20), pozycję dwójek (21), czwórek (22), ósemek (23), itd.

Wartości dziesiętne wybranych liczb zapisanych w systemie dwójkowym:

Zapis w systemie

dwójkowym

Wartość w systemie

dziesiętnym

Wartość w systemie

dziesiętnym

Zapis w systemie dwójkowym

1 20 = 1 0,1 2-1 =0,510 21 = 2 0,01 2-2 =0,25

100 22 = 4 0,001 2-3 =0,1251000 23 = 8 0,0001 2-4 =0,0625

10000 24 = 16 0,00001 2-5 =0,03125100000 25 = 32 0,000001 2-6 =0,015625

1000000 26 = 64 0,0000001 2-7 =0,007812510000000 27 = 128 0,00000001 2-8 =0,00390625

100000000 28 = 256 0,000000001 2-9 =0,0019531251000000000 29 = 512 0,0000000001 2-10 =0,00097656251000000000

0210 = 1024 0,0000000000

12-11

=0,00048828125

W poniższej tabeli przedstawione jest działanie prowadzące do zamiany zapisu liczby 283 z systemu dziesiętnego na system dwójkowy:

Zamiana liczby z systemu dziesiętnego na binarny.

Zamiana ułamka dziesiętnego na binarny:

SYSTEM ÓSEMKOWY

Liczby zapisywane są w pozycyjnym systemie ósemkowym za pomocą ośmiu cyfr:

0 1 2 3 4 5 6 7

Podstawą sytemu ósemkowego jest 8, czyli 23. Dzięki temu zapis liczby binarnej skracany jest

trzykrotnie.

SYSTEM ÓSEMKOWY

SYSTEM ÓSEMKOWY

W tym systemie mamy szesnaście cyfr:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F Symbolom literowym odpowiadają

wartości dziesiętne: A - 10, B - 11, C - 12, D - 13, E - 14, F - 15

SYSTEM SZESNASTKOWY

Podstawą systemu szesnastkowego jest 16, czyli 24, co pozwala skrócić zapis binarny

czterokrotnie.

SYSTEM SZESNASTKOWY

Działania arytmetyczne w różnych systemach liczbowych

Reguły rządzące działaniami arytmetycznymi w różnych systemach liczbowych są takie same jak w znanym Ci systemie dziesiętnym. Pamiętasz, jak skonstruowana jest tabliczka mnożenia. Na przecięciach wierszy i kolumn znajdują się wyniki mnożenia odpowiednich liczb. Aby ułatwić wykonywanie działań w dowolnym systemie liczbowym, możesz stworzyć tabelę mnożenia i dodawania cyfr w danym systemie.

Zapoznaj się z umieszczonymi poniżej tabelkami działań w systemie dwójkowym. Możesz na tej podstawie samodzielnie stworzyć analogiczne

tabele dla różnych systemów liczbowych.

+ 0 10 0 11 1 10

DODAWANIE

× 0 10 0 01 0 1

MNOŻENIE

Zapoznaj się z umieszczonymi poniżej tabelkami działań w systemie czwórkowym. Możesz na tej podstawie samodzielnie stworzyć analogiczne

tabele dla różnych systemów liczbowych.

+ 0 10 0 11 1 2

DODAWANIE

2 2 33 3 10

2 33 1010 1111 12

× 0 10 0 01 0 1

MNOŻENIE

2 0 23 0 3

2 30 02 310 1212 21

2 3

Znasz już sposób postępowania przy zamianie liczby z układu dziesiętnego np. na układ

ósemkowy – obliczasz reszty z dzielenia przez 8 i zapisujesz je w odpowiedniej kolejności.

Na następnym slajdzie podany jest inny sposób zamiany liczb z systemu dziesiętnego na ósemkowy. Metoda ta wymaga wykonania działań arytmetycznych w różnych systemach.

11000101001010111010010110111000011010110111

Omówimy ją na przykładzie: chcemy zapisać liczbę 835(10) w systemie ósemkowym

• Pierwsza cyfra od lewej to 8. Zapisujemy ją w systemie ósemkowym:8(10) =10(8)

Następnie zamieniamy liczbę złożoną z dwóch pierwszych cyfr – wykorzystujemy tu wynik otrzymany w poprzednim kroku:83(10) =8(10) ·10(10) +3(10) =10(8) ·12(8) +3(8) =120(8) +3(8) =123(8)

Otrzymaną liczbę wykorzystamy teraz do zamiany liczby złożonej z trzech kolejnych cyfr: 835(10) =?(8)

835(10) =83(10) ·10(10) + 5(10) =123(8) ·12(8) + 5(8) =1476(8) + 5(8) =1503(8)

W przypadku większej liczby cyfr postępowanie należałoby powtórzyć.

System trójkowy: do zapisu liczb używamy cyfr: 0, 1, 2.

Wartość danej kolumny

34 = 81 33 = 27 32 = 9 31 =3 30 = 1

cyfra 2 1 0 2 1

Liczymy wartość tej liczby:21021(3) = 2. 34 + 1. 33 + 0. 32 + 2. 31+ 1. 30 = 169(10)

lub 2. 81 + 1. 27 + 0. 9 + 2. 3+ 1. 1 = 169 (10)

System piątkowy: do zapisu liczb używamy cyfr: 0, 1, 2, 3, 4.

Wartość danej kolumny

53 = 125 52 = 25 51 =5 50 = 1

cyfra 1 2 4 3

Liczymy wartość tej liczby:1243 (5) = 1. 53 + 2. 52 + 4. 51+ 3. 50 = 198 (10) lub 1. 125 + 2. 25 + 4. 5+ 3. 1 = 198 (10)

Praca samodzielnaPraca samodzielnaPodstawą sytemu ósemkowego jest 8, czyli 23. Dzięki temu zapis liczby binarnej skracany jest trzykrotnie.Podstawą systemu szesnastkowego jest 16, czyli 24, co pozwala skrócić zapis binarny czterokrotnie.

Zadanie 1► Wykonaj podobne ćwiczenie dla systemu czwórkowego

Podstawą systemu trójkowego są trzy cyfry, piątkowego pięć. Zadanie 2

► Wykonaj podobną tabelkę dla systemu siódemkowego

Zadania 3► Zapisz w systemie dziesiątkowym następujące liczby: 1111110(2) , 10221(3), 4331(5)

Zadania 4► Przedstaw liczby zapisane w systemie dziesiątkowym w innym systemie.

23(10) = (5)23(10) = (3) 23(10) = (2)

Zadania 5► Zapisz w systemie piątkowym następujące liczby: 13(10), 33(10),76(10).► Zapisz w systemie trójkowym następujące liczby: 25(10), 47(10), 123(10).► Zapisz w systemie dwójkowym następujące liczby: 6(10), 15(10), 34(10).

Zadania 6► Przedstaw w systemie dziesiątkowym następujące liczby: (1021)3, (212)3, (20102)3, (201)8, (101010)2

Zadania 7

Pozostałe ćwiczenia uwzględniają znajomość cyfr rzymskich

Zadanie 8Wykonaj konwersję liczby L na liczbę w kodzie dwójkowym.Zadanie 9Wykonaj konwersję liczby L na liczbę w kodzie heksadecymalnym.Zadanie 10Zapisz liczbę L w kodzie dwójkowym i wykonaj jej konwersję na kod heksadecymalny.

Dziękuję za wykonanie poleceń.

Przedstaw poszczególne etapy liczenia (nie tylko wynik). Swoją pracę umieść w dokumencie tekstowymi wyślij w formie załącznika na bkolcz@wp.pl

► Materiały opracowane przez wydawnictwo PWN