Symulacje komputerowe

Symulacje komputeroweMechanika kwantowaFizyka w modelowaniu i symulacjach komputerowychJacek Matulewski (e-mail: [email protected])http://www.fizyka.umk.pl/~jacek/dydaktyka/modsym/Wersja: 20 kwietnia 2010

PlanTo i powstanie fizyki kwantowejPodstawowe pojcia i opis stanu w fizyce kwantowejCzasowe i bezczasowe rwnanie Schrdingera (dynamika stanu i szukanie stanw wasnych)Inne podobne rwnania rniczkowe czstkowe

Metody num. 1D: Crank-Nicholsona i FFT+CzebyszewMetody num. 2D i 3D: ADI i FFT+Czebyszew

PodrcznikiI. Birula-Biaynicki, M. Cieplak, J. Kamiski, Teoria kwantw, 1991L. Schiff, Mechanika kwantowa, 1977L. D. Landau, E. M. Lifszic, Mechanika kwantowa, 1979H. Haken, H. C. Wolf, Atomy i kwanty, 1997R. Shankar, Mechanika kwantowa, 2006

Skrypt prof. Andrzeja Raczyskiego http://www.fizyka.umk.pl/~raczyn/

Stara teoria kwantwFizyka klasyczna z kwantowymi postulatami ad hoc (reakcja na anomalie pojawiajce si w dowiadczeniach):promieniowanie ciaa doskonale czarnego Planck zaoy kwantyzacj energii (1900 r.) prawo Wiena

Stara teoria kwantwFizyka klasyczna z kwantowymi postulatami ad hoc (reakcja na anomalie pojawiajce si w dowiadczeniach):zjawisko fotoelektryczne zewntrzne Einstein wyjani je zakadajc kwantyzacj energii fali elektromagnetycznej (fotony) (1904 r.) prdko fotoelektronw zaley tylko od czstoci fali ilo fotoelektronw zaley od natenia wiata (iloci fotonw)

Stara teoria kwantwFizyka klasyczna z kwantowymi postulatami ad hoc (reakcja na anomalie pojawiajce si w dowiadczeniach):linie emisyjne i absorpcyjne widm atomowych kwantyzacja energii atomu (momentu pdu), zmiana energii (stanu) atomu tylko przy emisji lub absorpcji fotonu model atomu Bohra (1911 r.)

Stara teoria kwantwFizyka klasyczna z kwantowymi postulatami ad hoc (reakcja na anomalie pojawiajce si w dowiadczeniach):linie emisyjne i absorpcyjne widm atomowych model atomu wodoru Bohra (1911 r.)

Stara teoria kwantwFizyka klasyczna z kwantowymi postulatami ad hoc (reakcja na anomalie pojawiajce si w dowiadczeniach):ciepo waciwe cia staych (Einstein 1907 r., Debye 1914 r.)dowiadczenie Francka-Hertza (1918 r.)efekt Comptona (1923 r.)

hipoteza de Brogliea (1923 r.) - dualizm czsteczkowo-falowydowiadczenie Sterna-Gerlacha (1922 r.) - spin (wewn. m. pdu)

Mechanika kwantowaPostulaty mechaniki kwantowej:Stan czstki jest w peni opisany funkcj falow wielko zespolona, zaley od pooenia i czasu lub od pdu i czasu tr. Fouriera zamiast pary wielkoci mamy teraz tylko jedn


Zbir funkcji falowych tworzy przestrze wektorow (dodawanie i mnoenie przez liczby zespolone)superpozycja (zasada superpozycji)iloczyn skalarny funkcji falowych


Zbir funkcji falowych tworzy przestrze wektorow (dodawanie i mnoenie przez liczby zespolone)

Mona skonstruowa baz ortonormaln funkcji falowych

Mechanika kwantowaPostulaty mechaniki kwantowej:Wielkoci fizyczne s reprezentowane przez operatory hermitowskie (z baz funkcji wasnych)

Mechanika kwantowaPostulaty mechaniki kwantowej:Wielkoci fizyczne s reprezentowane przez operatory hermitowskie (z baz funkcji wasnych)Twierdzenie Ehrenfesta:Warto oczekiwane operatorw pooenia i pdu zmieniaj si w sposb analogiczny, jak w ukadzie nieskwantowanym (klasycznym)Ale w mechanice kwantowej wynik pomiaru np. pooenianie musi by rwny wartoci oczekiwanej to nie musi by nawet najbardziej prawdopodobne pooenie

Mechanika kwantowaPostulaty mechaniki kwantowej:Wielkoci fizyczne s reprezentowane przez operatory hermitowskie (z baz funkcji wasnych)

Mechanika kwantowaPostulaty mechaniki kwantowej:Wielkoci fizyczne s reprezentowane przez operatory hermitowskie (z baz funkcji wasnych)Dowiadczenie Younga na pojedynczych fotonach

Mechanika kwantowaPostulaty mechaniki kwantowej:Wielkoci fizyczne s reprezentowane przez operatory hermitowskie (z baz funkcji wasnych)Niepewno wariancja:warto oczekiwanaNiepewno niektrych wielkoci (np. pooenia i pdu) jest zwizana zasad nieoznaczonoci Heisenberga

Mechanika kwantowaPostulaty mechaniki kwantowej:Wielkoci fizyczne s reprezentowane przez operatory hermitowskie (z baz funkcji wasnych)Niepewno wariancja:Niepewno niektrych wielkoci (np. pooenia i pdu) jest zwizana zasad nieoznaczonoci HeisenbergaGranica dokadnoci pomiaru stanu czstki(powd fizyczny, a nie technologiczny)

Mechanika kwantowaPostulaty mechaniki kwantowej:Dozwolonymi wynikami pomiarw wielkoci fizycznej mog by tylko wartoci wasne reprezentujcego j operatora (zwizek teorii z dowiadczeniem)Warto oczekiwana operatora moe nie by wartoci wasn (problem pomiaru redukcja pakietu falowego)Mwimy, e energia jest skwantowanaale ma rwnie cz widma cigego

Mechanika kwantowaPostulaty mechaniki kwantowej:Dozwolonymi wynikami pomiarw wielkoci fizycznej mog by tylko wartoci wasne reprezentujcego j operatora (zwizek teorii z dowiadczeniem)

Mechanika kwantowaPostulaty mechaniki kwantowej:Dozwolonymi wynikami pomiarw wielkoci fizycznej mog by tylko wartoci wasne reprezentujcego j operatora (zwizek teorii z dowiadczeniem)Jak znale dozwolone wyniki pomiaru?Naley rozwiza jego zagadnienie wasne (por. algebra macierzy) Wwczas otrzymamy wartoci wasne operatorai odpowiadajce im funkcje stanw wasnych

Mechanika kwantowaPostulaty mechaniki kwantowej:Dozwolonymi wynikami pomiarw wielkoci fizycznej mog by tylko wartoci wasne reprezentujcego j operatora (zwizek teorii z dowiadczeniem)Jak znale dozwolone wyniki pomiaru?Naley rozwiza jego zagadnienie wasne (por. algebra macierzy) Wwczas otrzymamy wartoci wasne operatorai odpowiadajce im funkcje stanw wasnychbezczasowe rwnanie Schrdingera

Mechanika kwantowaPostulaty mechaniki kwantowej:Dozwolonymi wynikami pomiarw wielkoci fizycznej mog by tylko wartoci wasne reprezentujcego j operatora (zwizek teorii z dowiadczeniem)Stany wasne atomu wodoru (funkcje falowe)http://www.falstad.com/qmatom/ http://webphysics.davidson.edu/faculty/dmb/hydrogen/intro_hyd.html1s2s, 3s

Mechanika kwantowaPostulaty mechaniki kwantowej:Ewolucja ukadu kwantowego (czstki), gdy nie dokonuje si pomiaru, jest opisana zalenym od czasu rwnaniem SchrdingeraTo jest fundament symulacji kwantowomechanicznych!Rwnanie rniczkowe czstkowe (PDE)Odpowiednik rwnania Newtona

Opis stanu w mechanice kwantowej nowa jako

Opis probabilistyczny (moliwo interferencji)Komplementarno (problem zupenego opis stanu)Kwantyzacja wielkoci fizycznychNieklasyczne wielkoci fizyczne (spin)Nierozrnialno identycznych czstekMechanika kwantowa Zasada korespondencji (Niels Bohr)

Jednowymiarowe rwnanie Schrdingera

Implementacja na wiczeniach

Pokaz typowych zjawisk http://www.fizyka.umk.pl/~jacek/download/qdyn.htmMechanika kwantowaC:\ProgramData\Microsoft\Windows\Start Menu\Programs\QDynhttp://www.fizyka.umk.pl/~jacek/dydaktyka/fkanim/index.html

Mechanika kwantowa w obrazachRozszerzanie pakietu gaussowskiego (brak potencjau) Czstka swobodna. Im wszy pakiet, tym szybciej si rozszerza.Stan pocztkowy: pakiet gaussowski, szeroko aPotencja: brak potencjau Sie przestrzenna: 2048, (-100,100); sie czasowa: 1000, krok 0.1 a = 1a = 2a = 4Na wykresie pokazany jest kwadrat moduu funkcji falowej (o odcitych pooenie x)

Mechanika kwantowa w obrazachRozpraszanie na progu potencjauk = 0.5

Mechanika kwantowa w obrazachRozpraszanie na progu potencjauk = 1

Mechanika kwantowa w obrazachRozpraszanie na progu potencjauk = 1.5

Mechanika kwantowa w obrazachRozpraszanie na progu potencjauk = 2

Mechanika kwantowa w obrazachZjawisko tunelowaniak = 0.5a = 1

Mechanika kwantowa w obrazachZjawisko tunelowaniak = 1a = 1

Mechanika kwantowa w obrazachZjawisko tunelowaniak = 1.5a = 1

Mechanika kwantowa w obrazachZjawisko tunelowaniak = 1a = 0.5

Inne rwnania faloweRwnanie propagacji fali elektromagnetycznej (wyprowadzane z rwna Maxwella)

Rwnanie powierzchni cieczyRwnanie dyfuzjiRwnania rniczkowe czstkowe drugiego rzduZaoenie: strumie proporcjonalny do gradientu stenia

*

Symulacje komputerowe

Documents

Transcript of Symulacje komputerowe