1

szczególnychGranice

ciągów.

Postaraj się przewidziećco pojawi się w następnym polu tekstowym.

2

W dotychczasowym kursie matematyki, poznaliśmyszczególne ciągi takie jak :arytmetyczne, geometryczne,

harmoniczne,ciąg postaci ,)1

1( nn nc ciąg Fibonacciego.

Rozpatrzymy interesujące i ważne w analizie matematycznej, ,n

n ca .nn nb

Badaliśmy granice ciągu : arytmetycznego,

Teraz wyznaczymy granice wymienionych ciągów.

Wyznaczmy kilka początkowych wyrazów ciągu

nna 5

,5,5()( na ,53 ,54 ,55 ,56 )

Gdy na kalkulatorze wystukamy kilka kolejnych wyrazów

dojdziemy do wniosku, że granicą, najprawdopodobniej 1.

;5()( na ;236,2 ;709,1 ;495,1 ;379,1 ;306,1 );258,1

ciągi :

harmonicznego,

tego ciągu,

jest liczba

geometrycznego, postaci wymiernej i innych.

3

Udowodnimy że : 1lim0

n

ncc

* Jeżeli 1c

* * Jeśli n cc 1 i możemy przyjąć nn xc 1 gdzie 0nx

Zatem z dwumianu Newtona nnxc )1(

Stąd nn xnxc 1

, to powyższa równość

Mamy więc nierówność n

cxn

10

Ponieważ

n

cn

1lim

więc stosując twierdzenie o trzech ciągach,

nnxlim 0

* * * Jeśli to 1c

Wtedy

n

n

n

n

c

c1

1limlim

cbdu.

c

1

)1(limlim nn

n

nxc

* * *

zachodzi.

n

c 1

1n

nn xnx 1

1

1c0

01

1

1

**

.

podstna

1

1

4

Wyznaczmy kilka początkowych wyrazów ciągu

,1()( nb ,33 ,44 ,55 ,66 )

Po wystukaniu na kalkulatorze kilka kolejnych wyrazów

podejrzewamy, że granicą jest

.1

nn nb

,2

Dowód że 1lim

n

nn przebiega jak poprzednio.

* Dla 1n powyższa równość

n nton 1

i możemy przyjąć nn xn 1 gdzie 0nx

* * Gdy

,3,2n

mamy nnxn )1(

Stąd 22

2

)1(nn xx

nnn

Dla

zachodzi

1

1 nnx 2

2

)1(nx

nn n

nx

1

2

n

;1()( nb ;414,1 ;441,1 ;414,1 ;379,1 ;346,1 );321,1

tego ciągu,

5

1

2lim

nn

1

20 2

n

xn

0lim 2

nnx

cbdu.

Mamy więc nierówność

Ponieważ

więc stosując twierdzenie

o trzech ciągach, otrzymujemy

0

)1(limlim nn

n

nxnZatem

* * *Ćwiczenie 1. Oblicz granicę ciągu .

1010

100100

nnn

nu

)10

10(lim100

100nn

n

n

n

n

n

nn

10010lim

lim1

1

11

n

n

n

n

n100

100

10lim10lim

n

n

n

n10010

lim1

2

0

0lim nnx

01

2

1

6

Obliczmy granicę ciągu n nnnnd 432

Ciągiem o wyrazach mniejszych może być każdy

,2n n

Jeżeli pod pierwiastkiem ma być suma trzech potęg, to jakich ?

nnn 444Teraz jasne jest, który z wcześniej wymienionych ciągów wziąć

Ponieważ w przepisie tego ciągu nie możemy nic zmienić,( nie ma twierdzenia o pierwiastkowaniu sumy,

to jedyną szansą znalezienia ewentualnej granicy

Musimy znaleźć dwa ciągi ograniczające ten ciąg

A jaki wziąć ciąg o wyrazach większych ?

Wpadliście na pomysł ?Oczywiście ,

jest twierdzenie o granicy trzech ciągów.

zbieżne do tej samej granicy.

jako ciąg o wyrazach mniejszych.

Ćwiczenie 2:

ani o dodawaniu potęg )

,3n n .4n n

n43

z ciągów

jeden z dołu ( o wyrazach mniejszych ), drugi z góry

7

n nnn 432 n 34

bo 13lim n

n

Zatem 4432lim

n nnn

n

4

4

n nnn 432

* * *Twierdzenie o trzech ciągach jest stosowane przy badaniu granic

Dzięki temu twierdzeniu, klasa ciągów których granicepotrafimy obliczyć, zdecydowanie powiększyła się.

* * *

Zapiszmy nasz pomysł.

ciągów pewnej postaci.

n n43n n4

8

Widać, że w wyrażeniu n nn sin3

nic nie możemy przekształcić.

Stąd, należy obliczyć granicę w nietypowy sposób,

stosując odpowiednie twierdzenia. 1sin1 n

13sin313 nnnn

nnnn sin33 nnnn 4sin32

nnn nnnn 4sin32

Ze wzorówi tw. o trzech cg. 1

1sin3lim n

nnnZatem

* * *

Znaną nierówność przekształćmy, takby otrzymać interesujące nas wyrażenie

Obliczmy granicę ciągu Ćwiczenie 3. .sin3nn nne

nn3

9

Wymieniając symbole nieoznaczone, pojawił się znak .0Obecnie możemy pokazać, dlaczego jest to symbol nieoznaczony.

Ciągi : ,1

nn nn ,32n nn ,11753n nnnn ,432n nnn

są ciągami, których granice są typu

Wyznaczmy ich granice. n

nnlim

nn

n32lim

Granice są różnei zależne odprzepisów ciągów.

0

nnn 432

n nnnn

n11753lim

n4 n43

nnn

n432lim

nn 32 n32n3

nnnn 11753 n114n11

n nn 32 n n32n n3 n 233

3

dalej j.w .

j.w.

Udowodniliśmy, że 1

3

4

11

10

Rada : Wyznacz granicę ciągów :

,2)1(

nn

fn

n

* * *

.)1()1()1(

2221

ng

nnn

n

n

n nc )

11( jest rosnącyi ograniczony.

Na podstawie twierdzenia, wiemy, że jest

Niestety, nie potrafimy wyznaczyć granicy tego ciągu.

Dowiedliśmy również, że granica nie może być większa od 3.Nawet kalkulator, który był pomocny w poprzednich ciągach,

nie bardzo pomoże ,błędy zaokrągleń,

zbieżny.

W prezentacji o szczególnych ciągach, wykazaliśmy, że ciąg

przy obliczeniach należy uwzględnićktórego nie umiemy wyznaczyć.

11

Na razie, podajmy ją z przybliżeniem do 5 cyfr po przecinku. 045459828281718,2e

W dodatku dla dociekliwych wykażemy, że jest to liczba

Niewymierność tej liczby jest inna niż np. .2jest „paskudniejsza ”.

Takie liczby noszą ponurą nazwę liczb

Jedną z nich, już dawno znacie, jest to liczba .

en

n

n

)

11(limStąd

Słynny matematyk Euler, który pierwszy zainteresował siętą liczbą, oznaczył ją literą .e

Liczba odgrywa w analizie matematyczneje

Ale o tym będzie mowa w późniejszym kursie matematyki.

niewymierna.

przestępnych.

bardzo ważną rolę.

12

.)1

1( nn nd

Teraz zajmijmy się ciągiem o przepisie niewiele różniącym się

Zbadajmy granicę ciągu

n

nn

n nd )

11(limlim

n

11

n

n 1

1

1

n

n

1

111

n

n

1

11

1

n

n

n n)1

11(lim

1

)1

11()

1

11(lim 1

nnn

n

)1

11(lim)

1

11(lim 1

nn n

n

n

e

1

ee 1

1)1

1(lim

e

nn

n

n

n

n

)

1

11

1(lim

n

n n)1

11(lim

Uzasadnieniem, że liczba jest niewymierną i przestępnązajmiemy się w prezentacji :

ee

od ciągu

„ Tajemnicza liczba ”.

Zatem

Przekształćmy różnicę .

Ale

.)1

1( nn nc

1e

13

Wymieniając symbole nieoznaczone, pojawił się znak .1

Obecnie, możemy pokazać, dlaczego jest to

Ciągi : ,)1

1( n

n ,)

11( 2n

n ,)

11(

2n

n,)

2

11( n

n

są ciągami, których granice są typu 1

Wyznaczmy ich granice .

n

n n)

11(lim

n

n n2)

11(lim

n

n n)

2

11(lim

2

)1

1(lim n

n n

Granice są różnei zależne odprzepisów ciągów.

* * *

2])1

1(lim[ n

n n2e

2

12 ])

2

11(lim[ n

n n e

nn

n n])

11(lim[

nn

n

n

n

lim

])1

1(lim[ e

Wiemy, że

e

symbol nieoznaczony.

2])1

1[(lim n

n n

2

12 ])

2

11[(lim n

n n

nn

n n])

11[(lim

14

Ćwiczenie 4. Wyznacz granicę ciągu

Spróbujmy przepis tego ciągu, doprowadzić do postaci

)

11(

Aby obliczyć tą granicę, najprawdopodobniej trzeba korzystać

z poznanych twierdzeń.

Ale bezpośrednio, takiego wzoru nie mamy.

.)1

3( 52

2

22

n

n n

na

522

22

)1

3( n

n n

na

n

nalimStąd

gdzie .

4

2212

)

2

11

1(n

n

52

2

2

)1

2 n

n

])

2

11

1[( 212

2

n

n

2 1(

3 3

2 )

2

11

1(

n

4

52

2

22

)1

1( n

n

n

434 1 ee

15

Wykorzystaliśmy intuicyjnie oczywiste, zmodyfikowane twierdzenie :

ea

n

n

a

na

)1

1(lim

* * *ciągiem Fibonacciego.

Gdy rozpatrywaliśmy ciągi, poznaliśmy ciekawy ciąg, zwany

Udowodniliśmy kilka jego własności.

Poznajmy jeszcze jedną własność. Obliczmy1

lim

n

n

n a

a

Badając ten ciąg wykazaliśmy, że

Przypomnijmy jak zdefiniowany był ciąg Fibonacciego. .,1,0 1210 Nndlaaaaaa nnn

.2

51

2

51

5

1

nn

na

16

nn

n

n a

alimlim

1

nn

2

51

2

51

5

1

11

2

51

2

51

5

1nn

nn

2

51

2

51

11

2

51

2

51

nn

nlim

ułamek skróćmy przez1

2

51

n

licznik dzielimy przez

2

51

2

51n

i obliczmy 2

51:

2

51

nlim

n)2

35(1

51

2

Występują ciągi

geometr. gdzie1

2

35

, a dla ułatwienia obliczeń

51

51

51

)51( 2

2

35

1)2

35(1

n

nn

na 2

51

2

51

5

1

|| q

17

15

)15(22

15

2

15lim

1

n

n

n a

a

Granica ta jest równa szczególnej liczbie, którą nazywamy ( wartość złotego

podziału ).O złotym podziale w prezentacji :

nlim

1)

2

35(1

)2

35(1

51

2

n

n

* * *Poznaliśmy nowe ciągi i wyznaczyliśmy ich granice.

Oto one : ,01lim

cdlacn

n,1lim

n

nn .)

11(lim en

n

n

01

01 51

2Zatem

złotą liczbą

.lim

n

na

1||0 adla

1 adla ciąg geometryczny

@ Złota liczba, boska proporcja. @

18

@ Dalsze twierdzenia o granicach ciągów. @

Konsekwencje tych wzorów poznawać będziemy w zadaniach,

i następnej prezentacji :

Opr. WWW. i-lo. tarnów.Bardzo proszę o krytyczne przeanalizowanie prezentacji

by po korekcie,

Z góry dziękuję.można było ją uznać za poprawną.

i przekazanie uwag,

belferwww.one.pl

Koniec prezentacji