RURA GRUBOŚCIENNA W STANIE UPLASTYCZNIENIA

dr inŜ. Jan Lewiński

CEL OPRACOWANIA

Celem opracowania jest przedstawienie sposobu obliczeń wytrzymałościowych rury grubościennej, poddanej ciśnieniu wewnętrznemu, znajdującej się w płaskim stanie odkształcenia, wykonanej z materiału podlegającemu liniowemu umocnieniuumocnieniu

MODELE MATERIAŁÓW

Rys. 1

SCHEMAT ROZWAśANEJ RURY GRUBOŚĆIENNEJ

0211 =−

+rdr

d σσσ

Zagadnienie jest rozwiązywane z wykorzystaniem następujących równań i zaleŜności:

OBLICZENIA W ZAKRESIE SPR ĘśYSTYM

- równanie równowagi:

Rys. 2

0;; 321 === εεεr

u

dr

du

0122 =−

+rdr

d εεε

- równania geometryczne i ciągłości:

- równania fizyczne:

)]1()1([1

)]([1 2 ννσνσσσνσε +−−=+−=

br dla0

ar dla

1

1

===−=

σσ p

- warunki brzegowe:

)(

)]1()1([1

)]([1

)]1()1([1

)]([1

213

12

21322

22

13211

σσνσ

ννσνσσσνσε

ννσνσσσνσε

+=

+−−=+−=

+−−=+−=

EE

EE

2

22

22

2

22

22

22

2

1 ;r

rb

ab

ap

r

rb

ab

ap

+−

=−−

−= σσ

13322123

22

21 σσσσσσσσσσ −−−++=e

Rozwiązaniem są zaleŜności na napręŜenia promieniowe i obwodowe odpowiednio:

oraz na napręŜenia zredukowane (efektywne):

Dla r = a zaleŜność przyjmuje postać:

2422

2

e )21()a

b(3

ab

ap νσ −+

−=

0σσ =e

Z zaleŜności tej wynika wartość ciśnienia, przy której następuje uplastycznienie brzegu wewnętrznego rury, tzn. przy której:

Dla r = a zaleŜność przyjmuje postać:

24

2

0

)21()(3

1)(

νσ

−+

−=

a

ba

b

p sppl

Ciśnienie to wynosi:

Dla przyjętych danych:

daje to:

24

2

0

)21()(3

1)(

νσ

−+

−=

a

ba

b

p sppl

MPaa

bMPaE 600;2;3.0;102 0

5 ===⋅= σν

MPap sppl 260=

)(f ee εσ =

.PowyŜej tej wartości następuje uplastycznienie rury w całości bądź w części.

dochodzi się do wniosku, Ŝe pokazany na rys. 1a wykres rozciągania jest toŜsamy z zaleŜnością:

Obliczając efektywne (zastępcze) odkształcenia:

2122

211

1 εεεεν

ε −++

=e

)( ee f εσ =

5.0=ν

2122

213

2 εεεεε −+=e

):

OBLICZENIA W ZAKRESIE PLASTYCZNYM

Pokazany wykres jest zasadniczo uproszczonym wykresem rozciągania jednoosiowego. W teorii plastyczności jest on równieŜ toŜsamy z wykresem:

Przyjęto do obliczeń materiał o liniowym umocnieniu w zakresie plastycznym (rys.1b).

gdzie w zakresie plastycznym (przyjmując

ee E εσσ ⋅+= 1*0

EEE 0

10010*0

σσεσσ ⋅−=⋅−=

Zmienność napręŜeń efektywnych, dla zakresu plastycznego, przyjęto w postaci:

gdzie:

oraz: E1 – moduł styczny (Younga) materiału; E – moduł spręŜysty.

0rdr

d 211 =−+ σσσ

0122 =−

+d εεε

Rozwiązanie prowadzi się z wykorzystaniem równań:

- równowagi:

- ciągłości odkształceń:

0122 =+rdr

0;0 3321 ==++ εεεε

)(3

22121 εε

εσσσ −=−

e

e

- nieściśliwości:

- związków fizycznych:

21 εε −=

rdr

d 22 2εε

−=r

drd2

2

2 −=εε

22r

C=ε

223

23

3

2

r

Ce ⋅== εε

Z warunku nieściśliwości wynika, ŜeZ warunku nieściśliwości wynika, Ŝe

Efektywne odkształcenia wyraŜą się:

Prowadzi to do równania ciągłości:

rdr

d 22 2εε

−=r

drd2

2

2 −=εε i daje:lub:

eσσσ3

221 −=−

03

21 =⋅−rdr

d eσσ

a związek fizyczny przybierze postać:

co prowadzi do równania równowagi:

lub: ]3

2[

3

231

*01

r

CE

rdr

d+=

σσ

121*01 3

2ln

3

2C

r

CEr +−⋅= σσ

brdla0

ardlap

1

1

===−=

σσ

otrzymuje się zaleŜności:

Wykorzystując warunki brzegowe:

Stąd:

Dla brzegu zewnętrznego, czyli dla r = b otrzymuje się:

]ln[ln3

22

22

22

2*02

22

22

2

1 a

b

r

rb

ab

a

b

r

r

rb

ab

ap

−−

++−−

−= σσ

)ln21(32

2

22

2*02

2

22

2

a

b

r

b

ab

ap

r

b

ab

ae −

−+−

= σσ

)ln21(322

2*022

2

a

b

ab

ap

ab

ae −

−+−

= σσ

0σσ =eUplastycznienie tego brzegu na poziomie podstawowym, czyli dla , nastąpi dla:

))ln21((3 22

2*002

22

)( a

b

ab

a

a

abp bpl −

−−−= σσ

Dla przyjętych danych:

2;300;102;10;600 *0

5510 ==⋅===

a

bMPaMPaEMPaEMPa σσ

otrzymuje się ciśnienie: MPap bpl 760)( =

z której

otrzymuje się ciśnienie: MPap bpl 760)( =

Dokonując przejścia do materiału spręŜysto – plastycznego (rys. 1c), dla którego 01 =E

otrzymuje się zaleŜność:

0ln3

2 σ⋅⋅=a

bpgr

MPapgr 480=

02

22

)(3

σa

abp bsp

−=

MPap bsp 1039)( =z której, dla przyjętych danych, otrzymano by:

Na brzegu wewnętrznym (czyli dla r = a) wyraŜenie na napręŜenia efektywne przyjmuje postać:

Zachowując materiał jako spręŜysty, czyli dla: E1 = E uzyskano by zaleŜność:

Formalne wykorzystanie tej zaleŜności do obliczenia ciśnienia uplastycznienia prowadzi

)ln21(322

2*022

2

a

b

ab

bp

ab

be −

−+−

= σσ

co, dla przyjętych danych, daje:

)( 0σσ =edla

))ln21((3 22

2*002

22

)( a

b

ab

b

b

abp apl −

−−−= σσ

MPap apl 370)( =

do zaleŜności:

02

22

)(3

σb

abp asp

−=

MPap asp 260)( =

Spodziewano się innego wyniku, a mianowicie wartości wynikającej z przejścia granicznego do materiału spręŜystego dla E1 = E.

Wówczas:

zaś wartość ciśnienia, dla przyjętych danych, wynosiła by:

OBLICZENIA DLA MODELU PLASTYCZNO – SPR ĘśYSTEGO.

Przyjęty model przedstawiono symbolicznie na rys. 3.

brc ≤≤a w części zewnętrznej, dla , pozostaje spręŜysty.cra ≤≤Przyjęto, Ŝe materiał rury uplastycznia się w części wewnętrznej, dla

Rys. 3

cra ≤≤

eσσσ3

221 −=−

ee E εσσ ⋅+= 1*0 22

3

23

3

2

r

Ce ⋅== εε

]3

2[

3

231

*01

r

CE

rdr

d += σσ121

*01 3

2ln

3

2C

r

CEr +−⋅= σσ

- część uplastyczniona:

Warunki brzegowe:

Część uplastyczniona:

Niezbędne zaleŜności przyjmują postać:

crdla

ardla

1

1

=−==−=

cp

p

σσ

)(5.0;3

2

)1)(ln3

2)((ln

3

2

21312

2

2*022

2*01

σσσσσσ

σσσ

+=−=

−−⋅−−−

+⋅=

e

c pr

a

a

cpp

ac

c

a

r

Warunki brzegowe:

Otrzymuje się:

crdla

ardla

1

1

=−==−=

cp

p

σσ

)ln3

2)((

)(3 *

0222

22*0 a

cpp

rac

cace ⋅−−

−+= σσσ

)ln3

2)((

)(3 *

022

2*0 a

cpp

ac

ace ⋅−−

−+= σσσ (a)

oraz:

co, dla r = c, daje:

Część spręŜysta: brc ≤≤Część spręŜysta: brc ≤≤

ZaleŜności są następujące:

2

22

22

2

22

22

22

2

1 ;r

rb

cb

cp

r

rb

cb

cp cc

+−

=−−

−= σσ

)( 213 σσνσ +=

oraz (dla r = c):

2422

2

)( )21()(3 νσ −+−

=c

b

cb

cpspe

)(spee σσ =

)(

)21()(33

)ln21(3

2222

2

22

2

22

2*022

2

b

cb

cbc

aca

a

c

ac

ap

ac

a

pc

ν

σ

−+−

+−

−−+

−=

1)( *2

ccc − σ

Na granicy stref zachodzi równość wytęŜeń, czyli:

co daje następujący związek między ciśnieniem wewnętrznym p a międzystrefowym pc:

Z równania (a) moŜna napisać:

,

)()ln21)((33

1)(2

*0 c

a

c

a

capp ec −−−−

=− σσ

0σσ =e ).

ZaleŜności (b) i (c) tworzą układ pozwalający rozwiązać problem (przy przyjęciu, Ŝe na granicy stref

MPa6000 =σMPa300*

0 =σ 3.0=νObliczeń dokonano dla poprzednio przyjętych danych: b = 2a ; ;

i zestawiono w tabeli.;

c/a 1.01 1.05 1.1 1.2 1.4 1.5 1.7 1.85 1.95

P

MPa

267 286 313 359 455 507 605 682 734

Pc

MPa

261 251 244 220 172 150 94 49 17

MPa

σea

MPa

612 637 669 730 888 975 1166 1327 1441

σeb

MPa

158 170 188 220 376 393 435 516 582

Część uzyskanych wyników przedstawiono w formie wykresów jak na rys.4.

Rys. 4. ZaleŜność ciśnień od głębokości strefy uplastycznienia

Rys. 5. ZaleŜność napręŜeń efektywnych na brzegu wewnętrznym

i zewnętrznym od głębokości strefy uplastycznienia

bxap +⋅= )/( acx=

2dla

1dla)(

==

==

xpp

xpp

pl(b)

asp

)pp2(5.0b;ppa )b(pl)a(sp)a(sp)b(pl −=−=

;

Zmienność ciśnienia uplastyczniającego moŜe być zapisana funkcją liniową:

z warunkami brzegowymi:

co daje:

czyli:

z warunkami brzegowymi:

co daje:

z warunkami brzegowymi:

czyli:

co daje:

z warunkami brzegowymi:

bxap +⋅= )/( acx=

2dla

1dla)(

==

==

xpp

xpp

pl(b)

asp

)pp2(5.0b;ppa )b(pl)a(sp)a(sp)b(pl −=−=

Zmienność ciśnienia uplastyczniającego moŜe być zapisana funkcją liniową:

czyli:

co daje:

z warunkami brzegowymi:

)2(2

1)( )()()()( bplaspaspbpl ppxppp −+⋅−=

][240500 MPaxp −⋅=

czyli:

Dla przyjętych danych otrzymuje się:

czyli:

)2(2

1)( )()()()( bplaspaspbpl ppxppp −+⋅−=

][240500 MPaxp −⋅=

Dla przyjętych danych otrzymuje się:

czyli: