Wojewódzki Konkurs Matematycznydla uczniów gimnazjów. Etap szkolny

5 listopada 2013

Czas 90 minut

ZADANIA ZAMKNIĘTE

Zadanie 1. (1 punkt) Liczby A = 0, 99, B = 0, 992, C = 0, 993, D =√

0, 99, E=0, 99−1

ustawiono w kolejności rosnącej. Zatem:

a) B < A < D < C < E b) A < D < E < B < C c) C < B < A < D < Ed) A < B < C < D < E e) E < D < C < B < A

Zadanie 2. (1 punkt) Na zabawie było 12 osób (chłopców i dziewcząt). Jeżeli jeden chłopiecopuści zabawę to liczba sposobów doboru par tańczących zmniejszy o 7. Ile było dziewcząt natej zabawie? (uwaga: dziewczynki tańczą tylko z chłopcami)

a) 7 b) 6 c) 5 d) 8 e) 9

Zadanie 3. (1 punkt) Litera x w liczbie 28692x oznacza cyfrę jedności. Jaka to cyfra, jeżeli taliczba jest podzielna jednocześnie przez 3 i przez 4 ?

a) 0 b) 3 c) 8 d) 4 e) 6

Zadanie 4. (1 punkt) Wykres funkcji y = 2x+ b przechodzi tylko przez I i III ćwiartkę układuwspółrzędnych. Jaki warunek musi spełniać b ?

a) b = 2 b) b = 0 c) b = −2 d) b = 12 e) b = −12

Zadanie 5. (1 punkt) Kąt wewnętrzny pewnego wielokąta foremnego ma miarę 162o. Ile bokówma ten wielokąt?

a) 10 b) 15 c) 18 d) 20 e) 22

Zadanie 6. (1 punkt) Ile wynosi promień okręgu opisanego na trójkącie o bokach długości 6 cm,8 cm, 10 cm?

a) 4 cm b) 5 cm c) 10 cm d) 8 cm e) nie można tego obliczyć

Zadanie 7. (1 punkt) Zbiór zawierający wszystkie dzielniki liczby 64 to:

a) {1, 2, 3, 4, 8, 16, 32} b) {1, 2, 3, 4, 8, 16, 32, 64} c) {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64}d) {1, 2, 3, 4, 8, 16, 64} e) {2, 4, 8, 16, 32}

Zadanie 8. (1 punkt) Drogę przebytą przez ciało poruszające się ruchem jednostajnie przy-

spieszonym opisuje wzór s = s0 + v0t + at2

2 , gdzie s0−droga początkowa ciała, v0−prędkość

początkowa ciała, t−czas trwania ruchu, a−przyspieszenie. Przyspieszenie jest równe:

a) 2s−2(s0+v0t)t3 b) 2(s−s0)t2 − 2v0t c) 2s−(s0+v0t)t

d) s−2(s0+v0)t2 e) s−(s0+v0t)2t2

Zadanie 9. (1 punkt) Pole zacieniowanego obszaru wynosi :

a) 324− 9π cm2 b) 256− 16π cm2 c) 81(4− π) cm2

d) 9(9− π) cm2 e) 81π cm2

Zadanie 10. (1 punkt) Suma trzech kolejnych liczb nieparzystych wynosi 2013. Największąz tych liczb jest:a) 671 b) 672 c) 673 d) 669 e) 2015

ZADANIA OTWARTE

Rozwiązania zadań od 11. do 15. należy zapisać w wyznaczonym miejscu pod ichtreścią.

Zadanie 11.(3 punkty) Obwód przedniego koła wozu wynosi 35 dm, a tylnego 44 dm . Nadrodze z A do B przednie koło wykonało o 387 obrotów więcej niż tylne. Oblicz odległośćmiędzy A i B.

Rozwiązanie:

• s – odległość między A i B

• ilość obrotów wykonana przez koło przednie wynosi: xp = s35 ,

• ilość obrotów wykonana przez koło tylne wynosi: xt = s44 ,

• Zgodnie z warunkami zadaniaxp = xt + 387.

Otrzymujemy równanie:s

35=

s

44+ 387.

Po przekształceniach:

s ·( 1

35− 1

44

)= 387,

s = 387 · 35 · 449

,

s = 66220 dm.

Odp: Odległość między A i B wynosi 66220 dm.

Punktacja:

1. Prawidłowe określenie niewiadomych – 1 punkt,

2. Prawidłowe ułożenie równań – 1 punkt,

3. Rozwiązanie równania i otrzymanie prawidłowego wyniku – 1 punkt.

Zadanie 12.(3 punkty) W równoległoboku stosunek boków wynosi 1 : 2, kąt ostry ma miarę 60◦,a dłuższa przekątna ma długość 2

√7. Oblicz długości boków równoległoboku .

Długość boku BC została oznaczona przez x, w związku z tym długość boku AB wynosi 2x.Długość przekątnej AC zgodnie z treścią zadania wynosi 2

√7 .

Z wierzchołkaC została opuszczona wysokość równoległobokuCE. TrójkątBCE jest trójkątemprostokątnym o kątach 30◦, 60◦ i 90◦ i przeciwprostokątnej x. W związku z tym odcinek BEma długość x2 natomiast wysokość h (CE) ma długość x ·

√32

Długość odcinka AE jest sumą długości odcinków AB i BE wynosi więc

|AE| = 2x+x

2, |AE| = 5x

2

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ACE otrzymujmy równanie:

(2√

7)2

=(5

2x)2

+(√

32x

)2.

Po podniesieniu do kwadratu

28 =254x2 +

34x2.

Stąd wynika, żex2 = 4, x > 0, x = 2.

Odp. Boki równoległoboku mają długości 4 oraz 2.Punktacja:

1. Poprawny rysunek i wyznaczenie wysokości równoległoboku – 1 punkt,

2. Zaznaczenie trójkąta prostokątnego zawierającego przekątną – 1 punkt,

3. Uzyskanie rozwiązania – 1 punkt.

Błędy rachunkowe nie mające wpływu na tok rozumowania nie wpływają na ocenę zadania.

Zadanie 13.(3 punkty) Która z liczb jest większa 12011 + 1

2014 czy 12012 + 1

2013 ?Odpowiedź uzasadnić.

Sprowadzając pierwszą z liczb do wspólnego mianownika otrzymujemy :

12011

+1

2014=

2014 + 20112014 · 2011

Sprowadzając drugą z liczb do wspólnego mianownika otrzymujemy :

12012

+1

2013=

2013 + 20122012 · 2013

Obie liczby mają jednakowe liczniki równe 4025 tak więc należy porównać ich mianowniki.Mianownik pierwszej liczby:

2014 · 2011 = (2011 + 3) · 2011 = 20112 + 3 · 2011

Mianownik drugiej liczby:

2013 · 2012 = (2011 + 2) · (2011 + 1) = 20112 + 3 · 2011 + 2

Mianownik drugiej liczby jest większy od mianownika pierwszej liczby. Liczby mają jednakoweliczniki tak więc ta która ma mniejszy mianownik jest większa.

Odp: 12011 + 1

2014 >12012 + 1

2013Uwaga:

• Wymnożenie liczb w mianowniku jest oczywiście też poprawnym sposobem porównaniamianowników, niemniej w rozwiązaniu powinien znajdować się zapis mnożenia (nie możebyć wykonane przy pomocy kalkulatora lub innego „pomocnika”)

• Rozwiązanie przez bezpośrednie dzielenie i sumowanie może być również zaakceptowanepod warunkiem, że jest wykonane z odpowiednią dokładnością i wynik jest poprawny orazzapis dzielenia i sumowania znajduje się w pracy.

• Jeżeli zadanie zostanie poprawnie rozwiązane powyżej wspomnianymi metodami lub innąpoprawna metodą może zostać ocenione na maksymalną liczbę punktów. W przypadkubraku obliczeń prowadzących do wyniku, zadania należy ocenić jako nierozwiązane.

Punktacja:

1. Sprowadzenie obu liczb do wspłnego mianownika – 1 punkt,

2. Zauważenie, że liczniki są równe – 1 punkt,

3. Uzyskanie poprawnego rozwiązania – 1 punkt.

Zadanie 14.(3 punkty) Wiek Stasia w roku 1969 był równy sumie cyfr jego roku urodzenia.Które urodziny obchodzi Staś w roku 2013? Przedstawić sposób obliczenia.

Wiek Stasia w roku 1969 nie przekraczał liczby 36 która jest sumą cyfr 9+9+9+9. Wynikastąd, że najwcześniejszy rok, w którym Staś mógł się urodzić to jest 1969-36=1933. Tak więcna pewno dwie pierwsze cyfry roku urodzenia to są 1 i 9.

Przyjmując, że cyfra dziesiątek roku urodzenia wynosi x, a cyfra jednostek y, rok urodzeniaStasia można zapisać jako 1900 + 10x + y natomiast wiek Stasia w roku 1969 można obliczyćjako 1 + 9 + x+ y = 10 + x+ y. Porównując wiek w roku 1969 otrzymujemy równanie:

1969− (1900 + 10x+ y) = 10 + x+ y,

69− 10x− y = 10 + x+ y,

11x+ 2y = 59.

Rozwiązaniem tego równania powinny być jednocyfrowe liczby całkowite.Wyznaczając x z tego równania otrzymujemy

y =592− 11

2x,

y powinnno być liczbą całkowitą spełniającą nierówność

1 ¬ y ¬ 9,

1 ¬ 592− 11

2x ¬ 9.

Po przekształceniach:4111¬ x ¬ 57

11.

Jedynymi liczbami całkowitymi spełniającymi tę nierówność są 4 i 5.Obliczając y w przypadku x = 4 otrzymujemy

y =592− 11

2· 4 =

592− 22.

Nie jest to liczba całkowita więc nie spełnia warunków zadania.

Obliczając y w przypadku x = 5 otrzymujemy

y =592− 11

2· 5 =

592− 55

2= 2

Liczba y = 2 spełnia warunki zadania, tak więc Staś urodził się w roku 1952.

Odp. W roku 2013 Staś będzie obchodził sześćdziesiąte pierwsze urodziny.Punktacja:

1. Zgadnięcie roku urodzenia i odpowiedź na pytanie z zadania – 2 punkty,

2. Wykazanie, że jest to jedyne możliwe rozwiązanie – 1 punkt.

Zadanie 15.(3 punkty) Ogrodzona łąka ma kształt prostokąta którego jeden z boków madługość 20 m. W jednym z rogów łąki (wierzchołku prostokąta) na łańcuchu o długości 20

√2 m

zaczepiona jest koza. Jaka jest długość drugiego boku łąki, jeżeli część łąki dostępna dla kozystanowi połowę całej łąki ?

x – długość nieznanego boku prostokąta.

Część łąki w zasięgu kozy jest sumą wycinka koła o kącie 45o i promieniu 20√

2 oraz trójkątaprostokątnego równoramiennego o długości przyprostokątnych 20. Pole łąki w zasięgu kozymożna obliczyć jako sumę wymienionych figur.

Pkozy =202

2+

18π(20√

2)2

Pkozy = 200 + π · 100

Całkowite pole łąki jest równeP = 20 · x

Z warunków zadania wynika, żeP = 2 · Pkozy

po podstawieniu otrzymujemy

20 · x = 2 · (200 + π · 100)

Ostateczniex = 20 + 10π

Odp Drugi bok łąki ma długość 20 + 10π m.

1. Wykonanie poprawnego rysunku – 1 punkt,

2. Zauważenie trójkąta równoramiennego – 1 punkt,

3. Napisanie poprawnego równania – 1 punkt.

Błędy rachunkowe nie wpływające istotnie na sposób rozwiązania nie wpływają na ocenę.