Wstęp do programowaniaINP001213Wclrok akademicki 2017/18

semestr zimowy

Wykład 7

Karol Tarnowski

karol.tarnowski@pwr.edu.pl

A-1 p. 411B

mailto:karol.tarnowski@pwr.edu.pl

Na podstawie:

• M. M. Sysło, Algorytmy

Plan prezentacji

• Algorytmy rekurencyjne

– schemat Hornera

– algorytm Eukildesa

– obliczanie potęgi

– wieże Hanoi

• Iteracja a rekurencja

– ciąg Fibonacciego

– symbol Newtona

– Silnia

• Rekurencja ogonowa

wn(x) = a0xn + a1x

n-1 + … + an-1x1 + an

wn(x) = (a0xn-1 + a1x

n-2 + … + an-1)x + an

wn(x) = wn-1(x)x + an

wn-1(x) = a0xn-1 + a1x

n-2 + … + an-1

RekurencjaSchemat Hornera

wn(x) = wn-1(x)x + an

w0(x) = a0

RekurencjaSchemat Hornera

0

1

, dla 0,

, dla 1.nn n

a nw x

w x x a n

RekurencjaSchemat Hornera

w3(x) = w2(x)x + a3

w2(x) = w1(x)x + a2

w1(x) = w0(x)x + a1

w0(x) = a0

w1(x) = a0x + a1

w2(x) = (a0x + a1)x+a2

w3(x) = ((a0x + a1)x+a2)x + a3

• wywołania rekurencyjne

• obliczenia właściwe

• poziom rekurencji

Rekurencja

zakładając, że m ≤ n

Algorytm Euklidesa

, dla m 0,NWD ,

NWD mod , , dla 0.

nm n

n m m m

Obliczanie potęgi

22

21 2

, dla 1

, parzyste

, nieparzyste

mm

m

x m

x x m

x x m

Przenieś wszystkie krążki z A na B (można użyć

pomocniczo C), przy czym

• krążki wolno przenosić pojedynczo,

• nie można kłaść krążków większych na

mniejszych.

Wieże Hanoi

A B C

Spostrzeżenia:

• najmniejszy krążek zawsze jest na górze,

• na dwóch pozostałych palikach są krążki różnych

rozmiarów (tylko jeden można przenieść).

Wieże HanoiRozwiązanie iteracyjne

A B C

1. Przenieś najmniejszy krążek na następny palik.

Jeśli wszystkie krążki są przeniesione to

zakończy.

2. Wykonaj jedyne możliwe przeniesienie krążka,

który nie jest najmniejszym krążkiem, i idź do

kroku 1.

Wieże HanoiRozwiązanie iteracyjne

A B C

Wieże HanoiLiczba przeniesień krążków

1, dla n 1,

2 1 1, dla n 1.h n

h n

Ciąg Fibonacciego

0 dla 0,

1 dla 1,

1 2 dla 1.

n

F n n

F n F n n

F(5)

F(4)

F(3)F(2)

F(1)

F(0)F(1)

F(2)F(1)

F(0)

F(3)F(2)

F(1)

F(0)F(1)

Ciąg FibonacciegoWywołania rekurencyjne

Symbol Newtona

!

dla 0! !

n nk n

k k n k

1 dla 0 lub

1 1dla 0

1

k k nn

n nk nk

k k

1 dla 0 lub

1dla 0

1

k k nn

n nk nk

k k

Silnia

1 dla 0,

!1 ! dla 1.

nn

n n n

! 1 2 3n n

Rekurencja ogonowaSilnia

silnia2(5)

silnia3(5,1)

silnia3(4,5)

silnia3(3,20)

silnia3(2,60)

silnia3(1,120)

silnia3(0,120)

120

Rekurencja ogonowaSilnia

Podsumowanie

• Aby zrozumieć rekurencję, trzeba zrozumieć

rekurencję

• Obliczenia rekurencyjne składają się z dwóch

faz:

– wywołania rekurencyjne

– powrót z wywołań obejmujący wykonywanie

właściwych obliczeń (lub tylko przenoszenie wyników)

• Pamiętaj o warunku stopu

• Wywołania rekurencyjne mogą prowadzić do

nadmiarowych obliczeń