1

Reguły obliczeń chemicznych

Zapisywanie wyników pomiarów i obliczeń

Ilościowe rezultaty eksperymentów lub obliczeń chemicznych przedstawia się w postaci

liczb, zapisywanych za pomocą cyfr, czyli umownych znaków matematycznych (od 0 do 9 w

obecnie używanym dziesiętnym systemie liczbowym). Liczby mogą składać się z jednej lub

wielu cyfr.

Cyfry znaczące to cyfry rozwinięcia dziesiętnego dla mierzonej wielkości (chemicznej,

fizycznej lub innej), począwszy od pierwszej cyfry niezerowej aż do ostatniej cyfry, której

wartość nie zmienia się wewnątrz przyjętego przedziału ufności.

Przykład 1:

Jeśli wyznaczona doświadczalnie (zważona) masa próbki A wynosi mA=1,50312g,

a dokładność przyrządu pomiarowego (w tym wypadku wagi analitycznej) wynosi ±0,0001g,

to przedział ufności dla otrzymanego wyniku wynosi: (1,50302; 1,50322). Ostatnią,

niezmienną, a więc znaczącą cyfrą jest 3, a wynik pomiaru ma 4 cyfry znaczące.

Występująca w liczbie cyfra 0 jest cyfrą znaczącą tylko wtedy, gdy występuje pomiędzy

innymi cyframi, jak w powyższym przykładzie, albo, gdy jest ostatnią cyfrą znaczącą w

liczbie po zaokrągleniu (np. zapis 478,00 oznacza 5 cyfr znaczących). W przypadku, gdy zero

określa ułamek (np. 0,512) nie może być uważane za cyfrę znaczącą. Liczba 0,512 posiada

trzy, a liczba 0,0013 - dwie cyfry znaczące.

Liczba, przy której jest podana nazwa jednostki miary danej wielkości jest liczbą

mianowaną.

Przykład 2:

Zapis 15,3 mola oznacza liczbę moli, czyli jednostek liczności materii, a zapis 328oC - liczbę

oC, które są miarą temperatury.

Otrzymane w obliczeniach chemicznych oraz w praktyce laboratoryjnej wyniki liczbowe

bardzo rzadko mają postać dokładnych liczb naturalnych. Najczęściej wymagają

2

odpowiedniego zaokrąglenia, które wykonuje się zgodnie z zasadami matematycznymi. Może

to być zaokrąglenie z nadmiarem (tzw. zaokrąglenie „w górę”) lub z niedomiarem (tzw.

zaokrąglenie „w dół”). Wynik otrzymany przez zaokrąglenie wartości liczbowych zgodnie

z matematycznymi zasadami należy traktować, jako wynik bardziej dokładny (w

określonym przedziale ufności) niż wynik niezaokrąglony.

Zasady zaokrąglania wyników liczbowych:

a) Jeśli ostatnia cyfra, która ma pozostać w wyniku, poprzedza cyfrę większą od 5,

należy wynik zaokrąglić w górę, np.: stała Faraday 96484,56 C/mol zaokrąglona do

jednego miejsca po przecinku wynosi 96484,6 C/mol.

b) Jeśli ostatnia pożądana cyfra poprzedza cyfrę mniejszą od 5, zaokrąglenie następuje w

dół, np. stała gazowa R = 8,314472 J/(mol∙K) zaokrąglona do 3 miejsc po przecinku

to 8,314 J/(mol∙K) a nie 8,315 J/(mol∙K).

c) Jeśli po ostatniej cyfrze znajduje się tylko cyfra 5, to wynik zaokrągla się w górę - jeśli

ostatnia cyfra jest nieparzysta lub w dół - jeśli ta cyfra jest parzysta, np.: liczba 3,1125

zaokrąglona do 3 miejsc po przecinku to 3,112, natomiast liczba 3,1155 zaokrąglona

do 3 miejsc po przecinku to 3,116.

Dokładność obliczeń nie może być większa od dokładności najmniej dokładnej liczby

użytej w obliczeniach. Przed rozpoczęciem obliczeń należy wśród danych liczbowych

odnaleźć liczbę o najmniejszej dokładności i do takiej dokładności zaokrąglić pozostałe

liczby. Można również wykonać obliczenia na podanych wartościach liczbowych, ale

końcowy wynik należy zaokrąglić tak, by jego dokładność była zgodna z dokładnością liczby,

która jest liczbą najmniej dokładną wśród podanych wartości. Liczbami o najmniejszej

dokładności są te posiadające najmniejszą ilość cyfr znaczących.

Przykład 3:

Obliczyć liczbę moli substancji zawartą w 0,52 dm3 jej roztworu o stężeniu 0,5002 mol/dm

3.

Rozwiązanie:

a/ znalezienie liczby o najmniejszej dokładności:

objętość V = 0,52dm3

b/ zaokrąglenie liczby o wyższej dokładności:

cm= 0,5102mol/dm3 = 0,51mol

/dm3

3

c/ wykonanie wymaganych obliczeń:

n = cm∙V = 0,52l∙0,51mol/dm3 = 0,2652mol

d/ podanie wyniku z dokładnością nie większą niż dokładność najmniejszej liczby wziętej

do obliczeń:

n = 0,2652mol = 0,27mol.

Odpowiedź: liczbę moli substancji zawartą w 0,52 dm3 wynosi 0,27mola

Dokładność wyników pomiarów laboratoryjnych i związanych z nimi obliczeń nie może

być wyższa niż dokładność przyrządów lub naczyń użytych do pomiarów.

Przykład 4:

Objętość 100cm3

odmierzoną cylindrem miarowym zapisuje się, jako 100 cm3, a nie 100,00

cm3, ponieważ dokładność tego naczynia miarowego wynosi ±1cm

3. Bardziej dokładnie

(±0,1cm3) odmierza się objętość cieczy przy pomocy pipety lub biurety, co uwzględnia się w

zapisie wyniku (np. 3,5 cm3 użyte do miareczkowania).

Przykład 5:

Ważenie na wadze technicznej pozwala na uzyskanie maksymalnej dokładności pomiaru

równej, zależnie od przyrządu, ±0,1g lub ±0,01g, podczas gdy na wadze analitycznej można

ważyć substancje z dokładnością ±0,0001g, a na niektórych wagach nawet ±0,00001g.

Wyniki pomiarów powinny uwzględniać rzeczywistą dokładność ich wykonania.

Zwiększenie tej dokładności można uzyskać jedynie poprzez użycie odpowiednich

bardziej dokładnych przyrządów pomiarowych.

Działania na logarytmach

W obliczeniach chemicznych bardzo często konieczne jest wykonanie działania na

logarytmach.

Logarytm z liczby dodatniej A przy podstawie b to wykładnik potęgi c, do której należy

podnieść podstawę b, aby otrzymać liczbę logarytmowaną A.

Matematyczny zapis tej definicji to:

AbcA cb lg

4

Z podanej definicji wynika, że:

- logarytm z liczby równej podstawie logarytmu jest zawsze równy 1:

bbponieważbb 11lg

- logarytm z 1 jest zawsze równy 0:

101lg 0 bponieważb .

Podstawowe twierdzenia dotyczące logarytmów

Dla każdego logarytmu, o dowolnej podstawie, słusznych jest kilka twierdzeń, których

praktyczne wykorzystanie może znacząco ułatwić obliczenia.

Do podstawowych twierdzeń należą:

a) logarytm iloczynu równy jest sumie logarytmów poszczególnych czynników iloczynu:

BABA bbb lglg)(lg

b) logarytm ilorazu równy jest różnicy logarytmów poszczególnych czynników ilorazu:

BAB

Abbb lglglg

c) logarytm potęgi Aw równy jest iloczynowi logarytmu liczby A podniesionej do

potęgi i wykładnika tej potęgi w

AwA bw

b lglg

d) logarytm pierwiastka n-tego stopnia z liczby A równa się ilorazowi logarytmu liczby

podpierwiastkowej A i stopnia pierwiastka n

n

AA bnb

lglg

Logarytm dziesiętny

Logarytm dziesiętny to logarytm, którego podstawą jest liczba 10. Jest on oznaczany, jako

log lub lg.

Z podanej definicji logarytmu wynika, że:

5

log (1) = 0

log(10) = 1

log(0,1) = log(10-1

) = -1

log(103)= 3 czyli ogolnie: lg±n = ±n

Każdą liczbę nieujemną można przedstawić, w postaci zapisu wykładniczego, czyli jako

wyrażenie potęgowe, którego podstawą jest liczba 10. Dla liczb z zakresu 0-1 wykładnik

potęgowy jest liczbą ujemną. W zakresie od 1 do 10 wykładnik jest zawsze dodatni, ale

mniejszy od jedności, a dla liczb większych od 10 - wykładnik jest zawsze większy od 1.

Przykład 6:

45,1)184,28lg(10184,28

35,0)239,2lg(10239,2

15,0)708,0lg(10708,0

45,1

35,0

15,0

Logarytm naturalny

Logarytm naturalny (oznaczany, jako ln), to logarytm przy podstawie e. Liczba e nazywana

jest liczbą Eulera. Jej wartość wynosi 2,718281828 czyli ok. 2,7. Logarytm naturalny jest

bardzo często stosowany w obliczeniach chemicznych i podlega tym samym prawom, co

logarytm dziesiętny.

Jednostki i ich przeliczanie

Układ jednostek SI

Obecnie obowiązuje jednolity system jednostek zwany układem jednostek SI (franc.

Systeme International d’Unites). Podstawę tego układu stanowi grupa ściśle zdefiniowanych

jednostek podstawowych (Tabela 1), z których, poprzez odpowiednie przekształcenia

matematyczne otrzymuje się jednostki pochodne (Tabela 2)

Tabela 1. Jednostki podstawowe układu SI.

Wielkość Nazwa jednostki Skrót

długość metr m

masa kilogram kg

6

czas sekunda S

natężenie prądu amper A

temperatura kelwin K

ilość substancji mol mol

światłość źródła światła kandela cd

Tabela 2. Jednostki pochodne układu SI.

Wielkość Nazwa jednostki Skrót

objętość metr sześcienny m3

siła niuton N = kg·m·s−2

ciśnienie paskal Pa = kg·m−1

·s−2

gęstość kilogram na metr sześcienny kg·m-3

energia dżul 1J = kg·m2·s

−2

Najczęściej używa się jednostek mniejszych lub większych od jednostek podstawowych,

które tworzy sie poprzez stosowanie odpowiednich przedrostków, umieszczonych w Tabeli 3.

Tabela 3. Podstawowe przedrostki jednostek.

Przedrostek Mnożnik Skrót Przykład

atto 10−18

a attosekunda(as)

femto 10−15

f femtosekunda(fs)

piko 10−12

p pikofarad(pF)

nano 10−9

n nanometr(nm)

mikro 10−6

mikrolitr(μl)

mili 10−3

m mililitr(cm3)

centy 10−2

cm centymetr(cm)

decy 10−1

d decylitr(dl)

deka 101 da dekagram(dag)

hekto 102 h hektolitr(hl)

kilo 103 k kilometr(km)

7

mega 106 M megaherc(MHz)

giga 109 G gigaherc(GHz)

tera 1012

T

peta 1015

P

exa 1018

E

zetta 1021

Z

jetta 1024

Y

Jednostki spoza układu SI

Oprócz podstawowych jednostek SI oraz ich pochodnych dopuszcza się stosowanie innych

jednostek, które mogą być używane zamiennie z jednostkami pochodnymi (Tabela 4).

Tabela 4. Najczęściej stosowane jednostki spoza układu SI

Wielkość Nazwa jednostki Skrót

masa tona 1t =103kg

temperatura stopień Celsjusza °C

objętość (litr), (ml) 1dm3

=10−3

m3

1 dm3 = 10

3cm

3

ciśnienie atmosfera fizyczna 1atm = 0,101325MPa

ciśnienie milimetry słupa rtęci 760mmHG =1atm

energia (ilość

ciepła)

kaloria 1cal*=4,1868J

* potocznie wartości kaloryczne substancji, np. produktów żywnościowych, są

podawane w kilokaloriach (skrót kcal) czyli tysiącach kalorii

Przeliczanie jednostek stosowanych w obliczeniach chemicznych

Prawidłowy wynik obliczeń chemicznych w znacznym stopniu zależy od poprawnego doboru

i wyliczenia jednostek wyznaczanych wielkości. Ważną zasadą jest stosowanie tych samych

jednostek w odniesieniu do konkretnej wielkości. Oznacza to konieczność przeliczenia i

ujednolicenia podanych w zadaniu różnych jednostek dotyczących tej samej wielkości (masy,

objętości, czasu, stężenia itp.). Nieprzestrzeganie tej zasady generuje znaczące błędy

8

obliczeniowe, a otrzymany wynik, mimo pozornej zgodności matematycznej, jest błędny w

sensie chemicznym.

W obliczeniach chemicznych i w praktyce laboratoryjnej najczęściej używa się jednostek

masy (g lub kg), objętości (cm3 lub dm

3) i liczności materii (moli) oraz jednostek gęstości

(g/cm3, g/cm

3, kg/dm

3) i stężenia (mol/dm

3 lub %).

Masę najczęściej podaje się w gramach (g). W przypadku masy mniejszej niż 0,01g stosuje

się miligramy (mg), a w przypadku masy większej niż 1000g - kilogramy (kg). Niezmiernie

małą masę wyraża się za pomocą mikrogramów (g) i nanogramów (ng) (patrz Tabela 5).

Przekształcając gramy na miligramy i odwrotnie, należy zachować odpowiednią dokładność.

Przykład 7: odważona na wadze analitycznej (dokładność 0,1mg czyli 0,0001g) próbka o

masie 0,1364g to 136,4mg a nie 136,40mg.

Najczęściej stosowaną jednostką liczności materii jest mol lub milimol (mmol). Przeliczanie

moli przedstawiono w Tabeli 6.

9

Tabela 5.Przeliczanie jednostek masy

t kg dag g mg g ng

10-15

t 10-12 kg 10-10dag 10-9g 10-6 mg 0,001= 10-3mg 1ng

10-12

t 10-9kg 10-7dag 10-6g 0,001mg=10-3mg 1g 1000ng= 103ng

10-9

t 10-6 kg 10-4dag 0,001g=10-3g 1mg 1000g= 103g 106ng

10-6

t 0,001kg=10-3 kg 0,1dag=10-1dag 1g 1000mg=103mg 106g 109ng

10-5

t 0,01kg=10-2 kg 1dag 10g=101g 104mg 107g 1010

ng

0,001t=10-3

t 1kg 100dag=102dag 1000g=103g 106mg 109g 1012

ng

1t 1000kg=103 kg 104dag 106g 109mg 1012g 1015

ng

Tabela 6.Przeliczanie jednostek liczności materii

kmol mol mmol mol

10-12

kmol 10-9mol 10-6 mmol 0,001=10-3mol

10-9

kmol 10-6 mol 0,001mmol =10-3mmol 1mol

10-6

kmol 0,001mol =10-3mol 1mmol 1000 mol = 103mol

0,001kmol=10-3

kmol 1mol 1000mmol =103mmol 106 mol

0,01kmol=10-2

kmol 10mol=101mol 104mmol 107 mol

1kmol 1000mol=103mol 106mmol 109 mol

1000kmol=103 kmol 106g 109mmol 1012 mol

10

Objętość wyraża się najczęściej w dm3 lub cm

3, w życiu codziennym stosuje się również

jednostki spoza układu SI, takie jak: litr (1 litr = 1 dm3) czy mililitr (1 ml = 1cm

3). Jednostki

te przelicza się zgodnie z poniższymi zależnościami:

mlmmmlcmldmm 93963633 10101010100010001

39366333 m10dm10l10mm10ml10l1

Przeliczanie innych jednostek, na przykład:

- jednostek stężenia, np. mol/dm3 na mmol/cm

3: stężenie roztworu równe 0,167mol/dm

3 to:

333

3

3

3

3167,0

10

10167,0

1000

10167,0167,0

cm

mmol

cm

mmol

cm

mmol

dm

mol

- jednostek prędkości, np. km/godzinę na m/s: prędkość wynosząca 25km/h to:

s

m94,6

s

m

60

67,416

s60

m67,416

min

m67,416

min

m

60

100025

min60

m100025

godz

km25

Zadania przykładowe

Przykład 1. Jednym ze składników ziemniaka jest silnie trujący alkaloid solanina. Jego

średnia zawartość w bulwach wynosi ok. 1,95μg w 1g ziemniaka. Dawka śmiertelna tego

alkaloidu wynosi 2,92mg na kilogram masy ciała. Zakładając, ze statystyczny zjadacz

ziemniaków waży 78kg oblicz ile kg ziemniaków musiałby on zjeść, aby ulec śmiertelnemu

zatruciu zawartą w ziemniakach solaniną . Wynik podaj także w tonach.

Rozwiązanie:

Dane: a. Zawartość solaniny w bulwie ziemniaka: msol=1,95g/g

b. Dawka śmiertelna solaniny – LDsol=2,92mg/kg

c. Średnia masa konsumenta ziemniaków – mzz=78kg

Etapy rozwiązywania zadania:

a/ obliczenie masy solaniny powodującej śmierć konsumenta o wadze 78kg:

2,92mg - 1kg wagi ciała

x mg - 78kg

11

b/ przeliczenie śmiertelnej dawki solaniny (mg) na mikrogramy (g):

g1076,227mg176,227mg76,227 3

c/ obliczenie masy ziemniaków zawierających obliczoną śmiertelną dawkę alkaloidu:

1,95 g - 1 g ziemniaków

227,76∙103 g - y g

d/ przeliczenie masy ziemniaków zawierających śmiertelną dawkę solaniny (g) na kg i tony:

ttkgkgg 117,01080,11680,116101080,1161080,116 3333

Odpowiedź: Spożycie 117kg (tj. 0,117 t) ziemniaków zawierających podaną ilość solaniny

może spowodować śmierć.

Przykład 2. Z nieszczelnego zbiornika, w którym znajduje sie 200hl piwa napój ten wycieka

poprzez nieszczelność z prędkością 2cm3/min. Jaka jest szybkość wypływu piwa w dm

3/godz i

po ilu dniach zbiornik opróżni się całkowicie?

Rozwiązanie:

Dane: a. Pojemność zbiornika – Vzbiornik = 200hl

b. Szybkość wycieku – vwyciek=2cm3/min

Etapy rozwiązywania:

a/ przeliczenie jednostek szybkości wypływu piwa z podanych cm3/min na dm

3/godz:

godz

dm

godz

dm

godz

dmcm 333333

12,0101602

60

1

1012

min2

Powyższe przeliczenie wynika z faktu, że:

1cm3 = 1/1000dm

3 czyli 1∙10

-3dm

3

oraz

1min = 1/60 godziny

b/ ujednolicenie jednostek objętości:

344222 dm102l102l10102l10200hl200

12

c/ obliczenie czasu (w godzinach) potrzebnego do opróżnienia zbiornika:

0,12dm3 - 1godz

2∙104dm

3 - x godz

Odpowiedź: Szybkość wypływu piwa wynosi 0,12 dm3/godz. Zbiornik opróżni się całkowicie

po 166,67.10

3 godzinach, tj. po ok. 6917 dniach, czyli ok. 19 latach.

Przykład 3. Mleczarnia produkuje mleko UHT pakowane w kartony o pojemności 0,9dm3.

Dostawcy surowca (mleka) dostarczają średnio 50m3 mleka na miesiąc. Ile średnio dm

3

(litrów) mleka jest przyjmowane w mleczarni na dobę, a ile cm3 na godzinę (w ml). Ile

kartonów rocznie jest w stanie wyprodukować ten zakład, jeżeli 85% dostarczanego mleka

jest pakowane do kartonów?

Rozwiązanie

Dane: a. Objętość dostarczanego do mleczarni mleka – Vmleka= 50m3 na miesiąc

b. Objętość pojedynczego kartonu – Vkart.=0,9dm3

c. Efektywność produkcji, liczona jako % mleka dostarczanego, które trafia do

kartonów – E=85%

Etapy rozwiązywania zadania:

a/ obliczenie ilości mleka dostarczanego przez dostawców rocznie:

33

/ 6001250 mmV rokmleka

b/ obliczenie części objętości rocznej dostawy mleka, które trafia do kartonów:

3333kartoniewmleka dm10510m51085,0m600V

c/ obliczenie liczby kartonów, w których pomieści się wyliczona w pkt b ilość mleka:

0,9dm3

- 1karton

510∙103 dm

3 - x karton

13

Odpowiedź: Rocznie zakład jest w stanie wyprodukować 566,67 tysiąca kartonów mleka.

Roczna produkcja mleka danej mleczarni może być zapakowana w 566,67 tysięcy kartonów.