RACHUNEK NIEPEWNOCI

POMIARUhttp://physics.nist.gov/UncertaintyWyraanie Niepewnoci Pomiaru. Przewodnik. Warszawa, Gwny Urzd Miar 1999H. Szydowski, Pracownia fizyczna, PWN Warszawa 1999A.Ziba, Postpy Fizyki, tom 52, zeszyt 5, 2001, str.238-247A.Ziba, Pracownia Fizyczna WFiTJ, Skrypt Uczelniany SU 1642, Krakw 2002

Midzynarodowa Norma Oceny Niepewnoci Pomiaru

(Guide to Expression of Uncertainty in Measurements

Midzynarodowa Organizacja Normalizacyjna ISO)

http://physics.nist.gov/Uncertainty

WSTPW trakcie pomiaru uzyskujemy wartoci rnice si od przewidywa teorii. Gdy dowiadczenie staje si doskonalsze, niepewnoci pomiarowe malej. W oglnoci rozbieno midzy teori i eksperymentem zaley od:

-Niedoskonaoci czowieka (osoby wykonujcej pomiar)-Niedoskonaoci przyrzdw pomiarowych-Niedoskonaoci obiektw mierzonych

Terminologia

Niepewno a bd pomiaru

W przypadku pojedynczych pomiarw stosujemy okrelenia:

Bd bezwzgldny:

Bd wzgldny:

Gdzie x warto zmierzona, x0 warto rzeczywista

0xx =

0x

=

[wymiar x]

[bezwymiarowe]

NiepewnoBd pomiaru jest pojedyncz realizacj zmiennej losowej i nie wchodzi do teorii niepewnoci. W praktyce nie znamy wartoci rzeczywistych wielkoci mierzonych i szacujemy niepewnoci pomiarowe wynikajce ze statystycznych praw rozrzutu pomiarw.

Niepewno jest parametrem zwizanym z pomiarem.

Istotny jest rwnie problem niepewnoci przypisywanej wielkoci zoonej (wyliczanej ze wzoru fizycznego) y=f(x1,x2,...xn)

Podzia bdwWyniki pomiarw podlegaj pewnym

prawidowociom, tzw. rozkadom typowym dla zmiennej losowej. Z tego wzgldu bdy dzielimy na:

Bdy grube (pomyki) - eliminowa Bdy systematyczne - poprawki Bdy przypadkowe podlegaj rozkadowi

Gaussa, wynikaj z wielu losowych przyczynkw, nie daj si wyeliminowa

Typy oceny niepewnoci

Typ AMetody wykorzystujce statystyczn analiz serii pomiarw:

wymaga odpowiednio duej liczby powtrze pomiaru ma zastosowanie do bdw przypadkowych

Typ BOpiera si na naukowym osdzie eksperymentatora

wykorzystujcym wszystkie informacje o pomiarze i rdach jego niepewnoci

stosuje si gdy statystyczna analiza nie jest moliwadla bdu systematycznego lub dla jednego wyniku pomiaru

Teoria niepewnoci maksymalnej

To podejcie zakada, e mona okreli przedzia wielkoci mierzonej x, w ktrym na pewno znajdzie si wielkorzeczywista. W zapisie

xx

gdzie x jest niepewnoci maksymaln

nie posugujemy si rachunkiem prawdopodobiestwa.

Niepewno standardowaJest miar dokadnoci pomiaru uznawan za

podstawow. Definicja mwi:

Niepewno standardowa u jest oszacowaniem odchylenia standardowego.

1. Rezultat pomiaru jest zmienn losow, ktrej rozrzut charakteryzuje parametr zwany odchyleniem standardowym

2. Dokadnej wartoci odchylenia standardowego nie znamy. Niepewno standardowa jest jego niezbyt dokadnym oszacowaniem.

Niepewno u posiada wymiar, taki sam jak wielko mierzona

Niepewno wzgldna ur(x) to stosunek niepewnoci (bezwzgldnej) do wielkoci

mierzonej:

xxuxur)()( =

Niepewno wzgldna jest wielkoci bezwymiarow i moe by wyraona w %

Rozkad normalny GaussaGsto prawdopodobiestwa wystpienia wielkoci x lub

jej bdu x podlega rozkadowi Gaussa

x0 jest wartoci najbardziej prawdopodobn i moe by niwarto rednia

jest odchyleniem standardowym2 jest wariancj

W przedziale x0- < x < x0+ mieci si ok. 68% wszystkich pomiarw

= 2

20

2)(exp

21)(

xxx

n

xx

n

ii

=

0 5 10 15 20 25 300

1

2

3

(x)

x

x 0=15=2 =5

Rozkad normalny Gaussa

0 5 10 15 20 25 300

1

2

3(x)

x

x0=15=2 =5

( ))1(

)(2

==

nnxxxu i

Prawo przenoszenia niepewnoci

Niepewno standardow wielkoci zoonej y=f(x1,x2,...xn) obliczamy z tzw. prawa

przenoszenia niepewnoci jako sum geometrycznrniczek czstkowych

22

22

2

11

)(...)()()(

++

+

= nn

c xuxyxu

xyxu

xyyu

yyuyu ccr)()( =

Przykad wspczynnik zaamania wiata Z pomiarw D D, d1 d1 i d2 d2Wyliczmy niepewno standardow n:

)/( 21 ddDn =

2

22

2

11

2

+

+

= ddnd

dnD

Dnn 21

1ddD

n

=

2211 )( dd

Ddn

=

)()()(

1 22

21

2

221

2

21dd

ddDD

ddn +

+

=

D= 1.58 mm, d1= 1.26 mm, d2= 0.18 mm, n= 1.58/1.08= 1.46296293

Na wartoci D, d1 i d2 maj wpyw dokadnoci przyrzdw i statystyczny rozrzut pomiarw.

[ ] [ ] 03.05.99.001.0)02.001.0()08.1/(58.108.1/01.0 22222 =+=++=n

Metoda najmniejszych kwadratwRegresja liniowa

4 6 8 10 12 14 160

20

40

60

f(xi)yi

xi

y

x

f(x)=ax+ba=3.23, b=-2.08

blad gruby

( )[ ] min2

2 = +=n

iii baxyS

Warunek minimum funkcji dwu zmiennych:

0022=

=

bS

aS

Otrzymuje si ukad rwna liniowych dla niewiadomych a i b

ii ybnxaRozwizujc ten ukad rwna otrzymuje si wyraenia na a i b

=+=+ iiii yxxbxa

2

Wyxxyxb

Wyxyxna

iiiii

iiii

=

=

2

Z praw statystyki mona wyprowadzi wyraenia na odchylenia standardowe obu parametrw

prostej:

( )22 = ii xxnW

nx

ab

WS

nna

i=

=

2

2

2

Przykad zastosowania regresji liniowej y=ax+b

0.00 0.05 0.10 0.15 0.200.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x0

x [m]

F [N]

x=F/k+x0 1/k=a=4.450.15, x0=b=0.4670.08

Prawo Hookea

Dopasowywanie waciwej funkcji

0 2 4 6 8 10 12 14 160

20

40

y=ax czyli U=IRa= R= 2.0 0.2 [k]

U [V]

I [mA]

Model matematyczny musi pasowa do modelu fizycznego!!!

Przykad: prawo Ohma

U=RIczyli

Y=axa nie y=ax+b

Wyraz wolny b=0!

Regresja liniowa jednoparametrowa

[ ] min2

2 == n

iii axyS

02

=

aS

022 2 =+ iii xayx

= 2

i

ii

xyx

a[ ]

[ ]

=

=

= n

ii

n

iii

a

x

yax

nn

1

2

1

2)(

2

RACHUNEK NIEPEWNOCI POMIARUWSTPTerminologiaNiepewno Podzia bdwTypy oceny niepewnoci Teoria niepewnoci maksymalnejNiepewno standardowaRozkad normalny GaussaRozkad normalny GaussaPrawo przenoszenia niepewnociPrzykad wspczynnik zaamania wiata Metoda najmniejszych kwadratwRegresja liniowaPrzykad zastosowania regresji liniowej y=ax+bDopasowywanie waciwej funkcjiRegresja liniowa jednoparametrowa