Stanisaw KryszewskiInstytut Fizyki Teoretycznej i Astrozyki Uniwersytet Gdaski

Mechanika KwantowaSkrypt dla studentw IIIego roku zyki

Gdask 2002-2010

Spis treciI CZ GWNA WYKADU. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 1 2 2 3 4 6 6 6 7 8 8 9 12 12 13 14 15 17 18 18 18 20 22 22 24 27 29 30 30 30 32 36 38 38 38 44 46 48 48 49 50 51 53 53 54 55 57 58 59 59

1 Czstki i fale 1.1 Fale elektromagnetyczne i fotony . . . . . . . . . . . . . 1.2 Analiza dowiadczenia interferencyjnego Younga . . . . 1.2.1 Eksperyment pierwszy jedna szczelina otwarta 1.2.2 Eksperyment drugi obie szczeliny otwarte . . . 1.2.3 Dyskusja opisu korpuskularnego . . . . . . . . . 1.3 Dualizm korpuskularnofalowy . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Podsumowanie omawianych dowiadcze . . . . . 1.3.2 Kwantowa unikacja obu aspektw . . . . . . . . 1.3.3 Dualizm korpuskularnofalowy . . . . . . . . . . 1.4 Idea rozkadu spektralnego . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Dyskusja eksperymentu polaryzacyjnego . . . . . 1.4.2 Wnioski kwantowo-mechaniczne . . . . . . . . . . 2 Funkcje falowe i rwnanie Schrdingera 2.1 Funkcja falowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Rwnanie Schrdingera . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Uwagi i komentarze . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Uzasadnienie rwnania Schrdingera . . . . . 2.2.3 Dalsze uwagi i komentarze . . . . . . . . . . . 2.2.4 Uoglnienie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Wasnoci funkcji falowych . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Probabilistyczna interpretacja funkcji falowej 2.3.2 Gsto i prd prawdopodobiestwa . . . . . 2.4 Stacjonarne rwnanie Schrdingera . . . . . . . . . . 2.4.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Czstka swobodna . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 Stany zwizane i rozproszeniowe . . . . . . . 2.4.4 Warunki cigoci dla funkcji falowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Podstawy formalizmu mechaniki kwantowej 3.1 Przestrze funkcji falowych i operatory . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Przestrze funkcji falowych przestrze Hilberta . . . . 3.1.2 Operatory na przestrzeni funkcji falowych . . . . . . . . 3.1.3 Operatory hermitowskie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Obserwable i pomiary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Obserwable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Wyniki pomiarw i ich prawdopodobiestwa . . . . . . . 3.3 Wartoci oczekiwane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Dyskusja dodatkowa. Dyspersje . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Konstrukcja operatorw obserwabli . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Operatory pooenia i pdu . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2 Zasada odpowiednioci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3 Hamiltonian czstki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Nawiasy Poissona i relacje komutacyjne. Metoda kwantowania . 4 Rwnanie Schrdingera 4.1 Zachowanie normy wektora stanu funkcji falowej . . 4.2 Rwnanie Schrdingera dla ukadu konserwatywnego . 4.2.1 Ewolucja w czasie dla stanu stacjonarnego . . . 4.2.2 Normowanie stacjonarnej funkcji falowej (4.25) 4.2.3 Stan pocztkowy stan wasny hamiltonianu . 4.2.4 Uwagi o zachowaniu energii . . . . . . . . . . . 4.3 Ewolucja wartoci oczekiwanej obserwabli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

6.03.2010

MECHANIKA KWANTOWA Spis treci

ii. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 60 61 61 63 65 65 65 67 67 68 68 69 70 71 73 73 74 74 76 77 77 77 78 80 81 82 82 83 85 85 87 87 88 89 89 90 91 91 91 92 92 93 94 94 94 95 96 96 97 97 97 99 99 100 100 101 101 102 103 103 104 105

4.4

4.3.1 A t liczbowa funkcja czasu . . . 4.3.2 Rwnanie ruchu dla A t . . . . . Twierdzenie Ehrenfesta . . . . . . . . . . . 4.4.1 Wyprowadzenie rwna Ehrenfesta 4.4.2 Dyskusja. Granica klasyczna . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 Zasada nieoznaczonoci 5.1 Formalna zasada nieoznaczonoci . . . . . . . . . . . . 5.1.1 rednie i dyspersje. Pojcia wstpne . . . . . . 5.1.2 Zasada nieoznaczonoci . . . . . . . . . . . . . 5.1.3 Warunki minimalizacji zasady nieoznaczonoci 5.2 Dyskusja i pewne zastosowania . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Oglne sformuowanie . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Relacja nieoznaczonoci pooeniepd . . . . . 5.2.3 Zastosowanie do atomu w modelu Bohra . . . . 5.3 Zasada nieoznaczonoci energia czas . . . . . . . . .

6 Wany przykad oscylator harmoniczny 6.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Stacjonarne rwnanie Schrdingera dla oscylatora . . . . . . . 6.2.1 Zamiana zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2 Zachowanie asymptotyczne . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3 Rwnanie dla funkcji f ( ) . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Rozwizanie via konuentna funkcja hipergeometryczna . . . 6.3.1 Konuentne rwnanie hipergeometryczne. Rozwizanie 6.3.2 Dyskusja rozwiza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.3 Wielomiany Hermitea. Funkcje wasne . . . . . . . . . 6.3.4 Podsumowanie: funkcje i energie wasne oscylatora . . 6.4 Pewne zastosowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4.1 Element macierzowy operatora pooenia . . . . . . . 6.4.2 Element macierzowy operatora pdu . . . . . . . . . . 6.4.3 Elementy macierzowe k | x 2 | n oraz k | p 2 | n . . . 6.4.4 Zasada nieoznaczonoci i energia stanu podstawowego 7 Notacja Diraca 7.1 Abstrakcyjna przestrze wektorw stanu . . . . . 7.2 Kety i bra. Notacja Diraca . . . . . . . . . . . . . 7.3 Operatory liniowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3.1 Operatory, kety i bra . . . . . . . . . . . . 7.3.2 Operator rzutowy . . . . . . . . . . . . . 7.4 Sprzenia hermitowskie w notacji Diraca . . . . 7.4.1 Denicja operatora sprzonego . . . . . . 7.4.2 Wasnoci sprzenia hermitowskiego . . . 7.4.3 Uwagi dodatkowe i przykady . . . . . . . 7.4.4 Notacja Diraca reguy mnemotechniczne 7.5 Operatory hermitowskie obserwable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 Reprezentacje w przestrzeni stanw 8.1 Denicja reprezentacji . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1.1 Intuicyjne wprowadzenie . . . . . . . . . . . . 8.1.2 Relacje ortonormalnoci i zupenoci . . . . . 8.2 Reprezentacje ketw, bra oraz operatorw . . . . . . 8.2.1 Reprezentacje ketw i bra . . . . . . . . . . . 8.2.2 Reprezentacja iloczynu skalarnego . . . . . . 8.2.3 Uwagi o normowaniu . . . . . . . . . . . . . . | . . . . . . . . . . 8.2.4 Reprezentacja | = A 8.2.5 Reprezentacja iloczynu operatorw . . . . . . 8.2.6 Elementy macierzowe operatora sprzonego . | 8.2.7 Wyraenie dla | A . . . . . . . . . . . 8.3 Operatory rzutowe i rozkad spektralny obserwabli . 8.3.1 Projektory jednowymiarowe . . . . . . . . . . 8.3.2 Projektory wielowymiarowe . . . . . . . . . . 8.3.3 Rozkad spektralny obserwabli . . . . . . . . 8.4 Nowa terminologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4.1 Funkcje falowe w reprezentacji U . . . . . . . 8.4.2 Operatory w reprezentacji U . . . . . . . . . 8.4.3 Uwagi dodatkowe . . . . . . . . . . . . . . . .

S.Kryszewski

MECHANIKA KWANTOWA

ii

6.03.2010

MECHANIKA KWANTOWA Spis treci

iii107 107 107 108 109 109 111 112 113 113 114 116 116 117

9 Reprezentacje pooeniowa i pdowa 9.1 Reprezentacja pooeniowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.1 Denicja reprezentacji pooeniowej . . . . . . . . . 9.1.2 Funkcje falowe w reprezentacji pooeniowej . . . . . 9.1.3 Operatory w reprezentacji pooeniowej . . . . . . . 9.1.4 Operator pdu w reprezentacji pooeniowej . . . . . 9.1.5 Zasada odpowiednioci w reprezentacji pooeniowej 9.2 Reprezentacja pdowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Zwizek midzy reprezentacjami | r i | p . . . . . . . . . . 9.3.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.2 Funkcje wasne pdu w reprezentacji pooeniowej . 9.3.3 Zmiana reprezentacji pary fourierowskie . . . . . . 9.3.4 Czstka swobodna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3.5 Kopoty interpretacyjne . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

10 Zupeny zbir obserwabli komutujcych 119 10.1 Twierdzenia matematyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 10.2 Zupeny zbir obserwabli komutujcych (ZZOK) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 10.3 Uwagi praktyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 11 Postulaty mechaniki kwantowej 11.1 Postulat 1: wektor stanu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Postulat 2: obserwable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Postulat 3: wyniki pomiarw wartoci wasne obserwabli 11.4 Postulat 4: prawdopodobiestwo wynikw pomiarowych . 11.4.1 Przypadek widma dyskretnego bez degeneracji . . 11.4.2 Przypadek widma dyskretnego z degeneracj . . . 11.4.3 Przypadek widma cigego . . . . . . . . . . . . . 11.5 Postulat 5: pomiar redukcja wektora stanu . . . . . . . . 11.6 Postulat 6: ewolucja w czasie rwnanie Schrdingera . . 12 Kwantowa teoria momentu pdu 12.1 Orbitalny moment pdu wstp . . . . . . . 12.1.1 Podstawowe denicje . . . . . . . . . . 12.1.2 Relacje komutacyjne . . . . . . . . . . 12.2 Oglny operator moment pdu . . . . . . . . 12.2.1 Denicje i uwagi wstpne . . . . . . . 12.2.2 Relacje komutacyjne . . . . . . . . . . 12.3 Wartoci wasne operatorw J2 oraz J3 = Jz 12.3.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . 12.3.2 Warto wasna m jest ograniczona . . 12.3.3 Wasnoci J | j m . . . . . . . . . . 12.3.4 Wartoci wasne J2 oraz J3 = Jz . . . 12.3.5 Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . 12.4 Wektory wasne operatorw J2 oraz J3 = Jz . 12.4.1 Konstrukcja stanw | j m . . . . . . . 12.4.2 Reprezentacja standardowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 125 126 126 126 127 127 128 129 130 131 131 131 132 133 133 134 135 135 136 137 137 139 139 139 140 142 142 142 143 143 144 144 145 146 148 150 150 150 152 155 155 155 157 158 158

13 Orbitalny momentu pdu 13.1 Oglne wasnoci orbitalnego momentu pdu . . . . . 13.1.1 Przypomnienie wynikw . . . . . . . . . . . . . 13.2 Wartoci wasne i wektory wasne . . . . . . . . . . . . 13.2.1 Elementy macierzowe . . . . . . . . . . . . . . 13.3 Orbitalny moment pdu w reprezentacji pooeniowej . 13.3.1 Wsprzdne kartezjaskie i sferyczne . . . . . 13.3.2 Operatory Lk we wsprzdnych sferycznych . 13.3.3 Operator L2 we wsprzdnych sferycznych . . 13.3.4 Wartoci wasne i funkcje wasne L2 i L3 . . . 13.4 Harmoniki sferyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4.2 Konstrukcja harmonik sferycznych . . . . . . . 13.4.3 Harmoniki sferyczne zebranie informacji . . . 14 Stany stacjonarne w potencjale centralnym 14.1 Postawienie problemu . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.1.1 Przypomnienie klasycznego problemu Keplera 14.1.2 Hamiltonian kwantowo-mechaniczny . . . . . 14.2 Separacja zmiennych . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2.1 Zupeny zbir obserwabli komutujcych . . . . . . . .

S.Kryszewski

MECHANIKA KWANTOWA

iii

6.03.2010

MECHANIKA KWANTOWA Spis treci

iv. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 160 161 161 162 163 163 163 165 168 168 169 169 169 170 170 171 176 177 179 179 179 181 183 184 185 185 186 187 189 189 189 191 191 194 194 194 195 196 198 198 198 201 201 202 204 207 207 208 209 211 211 211 211 213 214 214 216 217 219 224 224 225

14.2.2 Radialne rwnanie Schrdingera . . . . . . . 14.2.3 Zachowanie si funkcji radialnych w r = 0 . . 14.3 Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.1 Rwnanie radialne . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.2 Liczby kwantowe . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3.3 Degeneracja zasadnicza i przypadkowa . . . . 14.4 Zagadnienie dwch cia . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.4.1 Separacja zmiennych w mechanice kwantowej 14.4.2 Wartoci i funkcje wasne Hamiltonianu . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15 Atom wodoropodobny 15.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2 Stabilno atomu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2.1 Dyskusja klasyczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2.2 Dyskusja kwantowo-mechaniczna . . . . . . . . . . . . . 15.3 Kwantowo-mechaniczna teoria atomu wodoropodobnego . . . . 15.3.1 Rwnanie radialne dyskusja wasnoci . . . . . . . . . 15.3.2 Rozwizanie rwnania radialnego . . . . . . . . . . . . . 15.3.3 Dyskusja rekurencji i kwantowanie energii . . . . . . . . 15.3.4 Funkcje radialne oglne sformuowanie . . . . . . . . . 15.4 Dyskusja uzyskanych rezultatw . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.4.1 Rzdy wielkoci parametrw atomowych . . . . . . . . . 15.4.2 Poziomy energetyczne. Gwna liczba kwantowa . . . . 15.4.3 Radialne funkcje falowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.4.4 Jawne wyraenia dla kilku pierwszych funkcji radialnych 15.4.5 Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.5 Obliczanie rednich rs nl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.5.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.5.2 Kilka przypadkw szczeglnych . . . . . . . . . . . . . . 15.5.3 Wzr rekurencyjny Kramersa dla rednich rs nl . . . . 16 Oddziaywanie z polem elektromagnetycznym 16.1 Przyblienie pklasyczne w mechanice kwantowej . . . 16.1.1 Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.1.2 Niezmienniczo ze wzgldu na cechowanie . . . 16.1.3 Cigo prdu prawdopodobiestwa . . . . . . . 16.2 Czstka bezspinowa w jednorodnym polu magnetycznym 16.2.1 Wybr potencjau wektorowego . . . . . . . . . . 16.2.2 Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.2.3 Dyskusja rzdw wielkoci . . . . . . . . . . . . . 16.2.4 Interpretacja czonu paramagnetycznego . . . . . 16.2.5 Interpretacja czonu diamagnetycznego . . . . . . 16.3 Normalny efekt Zeemana dla atomu wodoropodobnego . 16.3.1 Poziomy energetyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17 Teoria spinu 1/2 17.1 Wprowadzenie braki dotychczasowej teorii . . . . . . . . . . . 17.2 Postulaty teorii Pauliego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.3 Macierze Pauliego i operatory spinu 1/2 . . . . . . . . . . . . . 17.4 Nierelatywistyczny opis czstki o spinie 1/2 . . . . . . . . . . . 17.4.1 Wektory stanu spinory . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.4.2 Operatory i ich dziaanie na spinory . . . . . . . . . . . 17.4.3 Obliczanie prawdopodobiestw i wartoci oczekiwanych 18 Dodawanie momentw pdu 18.1 Cakowity moment pdu . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.1.1 Przypomnienie z mechaniki klasycznej . . . . . 18.1.2 Przykad kwantowo-mechaniczny . . . . . . . . 18.1.3 Oddziaywanie spin-orbita dyskusja wstpna 18.2 Dodawanie dwch momentw pdu . . . . . . . . . . . 18.2.1 Dyskusja i wprowadzenie . . . . . . . . . . . . 18.2.2 Podstawowe wasnoci operatora J = j1 + j2 . . 18.2.3 Wartoci wasne (liczby kwantowe) J oraz M . 18.2.4 Wektory wasne operatorw J2 i J3 . . . . . . 18.3 Wspczynniki Clebscha-Gordana (CG) . . . . . . . . 18.3.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.3.2 Wasnoci wspczynnikw CG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

S.Kryszewski

MECHANIKA KWANTOWA

iv

6.03.2010

MECHANIKA KWANTOWA Spis treci

v231 231 233 233 234 235 237 238 239 239 240 242 244 245 245 245 246 248 250 250 252 255 257 258 258 260 260 260 262 263 263 263 264 266 269 269 272 274 276 279 280

19 Stacjonarny rachunek zaburze 19.1 Istota problemu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2 Rachunek zaburze dla stanu niezdegenerowanego . . . . 19.2.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2.2 Formalizm matematyczny . . . . . . . . . . . . . . 19.2.3 Poprawki pierwszego rzdu . . . . . . . . . . . . . 19.2.4 Poprawki drugiego rzdu do energii . . . . . . . . . 19.2.5 Dyskusja uzyskanych rezultatw . . . . . . . . . . 19.3 Rachunek zaburze dla stanu zdegenerowanego . . . . . . 19.3.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.3.2 Formalizm rachunku zaburze z degeneracj . . . . 19.3.3 Dyskusja macierzy zaburzenia . . . . . . . . . . . . 19.3.4 Rachunek zaburze z degeneracj podsumowanie

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20 Rachunek zaburze z czasem 20.1 Przyblione rozwizanie rwnania Schrdingera . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.1.1 Zagadnienie stacjonarne przypomnienie . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.1.2 Wpyw zewntrznego zaburzenia. Prawdopodobiestwo przejcia . . . . 20.1.3 Prawdopodobiestwo przejcia w pierwszym rzdzie rachunku zaburze 20.2 Zaburzenie harmoniczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.2.1 Prawdopodobiestwo przejcia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.2.2 Wasnoci funkcji pomocniczych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.2.3 Prawdopodobiestwo przejcia. Przyblienie rezonansowe . . . . . . . . 20.2.4 Zaburzenie stae w czasie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.2.5 Szeroko rezonansu i zasada nieoznaczonoci . . . . . . . . . . . . . . . 20.2.6 Warunki stosowalnoci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.2.7 Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.3 Sprzenie ze stanami z continuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.3.1 Dyskusja problemu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.3.2 Zota regua Fermiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Oddziaywanie atomw z fal elektromagnetyczn 21.1 Prosta dyskusja zjawisk optycznych . . . . . . . . . . 21.1.1 Gsto modw we wnce . . . . . . . . . . . 21.1.2 Rozkad Plancka . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.3 Wspczynniki A i B Einsteina . . . . . . . . 21.2 Oddziaywanie atomu z fal elektromagnetyczn . . 21.2.1 Hamiltonian oddziaywania . . . . . . . . . . 21.2.2 Prawdopodobiestwo przejcia, cz. I . . . . . 21.2.3 Prawdopodobiestwo przejcia, cz. II . . . . . 21.2.4 Reguy wyboru . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.5 Wspczynniki A i B Einsteina . . . . . . . . 21.2.6 Stosowalno rachunku zaburze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II

ROZDZIAY UZUPENIAJCE I WICZENIOWE

282

22 (U.1) Czstki i fale 283 22.1 Dowiadczenia z polaryzacj fotonu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 22.1.1 Przypomnienie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 22.1.2 Trzy polaryzatory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 23 (U.2) Funkcje falowe i rwnanie Schrdingera 23.1 Rwnanie KleinaGordona . . . . . . . . . . . . . . 23.2 Jednowymiarowe rwnanie Schrdingera . . . . . . 23.2.1 Oglne omwienie . . . . . . . . . . . . . . 23.2.2 U (x) funkcja parzysta . . . . . . . . . . . 23.3 Jednowymiarowa, nieskoczona studnia potencjau 23.3.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . 23.3.2 Rozwizanie rwnania Schrdingera . . . . 23.3.3 Funkcje falowe . . . . . . . . . . . . . . . . 23.3.4 Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . 23.4 Jednowymiarowa, skoczona studnia potencjau . . 23.4.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . 23.4.2 Stany zwizane . . . . . . . . . . . . . . . . 23.4.3 Stany rozproszeniowe . . . . . . . . . . . . 23.4.4 Rozpraszanie niskoenergetyczne . . . . . . . 23.5 Czstka swobodna i pakiet falowy . . . . . . . . . . 23.5.1 Pakiet falowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 286 286 286 288 289 289 290 291 292 292 292 293 300 304 309 309

S.Kryszewski

MECHANIKA KWANTOWA

v

6.03.2010

MECHANIKA KWANTOWA Spis treci

vi

23.5.2 Pakiet gaussowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 23.5.3 Ewolucja pakietu gaussowskiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 23.5.4 Dyskusja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 24 (U.3) Podstawy formalizmu mechaniki kwantowej 24.1 Wartoci oczekiwane i dyspersje dla stanu superponowanego 24.1.1 Zaoenia wstpne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.1.2 Obliczenia elementw macierzowych . . . . . . . . . 24.1.3 Dyspersja energii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.2 Pomiary i stany porednie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.2.1 Dowiadczenie 1: dwa kolejne pomiary . . . . . . . . 24.2.2 Dowiadczenie 2: bez stanu poredniego . . . . . . . 24.2.3 Dyskusja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (U.4) Rwnanie Schrdingera 25.1 Pakiet falowy raz jeszcze . . . . . 25.1.1 Wartoci oczekiwane x i 25.1.2 Wartoci oczekiwane p i 25.2 Uoglnione twierdzenie o wiriale . . . . . . . x2 . . . p2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 317 317 318 318 319 319 321 321 323 323 323 324 326 327 327 327 329 329 332 332 332 333 335 337 339 339 343 344

26 (U.5) Zasada nieoznaczonoci 26.1 Pakiet falowy minimalizujcy zasad nieoznaczonoci 26.1.1 Wyprowadzenie postaci pakietu . . . . . . . . 26.1.2 Dyskusja wynikw . . . . . . . . . . . . . . . 26.2 Dyskusja dowiadczenia interferencyjnego . . . . . .

27 (U.6) Oscylator harmoniczny 27.1 Rozwizanie przez rozwinicie w szereg . . . . . . . . . . . . . . . 27.1.1 Oglna posta rozwiza . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27.1.2 Dyskusja rozwini. Kwantowanie energii . . . . . . . . . 27.2 Alternatywna posta funkcji falowych . . . . . . . . . . . . . . . 27.3 Szacowanie energii stanu podstawowego z zasady nieoznaczonoci 27.4 Operatory anihilacji i kreacji. Oscylator harmoniczny . . . . . . . 27.4.1 Operatory anihilacji i kreacji oglna teoria . . . . . . . 27.4.2 Operatory anihilacji i kreacji podsumowanie . . . . . . . 27.4.3 Zastosowanie do oscylatora harmonicznego . . . . . . . .

28 (U.7) Notacja Diraca 350 28.1 Przestrze dualna. Pojcie bra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350 28.2 Operatory i ich sprzenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 29 (U.8) Reprezentacje w przestrzeni Hilberta 29.1 Reprezentacje dyskusja praktyczna . . . . . 29.1.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . 29.1.2 Dyskusja zagadnie praktycznych . . . 29.1.3 Dowolny stan | . . . . . . . . . . . 29.1.4 Uwagi kocowe . . . . . . . . . . . . . 29.2 Zmiany reprezentacji . . . . . . . . . . . . . . 29.2.1 Dwie reprezentacje: "stara" i "nowa" . 29.2.2 Wasnoci transformacji . . . . . . . . 29.2.3 Uwagi kocowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 354 354 355 356 358 358 358 359 362

30 (U.9) Reprezentacje pooeniowa i pdowa 363 30.1 Operator pdu w reprezentacji pooeniowej. Twierdzenie pomocnicze . . . . . . . . . . . . . . . . 363 30.2 Funkcje falowe oscylatora harmonicznego w reprezentacji pdowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364 31 (U.10) Ewolucja ukadw kwantowych w czasie 31.1 Rwnanie Schrdingera i operator ewolucji . . . . . . . . 31.1.1 Podstawowe denicje . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2 Wasnoci operatora ewolucji . . . . . . . . . . . 31.1.3 Posta operatora ewolucji . . . . . . . . . . . . . 31.2 Obraz Schrdingera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Obraz Heisenberga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3.1 Wektor stanu w obrazie Heisenberga . . . . . . . 31.3.2 Operatory w obrazie Heisenberga . . . . . . . . . 31.3.3 Ewolucja operatora w obrazie Heisenberga . . . . 31.3.4 Pewne dodatkowe wasnoci obrazu Heisenberga 31.4 Obraz oddziaywania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4.1 Wektor stanu w obrazie oddziaywania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 367 367 367 369 370 371 371 371 372 373 374 375

S.Kryszewski

MECHANIKA KWANTOWA

vi

6.03.2010

MECHANIKA KWANTOWA Spis treci

vii. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 376 378 378 378 379 382 382 383 383 385 385 385 385 386 387 388 388 390 390 390 393 393 393 396 396 398 398 399 402 403 405 406 407 409 409 409 410 411 411 412 413 413 414 414 415 416 418 418 418 419 420 421 422 422 422 426 427 427 428 429

31.4.2 Rwnanie Schrdingera w obrazie oddziaywania . 31.4.3 Operatory i ich ewolucja w obrazie oddziaywania 31.5 Ewolucja stanu ukadu w obrazie oddziaywania . . . . . 31.5.1 Postawienie problemu . . . . . . . . . . . . . . . . 31.5.2 Rozwizanie iteracyjne . . . . . . . . . . . . . . . . 31.6 Interpretacja szeregu iteracyjnego . . . . . . . . . . . . . . 32 (U.11) Obroty i moment pdu 32.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Podstawowe wasnoci obrotw w R3 . . . . . . . . . 32.2.1 Obrt wektora . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2.2 Obroty innitezymalne . . . . . . . . . . . . . 32.2.3 Wasnoci obrotw . . . . . . . . . . . . . . . 32.3 Operatory obrotw w przestrzeni stanw (bez spinu) 32.3.1 Denicja operatora obrotu . . . . . . . . . . . 32.3.2 Wasnoci operatora obrotu . . . . . . . . . . 32.3.3 Transformacja obserwabli . . . . . . . . . . . 32.4 Obroty i momentu pdu . . . . . . . . . . . . . . . . 32.4.1 Obrt innitezymalny . . . . . . . . . . . . . 32.4.2 Operator skoczonego obrotu i moment pdu 32.4.3 Transformacje obserwabli . . . . . . . . . . . 32.5 Relacje komutacyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.6 Uwagi kocowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.6.1 Cakowity moment pdu . . . . . . . . . . . . 32.6.2 Niezmienniczo przy obrotach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33 (U.12) Potencja centralny 33.1 Ukad rodka masy i ruch wzgldny. Przypomnienie z zyki klasycznej 33.2 Model molekuy dwuatomowej. Potencja Kratzera . . . . . . . . . . . 33.2.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.2.2 Radialne rwnanie Schrdingera . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.2.3 Pena funkcja falowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.2.4 Kwantowanie energii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.2.5 Rozwinicie potencjau w otoczeniu rmin = a . . . . . . . . . . 33.2.6 Dyskusja przyblionego wyraenia dla Enl . . . . . . . . . . . . 33.2.7 Warto r w stanie podstawowym . . . . . . . . . . . . . . . 34 (U.13) Atom wodoropodobny 34.1 Model Bohra przypomnienie . . . . . . . . . . . 34.1.1 Postulaty Bohra . . . . . . . . . . . . . . 34.1.2 Obliczenia En i rn . . . . . . . . . . . . . 34.2 Pd radialny w atomie wodoropodobnym . . . . 34.2.1 Uwagi wstpne . . . . . . . . . . . . . . . 34.2.2 Pd radialny . . . . . . . . . . . . . . . . 34.2.3 Rwnania ruchu dla wielkoci radialnych . 34.3 Wzr rekurencyjny Kramersa dla rs nl . . . . . 34.3.1 Zastosowanie twierdzenia o wiriale . . . . 34.3.2 Wykorzystanie rwna ruchu dla wielkoci 34.3.3 Pomocnicze wartoci oczekiwane . . . . . 34.3.4 Ostatni etap oblicze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . radialnych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35 (U.14) Oddziaywanie z polem elektromagnetycznym 35.1 Przypomnienie zyki klasycznej . . . . . . . . . . . . . . 35.1.1 Rwnania Lagrangea . . . . . . . . . . . . . . . 35.1.2 Potencja uoglniony Ue dla czstki w polu . . . 35.1.3 Formalizm kanoniczny (hamiltonowski) . . . . . 35.1.4 Krtka uwaga o cechowaniu . . . . . . . . . . . . 35.1.5 Hamiltonian czstki klasycznej . . . . . . . . . . 35.2 Niezmienniczo ze wzgldu na cechowanie . . . . . . . . 35.2.1 Niezmienniczo rwnania Schrdingera . . . . . 35.2.2 Niezmienniczo prdu prawdopodobiestwa . . 35.3 Cechowanie i mechanika kwantowa . . . . . . . . . . . . 35.3.1 Uwagi wstpne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35.3.2 Transformacja wektora stanu . . . . . . . . . . . 35.3.3 Ewolucja wektora stanu . . . . . . . . . . . . . .

36 (U.15) Spin 432 36.1 Wasnoci momentu pdu spinu 1/2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432 36.1.1 Sformuowanie abstrakcyjne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432

S.Kryszewski

MECHANIKA KWANTOWA

vii

6.03.2010

MECHANIKA KWANTOWA Spis treci

viii. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433 437 437 438 440 440 441 442 446 447 449 451 453 453 453 454 460 461 462 463 464 467 467 467 473 474 474 477 481 487 490 490 490 490 492 494 494 494 495 500 501 504 504 504 504 505 507 507 508 511 511 512 512 513 514 514 516

36.1.2 Spin 1/2 w dowolnym kierunku . . . . 36.2 Nierelatywistyczny opis czstki o spinie s . . 36.2.1 Wektory stanu spinory . . . . . . . . 36.3 Przykady operatorw dla s = 1 . . . . . . . 2 36.4 Spin 1/2 w polu magnetycznym . . . . . . . . 36.4.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . 36.4.2 Pole statyczne i pole zmienne w czasie 36.4.3 Rwnanie Schrdingera . . . . . . . . 36.4.4 Pole statyczne. Precesja Larmora . . . 36.4.5 Oscylacje Rabiego . . . . . . . . . . . 36.4.6 Widmo Mollowa . . . . . . . . . . . . 36.5 Pewne wasnoci macierzy Pauliego . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37 (U.16) Dodawanie momentw pdu 37.1 Zoenie orbitalnego momentu pdu i spinu 1/2 . . . . . . . 37.1.1 Przejcie do bazy sprzonej . . . . . . . . . . . . . . 37.1.2 Obliczenia wspczynnikw CG . . . . . . . . . . . . 37.1.3 Stany bazy sprzonej w reprezentacji pooeniowej . 37.1.4 Przykad zastosowania: l = 1 i s = 1 . . . . . . . . . 2 37.1.5 Stany bazy niesprzonej via stany sprzone . . . . 37.1.6 Unitarno wspczynnikw ClebschaGordana . . . 37.1.7 Przykad zastosowania . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (U.17) Stacjonarny rachunek zaburze 38.1 Komentarze do oglnej teorii . . . . . . . . . . . . . . . . 38.1.1 Rachunek zaburze dla stanu niezdegenerowanego 38.1.2 Rachunek zaburze dla stanu zdegenerowanego . . 38.2 Struktura subtelna w atomie wodoropodobnym . . . . . . 38.2.1 Hamiltonian i jego dyskusja . . . . . . . . . . . . . 38.2.2 Poprawka do energii kinetycznej . . . . . . . . . . 38.2.3 Oddziaywanie spin-orbita . . . . . . . . . . . . . . 38.2.4 Struktura subtelna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39 (U.18) Metoda wariacyjna 39.1 Metoda wariacyjna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39.1.1 Uwagi wstpne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39.1.2 Twierdzenia pomocnicze . . . . . . . . . . . . . . . . . 39.1.3 Funkcjona E () szacuje energi od gry . . . . . . . . 39.1.4 Procedura oblicze metod wariacyjn . . . . . . . . . 39.2 Przykad: energia stanu podstawowego atomu helopodobnego 39.2.1 Omwienie problemu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39.2.2 Wybr funkcji prbnej. Konstrukcja funkcjonau E () 39.2.3 Dyskusja wynikw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39.2.4 Pierwszy rzd rachunku zaburze . . . . . . . . . . . . 40 (U.19) Zaburzenia zalene od czasu 40.1 Rachunek zaburze zaleny od czasu . . . . . . . . . . . 40.1.1 Omwienie problemu . . . . . . . . . . . . . . . . 40.1.2 Przybliona ewolucja wektora stanu . . . . . . . 40.1.3 Prawdopodobiestwo przejcia . . . . . . . . . . 40.2 Atom wodoru w zmiennym polu elektrycznym . . . . . . 40.2.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40.2.2 Prawdopodobiestwo przejcia obliczenia . . . 40.2.3 Prawdopodobiestwo przejcia | 1, 0, 0 | 2, l, m 40.2.4 Stosowalno rachunku zaburze . . . . . . . . . 40.3 Przyblienie sekularne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40.3.1 Uwagi wstpne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40.3.2 Stany istotne w okolicach rezonansu . . . . . . . 40.3.3 Zaniedbanie stanw nierezonansowych . . . . . . 40.3.4 Zaniedbanie skadnikw szybko oscylujcych . . 40.3.5 Rozwizanie rwna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

III

DODATKI MATEMATYCZNE

518519

A Konuentna funkcja hipergeometryczna

B Wielomiany Hermitea i ich wasnoci 522 B.1 Denicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522

S.Kryszewski

MECHANIKA KWANTOWA

viii

6.03.2010

MECHANIKA KWANTOWA Spis treci

ix

B.2 Relacje rekurencyjne i rwnanie rniczkowe Hermitea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523 B.3 Caki z wielomianami Hermitea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524 B.4 Inne sposoby obliczania caek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527 C Harmoniki sferyczne C.1 Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C.1.1 Caka normalizacyjna Ip (n) . . . . . . . . . . . C.2 Wyprowadzenie postaci Yl m (, ) dla m < l . . . . . . C.2.1 Zastosowanie operatora obniajcego . . . . . . C.2.2 Operator (L / )k w reprezentacji pooeniowej C.2.3 Harmoniki Yl m (, ) . . . . . . . . . . . . . . . C.3 Jawne obliczenia pewnych harmonik sferycznych . . . C.4 Inny sposb konstrukcji . . . . . . . . . . . . . . . . . C.5 Harmoniki i ich sprzenia zespolone . . . . . . . . . . C.6 Relacja rekurencyjna dla harmonik sferycznych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528 528 528 530 530 531 533 533 535 537 538 543 543 545 546 546 547 547

D Wielomiany Legendrea, itp. D.1 Wielomiany Legendrea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.2 Stowarzyszone funkcje Legendrea . . . . . . . . . . . . . . D.3 Harmoniki sferyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.3.1 Zwizek ze stowarzyszonymi funkcjami Legendrea D.3.2 Parzysto harmonik sferycznych . . . . . . . . . . D.3.3 Harmoniki sferyczne to funkcje wasne L2 i Lz . .

E Uwagi o wielomianach Laguerrea 549 E.1 Podstawy denicje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549 E.2 Caki z wielomianami Laguerrea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550

IV

ZADANIA DOMOWESeria Seria Seria Seria Seria Seria Seria Seria Seria Seria 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7 . 8 . 9 . 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

555556 558 560 562 565 567 569 571 573 575

Skorowidz

576

S.Kryszewski

MECHANIKA KWANTOWA

ix

Cz I

CZ GWNA WYKADU

1

6.03.2010

1. Czstki i fale

1

Rozdzia 1

Czstki i faleCelem tego rozdziau jest omwienie i wprowadzenie pewnych zasadniczych idei mechaniki kwantowej. Trzeba jednak wyranie podkreli, e omawiane tu zagadnienia s przedstawione w sposb, ktry nie jest ani kompletny, ani te cisy. Mechanika kwantowa burzy wiele z prostych i intuicyjnie oczywistych koncepcji zyki klasycznej. Dlatego te w rozdziale tym wskaemy na pewne trudnoci interpretacyjne, ktre wymuszaj odstpienie od idei typowo klasycznych.

1.1

Fale elektromagnetyczne i fotony

Newton (XVII-XVIII w.) korpuskularna teoria wiata. XIX w. teoria falowa i jej dowiadczalne potwierdzenia (Young, Fresnel, Maxwell, itd.). Teoria elektromagnetyzmu Maxwella jest w peni falowa. 1900 Planck i teoria promieniowania ciaa doskonale czarnego. Konieczna hipoteza: kwantowanie energii. 1905 Einstein, efekt fotoelektryczny. wiato skada si z kwantw o okrelonej energii fotony. 1924 efekt Comptona wiato ma natur korpuskularn. Wniosek : W oddziaywaniach wiata z materi, wiato zachowuje si jak strumie (wizka, itp.) czstek, zwanych fotonami. Fali elektromagnetycznej o czstotliwoci = /2 ( czsto) i dugoci fali = c/ odpowiadaj fotony o energii i pdzie wynoszcych E = h = , p = k, przy czym k = 2 . (1.1)

W zjawiskach typu interferencji czy dyfrakcji wiato zachowuje si jak fala. Mamy wic do czynienia z dualizmem korpuskularnofalowym. Staa Plancka h = 6, 62 1034 J s, = h = 1, 05 1034 J s, 2 (1.2)

W tym wykadzie, mwic "staa Plancka" praktycznie zawsze bdziemy mie na myli , a nie samo h, bo tak jest znacznie wygodniej.

S.Kryszewski

MECHANIKA KWANTOWA

1

6.03.2010

1. Czstki i fale

2

1.2

Analiza dowiadczenia interferencyjnego Youngaska [interferencji wiata lub czstek materialnych (SK)], to znaczy nie umiemy "wytumaczy", dlaczego przebiega w taki, a nie inny sposb, moemy natomiast "opowiedzie", w jaki sposb ono przebiega, a mwic o tym, opowiemy rwnoczenie o podstawowych osobliwociach mechaniki kwantowej w ogle." Richard P. Feynman

Motto : "W gruncie rzeczy nie potramy cakowicie wyjani tajemniczego charakteru tego zjawi-

Rozwaymy znane skdind dowiadczenie ugicia i interferencji wiata na dwch szczelinach (interferencyjne dowiadczenie Younga). Oba dowiadczenia, o ktrych bdziemy mwi przedstawione s schematycznie na rysunku 1.1. Celem naszej analizy jest pokazanie, e korpuskularne i falowe aspekty natury wiata s niezbdne do penej interpretacji zjawiska interferencji wiata na dwch szczelinach. W omawianych tu dowiadczeniach wiato pochodzi z pewnego rda

Rys. 1.1: Schemat dwch dowiadcze dyfrakcyjno-interferencyjnych na dwch wskich szczelinach.

znajdujcego si daleko w lewo. Praktycznie rwnolega wizka rozchodzi si zgodnie z kierunkiem osi z i pada z lewej na przeson P , w ktrej znajduj si dwie szczeliny S1 i S2 . Po przejciu przez nie, wiato pada na ekran (E1 w pierwszym, E2 w drugim dowiadczeniu). Na ekranie s gsto rozmieszczone detektory, ktre zliczaj padajce fotony (mierz natenie wiata). Zliczenia fotonw mog by, w razie potrzeby, sumowane. Daj wic informacj (w funkcji x odlegoci od osi z ) o powstaym na ekranie obrazie. Wyniki takich dowiadcze (tj. zalenoci nate od x) ilustruj wykresy "nad" ekranami E1 i E2 .

1.2.1

Eksperyment pierwszy jedna szczelina otwarta

Jedna ze szczelin (najpierw S2 ) jest zasonita, czyli wiato przechodzi przez szczelin S1 i ulega na niej ugiciu (dyfrakcji), a nastpnie pada na ekran E1 . W rezultacie, urednione po 1 wiata na ekranie E1 przedstawia linia ciga. Nastpnie, w drugiej czci czasie natenie I eksperymentu, zakrywamy szczelin S1 i pozwalamy wiatu przechodzi przez szczelin S2 . LiniaS.KryszewskiMECHANIKA KWANTOWA

2

6.03.2010

1. Czstki i fale

3

2 odpowiada urednionemu nateniu mierzonemu w tej sytuacji. Linia kropkowana przerywana I 1 + I 2 zmierzonych w czasie obu czci eksperymentu. przedstawia sum nate I Fala ugita na szczelinie Si i padajca na ekran E1 w pewnym punkcie odlegym o x od osi z ma formaln posta fi = Ai (x) cos t kz + i , i = 1, 2. (1.3)

Ai jest zalena od x, bo energia fali kulistej maleje wraz z kwadratem odlegoci od rda (w tym wypadku szczeliny). Faza i zaley od dugoci drogi optycznej od szczeliny Si do danego punktu na ekranie, a wic take zaley od wsprzdnej x. Natenie takiej fali, mierzone przez detektory na ekranie wynosi2 Ii = A2 i (x) cos t kz + i ,

(1.4)

gdzie wspczynnik zaley od wyboru ukadu jednostek. Uredniajc po okresie drga fali uzyskamy i = 1 A2 (x), I i 2 (1.5)

bowiem cos2 urednia si do 1/2. Wykresy na rysunku 1.1 ("nad" ekranem E1 ) przedstawiaj 1 oraz I 2 , a take ich sum, ktra jest zoeniem wynikw dwch czci wanie takie natenia I eksperymentu.

1.2.2

Eksperyment drugi obie szczeliny otwarte

Teraz odsaniamy jednoczenie obie szczeliny. wiato przechodzi w kierunku ekranu E2 , na ktrym rejestrujemy charakterystyczne prki interferencyjne. Natenie wiata na ekranie ma intensywne maksima (interferencja konstruktywna, gdy rnica drg optycznych od szczelin S1 i S2 do danego punktu na ekranie jest cakowit wielokrotnoci dugoci fali ) oraz minima (interferencja destruktywna, gdy rnica drg optycznych jest nieparzyst wielokrotnoci /2). W tym przypadku, na detektor w danym punkcie ekranu E2 padaj dwie fale pochodzce z dwch szczelin i detektor rejestruje natenie (chwilowe) I = f1 + f22 2

= A1 cos t kz + 12 = A2 1 cos t kz + 1

+ A2 cos t kz + 22 + A2 2 cos t kz + 2

+ 2 A1 A2 cos t kz + 1 cos t kz + 2 . Z tosamoci trygonometrycznej 2 cos cos = cos( + ) + cos( ), wynika, e2 I = A2 1 cos t kz + 1 2 + A2 2 cos t kz + 2

(1.6)

+ A1 A2 cos 2t 2kz + 1 + 2 + A1 A2 cos 1 2 . (1.7)

Uredniajc po czasie widzimy, e trzeci skadnik nie daje wkadu (rednia warto cosinusa jest rwna zeru). Wobec tego 1 = 1 A2 A2 I 1 + 2 + A1 A2 cos 1 2 . 2 2S.KryszewskiMECHANIKA KWANTOWA

(1.8)

3

6.03.2010

1. Czstki i fale

4

Wyraajc amplitudy przez natenia (por. (1.5), Ai = = I 1 + I 2 + 2 I 1 I 2 cos 1 2 . I

i / ) otrzymujemy 2I (1.9)

1 = I 2 , to wwczas natenie Dla prostoty rozwaa przyjmijmy e A1 = A2 , a co za tym idzie I wiata rejestrowanego na ekranie E2 zmienia si od I min = 0 do I max = 4 I 1 . Natenie I nie I jest wic prost sum nate wiata biegncego od kadej ze szczelin. Zauwamy ponadto, e zaleno amplitud od x sprawia, e obraz interferencyjny jest take scharakteryzowany pewn obwiedni, ktra opisuje zanik obrazu, gdy odchylenie |x| od rodka ekranu staje si due. Rnica faz = (1 2 ) wystpujca we wzorze (1.9) moe by w zasadzie dowolna i zaley od rnicy drg optycznych od szczeliny Si do danego punktu na ekranie. wiato spjne (koherentne) charakteryzuje si dobrze okrelonymi i niezmiennymi w czasie rnicami fazowymi. W wietle niespjnym (niekoherentnym) rnice faz szybko i chaotycznie uktuuj w czasie. Gdybymy wic przeprowadzali dowiadczenie interferencyjne z fal niespjn, wwczas rnice faz szybko zmieniayby si i cos uredniby si do zera. Na ekranie E2 zaobserwowalibymy ten sam efekt, co przy zsumowaniu rezultatw dowiadczenia pierwszego. Warunkiem otrzymania prkw interferencyjnych jest wic spjno wizki padajcej. Na ekranie E2 obserwujemy prki tylko wtedy, gdy wiato przechodzce przez szczeliny S1 i S2 jest koherentne. Warto tutaj poleci jako wiczenie, wyprowadzenie znanych ze szkoy warunkw na pooenie maksimw i minimw interferencyjnych nL ,

x =

d

maksima L , d (1.10) minima,

1 2

+n

gdzie d jest odlegoci pomidzy szczelinami, za L odlegoci midzy przeson P , a ekranem E2 , na ktrym rejestrujemy prki interferencyjne.

1.2.3

Dyskusja opisu korpuskularnego

Interpretacja i opis zjawiska interferencji w jzyku teorii falowej nie sprawia powaniejszych trudnoci. Fale rozprzestrzeniaj si w caej przestrzeni i w pewnych obszarach interferuj konstruktywnie, a w innych destruktywnie. W naszym intuicyjnym podejciu czstki to obiekty dobrze zlokalizowane przestrzennie, majce rozmiary znacznie mniejsze ni jakiekolwiek inne dugoci charakteryzujce dowiadczenie (szeroko szczelin, czy odlego midzy nimi). Jak wic interpretowa efekt interferencji w ujciu korpuskularnym? Mwimy tu o wietle, a wic o fotonach, ale rwnie dobrze moglibymy mwi o innych czstkach, np. o elektronach czy neutronach. Fala padajca na przeson ulega ugiciu na szczelinach w przesonie. Moemy uzna, e ugicie takie mona wyjani zderzeniami fotonw z brzegami szczelin. Bardziej dokadna analiza pokazaaby, e nie jest to wyjanienie cakiem wystarczajce, cho intuicyjnie sensowne. Aby wic nie komplikowa sytuacji, pozostamy przy tym niezbyt cisym wyjanieniu. Jednoczenie jednak powinnimy zda sobie spraw, e ju tutaj pojawia si pierwszy znak zapytania nad susznoci naszych intuicji polegajcych na zastosowaniu klasycznego rozumienia ruchu czstek. Zliczenia fotonw odbywajce si na ekranach, mog polega na badaniu stopnia zaczernienia kliszy fotogracznej. Mona take stosowa fotopowielacze, ktre komputerowo zliczaj poszczeglne fotony (i w razie potrzeby sumuj takie zliczenia). A wic i to co dzieje si w konkretnym punkcie "na ekranie" moemy do atwo zrozumie w ramach korpuskularnej interpretacji zjawiska. Trudnoci pojawiaj si, gdy chcemy zrozumie charakter caego obrazu zarejestrowanego na ekranie.S.KryszewskiMECHANIKA KWANTOWA

4

6.03.2010

1. Czstki i fale

5

Dowiadczenie pierwsze (z otwart jedn szczelin) nie nastrcza specjalnych trudnoci interpretacyjnych. Fotony padajce na otwart szczelin uginaj swj tor lotu (ulegaj na niej dyfrakcji). W rezultacie obserwujemy krzyw natenia z maksimum naprzeciwko szczeliny otwartej. Rzeczywicie nie wida tu specjalnych kopotw z interpretacj. Dowiadczenie drugie jest ju znacznie trudniejsze do interpretacji. Jak to si dzieje, e czstki fotony daj na ekranie E2 prki interferencyjne? By moe fotony jako oddziauj ze sob przed i za przeson? Nie ma jednak adnych przesanek zycznych, aby sdzi, e takie oddziaywania w ogle istniej. Co wicej, wspczesne urzdzenia pozwalaj wysya i rejestrowa pojedyncze fotony (innymi sowy mona wizk padajc bardzo osabi). Detektory (fotopowielacze) bd wic rejestrowa pojedyncze "kliknicia". W takim przypadku leccy ku ekranowi foton nie ma partnera, z ktrym mgby oddziaywa. Jeeli wic za powstanie obrazu interferencyjnego odpowiedzialne s jakie oddziaywania pomidzy fotonami, to obraz interferencyjny powinien znikn. Jaki wic bdzie obraz powstay na ekranie przy sumowaniu zlicze, gdy padaj na pojedyncze fotony tak, aby zjawiska ugicia kolejnych fotonw na szczelinie i potem ich detekcja byy zdarzeniami niezalenymi? Gdy otwarte s obie szczeliny, a czas rejestracji jest krtki (tylko kilka fotonw zdyo dolecie do ekranu) obserwujemy dobrze zlokalizowane punkty, w ktrych kolejne fotony uderzaj w ekran. Rozkad tych punktw jest losowy, w tym sensie, e przy powtarzaniu dowiadczenia punkty te s rozoone za kadym razem w inny sposb. A zatem, w krtkim czasie, widzimy na ekranie pojedyncze punkty. Sugeruje to, e potrzebna jest interpretacja korpuskularna, ktra na dodatek powinna mie charakter probabilistyczny. Rozumiemy przez to, e potrzebny jest jaki sposb obliczania prawdopodobiestwa tego, gdzie padnie foton. Jeeli jednak czas obserwacji ronie, to rejestrujemy coraz wicej fotonw i widzimy, e zsumowany obraz na ekranie coraz lepiej odtwarza prki interferencyjne. Obraz interferencyjny "buduje si" wraz z upywem czasu. A zatem wyglda na to, e w tej sytuacji potrzebne jest podejcie na gruncie teorii falowej (bo wanie ona daje poprawny opis prkw). Otrzymalimy wic dwa wnioski. Przy maej liczbie fotonw (krtki czas rejestracji) wydaje si, e potrzebujemy opisu korpuskularnego, a na dodatek majcego charakter probabilistyczny, bo identyczne fotony ulegaj ugiciu w przypadkowy (losowy) sposb. Natomiast przy duej liczbie fotonw (dugi czas) waciwy jest opis falowy. Stwierdzenia te s nie do pogodzenia. Co bowiem trzeba wybra, gdy liczba fotonw (i czas rejestracji) s rednie, ani mae ani due ? Moe foton, przy przejciu przez przeson dzieli si na jakie subczstki, ktre oddziaujc ze sob daj na ekranie obraz interferencyjny? Gdyby jednak tak byo, to stosujc odpowiednio czue detektory rejestrowalibymy na ekranie kilka "klikni" (przy jednym fotonie padajcym). To si jednak nigdy nie zdarza. Foton albo jest zarejestrowany, albo nie jest niepodzielny. Moe wic jego trajektoria jest bardzo skomplikowana (np. zaptlona przez obie szczeliny). Jednak taka hipoteza jest z jednej strony dziwaczna, a z drugiej nie moe doprowadzi do jakiegokolwiek opisu rozkadu prkw interferencyjnych powstaych na ekranie. A wic droga do wyjanienia interferencji nie prowadzi przez wprowadzanie dziwnych hipotez. Zwrmy uwag na jeszcze jedn trudno. Intuicja (klasyczna) podpowiada, e foton, lecc od rda ku przesonie, przelatuje nastpnie albo przez szczelin S1 , albo przez S2 . Ugina si na niej i potem traa w ekran w pewnym punkcie x. Jeeli foton przelecia przez jedn szczelin, to co za rnica czy druga jest zasonita czy otwarta. Natraamy wic na jeszcze jeden trudny aspekt. Wyniki dowiadcze przy jednej szczelinie zasonitej i przy obu otwartych s przecie zasadniczo rne. Wskazuje to, e okrelenie przez ktr szczelin przelecia foton, niszczy obraz interferencyjny. Rzeczywicie tak jest. W dalszym cigu wykadu (po omwieniu zasady nieoznaczonoci) gbiej uzasadnimy ten fakt. Na zakoczenie podkrelmy raz jeszcze, e nasze rozwaania dotyczce interferencji wiaS.KryszewskiMECHANIKA KWANTOWA

5

6.03.2010

1. Czstki i fale

6

ta (fotonw) mog rwnie dobrze dotyczy dowolnych czstek materialnych, jak np. elektrony czy protony. Co wicej dzisiejsza technika dowiadczalna pozwala przeprowadza eksperymenty interferencyjne, w ktrych uczestnicz atomy. Odpowiednio przygotowane atomy tworz tzw. kondensat Bose-Einsteina, w ktrym bada si rnorodne zjawiska. Zagadnienia te, ze wzgldu na falowy charakter materii, nazywane bywaj optyk atomow.

1.31.3.1

Dualizm korpuskularnofalowyPodsumowanie omawianych dowiadcze

1. Pojedynczy foton ulega ugiciu na szczelinie i traa w ekran losowo. Nie umiemy przewidzie, gdzie konkretnie tra. 2. Dugotrwaa obserwacja (sumowanie rejestracji pojedynczych fotonw) sprawia i powstaje obrazu interferencyjnego (prkw jasnych i ciemnych). Potramy cile przewidzie gdzie powstan prki jasne, a gdzie ciemne. Sugeruje to, e fotony traaj w pewne punkty ekranu z wikszym, a w inne z mniejszym prawdopodobiestwem. 3. W pewnych sytuacjach sensowny wydaje si opis korpuskularny, a w innych falowy. Jak trzeba wic postpowa, aby pogodzi ze sob dwa, zasadniczo rne, typy podej teoretycznych? 4. Warunkiem otrzymania obrazu interferencyjnego jest niemono okrelenia przez ktr szczelin przelecia foton. Kae to wtpi, czy foton ma dobrze okrelon trajektori (w rozumieniu zyki klasycznej). Podsumowujc, moemy stwierdzi, e dyskusja zjawiska interferencji prowadzi do tajemniczych, i dziwnych wnioskw. Nasz dyskusj prowadzilimy dla wiata fotonw. Rwnie dobrze mona by rozwaa, na przykad, elektrony. Wnioski byyby identyczne. Pikn dyskusj interferencji elektronw mona znale w podrczniku Feynmana (t.I, cz.2, rozdz.37, str.173).

1.3.2

Kwantowa unikacja obu aspektw

W wietle powyszej dyskusji widzimy, e peny opis (wszystkich wspomnianych aspektw) zjawiska interferencji nie jest moliwy, jeli rozumujc na gruncie zasad zyki klasycznej bierzemy pod uwag tylko podejcie korpuskularne, albo tylko falowe. Co wicej, wydawa by si mogo, e bazujc na koncepcjach zyki klasycznej nie mona pogodzi obu spojrze. Pokaemy, e tak by nie musi, cho automatycznie okae si konieczna bardzo krytyczna analiza koncepcji i intuicyjnych poj obecnych w dobrze znanej zyce klasycznej. Wiele swojskich i dobrze ugruntowanych intuicji klasycznych trzeba odrzuci, aby poprawnie i spjnie opisa zjawiska mikrowiata. Omwimy teraz wskazane wyej trudnoci i pozorne paradoksy, cho by moe w nieco innej kolejnoci. Po pierwsze zauwamy, e okrelenie przez ktr szczelin przelatuje foton wymaga jakiego dodatkowego mechanizmu detekcji. Wiemy za, e za tak informacj "pacimy" zanikiem obrazu interferencyjnego (por. rysunek 1.1, ekran E1 ). Wniosek : Pomiar (w tym wypadku prosta detekcja fotonu) wykonany na ukadzie zycznym w zasadniczy sposb zakca ukad. Tego nie ma w zyce klasycznej, gdzie proces pomiaru ma zaniedbywalny wpyw na badany ukad zyczny. Po drugie, intuicyjnie czujemy, e foton przechodzi przez ktr ze szczelin (nie dzieli si na subczstki), jednak zachowuje si zupenie inaczej w zalenoci od tego, czy druga szczelina jest otwarta, czy nie.

S.Kryszewski

MECHANIKA KWANTOWA

6

6.03.2010

1. Czstki i fale

7

Wniosek : Intuicyjna koncepcja czstki (fotonu) przelatujcego przez okrelon szczelin musi zosta odrzucona. W konsekwencji pojcie trajektorii czstki naley postawi pod znakiem zapytania. Trzeba je albo w zasadniczy sposb zrewidowa, albo wrcz cakowicie odrzuci. I wreszcie po trzecie, fotony padajce pojedynczo na ekran, stopniowo (wraz z upywem czasu wzrostem cakowitej liczby zarejestrowanych fotonw) buduj obraz interferencyjny. Natomiast dla pojedynczego fotonu mamy wyrany aspekt probabilistyczny. Mimo, e fotony s emitowane przez rdo w identycznych warunkach, to jednak padaj na ekran w rnych punktach. Nie moemy przewidzie, gdzie tra pojedynczy foton. Wniosek : Warunki pocztkowe nie okrelaj jednoznacznie wynikw dowiadczenia (stanu kocowego). Tak wic kolejna koncepcja klasyczna musi by zakwestionowana lub wrcz odrzucona. Przewidywania zyczne dla pojedynczej czstki maj charakter probabilistyczny. Moemy bada jedynie prawdopodobiestwo tego, e foton tra w ten czy inny punkt ekranu. Przy wielu czstkach (wiele kolejnych zdarze) potramy obliczy rozkad statystyczny okreli, w ktre punkty ekranu tra duo, a w ktre mao czstek. Zupenie analogiczne wnioski otrzymamy analizujc cakiem inne eksperymenty u podstaw ktrych ley zjawisko interferencji Przykadami mog by dyfrakcja elektronw na krysztaach, rozpraszanie neutronw na jdrach (oddziaywania silne) atomw tworzcych ciaa o najrniejszych strukturach.

1.3.3

Dualizm korpuskularnofalowy

Aspekty falowe i korpuskularne s nierozczne. Oba s potrzebne do opisu interferencji (jak rwnie wielu innych zjawisk). wiato, a take inne czstki skadniki mikrowiata, zachowuj si jak fala i jak faktyczne czstki materialne. Podejcie falowe umoliwia obliczanie prawdopodobiestw tego, co stanie si z czstk w danej sytuacji zycznej. Aby to stwierdzenie wyjani, znw powracamy do wiata i fotonw. Informacje o fotonie zawarte s (jest to jedna z moliwoci) w nateniu pola elektrycznego E(r, t) fali elektromagnetycznej. Pole to jest rozwizaniem rwna Maxwella. W przeprowadzonej powyej analizie fi (por. (1.3)) oznaczao np. jedn ze skadowych pola E. Amplitud fali moemy prbowa interpretowa jako amplitud prawdopodobiestwa znalezienia fotonu w punkcie r w chwili t. Stwierdzenie to oznacza, e kwadrat moduu amplitudy, a wic natenie wiata I |E|2 jest miar prawdopodobiestwa tego, gdzie (w danej chwili) znajduje si foton (miar, bo aby w sposb cisy mwi o prawdopodobiestwie, naleaoby najpierw odpowiednio unormowa natenie I do jedynki). Powysze rozwaania dotyczce fotonu s zdecydowanie niecise, pozwalaj jednak wnioskowa, e jedna z gwnych idei mechaniki kwantowej polega powinna na tym, aby czstce przypisa pewn funkcj (r, t) ktra nosi cechy fali. Ta funkcja falowa powinna mie charakter amplitudy prawdopodobiestwa pozwalajcy na wyliczenie prawdopodobiestwa tego, co moe da pomiar takiej czy innej wielkoci zycznej. Co wicej, falowy charakter funkcji (r, t) powinien zapewnia moliwoci zachodzenia zjawiska interferencji. Oczywicie na razie nie wiemy w jaki sposb wyznacza tak funkcj, ani te jakimi wasnociami powinna si charakteryzowa. Na rnorodne, powstajce w tym miejscu pytania dotyczce funkcji falowej zwizanej z dan czstk, bdziemy sukcesywnie odpowiada w dalszym cigu wykadu. Na razie poprzestaniemy na postulacie, e z kad czstk musimy zwiza pewn funkcj (r, t) funkcj falow. Naley tu jednak stwierdzi, e cho dyskusja wasnoci wiata okazaa si by owocna, to jednak fotonom czstkom ultrarelatywistycznym, w zasadzie nie mona przyporzdkowa 7

S.Kryszewski

MECHANIKA KWANTOWA

6.03.2010

1. Czstki i fale

8

funkcji falowej (prby takie, mniej czy bardziej udane, znane s z literatury przedmiotu). Analogia "optyczna" jest owocna i poyteczna. Trzeba jednak pamita, e NIE wolno i zbyt daleko i wierzy, e pole E(r, t) cile opisuje stan fotonu. Opis taki wymaga teorii relatywistycznej, jak jest elektrodynamika kwantowa. W dyskutowanych tutaj zagadnieniach mamy do czynienia jedynie z analogi. Pomimo tego zastrzeenia, poczynimy jeszcze pewne dodatkowe uwagi na temat wiata fotonw. Wnioski jakie uzyskamy bd bowiem dotyczy take funkcji falowych zwizanych z czstkami materialnymi (elektronami, protonami, itp.). Rwnania Maxwella s liniowe, obowizuje wic zasada superpozycji. Zasada ta stwierdza, e jeli E1 i E2 opisuj fale elektromagnetyczne, to rwnie a1 E1 + a2 E1 (gdzie aj s dowolnymi staymi) take jest tak fal. Zasada ta ley u podstaw klasycznego wyjanienia zjawiska interferencji. W zyce kwantowej, gdzie bdziemy mwi o funkcjach falowych (r, t) zasada superpozycji musi take obowizywa i dotyczy wanie samych funkcji falowych amplitud prawdopodobiestwa. Sprawia to, e w domenie kwantowej take bdziemy mie do czynienia ze zjawiskami interferencji (na przykad fal zwizanych z elektronami). Jak ju mwilimy, teoria kwantowa (czca aspekty korpuskularny i falowy) pozwala jedynie na obliczanie prawdopodobiestw zajcia pewnych zdarze (wynikw pomiarw). Eksperyment musi wic bazowa na wielokrotnych powtrzeniach dowiadczenia w identycznych warunkach. W przypadku dowiadczenia Younga potrzeba byo bardzo wielu fotonw, aby w kocu powsta obraz interferencyjny, okrelajcy gdzie fotony "najchtniej" (z najwikszym prawdopodobiestwem) traaj w ekran.

1.41.4.1

Idea rozkadu spektralnegoDyskusja eksperymentu polaryzacyjnego

Omwimy teraz inne dowiadczenie optyczne, zwizane z polaryzacj fal wietlnych. Znw podkrelamy, e mwimy o wietle ze wzgldu na wiksz pogldowo dyskusji. Moglibymy rwnie dobrze mwi o innych dowiadczeniach, np. o dowiadczeniu Sterna-Gerlacha dotyczcym spinu

x

Ein ex ein eyy Polaryzator

Eout

ep

exz

Rys. 1.2: Schemat dowiadczenia polaryzacyjnego. elektronu. Ukad dowiadczalny byby zupenie inny. Rol polaryzatorw speniayby odpowiednio skonstruowane magnesy. Analiza dowiadczenia byaby nieco bardziej zoona, lecz zasadniczeS.KryszewskiMECHANIKA KWANTOWA

8

6.03.2010

1. Czstki i fale

9

wnioski pozostayby niezmienione. Skupimy si wic na dyskusji wiata, majc jednak w pamici wspomniane w poprzedniej czci rozdziau ograniczenia. Rozwaamy wizk wiata spolaryzowanego liniowo i rozprzestrzeniajcego si w kierunku osi z i padajc z lewej strony na polaryzator. Fal tak opiszemy za pomoc formuy E(r, t) = E0 ein ei(tkz ) . (1.11)

Jednostkowy wektor polaryzacji ein tworzy z osi x kt (por. rys 1.2) i ze wzgldu na poprzeczno fali elektromagnetycznej, ley w paszczynie xy . E0 jest pewn amplitud fali. Fala ta pada na polaryzator, ktry przepuszcza wiato o polaryzacji wzdu ep = ex , natomiast pochania fale o polaryzacji wzdu ey . A wic za polaryzatorem fal przechodzc przedstawimy wzorem Eout (r, t) = E0 ex ei(tkz ) , (1.12)

co opisuje fal cakowicie spolaryzowan (rwnie liniowo) wzdu kierunku ustawienia polaryzatora. Ponadto, znane z klasycznej optyki prawo Malusa orzeka, e natenie wiata przechodzcego okrelone jest przez kt (jaki tworzy wektor polaryzacji padajcego wiata z kierunkiem ustawienia polaryzatora) wzorem I = I0 cos2 , (1.13)

gdzie I0 jest nateniem wiata padajcego na polaryzator. Gdy polaryzacja fali padajcej tworzy kt 0 z osi x to "caa fala" przechodzi. Jeeli za /2, to polaryzator jest nieprzezroczysty dla fali padajcej (o polaryzacji prostopadej do jego ustawienia). Widzimy wic, e analiza tego dowiadczenia na poziomie klasycznym, w jzyku teorii falowej, jest dobrze znana i intuicyjnie oczywista. Dyskusja korpuskularna Jak za omwi dowiadczenie polaryzacyjne w ramach podejcia korpuskularnego? Sytuacja zyczna jest ta sama, co przedstawiona na rysunku 1.2. wiato padajce ma polaryzacj w kierunku ein tworzcym kt z osi x. Zamy dalej, e wizka padajca jest bardzo osabiona tak, e na polaryzator padaj pojedyncze fotony. Detektor zliczajcy fotony umieszczony jest zaraz za polaryzatorem, jego "kliknicie" oznacza, e foton przeszed przez polaryzator. Zgodnie z nasz intuicj foton albo przejdzie przez polaryzator, albo nie. Nie wiemy na pewno, co si stanie z fotonem o polaryzacji ein = ep . Musimy myle w kategoriach probabilistycznych. Nonsensem jest bowiem "uamek fotonu". Po dowiadczeniu z wieloma fotonami (a wic po dostatecznie dugim czasie), gdy rdo wyemituje N 1 fotonw, moemy oczekiwa, e detektor za polaryzatorem zarejestruje N cos2 fotonw. Efekt (rezultat) klasyczny, zgodny z teori falow odtwarza si dopiero wtedy, gdy N jest due. Potwierdza si wic oczekiwanie, e opis pojedynczego fotonu musi mie aspekt probabilistyczny. Oznacza to, e znw jestemy zmuszeni zrewidowa pojcia intuicyjne, oczywiste na gruncie zyki klasycznej.

1.4.2

Wnioski kwantowo-mechaniczne

1. Pomiar (w tym wypadku detekcja fotonu po przejciu przez polaryzator), moe dawa tylko pewne, cile okrelone wyniki (tzw. rezultaty lub wartoci wasne). W dyskutowanym dowiadczeniu mamy dwie moliwoci foton przechodzi przez polaryzator; foton nie przechodzi.S.KryszewskiMECHANIKA KWANTOWA

9

6.03.2010

1. Czstki i fale

10

Wynik pomiaru jest wic "skwantowany" przyjmuje tylko okrelone dopuszczalne wartoci. W przypadku klasycznym, nie ma ogranicze na wynik dowiadczenia, natenie I fali przechodzcej (przy danym I0 ) moe przyjmowa dowolne wartoci. 2. Kademu dopuszczalnemu wynikowi pomiaru (dowiadczenia) odpowiada tzw. stan wasny. Tutaj mamy dwa takie stany, ein = ex , oraz ein = ey . (1.14)

Jeeli polaryzacj fotonu padajcego okrela ein = ex , to foton przechodzi przez polaryzator, jeeli za ein = ey , to foton jest pochonity i nie przechodzi. Odpowiednio midzy rezultatami (wartociami) wasnymi, a stanami wasnymi mona wic okreli tak: jeli foton przed pomiarem (przejciem przez polaryzator) jest w jednym ze stanw wasnych to rezultat pomiaru wystpuje z prawdopodobiestwem 1 i jest odpowiednim rezultatem (wartoci) wasn. 3. Jeeli przed pomiarem (tj. przed przejciem przez polaryzator) stan fotonu jest dowolny (np. ein = (cos , sin ), jak na rysunku 1.2), to jedynie moliwe jest okrelenia prawdopodobiestwa otrzymania jednego z rezultatw wasnych. Moemy wwczas mwi, e z takim to a takim prawdopodobiestwem foton przejdzie przez polaryzator. Aby znale to prawdopodobiestwo, trzeba stan fotonu rozoy na kombinacj liniow stanw wasnych. W naszym przypadku mamy ein = ex cos + ey sin . (1.15)

Prawdopodobiestwo otrzymania w wyniku pomiaru jednego z rezultatw wasnych otrzymujemy biorc kwadrat moduu wspczynnika stojcego przy danym stanie wasnym. Oczywicie suma prawdopodobiestw wszystkich moliwych rezultatw pomiaru musi dawa 1. Ostatnie danie wynika std, e jakikolwiek (spord dopuszczalnych) wynik otrzymujemy z pewnoci, a wic z prawdopodobiestwem 1. W przypadku dowiadczenia polaryzacyjnego, z (1.15) wynika, e2 Pprzej s cie = cos ,

oraz

Pabsorpcja = sin2 .2 2

(1.16)

Nietrudno zauway, e prawdopodobiestwa te mona wyrazi nastpujco Pprzej s cie = Pabsorpcja = ein ex ein ey2 2

= (ex cos + ey sin ) ex = (ex cos + ey sin ) ey

= cos2 = sin .2

(1.17a) (1.17b)

Odpowiednie prawdopodobiestwa s wic kwadratami moduw rzutw wektora polaryzacji fotonu padajcego na stany wasne: ex "przejdzie" oraz ey "nie przejdzie". Suma tych prawdopodobiestw jest oczywicie rwna 1, tak jak by powinno. I tak na przykad, gdy = /2 otrzymujemy Pprzej s cie = 0, Pabsorpcja = 1. Przedstawione tu zasady stanowi przykad koncepcji tzw. rozkadu spektralnego. Rozkad typu (1.15) jest specyczny dla omawianego dowiadczenia polaryzacyjnego i wynika on z kierunkw narzuconych przez wybran orientacj polaryzatora. W oglnym wypadku, analogiczne rozkady s okrelone charakterem eksperymentu i mog by bardzo rne. W trakcie wykadu napotkamy wiele rnych przykadw takich rozkadw rozkadw spektralnych. 4. Za analizatorem wiato jest cakowicie spolaryzowane wzdu kierunku ep = ex . Jeli dalej umiecimy drugi, tak samo zorientowany polaryzator to fotony na padajce maj ju cile okrelon polaryzacj ep = ex . A wic wedug pkt. 2 i 3 znajduj si w stanie wasnym odpowiadajcym ustawieniu drugiego polaryzatora. Wobec tego przejd przeze z prawdopodobiestwem rwnym jednoci. Z powyszych rozwaa wynika, e skutkiem pierwszegoS.KryszewskiMECHANIKA KWANTOWA

10

6.03.2010

1. Czstki i fale

11

pomiaru polaryzacji dla fotonu, ktry mia polaryzacj dowoln ein = (cos , sin ), jest skokowa jej zmiana na ex . Przed polaryzatorem mielimy E(r, t) ein . Po przejciu mamy dodatkow informacj foton przeszed. Ta nowa informacja przejawia si w zmianie stanu. Polaryzacja jest teraz opisana wektorem ex . Potwierdza to poczynione uprzednio stwierdzenie, e pomiar w istotny sposb zakca (wrcz zmienia) stan ukadu zycznego. Omawiane tutaj dowiadczenie polaryzacyjne pozwala wyrobi sobie pewne intuicje dotyczce zasadniczych koncepcji mechaniki kwantowej. Jej formalizm matematyczny jest bowiem bardzo zoony i czsto koncepcje zyczne s ukryte w "gszczu matematycznym". ******************************

S.Kryszewski

MECHANIKA KWANTOWA

11

6.03.2010

2. Funkcje falowe i rwnanie Schrdingera

12

Rozdzia 2

Funkcje falowe i rwnanie Schrdingera2.1 Funkcja falowa

W poprzednim rozdziale stwierdzilimy, e do penego opisu zjawisk mikrowiata, opisu czcego aspekty falowe i korpuskularne, potrzebujemy zupenie nowego podejcia, cakiem innego ni zyka klasyczna. Omawialimy zjawiska dotyczce fotonw, jednak uzyskalimy pewne oglne wnioski dotyczce szerszej klasy ukadw. Hipoteza de Brogliea dotyczy dowolnych czstek elementarnych. Wedug tej hipotezy, czstki materialne (podobnie jak foton) maj zarwno wasnoci falowe, jak i korpuskularne. Wskazuje na to np. dyfrakcja elektronw na krysztaach (dowiadczenie Davissona i Germera w 1927 roku). Wobec tego z czstk o energii E i pdzie p czymy fale materii o czstoci = 2 i wektorze falowym k w nastpujcy sposb E = = h, p = k, (2.1)

przy czym dugo fali wynosi = 2 |k| = 2 h = . |p| |p| (2.2)

Zauwamy tutaj, e z (2.1) wynika = E/h. Przez analogi z fotonami, chciaoby si wwczas napisa = c/ . Tak jednak NIE wolno robi, poniewa czstki na og maj mas m = 0, dlatego te ich prdko musi by mniejsza od c. Foton poruszajcy si z prdkoci wiata jest wic czstk o wyjtkowych wasnociach. Analiza przeprowadzona w poprzednim rozdziale wskazuje, e obiekty kwantowo-mechaniczne zachowuj si niekiedy jak czstki, a niekiedy jak fale. Sprawia to, e ich opis musi by zupenie inny ni w przypadku klasycznym Pojcia jakie tutaj wprowadzimy bd ucilane i dalej wyjaniane w kolejnych rozdziaach. Przypomnijmy w tym miejscu, e w mechanice klasycznej ukad zyczny jest opisany zbiorem wsprzdnych i pdw uoglnionych. Np. czstka klasyczna jest opisana przez trzy skadowe pooenia x(t) i trzy skadowe pdu p(t), a wic cznie przez 6 funkcji czasu. Zaleno od czasu wsprzdnych i pdw uoglnionych wynika np. z hamiltonowskich rwna ruchu. S to rwnania rniczkowe, ktre pozwalaj jednoznacznie i cile przewidzie pniejszy stan ukadu, pod warunkiem, e znany jest stan w pewnej chwili wczeniejszej (pocztkowej). Wsprzdne uoglnione s sparametryzowane czasem, wic wyznaczaj trajektori ukadu w funkcji czasu.

S.Kryszewski

MECHANIKA KWANTOWA

12

6.03.2010

2. Funkcje falowe i rwnanie Schrdingera

13

Przechodzc do zjawisk mikrowiata radykalnie zmieniamy sposb jego opisu. Postulujemy, e ukad zyczny (na razie skupimy uwag na pojedynczej czstce) jest w peni opisany za pomoc tzw. funkcji falowej, ktr zwykle oznaczamy jako (r, t) funkcja falowa. Mwimy te czasem, e stan ukadu jest dany funkcj falow (r, t). Podkrelmy jeszcze, e wektor r wystpujcy jako argument funkcji falowej nie wie si w aden prosty sposb z pooeniem czstki. Funkcja falowa moe take zalee od innych wielkoci (parametrw), ale od ilu i jakich, zaley od tego jaki ukad zyczny chcemy opisywa. Stan kwantowo-mechaniczny ukadu (a wic funkcja falowa) to nieskoczenie wiele liczb wartoci funkcji falowej we wszystkich dopuszczalnych punktach r dla kolejnych chwil czasu t. Naley tutaj podkreli, e kwantowo-mechaniczna funkcja falowa moe w oglnoci by funkcj zespolon (r, t) C. (2.4) (2.3)

Jeeli tylko potramy okreli (znale) odpowiedni funkcj falow, twierdzimy wwczas, e zawiera pen (jaka tylko jest dostpna) informacj o rozwaanym ukadzie zycznym. Kapitalne znaczenie w mechanice kwantowej ma zasada superpozycji. Sprowadza si ona do nastpujcego postulatu (dania) Jeli 1 (r, t) i 2 (r, t) s funkcjami falowymi ukadu zycznego (czstki) to wwczas ich superpozycja (r, t) = 1 1 (r, t) + 2 2 (r, t), (2.5)

co zachodzi dla dla dowolnych 1 , 2 C, jest take funkcj falow. Postulat ten oczywicie dotyczy kombinacji liniowej dowolnej iloci funkcji falowych, mona go bowiem stosowa sukcesywnie. Dziki daniu spenienia zasady superpozycji moemy opisywa efekty interferencyjne, tak charakterystyczne dla zjawisk mikrowiata. Co wicej, z postulatu tego pynie wany wniosek. Funkcje falowe okrelamy (budujemy) jako rozwizania pewnego rwnania falowego. Zasada superpozycji narzuca danie, aby odpowiednie rwnanie falowe byo liniowe: kombinacja liniowa rozwiza te musi by funkcj falow innym rozwizaniem tego rwnania. Matematycznym wyrazem tego warunku jest stwierdzenie, e przestrze funkcji falowych musi by przestrzeni wektorow, w ktrej kombinacje liniowe elementw przestrzeni s nadal jej elementami.

2.2

Rwnanie Schrdingera

W jaki sposb wyznacza funkcje falowe? Musimy dysponowa odpowiednim rwnaniem, ktre bdzie spenione przez funkcje falowe. Innymi sowami, potrzebujemy rwnania, ktrego rozwizania