Przedziały liczbowePrzedziały liczbowe

• Spis treściSpis treści

• 1 Przedział domknięty 1 Przedział domknięty

• 2 Przedział otwarty 2 Przedział otwarty

• 3 Przedział lewostronnie (prawostronnie) 3 Przedział lewostronnie (prawostronnie) otwarty otwarty

• 4 Przedziały nieograniczone 4 Przedziały nieograniczone

• 5 Działania na przedziałach 5 Działania na przedziałach

Przedział domkniętyPrzedział domknięty

• Przykład 1.Przykład 1. Pisząc <-4;7> mamy na myśli wszystkie liczby rzeczywiste Pisząc <-4;7> mamy na myśli wszystkie liczby rzeczywiste od -4 do 7, razem z -4 i 7. Jeśli napiszemy <-50;-20> , będziemy mówić o od -4 do 7, razem z -4 i 7. Jeśli napiszemy <-50;-20> , będziemy mówić o zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych od -50 do -20, łącznie z -50 i -20. zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych od -50 do -20, łącznie z -50 i -20. Podobnie pisząc <a;b> mamy na myśli wszystkie liczby rzeczywiste od Podobnie pisząc <a;b> mamy na myśli wszystkie liczby rzeczywiste od aa do do bb, łącznie z , łącznie z aa i i bb (oczywiście (oczywiście aa i i bb są liczbami rzeczywistymi). Definicja są liczbami rzeczywistymi). Definicja będzie wyglądała tak: będzie wyglądała tak:

Przedział liczbowy          zaznaczymy na osi liczbowej w ten sposób:

Zwróćmy uwagę, że krańce przedziałów oznaczyliśmy kółkami zamalowanymi, ponieważ zarówno liczba -4 jak i 7 należą do tego przedziału.

DEFINICJAPrzedziałem domknietym o końcach a i b (dla a<b) nazywamy

zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniający warunek             .

                                                                      

Przedział otwartyPrzedział otwarty

• Przykład 2.Przykład 2. Za pomocą ( − 4;7) oznaczamy wszystkie liczby rzeczywiste Za pomocą ( − 4;7) oznaczamy wszystkie liczby rzeczywiste większe od -4 i mniejsze od 7, podobnie w przedziale (większe od -4 i mniejsze od 7, podobnie w przedziale (aa;;bb) znajdują się ) znajdują się wszystkie liczby, które są większe od wszystkie liczby, które są większe od aa i mniejsze od i mniejsze od bb. Przedział otwarty . Przedział otwarty różni się od przedziału domkniętego tym, że nie zawiera on liczb różni się od przedziału domkniętego tym, że nie zawiera on liczb aa i i bb. .

Przedział otwarty ( − 4;7) na osi zaznaczymy w ten sposób:

                                                             

Krańce przedziałów oznaczone zostały kółkami nie zamalowanymi, ponieważ zarówno liczba -4 jak i liczba 7 nie należy do tego przedziału. Dodatkowo można narysować linie pod pewnym kątem, podobnie jak to zrobiliśmy na rysunku.

DEFINICJAPrzedziałem otwartymPrzedziałem otwartym ( (aa;;bb) o końcach ) o końcach aa i i bb (dla (dla aa<<bb) nazywamy zbiór ) nazywamy zbiór

wszystkich liczb rzeczywistych wszystkich liczb rzeczywistych xx spełniających warunek spełniających warunek aa < < xx < < bb..

Przedział lewostronnie (prawostronnie) Przedział lewostronnie (prawostronnie) otwartyotwarty

• Przykład 3.Przykład 3. (-4;7> oznacza zbiór wszystkich liczb rzeczywistych (-4;7> oznacza zbiór wszystkich liczb rzeczywistych większych od -4, ale mniejszych bądź równych 7. Możemy zdefiniować większych od -4, ale mniejszych bądź równych 7. Możemy zdefiniować przedział lewostronnie otwarty dla dowolnych liczb rzeczywistych przedział lewostronnie otwarty dla dowolnych liczb rzeczywistych aa i i bb dla dla aa<<bb w ten sposób: w ten sposób:

Przedział         na osi liczbowej zaznaczymy tak:

Analogicznie możemy zdefiniować przedział prawostronnie otwarty:

DEFINICJADEFINICJA • Przedziałem lewostronnie otwartym (prawostronnie domkniętym)Przedziałem lewostronnie otwartym (prawostronnie domkniętym)

o końcach o końcach aa i i bb (dla (dla aa<<bb) nazywamy zbiór wszystkich liczb ) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych rzeczywistych xx spełniających warunek spełniających warunek

            .

DEFINICJADEFINICJA • Przedziałem prawostronnie otwartym (lewostronnie domkniętym)Przedziałem prawostronnie otwartym (lewostronnie domkniętym) o o

końcach końcach aa i i bb (dla (dla aa<<bb) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych ) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych xx spełniających warunek .spełniających warunek .

Przedziały nieograniczonePrzedziały nieograniczone• Do oznaczania przedziałów nieograniczonych wykorzystujemy symbol nieskończoności -- Do oznaczania przedziałów nieograniczonych wykorzystujemy symbol nieskończoności --

•Przykład 4. Przez              oznaczamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych większych od -4 (łatwo zauważyć, że wszystkie liczby są mniejsze od     ). Podobnie wszystkie liczby rzeczywiste większe bądź równe -4 będziemy oznaczać przez             .

Przedział            możemy zaznaczyć na osi liczbowej w ten sposób:

DEFINICJADEFINICJA • Przedziałem lewostronnie otwartym nieograniczonymPrzedziałem lewostronnie otwartym nieograniczonym

nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych xx większych od większych od aa. Podobnie . Podobnie przedziałem lewostronnie domkniętym nieograniczonymprzedziałem lewostronnie domkniętym nieograniczonym nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych xx większych bądź równych większych bądź równych aa. .                                   

• Przykład 5.Przykład 5. oznacza przedział wszystkich liczb rzeczywistych oznacza przedział wszystkich liczb rzeczywistych mniejszych bądź równych 5. Analogicznie przez będziemy mniejszych bądź równych 5. Analogicznie przez będziemy oznaczamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych mniejszych od 5. oznaczamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych mniejszych od 5.

Przedział            analogicznie, jak to robiliśmy w poprzednich przykładach, zaznaczymy na osi liczbowej tak:

DEFINICJADEFINICJA • Przedziałem prawostronnie otwartym nieograniczonymPrzedziałem prawostronnie otwartym nieograniczonym

nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych xx mniejszych mniejszych od od aa. Podobnie . Podobnie przedziałem prawostronnie domkniętym przedziałem prawostronnie domkniętym nieograniczonymnieograniczonym nazywamy zbiór wszystkich liczb nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych rzeczywistych xx mniejszych bądź równych mniejszych bądź równych aa..

                                                                                                                                            

Działania na przedziałachDziałania na przedziałachPonieważ przedział jest zbiorem, więc możemy wyznaczać między innymi Ponieważ przedział jest zbiorem, więc możemy wyznaczać między innymi

sumę, iloczyn czy też różnicę przedziałów.sumę, iloczyn czy też różnicę przedziałów.

•Przykład 6 Wyznaczmy        ,        ,       ,        , A' i B', gdzie               , a B = (1;4)Zaznaczmy najpierw oba przedziały na osi liczbowej:

Z rysunku widzimy, że:•                      •                     •                    •                  •                                  •