Przeciętne

Przeciętne

dr Dariusz Chojecki, Instytut Historii i Stosunków Międzynarodowych US

Główny podział przeciętnych

klasyczne: – średnia arytmetyczna– harmoniczna– geometryczna

pozycyjne: – mediana (kwartyl 2), kwartyl 1 i 3– dominanta (wartość modalna)


Sposób obliczania średniej aryt.

zsumowanie wszystkich indywidualnych wartości badanej zmiennej dla poszczególnych spostrzeżeń

podzielenie otrzymanej sumy przez liczbę spostrzeżeń


Ogólny wzór

n

1ii

n

1ii

n21

xNx

N

xx

N

xxxx


Przykład obliczeń (indywidualne dane)

48,0 54,1 55,0 53,5 47,5 42,5 50,5 52,0 56,4 50,1 62,0 60,0 49,2 56,9 56,4 62,5

53,516

856,6x

=średnia()


Charakterystyka średniej aryt.

wyniki średniej są, z reguły, abstrakcją (oderwanie od rzeczywistości)

średnią wylicza się tylko dla zbiorowości jednorodnych

miara ta ma charakter pomocniczy - właściwy obraz daje szereg strukturalny i jego obraz graficzny


Rozkład zmiennej dla średniej arytmetycznej

rozkład jednomodalny

0

50

100

150

200

250

zmienna (x)

częs

tość

(n)

x


Rozkład asymetryczny skrajnie

0

50

100

150

200

250

zmienna (x)

częs

tość

(n)


Rozkład siodłowy

0

50

100

150

200

250

zmienna (x)

częs

tość

(n)


Rozkład bimodalny

0

50

100

150

200

250

zmienna (x)

częs

tość

(n)


I przykład obliczeń (pogrupowane dane) 3 6 3 5 1 4 1 3 2 0 2 2 5 4 4 3

xi ni

0 11 22 33 44 35 26 1

razem 16


Średnia aryt. - zmienna skokowa

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5 6

zmienna

licze

bnoś

ć



N

nxx

k

1iii

k21

kk2211

nnn

nxnxnxx


Średnia aryt. - zmienna skokowaxi ni xini

0 1 0

1 2 2

2 3 6

3 4 12

4 3 12

5 2 10

6 1 6

razem 16 48

3x 16

48x

121

162110x



xi ni xini

x1 n1 =A2*B2x2 n2 =A3*B3x3 n3 =A4*B4x4 n4 =A5*B5x5 n5 =A6*B6x6 n6 =A7*B7x7 n7 =A8*B8

razem =suma(B2:B8) =suma(C2:C8)

średnia =C9/B9


II przykład obliczeń (pogrupowane dane)

48,0 54,1 55,0 53,5 47,5 42,5 50,5 52,0 56,4 50,1 62,0 60,0 49,2 56,9 56,4 62,5

x0i-x1i ni

40-45 145-50 350-55 655-60 460-65 2razem 16


Średnia aryt. - zmienna ciągła

0

1

2

3

4

5

6

7

40-45 45-50 50-55 55-60 60-65

zmienna

licze

bnoś

ć



N

nxx

k

1iii

k21

kk2211

nnn

nxnxnxx

2

xxx 1i0i



1i0i xx inix

ii nx

40-45 1 42,5 42,5

45-50 3 47,5 142,5

50-55 6 52,5 315,0

55-60 4 57,5 230,0

60-65 2 62,5 125,0

razem 16 × 855,0

53,4x 16

855x

231

262,5347,5142,5x



Błędy:– przypadkowe, wynikające z

niedostatecznej liczby spostrzeżeń– przy ustalaniu indywidualnej wartości

zmiennej, w szczególności wynikające z zaokrągleń

– systematyczne, występujące przede wszystkim w rozkładach skrajnie asymetrycznych



wiek liczebność %

40-44 15 15,6

45-49 24 25,0

50-54 22 22,9

55-59 16 16,7

60-64 6 6,3

65-69 6 6,3

70-74 4 4,2

75 i więcej 3 3,1

razem 96 100,0

75-79



0ix 1ix inix

ii nx

X01 X11 n1 =(A2+B2)/2 =D2*C2

X02 X12 n2 =(A3+B3)/2 =D3*C3

X03 X13 n3 =(A4+B4)/2 =D4*C4

X04 X14 n4 =(A5+B5)/2 =D5*C5

X05 X15 n5 =(A6+B6)/2 =D6*C6

razem =suma(C2:C6) =suma(E2:E6)

średnia =E7/C7


Średnia harmoniczna

jest odwrotnością średniej arytmetycznej z odwrotności wartości zmiennych

jest stosowana wówczas, kiedy wartości zmiennej podane są w jednostkach względnych, np.:– gęstość zaludnienia (osoby na km2)– spożycie artykułu X na 1 osobę


Średnia harmoniczna - wzory

N

1i ix1

NH

k

1ii

i

nx1N

H


Średnia harmoniczna - przykład

Gęstość zaludnienia w dwóch 60 tys. miastach wynosiła kolejno 400 osób/km2, 600 osób/km2. Ile wynosi średnia gęstość zaludnienia?

2osób/km 4805

2400

5

1200

1

2

120023

2

6001

4001

2H


Średnia harmoniczna a arytmetyczna (przykład M. Sobczyka)

Zastosowanie średniej arytmetycznej w celu obliczenia przeciętnej gęstości daje następujący wynik:

2osób/km 5002

1000

2

600400x

Wynik ten jest nieprawidłowy, ponieważ każde z miast zajmuje różną powierzchnię:

22

22

km 100osób/km 600:osób 000 60

km 150osób/km 400 :osób 000 60

a zatem:22 osób/km 084km 250 :osób 000 120


Średnia harmoniczna - drugi przykład

państwo gęstość zaludnienia

Estonia 24

Litwa 45

Łotwa 30

2osób/km 4,130333,00400,00222,0

3

301

451

241

3H

Gęstość zaludnienia w trzech nadbałtyckich republikach w końcu 1936 roku

Źródło: Mały Rocznik Statystyczny 1939, s. 16.


Średnia harmoniczna - formuła

xi średnia harm. =średnia.harmoniczna(A2:A6)

x1

x2

x3

x4

x5


Wprowadzenie do formuł logicznych

=jeżeli( ; ; )

test logiczny

wartość jeżeli prawda

wartość jeżeli fałsz

Wartość prawdy lub fałszu wyrażona tekstem powinna być ujęta w cudzysłowie


Prosty przykład działania formuły logicznej jeżeli

10 15 =jeżeli(A1>B1;”zgadza się”;”nie pasuje”)

10 10 =jeżeli(A2>B2;”zgadza się”;”nie pasuje”)

14 12 =jeżeli(A 3>B3;”zgadza się”;”nie pasuje”)

[C1] nie pasuje

[C3] zgadza się

[C2] nie pasuje


Prosty przykład działania formuły logicznej jeżeli

10 15 =jeżeli(A1+B1=20;100;1)

10 10 =jeżeli(A2+B2=20;100;1)

14 12 =jeżeli(A3+B3=20;100;1)

[C1] 1

[C3] 1

[C2] 100



xi 1/xi

104 =1/A2

90 =1/A3

96 =1/A4

66 =1/A5

liczebność (N) =ile.liczb(A2:A5)

suma odwrotności wart. cechy ( ix

1) =suma(B2:B5)

średnia harmoniczna =B6/B7

Czechosłowacja

Polska

Rumunia

Węgry

[B8] 86,4



xi 1/xi

104 =1/A2

90 =1/A3

96 =1/A4

=1/A5



1) =suma(B2:B5)


Czechosłowacja

Polska

Węgry

#DZIEL/0!

#DZIEL/0!

#DZIEL/0!



xi 1/xi

104 =jeżeli(A2=0;0;1/A2)

90 =jeżeli(A3=0;0;1/A3)

96 =jeżeli(A4=0;0;1/A4)

66 =jeżeli(A5=0;0;1/A5)



1) =suma(B2:B5)


Czechosłowacja

Polska

Rumunia

Węgry

[B8] 86,4



xi 1/xi

104 =jeżeli(A2=””;””;1/A2)

90 =jeżeli(A3=””;””;1/A3)

96 =jeżeli(A4=””;””;1/A4)

=jeżeli(A5=””;””;1/A5)


suma odwrotności wart. cechy (ix

1) =suma(B2:B5)


Czechosłowacja

Polska

Węgry

[B8] 96,3


Dominanta

jest to wartość zmiennej, której odpowiada największa liczba spostrzeżeń lub wartość zmiennej, dookoła której grupują się najgęściej spostrzeżenia (drugie określenie odnosi się przede wszystkim do cechy ciągłej)

jej wartość dla szeregów strukturalnych przedziałowych jest szacowana


Warunki obliczania dominanty

badany rozkład wartości cechy ma jeden ośrodek dominujący

asymetria rozkładu jest umiarkowana przedział, w którym występuje

dominanta, oraz sąsiadujące z nim przedziały mają te same rozpiętości


Ustalanie dominanty w szeregu wyliczającym i punktowym

3 6 3 5 1 4 1 3 2 0 2 2 5 4 4 3

0 1 1 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 5 5 6

wartość najczęstsza: 3

xi ni

0 11 22 33 44 35 26 1

razem 16


Ustalanie dominanty w szeregu przedziałowym x0i-x1i ni

40-45 145-50 350-55 655-60 460-65 2razem 16

Przedział zawierający wartość dominującą

0D1DD

D1DD1DD

1DD0D

xxh

h)n(n)n(n

nnxD(x)

Największa liczebność


Obliczanie dominanty z szeregu przedziałowego

x0i-x1i ni

40-45 145-50 350-55 655-60 460-65 2razem 16

53D(x)5

1550D(x)

523

350D(x)

50)(554)(63)(6

3650D(x)


Obliczanie dominanty bez automatyzacji

0ix 1ix in dominanta

X01 X11 n1

X02 X12 n2

X03 X13 n3 =A4+(C4-C3)/((C4-C3)+(C4-C5))*(B4-A4)

X04 X14 n4

X05 X15 n5

założenie: n3 jest największą liczebnością cząstkową

D1DD1DD

1DD0D h

)n(n)n(n

nnxD(x)


Obliczanie dominanty z automatyzacją

0ix 1ix in dominanta

X01 X11 n1

X02 X12 n2=jeżeli(C3=max($C$2:$C$6);A3+(C3-C2)/((C3-C2)+(C3-C4))*(B3-A3);0)



X05 X15 n5

dominanta =suma(D3:D5) lub =max(D3:D5)

Jeżeli n2 jest największe wśród poszczególnych n, to wartość dominanty będzie w komórce D3 (w komórce D4 i D5 wartość 0)


Charakterystyka mediany

Mediana jest wartością cechy (zmiennej), która dzieli badaną zbiorowość na dwie połowy, co oznacza, iż u 50% jednostek statystycznych wartości cechy są niższe od mediany a u 50% jednostek statystycznych są wyższe.


Charakterystyka mediany Medianę można stosować jako miarę

charakteryzującą nie tylko rozkłady jednomodalne, ale także bimodalne, wielomodalne, skrajnie asymetryczne i siodłowe.

Przeciętną tę można wykorzystać w charakterystyce szeregów strukturalnych dla cechy ciągłej lub quasi ciągłej, mających otwarte przedziały klasowe.


Wartość środkowa - mediana

42,5 47,5 48,0 49,2 50,1 50,5 52,0 53,5 54,1 55,0 56,4 56,4 56,9 60,0 62,0 62,5

48,0 54,1 55,0 53,5 47,5 42,5 50,5 52,0 56,4 50,1 62,0 60,0 49,2 56,9 56,4 62,5

8,532

1,545,53

Me

42,5 47,5 48,0 49,2 50,1 50,5 52,0 53,5 54,1 55,0 56,4 56,4 56,9 60,0 62,0

5,53Me

parzystejest Ngdy ,)(2

1

enieparzystjest Ngdy ,

122

2

1

nn

n

xxMe

xMe

=mediana(A1:O1)


Mediana i szereg kumulowany - wzory

MeMeMe

MeMe

k

ii

Me

xxh

hn

nN

xMeQ

01

1

102

2

x 0 i-x 1 i n i n k u m .

x 0 1 -x 1 1 n 1 n 1

x 0 2 -x 1 2 n 2 n 1 + 2

x 0 3 -x 1 3 n 3 n 1 + 2 + 3

x 0 4 -x 1 4 n 4 n 1 + 2 + 3 + 4

x 0 5 -x 1 5 n 5 n 1 + 2 + 3 + 4 + 5

ra z e m in ×

2

N


Obliczanie medianyx0i-x1i ni nskum.

40-45 1 145-50 3 450-55 6 1055-60 4 1460-65 2 16razem 16 ×

2

16

3,53533

1050

6

2050

3,533

1050

6

20505

6

4505

6

4850

)5055(6

42

16

50

31

2

2

2

MeQ

MeQ

MeQ


Obliczanie mediany cd.

x0i-x1i ni nskum.

8-16 6 616-24 5 1124-32 3 1432-40 1 1540-48 1 16razem 16 ×

2

16

2,19195

16168

5

2168

5

6816

)1624(5

62

16

16

51

2

2

MeQ

MeQ


Obliczanie kwartyla I

8,464624

45455

24

9455

24

152445

)4550(24

154

96

45

2421

1

1

Q

Q

wiek liczebność liczeb. kum.

40-44 15 15

45-49 24 39

50-54 22 61

55-59 16 77

60-64 6 83

65-69 6 89

70-74 4 93

75 i więcej 3 96

razem 96


Obliczanie kwartyla III

4,585816

55555

16

11555

16

617255

)5560(16

614963

55

167

3

3

Q

Q

wiek liczebność liczeb. kum.

40-44 15 15

45-49 24 39

50-54 22 61

55-59 16 77

60-64 6 83

65-69 6 89

70-74 4 93

75 i więcej 3 96

razem 96


Zasady wykresu skrzynkowego - pudełkowego

31

3311

3311

31

13

)5,1()5,1(

)3()5,1()3()5,1(

)3()3(

QxQ

QQxQQQxQ

QQxQQQQxQQ

QQxxQQ

QQQ

i

ii

ii

ii

ekstremalne

odstające

Rozstęp międzykwartylowy (ćwiartkowy)

typowe


nietypowe ale nieodstające

Wykres skrzynkowy - pudełkowy42,5 47,5 48,0 49,2 50,1 50,5 52,0 53,5 54,1 55,0 56,4 56,4 56,9 60,0 62,0 62,5


II wykres skrzynkowy - pudełkowy42,5 47,5 48,0 49,2 50,1 50,5 52,0 53,5 54,1 55,0 56,4 56,4 56,9 60,0 62,0 62,5 20,0 71,0 83,0 100,0


Intensywność zgonów niemowląt w państwach europejskich w 2008 roku

Formuła logiczna „oraz”

Zwraca wartość „Prawda”, jeśli wszystkie argumenty mają wartość „Prawda”; zwraca wartość „Fałsz”, jeśli dowolny argument ma wartość „Fałsz”.

=oraz( ; )Test drugi

Test pierwszy


Formuła logiczna „oraz” cd.

16 15 =oraz(A1>15;B1<20)

10 10 =oraz(A2>15;B2<20)

17 24 =oraz(A3>15;B3<20)

[C1] Prawda

[C2] Fałsz

[C3] Fałsz


Obliczanie mediany bez automatyzacji

0ix 1ix in kum.n mediana

X01 X11 n1 n1

X02 X12 n2 n1+2

X03 X13 n3 n1+2+3

X04 X14 n4 n1+2+3+4 =A5+(C7/2-D4)/C5*(B5-A5)

X05 X15 n5 n1+2+3+4+5

razem =suma(C2:C6)

Założenie: wartość N/2 znajduje się w szeregu kumulowanym pomiędzy n1+2+3 a n1+2+3+4

MeMeMe

MeMe

k

ii

Me

xxh

hn

nN

xMeQ

01

1

102

2


Założenie: w przedziale x04-x14 znajduje się mediana

Obliczanie medianyz automatyzacją

0ix 1ix in kum.n mediana

X01 X11 n1 =C2=jeżeli($C$7/2<D2;A2+$C$7/2/C2*(B2-A2);0)

X02 X12 n2 =D2+C3=jeżeli(oraz($C$7/2>D2;$C$7/2<D3);A3+($C$7/2-D2)/C3*(B3-A3);0)




razem =suma(C2:C6)


Przeciętne

Documents

Transcript of Przeciętne