1

Politechnika Poznańska

Wydział Informatyki

STRESZCZENIE ROZPRAWY DOKTORSKIEJ

mgr inż. Xin Chen

„Wybrane zagadnienia szeregowania zadań na procesorach równoległych

w trybie online”

(„Selected Problems of Online Scheduling on Parallel Machines”)

promotor: dr hab. inż. Małgorzata Sterna

Problem szeregowania zadań, który należy do klasycznych zagadnień

rozważanych m.in. w ramach optymalizacji kombinatorycznej i badań operacyjnych,

dotyczy przydziału ograniczonych zasobów (np. maszyn) do zbioru zadań, w celu

optymalizacji jednego lub kilku kryteriów. Problematyka ta została w pewnym sensie

zainspirowana przez rzeczywiste problemy występujące w przemyśle, i szerzej w

gospodarce, a następnie stała się przedmiotem szeroko zakrojonych badań w ramach

różnych dziedzin: wspomnianych już badań operacyjnych, badań systemowych, nauk

o zarządzaniu, informatyki itd. W trakcie długiej historii teorii szeregowania zadań

zaproponowano szereg modeli teoretycznych, inspirowanych rzeczywistymi

środowiskami produkcyjnymi i praktycznymi zastosowaniami, wzbogacając literaturę

przedmiotu wieloma interesującymi i wartościowymi rezultatami.

Badania nad zagadnieniami szeregowania zadań dotykają dwóch różnych aspektów o

charakterze teoretycznym z jednej strony i o charakterze praktycznym z drugiej.

Stosując pewne uproszczenie można uznać, że teoretycy zajmują się między innymi

proponowaniem nowych modeli opartych o obserwację świata rzeczywistego, ich

analizą z użyciem różnego rodzaju metod oraz proponowaniem algorytmów

rozwiązujących wyekstrahowane problemy. Natomiast praktycy wykorzystują

podejścia wypracowane przez teoretyków, dostosowując je do specyfiki konkretnych

problemów na które napotykają w rzeczywistości, sprawdzają ich efektywność w

rozwiazywaniu tych zagadnień, także w ramach eksperymentów obliczeniowych.

Problemy szeregowania zadań mogą być klasyfikowane z różnych punktów widzenia.

Jedna z możliwych klasyfikacji zakłada podział tych zagadnień na problemy

szeregowania w trybie offline i online, w zależności od dostępności informacji na

temat zadań. W pierwszym przypadku całość informacji o zadaniach do wykonania w

analizowanym systemie jest dostępna od razu, natomiast w drugim - informacja

pojawia się stopniowo. Zagadnienia szeregowania w trybie online związane są z

dwoma podstawowymi własnościami, które mogą być nieformalnie opisane dwoma

hasłami: „niekompletność informacji” i „determinizm”. „Niekompletność informacji”

2

oznacza, że dane na temat zadań nie są dostępne z wyprzedzeniem, natomiast

„determinizm” oznacza, że zadania pojawiające się w systemie muszą zostać

natychmiastowo uszeregowane i sposób ich wykonania nie może ulec zmianie.

Jednakże obie wspomniane własności, charakterystyczne dla zagadnień szeregowania

we właściwym trybie online (ang. pure online), mogą zostać w pewnym stopniu

złagodzone prowadząc do problematyki szeregowania zadań w trybie semi-online.

Rozprawa doktorska została poświęcona analizie teoretycznej problemów

szeregowania zadań w trybie online i semi-online.

Tego typu analiza obejmuje między innymi propozycje algorytmów rozwiązujących

zagadnienia wspomnianego typu, które nazywane są odpowiednio algorytmami online

i algorytmami semi-online. Do oceny jakości tych podejść wykorzystuje się metodę

analizy porównawczej (ang. competitive analysis), która pozwala na określenie

różnicy miedzy jakością rozwiązania uzyskanego w trybie online z jakością

rozwiązania, które może zostać skonstruowane w trybie offline. W metodzie analizy

porównawczej, wydajność algorytmu online (lub semi-online) jest mierzona z użyciem

współczynnika jakości (ang. competitive ratio). Załóżmy, że J oznacza sekwencję

zadań, A algorytm szeregowania, jakość rozwiązania utworzonego przez ten

algorytm – czyli wartość kryterium (dla problemu minimalizacji lub maksymalizacji

tego kryterium), a jakość rozwiązania optymalnego dla wersji offline badanego

zagadnienia. Współczynnikiem jakości algorytmu A nazywana jest najmniejsza

wartość r taka, że dla dowolnej instancji wejściowej

(dla problemu

minimalizacji kryterium) albo

(dla problemu maksymalizacji). Jeśli

algorytm posiada współczynnik jakości r, wówczas nazywany jest algorytmem

r-konkurencyjnym (ang. r-competitive).

Ponadto, problem szeregowania zadań w trybie online lub semi-online ma dolne

ograniczenie (ang. lower bound) ρ, jeśli żaden algorytm online nie posiada

współczynnika jakości mniejszego niż ρ. Do wyznaczenia dolnego ograniczenia

problemów stosuje się metodę przeciwstawienia (ang. adversary method).

W podejściu tym dąży się do określenia trudnej sekwencji wejściowej zadań (ang.

adversary sequence), dla której żaden algorytm online nie jest w stanie skonstruować

dobrego rozwiązania (tzn. nie może osiągnąć współczynnika jakości mniejszego od

wartości dolnego ograniczenia). Podobnie, problem szeregowania zadań w trybie

online lub semi-online posiada górne ograniczenie (ang. upper bound) r, jeśli istnieje

algorytm online o współczynniku jakości r. Ponadto, jeśli algorytm online (lub semi-

online) posiada współczynnik jakości r równy dolnemu ograniczeniu problemu ρ,

wówczas jest on nazywany optymalnym (ang. optimal) lub najlepszym możliwym

(ang. best possible) algorytmem online (lub semi-online). Należy podkreślić, iż pojęcie

optymalności w kontekście algorytmów online nie oznacza, że algorytm jest w stanie

skonstruować uszeregowanie optymalne przy założeniu pełnej wiedzy o danych

problemu (rozwiązanie optymalne w trybie offline), ale oznacza jedynie, że żaden

algorytm online nie może zbudować lepszego rozwiązania. Jeśli dla określonego

problemu dolne ograniczenie jest zgodne z górnym ograniczeniem, oznacza to, że

problem posiada ścisłe ograniczenie (ang. tight bound).

3

Rozprawa doktorska rozpoczyna się krótkim wstępem do tematyki

szeregowania zadań, w szczególności zasygnalizowano w nim podział problemów na

wspomniane wcześniej kategorie: problemy typu offline, online i semi-online.

Omówiono podstawowe pojęcia z zakresu teorii złożoności obliczeniowej

wykorzystywane w pracy, prezentując m.in. klasyfikację problemów kombinatory-

cznych i metodę dowodzenia NP-zupełności opartą o transformację wielomianową.

W dalszej kolejności przedstawiono ogólną definicję problemu szeregowania zadań

wraz z notacją trójpolową ( ). W notacji tej, pole zawiera opis zbioru maszyn,

pole charakteryzuje zbiór zdań, a pole precyzuje funkcję kryterialną. Następnie

przytoczono podstawowe pojęcia związane z zagadnieniami szeregowani online tj.

współczynnik jakości, dolne ograniczenie, górne ograniczenie, optymalność

algorytmów online itd.

W kolejnym rozdziale rozprawy przedstawiono krótki przegląd literatury

związanej z poszczególnymi zagadnieniami rozważanymi w pracy. Przegląd ten

rozpoczyna się od prezentacji literatury poświęconej problemom szeregowania zadań

we właściwym trybie online (pure online), aby umożliwić ich porównanie z

problemami semi-online omówionymi w dalszej części rozdziału, w której opisano, w

szczególności, zagadnienia szeregowania w trybie semi-online z buforem (ang. with a

buffer) oraz z możliwością zmiany uszeregowania (ang. reassignment). Ponadto

przedstawiono wyniki uzyskane w literaturze dla problemu semi-online z

ograniczeniem hierarchicznym (ang. hierarchical constraint, GoS). Na koniec

omówiono tematykę szeregowania zadań z kryterium pracy spóźnionej, będącej

przykładem nieklasycznej funkcji kryterialnej.

Właściwą część rozprawy stanowią wyniki uzyskane dla trzech modeli

szeregowania zadań w trybie online i semi-online na maszynach równoległych.

Zagadnienie szeregowania zadań na maszynach równoległych (ang. parallel) oparte są

na założeniu, iż każda z maszyn dostępnych w systemie może wykonać każde z

pojawiających zadań. Maszyny identyczne (ang. identical, P) pracują z tą samą

szybkością, maszyny jednorodne (ang. uniform, Q) różnią się współczynnikiem

szybkości, natomiast prędkość maszyn dowolnych (ang. unrelated, R) zależy od

zadania, które zostaje do nich przypisane.

(1) Pierwszym problemem rozważanym w rozprawie jest problem szeregowania

zadań na maszynach równoległych w trybie semi-online z możliwością zmiany

uszeregowania zadań.

Wspomniany model zakłada osłabienie własności „determinizmu” występującej we

właściwym trybie online, dopuszczając modyfikacje pierwotnie utworzonego

uszeregowania. W problemach szeregowania z możliwością zmiany uszeregowania,

po przyjęciu do systemu wszystkich zadań i ich przypisaniu do maszyn, istnieje szansa

zmiany przypisania określonej liczby zadań (K), w celu poprawy jakości funkcji

kryterialnej. W rozprawie poddano analizie dwa konkretne problemy szeregowania

tego typu dotyczące dwóch maszyn jednorodnych bez dodatkowych ograniczeń oraz

dwóch maszyn identycznych z ograniczeniem hierarchicznym. Oba problemy

4

rozważano w kontekście minimalizacji długości uszeregowania (ang. makespan,

Cmax).

(1.1) Problem Q2|online over list, reassignment|Cmax

Dane: Dwie maszyny równoległe jednorodne M1 i M2 o różnych prędkościach

wykonywania zadań wynoszących odpowiednio 1 i s ≥ 1. Zbiór zadań J = {J1, J2, ...,

Jn} przybywających do systemu sekwencyjnie, jedno po drugim (ang. over list), co

oznacza, iż kolejne zadanie pojawia się w systemie dopiero po uszeregowaniu

poprzedniego. Każde z zadań Jj jest opisane czasem wykonywania pj.

Cel: Uszeregowanie zadań ze zbioru J na maszynach M1 i M2 w celu minimalizacji

długości uszeregowania, czyli czasu zakończenia wykonywania ostatniego z zadań na

maszynach M1, M2.

Możliwość zmiany uszeregowania: Po przypisaniu wszystkich zadań ze zbioru J do

maszyn, pojawia się informacja o zakończeniu sekwencji wejściowej, dając możliwość

zmiany uszeregowania co najwyżej K ≥ 1 zadań, gdzie K jest wartością stałą, czyli

możliwość ich przesunięcia z jednej maszyny na drugą.

Dla zdefiniowanego powyżej problemu, wykazano w rozprawie nowe dolne

ograniczenie, poprawiające wynik znany z literatury. Stosując metodę

przeciwstawiania rozwiązań udowodniono, że dolne ograniczenie wynosi:

2

2

2

2

( 1) 1+ 51

1 2

1+ 5= 2

1 2

22

1

RA

ss

s s

ss

s s

ss

s

dla poszczególnych wartości szybkości maszyny M2 (s). W dowodzie wykorzystano

niekorzystną dla algorytmów online sekwencję wejściową zadań składającą się z

pierwszych t krótkich zadań o czasie wykonywania ε, gdzie ε > 0 jest odpowiednio

małą liczbą, taką że 1t

jest liczbą całkowitą. Po przypisaniu wspomnianych t zadań

do maszyn, poddano analizie trzy przypadki – odpowiadające różnym wartościom

parametru reprezentującego szybkość maszyny s: 1+ 5

21 s , 1+ 5

22s i 2s . W

każdym przypadku udowodniono, iż żaden algorytm online nie jest w stanie osiągnąć

lepszej wydajności niż podana powyżej dla odpowiednio spreparowanej sekwencji

zadań.

Następnie, w ramach analizy górnego ograniczenia wspomnianego problem

szeregowania, zaproponowano dwa algorytmy optymalne: SMU (Slow Machine

Underloaded) i SMF (Slow Machine First) oraz algorytm online poprawiający wynik

dostępny w literaturze SMO (Slow Machine just Overloaded). We wszystkich trzech

przypadkach przedstawiono w rozprawie ideę algorytmu wraz z dowodem jego

efektywności, czyli wykazano współczynnik efektywności danej metody. Każdy z

algorytmów oparty jest o podobną ideę działania – składa się z fazy szeregowania i z

fazy zmiany uszeregowania. W pierwszej fazie, algorytm przypisuje zadania do

5

maszyn kierując się określoną strategią, natomiast w drugiej fazie przesuwa co

najwyżej K zadań pomiędzy maszynami dążąc do redukcji długości uszeregowania. W

szczególności:

(1.1.1) Algorytm SMU stara się w fazie szeregowania utrzymać wolniejszą z maszyn

niedociążoną, czyli długość uszeregowania częściowego na tej maszynie nie powinna

przekroczyć progu wynikającego z założonego współczynnika jakości (w pracy

zamieszczono precyzyjne definicje pojęcia maszyny przeciążonej i niedociążonej). W

drugiej fazie, metoda zmienia sposób wykonania jednego zadania (tzn. maszynę do

której jest ono przypisane) w celu skrócenia długości uszeregowania. W rozprawie

udowodniono, że współczynnik jakości algorytmu SMU wynosi +21

ss

dla dowolnego

współczynnika szybkości maszyny s ≥ 1. Dowód współczynnika jakości skupia się

przede wszystkim na przypadku, w którym stosunek długości uszeregowania i

naturalnego dolnego ograniczenia (wynikającego z łącznego czasu trwania zadań i

maksymalnego czasu trwania pojedynczego zadania) przekracza oczekiwaną wartość.

W tym celu udowodniono dwa lematy dotyczące własności uszeregowania, których

zachowanie zapewnia w trakcie swojego działania algorytm SMU. Na koniec

porównano jakość uzyskanego rozwiązania online z uszeregowaniem optymalnym dla

trybu offline.

Uwzględniając wykazane uprzednio dolne ograniczenie rozważanego problemu,

uzyskany wynik oznacza, że udowodniono ścisłe ograniczenie, a algorytm SMU jest

algorytmem optymalnym dla problemu Q2|online over list, reassignment|Cmax przy

założeniu, że s ≥ 2 i K ≥ 1.

(1.1.2) Algorytm SMF faworyzuje w procesie szeregowania zadań wolniejszą

maszynę, zapewniając, że konstruowane rozwiązanie posiada określone własności

istotne z punktu widzenia założonego współczynnika jakości. Następnie metoda

zmienia sposób uszeregowania dwóch zadań w celu redukcji długości uszeregowania.

W rozprawie udowodniono, że algorytm jest ρRA-konkurencyjny, prezentując definicję

współczynnika jakości ρRA, zróżnicowaną w zależności od wartości współczynnika

szybkości s. Dowód współczynnika jakości dla algorytmu SMF jest oparty o szereg

dodatkowych obserwacji oraz lematów. Wymagał wykazania między innymi dwóch

własności rozwiązania tworzonego przez metodę w fazie szeregowania, kluczowych

dla fazy zmiany uszeregowania.

Podobnie jak w przypadku algorytmu SMU, uwzględniając dolne ograniczenie

rozważanego problemu, uzyskany wynik oznacza, że algorytm SMF jest algorytmem

optymalnym dla problemu Q2|online over list, reassignment|Cmax przy założeniu, że

1 ≤ s < 2 and K ≥ 2.

(1.1.3) Wspomniane wcześniej algorytmy SMU i SMF są algorytmami optymalnymi

dla niemal wszystkich możliwych typów instancji wejściowych. Jedynym otwartym

podproblemem, dla którego nie zaproponowano dotychczas algorytmu optymalnego,

jest podproblem w którym 1 ≤ s < 2 i K = 1. Niemniej, w rozprawie przedstawiono

algorytm SMO, który nie jest w prawdzie metodą optymalną, ale charakteryzuje się

lepszym współczynnikiem jakości niż algorytmy dotychczas dostępne w literaturze. W

fazie szeregowania, metoda SMO utrzymuje szybszą maszynę w stanie niedociążenia

dopuszczając pewne przeciążenie wolniejszej z maszyn (należy podkreślić, iż definicja

6

stanu niedociążenia i przeciążenia została odpowiednio zmodyfikowana w porównaniu

do definicji użytych w analizie poprzednich algorytmów). W fazie zmiany

uszeregowania, algorytm SMO przesuwa najdłuższe z zadań pomiędzy maszynami,

jeśli tego rodzaju modyfikacja prowadzi do redukcji długości uszeregowania.

W rozprawie udowodniono, że algorytm SMO jest 2( +1)

2

s

s-konkurencyjny przy

założeniu, że 1 ≤ s < √ i K = 1, a tym samym jest bardziej efektywny niż podejścia

opisane w literaturze. Dowód przytoczonego współczynnika efektywności oparto o

technikę sprowadzenia do sprzeczności przyjmując, że górne ograniczenie nie

obowiązuje dla pewnej minimalnej instancji problemu. Szczegółowa analiza

zaproponowanego kontrprzykładu, pozwoliła na uzyskanie sprzeczności z założeniem

o minimalnym rozmiarze sekwencji zadań.

Należy podkreślić, że omówiony uprzednio algorytm SMU charakteryzuje się wyższą

wydajnością od podejść znanych z literatury, dla pozostałych zakresów wartości

parametrów problemu, czyli √2 ≤ s < 2 i K = 1. Tym samym, zaproponowane

algorytmy SMO i SMU poprawiają wyniki dostępne w literaturze dla 1 ≤ s < 2 i K = 1,

dla których to wartości parametrów ścisłe ograniczenie problemu nie zostało

dotychczas udowodnione.

(1.2) Problem P2|online over list, GoS, reassignment|Cmax

Dane: Dwie maszyny równoległe identyczne M1 i M2 o takich samych prędkościach

wykonywania zadań. Zbiór zadań J = {J1, J2, ..., Jn} przybywających do systemu

sekwencyjnie. Każde z zadań Jj jest opisane czasem wykonywania pj. Ponadto każda

maszyna i zadanie opisane są współczynnikiem hierarchii g (g = 1 lub 2), który

oznacza, że zadanie Jj może być przypisane do maszyny Mi jedynie, jeśli

współczynnik hierarchii tego zadania (gJj) jest nie mniejszy niż współczynnik

hierarchii maszyny (gMi), tzn. gJj ≥ gMi.

Cel: Uszeregowanie zadań ze zbioru J na maszynach M1 i M2 w celu minimalizacji

długości uszeregowania.

Możliwość zmiany uszeregowania: Po przypisaniu wszystkich zadań ze zbioru J do

maszyn, pojawia się informacja o zakończeniu sekwencji wejściowej, dając możliwość

zmiany uszeregowania co najwyżej K ≥ 1 zadań, gdzie K jest wartością stałą, czyli

możliwość ich przesunięcia z jednej maszyny na drugą.

Dla zdefiniowanego powyżej problemu, wykazano w rozprawie ścisłe

ograniczenie, które wynosi 1,5.

W pracy zamieszczono dowód dolnego ograniczenia problemu, oparty o analizę

niekorzystnej sekwencji wejściowej rozpoczynającej się od 1t

odpowiednio małych

zadań, o czasie trwania wynoszącym ε i współczynniku hierarchii g = 2, oraz z

pewnych zadań dodatkowych. Następnie rozważono dwa przypadki w zależności od

relacji jaka występuje między czasem zakończenie zadań przypisanych do maszyny

M1 i M2.

W ramach analizy górnego ograniczenia rozważanego problemu,

zaproponowano algorytm HMF (High hierarchy Machine First). Metoda stara się w

fazie szeregowania przypisać maksymalną możliwą liczbę zadań do maszyny drugiej

M2, w sposób zgodny z hierarchią zadań i maszyn. Następnie, w fazie zmiany

7

uszeregowania, algorytm ma możliwość przesunięcia najdłuższego zadania między

maszynami. W rozprawie zamieszczono dowód 1,5-konkurencyjności algorytmu

HMF. Dowód ten oparto ponownie o technikę sprowadzenia do sprzeczności,

wyodrębniając dwa przypadki odpowiadające sytuacjom, w której algorytm dokonuje

zmiany uszeregowania w swojej drugiej fazie, lub też pozostawia pierwotne

rozwiązanie niezmienionym. W każdym z przypadków udowodniono, że długość

uszeregowania wygenerowanego przez metodę jest nie dłuższa niż 1,5-krotność

wartości naturalnego dolnego ograniczenia problemu.

Biorąc pod uwagę, że współczynnik jakości algorytmu HMF jest zgodny z

dolnym ograniczeniem problemu, zaproponowana metoda jest algorytmem

optymalnym. Tym samym, w rozprawie, udowodniono ścisłe ograniczenie (1,5) dla

problemu P2|online over list, GoS, reassignment|Cmax, zamykając analizę teoretyczną

tego zagadnienia.

(2) Drugim problemem rozważanym w rozprawie jest problem szeregowania

zadań na maszynach równoległych w trybie semi-online z wykorzystaniem

bufora.

Wspomniany model zakłada możliwość wykorzystania w procesie szeregowania

dodatkowego zasobu w postaci bufora o ograniczonym rozmiarze (B), w którym

przechowywane są zadania przed ostatecznym przypisaniem do maszyn. W momencie

pojawienia się nowego zadania w systemie, istnieje możliwość jego natychmiastowego

uszeregowania na maszynie lub też skierowanie go do bufora w celu późniejszego

uszeregowania. Wprowadzenie bufora, prowadzi do modelu szeregowania w trybie

semi-online, oznacza bowiem relaksację własności „determinizmu” obowiązującej we

właściwym trybie online. W odróżnieniu od omówionego uprzednio modelu z

możliwością zmiany uszeregowania, który dopuszcza modyfikację raz podjętej

decyzji, model zakładający obecność bufora nie wymaga podjęcia decyzji o sposobie

wykonania zadania od razu po jego pojawieniu się w systemie – decyzja taka może

zostać podjęta później, w szczególności po zakończeniu wejściowej sekwencji zadań.

W rozprawie poddano analizie dwa konkretne problemy szeregowania tego typu

dotyczące dwóch maszyn identycznych lub jednorodnych bez dodatkowych

ograniczeń oraz dwóch maszyn identycznych z ograniczeniem hierarchicznym.

Podobnie jak poprzednio, oba problemy rozważano w kontekście minimalizacji

długości uszeregowania.

(2.1) Problem X|online over list, buffer|Cmax (gdzie X{P, P3, Q})

Dane: Zbiór maszyn równoległych identycznych albo jednorodnych M = {M1, M2, ...,

Mm} o takich samych albo różnych prędkościach wykonywania zadań. Zbiór zadań J =

{J1, J2, ..., Jn} przybywających do systemu sekwencyjnie. Każde z zadań Jj jest

opisane czasem wykonywania pj.

Cel: Uszeregowanie zadań ze zbioru J na maszynach M1 i M2 w celu minimalizacji

długości uszeregowania.

Bufor: W odróżnieniu od właściwego trybu online, podczas procesu szeregowania

zadań, wykorzystywany jest bufor o stałym rozmiarze B umożliwiający chwilowe

8

przechowanie zadań przed ich ostatecznym przypisaniem do maszyn. Każde nowo

przybyłe zadanie, może zostać obsłużone na dwa sposoby: poprzez przypisanie go do

jednej z maszyn lub poprzez zmagazynowanie w buforze w celu późniejszego

przypisania. Jeśli w chwili pojawienia się nowego zadania w systemie bufor jest pełen,

jedno z zadań musi zostać z niego usunięte i uszeregowane na maszynie, zanim

możliwe będzie wprowadzenie do bufora nowego zadania. Należy podkreślić, iż raz

dokonane przypisanie zadania do maszyny nie może ulec zmianie: zadanie takie nie

może zostać przesunięte do bufora albo skierowane na inną maszynę. W momencie

zakończenia sekwencji wejściowej wszystkie zadania znajdujące się w buforze muszą

zostać przypisane do maszyn.

Omówiony powyżej problem szeregowania na maszynach identycznych

(P|online over list, buffer|Cmax) był już analizowany w literaturze – wykazano jego

dolne ograniczenie oraz zaproponowano kilka algorytmów online. Jednakże dostępne

rezultaty mogą zostać poprawione z dwóch punktów widzenia, poprzez

zaproponowanie algorytmów wykorzystujących bufor o mniejszym rozmiarze przy

zachowaniu tego samego współczynnika jakości lub posiadających lepszy

współczynnik jakości przy takim samym rozmiarze bufora.

W rozprawie zastosowano obie koncepcje, proponując trzy algorytmy poprawiające

wyniki dostępne w literaturze: BUM (algorithm for problem with a BUffer on M

identical machines), BUT (algorithm for problem with a BUffer on Three identical

machines) oraz BUU (algorithm for problem with a BUffer on Uniform machines).

Każdy ze wspomnianych algorytmów składa się z dwóch etapów: iteracji oraz

finalizacji. W fazie iteracyjnej, algorytm umieszcza w buforze B początkowych zadań,

a następnie porównuje najmniejsze z nich z nowo przybyłym zadaniem. Każdorazowo

metoda umieszcza większe z tych zadań w buforze, natomiast mniejsze jest przypisane

do maszyny zgodnie z pewną przyjętą strategią. W fazie finalizacji, algorytm

szereguje zadania znajdujące się dotychczas w buforze na maszynach tak jak w trybie

offline.

(2.1.1) Algorytm BUM pozwala na rozwiązanie problemu szeregowania na

maszynach równoległych identycznych, P|online over list, buffer|Cmax, przy założeniu,

że liczba maszyn jest wystarczająco duża (m ≥ 23) z wykorzystaniem bufora o

rozmiarze ⌈ ⌉. W fazie iteracyjnej metoda przechowuje ⌈ ⌉ największych zadań

w buforze, równocześnie zapewniając możliwość ich późniejszego uszeregowania na

określonej maszynie, poprzez zachowanie założonego współczynnika jakości w

trakcie szeregowania pozostałych zadań. Mianowicie, algorytm przypisuje zadania do

maszyn w taki sposób, że ich obciążenie jest co najwyżej 1,5-krotnie większe od

naturalnego dolnego ograniczenia tego problemu. W fazie finalizacji, metoda

przypisuje m największych zadań oczekujących w buforze do odpowiednich maszyn, a

pozostałe zadania przydziela kierując się strategią zachłanną.

Opierając się na szeregu pomocniczych obserwacji i lematów, w rozprawie

udowodniono, że współczynnik jakości algorytmu BUM wynosi 1,5. Metoda

wykazuje więc taką samą efektywność jak podejścia znane z literatury. Jednakże

algorytm BUM wykorzystuje mniejszy bufor niż konkurencyjne podejścia, a tym

samym w lepszy sposób gospodaruje tym dodatkowym zasobem.

9

(2.1.2) Drugi z zaproponowanych algorytmów, poprawiający wyniki dostępne w

literaturze, algorytm BUT, jest przeznaczony do rozwiązywania problemu

szeregowania na trzech maszynach równoległych identycznych z buforem, P3|online

over list, buffer|Cmax.

Idea metody BUT i jej struktura jest zbliżona do algorytmu BUM, z tym że w fazie

iteracyjnej w buforze przechowywanych jest 6 największych zadań, a pozostałe

zadania przypisywane są do maszyn dysponujących odpowiednio dużą rezerwą

czasową. W fazie finalizacji, BUT kieruje 6 zadań znajdujących się w buforze na

maszyny, podejmując decyzję o maszynie docelowej na podstawie rozmiaru zadania.

W rozprawie wykazano, że metoda BUT posiada współczynnik jakości

, równy

dolnemu ograniczeniu tego problemu. Dotychczas dostępny w literaturze algorytm

optymalny wykorzystywał w procesie konstrukcji uszeregowania bufor o rozmiarze 9.

Nowe podejście pozwala na redukcję rozmiaru bufora do zaledwie 6, przy zachowaniu

optymalnego współczynnika jakości.

(2.1.3) Ostatni z zaproponowanych algorytmów – metoda BUU – przeznaczony jest

do rozwiązywania problemu szeregowania na maszynach równoległych jednorodnych

z buforem - Q|online over list, buffer|Cmax, w którym maszyny różnią się prędkością

wykonywania zadań (si). Celem szeregowania jest konstrukcja rozwiązania

minimalizującego długość uszeregowania z wykorzystaniem bufora o rozmiarze m.

Podobnie jak w przypadku maszyn identycznych, algorytm BUU działa w dwóch

fazach. W fazie iteracyjnej metoda w pełni wykorzystuje bufor o rozmiarze m, a w

fazie finalizacji przesuwa zadania z bufora na maszyny kierując się dwoma

strategiami, zależnie od rozmiaru największego z nich.

W pracy wykazano, że współczynnik jakości algorytmu BUU wynosi 2 -

+ ε.

Poprawiono tym samym wynik dostępny w literaturze, w której omówiono metodę

wykorzystującą bufor o tym samym rozmiarze m, ale charakteryzującą się gorszym

współczynnikiem jakości 2 + ε.

(2.2) Problem P2|online over list, GoS, buffer|Cmax

Podobnie jak w przypadku modelu z możliwością zmiany uszeregowania zadań,

badania nad zagadnieniem szeregowania z buforem uzupełniono również o analizę

problemu z dodatkowym ograniczeniem – ograniczeniem hierarchicznym.

Dane: Dwie maszyny równoległe identyczne M1 i M2 o takich samych prędkościach

wykonywania zadań. Zbiór zadań J = {J1, J2, ..., Jn} przybywających do systemu

sekwencyjnie. Każde z zadań Jj jest opisane czasem wykonywania pj. Ponadto każda

maszyna i zadanie opisane są współczynnikiem hierarchii g (g = 1 lub 2). Zgodnie z

przyjętymi założeniami, maszyna M1 może wykonać każde z zadań zgłoszonych do

systemu, natomiast maszyna M2 może przetwarzać jedynie zadania o współczynniku

hierarchii 2, tym samym zadania o współczynniku hierarchii 1 muszą być wykonane

na maszynie M1.

Cel: Uszeregowanie zadań ze zbioru J na maszynach M1 i M2 wykorzystujące bufor o

rozmiarze B w celu minimalizacji długości uszeregowania.

10

W rozprawie udowodniono, że dolne ograniczenie przedstawionego problemu

wynosi 1,5, posługując się niekorzystną sekwencją zadań podobną do sekwencji użytej

w badaniach nad analogicznym problemem dopuszczającym zmianę uszeregowania

(pkt 1.2). Ponadto zaproponowano algorytm LJL (Largest Job Last) wykorzystujący

bufor o jednostkowym rozmiarze. Metoda przechowuje największe zadanie o

współczynniku hierarchii 2 w buforze, a po zakończeniu sekwencji wejściowej

przypisuje je do maszyny charakteryzującej się najmniejszym obciążeniem.

W rozprawie udowodniono, stosując metodę przeciwstawiania rozwiązań, że

współczynnik jakości nowego algorytmu wynosi 1,5 i jest równy dolnemu

ograniczeniu problemu. Tym samym wykazano, że metoda LJL jest algorytmem

optymalnym i określono ścisłe ograniczenie dla problemu P2|online over list, GoS,

buffer|Cmax.

(3) Trzecim problemem rozważanym w rozprawie jest problem szeregowania

zadań na maszynach równoległych w trybie online z kryterium pracy spóźnionej.

W zagadnieniach szeregowania zadań z kryterium pracy spóźnionej (ang. late work,

Y) zadania Jj opisane są nie tylko czasem trwania, ale również oczekiwanym czasem

zakończenia ich wykonywania dj (ang. due date). Jeśli w zaproponowanym

rozwiązaniu, zadanie kończy się po oczekiwanym terminem dj, w trakcie oceny

jakości takiego rozwiązania pojawia się czynnik kary, równy rozmiarowi spóźnionej

części zadania, wykonanej po dj. Celem szeregowania z kryterium pracy spóźnionej

jest minimalizacja łącznego rozmiaru spóźnionych części wszystkich zadań.

W rozprawie rozważano najprostszy model szeregowania zadań z kryterium pracy

spóźnionej, zakładający wspólny żądany termin zakończenia wykonywania wszystkich

zadań, dj = d. Badania rozpoczęto od podstawowego modelu, ponieważ tego typu

zagadnienia nie były dotychczas rozważane w trybie online. Przytoczono dowód

binarnej NP-trudności wersji offline oparty o transformację wielomianową problemu

podziału zbioru. Następnie zaproponowano metodę oceny jakości algorytmów online

minimalizujących pracę spóźnioną. W przypadku tej funkcji kryterialnej, optymalna

wartość pracy spóźnionej w trybie offline może być zerowa, jeśli wszystkie zadania

zostaną ukończone przed oczekiwanym terminem ich wykonania. W takiej sytuacji nie

można określić współczynnika jakości wyrażonego jako stosunek niezerowej pracy

spóźnionej wyznaczonej przez algorytm online do zerowej wartości optymalnej. W

rozprawie zaproponowano wykorzystanie w procesie analizy algorytmów online

koncepcji pracy wczesnej, w której dąży się do maksymalizacji części zadań

wykonanych przed żądanym terminem zakończenia wykonywania. Ponieważ praca

wczesna przyjmuje wyłącznie niezerowe wartości (poza przypadkiem trywialnym)

umożliwia analizę efektywności algorytmów online.

W ramach badań na zagadnieniami minimalizacji kryterium pracy spóźnionej w trybie

online rozważono trzy problemy szeregowania online i semi-online.

(3.1) Problem P|online over list, dj = d|Y

Dane: Zbiór maszyn równoległych identycznych M = {M1, M2, ..., Mm} o takich

samych prędkościach wykonywania zadań. Zbiór zadań J = {J1, J2, ..., Jn}

11

przybywających do systemu sekwencyjnie. Każde z zadań Jj jest opisane czasem

wykonywania pj oraz wspólnym żądanym terminem zakończenia wykonywania dj = d.

Cel: Uszeregowanie zadań ze zbioru J na maszynach M1 i M2 w celu minimalizacji

pracy spóźnionej.

Dla zarysowanego powyżej problemu szeregowania we właściwym trybie

online zaproponowano algorytm EFF (Extended First Fit), wykorzystujący

podobieństwo analizowanego modelu do problemu pakowania. Idea metody opiera się

na przypisaniu nowego zadania do pierwszej z maszyn która pozwala na jego

wykonanie, z uwzględnieniem założonego współczynnika jakości. W rozprawie

udowodniono, że współczynnik jakości algorytmu EFF wynosi 22 2 1 1

1

m m

m

, gdzie m

oznacza liczbę maszyn w systemie. Dowód skupia się na analizie dwóch

nietrywialnych przypadków, w których obciążenie wszystkich maszyn nie przekracza

oczekiwanego czasu zakończenia wykonywania d oraz, przeciwnie, wszystkie

maszyny kończą przetwarzanie zadań po tym czasie. W pozostałych przypadkach

wykazano, że algorytm online konstruuje rozwiązanie równoważne rozwiązaniu

osiągniętemu w trybie offline.

Następnie udowodniono, że rozważany problem szeregowania zadań posiada

dolne ograniczenie równe 5 1 1.236 . W dowodzie wykorzystano klasyczną

niekorzystną sekwencję wejściową zadań, składającą się z 2 zadań o rozmiarze 1, albo

z 3 zadań o rozmiarach 1, 1, 2, znaną z analizy zagadnień szeregowania z kryterium

długości uszeregowania. Wartość wspólnego żądanego terminu zakończenia

wykonywania ustalono na √

. Tym samym, zaproponowany w rozprawie

algorytm EFF jest algorytmem optymalnym dla problemu szeregowania zadań na

dwóch maszynach identycznych P2|online over list, dj = d|Y.

(3.2) Problem P2|online over list, dj = d, sum|Y

Drugim zagadnieniem rozważanym w trybie semi-online z kryterium pracy spóźnionej

był problem szeregowania zadań na dwóch maszynach identycznych, ze wspólnym

żądanym terminem zakończenia wykonywania, w którym dostępna jest informacja o

łącznym czasie trwania wszystkich zadań (sum). W modelu tym nastąpiło więc

osłabienie własności „niekompletności informacji” występującej w modelu online.

W rozprawie udowodniono ścisłe ograniczenie wspomnianego problemu, które wynosi

. Oznacza to, iż wykazano dolne i górne ograniczenie problemu, których wartości się

pokrywają. Dowód dolnego ograniczenia oparto o niekorzystne sekwencje zadań

zawierające zadania o czasie trwania (1, 1, 2, 2) oraz (1, 1, 1, 3). W ramach analizy

górnego ograniczenia zaproponowano algorytm OMF (One Machine First) oraz

udowodniono, że jego współczynnik jakości wynosi

, wykazując tym samym, że jest

to algorytm optymalny.

(3.3) Problem P2|online over list, dj = d, OPT|Y

Stosując podobne podejście jak w przypadku wcześniej omówionego problemu, w

rozprawie zbadano problem szeregowania zadań z kryterium pracy spóźnionej na

dwóch maszynach identycznych, w trybie semi-online, przy założeniu, że dostępna

12

jest a’priori dodatkowa informacja o optymalnej wartości kryterium (OPT).

Udowodniono ścisłe ograniczenie tego problemu, które wynosi również

. Stosując

analogiczne do uprzednio wspomnianych niekorzystne sekwencje zadań, z wartością

optymalną kryterium OPT=6, udowodniono dolne ograniczenie problemu. Dowodząc

górnego ograniczenia zaproponowano algorytm MOMF (Modified One Machine First)

będący adaptacją metody OMF.

Poza zarysowanymi powyżej wynikami dotyczącymi trzech modeli

szeregowania zadań na procesorach równoległych w trybie online i semi-online,

rozpraw doktorska zawiera również wyniki dodatkowe, dotyczące między innymi

porównania analizowanych zagadnień.

W pracy dokonano porównania zagadnień szeregowania semi-online z możliwością

zmiany uszeregowania z zagadnieniem szeregowania z wykorzystaniem bufora. Na

przykładzie konkretnych instancji tych problemów, pokazano, iż pomimo dużego

podobieństwa tych modeli, nie są to modele identyczne, w szczególności biorąc pod

uwagę możliwość uzyskania przez algorytm semi-online rozwiązania optymalnego dla

trybu offline. Z drugiej strony oba zagadnienia analizowane są w podobny sposób, w

celu określenia ich dolnych oraz górnych ograniczeń. Wykazane w rozprawie

podobieństwa i różnice między wspomnianymi modelami szeregowania zadań w

trybie semi-online wskazują na interesujący kierunek dalszych badań, które mogłyby

zostać poświęcone usystematyzowanej analizie ich wzajemnych powiązań.

Następnie, w rozprawie zestawiono ze sobą problematykę szeregowania zadań na

maszynach równoległych z kryterium długości uszeregowania oraz z kryterium pracy

spóźnionej. Wskazano na pewne podobieństwa i różnice pomiędzy tymi modelami,

podkreślając, że ich systematyczne zbadanie również stanowi interesujący kierunek

dalszych prac.

Podsumowując rozprawę, zebrano i skomentowano wszystkie uzyskane

rezultaty. Wyniki przedstawione w pracy pokazują, iż dalsze badania nad problemami

szeregowania w trybie online – poza wspomnianymi wcześniej propozycjami –

powinny podążać dwoma równoległymi torami. Z jednej strony istnieje możliwość

poprawy rozwiązań dostępnych w literaturze poprzez propozycję algorytmów

charakteryzujących się wyższą wydajnością w sensie jakości rozwiązań lub ilości

użytych zasobów. Z drugiej strony bogactwo modeli szeregowania zadań, które nie

były dotychczas rozważane w trybie online, stwarza szansę uzyskiwania wielu

całkowicie nowych rezultatów.