Programowanie obiektoweIII rok EiT

dr inż. Jerzy KotowskiWykład XII

Program wykładu

• Język C++

• Przykład problemu– Model matematyczny zadania symulacji– Transformacja zadania do problemu statycznej

optymalizacji wypukłej bez ograniczeń– Opis algorytmu rozwiązania zadania

optymalizacji – metoda Newtona– Opis programu obliczeniowego

• Podstawy języka JAVA

• Klasówka

Literatura

• Klempous R., Kotowski J. (1988). Some models for Water Distribution Systems. Journal of Computational and Applied Mathematics, 26, 257-269.

• Klempous R., Kotowski J. (1991). Nonlinear transport network design. Journal of Computational and Applied Mathematics, 35, 269-275.

• Klempous R., Kotowski J., Nikodem J. (1994). System Approach to the Water Distribution Problems In: Proceedings of the Twelfth European Meeting on Cybernetics and Systems Re search (Vienna, Austria), 957-963.

• Symfonia C++, Jerzy Grębosz, Oficyna Kallimach, Kraków 1999

Przykład problemu

Symulacja sieci

wodociągowej

Model matematyczny sieci wodociągowej

• Model matematyczny łuku sieci – prawo Bernoulli’ego

x

ky

d

midyykx iiiii ,,1 ,)sgn(2

d

y

x

Model matematyczny sieci wodociągowej

• Prawa Kirchhoff’a – I prawo – zachowania masy– II prawo – równania oczkowe

A y B x 0

• Oznaczenia yRm – wektor przepływów w łukachxRm – wektor spadków ciśnień w łukachRw – wektor zapotrzebowań w węzłachA – macierz incydencji, A = A(w-1)xm, aij = 0,1,-1

B – macierz oczkowa, B = B(m-w+1)xm, bij = 0,1,-1

A y B x 0

Model matematyczny sieci wodociągowej - własności

• Układ m algebraicznych równań nieliniowych z m niewiadomymi:

B x 0midyykx iiiii ,,1 ,)sgn(2

A y A y 0)( yxB

• Jak to rozwiązać?

Przykład 1

w = 4 / 0 – pompownia

m = 4 m-w+1 = 1 / jedno oczko • I prawo Kirchhoffa

y1 – y2 – y3 = 1

y2 - y4 = 2

y3 + y4 = 3

• III prawo Kirchhoffa x2 – y3 + x4 = 0

• Cztery równania z czterema niewiadomymi y1, y2, y3, y4

P

1

2 3

1

2 3

4

1100

1010

0111

A

1110 B

Problem optymalizacji

• Idea (podstawy fizyki):Minimalizować straty przy spełnieniu warunku zachowania masy

• Sformułowanie problemu dla przypadku sieci transportowych:

minyf )(

A y

n

iiiiiii

n

iii

n

ii dyyykyxyfyf

1

3

11

)sgn()()(

(*)

Przykład 2 – z życia (druty)

R1

I1

U1

R2

I2

U2

I0

I1+I2 = I0 I prawo K.

U1-U2=0 II prawo K.

Ui = RiIi, i=1,2

Mi = UiIi, i=1,2

M = M1 + M2 min

I1 + I2 = I0

min2102

211

10211

22111

IIRIR

IIMIM

IMIMIM

010211 IIRIR

02211 IRIR

021 UU

Warunki Kuhna-Tuckera

• II prawo Kirchhoffa nie pojawiło się przypadkiem.• Prawo to można wyprowadzić jako pewną transformację

warunków optymalności Kuhna-Tuckera dla zadania (*):

• Lagrangian: L(y,)=f(y)+ Tg(y)– gdzie yRn

– a g(y)Rm to ograniczenia w postaci g(y)=0

• Warunki Kuhna-Tuckera:jeżeli y* jest optymalnym rozwiązaniem zadania (*) to wtedy

0

y

L

0L

Warunki Kuhna-Tuckera dla

zadania (*)minyf )(

A y )()(),( AyyfyL T

0

TA

y

f

y

L

0

AyL

I prawo Kirchhoffa

Teoria grafów: BAT=0

xxy

yf

y

fi

i

i 33)(

/B

03

BxBAy

fB

y

LB T 0Bx

II prawo Kirchhoffa

Wniosek

• W celu symulacji cyfrowej rozpływów w nieliniowej sieci transportowej (gaz, woda, etc.) można zamiast rozwiązywania układu równań nieliniowych typu I i II prawo Kirchhoffa rozwiązać problem optymalizacji statycznej z wypukłą funkcją celu oraz z liniowymi ograniczeniami równościowymi (I prawo Kirchhoffa).

• Problem optymalizacji można zredukować.• Idea redukcji polega na rozwikłaniu ograniczeń

liniowych i dokonaniu odpowiednich podstawień w funkcji celu.

• Liczba zmiennych w problemie zredukowanym jest równa liczbie oczek w sieci (metoda prądów oczkowych)

• Problem zredukowany jest wypukłym zadaniem optymalizacji statycznej i może być rozwiązywany z wykorzystaniem wielu metod optymalizacji statycznej.

Zmodyfikowana metoda Newtona• Własności metody

– Służy do rozwiązywania zadań programowania matematycznego bez ograniczeń

– Wymaga znajomości gradientu i hesjanu optymalizowanej funkcji celu

• Schemat metody1. Rozwinąć funkcji celu w otoczeniu bieżącego optimum y* w szereg

Taylora2. Obciąć rozwinięcie należy na trzecim składniku (forma kwadratowa)3. Wyznaczyć minimum otrzymanej formy kwadratowej y’4. Przyjąć d=y’-y* jako nowy kierunek poszukiwać dla metody

poszukiwania w kierunku5. Przyjąć nowe rozwiązanie y* jako poszukiwane minimum w kierunku6. Jeżeli nie osiągnięto zadanej dokładności obliczeń to powrócić do 1.

• Idea metody– Dla problemów programowania wypukłego proces wyznaczania

optimum przedstawiony w kroku trzecim sprowadza się do rozwiązania układu równań liniowych z symetryczną i dodatniookreśloną macierzą.

Zmodyfikowana metoda Newtona - opis

yHyybyfyyf T

2

1,)()(

Szereg Taylora

Oznaczenia:

yv yyy

fb

yyy

fH

2

2

HvvvbvF TT

2

1)(

Forma kwadratowa: HH T 0H

0min)(

v

F vF

Minimum formy kwadratowej

0

Hvbv

F bHv

Klasa Newton

class Newton // optimization method{protected: int n; // problem dimension double eps; // accuracy double *x; // solution double *d; // step double *grad; // gradient double **hes; // Hessianpublic: Newton(int nn,double e,double *sp=NULL); // dim, acc, st. point ~Newton(); // destructor virtual void gradient_and_hesjan(void)=0; // gradient & Hessian void Euler_method(); // linear problem void step(); // particular step void method(); // optimization procedure void show_solution(); // result of calculation};

Metoda Newtona - funkcje składowe• Newton(int nn, double e, double *sp=NULL);

– konstruktor: liczba zmiennych, test stopu, punkt startowy– sp=NULL – start z początku układu współrzędnych

• ~Newton();– destruktor

• virtual void gradient_and_hesjan(void)=0; – czysta funkcja wirtualna, wyznacza gradient i hesjan w klasie

pochodnej• void Euler_method();

– rozwiązuje układ równań z symetryczną i dodatnio określoną macierzą

• void step(); – jeden krok metody optymalizacji

• void method();– procedura optymalizacji z testem stopu na długość gradientu

• void show_solution(); – Wyniki obliczeń

Przykład 3 – z życia (woda) .. \test0.sln

222

211 ykyk

k1

y1

x1

k2

y2

x2

y0

x1 = x2

2211 ykyk

y1 + y2 = y0

0

21

21 y

kk

ky

0

21

12 y

kk

ky

min3102

311

10211

22111

yykyk

yyMyM

yMyMyM

M = M1 + M2 min

y1 + y2 = y0

2102

211

1

3 yykyky

Mb

102112

2

61

yykyky

MH

H

bd bHd

Program woda1.cpp

Program Symulacja – klasa ‘network’class network{protected: int n_arcs; // number of arcs int n_nodes; // number of nodes int n_pumping_st; // number of pumping stations int n_consumers; // number of water consumers int n_reduced; // dimension of the reduced problem n_pipe *pipes; // pipes node *nodes; // nodes pumping_station *p_stations; // pumping stationspublic: network(int na=10,int nn=11,int np=1); // constructor ~network(); // destructor void ini_streams0(char *str0); // setting reduced problem void parameters(pump_parameters *ip, int *nm,int (*str)[2],double *res,double *needs,double *altitudes,char *str0,char *top0); void output_p(double *o_p);// output from pumping stations void flows_in_network(); // the full flow in network void preassures_in_pumping_stations(); // minimal pressures network &operator!(void); // report on the screen void network_state(state *st); // show state of the network};

Klasa ‘Simulation’ ../../Visual%20Studio%20Projects/woda2

• Dziedziczenie wielobazowe – publiczne• void gradient_and_hesjan(); - czysta funkcja wirtualna w

klasie bazowej• Idea przykładu: problem + metoda = program obliczeniowy

class Simulation: public network, public Newton{ char *desc_gradient; // description of gradient char *desc_hesjan; // description of hesjanpublic: Simulation(int na,int nn,int np,double e,double *sp); ~Simulation(); void ini_gradient_and_hesjan(char *g,int dg,char *h,int dh); void gradient_and_hesjan();};