Profesor 3ro Medio 2008

download Profesor 3ro Medio 2008

of 205

Transcript of Profesor 3ro Medio 2008

  • 7/30/2019 Profesor 3ro Medio 2008

    1/205

    MATERIALDELPROFESO

    R

    APRENDER MATMATICA

    CREANDO SOLUCIONES

    MATERIAL DEL PROFESOR

  • 7/30/2019 Profesor 3ro Medio 2008

    2/205

    I.S.B.N.: XXX-XXX-XXX-XXX-X

    2 edicin: Agosto de 2008

    2003 por Centro Comenius Universidad de Santiago de Chile

    Inscripcin N XXXXXX

    Derechos Exclusivos Reservados

    Universidad de Santiago de Chile

    Editado por

    Centro Comenius Universidad de Santiago de Chile

    San Martn 40 A oficina 6, Santiago

    Telfono: 6883261 Fax: 6727140

    Diseo

    Juan Rojas R.

    Impreso por XXXXXXX

    XXXXXXXX, XXXXXX

    Santiago de Chile

  • 7/30/2019 Profesor 3ro Medio 2008

    3/205

    Matemtica Interactiva: Aprender matemtica creando soluciones

    Centro Comenius Universidad de Santiago de Chile

    El Centro Comenius de la Universidad de Santiago de Chile, desarroll el modelo interactivo

    para el aprendizaje matemtico, en el proyecto FONDEF D00I1073 Aprender matemticacreando soluciones entre los aos 2001 y 2004. El modelo cuenta, para su implementacinen salas de clases, con material para el alumno (actividades, guas, proyectos, etc.), material

    del profesor (sugerencias pedaggicas para trabajar los materiales, los contenidos e integrar

    las tecnologas), material de referencia (tratamiento ms formal de la matemtica), materiales

    manipulativos concretos (fichas, dados, juegos, etc.), evaluaciones y recursos tecnolgicos

    que siguen los principios de diseo tericos sugeridos en el modelo.

    Sobre la base del Modelo Interactivo para Aprender Matemtica, en la actualidad se est

    desarrollando el proyecto Enlaces Matemtica, con aportes del Centro de Educacin yTecnologa, ENLACES del Ministerio de Educacin de Chile y del Centro Comenius de laUniversidad de Santiago de Chile, implementndose en siete regiones del pas, con la

    colaboracin de las universidades asociadas.

  • 7/30/2019 Profesor 3ro Medio 2008

    4/205

    Profesionales del Proyecto Enlaces Matemtica

    Juan Silva Quiroz

    Evelyn Herrera Toro

    Encargados de la plataforma virtual

    Lucrecia Zamorano Aravena

    Instrumentos de evaluacin y

    revisin de materiales

    Sergio Reyes Gonzlez

    Anlisis estadstico

    Claudia Matus Correa

    Asesora anlisis estadstico

    Cristin Reyes Reyes

    Rigoberto Becerra Allende

    Eugenio Saavedra Gallardo

    Gerardo Honorato Gutirrez

    Miguel Muoz Jara

    Gladys Bobadilla Abarca

    Editores matemticos

    Guillermo Garrido Acevedo

    Coordinador Transferencia

    Alicia Venegas Thayer

    Responsable rea Educacin de Adultos

    Jessica Marinkovic ORyan

    Dwight Pennanen Arias

    Roxana Donoso Loyola

    Apoyo operativo y logstico

    Juan Rojas RiveraDiagramacin, diseo y edicin grfica

    Mauro Silva Cuevas

    Hctor Ros Bolbarn

    Ingeniera y soporte tcnico

    Fidel Oteza Morra

    Director del Proyecto

    Gonzalo Villarreal Farah

    Sub Director del Proyecto

    Manuel Galaz Prez

    Encargado operativo

    Hernn Miranda Vera

    Roberto Araya Schulz

    Lorena Espinoza Salfate

    Investigadores asociados

    Claudia Matus Ziga

    Coordinadora recursos educativos

    Osvaldo Baeza Rojas

    Macarena Escalante Salamanca

    Evelyn Herrera Toro

    Claudia Matus Ziga

    Mauricio Moya Mrquez

    Gustavo Rodrguez SeplvedaAlicia Venegas Thayer

    Michael Yez Rojas

    Lucrecia Zamorano Aravena

    Diseo y desarrollo de textos, guas,

    material concreto y recursos tecnolgicos

    Luis Belmar Rebolledo

    Nelly Devia Ormeo

    Mara Isabel Escobar Gutirrez

    Paula Gaete Oteiza

    Marcelo Gonzlez Molina

    Mara Jos Moreno Silva

    Marisol Troncoso Salazar

    Mabel Vega Rojas

    Colaboradores produccin de materiales

  • 7/30/2019 Profesor 3ro Medio 2008

    5/205

    Muchas personas e instituciones han hecho posible el proyecto FONDEF Aprender Matemtica

    Creando Soluciones y, como consecuencia directa, la existencia de este material educativo, cuyo

    propsito es proponer caminos alternativos e interesantes para que muchos estudiantes puedan

    aprender Matemtica y, lo que es ms importante, puedan disfrutar con ella y apreciarla como unaherramienta poderosa creada por el ser humano, que permite explicar y entender muchas cosas

    del mundo que nos rodea.

    A todos ellos les damos nuestro ms profundo agradecimiento por su trabajo duro y comprometido,

    por sus ideas frescas y desafiantes, y por su apoyo constante cuando las encrucijadas de un esfuerzo

    de esta envergadura, hacan difcil ver el camino por dnde seguir.

    En particular, queremos agradecer a las instituciones que han aportado recursos financieros,

    profesionales e instalaciones al proyecto: CONICYT de Chile, quienes a travs del FONDEF

    aportaron fondos, aliento y apoyo constante; Automind S.A.; Corporacin Municipal de ServiciosTraspasados de Rancagua, a travs del Liceo scar Castro; Corporacin Municipal de SanVicente de Tagua-Tagua, a travs del Liceo Ignacio Carrera Pinto; Colegio Santa Mara deSantiago; Fundacin Educacional de La Araucana, a travs del Complejo Educacional Padrescar Moser de Padre Las Casas (IX Regin); Colegio Alcalde Pedro Urbina Flores de Peumo;DAEM de Las Cabras, a travs del Liceo Francisco Encina; Colegio Cristbal Coln deSantiago; Corporacin Municipal de San Fernando, a travs del Liceo de Nias EduardoCharme; SEREMI de Educacin de la Sexta Regin; Proyecto Enlaces del Ministerio deEducacin; Centro Zonal Enlaces Costa-Centro de la Universidad Catlica de Valparaso.

    Tambin queremos agradecer especialmente a los colegios, profesores y estudiantes que participaronen las pruebas piloto del material educativo: Colegio Santa Mara de Santiago, a travs de sudirectorJos Parisi y las profesoras del Departamento de Matemtica, Lorena Lizana Manrquez,Ilia Maldonado, Luca Jara Bravo y Lucrecia Zamorano Aravena; Liceo Ignacio CarreraPinto de San Vicente de Tagua-Tagua, a travs de su director Eduardo Michel Aedo y los

    profesores del Departamento de Matemtica, Juan Pablo Cabezas, Gustavo Moreno, JorgeFuentes, Lilian Miranda, Alfredo Astrain y Marcelo Seplveda.

    RECONOCIMIENTO

  • 7/30/2019 Profesor 3ro Medio 2008

    6/205

    Un especial reconocimiento a los directivos, profesores y estudiantes de todos los establecimientos

    que participaron en la experimentacin del material durante el ao escolar 2003: Liceo scarCastro de Rancagua; Liceo de Nias Eduardo Charme de San Fernando; Liceo Ignacio CarreraPinto de San Vicente de Tagua-Tagua; Liceo Francisco Encina de Las Cabras; Colegio AlcaldePedro Urbina Flores de Peumo; Colegio Santa Mara de Santiago; Colegio Cristbal Coln;Colegio Santa Cruz; Colegio Marcelino Champaignat; Colegio Franciscano Mara Reina;Complejo Educacional Padre scar Moser de Padre Las Casas. A todos ellos muchas gracias

    por la paciencia de habernos tenido todo un ao visitando sus salas de clases y por el profesionalismo,

    dedicacin y esfuerzo puesto en la experimentacin.

    La existencia de este material no habra sido posible sin el trabajo editorial dedicado y altamente

    calificado del personal de la empresa editora Zig-Zag S.A. Nuestros agradecimientos para todosellos, a travs de Felipe Morales, Robert Pardo y Mara Eugenia Mestre.

    Por ltimo, una mencin y reconocimiento particular a todo el equipo de investigadores, profesionales

    y tcnicos del Centro Comenius de la Universidad de Santiago, quienes hicieron un gran esfuerzopor construir este sueo: mejorar las condiciones para que muchos jvenes puedan aprender

    Matemtica y abrir as sus posibilidades de construir un futuro mejor.

  • 7/30/2019 Profesor 3ro Medio 2008

    7/205

    MS SOBRE

    TRINGULOS RECTNGULOS

    UNIDADMSSOBRE

    TRING

    ULOSRECTNGU

    LOS

    Gustavo Rodrguez Seplveda

    MATERIAL DEL PROFESOR

  • 7/30/2019 Profesor 3ro Medio 2008

    8/205

    CONTENIDO

    20

    Descripcin sinttica de las actividades

    Resumen de actividades, recursos y tiempos 21

    Actividades 1 y 2 23

    Actividades 3 y 4 24

    Actividades 5 y 6 25

    Actividades 7 y 8 26

    Actividades 9 y 10 27

    Actividades 11 y 12 28Actividades 13 y 14 29

    Actividades 15 y 16 30

    Actividades 17 y 18 31

    Actividades 19 y 20 32

    Los conocimientos previos 13

    La etapa de exploracin 13

    Las conjeturas y los argumentos 13

    11

    Presentacin de la unidad

    16Propuesta metodolgica

    13

    Organizacin de la unidad

    Estructura de la unidad 16

    La propuesta metodolgica 17

    Implementacin sugerida 18

    Cmo se integra el computador 19

  • 7/30/2019 Profesor 3ro Medio 2008

    9/205

    54

    Anexo 1(Pauta para la evaluacin de Proyectos)

    53

    Referencias Bibliogrficas

    52

    Apoyo complementario

    33

    Sugerencias didcticas especficas

    Actividades N 1, 10 y 11: Sesiones introductorias 33

    Actividades N 4, 6 y 8: Una introduccin a la demostracin 36

    Actividades N 2, 5 y 7: El teorema de Euclides 41

    Actividades N 12, 13, 14 y 16: Trigonometra 44

    Actividades N 15 y 17: Una entrada a las funciones trigonomtricas 46

    Actividades N 3 y 18: Los proyectos 46

    Actividades N 9 y 19: Las evaluaciones 48

    Actividad N 20: Evaluacin final de la unidad 50

  • 7/30/2019 Profesor 3ro Medio 2008

    10/205

  • 7/30/2019 Profesor 3ro Medio 2008

    11/205

    Unidad: Ms sobre tringulos rectngulos

    EL PROGRAMA DE ESTUDIO para Tercer Ao Medio contina con el proceso de construcciny adquisicin de habilidades intelectuales, en especial las relativas a procesos de abstraccin,generalizacin, formulacin de conjeturas, proposicin de encadenamientos argumentativos y la

    utilizacin y anlisis de modelos que permitan describir y predecir el comportamiento de algunosfenmenos en diversos contextos y que guarden relacin con los contenidos de la unidad.

    A continuacin, damos una breve descripcin de las unidades que constituyen el sector de matemticapara tercero medio:

    Con el propsito de representar o modelar algunas situaciones de comparacin, se estudian lasinecuaciones y los sistemas de inecuaciones lineales con una incgnita, enfatizando el tipo desolucin que se obtiene y estableciendo la diferencia con las ecuaciones ya estudiadas en losaos anteriores.

    El tema de funciones se ampla con el inicio del estudio de las funciones cuadrticas y las

    funciones trigonomtricas a partir de la semejanza de tringulos rectngulos. En CuartoAo Medio, se continuar con el estudio de las funciones exponencial, logartmica y potencia.

    Adems, este ao se ampla y profundiza el tema de las probabilidades iniciado en Segundo AoMedio, incorporando el estudio de experiencias aleatorias con resultados no equiprobables y laaproximacin intuitiva a la Ley de los Grandes Nmeros.

    Organizacin del programa

    Este programa se estructura, en concordancia con los Objetivos Fundamentales y Contenidos MnimosObligatorios, en las cuatro unidades siguientes1:

    Unidad 1 Las funciones cuadrtica y raz cuadradaUnidad 2 Inecuaciones linealesUnidad 3 Ms sobre tringulos rectngulosUnidad 4 Otro paso en el estudio de las probabilidades

    En la elaboracin de este programa se ha tenido especial cuidado de poner relevancia, en las instanciasque se han considerado oportunas, las relaciones entre los temas ya estudiados en los aos anterioresy los que se desarrollan durante este Tercer Ao, los que, a su vez, son base para los que se estudiarnen Cuarto Ao Medio:

    La primera unidad, Las funciones cuadrtica y raz cuadrada, se relaciona con el estudio

    acerca de las funciones lineales, lineal afn, valor absoluto y parte entera realizado en losaos anteriores y con las funciones que se estudiarn en cuarto ao medio.

    La segunda unidad, Inecuaciones lineales, est fuertemente relacionada con la resolucinde ecuaciones con una incgnita en primer grado y con la operatoria algebraica bsica.

    El orden exhibido aqu es el que presenta el programa, que puede ser distinto al orden en que se desarrollarn las unidades durante el proyecto.1

    PRESENTACIN DE LA UNIDAD

  • 7/30/2019 Profesor 3ro Medio 2008

    12/205

    La unidad Otro paso en el estudio de las probabilidades, se basa en lo estudiado en SegundoAo, para profundizar y ampliar el estudio sobre fenmenos aleatorios y abrir la posibilidadde trabajar nociones sobre estadstica inferencial en Cuarto Ao Medio.

    La unidad que aqu nos ocupa, Ms sobre tringulos rectngulos, est centrada en la semejanzaentre tringulos rectngulos. Es una prolongacin del trabajo desarrollado en Primero y Segundo

    Ao sobre congruencias, isometras, semejanza de tringulos y un primer paso hacia el estudio delas funciones trigonomtricas, tema en el que nuevamente se encuentran las funciones.

    La unidad viene dividida en dos grandes temas, los teoremas de Euclides primero y trigonometradespus.

    A modo de presentacin se interroga sobre la calidad de objeto de aprendizaje que constituye eltringulo rectngulo y su asociacin con la medicin y algunas aplicaciones. En este contexto, seaborda el teorema de Euclides partiendo con una exploracin a travs de la manipulacin de untangrama de tres piezas conocido como el tangrama alemn para arribar al teorema .Posteriormente se presentan y ejercitan los teoremas y . Este teorema trae

    subyacente al teorema de Pitgoras, por lo que se ha construido una gua que permite nivelar a losalumnos en este teorema.

    Se sigue con trigonometra. Una lectura que esboza brevemente la historia de la trigonometra, luegolos alumnos exploran las invariantes que se producen al dividir las longitudes de tringulos rectngulossemejantes a uno que mantiene fijos sus ngulos interiores, incluyendo abundante ejercitacin.Posteriormente, se presentan y ejercitan las identidades trigonomtricas.Sobre las funciones trigonomtricas la propuesta avanza por la aparicin de las funciones trigonomtricas

    bsicas y la determinacin de la razones trigonomtricas para continuar con el caso del seno, razonestrigonomtricas para mayores iguales que cero e iguales y menores que 90 grados (aplicaciones).El crculo goniomtrico se propone para estudiar el caso en que vara entre 0 y 360 grados. Las

    extensiones de funciones trigonomtricas (aplicaciones para seno y coseno), para graficar las funcionesseno, coseno y situaciones modelables y las unidades de medidas angulares. Adems Se proponenseis proyectos de investigacin en temas relacionados con la unidad que escapan a una revisin enclase. Se cierra la unidad con el estudio y aplicacin de las identidades trigonomtricas bsicas y

    pitagricas. Como agregado se ofrece la posibilidad de incorporar transversalmente el uso de lacalculadora cientfica.

    El nfasis puesto en la demostracin en esta unidad requiere de una presentacin ms detallada. Seha construido una lnea de trabajo orientada a introducir al alumno en la estructura y necesidad dela demostracin de teoremas matemticos. Esta lnea se imbrica con los teoremas de Euclides

    permitiendo as una continuidad natural en el aprendizajes de la demostracin. Esta es una continuacindel trabajo iniciado en la unidad La circunferencia y sus ngulos de segundo ao medio, en estemismo proyecto. All, slo se abord la distincin entre hiptesis y tesis en el enunciado de losteoremas relativos a dicha unidad, dejando libre la posibilidad que el alumno pudiera efectuar algunademostracin. Esto ltimo NO fue intencionado en las propuestas metodolgicas y didcticas deaquella unidad. En esta ocasin hemos hecho una entrada ms profunda intentando acercar al alumnoa la demostracin matemtica de una forma ms formal y adems proponindole que se inicie,gradualmente, en ensayar sus propias demostraciones.

    12 Unidad: Ms sobre tringulos rectngulos

    qph =2

    cqa =2 cpb =2

  • 7/30/2019 Profesor 3ro Medio 2008

    13/205

    Unidad: Ms sobre tringulos rectngulos

    El clculo del rea y el permetro de un tringulo es necesario para resolver algunos problemas de aplicacin del teorema de Euclides, que suponeeste conocimiento, y en la entrada a las razones trigonomtricas.

    4

    La unidad ha sido estructurada en varias etapas didctico metodolgicas: Los conocimientos previos,La etapa de exploracin, Las conjeturas y los argumentos, Las etapas de formalizacin, Eltrabajo de la tcnica y Las sesiones de organizacin del conocimiento y de cierre.

    Estas etapas forman un ciclo: exploracin, sntesis, argumentacin, formalizacin y aplicacin dela tcnica, que se repite en la unidad.

    A continuacin pasamos a detallar las diferentes etapas.

    PROPUESTA METODOLGICA

    Si es necesario, se propone revisar con los estudiantes el teorema de Pitgoras. Se dispone para ellode la gua N 1. Tambin, si es posible, recordar los conceptos de proporcionalidad entre trazos,razones y proporciones, semejanza de figuras planas y el clculo del rea y permetro de un tringulo4.

    Adems, la experiencia nos ha mostrado que los jvenes tienen un concepto muy limitado deproporcionalidad y que les es especialmente difcil reconocer, establecer y usar, la proporcionalidadentre longitudes de segmentos. Tambin les es difcil generar una ecuacin a partir de proporciones.

    Los conocimientos previos

    En esta fase se espera que los alumnos y alumnas se familiaricen con la semejanza de tringulos eincorporen en su lenguaje palabras como regularidades, invariantes, variables, criterios y conjeturas.El trabajo se orienta al alumno de modo que descubra, analice y discuta la ocurrencia de regularidadesy de relaciones presumiblemente generales, de modo de ir acercndose a las condiciones que

    determinan las invariantes entre tringulos rectngulos semejantes con un ngulo agudo fijo.

    La etapa de exploracin

    Estamos llamando conjeturas, a las generalizaciones, regularidades o relaciones que los estudiantespiensan que son o que pueden ser generales. Corresponde a afirmaciones de la forma: SI ...ENTONCES ....

    Se propone que los alumnos y alumnas exploren en busca de regularidades numricas, registren sushallazgos, supuestos y, naturalmente, sus conjeturas en el texto. Luego se les dar la oportunidad

    para argumentar y dar a conocer las razones por las cuales creen tener un enunciado general y quedespus pueden ser verificados, completados o corregidos respecto de los que presenta el profesoren pizarra.

    Las conjeturas y los argumentos

  • 7/30/2019 Profesor 3ro Medio 2008

    14/205

    14 Unidad: Ms sobre tringulos rectngulos

    Se espera que producto del descubrimiento, anlisis y discusin anteriores los alumnos se aventurena establecer, con sus propias palabras, sus descubrimientos, es decir, conjeturar acerca de lascondiciones (relaciones trigonomtricas por ejemplo) que deben cumplir dos tringulos rectngulosemejantes. Las conjeturas son candidatos a teoremas y los argumentos que las sustentan, una antesalade la demostracin.

    Sera interesante que en sus conjeturas aparecieran, como sustento de los argumentos, los conceptosde proporcionalidad y semejanza de tringulos.

    Una vez que los alumnos han registrado o expuesto los argumentos a favor de sus hallazgos y hansido discutidos en clase, corresponde una actividad de anlisis y formalizacin, dirigida por el docente.El profesor o la profesora, trabajar el tema de modo que los alumnos pasen de los ejemplos de lasguas y de las conjeturas y argumentos a la generalizacin y organizacin del conocimiento paradisponer de una definicin formal del conocimiento que se haya explorado. Corresponde a una fasede pasado en limpio.

    Las etapas de formalizacin

    En esta etapa es necesario coordinar acciones para que los alumnos y alumnas sean capaces de poneren prctica las diferentes tcnicas de resolucin de problemas que los teoremas de Euclides y latrigonometra pueden ser aplicados a situaciones tanto de la propia geometra como a situacionescontextualizadas (alturas, distancias, etc.).

    A partir de la metodologa propuesta en esta unidad los alumnos y alumnas profundizarn y ejercitarnlos conocimientos adquiridos especialmente a travs de guas. La estrategia utilizada en ellascorresponde a una accin diseada a travs de figuras, preguntas para responder, comprensin,aplicacin y anlisis, compartiendo al final sus trabajos, discusiones y sntesis.

    En este caso la profesora o profesor debe atender y resolver las consultas de sus alumnos y alumnasadems de guiar la discusin y el anlisis final.

    El trabajo de la tcnica

    Es una actividad paralela a las clases que culmina con una presentacin al conjunto de los alumnoscon las correspondientes discusiones y elaboraciones, que permitir al docente, integrar nuevainformacin para el conjunto de los alumnos. Para ello, se propone un conjunto de proyectos a serrealizados por los estudiantes en grupos pequeos y fuera de clase. Para cada proyecto se prepararon

    trminos de referencia, documentos breves que definen el proyecto y entregan la informacin basepara realizarlo. Se proporciona un instrumento para evaluar la presentacin de los proyectos en elAnexo 2. Es altamente recomendable que los alumnos y alumnas conozcan dicha pauta para quesepan cmo se les evaluar su trabajo.

    Durante el proceso, el profesor o la profesora, alentar al menos un informe de avance, que permitirdar un necesario feedback al trabajo realizado por los estudiantes.

    Los proyectos realizados por grupos de alumnos

  • 7/30/2019 Profesor 3ro Medio 2008

    15/205

    Unidad: Ms sobre tringulos rectngulos

    Es deseable que la presentacin se realice con una proyeccin preparada en el computador y conmaterial concreto, si es pertinente y segn la naturaleza del proyecto.

    Los alumnos deben tener muy claro cundo estn explorando, cundo estn dando cuenta de sushallazgos, argumentando o practicando las tcnicas de resolucin de problemas. Adems deberndistinguir cules de sus resultados estn acordes con la disciplina matemtica. Esto significa que el

    profesor o la profesora, deber analizar los procesos de exploracin y de resolucin de problemas,para generar una sntesis formalmente consistente con el conocimiento matemtico. Esta pasadaen limpio debe quedar registrada, en el cuaderno o en otro soporte personal del alumno. Ello seconstituir en la herramienta matemtica que utilizar en la resolucin de problemas ms adelante.

    Al realizar estas sesiones es particularmente importante, que el docente haga uso explcito de loshallazgos, preguntas, dudas y argumentos realizados por sus alumnos. De este modo se busca quela matemtica sea un conocimiento del que los alumnos y alumnas se pueden apropiar.

    Los errores son especialmente valiosos y se requiere de habilidad para analizarlos en forma constructiva.cmo, ese error, contribuy al enunciado final?, qu le falt a esa conjetura para ser correcta?,qu ajustes debisemos hacer para obtener el resultado correcto?, cul o cules fueron lasconsideraciones que nos llevaron a una conjetura incorrecta o incompleta?

    Las sesiones de organizacin del conocimiento y de cierre

  • 7/30/2019 Profesor 3ro Medio 2008

    16/205

    16 Unidad: Ms sobre tringulos rectngulos

    La unidad Ms sobre tringulos rectngulos es la tercera del programa de formacin general deSector matemtica

    De acuerdo a las orientaciones didcticas del programa, el desarrollo de esta unidad presenta dosimportantes pilares: uno relativo a los teoremas de Euclides y de Pitgoras en los que importantanto las propiedades generales que se pueden establecer entre los cuadrados de las longitudes delos lados de un tringulo rectngulo como el proceso para llegar a proponer y establecer unademostracin. El teorema de Pitgoras es una relacin conocida desde la Educacin Bsica. Enesta oportunidad se retoma dndole una vuelta de manilla y se pide trabajar con sus demostraciones,algunas muy prximas a la intuicin y otras ms formales, pero todas con rigor y vlidas en lamatemtica escolar. Incluso se presenta una relacin muy similar al teorema de Pitgoras que secumple en tringulos no rectngulos.

    El otro pilar refiere a las funciones trigonomtricas elementales a partir de razones entre laslongitudes de los lados de un tringulo rectngulo, las identidades, una breve visita a las funciones

    trigonomtricas ms simples y las aplicaciones de estos contenidos en la resolucin de problemas.Interesa que los estudiantes tengan una primera aproximacin a la trigonometra por medio de lasrazones trigonomtricas, una extensin a las funciones seno y coseno en el crculo unitario, su usoen la resolucin de problemas y la demostracin de algunas propiedades bsicas.

    A partir de los pilares que indica el programa (funciones trigonomtricas elementales y los teoremasde Euclides y de Pitgoras) se conforma el diseo de esta unidad. Como componentes transversalesestn presentes la aplicacin, a travs de la resolucin de problemas, y la introduccin, con un nfasisimportante en la formalizacin mediante la demostracin de los principales teoremas que se presentan(Teorema de la altura, teorema de los catetos (de Euclides) y teorema de Pitgoras).

    En esta oportunidad, continuando la lnea de reconocimiento bsico de las estructuras de un teoremay su demostracin, que forma parte de la unidad La circunferencia y sus ngulos para segundo aomedio de este mismo proyecto y dado el nivel en que se encuentran los estudiantes (tercero deenseanza media), se ha incorporado, la lnea de introduccin a la demostracin como parte del

    buen razonar que importa la presentacin de correctos y ordenados argumentos en que se aplicanlas propiedades matemticas de los conjuntos de nmeros, operaciones y algoritmos para confirmaro refutar una proposicin, en este caso denominados teorema.

    La resolucin de problemas cruza el desarrollo de esta unidad; hay una invitacin a resolverproblemas en contextos diversos: geomtricos, de mediciones de alturas y distancias, incluyendo loespacial, sin llegar a especificidades de la trigonometra esfrica. Ante este elemento el material paraesta unidad hace hincapi en la idea general de que se puede medir lo que se desee a partir de la

    formacin de un tringulo rectngulo. Adems, una buena parte de los problemas propuestos tieneestructura y nivel de dificultad similar a los propuestos en la prueba de seleccin universitaria (PSU).

    Estructura de la unidad

  • 7/30/2019 Profesor 3ro Medio 2008

    17/205

    Unidad: Ms sobre tringulos rectngulos

    La propuesta metodolgica

    En esta unidad, el estudiante tendr la oportunidad para explorar los conocimientos matemticos quehacen posible modelos de situaciones reales; podr conjeturar acerca de los aspectos generalizablesde los modelos matemticos que encuentre; tendr la oportunidad de poner a prueba esas conjeturas;luego se propondr un depurado o presentacin formal de los conocimientos matemticosnecesarios para la creacin y el uso de los modelos encontrados. Por ltimo, el estudiante tendr laoportunidad de aplicar las tcnicas de resolucin de problemas, que se apoyan en los conocimientosestudiados.

    En particular, el estudiante, reconocer y aplicar nuevamente (vistos en 2) los criterios y condicionesque deben satisfacer tringulos en el plano para ser semejantes y desde all entender las razonestrigonomtricas; conocer y podr aplicar el teorema de Euclides. Se espera que el alumno logre lasherramientas matemticas necesarias para:

    Utilizar las relaciones existentes entre los lados de un tringulo rectngulo, la altura asociadaa la hipotenusa y las proyecciones de los catetos sobre esta.Determinar la longitud de un lado de un tringulo rectngulo dado otro lado y un nguloagudo y utilizar las relaciones que de all se derivan.

    Iniciamos esta propuesta metodolgica teniendo definidas las siguientes decisiones iniciales:

    1. Presentar al teorema de Euclides y la trigonometra como extensiones de las relaciones posiblesentre lados y, entre lados y ngulos en un tringulo rectngulo.

    2. En esta unidad se propone buscar conjeturas, relaciones presumiblemente generales y luegodar los argumentos por los cuales se piensa que ese es el caso. De este modo las conjeturas sonun antecedente para la nocin de teorema y los argumentos, la antesala de las demostraciones.

    Aprendizajes esperados para la unidad

    En esta versin de la unidad, los alumnos y alumnas:

    Reconocen que las razones trigonomtricas son cuocientes invariantes entre las medidas delos lados, en familias de tringulos rectngulos semejantes.

    Conjeturan sobre propiedades geomtricas en tringulos rectngulos semejantes, las demuestranutilizando diversos recursos argumentativos.

    Resuelven problemas que involucran propiedades de los tringulos rectngulos; analizan lassoluciones que se obtienen y su pertinencia.

    Reconocen la estructura, el sentido y la necesidad de la demostracin en matemtica.

    El tiempo estimado que propone el programa para la unidad es 25 a 30 horas.

  • 7/30/2019 Profesor 3ro Medio 2008

    18/205

    18 Unidad: Ms sobre tringulos rectngulos

    3. El tratamiento de las identidades trigonomtricas y las aplicaciones de los teoremas de Euclidesy Pitgoras, son una buena oportunidad para relacionar estas nociones con otras reas de lageometra y del lgebra. En particular, se relacionar semejanza con trigonometra.

    4. Se propone el uso tecnologas de la informacin y la comunicacin (TIC) y de procesadoresgeomtricos2. Estos recursos permiten a los alumnos desarrollar habilidades de visualizacin y

    les proporciona un ambiente adecuado para la exploracin y experimentacin con relacionesgeomtricas. Esto es, se trata de un ambiente en el que es posible reconocer relaciones y ponera prueba su generalizacin.

    El paso de segundo ao medio a tercero para el Sector matemtica ha trado algunas modificaciones.La ms importante y la que ms determina el desarrollo del material de aprendizaje es el tiempo quese dispone para las lecciones. En este curso todos los alumnos tienen tres horas semanales dematemtica (del rea de formacin general).

    Si el docente opta por aplicar y desarrollar todo este material (todas las guas y actividades), en elmximo disponible de 30 horas que destina el programa, descubrir que no es posible, pues son 46horas y es muy probable que deje inconclusa la unidad o que abarque tiempos que deber descontarde otra unidad.

    Si los alumnos estn en rgimen de Jornada Escolar Completa (JEC), se pueden agregar ms horaslectivas del plan de formacin complementaria (asignaturas electivas) permitiendo cubrir completamentela unidad. Entendemos tambin que esta recomendacin no siempre es posible, por esto, proponemosrecoger seriamente la siguiente sugerencia para la aplicacin del material.

    Pensamos que la siguiente es una forma realista de abordar la unidad.El programa sugiere para esta unidad entre 25 y 30 horas. Las horas lectivas que cubre el materialque aqu presentamos supera este tiempo (46 horas), por lo tanto, se proponen dos lneas de desarrollometodolgico para cubrir los contenidos:

    Actividades nucleares (21 horas): Son guas y otros instrumentos que forman parte sustantivadel aprendizaje bsico que propone la unidad. Estas deben ser realizadas por los alumnos deforma imperativa. Ellas cubren el mnimo de los contenidos y objetivos que indica el programay su omisin redunda en una importante falencia. En total ocupan menos del mnimo de horas(25) que estipula el programa. Este remanente de horas permite disponer de otras actividades

    que enriquezcan la unidad. Son las que hemos venido a llamar Actividades complementarias.

    Implementacin sugerida

    Los ejemplos desarrollados estn realizados en GEOGEBRA (un software con licencia GNU). Adems se utilizarn applets descubiertos en internet.2

  • 7/30/2019 Profesor 3ro Medio 2008

    19/205

    Unidad: Ms sobre tringulos rectngulos

    Actividades complementarias(25 horas): Son guas y otros instrumentos de aprendizaje quecomplementan fuertemente al aprendizaje deseado. Agregan riqueza y como su nombre loindica, complementan a los contenidos nucleares o a veces son previos a stos permitiendo asnivelar a los alumnos antes de que se adentren en los contenidos nucleares.

    Tenemos entonces que esta unidad consta de 46 horas en total, 16 ms que el mximo dispuesto en

    el programa y 21 como mnimo. De aqu surge la opcin de alcanzar mayor cobertura de contenidosy de que los estudiantes dediquen ms tiempo al estudio de esta materias.

    En esta ocasin, haremos una proposicin extra a la que se present en segundo medio. La idea esque algunas actividades sean realizadas por los alumnos fuera del horario normal de clase (en casa,en horas de estudio en el colegio, etc.), por lo tanto, en los materiales para aprender, de los alumnos,

    podemos hacer la siguiente distincin:

    Materiales para trabajo asistido (As)Materiales para trabajo autnomo (At)

    Los materiales para trabajo asistido son materiales que se propone tratarlos en clases lectivas enque el profesor organiza su trabajo intra aula.

    Los materiales para trabajo autnomo corresponden a responsabilidades de los alumnos en tiemposextra clase. Pueden tratarse como trabajos para realizar en casa o pueden constituir tareas individualeso colectivas. La distincin principal es que estos materiales no se ejecutan en las clases regulares.La responsabilidad que se debe invocar para trabajar con estos materiales es alta, ya que, forman

    parte importante de las actividades que se comprometen con el aprendizaje de los estudiantes.

    Esta distincin es propicia para desconcentrar trabajo en el aula y al mismo tiempo avanzar en loscontenidos. Si el profesor decide implementar el trabajo autnomo de las actividades, deber lograrde sus alumnos un compromiso serio de avance personal, que el profesor puede monitorear mientraslos alumnos desarrollan las actividades.

    En esta unidad hemos integrado el uso de los computadores de una manera ms intencionada quela sugerida en las unidades de segundo medio.

    El uso del computador se sugiere en varias actividades, como visualizacin de apoyo, modelorepresentativo, como medio de consulta, etc. todos son usos opcionales, pero en una de ellas (Gua

    N 12) su uso es imprescindible.

    En esta gua, si no se utiliza el computador, es muy difcil (sino imposible) desarrollar las actividadesall pedidas. La gua, sin el computador, es prcticamente inoperante.

    Cmo se integra el computador

  • 7/30/2019 Profesor 3ro Medio 2008

    20/205

    Los temas tratados en esta unidad son los teoremas de Euclides y Pitgoras junto con trigonometra.Las actividades propuestas para que los estudiantes desarrollen un trabajo sistemtico que les permitaalcanzar los aprendizajes esperados en esta unidad, son principalmente de dos tipos: actividadesnucleares y actividades complementarias o de profundizacin.

    La experiencia muestra que el tiempo necesario para cubrir de buena forma el programa, especialmenteconsiderando los vacos de conocimientos previos, excede el tiempo que propone el programa oficialde tercer ao medio. Por esta razn, se hizo necesario priorizar los contenidos de modo que lasactividades nucleares propuestas para la unidad se realicen en el tiempo dispuesto (considerando losrecursos necesarios) y, si el tiempo y la audiencia lo permiten, desarrollar algunas de las actividadescomplementarias o de profundizacin. Esta seleccin de actividades fue cuidadosamente hecha paraabordar todos los aprendizajes esperados de esta unidad.

    La distribucin de los contenidos sugerida para organizar las clases, se presenta en el siguientecuadro. Los contenidos que consideran actividades nucleares estn sombreadas en gris y las

    complementarias estn en blanco:

    Estas distinciones se detallan en la pgina anterior.3

    La Tabla N 2 presenta una descripcin breve de cada actividad, sealando los recursos de apoyoque dispondr el profesor y una estimacin del tiempo necesario para desarrollar lo propuesto. Sesealan las actividades nucleares (N) en color gris y en blanco las complementarias (C). Ademsse ha agregado una columna que define la modalidad de la actividad separndolas enAutnomas (At) o Asistidas (As)3. De este modo, tenemos dos categoras para cada actividad:

    Contenidos N de horas

    El teorema de Pitgoras 2Los proyectos 3Los teoremas de Euclides 7Introduccin a la demostracin 10Evaluaciones parciales optativas 4Trigonometra (nuclear) 12

    Trigonometra (complementaria) 6Evaluacin final obligatoria 2

    Total de horas para contenidos nucleares 21

    Actividades Asistidas Actividades Autnomas

    ActividadesNucleares

    ActividadesComplementarias

    2 - 5 - 7 - 12 - 13 - 14 - 16 - 20 No hay.

    4 - 6 - 8 - 9 - 17 - 18 - 19 1 - 3 - 10 - 11 - 15

    Descripcin sinttica de las actividades

    20 Unidad: Ms sobre tringulos rectngulos

  • 7/30/2019 Profesor 3ro Medio 2008

    21/205

    Tabla N 2. Resumen de actividades, recursos y tiempos

    Actividad TipoModa-lidad

    Usode

    TIC

    Recursos GuasSugerencias didcticas especficas (S.D.E.)

    y material de apoyo

    Tiempoestimado

    ensesiones

    de 45

    minutosGua 1 - De vuelta al teorema de PitgorasApplets: Gua 01 - Pitgoras.htmGua 01a - Pitgoras con circunferencias.htmGua 01b - Pitgoras con tringulos equilteros.htmGua 01c - Pitgoras con hexgonos regulares.htm

    De vuelta al teorema dePitgoras1

    C At 2

    Organizacin del trabajo con proyectosLanzamiento de los proyectos3 C At 1

    Gua 02a - Introduccin a la nocin de teorema

    y la demostracin

    Introduccin a la demostracin

    1 parte4 C As 2

    Gua 3a - Las demostraciones como cadenasGua 3b - Del soporte (Hiptesis) al gancho(Tesis)Gua 3c - De la hiptesis a la Tesis

    Introduccin a la demostracin2 parte6 C As 6

    Gua 4 - Teorema de los catetos en un tringulorectngulo. Formalizando el teorema

    Los teoremas de Euclidesreferidos a los catetos7

    N As 2

    Gua 4a - Empezando a asegurarnos

    Gua 4b - Empezando a demostrarIntroduccin a la demostracin

    3 parte8 C As 4

    Prueba N 1: El teorema de EuclidesPrimera evaluacin9 C As 2

    Gua 5 - Por qu nacieron las razonestrigonomtricas?

    Por qu nacieron las razonestrigonomtricas?10 C At 1

    Gua 6 - Medicin de ngulos y sistemasangulares. Una mirada a los ngulos, susmedidas y los sistemas

    Las bases para el clculo derazones trigonomtricas11

    C At 1

    Gua 7 - Tablas de razones trigonomtricas.Valores para ngulos entre 0 y 45Gua 7a - Tringulos para calcular razones

    trigonomtricas.

    Introduccin a la trigonometra.Tablas y razones trigonomtricas12

    N As 4

    Gua 08 - Las razones trigonomtricas. De lasms conocidas a las menos utilizadas

    Las razones trigonomtricas13 N As 2

    Gua 09 - La trigonometra en accin.Aplicaciones trigonomtricasGua 09a - Aplicaciones trigonomtricas encontexto. Aplicaciones en contexto

    Aplicaciones de la trigonometra14 N As 4

    Gua 02 - Buscando a Euclides. Explorandorelaciones con un tangramaApplet Gua 02 - Tangrama.htm

    Buscando a Euclides2 N As 3

    Gua 03 - Teorema de Euclides y algunasaplicaciones. La altura del obeliscoApplet Gua 03 - Visualizacin obelisco.htm

    Aplicando del teorema deEuclides referido a la altura

    5 N As 2

    2Unidad: Ms sobre tringulos rectngulos

  • 7/30/2019 Profesor 3ro Medio 2008

    22/205

    Tiempo actividades nucleares / Tiempo total 21 / 46

    Gua 10 - El crculo goniomtrico. Extensinde las razones trigonomtricas para un ngulocualquieraCirculo goniomtrico.htm

    El crculo goniomtrico15 C At 2

    Gua 11 - Las identidades trigonomtricas.Las bsicas y las que se sustentan en Pitgoras

    Identidades trigonomtricas16 N As 2

    Gua 12 - Las funciones Sen, Cos ysituaciones modelables. Funcionestrigonomtricas en el plano cartesiano.Gua 12 - Funcin seno.htmApplets en internet

    Una entrada a las funcionestrigonomtricas17 C As 2

    Presentacin de los resultadosCierre de proyectos18 C As 2

    Prueba N 2: TrigonometraSegunda evaluacin19 C As 2

    Prueba de la unidadEvaluacin sumativa20 N As 2

    Las actividades que aparecen sealadas con el smbolo consideran el uso de las tecnologasinformtica y de las comunicaciones (TICs) para apoyar el aprendizaje.

    22 Unidad: Ms sobre tringulos rectngulos

  • 7/30/2019 Profesor 3ro Medio 2008

    23/205

    2Unidad: Ms sobre tringulos rectngulos

    Descripcin sinttica de las actividades

    Actividad 1: De vuelta al teorema de Pitgoras (complementaria)

    Esta actividad tiene como propsito motivar al alumno o alumna a redescubrir el teorema de

    Pitgoras, debido a su relacin con los teoremas de Euclides y con algunas identidadestrgonomtricas.La actividad se realiza en la sala de clases y consiste en reinstalar la idea de que se cumple larelacin en un tringulo rectngulo de catetos con longitudes a , b y de hipoteunsac. El profesor o profesora interacta con los alumnos creando un ambiente en el que es posiblerevivir el teorema de Pitgoras y sus aplicaciones.Las extensiones del teorema (ejercicios 17, 18 y 19) fueron propuestos mas bien como desafo

    para alumnos que conocen bien el teorema o para alumnos ms adelantados.Como apoyo se han construido los applets:Gua 01 - Pitagoras.htm, Gua 01a - Pitgoras con circunferencias.htm, Gua 01b - Pitgorascon tringulos equilteros.htm y Gua 01c - Pitgoras con hexgonos regulares.htm

    Recursos

    Gua 1 - De vuelta al teorema de PitgorasCalculadora

    Tiempo estimado: 2 horas

    Actividad 2: Buscando a Euclides (nuclear)

    El propsito de esta actividad es intentar que el alumno, explorando, pueda descubrir la relacina partir de la manipulacin de los tringulos rectngulos que forman el llamado

    Tangrama Alemn, estableciendo primero razones entre lados homlogos y luego las proporcionesque ellos puedan reconocer como los criterios de semejanza de tringulos. Para ello, se ha dispuestode tres anexos en la gua, uno con el tangrama que es recortable (pg. 23), otro con los criteriosde semejanza de tringulos (pg. 25) y por ltimo con el teorema de Thales (pg. 26). El trabajoes personal. El rol del profesor o profesora es detectar las dificultades que presenten los estudiantesy deber apoyar a aquellos que no dominen completamente la semejanza ya que es especialmentenecesaria para esta actividad de exploracin.Se ha construido el applet Applet Gua 02 - Tangrama.htm para apoyar esta actividad.

    Recursos

    Gua 2 - Buscando a Euclides. Explorando relaciones con un tangrama.Tijeras para recortar el tangrama.

    Tiempo estimado: 1 o 2 horas

    222 bac +=

    qph =2

  • 7/30/2019 Profesor 3ro Medio 2008

    24/205

    24 Unidad: Ms sobre tringulos rectngulos

    Actividad 4: Introduccin a la demostracin 1 parte (complementaria)

    El objetivo de esta actividad es iniciar al alumno en el camino de las demostraciones matemticas.La Gua 02a - Introduccin a la nocin de teorema y la demostracin intenta mostrar al alumnola distincin entre lo que es y no es una proposicin matemtica, la diferencia entre el razonamientoinductivo del deductivo y un ejemplo de las posibles falacias que se presentan al hacergeneralizaciones sin cuidado.Se espera que el alumno reconozca matemticamente las verdades y cmo stas se establecen.Este es un tema que forja el orden y la rigurosidad necesarios para entrar correctamente a lasdemostraciones matemticas.

    Recursos

    Gua 02a - Introduccin a la nocin de teorema y la demostracin.

    Ver sugerencias didcticas especficas correspondientes a esta actividad en lapgina 37 de este documento.

    Tiempo estimado: 3 horas

    Actividad 3: Lanzamiento de los proyectos (complementaria)

    Esta actividad es opcional y tiene como propsito que los alumnos se enfrenten a situacionesreales que estn relacionadas con los teoremas de Euclides, Pitgoras y la trigonometra y seancapaces de analizar, discutir, plantear procedimientos y un plan de trabajo que debern desarrollar

    en paralelo a las clases. La idea es presentar un conjunto de proyectos en documentos breves quelos definen y entregan informacin base para realizarlos (trminos de referencia). Durante elproceso el profesor o la profesora programar sesiones en que los alumnos darn cuenta de susavances (informes de avance) de tal forma que permitirn dar un necesario feedback al trabajorealizado por ellos.Esta actividad culmina con breves presentaciones de los alumnos frente al curso. Si lo desean,

    pueden utilizar con material concreto como planos, maquetas, mapas, proyecciones preparadasen el computador, etc. Segn sea el planteamiento del proyecto.

    Recursos

    Trminos de referencia de los proyectos. Proyectos 1 al 6.

    Ver sugerencias didcticas especficas correspondientes a esta actividad en lapgina 46 de este documento.

    Tiempo estimado: 1 hora

  • 7/30/2019 Profesor 3ro Medio 2008

    25/205

    2Unidad: Ms sobre tringulos rectngulos

    Actividad 5: Aplicando del teorema de Euclides referido a la altura (complementaria)

    El propsito de esta actividad es que los alumnos y alumnas retomen el teorema de Euclidesreferido a la altura ( ) y que lo apliquen en problemas variados. La motivacin iniciales determinar la distancia que tiene que estar un observador de un obelisco en un contexto que

    necesita de los teoremas de Euclides de los catetos, para resolverse. Una vez que se analiza yresuelve el problema, el profesor o profesora debiese dejar claramente establecido que elteorema que se utiliza es . A modo de ayuda, se agreg una breve descripcin de loque se entiende por proyeccin de un cateto sobre la hipotenusa, idea utilizada en el enunciadodel teorema. Posteriormente los alumnos aplican el teorema en diversos contextos, ejercitandolas tcnicas numricas y algebraicas necesarias (races, ecuaciones). Todos los ejercicios se puedenresolver utilizando la relacin . El profesor debe asegurarse que el curso asimile el teorema.Esta gua presenta 20 ejercicios en contexto y matemticamente puros, con estructura y nivel tipo PSU.

    Recursos

    Gua 03 - Teorema de Euclides y algunas aplicaciones. La altura del obeliscoApplet Gua 03 - Visualizacin obelisco.htm

    Tiempo estimado: 3 horas

    qph =2

    qph =2

    qph =2

    Actividad 6: Introduccin a la demostracin 2 parte (complementaria)

    Esta actividad tiene como propsito continuar la introduccin del alumno y alumna a lasdemostraciones. Esta compuesta de tres guas (3a, 3b y 3c). La primera (3a) establece la estructurade una demostracin, mostrando la secuencia de argumentos de un razonamiento deductivo comouna cadena de argumentos, distinguiendo los datos y relaciones iniciales como las hiptesis y lasconclusiones como tesis. Utiliza la demostracin de la suma de los ngulos interiores de un

    tringulo suman 180 como ejemplo y deja de ejercicio un corolario de este: en un tringulorectngulo, la suma de los ngulos agudos es 90.La gua 3b, se centra en el enunciado del teorema de Euclides referido a la altura. A partir delenunciado de este teorema, se pide al alumno identificar y anotar las hiptesis y las tesis que

    presente este enunciado, compararlas con un compaero y luego corregirlas y o completarlas conlas que el profesor finalmente presente en pizarra. Lo importante aqu, es que el alumno puedadistinguir las hiptesis y las tesis a partir de un enunciado.La gua 3c desarrolla en detalle la demostracin de , describiendo los pasos efectuadoscon los argumentos matemticos que los sostienen. Relaciona la estructura de la demostracincon la descrita en la gua 3a, en donde se describa como una cadena. En esta gua se proporcionandos anexos, uno con una relacin angular til y otra con los criterios de semejanza de tringulosen detalle.

    Recursos

    Gua 3a - Las demostraciones como cadenasGua 3b - Del soporte (Hiptesis) al gancho (Tesis)Gua 3c - De la hiptesis a la Tesis

    Tiempo estimado: 6 horas

    qph =2

  • 7/30/2019 Profesor 3ro Medio 2008

    26/205

    26 Unidad: Ms sobre tringulos rectngulos

    Actividad 7: Los teoremas de Euclides referidos a los catetos (ncleo)

    Esta actividad tiene como propsito presentar, sin argumentacin previa, los teoremas de Euclidesreferidos a los catetos: y . La justificacin de estos teoremas queda a la decisindel profesor o profesora. Puede ayudar que, las guas 4a y 4b presentan una demostracin de uno

    de ellos y deja propuesta la demostracin del otro, pero no es el objetivo juntar aqu estas guascon la nmero 4, pues la 4a y la 4b vienen concluyendo un trabajo paralelo acerca de la demostracin.Posteriormente se presenta un listado de 16 ejercicios en donde se aplican estos teoremas. Algunosson aplicaciones en contexto y otros son aplicaciones matemticamente puras. Una buena partede ellos tiene la estructura y el nivel de ejercicios tipo PSU.El trabajo es individual y el profesor deber asegurarse que los alumnos estn en capacidad deaplicar estos dos teoremas de Euclides.

    Recursos

    Gua 4 - Teorema de los catetos en un tringulo rectngulo. Formalizando el teoremaCalculadora

    Tiempo estimado: 2 horas

    cqa =2

    cpb =2

    Actividad 8: Introduccin a la demostracin 3 parte (complementaria)

    La actividad, se compone de dos guas, la 4a y la 4b. Estas guas presentan una demostracinincompleta del teorema y deja propuesta la demostracin del otro, .La idea es que el alumno contine el proceso de aprender a demostrar con la gua 4a, completandola demostracin de , distinguiendo la hiptesis de la tesis. Complete la demostracinya esbozada, partiendo de la hiptesis, encadenando los argumentos necesarios justificando cada

    paso y arribando a la conclusin o tesis. En la gua 4b, se deja propuesta la demostracinde que es anloga a la anterior.El profesor puede apoyar esta construccin de demostraciones recurriendo a ejemplos del mtodoaxiomtico, intentando de no desviarse del objetivo que es aprender a demostrar.En este nivel, nos interesa solamente que el alumno maneje, aunque sea rudimentariamente, elmtodo axiomtico y conozca el mtodo de demostracin directa. Otros mtodos como la reduccinal absurdo, se han dejado para el siguiente nivel, cuarto medio.

    Recursos

    Gua 4a - Empezando a asegurarnosGua 4b - Empezando a demostrar

    Tiempo estimado: 4 horas

    cqa =2

    cpb =2

    cqa =2

    cpb =2

  • 7/30/2019 Profesor 3ro Medio 2008

    27/205

    2Unidad: Ms sobre tringulos rectngulos

    Actividad 9: Primera evaluacin (complementaria)

    Este instrumento de evaluacin es opcional. El docente podr utilizarlo como viene, adaptarlo asus necesidades o sencillamente utilizar uno propio. Incluso la oportunidad en que se sugiere estaaplicacin tambin es opcional.Con esta actividad se puede apreciar el estado del arte de los alumnos. La idea, como todaevaluacin de este tipo, es apreciar el nivel de dominio de los alumnos respecto de los teoremasde Euclides. En el instrumento se utilizan tems que preguntan acerca del conocimiento, comprensiny aplicacin de los teoremas.En esta evaluacin NO se abordan las demostraciones de los teoremas.

    Con esta actividad se cierran las actividades relacionadas con los teoremas de Euclides. Y secomenzar con trigonometra.

    Recursos

    Prueba N 1: El teorema de Euclides

    CalculadoraTiempo estimado: 2 horas

    Actividad 10: Por qu nacieron las razones trigonomtricas? (complementaria)

    Esta actividad se enfoca en un relato (y posterior registro) escrito y resumido del camino histricoque han seguido los contenidos que hoy estn en estudiando los alumnos y alumnas. La intencinde esta lectura es propiciar un espacio de reflexin con los alumnos y alumnas acerca del desarrollodel conocimiento humano y en particular de la trigonometra. De los factores que intervienen, delas personas que van colaborando al pasar de los aos (y los siglos) en un desarrollo lento, trabajoso,a veces difcil, pero que sin l no tendramos varios de los desarrollos que hoy existen. Tambin

    se puede reflexionar acerca del costo que conlleva el producir conocimiento, y no del monetario,sino del esfuerzo personal que involucra, de las herramientas necesarias, de los desarrollos anterioresque sustentan los descubrimientos y de los desarrollos posteriores, del tiempo involucrado, etc. Laidea es que los alumnos dimensionen de mejor forma la trayectoria que ha recorrido la sabidura,en particular la trigonometra, a travs del tiempo, de las culturas y de las personas para transformarseen lo que hoy les llega a su sala. Esta actividad se pens como un trabajo en parejas de alumnos.Cada pareja estar a cargo de un siglo (desde Euclides hasta hoy son 23 siglos aproximadamente).Debern presentar los hechos relevantes que ocurrieron en su siglo. Se podra acopiar la informacinde los grupos en una secuencia de pliegos de papel kraft dispuestos en los muros alrededor de lasala. Si el docente desea efectuar esta actividad, deber estar bien preparado en los hitos histricosmencionados en la lectura para poder apoyar la creacin de la lnea del tiempo, sugerida en la gua.

    Recursos

    Gua 5 - Por qu nacieron las razones trigonomtricas?Un papelgrafo por grupo u otro soporte que permita construir una lnea de tiempoLpices, plumones y otros accesorios pertinentes

    Tiempo estimado: 1 hora

  • 7/30/2019 Profesor 3ro Medio 2008

    28/205

    28 Unidad: Ms sobre tringulos rectngulos

    Actividad 11: Las bases para el clculo de razones trigonomtricas (complementaria)

    Esta actividad permite hacer una presentacin resumida de los tres sistemas angulares utilizados:el circular (radianes), el sexagesimal (grados) y el centesimal (grados centesimales).La gua 6 se centra en los dos primeros, definindolos y estableciendo las ecuaciones para pasar

    de un sistema al otro. Se plantean algunos ejercicios para que los alumnos y alumnas puedaejercitar dichas conversiones. El trabajo es individual y se espera que el alumno conozca lasdefiniciones de la unidad angular en ambos sistemas (sexagesimal y circular) y adquiera la tcnica

    para efectuar conversiones de unidades de medidas angulares entre dichos sistemas.Esta actividad precede a las actividades de trigonometra.

    Recursos

    Gua 6 - Medicin de ngulos y sistemas angulares. Una mirada a los ngulos, sus medidasy los sistemasUn transportador, al menos cada dos alumnos.

    Tiempo estimado: 1 hora

    Actividad 12: Introduccin a la trigonometra. Tablas y razones trigonomtricas (nuclear)

    Esta actividad es clave para la comprensin de las razones trigonomtricas. En la gua 7, los alumnosdeben aprender a identificar el cateto adyacente y opuesto a uno de los ngulos agudos de untringulo rectngulo. Posteriormente se presentan las definiciones de las razones trgonomtricas,calculndolas en base al tringulo marcado como ngulo: 10 en la gua 7a. Los alumnos,individualmente, pueden verificar las mediciones mostradas como ejemplo para empezar a prepararlos clculos que se les pedirn posteriormente.Posterior a esta verificacin, los alumnos se renen en equipos de dos o tres alumnos y comienzanlas actividades sealadas como Trabajo en equipo. El profesor le asignar a cada equipo SOLOUNO de los tringulos de la gua 7a, en base al cual los alumnos completarn las tablas de laspginas 96 a la 100. A continuacin, siempre en grupo, contestarn las preguntas de la pgina 101.Hasta aqu la actividad puede durar dos o tres horas pedaggicas, completando as una clase. Comoestn previstas 4 horas, en la siguiente clase se puede continuar el trabajo desde la pgina 102. Enesta parte, la idea es que los alumnos y alumnas, una vez que han detectado la regularidad que seproduce, puedan minimizar el error en sus mediciones obteniendo el promedio de las medicionesregistradas en las tablas de la pginas 96 a 100. As tendrn el mejor representante de susmediciones y se les pedir compararlo con el valor que entrega la calculadora. Probablemente, anse mantenga un error respecto de la calculadora, por lo que es una buena oportunidad para poneruna breve discusin acerca del error instrumental que se comente al efectuar mediciones manuales.Para ello se ha dispuesto la tabla de la pgina 103 que permite mostrar numricamente el errorcometido en los clculos efectuados por los alumnos. De aqu la importancia de ocupar la calculadora

    cientfica que permite ahorrar tiempo y esfuerzo y es ms precisa de lo que podemos ser los humanos.

    Recursos

    Gua 7 - Tablas de razones trigonomtricas. Valores para ngulos entre 0 y 45Gua 7a - Tringulos para calcular razones trigonomtricas.Calculadora cientfica (imprescindible) y regla por cada grupo al menos

    Tiempo estimado: 4 horas

  • 7/30/2019 Profesor 3ro Medio 2008

    29/205

    2Unidad: Ms sobre tringulos rectngulos

    Actividad 13: Las razones trigonomtricas (nuclear)

    Esta actividad propicia la ejercitacin de los clculos de razones trigonomtricas a partir de losdatos de un tringulo rectngulo (en algunos se debe obtener el tercer lado usando Pitgoras).Ms adelante, dado un valor de una razn trigonomtrica se pide calcular las cinco restantes y

    finalmente se propicia en la pgina 114, para los alumnos ms interesados, las demostracionesde algunas identidades trigonomtricas utilizando las razones trigonomtricas.La idea es instalar en los alumnos la tcnica para el clculo de razones trigonomtricas.El trabajo es individual.

    Recursos

    Gua 08 - Las razones trigonomtricas. De las ms conocidas a las menos utilizadasCalculadora

    Tiempo estimado: 2 horas

    Actividad 14: Aplicaciones de la trigonometra (nuclear)

    Esta actividad se compone de dos guas: la 9 y la 9a. En la gua 9 se proponen aplicaciones quevan un poco ms all de las que vienen en la gua 8. Por ejemplo, se pide calcular razonestrigonomtricas en un tringulo rectngulo para un ngulo agudo y para su complemento, se piderelacionar dichos resultados con un pareo de expresiones, a partir de una razn trigonomtricadada, calcular el resto de las razones trigonomtricas asociadas a ese ngulo y las del ngulocomplementario y luego se proponen una serie de ejercicios en contexto y otros sin contexto quetiene la estructura y nivel de los que aparecen en la PSU.La gua 9a propone abordar problemas que involucren ngulos de elevacin y ngulos de depresin

    en su planteamiento. Parte con una breve definicin de dichos ngulos y luego propone 15 ejerciciosal lector. Los dos ltimos revisten una dificultad mayor y pueden ser propuestos a alumnosinteresados o de mayor nivel.Ambas guas son de trabajo individual.

    Recursos

    Gua 09 - La trigonometra en accin. Aplicaciones trigonomtricasGua 09a - Aplicaciones trigonomtricas en contexto. Aplicaciones en contexto

    Tiempo estimado: 2 horas

  • 7/30/2019 Profesor 3ro Medio 2008

    30/205

    30 Unidad: Ms sobre tringulos rectngulos

    Actividad 15: El crculo goniomtrico (complementaria)

    Hasta ahora, la trigonometra que se ha revisado en las guas anteriores permite efectuar clculospara ngulos agudos solamente. La gua 10 presenta al crculo goniomtrico que permite generalizarlas razones trigonomtricas para cualquier ngulo. La gua hace una descripcin detallada del

    crculo goniomtrico, su estructura, forma de leerlo y usarlo, los cuadrantes, la forma en que secalculan las razones trigonomtricas en l, las coordenadas del punto que se mueve por lacircunferencia y en la ltima pgina propone algunos clculos usndolo.Esta gua es previa al la nmero 12 en la que se ven las funciones trigonomtricas del seno y elcoseno. El trabajo es individual.Se ha creado el applet Circulo goniomtrico.htm para apoyar esta gua.

    Recursos

    Gua 10 - El crculo goniomtrico. Extensin de las razones trigonomtricas para un ngulocualquieraCalculadora

    Applet Circulo goniomtrico.htm

    Tiempo estimado: 2 horas

    Actividad 16: Identidades trigonomtricas (ncleo)

    En esta actividad se estudian la identidades trigonomtricas. Ya se hizo una entrada a ellas en laparte final de la gua 8. En esta gua se enfoca a la demostracin de las principales identidadestrigonomtricas: las que definen secante, cosecante, cotangente y las que se basan en Pitgoras.Todas ellas tienen un sustento algebraico en el que se basan sus respectivas demostraciones. Al

    final de la gua se presenta un cuadro resumen con identidades trigonomtricas que quedanpropuestas para que las demuestre el lector interesado.

    Recursos

    Gua 11 - Las identidades trigonomtricas. Las bsicas y las que se sustentan en Pitgoras

    Tiempo estimado: 2 horas

  • 7/30/2019 Profesor 3ro Medio 2008

    31/205

    3Unidad: Ms sobre tringulos rectngulos

    Actividad 17: Una entrada a las funciones trigonomtricas (complementaria)

    Esta actividad presenta la funcin trigonomtrica seno y sus propiedades, basndose en appletsen Internet y en el applet Gua 12 - Funcin seno.htm construidos dentro del proyecto. Se estudian

    propiedades de la funcin seno como la periodicidad, signos de la funcin, valores extremos,ceros de la funcin, grfica y amplitud de la funcin en la grfica. Datos que se resumen en unatabla de la pgina 145. Posteriormente, se pide al alumno que pueda completar los mismos datos

    para la funcin coseno utilizando el applet Gua 12 - Funcin coseno.htm. Finalmente se pidetrabajar con el applet Gua 12 - Satlite.htm para que el alumno intente completar la tabla anlogaa la de la funcin seno en la misma pgina 145. Finalmente se presenta un applet que simula unatrayectoria de un satlite en una rbita no paralela a la lnea del ecuador. Utilizando este appletel alumno deber responder algunas preguntas.

    Recursos

    Gua 12 - Las funciones Sen, Cos y situaciones modelables. Funciones trigonomtricasen el plano cartesiano

    Applets Gua 12 - Funcin seno.htm, Gua 12 - Funcin coseno.htm y Gua 12 -Satlite.htm.

    Tiempo estimado: 2 horas

    Actividad 18: Cierre de Proyectos (complementaria)

    El propsito de esta actividad es que los alumnos y alumnas investiguen acerca de una situacinconcreta relacionada con los teoremas de Euclides y con la trigonometra.La idea es que el alumno, la alumna o el grupo de alumnos avance en el proyecto en forma paralelaal desarrollo de las clases, de tal forma que al final de la unidad haga una presentacin que refleje

    la aplicacin del conocimiento que subyace en los proyectos.Conviene adems, motivar a los alumnos para que en sus presentaciones utilicen mediosaudiovisuales, esquemas, maquetas u otros elementos pertinentes y que argumenten basndoseen el conocimiento matemtico adquirido.Para evaluar los proyectos se sugiere utilizar la pauta presentada en el Anexo 1 de este documento.Es altamente recomendable que los alumnos y las alumnas conozcan dicha pauta.

    Recursos

    Se sugiere que el docente tenga una pauta como la del Anexo 1 en papel por cadapresentacin.

    Tiempo estimado: 2 horas

  • 7/30/2019 Profesor 3ro Medio 2008

    32/205

    32 Unidad: Ms sobre tringulos rectngulos

    Actividad 20: Evaluacin sumativa (ncleo)

    Esta evaluacin busca tener informacin acerca del aprendizaje que han logrado los alumnos enla unidad. Es de carcter obligatorio y ser tomada en todos los cursos del proyecto.

    Recursos

    Prueba sumativa de final de unidad.

    Tiempo estimado: 2 horas

    Actividad 19: Segunda evaluacin (complementaria)

    Esta prueba se basa en los contenidos y en los objetivos fundamentales del nivel que debieranser alcanzados por los alumnos en trigonometra.En esta actividad se espera que los alumnos sean capaces de conocer y aplicar los conceptos

    fundamentales de trigonometra en diversos contextos y en aplicaciones matemticamente puras.Esta evaluacin se desarrolla en forma individual y cada alumno debe contar con regla ycalculadora.

    Recursos

    Prueba N 2: TrigonometraCalculadoraRegla (20 cm mnimo)

    Tiempo estimado: 2 horas

  • 7/30/2019 Profesor 3ro Medio 2008

    33/205

    3Unidad: Ms sobre tringulos rectngulos

    Estamos en el tercer ao de enseanza media. La mayora de los alumnos, en su historial escolar enmatemtica han estado expuestos a contenidos que se utilizarn en esta unidad. Con mayor o menor

    profundidad deberan conocer contenidos tales como: la manipulacin algebraica, la operatoria, lasemejanza y congruencia de tringulos, rea y permetro de tringulos, medicin de longitudes,ngulos y sus respectivas conversiones de unidades, etc.

    Las actividades de esta unidad suponen que los alumnos traen consigo algunos de los contenidosrecin citados. No nos haremos cargo especficamente de ellos en esta unidad, salvo el Teorema dePitgoras, al que se le destina la gua 1. El resto de las actividades interpelan al alumno para que seapropie de los nuevos contenidos que se le presentan. Se hace necesario entonces una explicacindetallada de las actividades sugeridas para la unidad. Por ello es que presentamos a continuacin lassugerencias didcticas especficas por actividad para esta unidad.

    SUGERENCIAS DIDCTICAS ESPECFICAS

    Esta gua est enfocada a que los alumnos redescubran el antiguo teorema de Pitgoras. Hace unaentrada a este contenido pensando en que se est frente a alumnos de tercer ao medio, por lo quese va un poco ms all de la tpica entrada que se realiza en octavo ao bsico.

    Un modo sugerido de entrar a esta gua puede ser el mtodo de la cuadratura que consistebsicamente en describir cmo se puede construir un rectngulo. El mtodo consiste en construirun cuadriltero, como el de la figura 1

    Actividad 1: Gua 1 De vuelta al teorema de Pitgoras (pg 6)

    Figura 1. Figura 2.

    Sabemos que los alumnos no siempre estn equipados con los contenidos que necesitan para abordarcompetentemente cualquier unidad. Por ello es que hemos diseado dos guas cuyo fin es nivelarlosen dos contenidos necesarios para entrar a esta unidad: el teorema de Pitgoras es muy importante

    por ser transversal a los dos temas en que se divide esta unidad: el teorema de Euclides y Trigonometra,por lo que se aborda especficamente en la gua 1. La segunda gua propuesta para nivelar alumnoses la gua 6. Esta trata los sistemas de medicin angular ms utilizados: el sexagesimal y el circular(radianes). Esta gua se debe a la importancia y pertinencia que tiene el que los alumnos manejenestos contenidos antes de entrar a trigonometra. Adems, hemos construido la gua 5 con el fin demostrar la dimensin histrica de la trigonometra.

    A continuacin se describen las guas 1, 5 y 6.

    Actividades N 1, 10 y 11: Sesiones introductorias

  • 7/30/2019 Profesor 3ro Medio 2008

    34/205

    34 Unidad: Ms sobre tringulos rectngulos

    y luego, en tres de sus esquinas construir tringulo de lados con longitudes 3, 4 y 5, como muestrala figura 2. Estos tringulos son rectngulos, por lo tanto el cuadriltero ser un rectngulo.

    El grueso de la gua aborda el teorema de Pitgoras desde varios puntos. El ejercicio 1, de la pgina7, intenta relevar la doble implicancia del teorema de Pitgoras. Por ejemplo, si se tiene un tringulorectngulo cuyos catetos tienen longitudes 3 y 4, y cuya hipotenusa tiene longitud 5,entonces necesariamente ocurre que . Pero la implicancia tambin funciona en elsentido opuesto: si se tiene un tringulo cuyas longitudes son 3, 4 y 5, y adems ocurreque entonces necesariamente ocurre que dicho tringulo es rectngulo. Los demsejercicios son mas bien aplicaciones tradicionales del teorema. Tal vez sea interesante decir que elejercicio 15 de la pgina 10, es una versin tridimensional del teorema de Pitgoras. Por ejemplo,si las dimensiones del paraleleppedo son a, b y c entonces se tiene que .

    Siempre con la idea de presentar al teorema de Pitgoras un poco ms all de lo que se vea en octavo,los tem 17, 18 y 19 de las pginas 11 y 12 apuntan a un alumno que est en posesin de las habilidadesalgebraicas suficientes para calcular las reas de las semicircunferencias, los tringulos equilterosy los hexgonos a partir de las longitudes de los catetos y la hipotenusa respectiva, y a partir de estosclculos deduzca una relacin similar a la de Pitgoras, ms bien se basa en ella. Es una oportunidad

    para el desafo.

    La relacin: rea I + rea II = rea III se da en los tres casos. Son casos particulares, incluido el

    teorema de Pitgoras, de un teorema ms general: Si sobre los catetos y la hipotenusa de un tringulorectngulo se construyen figuras geomtricamente semejantes entonces la suma del rea de la figurasconstruidas sobre los catetos es igual al rea de la figura construida sobre la hipotenusa.

    A modo de cierre, se sugiere presentar nuevamente el teorema de Pitgoras desde su equivalencialgica (como el ejercicio 1 de la pgina 7) , es decir, si se tiene un tringulo rectngulo de catetosa y b e hipotenusa c automticamente se tiene tambin que y viceversa.

    Las extensiones del teorema (ejercicios 17, 18 y 19) fueron propuestos mas bien como desafo paraalumnos que conocen bien el teorema o para alumnos ms adelantados.

    La tecnologa acompaa a esta gua. Hemos construido varios applets que permiten manipularvisualizaciones del teorema de Pitgoras y de las figuras propuestas en los ejercicios 17, 18 y 19 deesta gua. Los applets disponibles en el material digital son los siguientes:

    222 543 =+

    222 543 =+

    2222 cbad ++=

    222 bac +=

  • 7/30/2019 Profesor 3ro Medio 2008

    35/205

    3Unidad: Ms sobre tringulos rectngulos

    Se decidi incorporar esta gua a la unidad intentando alcanzar dos fines. Uno, darle contexto y unaubicacin temporal a la trigonometra y dos, dar una idea de lo que cuesta producir y sistematizarel conocimiento. La trigonometra que llega hasta el escritorio de los alumnos ha tenido un desarrollode miles de aos. Han aportado a ella muchsimas personas, famosas y annimas que, al igual comose construye un edificio, han hecho sus respectivas construcciones. Por lo tanto, este contenido esun regalo de la antigedad que ha llegado hasta nuestros das.

    Esta gua trae una introduccin histrica del origen de la trigonometra. Parte describiendo su ntimarelacin con la astronoma y la estructura que le dieron los babilonios. Luego describe los aportesde los griegos Hiparco de Nica y Ptolomeo. Mas adelante avanza en los desarrollos que aportaronlos rabes llegando a las contribuciones de occidente en la persona de destacadas mentes comoFranois Vite, John Napier, Isaac Newton y Leonhard Euler. Por ltimo se hace una breve mencina la trigonometra esfrica.

    Al aplicar esta gua, se espera que los alumnos dimensionen de mejor forma el tiempo, personas ytrabajo que ha llevado el llegar a tener en nuestras manos este conocimiento. Para ello hemos sugeridoque los alumnos construyan una lnea de tiempo, separada en siglos (desde Euclides hasta hoy son23 siglos aproximadamente), con los hechos y personas relevantes que han dado forma a lo que hoyconocemos por trigonometra. Se podra agregar a esta lnea del tiempo eventos conocidos por losalumnos como el nacimiento de Jess, el descubrimiento de Amrica, la revolucin francesa, losaos que dur el renacimiento, el tiempo que dur el imperio Romano, etc., con la idea de que losalumnos relacionen en el tiempo algunos aportes de la matemtica con la historia de la humanidad.

    Actividad 10: Gua 5 Por qu nacieron las razones trigonomtricas? (pg 79)

    Despus de aplicar esta gua, el alumno debiese estar en condiciones de poder enunciar, describir yaplicar el teorema de Pitgoras. Recuerde que lo ocuparemos en varias de las actividades que vienenen esta unidad, por lo tanto, si el docente estima que sus alumnos estn suficientemente equipadoscon este teorema puede comenzar inmediatamente con la actividad 2 Buscando a Euclides. Y siconsidera que esta gua es necesaria pero no lo suficiente como para destinarle dos horas pedaggicas,se sugiere que la implemente como trabajo autnomo (fuera de las sesiones en aula) de los alumnos.

    Recuerde que Ud. es el dueo de la clase y por ende de la unidad. Puede, en base a decisionespedaggicas, determinar las acciones a realizar por sus alumnos.

    El tiempo estimado para esta gua es de dos horas pedaggicas y la modalidad de trabajo sugeridacon los alumnos es individual.

    Gua 01 - Pitgoras.htm Este applet muestra una visualizacin delteorema de Pitgoras, en el que se puedecambiar las longitudes del tringulo rectnguloy automticamente se modifican los cuadradosasociados.

    Gua 01a - Pitgoras con circunferencias.htm

    Gua 01b - Pitgoras con tringulos equilteros.htm

    Gua 01c - Pitgoras con hexgonos regulares.htm

    Cada uno de estos tres applets muestrauna relacin similar a la de Pitgoras en laque si se suman las reas I y II se obtieneel rea III.

  • 7/30/2019 Profesor 3ro Medio 2008

    36/205

    36 Unidad: Ms sobre tringulos rectngulos

    Esta gua invita a hacer una presentacin resumida de los sistemas angulares: sexagesimal, circulary gradiente. El nfasis est en los dos primeros y el tercero slo se define, debido a su poca o ningunaaplicacin a nivel escolar.

    Esta gua es corta y simple. A modo de ejercitacin slo pide medir tres ngulos y convertir de gradosa radianes y viceversa un grupo dado de ngulos tpicamente utilizados (pg 90).

    La importancia de esta gua radica en la idea de radian que viene asociada. El sistema circular esparticularmente til sobre todo cuando deseamos operar con las medidas de los ngulos. Por ejemplo,

    es bastante difcil obtener sin embargo, al hacer la conversin , se trabaja con un

    nmero real, donde s es posible calcular .

    La tecnologa tambin acompaa a esta gua. Hemos construido dos applets que permiten manipularvisualizaciones de un radin y de la conversin entre los sistemas de medida angular. Los appletsdisponibles en el material digital para la gua 6 son los siguientes:

    Actividad 11: Gua 6 Medicin de ngulos y sistemas angulares. Una mirada a losngulos, sus medidas y los sistemas (pg 87)

    La gua tiene destinada 1 hora pedaggica para su revisin con alumnos.

    Si el docente decide aplicar esta gua, se sugiere que los alumnos la desarrollen en un trabajo autnomo

    Actividades N 4, 6 y 8: Una introduccin a la demostracin

    En esta unidad, hemos incorporado a la demostracin como parte importante. Es una continuacindel breve trabajo propuesto en la unidad de segundo ao medio La circunferencia y sus ngulosde este proyecto. En esa ocasin, se le propona a los alumnos distinguir la hiptesis y la tesis a partirde un enunciado de un teorema relativo a la unidad. Nada ms. Se dejaba el espacio para el alumnoque se atreviera a demostrar dicho teorema, pero no era la finalidad, la importancia estaba en ladistincin entre hiptesis y tesis.

    Esta gua no tiene applets asociados, tiene un tiempo estimado de una hora pedaggica y se penspara un trabajo del grupo curso, dividindolo en grupos de dos alumnos a cargo de un siglo (23 siglosson 46 alumnos), de modo que cada grupo se haga cargo de presentar los hechos relevantes queocurrieron en su siglo. Se podra acopiar toda la informacin en una secuencia de pliegos de papelkraft (uno por siglo) dispuestos en los muros alrededor de la sala que muestren la lnea de tiempo.

    603

    60

    =

    3

    Gua 06 - Applet - Visualizacion de un radian.htm Este applet muestra una visualizacin de loque es un radian

    Gua 06 - Applet - Conversion grados a radianes.htm Este applet muestra tres circunferencias enlas que se representa un mismo ngulo perocon diferentes medidas: en grados y enradianes.

  • 7/30/2019 Profesor 3ro Medio 2008

    37/205

    3Unidad: Ms sobre tringulos rectngulos

    Ahora, en tercer ao medio, proponemos una secuencia de guas que se adentran en la demostracinmatemtica siguiendo la siguiente secuencia: Introduccin a la nocin de teorema y la demostracin(Gua 2a), ir de la hiptesis a la tesis (Guas 3a, 3b y 3c) y primeras demostraciones formales (Guas4a y 4b). A continuacin se describen estas guas.

    La actividad 4 consta de la gua 2a solamente. Esta gua parte haciendo la distincin entre un enunciadoque es proposicin (matemtica) del que no lo es, sigue adentrndose en qu es una argumentacin,qu es la generalizacin como razonamiento inductivo y las generalizaciones errneas al que su usodescuidado puede llevar.

    La idea de esta gua es evidenciar que se puede pensar ordenadamente, deducir algunas reglas, perosi no se es cuidadoso es fcil proponer relaciones errneas. La idea es establecer que el correctorazonamiento es un proceso fiable para adquirir conocimiento verdadero.

    En el tem 2 de la pgina 31 se espera que el alumno tome los nmeros impares, los eleve al cuadradoy determine el resto de dividir el resultado por cuatro. Siempre da 1. Recordemos que si al dividirpor 4 un nmero entero a se obtiene un nmero entero b por cuociente y su resto es rentonces podemosescribir . Si , entonces kes mltiplo de 4, sino, la divisin por 4 arroja resto r.

    El tem dice que si n es un nmero entero, entonces es un nmero impar. Al elevarlo alcuadrado tendremos que:

    Actividad 4: Gua 2a Introduccin a la nocin de teorema y la demostracin (pgina 27)

    rba += 4 0=r

    ( ) ( ) 1414412 222 ++=++=+ nnnnn

    En el caso que nos ocupa, al dividir por 4 a se obtiene por cuociente a y el restoes 1. Como n es arbitrario, entonces al dividir un nmero impar al cuadrado siempre arroja resto 1.

    Es probable que esta explicacin escape al entendimiento inmediato de los alumnos. Bastar que elalumno entienda que puede ensayar dividiendo varios cuadrados de nmeros impares para conjeturarla regularidad buscada, pero que en realidad no puede asegurar que es cierta para todos losnmeros impares a partir de la confirmacin de muchos casos. La infinitud de los nmeros imparesrequiere de otros mtodos para asegurar (lase demostrar) que la conjetura encontrada es cierta paracualquier nmero impar.

    12 +n

    ( )212 +n nn +2

  • 7/30/2019 Profesor 3ro Medio 2008

    38/205

    38 Unidad: Ms sobre tringulos rectngulos

    El tem 3 de la pgina 31 muestra un caso que lleva a engao. Si se parte de la figura 2.18 a) se tieneque el cuadrado est constituido por 64 cuadraditos. Si reordenamos los tringulos y trapecios deeste cuadrado en el rectngulo de la figura 2.18 b) y volvemos a contarlos cuadraditos, nosencontraremos que ahora tenemos 65. El error est en la segunda figura. Est mal dibujada. Enrealidad al reordenar el cuadrado, el rectngulo tiene un hoyo en forma de romboide, sumamentedelgado, por la diagonal. Un ejemplo exagerado lo muestra la figura 3 siguiente:

    Actividad 6: Guas 3a, 3b y 3c de la hiptesis a la tesis (pginas 44, 50 y 53)

    La primera de estas tres guas (3a) aborda el razonamiento deductivo, mencionado en la gua 2a. Seexplica este tipo de razonamiento y se explicita la estructura de un teorema referido a la hiptesis ytesis. Se hace una descripcin detallada acerca de la demostracin con un ejemplo de ella en baseal teorema de la suma de los ngulos interiores de un tringulo. Se muestran los pasos de lademostracin detallando los argumentos usados, una figura ilustrativa y la justificacin para cada

    paso. Posteriormente se le pide al alumno que intente demostrar un corolario del teorema anteriorsiguiendo la misma estructura (argumentos, figura ilustrativa y justificacin).

    A modo de cierre, se sugiere que el profesor gue una conversacin de anlisis en la que releve elrazonamiento deductivo, la estructura hiptesis-tesis de los teoremas, la secuencia de argumentoscomo un encadenamiento que parte de la hiptesis y lleva a la tesis en una secuencia de pasoslgicamente verdaderos y concatenados.

    Para este trabajo se han estimado dos horas pedaggicas y se sugiere que el trabajo de los alumnossea en parejas.

    Las dos guas siguientes (3b y 3c) utilizan el teorema de Euclides referido a la altura ( )en su desarrollo. La 3b se enfoca en la distincin entre hiptesis y tesis en este teorema. La tabla 1de la pgina 51 del material del alumno muestra un desglose del enunciado del teorema. La idea esaclarar lo que el enunciado del teorema nos quiere decir. En la tabla 2 se le pide al alumno determinarlas hiptesis y tesis involucradas en el desglose anterior. La tabla nmero 3 la debe completar el

    Figura 3.

    Creemos propicio, a modo de cierre, que posterior a este tem, el profesor o profesora dirija unaconversacin con (y entre) los alumnos y alumnas acerca de la falacia oculta en las figuras 2.18 a)

    y b). La idea es dejar instalada la inquietud de ser cuidadoso en las generalizaciones y que, al menosen matemtica, se requiere de otras herramientas para asegurarse de la veracidad general de lasconjeturas que se puedan encontrar.

    El tiempo estimado para esta gua es de dos horas. Se propone que el trabajo de los alumnos sea engrupos de dos alumnos.

    qph =2

  • 7/30/2019 Profesor 3ro Medio 2008

    39/205

    3Unidad: Ms sobre tringulos rectngulos

    profesor explicando el por qu ciertas partes del enunciado del teorema son hiptesis y otras sontesis. A partir de esta, los alumnos podrn completar o corregir lo que escribieron en la tabla 2.

    Al trmino de esta gua se espera que el alumno est en capacidad de distinguir la o las hiptesis,en el enunciado de un teorema, de la tesis.

    La gua 3c desde la pgina 53 a la pgina 57 delmaterial del alumno presenta una demostracindetallada del teorema de Euclides referido a la altura( ).Describe objetos y relaciones involucradas en lafigura base de la demostracin, el tringulo de lafigura 3.9 (pg. 53) que reproducimos en la figuraadjunta.

    En la tabla (que se muestra a continuacin) de la pgina 58 del material del alumno se relaciona una

    secuencia de argumentos con los pasos de la demostracin:

    qph =2

    Esta tabla puede servir de base para la reflexin de cierre. En ella se sugiere destacar la estructurade la demostracin: partir desde la hiptesis, elaborar una secuencia encadenada de argumentoslgicamente verdaderos y arribar a la tesis.

    El tiempo para esta actividad (las tres guas) pensamos que debiese ser de seis horas. No le hemospuesto tiempo estimado a cada gua pues pensamos que el devenir de las acciones de los alumnosms la orientacin del docente le darn el ritmo y extensin que se necesite.

    (Axiomas, definiciones,postulados u otros

    teoremas)

    Hiptesis

    Argumento 1Argumento 2

    Argumento n

    Tesis(Conclusin)

    - Tenemos un tringulo ABCrectngulo en C

    - Tenemos la altura trazadadesde el vrtice C

    - Proyecciones ydeterminadas por los catetossobre la hipotenusa

    Hiptesis

    Paso 2Paso 3

    Paso 6

    Tesis(Conclusin)

    qph =2

  • 7/30/2019 Profesor 3ro Medio 2008

    40/205

    40 Unidad: Ms sobre tringulos rectngulos

    Actividad 8: Guas 4a y 4b primeras demostraciones formales (pginas 68 y 75)

    Para finalizar la entrada a la demostracin que se propone en esta unidad, se presentan las guas 4a y 4b.

    La gua 4a utiliza los teoremas de Euclides referidos a los catetos ( y ) para

    primero esbozar la demostracin de , dejando algunos pasos incompletos que el alumnodeber rellenar. La demostracin es similar a la de presentada en la gua 3c, es decir sebasa en la semejanza de los tringulos rectngulos que se explicitan en el punto 4 de la pgina 70 delmaterial del alumno. Posteriormente, en la pgina 72, se le propone al alumno demostrar el segundo

    teorema de Euclides, . Esta demostracin es totalmente anloga a la demostracin de

    por lo que se espera que los alumnos estn en capacidad de hacerla.

    En el cierre de esta gua se podra reflexionar acerca de los pasos que puede ser la correccin de lasdemostraciones sugeridas. El trabajo de los alumnos es individual.

    La gua 4b es el intento ms desafiante de demostrar para el alumno. Se le pide demostrar el teorema

    de Pitgoras a partir de los teoremas de Euclides y . Se le sugiere al alumno culesseran los pasos que debiese hacer en la demostracin, mostrando lo que ocurre si suma las figuras4.19 y 4.20. Al hacer esta suma se obtiene la figura 4.18, que corresponde al teorema de Pitgoras.

    cpa =2 cqb =2

    cpa =

    2

    qph =2

    cqb =2

    cpa =2

    cpa =2 cqb =2

    La idea es repetir esta operacin con las expresiones algebraicas y , es decir:

    Figura 4.19 Figura 4.20

    de aqu obtenemos

    cpa =2

    cqb =2

    cqcpba

    cqb

    cpa

    +=+

    =+

    =

    22

    2

    2

    Por lo tanto .

    ( )

    ( )2

    22

    c

    cc

    qpc

    cqcpba

    =

    =

    +=

    +=+

    222 cba =+

    Figura 4.18

  • 7/30/2019 Profesor 3ro Medio 2008

    41/205

    4Unidad: Ms sobre tringulos rectngulos

    El cierre de esta gua esta orientado a relevar la estructura de la demostracin. Mostrar que lasrelaciones y en esta demostracin son parte de la hiptesis y en su momentofueron tesis, es decir, volviendo sobre la tabla de la pgina 58 del material del alumno, aquellasrelaciones que en un momento fueron gancho, ahora son soporte para obtener otro gancho: el teoremade Pitgoras.

    Fin de las actividades 4, 6 y 8 acerca de la demostracin en matemtica

    A modo de cierre de las actividades que introducen la demostracin se sugiere que el docente dirijauna reflexin acerca de la demostracin en matemtica que toque temas como:

    La demostracin en matemtica como un modo para estar seguros.La demostracin en matemtica como un modo de comunicar resultados entre matemticos.La demostracin en matemtica como un modo de sistematizar el conocimiento.

    Actividades N 2, 5 y 7: Los teoremas de EuclidesEl teorema de Euclides se aborda desde tres entradas: la exploracin para encontrar(actividad 2), el trabajo de la tcnica que ejercita con aplicaciones de (actividad 5) y la

    presentacin y ejercitacin de y (actividad 7).

    cpa =2

    cqb =2

    Actividad 2: Gua 2 Buscando a Euclides (pg. 14)

    Esta actividad aborda el teorema de Euclides desde la exploracin. En ella se pide que el alumnoetiquete los lados de los tringulos rectngulos que forman el tangrama alemn de la pgina 23,

    como muestra la figura siguiente:

    qph =2

    qph =2

    cpa =2

    cqb =2

    Luego, se pide que el alumno recorte el tangrama y explore las posibles relaciones de semejanza detringulos que se dan al colocar los tres tringulos convenientemente, como muestra la figura 2.4de la pgina 16:

  • 7/30/2019 Profesor 3ro Medio 2008

    42/205

    42 Unidad: Ms sobre tringulos rectngulos

    A partir de all, el alumno debera ser capaz de encontrar y plantear varias relaciones proporcionalesque se producen por la aplicacin de los criterios de semejanza de tringulos, como por ejemplo:

    Entre tringulo 1 y tringulo 2 se pueden plantear las siguientes proporciones: y

    Estas relaciones debe acopiarlas en el espacio destinado para ello en las pginas 18, 19 y 20 delmaterial del alumno. En el tem 13, se le pide al alumno anotar las relaciones que involucran la

    letra h. Entre ellas debiese estar o una equivalente. Esta relacin, que se puede escribir como

    , es la que se espera que el alumno encuentre. Si lo hace, encontr a Euclides.

    Una vez descubierto Euclides, se pide al alumno aplicar esta relacin en algunos ejercicios diseadospara que la aplicacin de sea directa.

    Para el cierre de esta actividad, se sugiere que el docente releve el modo en que se obtuvo la

    relacin y la pase en limpio, es decir, que la presente formalmente a los alumnos enpizarra, ojal utilizando en su argumentacin las experiencias que los alumnos vivenciaron duranteel descubrimiento de Euclides y que el docente tuvo oportunidad de observar. Esto acerca elcontenido al alumno y lo viste de significacin para l. Es altamente recomendable que el alumnovisualice que el contenido vino de su trabajo y no de regalo. De aqu en adelante, los alumnos quedancon esta herramienta disponible. Esto prepara la actividad 5.

    Esta actividad est pensada para tres horas pedaggicas y el trabajo de los alumnos es individual.

    Actividad 5: Gua 3 Teorema de Euclides y algunas aplicaciones (pg. 33)

    Esta actividad se dise para aplicar la relacin encontrada en la gua 2 de la segundaactividad. Parte con una aplicacin del teorema de Euclides referido a la altura aplicado en unproblema que pide determinar la distancia de la base del Obelisco de Buenos Aires a un observador.En la introduccin, al inicio de la pgina 33, se entregan datos que se ocupan en la resolucin del

    problema.

    Si el alumno est en condiciones de resolver el problema, es decir, sabe que debe utilizar el teorema, puede ir directamente al punto 3 de la pgina 37, sino, se le propon