MatematykaKlucz punktowania

Grudzień 2014

Próbny Egzamin Gimnazjalny z OPERONEMCzęść matematyczno-przyrodnicza

1

Zadania wyboru wielokrotnego

Numer zadania 2. 6. 7. 8.

Poprawna odpowiedź D B A D

Zasady przyznawania punktów:1 pkt – każda poprawna odpowiedź0 pkt – błędna odpowiedź lub brak odpowiedzi

Pozostałe zadaniaUWAGA:Za każde poprawne rozwiązanie zadania otwartego, inne niż przedstawione, przyznaje się maksymal-ną liczbę punktów.Jeśli uczeń na dowolnym etapie rozwiązywania zadania popełnił jeden lub więcej błędów rachun-kowych, jednak zastosowane metody były poprawne, wówczas ocenę całego rozwiązania obniża się o 1 punkt.

Numer zadania Poprawna odpowiedź Liczba

punktów Zasady przyznawania punktów

1. 1.1. P1.2. P1.3. F

0–3 3 pkt – trzy poprawne odpowiedzi2 pkt – dwie poprawne odpowiedzi1 pkt – jedna poprawna odpowiedź0 pkt – brak odpowiedzi

3. NC 0–1 1 pkt – dwa poprawne dopasowania 0 pkt – jedno poprawne dopaso-

wanie lub brak poprawnych dopasowań

4.A. 23 lub 1

2

3

−

lub 8

B. 2 2- ; 12

4

−

0–2 2 pkt – trzy poprawne odpowiedzi1 pkt – dwie lub jedna poprawna

odpowiedź0 pkt – brak odpowiedzi

5. FP 0–1 1 pkt – dwie poprawne odpowiedzi 0 pkt – jedna poprawna odpowiedź

lub brak odpowiedzi9. FP 0–1 1 pkt – dwie poprawne odpowiedzi

0 pkt – jedna poprawna odpowiedź lub brak odpowiedzi

10. 10.1. B10.2. D10.3. F

0–3 3 pkt – trzy poprawne dopasowania2 pkt – dwa poprawne dopasowania1 pkt – jedno poprawne dopasowanie0 pkt – brak dopasowań lub błędne

dopasowania

VademecumMatematyka

Zacznij przygotowania

do egzaminu gimnazjalnego

nowysklep.operon.pl/gimnazjum

nowysklep.operon.pl/gimnazjum

Klucz punktowania. MatematykaPróbny Egzamin Gimnazjalny z OPERONEM i „Gazetą Wyborczą”

2

Numer zadania Poprawna odpowiedź Liczba

punktów Zasady przyznawania punktów

11. Propozycja rozwiązania:Dane: abc

= == == =

360 36250 25120 12

mm cmmm cmmm cm

r = 3 cmSzukane:l – liczba gałek lodów z jednego pojem-

nikaV

Vp

p

= ⋅ ⋅

=

36 25 12

10800 3cmVV

l

l

= ⋅

=

0 95 1080010260 3

,cm

V r

V

V

V

g

g

g

g

=

= ⋅ ⋅

≈ ⋅ ⋅

≈

4343

3

43

3 27

108

3

3

3

p

p

cm

l = =10260108

953

3

cmcm

Odpowiedź: Cukiernik z jednego pojem-nika lodów utworzy około 95 gałek.

0–4 4 pkt – pełne rozwiązanie – oblicze-nie objętości pojemnika na lody, objętości lodów w po-jemniku, objętości jednej gał-ki oraz ilorazu tych wielkości

3 pkt – poprawne wyznaczenie objętości lodów i jednej gałki lodów, ale błędny sposób wyznaczenia liczby gałek

2 pkt – brak obliczenia objętości lodów w pojemniku, popraw-ne wyznaczenie objętości pojemnika i jednej gałki lodów, ale błędny sposób wyznaczenia liczby gałek (na podstawie ilorazu objętości pojemnika i gałki lodów) lub obliczenie tylko objętości lo-dów w pojemniku i objętości gałki lodów

1 pkt – wykonanie tylko jednego etapu rozwiązania zadania: obliczenie objętości pojem-nika na lody lub obliczenie objętości jednej gałki lodów

0 pkt – rozwiązanie błędne (przy-padkowe działania i nie-poprawne obliczenia, np. z błędnymi jednostkami) lub brak rozwiązania

12. Propozycja rozwiązania:2,50 zł ⋅ =1500 3750 zł100 50 10 5 8

100 73 27

% % % % %

% % %

− + + +( )== − =27% z 3750 zł = 1012,50 zł » 1013 złOdpowiedź: Zysk producenta lodów wynosi około 1013 zł.

0–3 3 pkt – pełne rozwiązanie – oblicze-nie ceny 1500 gałek, udziału procentowego w zysku pro-ducenta oraz przybliżonego zysku producenta ze sprze-daży 1500 gałek lodów

2 pkt – poprawne wyznaczenie zysku producenta, ale bez przybliżania wyniku lub wyznaczenie przybliżonego zysku producenta z jednej gałki lodów

1 pkt – wykonanie tylko jednego etapu rozwiązania zadania: obliczenie kosztu 1500 gałek lub obliczenie udziału procento-wego w zysku producenta

0 pkt – rozwiązanie błędne (przy-padkowe działania i niepo-prawne obliczenia) lub brak rozwiązania

Klucz punktowania. MatematykaPróbny Egzamin Gimnazjalny z OPERONEM i „Gazetą Wyborczą”

3

Numer zadania Poprawna odpowiedź Liczba

punktów Zasady przyznawania punktów

13. A. -1 lub x=−1 lub xo =−1 (wynik −( )1 0, nie jest dopuszczalny)

B. od -1 lub x>−1 (wynik x≥−1 nie jest dopuszczalny)

C. 2 lub y = 2 (wynik (0,2) nie jest do-puszczalny)

0–3 3 pkt – trzy poprawne odpowiedzi (tj. w punktach A, B i C)

2 pkt – dwie poprawne odpowiedzi1 pkt – jedna poprawna odpowiedź0 pkt – brak odpowiedzi lub błędne

odpowiedzi

14. Propozycja rozwiązania:Wyznaczenie długości odcinka DE z tw. Pitagorasa:DE 2 2 210 6= −

DE 2 100 36= −

DE 2 64=DE j= [ ]8Obliczenie długości odcinka AB:AB DE= 2AB j= [ ]16

Obliczenie pola trójkąta ABE:

PAB DA

=⋅

2

P= ⋅16 62

P j= 48 2

Odpowiedź: Pole trójkąta ABE wyno-si 48 [ j2].

0–2 2 pkt – pełne rozwiązanie – oblicze-nie pola trójkąta ABE

1 pkt – poprawne wyznaczenie dłu-gości odcinka DE oraz AB, ale błędne wyznaczenie pola trójkąta ABE

0 pkt – rozwiązanie błędne (przy-padkowe działania i niepo-prawne obliczenia) lub brak rozwiązania

15. Propozycja rozwiązania:Obliczenie pola trójkąta ABC ze wzoru na pole trójkąta równobocznego (trójkąt ABC stanowi połowę trójkąta równo-bocznego):

P ABC∆ = ⋅⋅1

26 3

4

2

P ABC∆ =36 3

8P jABC∆ =

4 5 3 2,

Wyznaczenie kątów w trójkącie ABD oraz obliczenie długości odcinka BD∠ = °ABD 30∠ = °ADB 60∠ = °DAB 90Niech BD b= 2 , wówczas AD b=Wiadomo, że AB = 3, zatem z własności trójkąta równobocznego (trójkąt ABD stanowi połowę trójkąta równobocznego) [można również skorzystać w tw. Pitago-rasa: 2 32 2 2b b( ) = + ]

0–3 3 pkt – pełne rozwiązanie – oblicze-nie stosunku pól trójkątów (trójkątów podobnych)

2 pkt – poprawne wyznaczenie pól trójkątów ABC i ABD, ale błędny sposób wyznaczenia stosunku pól lub zauważenie, że trójkąty ABC i ABD są podobne oraz wyznaczenie skali podobień-stwa k lub zauważenie, że trójkąty ABC i ABD maja jednakową podstawę AB, wysokość

AD AD=13

, (lub popraw-

ne zapisanie wzorów na pola obu trójkątów z uwzględnie-

niem, że AD AC=13

), ale

brak dalszych obliczeń lub wniosku prowadzącego do udowodnienia tezy

nowysklep.operon.pl/gimnazjum

Klucz punktowania. MatematykaPróbny Egzamin Gimnazjalny z OPERONEM i „Gazetą Wyborczą”

4

Numer zadania Poprawna odpowiedź Liczba

punktów Zasady przyznawania punktów

AB b= 3, czylib 3 3=

b= ⋅ = =33

33

3 33

3 j[ ]

BD b= =2 2 3 j[ ]Obliczenie pola trójkąta ABD ze wzoru na pole trójkąta równobocznego (trójkąt ABD stanowi połowę trójkąta równo-bocznego):

P ABD∆ = ⋅( ) ⋅1

2

2 3 3

4

2

P ABD∆ = ⋅⋅1

212 3

4

P ABD∆ =12 3

8P jABD∆ =

1 5 3 2,

Wyznaczenie stosunku pola trójkąta ABC do pola trójkąta ABD:PP

j

jABC

ABD

∆

∆

=

4 5 3

1 5 3

2

2

,

,PP

ABC

ABD

∆

∆

= 3

Lubinny sposób wyznaczenia stosunku pól trójkątów – z własności podobieństwa trójkątów ABC i ABD. Trójkąty ABC i ABD są podobne w skali k równej

k = =6

2 33

co oznacza, żePP

kABC

ABD

∆

∆

= =2 3

Lubinny sposób wyznaczenia stosunku pól trójkątów (bez konieczności wykorzysta-nia długości boku BC)Trójkąty ABC i ABD mają jednakową

podstawę AB, a wysokość AD AC=13

,

zatem pole trójkąta ABC jest trzy razy większe od pola trójkąta ABD:

PAB AC

ABC∆ =⋅

2

PAB AD AB AC

PAB AC

ABD

ABD

∆

∆

=⋅

=⋅

=⋅2

132

6PP

AB ACAB AC

ABC

ABD

∆

∆

=⋅

⋅⋅

=2

6 3

b.d.d.u.

1 pkt – poprawne wyznaczenie pola trójkąta ABC oraz długości odcinka BD lub AB

0 pkt – rozwiązanie błędne (przy-padkowe działania i niepo-prawne obliczenia) lub brak rozwiązania