Janusz MROCZKA, Damian K. SZCZUCZY�SKI POLITECHNIKA WROCŁAWSKA, KATEDRA METROLOGII ELEKTRONICZNEJ I FOTONICZNEJ

Problem odwrotny – jako�� rekonstrukcji funkcji rozkładu wielko�ci cz�stek w pomiarach nefelometrycznych i turbidymetrycznych Prof. dr hab. in�. Janusz MROCZKA Kierownik Katedry Metrologii Elektronicznej i Fotonicznej Politechniki Wrocławskiej. Zajmuje si� metodologi� obserwacji i eksperymentu, algorytmizacj� problemu odwrotnego, modelowaniem matematycznym pól fizycznych, analiz� spektraln� i polaryzacyjn� promieniowania rozproszonego, reprezentacjami czasowo-cz�stotliwo�ciowymi w przetwarzaniu danych. Adres e-mail: janusz.mroczka@pwr.wroc.pl

Mgr in�. Damian K. SZCZUCZY�SKI Doktorant w Katedrze Metrologii Elektronicznej i Fotonicznej Politechniki Wrocławskiej. Jest absolwentem Wydziału Elektroniki tej�e uczelni. Zainteresowania naukowe obejmuj�: problem odwrotny w pomiarach po�rednich i numeryczne algorytmy jego rozwi�zywania oraz modelowanie fizyczno-matematyczne. Adres e-mail: damian.szczuczynski@pwr.wroc.pl

Streszczenie

W pracy przedstawiono wyniki bada� symulacyjnych maj�cych na celu porównanie jako�ci rekonstrukcji funkcji rozkładu wielko�ci cz�stek fazy zdyspergowanej układu dyspersyjnego realizowanej poprzez rozwi�zywanie problemu odwrotnego dla wyników pomiarów nefelometrycznych oraz dla wyników pomiarów turbidymetrycznych o ró�nym stopniu zakłócenia przez bł�dy losowe. W przypadku obu technik pomiarowych zastosowano modele matematyczne oparte na teorii rozpraszania �wiatła Mie. Uzyskane rezultaty wykazały, �e rekonstrukcja funkcji rozkładu na podstawie wyników pomiarów turbidymetrycznych charakteryzuje si� ogólnie wi�ksz� dokładno�ci� od rekonstrukcji na podstawie wyników pomiarów nefelometrycznych. Przewaga rekonstrukcji realizowanej w oparciu o wyniki pomiarów turbidymetrycznych wyra�nie zwi�ksza si� w przypadku, gdy dane pomiarowe obu rodzajów obci��one s� bł�dami losowymi. Słowa kluczowe: nefelometria, turbidymetria, rozpraszanie �wiatła, teoria Mie, zagadnienie odwrotne Inverse problem – quality of reconstruction of particle size distribution in nephelometric and turbidimetric measurements

Abstract The work presents results of the simulation research aiming comparison of the quality of the reconstruction of the particle size distribution of the dispersed phase of the dispersed system performed by solution of the inverse problem for results of nephelometric and turbidimetric measurements interfered to a various extent by random errors. In case of both measurement techniques mathematical models based on Mie light scattering theory were applied. Obtained results demonstrated that the reconstruction of the particle size distribution on the basis of the results of turbidimetric measurements is characterized by generally bigger accuracy than the reconstruction on the basis of the results of nephelometric measurements. The advantage of the reconstruction performed basing on the results of turbidimetric measurements increases considerably in case when the measurement data of both kinds are affected by random errors. Keywords: nephelometry, turbidimetry, light scattering, Mie theory, inverse problem 1. Wst�p Nefelometria i turbidymetria stanowi� techniki pomiarowe umo�liwiaj�ce po�rednie wyznaczanie funkcji rozkładu wielko�ci

cz�stek fazy zdyspergowanej układów dyspersyjnych )(af , gdzie a oznacza promie� obj�to�ci cz�stki, zdefiniowany jako promie� kuli o obj�to�ci równej obj�to�ci cz�stki. W nefelometrii bezpo�redniemu pomiarowi podlega zale�no�� obj�to�ciowej funkcji rozpraszania �wiatła w układzie dyspersyjnym od k�ta rozpraszania – )(θβ [1, 2]. W turbidymetrii natomiast bezpo�redniemu pomiarowi poddawana jest zale�no�� całkowitego współczynnika osłabienia

�wiatła w układzie dyspersyjnym od jego długo�ci fali – ( )λc [1, 2]. Wyznaczanie funkcji )(af na podstawie zmierzonej

zale�no�ci )(θβ lub ( )λc stanowi przykład problemu odwrotnego w pomiarach po�rednich [1, 2]. Zadanie to opiera si� na wykorzystaniu modeli matematycznych pomiarów, które stanowi� relacje matematyczne wi���ce mierzone bezpo�rednio zale�no�ci z szukan� funkcj� )(af . Przyj�cie odpowiednich zało�e� upraszczaj�cych umo�liwia sformułowanie modeli matematycznych obu rodzajów pomiarów w ogólnej postaci równania całkowego Fredholma pierwszego rodzaju. Wyra�one w ten sposób modele ró�ni� si� jedynie postaci� funkcji j�dra. Odmienne własno�ci tej funkcji determinuj� ró�n� dokładno�� rekonstrukcji funkcji rozkładu

)(af dokonywanej w oparciu o wyniki pomiarów nefelometrycznych oraz turbidymetrycznych. Celem bada� symulacyjnych omawianych w niniejszej pracy było okre�lenie i porównanie jako�ci rekonstrukcji w obu przypadkach dla ró�nych poziomów zakłóce� danych pomiarowych. 2. Modele matematyczne pomiarów W pracy przyj�to nast�puj�ce zało�enia upraszczaj�ce [1, 2]:

− o�rodek dyspersyjny jest jednorodny i izotropowy, − faz� zdyspergowan� tworz� jednorodne i izotropowe

cz�stki o kształcie kulistym, − �wiatło padaj�ce stanowi fala płaska, monochromatyczna i

niespolaryzowana, − w układzie dyspersyjnym zachodzi spr��yste, jednokrotne i

niekoherentne rozpraszanie �wiatła. Dzi�ki wprowadzonym uproszczeniom modele matematyczne pomiarów obu typów mo�na sformułowa� w postaci ogólnej za pomoc� nast�puj�cego równania całkowego Fredholma pierwszego rodzaju [1]:

( ) ( ) ( )�∞

=0

, daafayKyg , (1)

gdzie: ( )yg – zale�no�� podlegaj�ca w danej technice

pomiarowej bezpo�redniemu pomiarowi, ( )ayK , – funkcja j�dra. Modele matematyczne pomiarów nefelometrycznych i turbidymetrycznych ró�ni� si� jedynie interpretacj� fizyczn�

zale�no�ci ( )yg oraz postaci� funkcji ( )ayK , .

Posta� funkcji ( )ayK , zale�na jest od zastosowanego modelu rozpraszania �wiatła na pojedynczej cz�stce fazy zdyspergowanej. W niniejszej pracy w przypadku obu rozwa�anych technik pomiarowych w charakterze tego modelu wykorzystana została teoria Mie. 2.1. Model matematyczny pomiarów nefelometrycznych W modelu matematycznym pomiarów nefelometrycznych w

charakterze zale�no�ci ( )yg w równaniu (1) wyst�puje funkcja

)(θβ , czyli zachodz� to�samo�ci:

,θ≡y ( ) )(θβ≡yg . (2)

Funkcja j�dra równania całkowego (1) dla tego modelu dana jest wyra�eniem [1]:

( ) ( ) ( )θθ ,1

,, 112 aSk

NaKayK v=≡ , (3)

gdzie: vN – liczba cz�stek fazy zdyspergowanej przypadaj�ca na

jednostk� obj�to�ci układu dyspersyjnego, λπ2=k – liczba

falowa, przy czym λ – długo�� fali �wiatła rozpraszanego,

( )θ,11 aS – odpowiedni element macierzy Muellera. Wielko��

( )θ,11 aS w przypadku cz�stek fazy zdyspergowanej o

zespolonym współczynniku załamania 111 iknN += oraz o�rodka dyspersyjnego o zespolonym współczynniku załamania

222 iknN += okre�laj� nast�puj�ce wzory [1, 3, 4]:

( )( ) ( )( ),,,,,

21

,,

22

21

11

mxSmxS

maS

θθ

θ

+

= (4)

gdzie:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ).112

,,

,112

,,

12

11

�

�∞

=

∞

=

+++=

+++=

nnnnn

nnnnn

bannn

mxS

bannn

mxS

πτθ

τπθ (5)

Wielko�� m w powy�szych równaniach oznacza wzgl�dny współczynnik załamania cz�stki wzgl�dem o�rodka okre�lony zale�no�ci� [1, 3, 4]:

2

1

NN

m = , (6)

natomiast x stanowi tzw. parametr wielko�ciowy (parametr Mie) zdefiniowany zwi�zkiem [1, 3, 4]:

λπ 22 aN

x = . (7)

nπ i nτ w równaniach (5) oznaczaj� funkcje specjalne

zdefiniowane wzorami [1, 3, 4]:

( ) ( )

,)(cos

)(cos

,sincos

cos

1

1

θθθτ

θθθπ

ddP

P

nn

nn

=

=. (8)

gdzie ( )θcos1nP – stowarzyszona funkcja Legendre’a

pierwszego rodzaju stopnia n pierwszego rz�du. Wielko�ci na i

nb , zwane współczynnikami rozpraszania, okre�lone s�

natomiast równaniami [1, 3, 4]:

,)()()()()()()()(

,)()()()()()()()(

mxxmxmxmxxmxmx

b

mxxxmxmmxxxmxm

a

nnnn

nnnnn

nnnn

nnnnn

ψξξψψψψψψξξψψψψψ

′−′′−′

=

′−′′−′

= (9)

gdzie )(ρψ n i )(ρξ n oznaczaj� funkcje Riccatiego-Bessela.

2.2. Model matematyczny pomiarów turbidymetrycznych W modelu matematycznym pomiarów turbidymetrycznych w

charakterze zale�no�ci ( )yg w równaniu (1) wyst�puje funkcja

( )λc , czyli zachodz� to�samo�ci:

,λ≡y ( ) ( )λcyg ≡ . (10)

Funkcja j�dra równania całkowego (1) dla tego modelu dana jest wyra�eniem [1]:

( ) ( ) ( )λλ ,,, aCNaKayK oslabv=≡ , (11)

gdzie: ( )λ,aCoslab – przekrój czynny na osłabienie �wiatła

pojedynczej cz�stki fazy zdyspergowanej. Wielko��

( )λ,aCoslab okre�lona jest wzorem [1, 3, 4]:

( )( )���

��� ++= �

∞

=12 12Re

2

nnnoslab ban

kC

π. (12)

Współczynniki na i nb wyst�puj�ce w wyra�eniu (12) stanowi�

współczynniki rozpraszania dane równaniami (9). 3. Zagadnienie odwrotne Zadanie polegaj�ce na wyznaczaniu funkcji )(af na podstawie uzyskanej w wyniku bezpo�rednich pomiarów

zale�no�ci ( )yg w oparciu o model matematyczny pomiarów sformułowany ogólnie za pomoc� równania (1) stanowi przykład zagadnienia odwrotnego w pomiarach po�rednich. Okazuje si�, �e zarówno w przypadku pomiarów nefelometrycznych, jak i turbidymetrycznych, rozwa�any problem jest �le postawiony, przez co jego rozwi�zanie wymaga posłu�enia si� specjalnymi technikami matematycznymi zwanymi algorytmami inwersyjnymi wykorzystuj�cymi aprioryczn� wiedz� o postaci funkcji )(af [5]. W omawianych w niniejszej pracy badaniach stosowane były wył�cznie numeryczne techniki inwersyjne adresowane dla zdyskretyzowanej postaci równania całkowego Fredholma pierwszego rodzaju (1) otrzymywanej przez zastosowanie kwadratury numerycznej realizowanej metod� prostok�tów w

sko�czonym przedziale ( )maxmin ,aa [1, 4, 5]:

,Kfg = (13)

gdzie:

( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )( )

.

,

,,

,

,

minmax

21

21

21

naa

a

aia

ayaK

afafaf

ygygyg

i

ijij

Tn

Tm

−=∆

∆−=

∆==

=

Kf

g

�

�

(14)

Do rozwi�zywania rozwa�anego problemu odwrotnego sformułowanego w postaci dyskretnej za pomoc� równania (13) wykorzystywane były nast�puj�ce liniowe techniki inwersyjne [1, 5]:

− metoda Twomey’a-Phillipsa z minimalizacj� pi�ciu ró�nych miar braku gładko�ci poszukiwanego rozwi�zania: kwadratu normy euklidesowej wektora f , sumy kwadratów kolejnych ró�nic pierwszego, drugiego i trzeciego rz�du wektora f , kwadratu normy euklidesowej ró�nicy wektora rozwi�zania f oraz wektora apriorycznie przyj�tego rozwi�zania próbnego p ,

− metoda filtrowanej dekompozycji SVD z dwoma ró�nymi schematami filtracji warto�ci osobliwych: z zerowaniem najmniejszych warto�ci osobliwych, z regularyzacj� Tichonowa.

4. Badania symulacyjne Badania przebiegały w dwóch etapach. Celem fazy pierwszej było uzyskanie danych pomiarowych w rezultacie symulacji pomiarów nefelometrycznych i turbidymetrycznych przeprowadzonych dla tych samych parametrów układu dyspersyjnego:

− liczby cz�stek fazy zdyspergowanej w jednostce obj�to�ci

układu dyspersyjnego 315 m10 −=vN ,

− zespolonego współczynnika załamania cz�stek fazy

zdyspergowanej: 0,055,11 iN += ,

− zespolonego współczynnika załamania o�rodka

dyspersyjnego: 0,00,12 iN += ,

− zakresu warto�ci promienia cz�stek: m1,0min µ=a ,

m0,1max µ=a , reprezentowanego w obliczeniach

numerycznych przez ci�g 200=n równomiernie rozmieszczonych punktów,

− testowej funkcji rozkładu wielko�ci cz�stek fazy zdyspergowanej danej wzorem:

( )( )

( )( ),5,0 ,1,0 ,5,0

m1,0 ,m6,0 ,17,0

m15,0 ,m45,0 ,33,0

af

af

af

af

normlog

norm

norm

test

++++

=

µµµµ

(15)

gdzie ( )normnormnorm af σµ ,, – funkcja g�sto�ci

prawdopodobie�stwa rozkładu normalnego zmiennej a o

warto�ci oczekiwanej normµ oraz odchyleniu standardowym

normσ , ( )normlognormlognormlog af σµ ,, – funkcja g�sto�ci

prawdopodobie�stwa rozkładu lognormalnego zmiennej a o

parametrach normlogµ oraz normlogσ . Dyskretn� reprezentacj�

funkcji ( )aftest stanowił wektor testf .

Symulacja pomiarów nefelometrycznych realizowana była dla

ci�gu 181=m warto�ci k�ta rozpraszania: ( ) °⋅−= 11iiθ

dla mi ,,1 �= , przy długo�ci fali m6328,0 µλ = . Symulacja pomiarów turbidymetrycznych przeprowadzona została dla ci�gu 161=m długo�ci fali:

( ) m003125,01m25,0 µµλ ⋅−+= ii dla mi ,,1 �=

obejmuj�cego zakres od m25,0 µ do m75,0 µ .

Wektory danych pomiarowych � i c uzyskane w wyniku symulacji odpowiednio pomiarów nefelometrycznych i turbidymetrycznych i dalej oznaczane ogólnie jako wektor g poddawano nast�pnie zakłóceniu przez sztucznie generowany addytywny stacjonarny i nieskorelowany szum gaussowski reprezentowany przez wektor � , którego elementy stanowi� nieskorelowane zmienne losowe o rozkładzie normalnym z zerow� warto�ci� oczekiwan� i jednakowym odchyleniem

standardowym ( )gmax%1 ⋅=εσ .

Ostateczny rezultat przeprowadzonych symulacji stanowiły cztery wektory symulowanych danych pomiarowych g

odpowiadaj�ce funkcji rozkładu ( )aftest : nie zakłócony

szumem wektor wyników pomiarów nefelometrycznych oraz ten sam wektor poddany zakłóceniu szumem i nie zakłócony szumem wektor wyników pomiarów turbidymetrycznych oraz ten sam wektor poddany zakłóceniu szumem. Druga faza bada� obejmowała rozwi�zywanie rozwa�anego zagadnienia odwrotnego – wyznaczanie z zastosowaniem ka�dej z

wymienionych wcze�niej technik inwersyjnych wektora rekonsf

stanowi�cego dyskretn� reprezentacj� rekonstruowanej funkcji

rozkładu ( )af rekons na podstawie ka�dego z czterech wektorów

symulowanych danych pomiarowych g otrzymanych w

pierwszym etapie bada�. W procesie odwrotnym dla ka�dego wektora g stosowany był ten sam model matematyczny pomiarów, co u�ywany przy generacji tego wektora w ramach

symulacji. Uzyskiwany wektor rekonsf reprezentował warto�ci

funkcji ( )af rekons w dokładnie tych samych punktach, w

których wektor testf reprezentował warto�ci funkcji ( )aftest .

Za miar� dokładno�ci rekonstrukcji funkcji rozkładu wielko�ci cz�stek przyj�to wielko�� [1]:

( )�=

−=∆n

iitestirekons ff

n 1

2,,

1. (16)

Tab. 1. Zestawienie warto�ci parametru ∆ charakteryzuj�cego dokładno�� rekonstrukcji funkcji rozkładu wielko�ci cz�stek fazy zdyspergowanej układu dyspersyjnego zrealizowanej poprzez rozwi�zanie problemu odwrotnego dla wyników symulowanych pomiarów nefelometrycznych oraz turbidymetrycznych obci��onych ró�nym bł�dem wzgl�dnym przy zastosowaniu omówionych procedur inwersyjnych

Tab. 2. Comparison of the values of the ∆ parameter characterizing the accuracy of the reconstruction of the particle size distribution of the dispersed phase of the dispersed system performed by solution of the inverse problem for the results of simulated nephelometric and turbidimetric measurements affected by various relative errors using discussed inverse procedures Rodzaj

pomiaru, bł�d wzgl.1

nefelometria, %0=p

nefelometria, %1=p

turbidymetria, %0=p

turbidymetria, %1=p

Procedura inwersyjna

Twom.-Phill., norm. 0,068938 0,34742 0,058207 0,20016 Twom.-Phill., I rz. 0,074651 0,18218 0,096930 0,092585 Twom.-Phill., II rz. 0,010262 0,13346 0,0028386 0,022230 Twom.-Phill., III rz. 0,00043019 0,20925 0,00040669 0,039482 Twom.-Phill., aprior.2 0,065849 0,33624 0,039513 0,15754 SVD, zerow. 0,046616 0,33921 0,025040 0,18746 SVD, Tichon. 0,046542 0,34742 0,025040 0,19921 �rednia 0,044755 0,27074 0,035425 0,128381 1 Bł�d wzgl�dny p danych pomiarowych g zdefiniowany jest jako wielko��: ( )( ) %100max ⋅= gεσp . 2 Jako aprioryczny pocz�tkowy rozkład wielko�ci cz�stek przyj�to funkcj� stał� ( ) 31mm1 −−= µaf reprezentowan� przez n -elementowy wektor

[ ] 31mm111 −−= µT�p .

5. Wyniki bada� symulacyjnych Rezultaty bada� symulacyjnych zostały zaprezentowane w tab. 1. Na podstawie danych zestawionych w tabeli mo�na stwierdzi�,

�e funkcje rozkładu ( )af rekons odtworzone w oparciu o wyniki

symulowanych pomiarów turbidymetrycznych wykazuj� ogólnie mniejsze odchylenie mierzone warto�ci� ∆ od rzeczywistej – testowej funkcji rozkładu ( )af test w porównaniu z funkcjami odtworzonymi w oparciu o wyniki symulowanych pomiarów nefelometrycznych. Uogólnienie to potwierdzaj� warto�ci ∆ u�rednione dla poszczególnych stosowanych technik

inwersyjnych. W przypadku rekonstrukcji funkcji ( )af na podstawie danych pomiarowych nie obci��onych zakłóceniami losowymi �redni bł�d ∆ rekonstrukcji przeprowadzonej w oparciu o wyniki symulowanych pomiarów turbidymetrycznych jest ponad 1,26 razy mniejszy ni� �redni bł�d rekonstrukcji przeprowadzonej w oparciu o wyniki symulowanych pomiarów nefelometrycznych. Dla danych pomiarowych obci��onych zakłóceniami losowymi natomiast �redni bł�d rekonstrukcji na podstawie wyników pomiarów turbidymetrycznych jest ponad 2,1 razy mniejszy od �redniego bł�du rekonstrukcji na podstawie wyników pomiarów nefelometrycznych. 6. Podsumowanie i wnioski W referacie zaprezentowane zostały rezultaty bada� symulacyjnych przeprowadzonych w celu porównania jako�ci rekonstrukcji funkcji rozkładu wielko�ci cz�stek fazy

zdyspergowanej układu dyspersyjnego realizowanej poprzez rozwi�zywanie problemu odwrotnego dla wyników pomiarów nefelometrycznych oraz dla wyników pomiarów turbidymetrycznych o ró�nym stopniu zakłócenia bł�dami losowymi. Dla obu technik pomiarowych stosowane były modele matematyczne bazuj�ce na teorii rozpraszania �wiatła Mie. Rezultaty bada� wykazały, �e rekonstrukcja funkcji rozkładu na podstawie wyników pomiarów turbidymetrycznych charakteryzuje si� ogólnie lepsz� dokładno�ci� w porównaniu z rekonstrukcj� na podstawie wyników pomiarów nefelometrycznych. 7. Literatura [1] Szczuczy�ski D. K.: Problem odwrotny w analizie wielko�ci

cz�stek układów dyspersyjnych z wykorzystaniem �wiatła rozproszonego. Praca dyplomowa magisterska. Politechnika Wrocławska, Wydział Elektroniki. Wrocław 2006.

[2] Mroczka J.: Metrologiczne problemy wykorzystywania �wiatła rozproszonego do bada� rozkładu wielko�ci cz�stek w roztworach dyspersyjnych. Warszawa 1990.

[3] Bohren C. F., Huffman D. R.: Absorption and scattering of light by small particles. Wiley-Interscience, New York 1983.

[4] Jones A. R.: Light scattering for particle characterization. Progr. Energy Combust. Sci., 25 (1992), pp. 1-53.

[5] Kandlikar M., Ramachandran G.: Inverse Methods for Analysing Aerosol Spectrometer Measurements: A Critical Review. J. Aerosol Sci., 1999, Vol. 30, No. 4, pp. 413-437.

Artykuł recenzowany