1

PODSTAWY WYMIANY CIEPŁA

1. Podstawowe pojęcia w wymianie ciepła

Sposoby transportu ciepła:

przewodzenie

konwekcja

- swobodna

- wymuszona

promieniowanie

Transport ciepła w ciałach stałych odbywa się na drodze przewodzenia. Z przewodzeniem

ciepła mamy do czynienia, gdy makroskopowe części ośrodka nie przemieszczają się wzglę-

dem siebie. Podstawowym sposobem transportu ciepła w płynach (cieczach i gazach) jest

konwekcja. W przypadku konwekcji płyn przemieszcza się i miesza. W płynach ciepło może

być też przewodzone. Gdy ruch płynu spowodowany jest różnicą temperatur w płynie, mamy

do czynienia z konwekcją swobodną. W przypadku konwekcji wymuszonej przemieszczanie

płynu wywołane jest przez pompę lub sprężarkę. Promieniowanie ciepła polega na transporcie

energii w postaci promieniowania elektromagnetycznego o określonej długości fal.

Pole temperatury

- niestacjonarne (temperatura zależy od położenia elementu ciała oraz czasu)

tzyxfT ,,, (1.1)

- stacjonarne (temperatura w danym punkcie ciała nie zależy od czasu)

zyxfT ,, (1.2a)

0

t

T (1.2b)

Zagadnienie wymiany ciepła może być:

- jednowymiarowe (temperatura zmienia się tylko względem jednej współrzędnej),

- dwuwymiarowe (temperatura zmienia się tylko względem dwóch współrzędnych),

- trójwymiarowe (temperatura zmienia się względem wszystkich współrzędnych).

2. Przewodzenie ciepła

2.1. Prawo Fouriera

2

Prawo Fouriera wiąże gęstość strumienia przewodzonego ciepła w określonym punkcie ciała

z gradientem temperatury w tym punkcie

2grad

m

WTT q (2.1)

gdzie

Km

W jest współczynnikiem przewodzenia ciepła (przewodnością cieplną), którego

wartość zależy od rodzaju ciała, a także od temperatury. Dla kartezjańskiego układu współ-

rzędnych prostokątnych

kjiz

T

y

T

x

TTT

grad (2.2)

W prostokątnym układzie współrzędnych wektor q ma trzy składowe

x

Tqx

(2.3a)

y

Tq y

(2.3b)

z

Tqz

(2.3c)

Rys. 2-1. Zakresy wartości współczynników przewodzenia ciepła.

2.2. Stacjonarne przewodzenie ciepła przez ściankę płaską przy const

3

Równanie różniczkowe opisujące ten przypadek przewodzenia (prawo Fouriera)

dx

dTq (2.4)

Równanie (2.4) rozwiązujemy metodą rozdzielenia zmiennych

dTqdx (2.5)

Dla przypadku stacjonarnego przez ściankę płaską gęstość strumienia ciepła q jest stała.

Równanie (2.5) całkujemy stronami

2

1

2

1

x

x

T

T

w

w

dTqdx (2.6)

1212 ww TTxxq (2.7)

21 ww TTq

(2.8)

gdzie 12 xx jest grubością ścianki przewodzącej ciepło.

Dla ścianki o powierzchni A

21 ww TTA

AqQ

(2.9)

21 ww TTA

Q

(2.10)

4

2.2. Stacjonarne przewodzenie ciepła przez ściankę płaską wielowarstwową

Do obliczenia strumienia ciepła przewodzonego przez ściankę wielowarstwową można użyć

wzoru (2.9) pod warunkiem, że współczynnik przewodzenia ciepła zostanie zastąpiony tzw.

zastępczym współczynnikiem przewodzenia ciepła

n

i i

i

n

i

i

z

1

1

(2.11)

gdzie:

i – numer warstwy

n – liczba warstw

δi – grubość warstwy o numerze i

λi – współczynnik przewodzenia ciepła dla warstwy o numerze i

2.3. Stacjonarne przewodzenie przez ściankę cylindryczną przy const

5

2/ mWdr

dTq (2.12)

gdzie w przypadku ścianki cylindrycznej q zależy od promienia r

rl

Q

A

Qq

2 (2.13)

natomiast constQ .

Podstawiamy prawą stronę równania (2.13) zamiast q w równaniu (2.12)

Wdr

dTrlQ 2 (2.14)

W równaniu (2.14) rozdzielamy zmienne i całkujemy równanie stronami

2

1

2

1

2

r

r

T

T

w

w

dTlr

drQ (2.15)

121

2 2ln ww TTlr

rQ (2.16)

21

1

221

1

2 ln

2

ln

2wwww TT

d

d

lTT

r

r

lQ

(2.17)

Strumień ciepła odniesiony do jednostki długości rury

6

mWTT

d

dl

Qq wwl /

ln

221

1

2

(2.18)

Dla ścianki wielowarstwowej

11

1

1ln

2

nn

zl TT

d

dl

Qq

(2.19)

gdzie:

n

i i

i

i

n

z

d

d

d

d

1

1

1

1

ln1

ln

(2.20)

i – numer warstwy

n – liczba warstw

di – średnica warstwy o numerze i (pierwsza warstwa, o najmniejszej średnicy, ma nr 1)

λi – współczynnik przewodzenia ciepła dla warstwy o numerze i

3. Wnikanie (przejmowanie) ciepła

Wnikaniem ciepła nazywamy wymianę ciepła pomiędzy ścianką i omywającym ją płynem.

Ciepło w płynie jest transportowane na drodze konwekcji i przewodzenia.

7

Równanie Newtona

fw TTAQ (3.1)

Km

W2

– współczynnik wnikania (przejmowania) ciepła

zależy od:

- prędkości płynu: w,

- od kształtu, wielkości, rodzaju i temperatury powierzchni wymiany ciepła: φ, l1, l2, ..., Tw,

- od parametrów termofizycznych płynu: Tf, p, ρ, c, λ, υ.

,,,,,,,,,,, 21 llcpTTwf wf (3.2)

Przykład

Dla wymuszonego przepływu burzliwego cieczy lub gazu w kanale na drodze doświadczalnej

określono zależność

nmC PrReNu (3.3)

gdzie typowe wartości m oraz n wynoszą: 4,0;8,0 nm .

Liczba Nusselta (bezwymiarowa)

hdNu (3.4)

Liczba Reynoldsa (bezwymiarowa)

hwd

Re (3.5)

gdzie sm /2 jest współczynnikiem lepkości kinematycznej.

Liczba Prandtla (bezwymiarowa)

a

Pr (3.6)

Z równania (3.4) wyznacza się współczynnik wnikania ciepła

hd

Nu [W/(m

2K] (3.7)

Współczynnik wyrównania temperatury a jest definiowany następująco

8

smc

ap

/2

(3.8)

4. Przenikanie ciepła

Przenikaniem ciepła nazywamy transport ciepła od płynu o wyższej temperaturze do płynu o

niższej temperaturze przez przegrodę.

221 W/mff TTkq (4.1)

gdzie

Km

W2

k jest współczynnikiem przenikania ciepła

Dla ścianki o powierzchni A

AqQ (4.2)

9

4.1. Przenikanie ciepła przez ściankę płaską o grubości

Wnikanie ciepła do ścianki

111 wf TTq (4.3)

Przewodzenie ciepła przez ściankę

21 ww TTq

(4.4)

Przejmowanie ciepła przez płyn

222 fw TTq (4.5)

Z (4.3)

111

qTT wf (4.6)

Z (4.4)

qTT ww 21 (4.7)

Z (4.5)

222

qTT fw (4.8)

Równania (4.6)-(4.8) sumujemy stronami

2121

11

qTT ff (4.9)

21

21

11

1ff TTq

(4.10)

Z porównania (4.10) z (4.1) otrzymujemy

21

111

k (4.11)

4.2. Przenikanie ciepła przez ściankę cylindryczną

10

221

2

11

21

1ln

2

11

dd

d

d

TTlQ

ff

(4.12)

mWTTkl

Qq ffll /21 (4.13)

gdzie

mK

Wkl jest liniowym współczynnikiem przenikania ciepła

221

2

11

1ln

2

111

dd

d

dkl (4.14)

5. Obliczanie wymienników ciepła

Pojemność cieplna czynnika pcmW . Czynnik cieplejszy ma indeks 1.

11

Bilans energetyczny wymiennika ciepła

'2"222

"1

'111 TTcmTTcmQ pp (5.1a)

'2"22

"1

'11 TTWTTWQ (5.1b)

Równanie wymiany ciepła

12

srTkAQ 0 (5.2)

Średnia różnica temperatur

0

0 210

A

dAATATT

A

sr

(5.3)

Średnia różnica temperatur dla wymienników współprądowych i przeciwprądowych

"

'ln

"'

T

T

TTTsr

(5.4)

Gdzie dla współprądu

'2

'1' TTT (5.5a)

"2

"1" TTT (5.5b)

- dla przeciwprądu

"2

'1' TTT (5.5c)

'2

"1" TTT (5.5d)

Dla określonych temperatur wlotowych i wylotowych średnia różnica temperatur jest naj-

większa przy przepływie przeciwprądowym, a najmniejsza dla przepływu współprądowego.

Średnia różnica temperatur dla wymienników o przepływie krzyżowo prądowym i mieszanym

(Tsrm) leży w przedziale pomiędzy średnią dla współprądu (Tsrwp) i przeciwprądu (Tsrpp)

srwpsrmsrpp TTT (5.6)

Średnią różnicę temperatur dla wymienników o przepływie krzyżowym i mieszanym można

wyznaczyć wykorzystując poprawkę εΔT

Tsrppsrm TT (5.7)

gdzie

01 T (5.8)

RPfT , (5.9)

13

'2

'1

'2

"2

TT

TTP

(5.10a)

'2

"2

"1

'1

TT

TTR

(5.10b)

Korzystając z wykresów poprawek εΔT należy zwrócić uwagę na to, dla jakiego przypadku są

te poprawki, tzn. którym kanałem płynie czynnik gorący (1), a którym czynnik zimny (2). W

pewnych przypadkach może to być bez znaczenia.

Każdy typ wymiennika ma swój wykres poprawek RPfT , .